ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಬೆಲರೂಸಿಯನ್ ರಾಜ್ಯ

ಕೃಷಿ ಅಕಾಡೆಮಿ"

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಭಾಗ

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ಶಿಕ್ಷಣದ (NISPO) ಅಕೌಂಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ "ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು" ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು

ಗೋರ್ಕಿ, 2013

ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕಗುಣಾಂಕಗಳು

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

, (2)

ಮತ್ತು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ . ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

, (3)

ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
- ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯ (3) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2) ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಿಜವಾದ ಭಾಗ
, ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ
ಪರಿಹಾರಗಳು
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಒಂದೇ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಹಾರ (2) ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (2), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
, ಎಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (2);

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ (2), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (2);

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ (2), ನಂತರ ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ
ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು
, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ

ಸಮಾನತೆ (4) ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ರಿಂದ
ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 2 . ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ
, ಮತ್ತು
.

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ನಿರ್ಮಾಣ

ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (2), ನೀವು ಅದರ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು . ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ಗೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ

, (5)

ಎಲ್ಲಿ - ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ
,
. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ (2):

ಅಥವಾ
.

ಏಕೆಂದರೆ
, ಅದು
. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ
ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2) ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

. (6)

ಸಮೀಕರಣ (6) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ (2). ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿವೆ. ಅವು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ, ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ, ಅಥವಾ ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ
ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು
, ಮತ್ತು
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

,

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3
.

ಪರಿಹಾರ . ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಇರುತ್ತದೆ
. ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅದರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
. ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು
ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ .

ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು - ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
,
.

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ತಾರತಮ್ಯ ಸಮೀಕರಣ
. ನಂತರ. ಅಂತೆಯೇ,
. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.
,
, ಎಲ್ಲಿ
. ಸಮೀಕರಣದ (2) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು
,
ಅಥವಾ
,
. ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ

,
.

ನಂತರ,. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಸಮಾನತೆಯಿಂದ

ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 5 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಸಮೀಕರಣ
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ
,
. ಕಾರ್ಯಗಳು
ಮತ್ತು
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ:

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ.
. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (2) ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ (2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ 6 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಮೀಕರಣ
ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ
ಮತ್ತು
. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಬಲಭಾಗ

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ
ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ:
.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.
ಸಮೀಕರಣ (1). ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮೀ. ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು ಮೀ, ಅಂದರೆ

ಆಡ್ಸ್
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು

ಉದಾಹರಣೆ 7 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ
. ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ
ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಮತ್ತು
. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಏಕೆಂದರೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
,
ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

ಅಥವಾ . ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು:
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
,
. ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ನೀಡಿರುವ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ:
.

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ

ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು. ಒಂದು ವೇಳೆ
ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಾಕಾರ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಕೆ (ಕೆ=1 ಅಥವಾ ಕೆ=2), ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 8 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ . ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
. ಅದರ ಬೇರುಗಳು
,
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು
. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
+ +,
+,.

ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು:

ಇಲ್ಲಿಂದ
,
. ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ

.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಲಭಾಗದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ
ಮತ್ತು
ಸಮೀಕರಣದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ (2). ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ
, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
- ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ

ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು
. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
. ಪಡೆದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು
.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (9) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 . ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

ಪರಿಹಾರ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು
. ಇದರ ಬೇರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ
,
. ಏಕೆಂದರೆ
ಮತ್ತು
, ಅದು
,
, ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
- ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಈ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
,
. ನಂತರ

,
. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆದ ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಜ್ಞಾನದ ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಯಾವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಯಾವ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದನ್ನು ಅಸಮಂಜಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ?

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೀ?

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೊನ್ನೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೀ?

ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (3) ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು p i(X)= a i - ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಏಕೀಕರಣವಿಲ್ಲದೆಯೇ ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವೈ (ಎನ್) + ಎ 1 ವೈ (ಎನ್ – 1) +...ಎ ಎನ್ – 1 ವೈ " + a n y = 0, (14)

ಎಲ್ಲಿ ನಾನು ಮತ್ತು- ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು (i= 1, 2, ...,ಎನ್).

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಇ kxನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (14) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ಜ (X) = ಇ kx.

ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ (14) ಜ (X) ಮತ್ತು ಅದರ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮೀ (1 £ ಮೀ£ ಎನ್)ಜ (ಮೀ) (X) = k m e kx. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

(k n + a 1 ಕೆ ಎನ್ – 1 +...ಎ ಎನ್ – 1 k + a n)ಇ ಕೆಎಕ್ಸ್ = 0,

ಆದರೆ ಇ ಕೆ x ¹ ಯಾವುದಕ್ಕೂ 0 X, ಅದಕ್ಕೇ

k n + a 1 k n – 1 +...ಎ ಎನ್ – 1 k + a n = 0. (15)

ಸಮೀಕರಣ (15) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ- ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ , ಅದರ ಬೇರುಗಳು- ವಿಶಿಷ್ಟ ಬೇರುಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ (14).

ತೀರ್ಮಾನ:

ಕಾರ್ಯಜ (X) = ಇ kx - ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ (14) ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೆ - ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ (15).

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (14) ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (15) ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ.

1.ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಎನ್ವಿಭಿನ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬೇರುಗಳು ಕೆ 1 ,ಕೆ 2 ,..., ಕೆ ಎನ್ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎನ್ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳು (14)

ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ 1 , ಸಿ 2 , ..., ಸಿ ಎನ್ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 7. ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ¢ (X) + 8ನಲ್ಲಿ(X) = 0,b) ನಲ್ಲಿ¢ ¢ ¢ (X) + 2ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - 3ನಲ್ಲಿ¢ (X) = 0.

ಪರಿಹಾರ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಆದೇಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮೀಕಾರ್ಯಗಳು ವೈ(X) ಸೂಕ್ತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ

ಕೆ(ನಲ್ಲಿ (ಮೀ) (X) « ಕೆ ಎಂ),

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಲ್ಲಿ(X) ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಂತೆ ಕೆ 0 = 1.

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (a) ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ 2 - 6ಕೆ + 8 = 0. ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಕೆ 1 = 2,ಕೆ 2 = 4. ಅವು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಜ (X)= ಸಿ 1 ಇ 2X + C 2 ಇ 4x.

ಕೇಸ್ (b) ಗಾಗಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು 3 ನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಕೆ 3 + 2ಕೆ 2 - 3ಕೆ = 0. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕೆ(ಕೆ 2 + 2 ಕೆ - 3)= 0 Þ ಕೆ = 0i ಕೆ 2 + 2 ಕೆ - 3 = 0 Þ ಕೆ = 0, (ಕೆ - 1)(ಕೆ + 3) = 0,

ಟಿ . ಇ . ಕೆ 1 = 0, ಕೆ 2 = 1, ಕೆ 3 = - 3.

ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬೇರುಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

ಜ 1 (X)= ಇ 0X = 1, ಜ 2 (X) = ಇ x, ಜ 3 (X)= ಇ - 3X .

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ, ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (9), ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಜ (X)= ಸಿ 1 + ಸಿ 2 ಇ x + ಸಿ 3 ಇ - 3X .

II . ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು (14), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ (15)- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ ಸಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಮೂಲವಿದ್ದರೆ ಕೆ 1 = a + ib,ಅಂದರೆ ಅದರ ಸಂಯೋಜಿತ ಮೂಲ ಕೆ 2 = ` ಕೆ 1 = ಎ- ib.ಮೊದಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಕೆ 1 ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (14)

ಜ 1 (X)= ಇ (a+ib)X = e a x e ibx = ಇ ಕೊಡಲಿ(cosbx + isinbx)

(ನಾವು ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ e i x = cosx + isinx) ಅಂತೆಯೇ, ಮೂಲ ಕೆ 2 = ಎ- ibಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

ಜ 2 (X)= ಇ (a - -ib)X = e a x e - ib x= ಇ ಕೊಡಲಿ(cosbx - isinbx).

ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳಿಂದ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (13.2 ನೋಡಿ). ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ (14). ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಿಯಮ 1.ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು a± ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ (14) FSR ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ib ಎರಡು ನೈಜ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಮತ್ತು .

ಉದಾಹರಣೆ 8. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - 2ನಲ್ಲಿ ¢ (X) + 5ನಲ್ಲಿ(X) = 0 ;b) ನಲ್ಲಿ¢ ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) + 4ನಲ್ಲಿ ¢ (X) - 4ನಲ್ಲಿ(X) = 0.

