ធរណីមាត្រពិជគណិត ការវិភាគពិត និងស្មុគ្រស្មាញ រូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា និង ក៏ដូចជា ) មិនត្រូវបានដោះស្រាយទេ។ នៅពេលនេះបញ្ហាចំនួន 16 ក្នុងចំណោម 23 ត្រូវបានដោះស្រាយ។ 2 ផ្សេងទៀតមិនមែនជាបញ្ហាគណិតវិទ្យាត្រឹមត្រូវ (មួយត្រូវបានបង្កើតមិនច្បាស់លាស់ពេកដើម្បីយល់ថាវាត្រូវបានដោះស្រាយឬអត់ មួយទៀតនៅឆ្ងាយពីការដោះស្រាយគឺរូបវិទ្យា មិនមែនគណិតវិទ្យា) . ក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំង៥ដែលនៅសេសសល់ មាន៣មិនត្រូវបានដោះស្រាយទេ ហើយ២ទៀតដោះស្រាយបានតែករណីខ្លះប៉ុណ្ណោះ។
បញ្ជីបញ្ហា
| 1 | ដោះស្រាយ | បញ្ហារបស់ Cantor លើថាមពលនៃការបន្ត () |
| 2 | ដោះស្រាយ | ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃ axioms នៃនព្វន្ធ |
| 3 | ដោះស្រាយ | ភាពស្មើគ្នានៃទំហំស្មើគ្នា |
| 4 | មិនច្បាស់លាស់ពេក | រាយបន្ទាត់ដែលបន្ទាត់ជាភូមិសាស្ត្រ |
| 5 | ដោះស្រាយ | ទាំងអស់ជាប់គ្នាទេ? |
| 6 | មិនមែនគណិតវិទ្យាទេ។ | ការបង្ហាញគណិតវិទ្យានៃ axioms នៃរូបវិទ្យា |
| 7 | ដោះស្រាយ | ប្រសិនបើ ក≠ 0, 1 - , និង ខ- ពិជគណិត ប៉ុន្តែមិនសមហេតុផល តើវាជាការពិតដែរឬទេ ក ខ - |
| 8 | បើក | បញ្ហា លេខបឋម(ហើយ) |
| 9 | ដោះស្រាយដោយផ្នែក | ភស្តុតាងគឺភាគច្រើន ច្បាប់ទូទៅភាពច្របូកច្របល់នៅក្នុងវាលលេខណាមួយ។ |
| 10 | ដោះស្រាយ | បញ្ហាដែលអាចដោះស្រាយបាន។ |
| 11 | ដោះស្រាយ | សិក្សាទម្រង់បួនជ្រុងជាមួយមេគុណលេខពិជគណិតតាមអំពើចិត្ត |
| 12 | បើក | ផ្នែកបន្ថែមនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Kronecker នៅលើវាល Abelian ទៅដែនពិជគណិតតាមអំពើចិត្តនៃសនិទានភាព |
| 13 | ដោះស្រាយ | ភាពមិនអាចទៅរួចនៃដំណោះស្រាយ សមីការទូទៅថាមពលទីប្រាំពីរដោយប្រើមុខងារដែលអាស្រ័យលើអថេរពីរប៉ុណ្ណោះ។ |
| 14 | ដោះស្រាយ | ភស្តុតាងនៃជំនាន់កំណត់នៃពិជគណិតនៃ invariants នៃក្រុមពិជគណិត |
| 15 | ដោះស្រាយ | យុត្តិកម្មយ៉ាងតឹងរឹងនៃធរណីមាត្រគណនារបស់ Schubert |
| 16 | ដោះស្រាយដោយផ្នែក | ចំនួននិងទីតាំងនៃរាងពងក្រពើនៃខ្សែកោងពិជគណិតពិតប្រាកដនៃសញ្ញាបត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ; ចំនួន និងទីតាំងនៃវដ្ដដែនកំណត់ពហុធា វាលវ៉ិចទ័រសញ្ញាប័ត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ |
| 17 | ដោះស្រាយ | តំណាងនៃរាងជាក់លាក់ជាផលបូកនៃការ៉េ |
| 18 | ដោះស្រាយដោយផ្នែក | ការបំពេញចន្លោះមិនទៀងទាត់ជាមួយ polyhedra ស្របគ្នា។ ការវេចខ្ចប់ក្រាស់បំផុតនៃបាល់ |
| 19 | ដោះស្រាយ | តើដំណោះស្រាយបំរែបំរួលធម្មតាតែងតែវិភាគទេ? |
| 20 | ដោះស្រាយ | កិច្ចការទូទៅអំពីលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (?) |
| 21 | ដោះស្រាយ | ភស្តុតាងនៃអត្ថិភាពនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងក្រុម monodromy ដែលបានផ្តល់ឱ្យ |
| 22 | ដោះស្រាយ | ឯកសណ្ឋាននៃភាពអាស្រ័យវិភាគដោយប្រើមុខងារ automorphic |
| 23 | ដោះស្រាយ | ការអភិវឌ្ឍវិធីសាស្រ្តនៃការគណនានៃការប្រែប្រួល |
លេខយោង
- លទ្ធផលរបស់ Cohen បង្ហាញថា ទាំងសម្មតិកម្មបន្ត និងការបដិសេធរបស់វាផ្ទុយគ្នា (ប្រព័ន្ធស្តង់ដារនៃទ្រឹស្តីសំណុំ axioms) ។ ដូច្នេះ សម្មតិកម្មបន្តនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms នេះមិនអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬបដិសេធឡើយ។
- យោងទៅតាម Rowe និង Grey (សូមមើលខាងក្រោម) បញ្ហាភាគច្រើនត្រូវបានដោះស្រាយ។ ពួកវាមួយចំនួនមិនត្រូវបានបង្កើតឡើងច្បាស់លាស់គ្រប់គ្រាន់ទេ ប៉ុន្តែលទ្ធផលដែលទទួលបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាពួកវាថាជា "ដំណោះស្រាយ" ។ Moat និង Grey សំដៅលើបញ្ហាទីបួនថាជាបញ្ហាដែលមិនច្បាស់លាស់ពេកក្នុងការវិនិច្ឆ័យថាតើវាត្រូវបានដោះស្រាយឬអត់។
- Rove និង Grey ក៏បានហៅបញ្ហាលេខ 18 "បើក" នៅក្នុងសៀវភៅឆ្នាំ 2000 របស់ពួកគេផងដែរ ដោយសារតែបញ្ហានៃការវេចខ្ចប់បាល់ (ដែលគេស្គាល់ថាជាបញ្ហារបស់ Kepler) មិនត្រូវបានដោះស្រាយនៅពេលនោះ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះត្រូវបានគេរាយការណ៍ថាត្រូវបានដោះស្រាយ (សូមមើលខាងក្រោម)។ ភាពជឿនលឿនក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលេខ 16 ត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងពេលថ្មីៗនេះ ក៏ដូចជានៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1990 ផងដែរ។
- បញ្ហាទី ៨ មានពីរ បញ្ហាដែលបានដឹងដែលទាំងពីរនៅតែមិនទាន់ដោះស្រាយ។ ទីមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហារង្វាន់សហសវត្សរ៍ប្រាំពីរដែលត្រូវបានគេកំណត់ថាជា "បញ្ហា Hilbert" សម្រាប់សតវត្សទី 21 ។
- បញ្ហាទី 9 ត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់ករណី Abelian; ករណីមិនមែន Abelian នៅតែមិនទាន់ដោះស្រាយ។
- សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីជំនាន់កំណត់នៃពិជគណិតនៃ invariants ត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ក្រុមកាត់បន្ថយ។ Nagata ក្នុងឆ្នាំ 1958 បានសាងសង់ឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ ករណីទូទៅ. វាត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរថា ប្រសិនបើពិជគណិតនៃអថេរនៃតំណាងណាមួយ (វិមាត្រកំណត់) នៃក្រុមពិជគណិតត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងជាក់លាក់ នោះក្រុមនេះគឺកាត់បន្ថយ។
- ផ្នែកទី 1 (ពិជគណិត) នៃបញ្ហាលេខ 16 ត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងជាក់លាក់ដូចខាងក្រោម។ Harnack បានបញ្ជាក់ថា ចំនួនអតិបរមារាងពងក្រពើគឺស្មើនឹង M = (n-1)(n-2)/2+1 ហើយខ្សែកោងបែបនេះមាន - ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា M-curves ។ តើរាងពងក្រពើរបស់ M-curve ត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងដូចម្តេច? បញ្ហានេះត្រូវបានធ្វើរហូតដល់កម្រិត n=6 រួមបញ្ចូល ហើយសម្រាប់សញ្ញាបត្រ n=8 ត្រូវបានគេដឹងច្រើន (ទោះបីជាវាមិនទាន់បានបញ្ចប់ក៏ដោយ)។ លើសពីនេះទៀតមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅដែលកំណត់ពីរបៀបដែលរាងពងក្រពើនៃ M-curves អាចត្រូវបានរៀបចំ - មើលស្នាដៃរបស់ Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert ខ្លួនឯង (ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវាមានតម្លៃពិចារណាថាមានកំហុសនៅក្នុងភស្តុតាងរបស់ Hilbert សម្រាប់ n = 6: ករណីមួយក្នុងចំណោមករណីដែលគាត់ចាត់ទុកថាមិនអាចទៅរួចនោះបានប្រែទៅជាអាចធ្វើទៅបានហើយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Gudkov) ។ ផ្នែកទីពីរ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៅតែបើកចំហសូម្បីតែសម្រាប់វាលវ៉ិចទ័របួនជ្រុង - វាមិនត្រូវបានគេដឹងថាតើអាចមានប៉ុន្មានទេ ហើយសូម្បីតែព្រំដែនខាងលើក៏មានដែរ។ សូម្បីតែទ្រឹស្តីបទនៃភាពកំណត់បុគ្គល (ដែលគ្រប់វាលវ៉ិចទ័រពហុធាមានចំនួនកំណត់នៃវដ្តកំណត់) ទើបតែត្រូវបានបញ្ជាក់នាពេលថ្មីៗនេះ។ វាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាការបញ្ជាក់ដោយ Dulac ប៉ុន្តែកំហុសមួយត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងភស្តុតាងរបស់គាត់ ហើយទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ចុងក្រោយដោយ Ilyashenko និង Ecal ដែលពួកគេម្នាក់ៗត្រូវសរសេរសៀវភៅ។
(ប្រព័ន្ធស្តង់ដារនៃ axioms នៃទ្រឹស្តីសំណុំ) ។ ដូច្នេះ សម្មតិកម្មបន្តនៅក្នុងប្រព័ន្ធ axiom នេះមិនអាចបញ្ជាក់ ឬបដិសេធបានទេ (ផ្តល់ថាប្រព័ន្ធ axiom នេះគឺស្រប)។
A.A. Bolibrukh ។ បញ្ហារបស់ Hilbert (100 ឆ្នាំក្រោយ)
បញ្ហាទីមួយរបស់ហ៊ីលប៊ឺត៖ សម្មតិកម្មបន្ត
ការសន្និដ្ឋានបន្តដែលជាបញ្ហាដំបូងរបស់ Hilbert ទាក់ទងនឹងបញ្ហានៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីសំណុំ។ វាទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណួរសាមញ្ញ និងធម្មជាតិដូចជា "តើប៉ុន្មាន?" "ច្រើន ឬតិច?" ហើយសិស្សវិទ្យាល័យស្ទើរតែទាំងអស់អាចយល់ពីបញ្ហានេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងត្រូវការព័ត៌មានបន្ថែមមួយចំនួនដើម្បីបង្កើតវា។
កំណត់សមមូល
សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។ មានកម្មវិធីរាំនៅសាលា។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ថាអ្នកណាមានវត្តមានច្រើនជាងនៅល្ងាចនេះ: ក្មេងស្រីឬក្មេងប្រុស?
ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចរាប់លេខទាំងពីរ ហើយប្រៀបធៀបលេខដែលទទួលបានទាំងពីរ។ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលជាងក្នុងការឆ្លើយ នៅពេលដែលវង់តន្រ្តីចាប់ផ្តើមលេងភ្លេង ហើយអ្នករាំទាំងអស់បំបែកជាគូ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើអ្នករាល់គ្នាដែលមានវត្តមានរាំ នោះមានន័យថា គ្រប់គ្នាបានរកឃើញគូ ពោលគឺមានក្មេងប្រុស និងស្រីដូចគ្នា។ ប្រសិនបើនៅសល់ក្មេងប្រុស នោះមានក្មេងប្រុសកាន់តែច្រើន ហើយផ្ទុយទៅវិញ។
វិធីសាស្រ្តនេះជួនកាលធម្មជាតិជាងការគណនាឡើងវិញដោយផ្ទាល់ត្រូវបានគេហៅថា គោលការណ៍នៃការផ្គូផ្គង, ឬ គោលការណ៍នៃការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាការប្រមូលវត្ថុនៃធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត --- មួយបាច់. វត្ថុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ធាតុ. ប្រសិនបើធាតុ xរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំ X, នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម: x X. ប្រសិនបើសំណុំ X ១មាននៅក្នុងជាច្រើន។ X 2ឧ. ធាតុទាំងអស់នៃសំណុំ X ១ក៏ជាធាតុផងដែរ។ X 2បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថា X ១--- សំណុំរង X 2ហើយសរសេរដោយសង្ខេបដូចនេះ៖ X 1 X 2.
មួយបាច់ ពិតប្រាកដប្រសិនបើវាមានចំនួនកំណត់នៃធាតុ។ ឈុតអាចមានកំណត់ (ឧទាហរណ៍ សំណុំសិស្សក្នុងថ្នាក់) ឬគ្មានកំណត់ (ឧទាហរណ៍ --- មួយបាច់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ 1,2,3,... ) កំណត់ធាតុដែលជាលេខត្រូវបានហៅ លេខ.
អនុញ្ញាតឱ្យ Xនិង យ--- ពីរឈុត។ ពួកគេនិយាយថារវាងសំណុំទាំងនេះវាត្រូវបានបង្កើតឡើង ការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃសំណុំទាំងពីរនេះត្រូវបានបែងចែកទៅជាគូនៃទម្រង់ (x,y), កន្លែងណា x X, yYនិងធាតុនីមួយៗពី Xនិងធាតុនីមួយៗពី យចូលរួមយ៉ាងពិតប្រាកដមួយគូ។
ឧទាហរណ៍មួយគឺនៅពេលដែលក្មេងស្រី និងក្មេងប្រុសទាំងអស់នៅក្នុងពិធីជប់លៀងរាំមួយត្រូវបានផ្គូផ្គង ហើយមានឧទាហរណ៍នៃការប្រកួតមួយទល់មួយរវាងក្មេងស្រីជាច្រើន និងក្មេងប្រុសជាច្រើន។
កំណត់រវាងការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងត្រូវបានគេហៅថា សមមូលឬ ខ្លាំងដូចគ្នា។. សំណុំកំណត់ចំនួនពីរគឺសមមូលប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកគេមានចំនួនធាតុដូចគ្នា។ ដូច្នេះ វាជារឿងធម្មតាដែលសន្មតថាបើមួយ។ សំណុំគ្មានកំណត់គឺស្មើនឹងធាតុមួយទៀត បន្ទាប់មកវាមាន "ចំនួនដូចគ្នា" នៃធាតុ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃសមមូលនេះ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមិនរំពឹងទុកនៃសំណុំគ្មានកំណត់។
សំណុំគ្មានកំណត់
ចូរយើងពិចារណាសំណុំកំណត់ណាមួយ និងសំណុំរងរបស់វា (មិនទទេ និងមិនស្របគ្នាជាមួយខ្លួនវា)។ បន្ទាប់មកធាតុនៅក្នុងសំណុំរង តិច, ជាងនៅក្នុងសំណុំខ្លួនវា, i.e. ផ្នែកគឺតិចជាងទាំងមូល.
តើឈុតគ្មានកំណត់មានទ្រព្យសម្បត្តិនេះទេ? ហើយតើវាសមហេតុផលទេដែលនិយាយថាសំណុំគ្មានកំណត់មួយមានធាតុ "តិចជាង" ជាងមួយទៀតក៏គ្មានកំណត់ដែរឬទេ? យ៉ាងណាមិញ អំពីសំណុំគ្មានកំណត់ចំនួនពីរ យើងអាចនិយាយបានតែសម្រាប់ពេលនេះថាតើវាសមមូលឬអត់។ តើសំណុំគ្មានកំណត់មិនស្មើគ្នាមានទាល់តែសោះ?
ខាងក្រោមនេះ យើងខ្ញុំនឹងឆ្លើយសំណួរទាំងអស់នេះម្តងមួយៗ។ តោះចាប់ផ្តើមជាមួយរឿងកំប្លែងមួយ។ រឿងដ៏អស្ចារ្យពីសៀវភៅ "រឿងរ៉ាវអំពីឈុត" ដោយ N. Ya. Vilenkin ។ សកម្មភាពនេះកើតឡើងនៅពេលអនាគតដ៏ឆ្ងាយ ដែលអ្នកនៅក្នុងកាឡាក់ស៊ីផ្សេងគ្នាអាចជួបគ្នា។ ដូច្នេះហើយ សម្រាប់អ្នកធ្វើដំណើរឆ្លងកាត់លំហអាកាស សណ្ឋាគារដ៏ធំមួយត្រូវបានសាងសង់ឡើង ដែលលាតសន្ធឹងលើកាឡាក់ស៊ីជាច្រើន។
នៅក្នុងសណ្ឋាគារនេះ។ លេខជាច្រើនគ្មានកំណត់(បន្ទប់) ប៉ុន្តែតាមការរំពឹងទុក បន្ទប់ទាំងអស់ត្រូវបានដាក់លេខ ហើយសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ នមានបន្ទប់ដែលមានលេខនេះ។
នៅពេលដែលសមាជនៃ cosmozoologists ត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងសណ្ឋាគារនេះដែលក្នុងនោះអ្នកតំណាងនៃកាឡាក់ស៊ីទាំងអស់បានចូលរួម។ ដោយសារមានកាឡាក់ស៊ីជាច្រើនគ្មានកំណត់ កន្លែងទាំងអស់នៅក្នុងសណ្ឋាគារត្រូវបានកាន់កាប់។ ប៉ុន្តែនៅពេលនេះ មិត្តរបស់គាត់បានមករកនាយកសណ្ឋាគារ ហើយសុំឱ្យដាក់គាត់នៅក្នុងសណ្ឋាគារនេះ។
“បន្ទាប់ពីគិតបានខ្លះហើយ នាយកក៏ងាកទៅរកអ្នកគ្រប់គ្រង ហើយនិយាយថា៖
ដាក់គាត់នៅលេខ 1 ។
តើខ្ញុំនឹងដាក់អ្នកជួលបន្ទប់នេះនៅឯណា? --- អ្នកគ្រប់គ្រងសួរដោយភ្ញាក់ផ្អើល។
ហើយផ្លាស់ទីគាត់ទៅលេខ 2 ។ បញ្ជូនអ្នកជួលពីលេខ 2 ទៅ # 3 ពី #3 ទៅ #4 ។ល។
ជាទូទៅអនុញ្ញាតឱ្យភ្ញៀវដែលរស់នៅក្នុងបន្ទប់ kនឹងផ្លាស់ទីទៅបន្ទប់ k+1ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម៖
បន្ទាប់មកអ្នកគ្រប់គ្នានឹងមានលេខរៀងខ្លួនម្តងទៀត ហើយលេខ 1 នឹងឥតគិតថ្លៃ។
ដូច្នេះហើយ យើងបានគ្រប់គ្រងដើម្បីទទួលភ្ញៀវថ្មី --- យ៉ាងជាក់លាក់ ដោយសារតែមានបន្ទប់ជាច្រើនគ្មានកំណត់នៅក្នុងសណ្ឋាគារ។
ដំបូង អ្នកចូលរួមសមាជបានកាន់កាប់បន្ទប់សណ្ឋាគារទាំងអស់ ដូច្នេះហើយ រវាងអ្នកវិទ្យាសាស្ដ្រជាច្រើន និងមនុស្សជាច្រើន ការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង៖ អ្នកជំនាញខាងអវកាសនិមួយៗត្រូវបានផ្តល់លេខមួយ នៅលើទ្វារដែលលេខធម្មជាតិដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានសរសេរ។ វាជារឿងធម្មតាដែលសន្មតថាមានប្រតិភូ "ច្រើន" ដូចជាមានចំនួនធម្មជាតិ។ ប៉ុន្តែមនុស្សម្នាក់ទៀតបានមកដល់ គាត់ក៏ត្រូវបានស្នាក់នៅ ហើយចំនួនអ្នកស្នាក់នៅបានកើនឡើង 1 ។ ប៉ុន្តែម្តងទៀតមាន "ចំនួនដូចគ្នា" នៃពួកគេ ដោយសារមានលេខធម្មជាតិ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ មនុស្សគ្រប់គ្នាសមនឹងចូលសណ្ឋាគារ! ហើយប្រសិនបើយើងសម្គាល់ចំនួននៃ cosmozoologists ដោយ 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន "អត្តសញ្ញាណ" 0 = 0 +1 . សម្រាប់គ្មានទីបញ្ចប់ 0 ពិតណាស់ វាមិនត្រូវបានបំពេញទេ។
យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលមួយ៖ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមធាតុមួយទៀតទៅសំណុំដែលសមមូល អ្នកនឹងទទួលបានសំណុំដែលសមមូលម្តងទៀត. ប៉ុន្តែវាច្បាស់ណាស់ថាតំណាងនៃ cosmozoological តំណាងឱ្យអ្វី ផ្នែកនៃមនុស្សជាច្រើនដែលបានតាំងទីលំនៅក្នុងសណ្ឋាគារបន្ទាប់ពីការមកដល់នៃភ្ញៀវថ្មី។ នេះមានន័យថាក្នុងករណីនេះផ្នែកមិន "តិចជាង" ជាងទាំងមូលទេប៉ុន្តែ "ស្មើ" ទាំងមូល!
ដូច្នេះ ពីនិយមន័យនៃសមមូល (ដែលមិននាំទៅរក "ភាពចម្លែក" ក្នុងករណីនៃសំណុំកំណត់) វាធ្វើតាមថាផ្នែកនៃសំណុំគ្មានកំណត់អាចស្មើនឹងសំណុំទាំងមូល។
វាអាចទៅរួចនោះ។ គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Bolzano ដែលបានព្យាយាមអនុវត្តគោលការណ៍នៃការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយនៅក្នុងការវែកញែករបស់គាត់មានការភ័យខ្លាចចំពោះផលប៉ះពាល់មិនធម្មតាបែបនេះហើយដូច្នេះមិនបានអភិវឌ្ឍទ្រឹស្តីនេះបន្ថែមទៀតទេ។ វាហាក់ដូចជាមិនទំនងទាល់តែសោះចំពោះគាត់។ ប៉ុន្តែ Georg Cantor នៅពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 19 ម្តងទៀតបានចាប់អារម្មណ៍លើបញ្ហានេះបានចាប់ផ្តើមសិក្សាវាហើយបង្កើត។ ទ្រឹស្តីកំណត់ផ្នែកសំខាន់មួយនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។
សូមបន្តរឿងរបស់យើងអំពីសណ្ឋាគារគ្មានទីបញ្ចប់។
ភ្ញៀវថ្មី "មិនភ្ញាក់ផ្អើលទេ នៅពេលព្រឹកបន្ទាប់គាត់ត្រូវបានគេស្នើឱ្យផ្លាស់ទៅ # 1,000,000 . វាគ្រាន់តែជាអ្នកជំនាញខាងអវកាសយានិកមកពីកាឡាក់ស៊ី VSK-3472 បានមកដល់សណ្ឋាគារ ហើយចាំបាច់ត្រូវដាក់កន្លែងស្នាក់នៅបន្ថែមទៀត។ 999,999 អ្នកជួល។"
ប៉ុន្តែក្រោយមកមានគ្រោះថ្នាក់មួយចំនួនបានកើតឡើង ហើយអ្នកប្រាជ្ញបានមកសណ្ឋាគារដដែលសម្រាប់សមាជ។ មានចំនួនមិនកំណត់ផងដែរ --- អ្នកតំណាងម្នាក់មកពីកាឡាក់ស៊ីនីមួយៗ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដាក់ពួកវាទាំងអស់?
ភារកិច្ចនេះប្រែទៅជាពិបាកណាស់។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែក្នុងករណីនេះក៏មានផ្លូវចេញដែរ។
"ជាដំបូង អ្នកគ្រប់គ្រងបានបញ្ជាឱ្យផ្លាស់ទីអ្នកជួលពីលេខ 1 ទៅ #2 ។
ហើយផ្លាស់ទីអ្នកជួលពីលេខ 2 ទៅ #4 ពី #3 ទៅ #6 ជាទូទៅពីបន្ទប់ ន--- ទៅបន្ទប់ 2 ន.
