ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ax 2 + bx + c = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ≠ 0.

ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳುಪರಿಹಾರಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೂರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

1. ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ;
2. ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ;
3. ಎರಡನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ ವಿವಿಧ ಬೇರುಗಳು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಇದು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅದ್ಭುತವಾದ ವಿಷಯವಿದೆ - ತಾರತಮ್ಯ.

ತಾರತಮ್ಯ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ನಂತರ ತಾರತಮ್ಯವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆ D = b 2 - 4ac ಆಗಿದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ: ತಾರತಮ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನೀವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

1. ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ< 0, корней нет;
2. D = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ;
3. D > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ತಾರತಮ್ಯವು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ಜನರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ:

ಕಾರ್ಯ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

ಆದ್ದರಿಂದ ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ:
a = 5; ಬಿ = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ. ಉಳಿದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ- ಒಂದು ಮೂಲ ಇರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಹೌದು, ಇದು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಹೌದು, ಇದು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಆಡ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬೆರೆಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವಿವೇಕಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಮಗಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ: ವೇಗ ಅಥವಾ ಗುಣಮಟ್ಟ.

ಮೂಲಕ, ನೀವು ಹ್ಯಾಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೀರಿ. 50-70 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲೋ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ - ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಷ್ಟು ಅಲ್ಲ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು

ಈಗ ಸ್ವತಃ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ತಾರತಮ್ಯ D > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಮೂಲ ಮೂಲ ಸೂತ್ರ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ

ಯಾವಾಗ D = 0, ನೀವು ಈ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು - ನೀವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಉತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಡಿ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ಸಮೀಕರಣವು ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವರನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ಬಿ = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದು:

ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ ದೋಷಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರವು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ನೋಡಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ - ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ನೀವು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೀರಿ.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅಂತಹ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ: ಅವುಗಳಿಗೆ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:

ax 2 + bx + c = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ b = 0 ಅಥವಾ c = 0, ಅಂದರೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಬಹಳ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಕರಣವು ಸಾಧ್ಯ: b = c = 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಕೊಡಲಿ 2 = 0 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: x = 0.

ಉಳಿದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. b = 0 ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ನಾವು ಕೊಡಲಿ 2 + c = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದಿಂದ ವರ್ಗ ಮೂಲನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು (−c /a) ≥ 0 ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ತೀರ್ಮಾನ:

1. ax 2 + c = 0 ರೂಪದ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆ (-c /a) ≥ 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ;
2. ಒಂದು ವೇಳೆ (-c /a)< 0, корней нет.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ (-ಸಿ / ಎ) ≥ 0 ಅನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. x 2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಸಾಕು. ಇದ್ದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ- ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಕು:

ತೆಗೆಯುವಿಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಆವರಣದ ಹೊರಗೆ

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಬೇರುಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಚೌಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಾರದು.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗೆ \(3x^2+2x-7\), ತಾರತಮ್ಯವು \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗೆ \(x^2-5x+11\), ಇದು \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು \(D\) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ, ಗ್ರಾಫ್ ಸರಿಸುಮಾರು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ).

ತಾರತಮ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು

ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:
- \(D\) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
- \(D\) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ - ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ;
- \(D\) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಇದನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂತಹ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ತಾರತಮ್ಯದಿಂದ (ಅಂದರೆ, \(\sqrt(D)\) ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ಮತ್ತು \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೂಲವು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ \(x_(1)\) ಮತ್ತು \(x_(2)\) ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ \(\sqrt(D)\ ) ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ : ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ \(x^2+2x-3=0\)
ಪರಿಹಾರ :

ಉತ್ತರ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ

ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳಿರುತ್ತವೆ? ತರ್ಕಿಸೋಣ.

ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ಮತ್ತು \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೂಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದು ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ : ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ \(x^2-4x+4=0\)
ಪರಿಹಾರ :

\(x^2-4x+4=0\)		ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		ನಾವು \(D=b^2-4ac\) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ಎರಡು ಸಿಕ್ಕಿತು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ - ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ : \(x=2\)

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ತಾರತಮ್ಯ. ಪರಿಹಾರ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು? ಅದು ಯಾವುದರಂತೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ? ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಕೀವರ್ಡ್ ಆಗಿದೆ "ಚದರ".ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿಒಂದು x ಚೌಕ ಇರಬೇಕು. ಅದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ X (ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ) ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು!) (ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ).ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗೆ X ಗಳು ಇರಬಾರದು.

ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ a, b ಮತ್ತು c- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ- ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ, ಆದರೆ ಎ- ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಏನು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಎ =1; ಬಿ = 3; ಸಿ = -4

ಇಲ್ಲಿ ಎ =2; ಬಿ = -0,5; ಸಿ = 2,2

ಇಲ್ಲಿ ಎ =-3; ಬಿ = 6; ಸಿ = -18

ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ...

ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ಸದಸ್ಯರು. ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ X ವರ್ಗ ಎ,ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ x ಬಿಮತ್ತು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ಎಸ್.

ಅಂತಹ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ.

ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಬಿ= 0, ನಾವು ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ? ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ X ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಕಳೆದುಹೋಗುತ್ತದೆ.ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.) ಇದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಬಿಮತ್ತು ಸಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಸರಳವಾಗಿದೆ:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

ಏನಾದರೂ ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.) ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ x ವರ್ಗವು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ಮೂಲಕ, ಏಕೆ ಎಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೇ? ಮತ್ತು ನೀವು ಬದಲಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಎಶೂನ್ಯ.) ನಮ್ಮ X ವರ್ಗವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ! ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ...

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ, ಸರಳ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನೋಟ, ಅಂದರೆ ರೂಪಕ್ಕೆ:

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.) ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ, ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಾರತಮ್ಯ. ಆದರೆ ಕೆಳಗೆ ಅವನ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಕೇವಲ a, b ಮತ್ತು c. ಆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳು. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಿಸಿ a, b ಮತ್ತು cನಾವು ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ! ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ:

ಎ =1; ಬಿ = 3; ಸಿ= -4. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇದು ಉತ್ತರ.

ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಏನು, ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ಸರಿ, ಹೌದು, ಹೇಗೆ ...

ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳೆಂದರೆ ಚಿಹ್ನೆ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲ a, b ಮತ್ತು c. ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಅವರ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ (ಎಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬೇಕು?), ಆದರೆ ಪರ್ಯಾಯದೊಂದಿಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ. ಸೂತ್ರದ ವಿವರವಾದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಇಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡು!

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ಎ = -6; ಬಿ = -5; ಸಿ = -1

ನೀವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.

ಸರಿ, ಸೋಮಾರಿಯಾಗಬೇಡ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಾಲು ಮತ್ತು ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಸುಮಾರು 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಆವರಣಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ತುಂಬಾ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯುವುದು ನಂಬಲಾಗದಷ್ಟು ಕಷ್ಟಕರವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದು ಮಾತ್ರ ಹಾಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಸರಿ, ಅಥವಾ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ಯಾವುದು ಉತ್ತಮ, ವೇಗ ಅಥವಾ ಸರಿ? ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂತೋಷಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೀವು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ. ಮೈನಸಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಈ ದುಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು!

ಆದರೆ, ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ:

ನೀವು ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೀರಾ?) ಹೌದು! ಈ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅವರು ಇಲ್ಲಿ ಸಮಾನರು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. a, b ಮತ್ತು c.

ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ್ದೀರಾ? ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ a = 1; ಬಿ = -4;ಎ ಸಿ? ಅದು ಅಲ್ಲಿಯೇ ಇಲ್ಲ! ಸರಿ ಹೌದು, ಅದು ಸರಿ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದರ ಅರ್ಥ c = 0 ! ಅಷ್ಟೇ. ಬದಲಿಗೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಸಿ,ಮತ್ತು ನಾವು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದೇ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಜೊತೆಗೆ, ಎ ಬಿ !

ಆದರೆ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬಹುದು? ನೀವು X ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು! ಅದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ.

ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಏನು? ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶ! ನನ್ನನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಸರಿ, ನಂತರ ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ, ಅದು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ!
ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ? ಅಷ್ಟೇ...
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದು: x 1 = 0, x 2 = 4.

ಎಲ್ಲಾ. ಇವುಗಳು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 0 = 0. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಪರಿಹಾರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವ X ಮೊದಲನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಡ್ಡೆ. ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, x 1- ಯಾವುದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x 2- ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು.

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. 9 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

9 ರಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ:

ಹಾಗೆಯೇ ಎರಡು ಬೇರುಗಳು . x 1 = -3, x 2 = 3.

ಎಲ್ಲಾ ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ X ಅನ್ನು ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ನಂತರ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲಕ.
ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಸರಳವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು X ನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೇಗಾದರೂ ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದು, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಏನೂ ಇಲ್ಲ ...