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (a), ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಕೆ 2 - 2ಕೆ + 5 = 0 ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಕೆ 1, 2 = .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿಯಮ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಅವು ಎರಡು ನೈಜ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ: ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ಜ (X)= ಸಿ 1 ಇ ಎಕ್ಸ್ ಕಾಸ್ 2x + ಸಿ 2 ಇ x ಪಾಪ 2X.

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (b), ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆ 3 - ಕೆ 2 + 4ಕೆ- 4 = 0, ನಾವು ಅದರ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕೆ 2 (ಕೆ - 1) + 4(ಕೆ - 1) = 0 Þ (ಕೆ - 1)(ಕೆ 2 + 4) = 0 Þ (ಕೆ - 1) = 0, (ಕೆ 2 + 4) = 0.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಮೂರು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳಿವೆ: ಕೆ 1 = 1,ಕೆ 2 , 3 = ± 2i.ಕಾರ್ನು ಕೆ 1 ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ , ಮತ್ತು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು ಕೆ 2, 3 = ± 2ನಾನು = 0 ± 2i- ಎರಡು ಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳು: ಮತ್ತು . ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಜ (X)= ಸಿ 1 ಇ x + ಸಿ 2 cos 2x + ಸಿ 3 ಪಾಪ 2X.

III . ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿವೆ.

ಅವಕಾಶ ಕೆ 1 - ಬಹುತ್ವದ ನಿಜವಾದ ಮೂಲ ಮೀವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ (15), ಅಂದರೆ ಬೇರುಗಳ ನಡುವೆ ಇದೆ ಮೀಸಮಾನ ಬೇರುಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (14) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೇರಿವೆ ಮೀಎಫ್‌ಎಸ್‌ಆರ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಬಹು ಮೂಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಕೆ 1ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು (14), ಕಾರ್ಯದ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ

ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು FSR ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬಹುದು.

ನಿಯಮ 2. ನಿಜವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೂಲ ಕೆ 1 ಬಹುತ್ವ ಮೀ FSR ನಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮೀಪರಿಹಾರಗಳು:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೆ 1 - ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲ ಗುಣಾಕಾರ ಮೀವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ (15), ನಂತರ ಸಂಯೋಜಿತ ಮೂಲವಿದೆ ಕೆ 1 ಬಹುತ್ವ ಮೀ. ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮ 3. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು a± FSR ನಲ್ಲಿನ ib 2mreal ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

, , ..., ,

, , ..., .

ಉದಾಹರಣೆ 9. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಎ) ನಲ್ಲಿ¢ ¢ ¢ (X) + 3ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) + 3ನಲ್ಲಿ¢ (X)+ ವೈ ( X)= 0; ಬಿ) IV ನಲ್ಲಿ(X) + 6ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) + 9ನಲ್ಲಿ(X) = 0.

ಪರಿಹಾರ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (a) ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಕೆ 3 + 3 ಕೆ 2 + 3 ಕೆ + 1 = 0

(ಕೆ + 1) 3 = 0,

ಅಂದರೆ ಕೆ =- 1 - ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲ 3. ನಿಯಮ 2 ರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಜ (X)= ಸಿ 1 + ಸಿ 2 x + ಸಿ 3 X 2 .

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (b) ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ

ಕೆ 4 + 6ಕೆ 2 + 9 = 0

ಅಥವಾ ಅದಲ್ಲದೇ,

(ಕೆ 2 + 3) 2 = 0 Þ ಕೆ 2 = - 3 Þ ಕೆ 1, 2 = ± i.

ನಾವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 2. ನಿಯಮ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

ಜ (X)= ಸಿ 1 + ಸಿ 2 x + ಸಿ 3 + ಸಿ 4 X.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಮೇಲಿನಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ f(X) ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ವಿಭಾಗ 5.3 ನೋಡಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 10. ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ(X) = xe 2X .

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ(X) = 0. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಕೆ 2 - ಕೆ- 6 = 0 ಇವೆ ಕೆ 1 = 3,ಕೆ 2 = - 2, ಎ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ - ಕಾರ್ಯ ` ನಲ್ಲಿ ( X) = ಸಿ 1 ಇ 3X + ಸಿ 2 ಇ - 2X .