ឥឡូវនេះ ផែនការរបស់គាត់បានច្បាស់ហើយ៖ តាមវិធីនេះគាត់បានរំដោះចំនួនលេខសេសគ្មានកំណត់ ហើយអាចផ្ទុកអ្នកប្រាជ្ញនៅក្នុងពួកគេ។ ជាលទ្ធផល លេខគូបានប្រែទៅជាត្រូវបានកាន់កាប់ដោយ cosmozoologists និងលេខសេសដោយ philatelists... philatelist ឈរជាជួរ ន-m, កាន់កាប់បន្ទប់ 2n-1"។ ហើយម្តងទៀត មនុស្សគ្រប់គ្នាបានគ្រប់គ្រងកន្លែងស្នាក់នៅក្នុងសណ្ឋាគារមួយ។ ដូច្នេះ ឥទ្ធិពលដ៏អស្ចារ្យជាងនេះទៅទៀត៖ នៅពេលរួមបញ្ចូលគ្នាពីរឈុត ដែលនីមួយៗស្មើនឹង យើងទទួលបានសំណុំសមមូលម្តងទៀត . I.e. សូម្បីតែនៅពេលដែលយើង "ទ្វេដង" ឈុតយើងទទួលបានឈុតដែលស្មើនឹងឈុតដើម!
សំណុំរាប់បាន និងមិនអាចរាប់បាន។
ពិចារណាខ្សែសង្វាក់ដូចខាងក្រោមៈ . ( --- គឺជាសំណុំនៃចំនួនគត់ និង --- សំណុំនៃលេខសនិទាន ពោលគឺសំណុំនៃលេខទម្រង់ p/q, កន្លែងណា ទំនិង q--- ទាំងមូល, q0.) សំណុំទាំងអស់នេះគឺគ្មានកំណត់។ ចូរយើងពិចារណាសំណួរអំពីសមមូលរបស់ពួកគេ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាង និង ៖ យើងបង្កើតជាគូនៃទម្រង់ (n,2n)និង (-n,2n+1), នក៏ដូចជាប្តីប្រពន្ធ (0,1) (នៅកន្លែងដំបូងក្នុងគូនីមួយៗលេខពី ហើយនៅលើទីពីរ --- ពី ).
មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងនេះ ឧទាហរណ៍ សរសេរចំនួនគត់ទាំងអស់ក្នុងតារាង ដូចបង្ហាញក្នុងរូប ហើយដើរជុំវិញវាតាមព្រួញ ផ្តល់លេខជាក់លាក់មួយទៅចំនួនគត់នីមួយៗ។ ដូច្នេះ យើង " ចូរយើងគណនាឡើងវិញ" ចំនួនគត់ទាំងអស់៖ នីមួយៗ zលេខធម្មជាតិមួយចំនួន (ចំនួន) ត្រូវបានប្រៀបធៀប ហើយសម្រាប់លេខនីមួយៗមានចំនួនគត់ដែលលេខនេះត្រូវបានកំណត់។ ក្នុងករណីនេះ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការសរសេររូបមន្តច្បាស់លាស់នោះទេ។
ដូច្នេះ សមមូល .
សំណុំណាមួយដែលស្មើនឹងសំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថា អាចរាប់បាន។. សំណុំបែបនេះអាចត្រូវបាន "រាប់ឡើងវិញ": ធាតុទាំងអស់របស់វាអាចត្រូវបានរាប់ជាលេខ លេខធម្មជាតិ.
នៅ glance ដំបូង, មាន "ច្រើន" ចំនួនសមហេតុផលនៅលើបន្ទាត់ជាងចំនួនគត់។ ពួកគេមានទីតាំងនៅ ក្រាស់នៅគ្រប់ទីកន្លែង៖ នៅចន្លោះពេលតូចតាមអំពើចិត្ត វាមានច្រើនមិនកំណត់។ ប៉ុន្តែវាប្រែថាជាច្រើន។ អាចរាប់បានផងដែរ។ ចូរយើងបង្ហាញពីភាពអាចរាប់បានជាមុនសិន + (សំណុំនៃចំនួនសមហេតុសមផលវិជ្ជមានទាំងអស់) ។
ចូរយើងសរសេរធាតុទាំងអស់។ + ទៅក្នុងតារាងខាងក្រោម៖ ក្នុងជួរទីមួយ - លេខទាំងអស់ដែលមានភាគបែងនៃ 1 (ឧ. ចំនួនគត់) នៅក្នុងទីពីរ - ជាមួយភាគបែងនៃ 2 ។ល។ (សូមមើលរូប)។ រាល់លេខសនិទានភាពវិជ្ជមាននឹងបង្ហាញនៅក្នុងតារាងនេះ ហើយច្រើនជាងម្តង (ឧទាហរណ៍លេខ 1====... កើតឡើងនៅគ្រប់ជួរនៃតារាងនេះ។ ) .
ឥឡូវនេះយើងនឹងគណនាឡើងវិញនូវលេខទាំងនេះ៖ តាមសញ្ញាព្រួញ យើងកំណត់លេខមួយទៅលេខនីមួយៗ (ឬរំលងលេខនេះ ប្រសិនបើយើងបានជួបប្រទះវាពីមុននៅក្នុងធាតុផ្សេងទៀត)។ ដោយសារយើងកំពុងផ្លាស់ទីតាមអង្កត់ទ្រូង យើងនឹងដើរជុំវិញតារាងទាំងមូល (ពោលគឺមិនយូរមិនឆាប់ យើងនឹងទៅដល់លេខណាមួយ)។
ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញពីវិធីដើម្បីដាក់លេខទាំងអស់ពី + ពោលគឺ ពួកគេបានបញ្ជាក់ + អាចរាប់បាន។
ចំណាំថាវិធីសាស្ត្រនៃលេខរៀងនេះមិនរក្សាលំដាប់លំដោយទេ៖ នៃចំនួនសនិទានចំនួនពីរ លេខធំជាងអាចលេចឡើងមុន ឬប្រហែលជានៅពេលក្រោយ។
ចុះលេខសនិទានអវិជ្ជមាន និងសូន្យវិញ? ដូចគ្នាទៅនឹង cosmozoologists និង philatelists នៅក្នុងសណ្ឋាគារគ្មានទីបញ្ចប់។ តោះលេខ + មិនមែនលេខធម្មជាតិទាំងអស់ទេ ប៉ុន្តែមានតែលេខមួយប៉ុណ្ណោះ (ផ្តល់លេខមិនមែន 1, 2, 3, ... ប៉ុន្តែ 2, 4, 6, ...) យើងកំណត់លេខ 1 ដល់សូន្យ ហើយកំណត់លេខ 1 ទៅ លេខសនិទានអវិជ្ជមានទាំងអស់ (តាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នានឹងលេខវិជ្ជមាន) លេខសេស ចាប់ផ្តើមដោយលេខ 3 ។
នោះហើយជាវា លេខសមហេតុផលត្រូវបានរាប់ដោយធម្មជាតិ ដូច្នេះ អាចរាប់បាន។
សំណួរធម្មជាតិកើតឡើង៖ ប្រហែលជាសំណុំគ្មានកំណត់ទាំងអស់អាចរាប់បាន?
វាបានប្រែក្លាយថា --- សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅលើបន្ទាត់លេខគឺមិនអាចរាប់បាន។ លទ្ធផលនេះទទួលបានដោយ Cantor ក្នុងសតវត្សចុងក្រោយនេះ បានធ្វើឱ្យមានការចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះគណិតវិទូ។
ចូរយើងបង្ហាញការពិតនេះតាមរបៀបដូចគ្នានឹង Cantor ដែរ៖ ដោយមានជំនួយ ដំណើរការអង្កត់ទ្រូង.
ដូចដែលយើងដឹងហើយថារាល់ ចំនួនពិត xអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ទសភាគ:
x=A, 1 2 ... n ...,
កន្លែងណា ក--- ចំនួនគត់ មិនចាំបាច់វិជ្ជមានទេ ប៉ុន្តែ 1, 2, ..., n, ... គឺជាលេខ (ពី 0 ដល់ 9)។ គំនិតនេះគឺមិនច្បាស់លាស់៖ ឧទាហរណ៍
½=0.50000...=0.49999...
(នៅក្នុងកំណែមួយនៃសញ្ញាណដែលចាប់ផ្តើមពីខ្ទង់ទីពីរបន្ទាប់ពីខ្ទង់ទសភាគ គឺមានតែសូន្យប៉ុណ្ណោះ ហើយនៅក្នុងមួយទៀតគឺមានតែប្រាំបួន)។ ដើម្បីធ្វើឱ្យកំណត់ត្រាមិនច្បាស់លាស់ ក្នុងករណីបែបនេះ យើងនឹងជ្រើសរើសជម្រើសដំបូងជានិច្ច។ បន្ទាប់មកលេខនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងសញ្ញាគោលដប់របស់វា។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងសន្មត់ថា យើងបានទទួលជោគជ័យក្នុងការគណនាឡើងវិញនូវចំនួនពិតទាំងអស់។ បន្ទាប់មកពួកគេអាចត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់លំដោយ៖
x 1 = A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 = C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...
ដើម្បីមកភាពផ្ទុយគ្នា ចូរយើងបង្កើតលេខខាងក្រោម y, ដែល មិនរាប់បញ្ចូលពោលគឺមិនមាននៅក្នុងតារាងនេះទេ។
សម្រាប់លេខណាមួយ។ កតោះកំណត់លេខ តាមវិធីខាងក្រោម:
=
តោះដាក់ 
(លេខនេះ។ kខ្ទង់ទី -th បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគគឺ 1 ឬ 2 អាស្រ័យលើលេខដែលបង្ហាញនៅលើ k- កន្លែងទី បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគចូល សញ្ញាគោលដប់លេខ x k).
ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ
x 1 = 2.1345...
x 2 = −3.4215...
x 3 = 10.5146...
x 4 = −13.6781...
.....................
នោះ។ =0,2112...
ដូច្នេះដោយប្រើដំណើរការអង្កត់ទ្រូងយើងទទួលបានចំនួនពិតប្រាកដ yដែលមិនស្របគ្នានឹងលេខណាមួយក្នុងតារាង ពីព្រោះ yខុសពីមនុស្សគ្រប់រូប x kយ៉ាងហោចណាស់ kខ្ទង់ទីនៃការពង្រីកទសភាគ និង កំណត់ត្រាផ្សេងគ្នាដូចដែលយើងដឹងគឺត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខផ្សេងគ្នា។
ដើម្បីបញ្ជាក់សម្មតិកម្មបន្តមានន័យថាយកវាចេញពី axioms ទាំងនេះ។ ដើម្បីបដិសេធវាមានន័យថាបង្ហាញថាប្រសិនបើវាត្រូវបានបន្ថែមទៅប្រព័ន្ធនៃ axioms នេះវានឹងប្រែទៅជាចេញ ផ្ទុយសំណុំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ។
ដំណោះស្រាយ
វាបានប្រែក្លាយថាបញ្ហាដំបូងរបស់ Hilbert មានដំណោះស្រាយដែលមិនរំពឹងទុកទាំងស្រុង។
នៅឆ្នាំ 1963 គណិតវិទូជនជាតិអាមេរិកលោក Paul Cohen បានបង្ហាញថា សម្មតិកម្មបន្ត មិនអាចបញ្ជាក់ ឬបដិសេធបានទេ។.