ತಾರತಮ್ಯ. ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರ.

ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಪದ ತಾರತಮ್ಯ ! ಅಪರೂಪಕ್ಕೊಮ್ಮೆ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಈ ಪದವನ್ನು ಕೇಳಿಲ್ಲ! "ನಾವು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ" ಎಂಬ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸ ಮತ್ತು ಭರವಸೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ತಾರತಮ್ಯದಿಂದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ! ಇದು ಸರಳ ಮತ್ತು ಬಳಸಲು ತೊಂದರೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ.) ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಯಾವುದಾದರುಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

ಮೂಲ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ. ತಾರತಮ್ಯ ಸೂತ್ರ:

D = b 2 - 4ac

ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ? ಇದು ವಿಶೇಷ ಹೆಸರಿಗೆ ಏಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ? ಏನು ತಾರತಮ್ಯದ ಅರ್ಥ?ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ -ಬಿ,ಅಥವಾ 2aಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಏನನ್ನೂ ಕರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ... ಅಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳು.

ವಿಷಯ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದು ಸಾಧ್ಯ ಕೇವಲ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳು.

1. ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಇದರರ್ಥ ಮೂಲವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಮೂಲವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಥವಾ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಏನನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ. ನಂತರ ನಿಮ್ಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳು.

2. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ನಂತರ ನೀವು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ. ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಮೂಲವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ಒಂದೇ. ಆದರೆ, ರಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿ, ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದು ವಾಡಿಕೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ.

3. ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಸರಿ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವಾಗ ಸರಳ ಪರಿಹಾರಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ತಾರತಮ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ತಾನಾಗಿಯೇ ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳು, ಒಂದು, ಮತ್ತು ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ ತಾರತಮ್ಯದ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏರೋಬ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ!)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದುನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡ ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ. ಅಥವಾ ನೀವು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ, ಅದು ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ.) ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ a, b ಮತ್ತು c. ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತಾ? ಗಮನವಿಟ್ಟುಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಗಮನವಿಟ್ಟುಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಣಿಸಿ. ಅದು ನಿನಗೆ ಅರ್ಥವಾಯಿತೇ ಕೀವರ್ಡ್ಇಲ್ಲಿ - ಗಮನವಿಟ್ಟು?

ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ಗಮನಿಸಿ. ಅದೇ ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ ... ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಅದು ನಂತರ ನೋವು ಮತ್ತು ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ...

ಮೊದಲ ನೇಮಕಾತಿ . ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು ಸೋಮಾರಿಯಾಗಿರಬೇಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು. ಇದರ ಅರ್ಥ ಏನು?
ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ! ನೀವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಆಡ್ಸ್ ಮಿಶ್ರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ a, b ಮತ್ತು c.ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಮೊದಲು, X ವರ್ಗ, ನಂತರ ಚೌಕವಿಲ್ಲದೆ, ನಂತರ ಉಚಿತ ಪದ. ಹೀಗೆ:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ! X ವರ್ಗದ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಮೈನಸ್ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅಸಮಾಧಾನಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮರೆಯುವುದು ಸುಲಭ... ಮೈನಸ್ ತೊಲಗಿಸಿ. ಹೇಗೆ? ಹೌದು, ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಿದಂತೆ! ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ಈಗ ನೀವು ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಗಿಸಬಹುದು. ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನೀವು ಈಗ 2 ಮತ್ತು -1 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಎರಡನೇ ಸ್ವಾಗತ. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ! ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ. ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ನಾನು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ! ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಕೊನೆಯ ವಿಷಯಸಮೀಕರಣ. ಆ. ನಾವು ಮೂಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಬಳಸಿದ ಒಂದು. ಒಂದು ವೇಳೆ (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ) ಗುಣಾಂಕ a = 1, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸಾಕು. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ -2. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, 2 ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ -2! ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ನಿಮ್ಮ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ . ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಎಲ್ಲೋ ಸ್ಕ್ರೂ ಅಪ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದರ್ಥ. ದೋಷವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಪರಿಶೀಲನೆ. ಗುಣಾಂಕ ಇರಬೇಕು ಬಿಜೊತೆಗೆ ವಿರುದ್ದ ಪರಿಚಿತ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ -1+2 = +1. ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ ಬಿ, ಇದು X ಮೊದಲು, -1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ!
ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ x ವರ್ಗವು ಶುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ವಿಷಾದದ ಸಂಗತಿ a = 1.ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ! ಎಲ್ಲಾ ಕಡಿಮೆ ತಪ್ಪುಗಳುತಿನ್ನುವೆ.