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ

ನಲ್ಲಿ( X) = ಇದರೊಂದಿಗೆ 1 (X)ಇ 3X + ಸಿ 2 (X)ಇ 2X . (*)

ವ್ರೊನ್ಸ್ಕಿ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಡಬ್ಲ್ಯೂ[ಇ 3X , ಇ 2X ] = .

ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (12) ರಚಿಸೋಣ ಇದರೊಂದಿಗೆ ¢ 1 (X) ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ¢ 2 (X):

ಕ್ರಾಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ 1 (X) ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ 2 (X):

ಬದಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಇದರೊಂದಿಗೆ 1 (X) ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ 2 (X) ಸಮಾನತೆಗೆ (*), ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ(X) = xe 2X :

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ವಿಶೇಷ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ವಿಭಿನ್ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸದೆ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ವೈ (ಎನ್) + ಒಂದು 1 ವರ್ಷ (ಎನ್– 1) +...ಎ ಎನ್ – 1 ವರ್ಷ " + a n y = f (X), (16)

f( X) = ಇಕೊಡಲಿ(Pn(X)cosbx + Rm(X)sinbx), (17)

ಎಲ್ಲಿ Pn(X) ಮತ್ತು ಆರ್ ಎಂ(X) - ಪದವಿ ಬಹುಪದಗಳು ಎನ್ ಮತ್ತು ಮೀಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ ವೈ*(X) ಸಮೀಕರಣದ (16) ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಲ್ಲಿ* (X) = xsಇ ಕೊಡಲಿ(ಎಂ ಆರ್(X)cosbx + Nr(X)sinbx), (18)

ಎಲ್ಲಿ ಎಂ ಆರ್(X) ಮತ್ತು Nr(X) - ಪದವಿ ಬಹುಪದಗಳು ಆರ್ = ಗರಿಷ್ಠ(ಎನ್, ಎಂ) ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ , ಎ ರುಮೂಲದ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕೆ 0 = a + ibಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (16), ಮತ್ತು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ s = 0 ವೇಳೆ ಕೆ 0 ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೂಲವಲ್ಲ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು (18) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರಚಿಸಲು, ನೀವು ನಾಲ್ಕು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು - a, b, rಮತ್ತು ರು.ಮೊದಲ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್- ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯಾಗಿದೆ X, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ರುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಕೆ 0 = a + ibಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ (ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು) ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೂಲಗಳು (16), ಇದು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ರೂಪದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (17):

1) ನಲ್ಲಿ ಎ ¹ 0, ಬಿ= 0f(X)= ಇ ಕೊಡಲಿ ಪಿ ಎನ್(X);

2) ಯಾವಾಗ ಎ= 0, ಬಿ ¹ 0f(X)= Pn(X) ಜೊತೆಗೆosbx + R m(X)sinbx;

3) ಯಾವಾಗ ಎ = 0, ಬಿ = 0f(X)= Pn(X).

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1. P n (x) ಆಗಿದ್ದರೆ º 0 ಅಥವಾ Rm(x)º 0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗ f(x) = e ax P n (x)с osbx ಅಥವಾ f(x) = e ax R m (x)sinbx, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಕೊಸೈನ್ ಅಥವಾ ಸೈನ್. ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅವೆರಡೂ ಇರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ, ಸೂತ್ರ (18) ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಡಿಗ್ರಿ r = max (n, m) ನ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 11. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ f(X) = ಇ x(2xcos 3x+(X 2 + 1)ಪಾಪ 3X) ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು:

ಎ ) ಕೆ 1 = ಕೆ 2 = 1, ಕೆ 3 = 3,ಕೆ 4 = - 1;

ಬಿ ) ಕೆ 1, 2 = 1 ± 3i,ಕೆ 3, 4 = ± 1;

ವಿ ) ಕೆ 1, 2 = 1 ± 3i,ಕೆ 3, 4 = 1 ± 3i.

ಪರಿಹಾರ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ*(X), ಇದು ಸೂತ್ರ (18), ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ: ಎ= 1, ಬಿ= 3, ಆರ್ = 2. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆ 0 ಕೊನೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ರುಸೂತ್ರ (18) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಕೆ 0 = 1+ 3i. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಎ) ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಲ್ಲ ಕೆ 0 = 1 + 3ನಾನು,ಅಂದರೆ, ರು= 0, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ವೈ*(X) = X 0 ಇ x(ಎಂ 2 (X)cos 3x+N 2 (X)ಪಾಪ 3X) =

= ಇX( (ಕೊಡಲಿ 2 +Bx+C)cos 3x+(ಎ 1 X 2 +ಬಿ 1 x+C 1)ಪಾಪ 3X.