នេះមានន័យថាប្រសិនបើយើងយកប្រព័ន្ធស្តង់ដារនៃ Zermelo --- Frenkel axioms ( ZF) ហើយបន្ថែមទៅវានូវសម្មតិកម្មបន្តជា axiom មួយផ្សេងទៀត បន្ទាប់មកវាប្រែចេញ ស្របប្រព័ន្ធអនុម័ត។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ ZFបន្ថែម ការបដិសេធសម្មតិកម្មបន្ត (ឧ. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយ) បន្ទាប់មកម្តងទៀតយើងទទួលបាន ស្របប្រព័ន្ធអនុម័ត។
ដូច្នេះ ទាំងសម្មតិកម្មបន្ត ឬការបដិសេធរបស់វា។ វាត្រូវបានហាមឃាត់ដកខ្លួនចេញពី ប្រព័ន្ធស្តង់ដារ axiom ។
ការសន្និដ្ឋាននេះគឺខ្លាំងណាស់ ឥទ្ធិពលខ្លាំងហើយសូម្បីតែត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ (សូមមើល epigraph) ។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយជាមួយនឹងសម្មតិកម្មនេះ? ជាធម្មតាវាត្រូវបានភ្ជាប់ទៅប្រព័ន្ធ Zermelo-Frenkel axiom ។ ប៉ុន្តែរាល់ពេលដែលពួកគេបញ្ជាក់អ្វីមួយដោយផ្អែកលើសម្មតិកម្មបន្ត ពួកគេត្រូវតែបង្ហាញថាវាត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងភស្តុតាង។
បញ្ហាគណិតវិទ្យាដ៏ល្បីល្បាញទីពីរដែល David Hilbert បានដាក់ក្នុងឆ្នាំ 1900 នៅទីក្រុងប៉ារីសនៅថ្ងៃទី 2 សមាជអន្តរជាតិគណិតវិទូ។ នៅមិនទាន់មានការឯកភាពគ្នាក្នុងចំណោមសហគមន៍គណិតវិទ្យាថាតើវាត្រូវបានដោះស្រាយឬអត់។ បញ្ហាស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ តើ axioms នៃនព្វន្ធផ្ទុយគ្នាឬអត់?លោក Kurt Gödel បានបង្ហាញថាភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃ axioms នៃនព្វន្ធមិនអាចបញ្ជាក់បានពី axioms នៃនព្វន្ធខ្លួនឯងទេ (លុះត្រាតែលេខនព្វន្ធពិតជាមិនស៊ីគ្នា)។ ក្រៅពី Gödel អ្នកផ្សេងទៀតជាច្រើន។ គណិតវិទូឆ្នើមដោះស្រាយបញ្ហានេះ។
មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។
សូមមើលអ្វីដែល "Hilbert's Second Problem" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖
បញ្ហាទីដប់ប្រាំមួយរបស់ Hilbert គឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំង 23 ដែលលោក David Hilbert បានស្នើឡើងនៅថ្ងៃទី 8 ខែសីហា ឆ្នាំ 1900 នៅឯសមាជអន្តរជាតិទីពីរនៃគណិតវិទូ។ ដំបូង បញ្ហានេះត្រូវបានគេហៅថា "បញ្ហានៃសណ្ឋានដីនៃខ្សែកោងពិជគណិត និងផ្ទៃ" ... ... វិគីភីឌា
បញ្ហារបស់ Hilbert គឺជាបញ្ជីនៃបញ្ហាសំខាន់ៗចំនួន 23 នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលបង្ហាញដោយ David Hilbert នៅក្នុងសមាជអន្តរជាតិទីពីរនៃគណិតវិទូនៅទីក្រុងប៉ារីសក្នុងឆ្នាំ 1900 ។ បន្ទាប់មកបញ្ហាទាំងនេះ (គ្របដណ្តប់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា ពិជគណិត ទ្រឹស្តី ... ... វិគីភីឌា
អត្ថបទនេះត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ការលុប។ ការពន្យល់អំពីហេតុផល និងការពិភាក្សាដែលត្រូវគ្នាអាចរកបាននៅលើទំព័រ Wikipedia៖ To be deleted / November 22, 2012. ខណៈដំណើរការពិភាក្សាគឺ... Wikipedia
បញ្ហារបស់ Hilbert គឺជាបញ្ជីនៃបញ្ហាសំខាន់ៗចំនួន 23 នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលបង្ហាញដោយ David Hilbert នៅក្នុងសមាជអន្តរជាតិទីពីរនៃគណិតវិទូនៅទីក្រុងប៉ារីសក្នុងឆ្នាំ 1900 ។ បន្ទាប់មកបញ្ហាទាំងនេះ (គ្របដណ្តប់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា ពិជគណិត ទ្រឹស្តីលេខ ... ... វិគីភីឌា
IN និយមន័យបុរាណ ទ្រឹស្តីពិជគណិត(ជួនកាលគេហៅថាទ្រឹស្តីពិជគណិត) ដែលសិក្សាអំពីពិជគណិត។ កន្សោម (ពហុនាម អនុគមន៍សនិទាន ឬបន្សំរបស់វា) ដែលផ្លាស់ប្តូរតាមវិធីជាក់លាក់មួយសម្រាប់លីនេអ៊ែរមិន degenerate ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
ក្នុងទ្រឹស្តី ប្រព័ន្ធថាមវន្តនិងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល វដ្ដដែនកំណត់នៃវាលវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ ឬជាទូទៅនៅលើ manifold ពីរវិមាត្រគឺជាគន្លងបិទ (តាមកាលកំណត់) នៃវាលវ៉ិចទ័រនេះ នៅក្នុង ... ... វិគីភីឌា
តក្កវិជ្ជា- ឡូជីក (មកពីភាសាក្រិកឡូជីក (ឡូហ្គោ) ពាក្យហេតុផលហេតុផល) វិទ្យាសាស្ត្រនៃហេតុផលត្រឹមត្រូវ (ត្រឹមត្រូវ) ។ តាមទម្លាប់ ការវែកញែកមានលំដាប់នៃប្រយោគ ហៅថា បរិវេណ ដែលប្រយោគតែមួយធ្វើតាម ...... សព្វវចនាធិប្បាយវិទ្យាសាស្ត្រ និងទស្សនវិជ្ជាវិទ្យាសាស្ត្រ
ទ្រឹស្ដីលេខ គឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សានៃចំនួនធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ដែលជារឿយៗពាក់ព័ន្ធនឹងវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និងសាខាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។ ទ្រឹស្ដីលេខមានបញ្ហាជាច្រើន ... ... វិគីភីឌា
សាខានៃទស្សនវិជ្ជាដែលសិក្សាពីធម្មជាតិនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា និងបញ្ហាវិចារណវិទ្យានៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា។ ទស្សនវិជ្ជា បញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាអាចចែកចេញជាពីរក្រុមធំៗ៖ ontological និង epistemological ។ តួអក្សរអរូបី ...... សព្វវចនាធិប្បាយទស្សនវិជ្ជា
- (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Wolstenholme របស់អង់គ្លេស) ចែងថាសម្រាប់ចំនួនបឋមណាមួយ ការប្រៀបធៀបត្រូវបានធ្វើឡើងដែលជាកន្លែងដែលមេគុណ binomial មធ្យម។ ការប្រៀបធៀបសមមូលមិនស្គាល់ លេខផ្សំ, ពេញចិត្តទ្រឹស្តីបទ Wolstenhall ... វិគីភីឌា
សៀវភៅ
- ទ្រឹស្តីវិភាគនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ សៀវភៅទី 1 Ilyashenko Yu.S.. សៀវភៅដែលបានស្នើឡើងគឺជាភាគដំបូងនៃសៀវភៅកត់ត្រាពីរភាគដែលឧទ្ទិសដល់ទ្រឹស្តីវិភាគនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ផ្នែកដំបូងនៃភាគនេះកំណត់ទ្រឹស្តីផ្លូវការ និងការវិភាគ...
PREFACE
ការប្រមូលផ្ដុំដែលផ្តល់ជូនដល់ការចាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកអានមានអត្ថបទនៃរបាយការណ៍ដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Hilbert "បញ្ហាគណិតវិទ្យា" ដែលត្រូវបានបកប្រែជាភាសារុស្សីជាលើកដំបូង ដែលត្រូវបានចែកចាយនៅសមាជអន្តរជាតិនៃគណិតវិទូលើកទី 2 ដែលបានធ្វើឡើងនៅទីក្រុងប៉ារីសពីថ្ងៃទី 6 ដល់ថ្ងៃទី 12 ខែសីហា ឆ្នាំ 1900។មនុស្ស 226 នាក់បានចូលរួមក្នុងសមាជៈ 90 នាក់មកពីប្រទេសបារាំង 25 នាក់មកពីប្រទេសអាឡឺម៉ង់ 17 នាក់មកពីសហរដ្ឋអាមេរិក 15 នាក់មកពីប្រទេសអ៊ីតាលី 13 នាក់មកពីបែលហ្ស៊ិក 9 នាក់មកពីប្រទេសរុស្ស៊ី 8 នាក់មកពីអូទ្រីសនិងស្វីស 7 នាក់មកពីប្រទេសអង់គ្លេសនិងស៊ុយអែត 4 ។ មកពីប្រទេសដាណឺម៉ាក ៣នាក់មកពីហូឡង់ អេស្ប៉ាញ និងរូម៉ានី ២នាក់មកពីស៊ែប៊ី និងព័រទុយហ្គាល់ ៤រូបមកពីអាមេរិកខាងត្បូង តួកគី ក្រិក ន័រវេស កាណាដា ជប៉ុន និងម៉ិកស៊ិកបានបញ្ជូនប្រតិភូម្នាក់មក។
ភាសាសំខាន់ៗនៃសភាគឺភាសាអង់គ្លេស បារាំង អាឡឺម៉ង់ និងអ៊ីតាលី។
Henri Poincaré ត្រូវបានជ្រើសរើសជាប្រធានសភា លោក Charles Hermite (1822 - 1901) ដែលអវត្តមានត្រូវបានជ្រើសរើសជាប្រធានកិត្តិយស E. Chuber (Vienna), K. Geyser (Zurich), P. Gordan (Erlangen), A. Greenhill (ទីក្រុងឡុងដ៍) ត្រូវបានជ្រើសរើសជាអនុប្រធាន។ , L. Lindelof (Helsingfors), F. Lindemann (Munich), G. Mittag-Leffler (Stockholm), អវត្តមាន E. Moore (Chicago), M.A. Tikhomandritsky (Kharkov), V. Volterra (Turin), G. Zeiten (Copenhagen), លេខាធិការនៃសភា - I. Bendikson (Stockholm), A. Capelli (Naples), G. Minkowski (Zurich), I. L. Ptashitsky (St. Petersburg) និងអវត្តមាន A. Whitehead (Cambridge) ។
E. Duporcq (ប៉ារីស) ត្រូវបានជ្រើសរើសជាអគ្គលេខាធិការនៃសភា។
មាន ៦ ផ្នែក៖ ១) នព្វន្ធ និងពិជគណិត (ប្រធាន D. Hilbert, លេខា E. Cartan)
ផ្នែកទី 5 និងទី 6 អង្គុយជាមួយគ្នា។នៅថ្ងៃបើកមហាសន្និបាត កិច្ចប្រជុំទូទៅរបាយការណ៍រយៈពេលពីរម៉ោងបានកើតឡើង៖ M. Cantor “ស្តីពីប្រវត្តិរូបវិទ្យានៃគណិតវិទ្យា” ដែលគាត់បានពិនិត្យឡើងវិញនូវស្នាដៃស្តីពីប្រវត្តិគណិតវិទ្យា ដោយចាប់ផ្តើមពី J. Montucl និង G. Libri និង V. Volterra អំពី សកម្មភាពវិទ្យាសាស្ត្រ E. Betti, F. Brioschi, និង F. Casorati ។
បន្ទាប់មកវគ្គបំបែកបានចាប់ផ្តើម ដែលរបាយការណ៍ចំនួន 46 ត្រូវបានធ្វើឡើង រួមទាំងដោយ L. Dixon, G. Mittag-Leffler, D. Gilbert, J. Hadamard, A. Capelli, I. Fredholm, I. Bendixson, V. Volterra និងអ្នកដទៃទៀត។ .