ಮೂರನೇ ಸ್ವಾಗತ . ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಭಾಗಶಃ ಆಡ್ಸ್, - ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು! ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ, ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ "ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು." ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ದೋಷಗಳು ಹರಿದಾಡುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತವೆ...

ಮೂಲಕ, ದುಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮೈನಸಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸಲು ನಾನು ಭರವಸೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ. ದಯವಿಟ್ಟು! ಇಲ್ಲಿ ಅವನು.

ಮೈನಸಸ್ನಿಂದ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಿರಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಷ್ಟೇ! ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಒಂದು ಸಂತೋಷ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಲಹೆ:

1. ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಿ.

2. X ವರ್ಗದ ಮುಂದೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕವಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

3. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

4. x ವರ್ಗವು ಶುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ, ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಮಾಡು!

ಈಗ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.)

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

ಉತ್ತರಗಳು (ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆಯೇ? ಗ್ರೇಟ್! ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಮ್ಮ ವಿಷಯವಲ್ಲ ತಲೆನೋವು. ಮೊದಲ ಮೂರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ, ಆದರೆ ಉಳಿದವರು ಮಾಡಲಿಲ್ಲವೇ? ಆಗ ಸಮಸ್ಯೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ. ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ, ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಕಷ್ಟು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ? ಅಥವಾ ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲವೇ? ನಂತರ ವಿಭಾಗ 555 ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮುಖ್ಯಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದು ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳುವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ. ಬಹಳಷ್ಟು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ!

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದೆ ಈ ಲೇಖನ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುವಿರಿ.

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನೀವು "ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಯಾವ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಈ ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿ x + ಸಿ = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯ D ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

D = b 2 - 4ac.

ತಾರತಮ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ತಾರತಮ್ಯ ಮಾಡಿದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ(ಡಿ< 0),то корней нет.

ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, x = (-b)/2a. ತಾರತಮ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (D > 0),

ನಂತರ x 1 = (-b - √D)/2a, ಮತ್ತು x 2 = (-b + √D)/2a.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

ಉತ್ತರ: 2.

ಸಮೀಕರಣ 2 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣ 2 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

ಉತ್ತರ: - 3.5; 1.

ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಕೇವಲ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

ಎ x 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ,ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನೀವು ತಪ್ಪು ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x + 3 + 2x 2 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ನೀವು ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು

a = 1, b = 3 ಮತ್ತು c = 2. ನಂತರ

D = 3 2 - 4 1 2 = 1 ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. (ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ 2 ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಬರೆಯದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು (ದೊಡ್ಡ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಪದವು ಮೊದಲು ಬರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಎ x 2 , ನಂತರ ಕಡಿಮೆ ಜೊತೆ – bxತದನಂತರ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯ ಜೊತೆಗೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಸಮ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (b = 2k), ನಂತರ ನೀವು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕ ಇದ್ದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x 2 ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ x 2 + px + q = 0. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎ, ನಿಂತಿರುವುದು x 2 .

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರ 3 ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ
ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

3x 2 + 6x – 6 = 0.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

ಉತ್ತರ: –1 – √3; –1 + √3

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, b = 6 ಅಥವಾ b = 2k, ಎಲ್ಲಿಂದ k = 3. ನಂತರ D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

ಉತ್ತರ: –1 – √3; –1 + √3. ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 2 + 2x – 2 = 0 ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ಸಮೀಕರಣಗಳು ಚಿತ್ರ 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

ಉತ್ತರ: –1 – √3; –1 + √3.

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳುನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳುಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನೋಡೋಣ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ"ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ". ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ?

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಇದರಲ್ಲಿ x ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳು a, b, c ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "a" ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೇರಿಯಬಲ್ x ವರ್ಗದ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಸರನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ. ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಆಗಿದೆ ಚದರ ಗುಣಾಂಕ(ವರ್ಗದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವುದು), b ಆಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಗುಣಾಂಕ(ಇದು ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ), ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಇತರ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಬಹುದು.

ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ಇದರರ್ಥ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಮುಂದಿನ ವಿಷಯ: X ನ ಗರಿಷ್ಠ ಶಕ್ತಿಯು 2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಈ ರೀತಿಯಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು. ಇದರರ್ಥ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುವ x ನ 2 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಂಡುಬಂದರೆ, 3 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು, ಅದನ್ನು x ಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಸಮಾನತೆ ಕೂಡ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. IN ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಬೀಜಗಣಿತಗಳು 4 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳುಪರಿಹಾರಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ:

• ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು;
• ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು;
• ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ;
• ತಾರತಮ್ಯದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಮೊದಲ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಸರಳತೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ತಾರತಮ್ಯದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಯಾವುದೇ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸೂತ್ರ

ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: a*x²+ b*x + c =0. "ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ" ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅದರ ಲಿಖಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಇದು ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು (ಅಥವಾ ಬಿ ಅಥವಾ ಸಿ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಕಡಿಮೆ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², ನಂತರ ನೀವು ಮೊದಲು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಅದೇ ಅಧಿಕಾರಗಳು.

IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: -6*x²-4*x+8=0, ಇದು 6*x²+4*x-8=0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಸಮಾನತೆ -1).

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, a = 6, b=4, c=-8. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ "-" ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಈ ಹಂತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಈಗ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಫೋಟೋದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಇದು ನಿಮಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ("±" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿ, ಸಿ ಮತ್ತು ಎ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಸಾಕು.

ತಾರತಮ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

IN ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ಯಾವುದೇ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ, ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತಾರತಮ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, D = b²-4*a*c.

ಸೂತ್ರದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಏಕೆ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ ಸರಿಯಾದ ಹೆಸರು? ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ತಾರತಮ್ಯವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಸತ್ಯಅಂದರೆ ಇದು ಬೇರುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಯ್ಯುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

1. D>0: ಸಮಾನತೆಯು 2 ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇವೆರಡೂ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.
2. D=0: ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ತಾರತಮ್ಯ ನಿರ್ಣಯ ಕಾರ್ಯ

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನತೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ : -2*x² +2*x-11 = 0. ಇಲ್ಲಿ a=-2, b=2, c=-11.

ಈಗ ನೀವು ತಾರತಮ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು. ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ.

ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಅಸಮಾನತೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ -3*x²-6*x+c = 0. D>0 ಗೆ c ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 3 ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ 2 ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತಾರತಮ್ಯದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ ನಾವು ಕೊನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: c>-3.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು 2 ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ D ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: c=-2 ಮತ್ತು c=-4. ಸಂಖ್ಯೆ -2 ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು (-2>-3) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ತಾರತಮ್ಯವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: D = 12>0. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ -4 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ (-4. ಹೀಗಾಗಿ, -3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ. ಸಮಾನತೆ -2*x²+7-9*x = 0 ಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: D = 81-4*(-2)*7= 137. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x = (9±√137)/(- 4) ಈ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳುಬೇರುಗಳು, ನೀವು ಮೂಲವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: x = -5.176 ಮತ್ತು x = 0.676.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆ

ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅನ್ವಯವೂ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಜ್ಞಾನ.

ಬಾಬ್ 5 x 4 ಮೀಟರ್ ಡ್ಯುವೆಟ್ ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಹುಡುಗನು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಧಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಹೊಲಿಯಲು ಬಯಸಿದನು ನಿರಂತರ ಪಟ್ಟಿಸುಂದರವಾದ ಬಟ್ಟೆಯಿಂದ. ಬಾಬ್ 10 m² ಬಟ್ಟೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ಎಷ್ಟು ದಪ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಟ್ರಿಪ್ x m ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ನಂತರ ಹೊದಿಕೆಯ ಉದ್ದನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಟ್ಟೆಯ ಪ್ರದೇಶವು (5+2*x)*x ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2 ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 2*x *(5+2*x). ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಹೊಲಿದ ಬಟ್ಟೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 4 * x ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ 2 ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು 8 * x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 2*x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉದ್ದನೆಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಕಂಬಳಿಯ ಉದ್ದವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು. ಕಂಬಳಿಗೆ ಹೊಲಿದ ಬಟ್ಟೆಯ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 10 m². ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ತಾರತಮ್ಯವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: D = 18²-4*4*(-10) = 484. ಇದರ ಮೂಲವು 22. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ 0.5 ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಬಾಬ್ ತನ್ನ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಹೊಲಿಯುವ ಬಟ್ಟೆಯ ಪಟ್ಟಿಯು 50 ಸೆಂ.ಮೀ ಅಗಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.