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಬಿ) ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆ 0 = 1 + 3iವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳ ನಡುವೆ ಒಮ್ಮೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ s = 1 ಮತ್ತು

ವೈ*(X) = x e x((ಕೊಡಲಿ 2 +Bx+C)cos 3x+(ಎ 1 X 2 +ಬಿ 1 x+C 1)ಪಾಪ 3X.

ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ (ಸಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ s = 2 ಮತ್ತು

ವೈ*(X) = x 2 ಇ x((ಕೊಡಲಿ 2 +Bx+C)cos 3x+(ಎ 1 X 2 +ಬಿ 1 x+C 1)ಪಾಪ 3X.

ಉದಾಹರಣೆ 11 ರಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದವಿ 2 ರ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಬಹುಪದಗಳ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎಂ ಆರ್(X) ಮತ್ತು ಎನ್ ಆರ್(X) ಸಮಾನತೆ (17) ಅನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ*(X) ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (16). ಅದರ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 12. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ(X) = xe 2X, ಬಲಭಾಗದ ರೂಪದಿಂದ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ.

ಪರಿಹಾರ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಲ್ಲಿ( X) = ` ನಲ್ಲಿ(X)+ ವೈ*(X),

ಎಲ್ಲಿ ` ನಲ್ಲಿ ( X) - ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ, ಮತ್ತು ವೈ*(X) - ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲು ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ(X) = 0. ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಕೆ 2 - ಕೆ- 6 = 0 ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ 1 = 3,ಕೆ 2 = - 2, ಆದ್ದರಿಂದ, ` ನಲ್ಲಿ ( X) = ಸಿ 1 ಇ 3X + ಸಿ 2 ಇ - 2X .

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (18) ಬಳಸೋಣ ನಲ್ಲಿ*(X) ಕಾರ್ಯ f(X) = xe 2X ಸೂತ್ರದ (17) ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ a = 2,b = 0 ಮತ್ತು ಆರ್ = 1, ಅಂದರೆ ಕೆ 0 = 2 + 0ನಾನು = 2. ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ s = 0. ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (18) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ವೈ*(X) = (ಆಹ್ + ಬಿ)ಇ 2X .

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಮತ್ತು IN, ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ವೈ*(X) = (ಆಹ್ + ಬಿ)ಇ 2X :

ವೈ*¢ (X)= Ae 2X + 2(ಆಹ್ + ಬಿ)ಇ 2X = (2ಆಹ್ + ಆಹ್ + 2ಬಿ)ಇ 2x,

ವೈ*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2ಆಹ್ + ಆಹ್ + 2ಬಿ)ಇ 2X = (4ಆಹ್ + 4A+ 4ಬಿ)ಇ 2X .

ಕಾರ್ಯ ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ ವೈ*(X) ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

(4ಆಹ್ + 4A+ 4ಬಿ)ಇ 2X - (2ಆಹ್ + ಆಹ್ + 2ಬಿ)ಇ 2X - 6(ಆಹ್ + ಬಿ)ಇ 2X =xe 2X Þ Þ A=- 1/4,ಬಿ=- 3/16.

ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ವೈ*(X) = (- 1/4X- 3/16)ಇ 2X ,

ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ - ನಲ್ಲಿ ( X) = ಸಿ 1 ಇ 3X + ಸಿ 2 ಇ - 2X + (- 1/4X- 3/16)ಇ 2X .

ಗಮನಿಸಿ 2.ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಡ್ಡಿಕೊಂಡಾಗ, ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಲ್ಲಿ( X) = ,

ಗುಣಾಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ ನಲ್ಲಿ*(X) ನಂತರ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ (ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಅಲ್ಲ ವೈ*(X)), ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ ಐ.