គណិតវិទ្យារុស្ស៊ីត្រូវបានតំណាងនៅសភាដោយសារតែមួយពី M.A. Tikhomandritsky "នៅលើការបាត់មុខងារ នអថេរជាច្រើន"។
នៅក្នុងកិច្ចប្រជុំទូទៅចុងក្រោយ G. Mittag-Leffler បាននិយាយដែលបាននិយាយអំពី ឆ្នាំថ្មីៗនេះជីវិតរបស់ Weierstrass យោងទៅតាមសំបុត្ររបស់គាត់ទៅ S.V. Kovalevskaya និង A. Poincaré ដែលបានធ្វើរបាយការណ៍ "ស្តីពីតួនាទីនៃវិចារណញាណនិងតក្កវិជ្ជាក្នុងគណិតវិទ្យា" ។
នេះជារបៀបដែលសភាបានប្រព្រឹត្តទៅ ដែលនៅថ្ងៃទី 8 ខែសីហា ក្នុងកិច្ចប្រជុំរួមនៃផ្នែកទី 5 និងទី 6 លោក D. Hilbert បានអានរបាយការណ៍របស់គាត់ "បញ្ហាគណិតវិទ្យា" ។
ដូចដែល D. Sintsov* សរសេរ "សាររបស់ Hilbert បណ្តាលឱ្យមានមតិយោបល់ជាច្រើនពីអ្នកដែលមានវត្តមាន ដែលបង្ហាញថាបញ្ហាមួយចំនួនដែលបានរាយបញ្ជីដោយ Hilbert ត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកដោយពួកគេ"**។ នៅពេលនោះ Hilbert សាស្រ្តាចារ្យអាយុ 38 ឆ្នាំនៅ Göttingen ត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ការងាររបស់គាត់លើទ្រឹស្តីនៃ invariants និងទ្រឹស្តី។ លេខពិជគណិត. នៅឆ្នាំ 1899 "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ" ដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ត្រូវបានបោះពុម្ពដែលបង្កើតជាយុគសម័យនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ ភាពប៉ិនប្រសប់ដ៏អស្ចារ្យ និងអំណាចទូទៅនៃទេពកោសល្យរបស់ Gilbert បានអនុញ្ញាតឱ្យគាត់រុករកបានយ៉ាងងាយស្រួល តំបន់ផ្សេងៗគណិតវិទ្យា ដែលស្ទើរតែទាំងអស់គាត់ទទួលបានលទ្ធផលល្អ និងបានដោះស្រាយបញ្ហាសំខាន់ៗមួយចំនួន។
* D. M. Sintsov, សមាជគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិលើកទីពីរ, រូបវិទ្យា-គណិតវិទ្យា។ វិទ្យាសាស្រ្ត (2) 1, លេខ 5 (1901), 129-137 ។
** ប្រហែលជាចំនួននៃបញ្ហានៅក្នុងអត្ថបទដើមនៃរបាយការណ៍មានលើសពីម្ភៃបី។
បញ្ហាដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនេះបើយោងតាមលោក Hilbert គឺ "ការសិក្សាដែលអាចជំរុញឱ្យមានការវិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃវិទ្យាសាស្ត្រ"នេះជាអ្វីដែលគាត់បានស្នើដល់គណិតវិទូនៅក្នុងរបាយការណ៍របស់គាត់។ ពីរភាគបីនៃសតវត្សបានកន្លងផុតទៅតាំងពីពេលនោះមក។ បញ្ហារបស់ Hilbert នៅតែពាក់ព័ន្ធពេញមួយរយៈពេលនេះ ការខិតខំប្រឹងប្រែងត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីដោះស្រាយពួកគេ។ គណិតវិទូដែលមានទេពកោសល្យបំផុត។. ការអភិវឌ្ឍន៍នៃគំនិតទាក់ទងនឹងខ្លឹមសារនៃបញ្ហាទាំងនេះបានបង្កើតជាផ្នែកសំខាន់នៃគណិតវិទ្យាក្នុងសតវត្សទី 20 ។
ការបកប្រែនៃផ្នែកសំខាន់នៃរបាយការណ៍ (មិនរាប់បញ្ចូលអត្ថបទនៃបញ្ហាទី 15 និងទី 23 និងការសន្និដ្ឋាន) ត្រូវបានអនុវត្តដោយ M. G. Shestopal ពីអត្ថបទដែលបានបោះពុម្ពនៅក្នុង Gottinger Nachrichten (1900, 253-297) និងពិនិត្យដោយ I. N. Bronstein និង I. M Yaglom ដែលបានធ្វើវិសោធនកម្មវិចារណកថាមួយចំនួន និងផ្លាស់ប្តូរវា។ អត្ថបទនៃបញ្ហាទី 15 និងទី 23 ក៏ដូចជាផ្នែកចុងក្រោយនៃរបាយការណ៍ត្រូវបានបកប្រែដោយ A.V. Dorofeeva ។ ការបកប្រែរួមបញ្ចូលទាំងការបន្ថែមដែលធ្វើឡើងដោយ Hilbert សម្រាប់ការបោះពុម្ភរបាយការណ៍ដែលដាក់ក្នុងភាគទីបីនៃការងារប្រមូលរបស់គាត់ (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935) - នៅក្នុងអត្ថបទដែលពួកគេត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ការបកប្រែត្រូវបានពិនិត្យជាមួយ ការបកប្រែភាសាអង់គ្លេស(Bull. Amer. Math. Soc. 8, No. 10 (1902), 403-479) ផងដែរជាមួយនឹងការបកប្រែដែលបានធ្វើឡើងនៅក្នុងការិយាល័យនៃប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យានិងមេកានិចនៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូដោយ A.V. Dorofeeva និង M. V. Chirikov * .
* ការបកប្រែនេះបានបម្រើការជាការចាប់ផ្តើមនៃការងារលើការវិភាគប្រវត្តិសាស្រ្ត និងគណិតវិទ្យានៃបញ្ហារបស់ Hilbert ដែលធ្វើឡើងនៅក្នុងការិយាល័យប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យា និងមេកានិចនៃសាកលវិទ្យាល័យ Moscow State ក្រោមការណែនាំរបស់សាស្រ្តាចារ្យ។ K.A. Rybnikova ។
ការលំបាកដែលគេស្គាល់គឺការបកប្រែពាក្យគណិតវិទ្យាចាស់ៗមួយចំនួន។ ក្នុងករណីខ្លះពាក្យអាល្លឺម៉ង់ត្រូវបានដាក់ក្នុងវង់ក្រចកនៅជាប់នឹងការបកប្រែ ហើយក្នុងករណីមួយពាក្យ (Polarenprocess) ត្រូវបានទុកចោលដោយគ្មានការបកប្រែ។ អ្នកបកប្រែបានខិតខំប្រឹងប្រែងដើម្បីបង្ហាញដល់អ្នកអានជនជាតិរុស្សីនូវភាពប្លែកពីគេ ជួនកាលសូម្បីតែភាសាដ៏គួរឱ្យអាណិតនៃរបាយការណ៍របស់ Hilbert ។ អ្នកនិពន្ធនៃបញ្ហាបានយល់ស្របដោយសប្បុរសដើម្បីពិនិត្យមើលការបកប្រែនៃបញ្ហាពាក់ព័ន្ធនិងធ្វើការកែតម្រូវសំខាន់ៗមួយចំនួន។
វាយតម្លៃសារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យដែលរបាយការណ៍របស់ Hilbert បានលេងសម្រាប់គណិតវិទ្យាក្នុងសតវត្សទី 20 ។ យើងសង្ឃឹមថានឹងអនុញ្ញាតឱ្យមានមតិយោបល់លើបញ្ហាដែលបង្កើតជាផ្នែកទីពីរនៃការប្រមូល។ ការបង្កើតអត្ថាធិប្បាយបែបនេះដែលមានទិដ្ឋភាពទូទៅនៃលទ្ធផលសំខាន់ៗដែលសម្រេចបានក្នុងទិសដៅនៃការដោះស្រាយបញ្ហារបស់ Hilbert ត្រូវបានអនុវត្តរួចហើយដោយអ្នកនិពន្ធម្នាក់ៗ * ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការងារប្រភេទនេះ ដោយមានការចូលរួមពីអ្នកឯកទេសល្បីឈ្មោះនៅក្នុងផ្នែកពាក់ព័ន្ធនៃគណិតវិទ្យាកំពុងត្រូវបានអនុវត្ត ដូចដែលយើងដឹងជាលើកដំបូង។
* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische Probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; S.S. Demidov,អំពីប្រវត្តិនៃបញ្ហារបស់ហ៊ីលប៊ឺត។ IMI, វ៉ុល។ 17, "វិទ្យាសាស្រ្ត", 1967, 91-121 ។
ការបោះពុម្ភសៀវភៅនេះត្រូវបានសម្របសម្រួលយ៉ាងខ្លាំងដោយការយកចិត្តទុកដាក់និងជំនួយពីមនុស្សជាច្រើនដែលក្នុងនោះចាំបាច់ត្រូវកត់សម្គាល់អ្នកចូលរួមសិក្ខាសាលាស្តីពីប្រវត្តិគណិតវិទ្យានិងមេកានិចនៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូជាពិសេសអ្នកដឹកនាំសាស្រ្តាចារ្យ I.G. Bashmakov, K.A. Rybnikova, A.P. Yushkevich, ចុង S.A. Yanovskaya ក៏ដូចជាបុគ្គលិកនៃវិទ្យាស្ថានគណិតវិទ្យាដាក់ឈ្មោះតាម V.A. បណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រ Steklov នៃសហភាពសូវៀត A.N. Parshin ដែលដំបូន្មាន និងជំនួយរបស់គាត់បានជួយកែលម្អការបោះពុម្ពផ្សាយ។
S. S. Demidov
ពាក្យពីរបីអំពីបញ្ហារបស់ HILBERT
នៅឯសមាជគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិនៅទីក្រុងប៉ារីសក្នុងឆ្នាំ 1900 គណិតវិទូជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ដ៏ឆ្នើម David Hilbert បានផ្តល់បទបង្ហាញមួយដែលមានចំណងជើងថា "បញ្ហាគណិតវិទ្យា" ។ បន្ទាប់មក របាយការណ៍នេះត្រូវបានបោះពុម្ពផ្សាយជាច្រើនដងនៅក្នុងច្បាប់ដើម និងនៅក្នុងការបកប្រែ *; ការបោះពុម្ពចុងក្រោយបំផុតនៃប្រភពដើមត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងភាគទី 3 នៃស្នាដៃដែលប្រមូលបានរបស់ Gilbert ** ។* បោះពុម្ពលើកដំបូងនៅក្នុង Arcbiv f ។ គណិតវិទ្យា។ u Phys., ill series, 1 (1901), 44-63, 213-237 ។
** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, vol. Ill, 1935, 290-329 ។
ការបកប្រែជាភាសារុស្សីនៃរបាយការណ៍របស់ Gilbert ត្រូវបានបោះពុម្ពនៅលើទំព័រខាងក្រោម។
មិនថាមុនរបាយការណ៍ឆ្នាំ 1900 របស់ Hilbert ឬបន្ទាប់ពីរបាយការណ៍នេះទេ គណិតវិទូ តាមដែលខ្ញុំដឹង ចេញមុខមកជាមួយ របាយការណ៍វិទ្យាសាស្ត្រ, គ្របដណ្តប់បញ្ហានៃគណិតវិទ្យាជាទូទៅ * ។ ដូច្នេះ របាយការណ៍របស់ Hilbert ប្រែទៅជាបាតុភូតតែមួយគត់នៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យា និងនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យា។ ហើយឥឡូវនេះ ជិត 70 ឆ្នាំបន្ទាប់ពី Hilbert បានផ្តល់របាយការណ៍របស់គាត់ វារក្សាចំណាប់អារម្មណ៍ និងសារៈសំខាន់របស់វា។
* របាយការណ៍របស់គណិតវិទូជនជាតិអាមេរិក J. von Neumann នៅឯសមាជគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិនៅទីក្រុង Amsterdam ក្នុងឆ្នាំ 1954 មិនមែនជាការបដិសេធចំពោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះទេ៖ វាជាការពិតដែលរបាយការណ៍របស់ von Neumann ត្រូវបានគេហៅថា "Unsolved Problems in Mathematics" ប៉ុន្តែវាគ្មិនបានចាប់ផ្តើមរបាយការណ៍របស់គាត់ ជាមួយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយដែលថាគាត់នឹងពិចារណាការធ្វើត្រាប់តាមឆ្កួត Hilbert និយាយអំពីបញ្ហានៃគណិតវិទ្យាជាទូទៅ ប៉ុន្តែមានបំណងដាក់កម្រិតខ្លួនគាត់តែចំពោះបញ្ហានៅក្នុងផ្នែកខ្លះនៃគណិតវិទ្យា (ជាចម្បងនៅក្នុងតំបន់ជិតស្និទ្ធនឹងការវិភាគមុខងារ)។ របាយការណ៍របស់ Von Neumann មិនត្រូវបានបោះពុម្ពទេ - រឿងតែមួយគត់ដែលត្រូវបានបោះពុម្ពអំពីវានៅក្នុង Proceedings of the Amsterdam Congress គឺថាសាត្រាស្លឹករឹតនៃរបាយការណ៍នេះមិនមានសម្រាប់អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយទេ។ ជាក់ស្តែងវាមិនមានទេ។ ដូច្នេះ របាយការណ៍នេះបច្ចុប្បន្នអាចត្រូវបានវិនិច្ឆ័យដោយការចងចាំរបស់អ្នកដែលបានស្តាប់ប៉ុណ្ណោះ។
Hilbert មានឥទ្ធិពលពិសេសលើការអភិវឌ្ឍន៍ទាំងមូលនៃគណិតវិទ្យាទំនើប ដែលគ្របដណ្តប់ស្ទើរតែគ្រប់ផ្នែកនៃគំនិតគណិតវិទ្យា។ នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថា Hilbert គឺជាគណិតវិទូម្នាក់ដែលអំណាចនៃការគិតគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សំជាមួយនឹងភាពធំទូលាយនិងភាពប៉ិនប្រសប់ដ៏កម្រ។ ភាពអាចបត់បែនបាននេះគឺពិតជាដឹងខ្លួន៖ Hilbert សង្កត់ធ្ងន់ជានិច្ចថាគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្រួបបង្រួម ដែលផ្នែកផ្សេងៗរបស់វាមានអន្តរកម្មថេរជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក និងជាមួយវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ ហើយនៅក្នុងអន្តរកម្មនេះមិនត្រឹមតែជាគន្លឹះនៃការយល់ដឹងអំពីខ្លឹមសារប៉ុណ្ណោះទេ។ ខ្លួនវាផ្ទាល់ គណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែផងដែរ។ មធ្យោបាយដោះស្រាយដ៏ល្អបំផុតប្រឆាំងនឹងការបំបែកគណិតវិទ្យាទៅជាផ្នែកដាច់ដោយឡែក ដែលមិនភ្ជាប់គ្នា - គ្រោះថ្នាក់ដែលនៅក្នុងពេលវេលារបស់យើងនៃកំណើនបរិមាណដ៏ធំសម្បើម និងឯកទេសដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចនៃការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា
ធ្វើឱ្យអ្នកគិតអំពីខ្លួនអ្នកជានិច្ច។ ជាមួយ កម្លាំងដ៏អស្ចារ្យហើយ Hilbert និយាយដោយការជឿជាក់ ជាពិសេសនៅចុងបញ្ចប់នៃរបាយការណ៍ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់របស់គាត់ អំពីលក្ខណៈរួមនៃគណិតវិទ្យា ដែលជាមូលដ្ឋាននៃចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិដ៏ត្រឹមត្រូវទាំងអស់។ ការជឿជាក់របស់គាត់ក្នុងរឿងនេះ បម្រើដល់វិសាលភាពធំដែលជាខ្សែណែនាំនៃរបាយការណ៍នេះទាំងមូល ហើយក្នុងករណីជាច្រើនបានដឹកនាំអ្នកនិពន្ធក្នុងការជ្រើសរើសបញ្ហាគណិតវិទ្យាដែលគាត់បានលើកឡើង។របាយការណ៍ចាប់ផ្តើមដោយគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ ខ្ញុំចង់និយាយផ្នែកណែនាំទូទៅដែលសរសេរដោយបំផុសគំនិត ដែលនិយាយមិនត្រឹមតែអំពីសារៈសំខាន់សម្រាប់គណិតវិទ្យានៃបញ្ហាពិសេស "ល្អ" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងធ្វើការវិនិច្ឆ័យអំពីភាពម៉ត់ចត់នៃគណិតវិទ្យា អំពីការតភ្ជាប់នៃគណិតវិទ្យាជាមួយ វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងអំពីរឿងផ្សេងទៀតដែលទាក់ទងនឹងគណិតវិទូគ្រប់រូបដែលគិតយ៉ាងសកម្មអំពីវិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់។ នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកណែនាំនេះ Hilbert ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងការជឿជាក់ បង្ហាញពីនិក្ខេបបទចម្បងរបស់គាត់ "axiom" នៃការសម្រេចចិត្តនៅក្នុង ក្នុងន័យទូលំទូលាយពាក្យនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាណាមួយគឺជានិក្ខេបបទ ខ្លឹមសារនៃទំនុកចិត្តយ៉ាងជ្រាលជ្រៅចំពោះថាមពលគ្មានដែនកំណត់នៃចំណេះដឹងរបស់មនុស្ស និងការតស៊ូដែលមិនអាចផ្សះផ្សាបានប្រឆាំងនឹងការមិនជឿទាំងអស់ - ប្រឆាំងនឹងភាពមិនសមហេតុផល។ "Ignorabimus" *ដូចដែល Gilbert និយាយនៅកន្លែងផ្សេង។
* "Ignorabimus"(lat ។ ) - "យើងនឹងមិនដឹងទេ"- មួយនៃ សុន្ទរកថាដ៏ល្បីល្បាញអ្នកជំនាញខាងសរីរវិទ្យា E. Dubois-Reymond បានបញ្ចប់ (ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះសំណួរវិទ្យាសាស្រ្តមិនច្បាស់លាស់មួយចំនួន) ជាមួយនឹងការឧទាន៖ "Ignoramus និង ignorabimus" - យើងមិនដឹងនិងមិនដឹង!
បញ្ហាបន្ទាប់មកដោយខ្លួនឯង។ ពួកគេចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រឹស្តីសំណុំ (បញ្ហាបន្ត) និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា បន្តទៅមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីនៃក្រុមបន្ត (បញ្ហាទីប្រាំដ៏ល្បីល្បាញអំពីការរំដោះនៃគំនិតនៃក្រុមបន្តពីតម្រូវការនៃភាពខុសប្លែកគ្នា) ទៅកាន់ទ្រឹស្តីលេខ ពិជគណិត និងធរណីមាត្រពិជគណិត និងបញ្ចប់ដោយការវិភាគ (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ជាពិសេសជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ការគណនានៃការប្រែប្រួល)។ កន្លែងពិសេសកាន់កាប់បញ្ហាទីប្រាំមួយ - អំពី axiomatics នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងមេកានិច។
ដោយធម្មជាតិរបស់ពួកគេ បញ្ហារបស់ Hilbert គឺខុសគ្នាខ្លាំង។ ពេលខ្លះនេះគឺជាសំណួរជាក់លាក់មួយ ដែលចម្លើយដែលមិនច្បាស់លាស់មួយត្រូវបានស្វែងរក - បាទ ឬទេ - ដូចជាឧទាហរណ៍ បញ្ហាធរណីមាត្រទីបី ឬបញ្ហាទីប្រាំពីរនព្វន្ធអំពីលេខឆ្លងដែន។ ពេលខ្លះបញ្ហាគឺមិនសូវច្បាស់ទេ ដូចជាឧទាហរណ៍នៅក្នុងបញ្ហាទីដប់ពីរ (Hilbert បានយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះវា សំខាន់) ដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកទាំងការទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Kronecker ខ្លួនវា និងថ្នាក់ដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ ដែលគួរតែជំនួសអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងម៉ូឌុល។
បញ្ហាទីដប់ប្រាំ គឺជាបញ្ហានៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីទាំងមូលនៃពូជពិជគណិត។
ពេលខ្លះបញ្ហានៅក្រោមលេខនេះពិតជាមានភាពខុសគ្នាជាច្រើន បើទោះបីជាបញ្ហាពាក់ព័ន្ធយ៉ាងជិតស្និទ្ធក៏ដោយ។ ជាចុងក្រោយ បញ្ហាទី 23 ជាបញ្ហានៃការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃការគណនាបំរែបំរួល។
ឥឡូវនេះជាច្រើនឆ្នាំបន្ទាប់ពីលោក Hilbert មានបញ្ហារបស់គាត់ យើងអាចនិយាយបានថាពួកគេត្រូវបានគេដាក់យ៉ាងល្អ។ ពួកវាបានក្លាយទៅជាវត្ថុស័ក្តិសមសម្រាប់ការផ្តោតការខិតខំប្រឹងប្រែងប្រកបដោយការច្នៃប្រឌិតរបស់គណិតវិទូនៃអ្នកផ្សេងៗគ្នា ទិសដៅវិទ្យាសាស្ត្រនិងសាលារៀន។ តើកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងទាំងនេះជាអ្វី និងលទ្ធផលអ្វីដែលពួកគេបាននាំទៅដល់ បញ្ហារបស់ Hilbert មួយណាត្រូវបានដោះស្រាយ ហើយដែលមិនទាន់មាន - អ្នកអានអាចស្វែងយល់អំពីបញ្ហានេះ ទោះបីជាមិនលម្អិតទាំងស្រុងក៏ដោយ ពីមតិយោបល់ទៅកាន់បញ្ហាទាំងនេះ។
ធម្មជាតិនៃមតិយោបល់ទាំងនេះគឺខុសគ្នាស្រឡះបន្តិច (ដែលភាគច្រើនកំណត់ដោយធម្មជាតិនៃបញ្ហាខ្លួនឯង) - ពួកគេខ្លះអាចយល់បានដោយអ្នកអានដែលស្គាល់គណិតវិទ្យានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពីរដំបូងគឺ មេកានិច - គណិតវិទ្យា ឬ រូបវិទ្យា - គណិតវិទ្យានៃមហាវិទ្យាល័យ។ ឬវិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យ ខណៈពេលដែលអ្នកផ្សេងទៀតត្រូវការវប្បធម៌គណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ខ្ញុំគិតថា ទោះក្នុងកាលៈទេសៈណាក៏ដោយ អ្នកអាននឹងដឹងគុណចំពោះអ្នកនិពន្ធនៃមតិយោបល់។
ដែលសម្របសម្រួលយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការស្គាល់ជាមួយនឹងការងារដ៏ឆ្នើមនៃអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យាទូទៅដែលជារបាយការណ៍របស់ Hilbert; លើសពីនេះ តាមការអត្ថាធិប្បាយមួយអាច ហាក់ដូចជាខ្ញុំយល់អំពីផលប៉ះពាល់នៃរបាយការណ៍នេះមានលើការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគណិតវិទ្យា។P.S. Alexandrov
តើនរណាក្នុងចំណោមពួកយើងដែលមិនចង់លើកស្បៃមុខដែលអនាគតរបស់យើងត្រូវបានលាក់ ដើម្បីជ្រាបចូលយ៉ាងហោចណាស់មួយក្រឡេកមើលទៅភាពជោគជ័យនាពេលខាងមុខនៃចំណេះដឹងរបស់យើង និងអាថ៌កំបាំងនៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់វានៅក្នុងសតវត្សខាងមុខ? តើអ្វីទៅជាគោលដៅពិសេសដែលគំនិតគណិតវិទ្យាឈានមុខគេជំនាន់ក្រោយនឹងកំណត់សម្រាប់ខ្លួនគេ? តើវិធីសាស្រ្តថ្មី និងការពិតថ្មីអ្វីខ្លះដែលនឹងត្រូវរកឃើញនៅក្នុងសតវត្សថ្មី លើវិស័យដ៏ធំទូលាយ និងសម្បូរបែបនៃគំនិតគណិតវិទ្យា?
ប្រវតិ្តសាស្រ្តបង្រៀនថា ការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រគឺបន្ត។ យើងដឹងថាគ្រប់សម័យកាលសុទ្ធតែមានបញ្ហារៀងៗខ្លួន ដែលយុគសម័យបន្តបន្ទាប់អាចដោះស្រាយ ឬរុញច្រានចោលដោយគ្មានផលផ្លែ ដើម្បីជំនួសពួកគេជាមួយនឹងរឿងថ្មី។ ដើម្បីស្រមៃមើលធម្មជាតិនៃការអភិវឌ្ឍន៍ ចំណេះដឹងគណិតវិទ្យានៅពេលអនាគតដ៏ខ្លី យើងត្រូវបើកការស្រមើលស្រមៃរបស់យើង នូវសំណួរដែលនៅតែបើកចំហ ស្ទង់មើលបញ្ហាដែលបង្កឡើង។ វិទ្យាសាស្ត្រទំនើបនិងដំណោះស្រាយដែលយើងរំពឹងពីអនាគត។ ការពិនិត្យឡើងវិញអំពីបញ្ហាបែបនេះហាក់ដូចជាខ្ញុំនៅថ្ងៃនេះ ដល់វេននៃសតវត្សថ្មី ដើម្បីឱ្យទាន់ពេលវេលា ជាពិសេស។ យ៉ាងណាមិញ កាលបរិច្ឆេទធំមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យយើងមើលទៅអតីតកាលប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងដឹកនាំគំនិតរបស់យើងទៅកាន់អនាគតដែលមិនស្គាល់ផងដែរ។
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបដិសេធនូវសារៈសំខាន់ដ៏ជ្រាលជ្រៅដែលបញ្ហាមួយចំនួនមានសម្រាប់ការរីកចម្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាជាទូទៅ និង តួនាទីសំខាន់ដែលពួកគេដើរតួក្នុងការងាររបស់អ្នកស្រាវជ្រាវបុគ្គល។ វិស័យវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយអាចដំណើរការបានដរាបណាវាមានបញ្ហាថ្មីៗច្រើន។ កង្វះនៃបញ្ហាថ្មីមានន័យថាក្រៀមស្វិតឬបញ្ចប់ ការអភិវឌ្ឍន៍ឯករាជ្យ. ដូចជាទូទៅរាល់ការខិតខំរបស់មនុស្សត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងគោលដៅមួយឬមួយទៀត ដូច្នេះការច្នៃប្រឌិតគណិតវិទ្យាត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបង្កើតបញ្ហា។ ភាពខ្លាំងរបស់អ្នកស្រាវជ្រាវត្រូវបានរៀនក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា៖ គាត់រកឃើញវិធីសាស្រ្តថ្មី ទស្សនៈថ្មី គាត់បើកការយល់ដឹងកាន់តែទូលំទូលាយ និងសេរីជាងមុន។
វាជាការលំបាក ហើយជារឿយៗមិនអាចទៅរួច ដើម្បីវាយតម្លៃឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវសារៈសំខាន់នៃកិច្ចការជាក់លាក់ណាមួយជាមុន។ ព្រោះនៅទីបំផុតតម្លៃរបស់វានឹងត្រូវបានកំណត់ដោយអត្ថប្រយោជន៍ដែលវានាំមកនូវវិទ្យាសាស្ត្រ។ នេះជាសំណួរ៖ តើមានលក្ខណៈទូទៅដែលកំណត់លក្ខណៈនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាល្អដែរឬទេ?