ಉದಾಹರಣೆ 13. ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ:

ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) - ನಲ್ಲಿ¢ (X) - 6ನಲ್ಲಿ(X) = xe 2X ,ವೈ(0) = 0, ವೈ ¢ (X) = 0.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ

ನಲ್ಲಿ(X) = ಸಿ 1 ಇ 3X + ಸಿ 2 ಇ - 2X + (- 1/4X- 3/16)ಇ 2X

ಉದಾಹರಣೆ 12 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಈ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಿ 1 = 1/8, ಸಿ 2 = 1/16. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

ನಲ್ಲಿ(X) = 1/8ಇ 3X + 1/16ಇ - 2X + (- 1/4X- 3/16)ಇ 2X .

ಗಮನಿಸಿ 3(ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ತತ್ವ). ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ Ln[ವೈ(X)]= ಎಫ್(X), ಎಲ್ಲಿ f(X) = ಎಫ್ 1 (X)+f 2 (X) ಮತ್ತು ವೈ* 1 (X) - ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ Ln[ವೈ(X)]= ಎಫ್ 1 (X), ಎ ವೈ* 2 (X) - ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ Ln[ವೈ(X)]= ಎಫ್ 2 (X), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ವೈ*(X)= ವೈ* 1 (X)+ ವೈ* 2 (X) ಇದೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು Ln[ವೈ(X)]= ಎಫ್(X).

ಉದಾಹರಣೆ 14. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ

ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) + 4ನಲ್ಲಿ(X) = x + sinx.

ಪರಿಹಾರ. ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ

` ನಲ್ಲಿ(X) = ಸಿ 1 cos 2x + ಸಿ 2 ಪಾಪ 2X,

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೆ 2 + 4 = 0 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ 1, 2 = ± 2i.ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (17), ಆದರೆ ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ f 1 (X) = x, f 2 (X) = ಸಿಂಕ್ಸ್ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ , ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ವೈ*(X)= ವೈ* 1 (X)+ ವೈ* 2 (X), ಎಲ್ಲಿ ವೈ* 1 (X) - ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) + 4ನಲ್ಲಿ(X) = x, ಎ ವೈ* 2 (X) - ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ನಲ್ಲಿ¢ ¢ (X) + 4ನಲ್ಲಿ(X) = ಸಿಂಕ್ಸ್.ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (18)

ವೈ* 1 (X) = ಕೊಡಲಿ + ಬಿ,ವೈ* 2 (X) = Ссosx + Dsinx.

ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ

ವೈ*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಲ್ಲಿ(X) = ಸಿ 1 cos 2x + ಸಿ 2 ಇ - 2X + ಎ x + B + Ccosx + Dsinx.

ಉದಾಹರಣೆ 15. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಇಎಮ್ಎಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಇ(ಟಿ) = ಇ ಪಾಪಡಬ್ಲ್ಯೂಟಿ,ಇಂಡಕ್ಟನ್ಸ್ ಎಲ್ಮತ್ತು ಪಾತ್ರೆಗಳು ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (PC) ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (LNDE-2) ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳು $p$ ಮತ್ತು $q$ ಹೊಂದಿರುವ 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LDDEಯು $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $f\left(x \right)$ ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

PC ಯೊಂದಿಗಿನ LNDU 2 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ.

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ $U$ ಒಂದು ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ $Y$ ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (GS) ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ GR ನ LHDE-2 ಸೂಚಿಸಲಾದ ಖಾಸಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $y=U+Y$.

2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LMDE ಯ ಬಲಭಾಗವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ CR LNDU-2 ಅನ್ನು $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

PC ಯೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LPDE ಯ ಪರಿಹಾರ

ನೀಡಿರುವ LNDU-2 ನ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು PD $U$ನ ಪ್ರಕಾರವು ಅದರ ಬಲಭಾಗದ $f\left(x\right)$ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. PD LNDU-2 ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುವ ಸರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮ #1.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು a ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $n$. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $Q_(n) \left(x\right)$ ಇನ್ನೊಂದು $P_(n) \left(x\right)$ ನಂತೆಯೇ ಇರುವ ಬಹುಪದವು, ಮತ್ತು $r$ ಎಂಬುದು ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು $Q_(n) \left(x\right)$ ಅನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ (UK) ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 2.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $P_(n) \left(x\right)$ ಎಂಬುದು $n$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ $Q_(n ) \ left(x\right)$ ಎಂಬುದು $P_(n) \left(x\right)$ ನಂತೆ ಅದೇ ಪದವಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $r$ ಎಂಬುದು ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. $\alpha $ ಗೆ ಸಮ. ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳು $Q_(n) \left(x\right)$ ಅನ್ನು NC ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 3.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ \right) $, ಇಲ್ಲಿ $a$, $b$ ಮತ್ತು $\beta$ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. \right )\cdot x^(r) $, ಇಲ್ಲಿ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು $r$ ಎನ್ನುವುದು ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, $i\cdot ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ \beta $. $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿನಾಶಕಾರಿಯಲ್ಲದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 4.

LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ಇಲ್ಲಿ $P_(n) \left(x\right)$ ಇರುತ್ತದೆ $ n$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಮತ್ತು $P_(m) \left(x\right)$ ಎಂಬುದು $m$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಅದರ PD $U$ ಅನ್ನು $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $Q_(s) \left(x\right)$ ಮತ್ತು $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳು, $s$ ಸಂಖ್ಯೆಯು $n$ ಮತ್ತು $m$ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $r$ ಎಂಬುದು ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ, $\alpha +i\cdot \beta $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು $Q_(s) \left(x\right)$ ಮತ್ತು $R_(s) \left(x\right)$ ಅನ್ನು NC ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

NK ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ LNDU-2 ನ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಬಹುಪದದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

• LNDU-2 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ PD $U$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ;
• LNDU-2 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ $x$ ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ;
• ಫಲಿತಾಂಶದ ಗುರುತಿನಲ್ಲಿ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ $x$ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ;
• ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಾರ್ಯ: ಹುಡುಕಿ ಅಥವಾ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PDಯನ್ನೂ ಹುಡುಕಿ , $x=0$ ಗೆ $y=6$ ಮತ್ತು $x=0$ ಗೆ $y"=1$ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು.

ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ LOD-2 ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ಈ ಬೇರುಗಳು ಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಗುಣವಾದ LODE-2 ನ OR ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

ಈ LNDU-2 ನ ಬಲಭಾಗವು $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. $\alpha =3$ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಗುಣಾಂಕವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ LNDU-2 ನ PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

NC ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು $A$, $B$ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಜೆಕ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ನಾವು ಜೆಕ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ನಾವು $y""$, $y"$ ಮತ್ತು $y$ ಬದಲಿಗೆ $U""$, $U"$ ಮತ್ತು $U$ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು NLDE-2 $y""-3\cdot y" ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ಮೇಲಾಗಿ, $e^(3\cdot x) $ ಅನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ನಾವು NDT ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ OR $y=Y+U$ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ಎಡಕ್ಕೆ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

ನೀಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ PD ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಲು, ನಾವು OP ಯ $y"$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ನಾವು $x=0$ ಗೆ $y=6$ ಮತ್ತು $x=0$ ಗಾಗಿ $y=6$ ಗೆ $y$ ಮತ್ತು $y"$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಕ್ರೇಮರ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು $C_(1) $ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು $C_(2) $ ಅನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ PD ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

ಈ ಲೇಖನವು ನಿರಂತರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ನೀಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಪದಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

y "" + p · y " + q · y = f (x) ರೂಪದ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (LDE) ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲಿ p ಮತ್ತು q ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರ x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

LNDE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಮೇಯ

ಪ್ರಮೇಯ 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ರೂಪದ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರ x ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. . . + f 0 (x) · y = f (x) x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಏಕೀಕರಣ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ f (x) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y 0 ನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು LOD ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ y ~ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವು y = y 0 + ವೈ ~.

ಅಂತಹ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು y = y 0 + y ~ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ನಂತರ ನಾವು y ~ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು.

LPDE ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (x) ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

f (x) ಅನ್ನು n ನೇ ಡಿಗ್ರಿ f (x) = P n (x) ನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, LPDE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು y ~ = Q n (x) ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ) x γ, ಇಲ್ಲಿ Q n (x) ಪದವಿ n ನ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, r ಎಂಬುದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಶೂನ್ಯ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. y ~ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ನಂತರ ಬಹುಪದದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು
Q n (x), ಸಮಾನತೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ನಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

ಪರಿಹಾರ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, y "" - 2 y " = x 2 + 1 ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣ y 0 ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ y ~, ಅಂದರೆ y = y 0 + y ~.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು LNDU ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದದ್ದು.

y 0 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗೋಣ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ನೈಜವೆಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬರೆಯೋಣ

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ~ . ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು y ~ ಗಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, ಅಲ್ಲಿ A, B, C ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x ನ ಅದೇ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 ಮತ್ತು y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

ಈ ನಮೂದನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

ನಾವು C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

ಉತ್ತರ: 3 2 + 1 2 ಇ 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು n ಡಿಗ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಘಾತ f (x) = P n (x) · e a x , ನಂತರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ LPDE ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ y ~ = e a x · Q n ( x) x γ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ, ಇಲ್ಲಿ Q n (x) n ನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು r ಎಂಬುದು α ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

Q n (x) ಗೆ ಸೇರಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

ಉದಾಹರಣೆ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು y = y 0 + y ~ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು LOD y "" - 2 y " = 0 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು ಕೆ 1 = 0ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ k 2 = 2 ಮತ್ತು y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗವು x 2 + 1 · e x ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಂದ LPDE ಅನ್ನು y ~ = e a x · Q n (x) · x γ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ Q n (x) ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ α = 1 ಮತ್ತು r = 0, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C ಗಳು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು, y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಅದು ಸಿಕ್ಕಿತು

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ "" = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

ನಾವು ಅದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು A, B, C ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

ಉತ್ತರ: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ಎಂಬುದು LNDDE ಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಸಮರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ಎಂದು ಬರೆದಾಗ, ಮತ್ತು ಎ 1ಮತ್ತು IN 1ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ LPDE ಯ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, ಇಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು r ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು, ± i β ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಸಮಾನತೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೊದಲು, ನಾವು y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

ನಾವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಜೋಡಿ ± 2 i, ನಂತರ f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು y ~ ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x ನಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ A ಮತ್ತು B ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.

ರೂಪಾಂತರ ಮಾಡೋಣ:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + ಬಿ ಸಿನ್ (2 x) y ~ "" = ((- 2 ಎ ಸಿನ್ (2 ಎಕ್ಸ್) + 2 ಬಿ ಕಾಸ್ (2 ಎಕ್ಸ್)) x + ಎ ಕಾಸ್ (2 ಎಕ್ಸ್) + ಬಿ ಸಿನ್ (2 ಎಕ್ಸ್)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

ಆಗ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

ಇದು y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ LDDE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

ಯಾವಾಗ f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), ನಂತರ y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ ಎಂಬುದು α ± i β ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ, P n (x), Q k (x) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎಲ್ ಮೀ (x) ಮತ್ತು Nm(x) n, k, m, m, ಅಲ್ಲಿ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ m = m a x (n, k). ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು Lm(x)ಮತ್ತು Nm(x)ಸಮಾನತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

ನಂತರ m = m a x (n, k) = 1. ರೂಪದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಾವು y 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

ಬೇರುಗಳು ನೈಜ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. ಮುಂದೆ, ರೂಪದ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣ y ~ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ಪಾಪ (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ಪಾಪ (5 x))

A, B, C ಗುಣಾಂಕಗಳು, r = 0, ಏಕೆಂದರೆ α ± i β = 3 ± 5 · i ನೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ಪಾಪ (5 x)) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನೀಡುತ್ತದೆ

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · ಪಾಪ (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ಡಿ = 1

ಎಲ್ಲದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ಪಾಪ (5 x))

ಉತ್ತರ:ಈಗ ನಾವು ನೀಡಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ಪಾಪ (5 x))

LDNU ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (x) ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಅನುಸರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

• ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅಲ್ಲಿ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, ಅಲ್ಲಿ ವೈ 1ಮತ್ತು ವೈ 2 LODE ನ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಸಿ 1ಮತ್ತು C 2ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು;
• C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + y 1 " ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿರ್ಣಯ x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು C 1 (x)ಮತ್ತು ಸಿ 2 (x) ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಹಿಂದೆ y 0, y "" + 36 y = 0 ಎಂದು ಬರೆದ ನಂತರ ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = ಪಾಪ (6 x)

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ C 1 (x)ಮತ್ತು C2(x)ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ನಿರ್ಧಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಿದೆ C 1" (x)ಮತ್ತು C 2" (x)ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ಇ 6 x ಪಾಪ (6 x) + ಸಿ 4

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 ಪಾಪ (6 x)

ಉತ್ತರ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 ಪಾಪ (6 x)

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