គណិតវិទូបារាំងចំណាស់ម្នាក់បាននិយាយថា៖ ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាអាចចាត់ទុកថាល្អឥតខ្ចោះបាន លុះត្រាតែអ្នកបានធ្វើឱ្យវាច្បាស់ ទើបអ្នកពន្យល់ខ្លឹមសាររបស់វាទៅកាន់មនុស្សដំបូងដែលអ្នកជួប។" ដាក់ឱ្យកាន់តែច្បាស់ទាក់ទងនឹងបញ្ហាគណិតវិទ្យា ប្រសិនបើវាអះអាងថាល្អឥតខ្ចោះនោះ ភាពច្បាស់លាស់ និងភាពងាយស្រួលទាក់ទាញយើង ខណៈពេលដែលភាពស្មុគស្មាញ និងស្មុគ្រស្មាញរារាំងយើង។
បញ្ហាគណិតវិទ្យា បន្ថែមទៀត ត្រូវតែពិបាកទាក់ទាញយើង ហើយក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ មិនអាចចូលដំណើរការបានទាំងស្រុង ដើម្បីកុំឱ្យការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់យើងអស់សង្ឃឹម។ វាគួរតែជាសញ្ញាណែនាំមួយនៅលើផ្លូវច្របូកច្របល់ដែលនាំទៅរកសេចក្ដីពិតដែលលាក់កំបាំង។ ហើយនាងគួរតែផ្តល់រង្វាន់ដល់យើងដោយសេចក្តីរីករាយក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ។
គណិតវិទូនៃសតវត្សចុងក្រោយបានលះបង់ខ្លួនឯងដោយភាពខ្នះខ្នែងយ៉ាងក្លៀវក្លាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកនីមួយៗ។ ពួកគេបានដឹងពីតម្លៃនៃកិច្ចការដ៏លំបាកមួយ។ ខ្ញុំនឹងនឹកឃើញតែរឿងដែលថតដោយ Johann Bernoulli ប៉ុណ្ណោះ។ បញ្ហាអំពីបន្ទាត់នៃការដួលរលំលឿនបំផុត។លោក Bernoulli និយាយថា៖ «ដូចជាបទពិសោធន៍បង្ហាញថាគ្មានអ្វីដែលជំរុញចិត្តខ្ពស់ឲ្យធ្វើការលើការពង្រឹងចំណេះដឹងជាការបង្កើតនូវការលំបាកនិងក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះទេ។ កិច្ចការដែលមានប្រយោជន៍“ដូច្នេះហើយ គាត់សង្ឃឹមថានឹងទទួលបានការដឹងគុណ ពិភពគណិតវិទ្យាប្រសិនបើគាត់ធ្វើតាមគំរូរបស់បុរសដូចជា Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani និងអ្នកផ្សេងទៀតដែល (ពីមុនគាត់) បានធ្វើដូចគ្នានោះ ស្នើបញ្ហាទៅអ្នកវិភាគឆ្នើមនៅសម័យរបស់គាត់ ដើម្បីអោយពួកគេអាចសាកល្បងវាជាថ្មគោល។ គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តរបស់អ្នក និងវាស់វែងភាពខ្លាំងរបស់អ្នក។ ការគណនានៃបំរែបំរួលជំពាក់ប្រភពដើមរបស់វាចំពោះបញ្ហា Bernoulli និងបញ្ហាស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀត។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Fermat គឺថាសមីការ Diophantine
x n + y n = z n
មិនអាចសម្រេចបានក្នុងចំនួនគត់ x, y, z,រារាំងការលើកលែងជាក់ស្តែងមួយចំនួន។ បញ្ហានៃការបង្ហាញពីភាពមិនអាចសម្រេចចិត្តបាន។ផ្តល់នូវឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃឥទ្ធិពលរំញោចពិសេសមួយ ហើយនៅ glance ដំបូង បញ្ហាមិនសំខាន់អាចមានលើវិទ្យាសាស្រ្ត។ ដោយបានជំរុញដោយបញ្ហារបស់ Fermat Kummer បានមកដល់ការណែនាំនៃលេខដ៏ល្អ និងការរកឃើញនៃទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបំបែកលេខតែមួយគត់នៅក្នុងវាល cyclotomic ទៅជាឧត្តមគតិ។ កត្តាចម្បង- ទ្រឹស្តីបទដែលអរគុណចំពោះការទូទៅចំពោះដែនលេខពិជគណិតដែលទទួលបានដោយ Dedekind និង Kronecker ឥឡូវនេះគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ ទ្រឹស្តីទំនើបលេខ និងសារៈសំខាន់របស់វាលើសពីទ្រឹស្តីលេខទៅក្នុងវាលពិជគណិត និងទ្រឹស្តីមុខងារ។
ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីបញ្ហាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត - បញ្ហារាងកាយបី។ការពិតដែលថា Poincaré បានធ្វើការពិចារណាថ្មីមួយ និងបានរីកចម្រើនយ៉ាងខ្លាំង កិច្ចការលំបាកនាំទៅរកវិធីសាស្រ្តប្រកបដោយផ្លែផ្កា និងគោលការណ៍ដ៏ទូលំទូលាយដែលណែនាំដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទាំងនេះចូលទៅក្នុងមេកានិចសេឡេស្ទាល វិធីសាស្រ្ត និងគោលការណ៍ដែលឥឡូវនេះត្រូវបានទទួលស្គាល់ និងអនុវត្តផងដែរនៅក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រជាក់ស្តែង។
បញ្ហាទាំងពីរដែលបានរៀបរាប់ - បញ្ហារបស់ Fermat និងបញ្ហារាងកាយបី - គឺនៅក្នុងស្តុកនៃបញ្ហារបស់យើងដូចជាប្រសិនបើបង្គោលផ្ទុយគ្នា: ទីមួយតំណាងឱ្យសមិទ្ធិផលដោយឥតគិតថ្លៃ ហេតុផលសុទ្ធជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទ្រឹស្តីលេខអរូបី ទីពីរត្រូវបានដាក់ចេញដោយតារាសាស្ត្រ និងចាំបាច់សម្រាប់ចំណេះដឹងអំពីបាតុភូតមូលដ្ឋានសាមញ្ញបំផុតនៃធម្មជាតិ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជារឿយៗវាកើតឡើងដូចគ្នា។ បញ្ហាពិសេសលេចឡើងនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងគ្នានៃគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះ បញ្ហាបន្ទាត់ខ្លីបំផុត។ដើរតួនាទីជាប្រវត្តិសាស្ត្រ និងជាមូលដ្ឋានដ៏សំខាន់ក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ ក្នុងទ្រឹស្ដីនៃខ្សែកោង និងផ្ទៃ ក្នុងមេកានិច និងក្នុងការគណនាបំរែបំរួល។ ហើយដូចដែល F. Klein បង្ហាញយ៉ាងជឿជាក់នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់នៅលើ icosahedron *, បញ្ហាអំពី polyhedra ធម្មតា។មានសារៈសំខាន់ក្នុងពេលតែមួយសម្រាប់ ធរណីមាត្របឋម, ទ្រឹស្តីក្រុម , ទ្រឹស្តីពិជគណិត និងទ្រឹស្តីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ !
* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipzig, 1884.- ចំណាំ ed ។
ដើម្បីបញ្ជាក់ពីសារៈសំខាន់ បញ្ហាបុគ្គលខ្ញុំក៏នឹងអនុញ្ញាតឱ្យខ្លួនខ្ញុំសំដៅទៅលើ Weierstrass ដែលបានចាត់ទុកថាវាជាជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យសម្រាប់ខ្លួនគាត់ដែលការរួមបញ្ចូលគ្នានៃកាលៈទេសៈបានអនុញ្ញាតឱ្យគាត់ដោះស្រាយបញ្ហាដ៏សំខាន់បែបនេះនៅដើមដំបូងនៃអាជីពវិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់ ដូចជាបញ្ហា Jacobi លើការបញ្ច្រាសនៃអាំងតេក្រាលរាងអេលីប។
បន្ទាប់ពីយើងបានពិចារណា អត្ថន័យទូទៅបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយើងងាកទៅរកសំណួរថា តើគណិតវិទ្យាទាញបញ្ហារបស់វាមកពីប្រភពណា? គ្មានការងឿងឆ្ងល់ទេដែលបញ្ហាដំបូង និងចំណាស់ជាងគេនៃចំណេះដឹងផ្នែកគណិតវិទ្យានីមួយៗបានកើតចេញពីបទពិសោធន៍ ហើយត្រូវបានបង្ហាញដល់យើងដោយពិភពនៃបាតុភូតខាងក្រៅ។ សូម្បីតែច្បាប់សម្រាប់ការរាប់ជាមួយចំនួនគត់ក៏ត្រូវបានរកឃើញនៅដំណាក់កាលដំបូងនៅតាមផ្លូវនេះ។ ការអភិវឌ្ឍន៍វប្បធម៌នៃមនុស្សជាតិ ដូចពេលនេះ កុមាររៀនអនុវត្តច្បាប់ទាំងនេះ វិធីសាស្រ្តជាក់ស្តែង. ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះបញ្ហាដំបូងនៃធរណីមាត្រ - បញ្ហានៃការបង្កើនគូបទ្វេដងការបំបែករង្វង់ដែលបានមករកយើងតាំងពីបុរាណកាលក៏ដូចជា បញ្ហាចាស់បំផុត។ទ្រឹស្តីនៃសមីការលេខ ទ្រឹស្តីនៃខ្សែកោង ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល ការគណនានៃការប្រែប្រួល ទ្រឹស្តីនៃស៊េរី Fourier និងទ្រឹស្តីសក្តានុពល មិនមែននិយាយអំពីទ្រព្យសម្បត្តិទាំងមូលនៃបញ្ហានៅក្នុងមេកានិចត្រឹមត្រូវ តារាសាស្ត្រ និងរូបវិទ្យា។
ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតនៃវិន័យគណិតវិទ្យាណាមួយ ចិត្តរបស់មនុស្សដែលត្រូវបានលើកទឹកចិត្តដោយជោគជ័យ បង្ហាញពីឯករាជ្យភាពរួចទៅហើយ។ ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បង្កើតបញ្ហាថ្មី និងជាផ្លែផ្កា ដែលជារឿយៗគ្មានឥទ្ធិពលគួរឱ្យកត់សម្គាល់ ពិភពខាងក្រៅដោយមានជំនួយពីការប្រៀបធៀបតក្កវិជ្ជា ការធ្វើទូទៅ ឯកទេស ការបែងចែកជោគជ័យ និងការដាក់ជាក្រុមនៃគោលគំនិត ហើយបន្ទាប់មកគាត់ផ្ទាល់មកជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីបញ្ហា។ នេះជារបៀបដែលពួកគេក្រោកឡើង បញ្ហាលេខបឋមនិងបញ្ហាផ្សេងទៀតនៃនព្វន្ធ ទ្រឹស្ដី Galois ទ្រឹស្ដីនៃអថេរពិជគណិត ទ្រឹស្ដីនៃមុខងារ Abelian និង automorphic ហើយដូច្នេះស្ទើរតែកើតឡើងជាទូទៅ។ រាល់សំណួរដ៏កម្រនៃទ្រឹស្តីលេខទំនើប និងទ្រឹស្តីមុខងារ។
ទន្ទឹមនឹងនេះក្នុងអំឡុងពេលធ្វើសកម្មភាព អំណាចច្នៃប្រឌិតការគិតដ៏បរិសុទ្ធ ពិភពលោកខាងក្រៅទទូចម្តងទៀតនូវសិទ្ធិរបស់វា៖ វាដាក់សំណួរថ្មីៗមកលើយើងជាមួយនឹងការពិតរបស់វា ហើយបើកទូលាយដល់យើងនូវផ្នែកថ្មីៗនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅក្នុងដំណើរការនៃការនាំយកចំណេះដឹងថ្មីទាំងនេះចូលទៅក្នុងពិភពនៃគំនិតសុទ្ធសាធ យើងតែងតែស្វែងរកចម្លើយចំពោះបញ្ហាចាស់ដែលមិនទាន់បានដោះស្រាយ ហើយតាមវិធីនេះ ល្អបំផុតជំរុញទ្រឹស្តីចាស់។ នៅលើការលេងដដែលៗ និងផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នេះ រវាងការគិត និងបទពិសោធន៍ វាហាក់បីដូចជាខ្ញុំផ្អែកលើភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ ហើយដែលហាក់ដូចជាមានភាពចុះសម្រុងគ្នាជាមុន ដែលគណិតវិទូបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងបញ្ហា វិធីសាស្រ្ត និងគំនិតនៃវិស័យចំណេះដឹងផ្សេងៗ។
ចូរយើងនិយាយដោយសង្ខេបអំពីសំណួរនៃអ្វីដែលអាចជាតម្រូវការទូទៅដែលយើងមានសិទ្ធិក្នុងការបង្ហាញដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យា។ ខ្ញុំមានន័យថាជាដំបូងនៃតម្រូវការទាំងអស់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយដោយប្រើ ចំនួនកំណត់ការសន្និដ្ឋាន និងលើសពីនេះទៅទៀត ដោយផ្អែកលើចំនួនកំណត់នៃបរិវេណដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃកិច្ចការនីមួយៗ ហើយដែលត្រូវតែបង្កើតយ៉ាងជាក់លាក់នៅក្នុងករណីនីមួយៗ។ តម្រូវការនៃការកាត់ចេញឡូជីខលនេះ ដោយមានជំនួយពីការសន្និដ្ឋានចំនួនកំណត់គឺគ្មានអ្វីក្រៅពីតម្រូវការសម្រាប់ភាពម៉ត់ចត់នៃភស្តុតាងនោះទេ។ ប្រាកដណាស់ តម្រូវការនៃភាពម៉ត់ចត់ ដែលបានក្លាយជាសុភាសិតក្នុងគណិតវិទ្យារួចហើយ ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្រូវការទស្សនវិជ្ជាទូទៅនៃចិត្តរបស់យើង។ ម៉្យាងវិញទៀត មានតែការបំពេញតម្រូវការនេះទេ ដែលនាំទៅដល់ការកំណត់អត្តសញ្ញាណពេញលេញនៃខ្លឹមសារនៃកិច្ចការ និងផលផ្លែរបស់វា។ កិច្ចការថ្មី ជាពិសេសប្រសិនបើវាត្រូវបាននាំមកជីវិតដោយបាតុភូតនៃពិភពខាងក្រៅ គឺដូចជាពន្លកវ័យក្មេងដែលអាចដុះលូតលាស់ និងបង្កើតផលបានលុះត្រាតែមានការប្រុងប្រយ័ត្ន និងស្របតាមច្បាប់ដ៏តឹងរឹងនៃសិល្បៈនៃការថែសួនដែលចិញ្ចឹមនៅលើដើមចាស់។ - មូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏រឹងមាំនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យារបស់យើង។
នឹង កំហុសដ៏ធំគិតក្នុងពេលតែមួយថា ភាពម៉ត់ចត់ក្នុងភស្តុតាង គឺជាសត្រូវនៃភាពសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ជាច្រើនបញ្ចុះបញ្ចូលយើងពីភាពផ្ទុយគ្នា៖ វិធីសាស្ត្រតឹងរ៉ឹងក្នុងពេលតែមួយគឺសាមញ្ញបំផុត និងអាចចូលប្រើបានច្រើនបំផុត។ បំណងប្រាថ្នាសម្រាប់ភាពម៉ត់ចត់នាំឱ្យមានការស្វែងរកភស្តុតាងដ៏សាមញ្ញបំផុត។ បំណងប្រាថ្នាដូចគ្នានេះច្រើនតែត្រួសត្រាយផ្លូវទៅកាន់វិធីសាស្ត្រដែលបង្ហាញផ្លែផ្កាច្រើនជាងវិធីសាស្ត្រចាស់ និងមិនសូវតឹងរ៉ឹង។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីនៃខ្សែកោងពិជគណិត, អរគុណច្រើន វិធីសាស្រ្តតឹងរ៉ឹងទ្រឹស្ដីនៃមុខងារនៃអថេរដ៏ស្មុគស្មាញមួយ និងការប្រើប្រាស់ដ៏សក្តិសមនៃមធ្យោបាយឆ្លងដែនត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងទទួលបានភាពសុចរិតកាន់តែច្រើន។ លើសពីនេះ ភស្តុតាងនៃភាពស្របច្បាប់នៃការអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធបឋមចំនួនបួនទៅស៊េរីថាមពល ក៏ដូចជាភាពខុសគ្នាតាមកាលកំណត់ និងការរួមបញ្ចូលនៃស៊េរីទាំងនេះ និងការទទួលស្គាល់នៃស៊េរីថាមពលដោយផ្អែកលើវា [ជាឧបករណ៍សម្រាប់ការវិភាគគណិតវិទ្យា - P.A. ], ដោយមិនសង្ស័យបានធ្វើឱ្យការវិភាគទាំងមូលមានភាពសាមញ្ញ ជាពិសេសទ្រឹស្តីនៃការដកចេញ និងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (រួមជាមួយនឹងទ្រឹស្តីបទអត្ថិភាពរបស់វា)។
ប៉ុន្តែឧទាហរណ៍ដ៏គួរឲ្យចាប់អារម្មណ៍មួយដែលបង្ហាញពីចំណុចរបស់ខ្ញុំគឺការគណនានៃការប្រែប្រួល។ ការសិក្សាលើបំរែបំរួលទីមួយ និងទីពីរនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់បាននាំឱ្យមានការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញបំផុត ហើយការសិក្សាដែលត្រូវគ្នារបស់គណិតវិទូចាស់ៗខ្វះភាពម៉ត់ចត់ចាំបាច់។ Weierstrass បានបង្ហាញយើងនូវផ្លូវទៅកាន់គ្រឹះថ្មី និងអាចទុកចិត្តបានទាំងស្រុងសម្រាប់ការគណនានៃការប្រែប្រួល។ ដោយប្រើឧទាហរណ៍សាមញ្ញនិង អាំងតេក្រាលទ្វេខ្ញុំនឹងរៀបរាប់ដោយសង្ខេបនៅចុងបញ្ចប់នៃរបាយការណ៍របស់ខ្ញុំអំពីរបៀបដែលការដើរតាមផ្លូវនេះនាំឱ្យក្នុងពេលដំណាលគ្នាទៅនឹងភាពសាមញ្ញដ៏អស្ចារ្យនៃការគណនាបំរែបំរួលដោយសារតែការពិតដែលថា ដើម្បីបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អតិបរមា និងអប្បបរមា ការគណនានៃ បំរែបំរួលទីពីរក្លាយទៅជាមិនចាំបាច់ ហើយសូម្បីតែផ្នែកខ្លះអាចលុបបំបាត់តម្រូវការសម្រាប់ការសន្និដ្ឋានគួរឱ្យធុញទ្រាន់ដែលទាក់ទងនឹងការប្រែប្រួលទីមួយ។ ខ្ញុំមិនបាននិយាយសូម្បីតែអំពីគុណសម្បត្តិដែលកើតឡើងពីការពិតដែលថាមិនចាំបាច់ពិចារណាតែការប្រែប្រួលទាំងនោះដែលតម្លៃនៃដេរីវេនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរមិនសំខាន់។
បង្ហាញជូន ដំណោះស្រាយពេញលេញបញ្ហានៃតម្រូវការនៃភាពម៉ត់ចត់ក្នុងភ័ស្តុតាង ខ្ញុំចង់បដិសេធមតិដែលថាការវែកញែកយ៉ាងម៉ត់ចត់ទាំងស្រុងគឺអាចអនុវត្តបានតែចំពោះគំនិតនៃការវិភាគ ឬសូម្បីតែលេខនព្វន្ធតែម្នាក់ឯងប៉ុណ្ណោះ។ ខ្ញុំចាត់ទុកមតិនេះ ដែលពេលខ្លះគាំទ្រដោយគំនិតឆ្នើម ថាមិនពិតទាំងស្រុង។ ការបកស្រាយតែម្ខាងបែបនេះនៃតម្រូវការនៃភាពម៉ត់ចត់យ៉ាងឆាប់រហ័សនាំឱ្យមានការមិនអើពើនឹងគំនិតទាំងអស់ដែលកើតចេញពីធរណីមាត្រ មេកានិច រូបវិទ្យា និងបញ្ឈប់លំហូរនៃ [ទៅគណិតវិទ្យា - P.A. ] សម្ភារៈថ្មីពីពិភពខាងក្រៅ ហើយនៅទីបញ្ចប់ សូម្បីតែនាំទៅដល់ការបដិសេធនៃគោលគំនិតនៃការបន្ត និងចំនួនមិនសមហេតុផល។ តើមានសរសៃប្រសាទសំខាន់ជាងសរសៃប្រសាទដែលនឹងត្រូវកាត់ចេញពីគណិតវិទ្យាទេ ប្រសិនបើធរណីមាត្រ និងរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យាត្រូវបានដកចេញពីវា? ផ្ទុយទៅវិញ ខ្ញុំជឿថា នៅពេលណាដែលគំនិតគណិតវិទ្យាមានប្រភពចេញពីទ្រឹស្តីនៃចំណេះដឹង ឬនៅក្នុងធរណីមាត្រ ឬនៅក្នុងទ្រឹស្ដីវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ គណិតវិទ្យាត្រូវប្រឈមមុខជាមួយនឹងភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកគោលការណ៍ដែលនៅក្រោមគំនិតទាំងនេះ ដូច្នេះហើយការបញ្ជាក់អំពីគោលគំនិតទាំងនេះដោយជំនួយពី ប្រព័ន្ធពេញលេញ និងសាមញ្ញនៃ axioms ដូច្នេះភាពតឹងរ៉ឹងនៃគំនិតថ្មី និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេចំពោះការកាត់គឺមិនទាបជាងគោលគំនិតនព្វន្ធចាស់នោះទេ។
គំនិតថ្មីក៏រួមបញ្ចូលការរចនាថ្មីផងដែរ។ យើងជ្រើសរើសពួកគេតាមរបៀបដែលពួកវាស្រដៀងនឹងបាតុភូតដែលបានបម្រើជាហេតុផលសម្រាប់ការបង្កើតគំនិតទាំងនេះ។ ដូច្នេះ តួលេខធរណីមាត្រ គឺជារូបភាពសម្រាប់រំលឹកឡើងវិញនូវគំនិតនៃលំហ ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយគណិតវិទូទាំងអស់។ អ្នកណាមិនភ្ជាប់ជាមួយវិសមភាពពីរ a>b>cរវាងបរិមាណបី ក, ខ, គ,រូបភាពនៃបីនៃទីតាំង rectilinearly និង មិត្តបន្ទាប់នៅពីក្រោយចំនុចនីមួយៗជាការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃគំនិត "រវាង"? តើអ្នកណាដែលមិនប្រើរូបភាពនៃផ្នែក និងចតុកោណកែងដែលដាក់នៅក្នុងគ្នា ប្រសិនបើគេត្រូវអនុវត្តភស្តុតាងពេញលេញ និងម៉ត់ចត់នៃទ្រឹស្តីបទពិបាកលើការបន្តនៃមុខងារ ឬអត្ថិភាពនៃចំណុចកំណត់នោះ? តើអ្នកណាអាចធ្វើដោយគ្មានរូបត្រីកោណ រង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាល ឬដោយគ្មានអ័ក្សកាត់កែងគ្នាទាំងបី? ឬអ្នកដែលចង់បោះបង់ចោលរូបភាពនៃវាលវ៉ិចទ័រ ឬក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោង ឬផ្ទៃជាមួយស្រោមសំបុត្ររបស់ពួកគេ - គំនិតដែលដើរតួយ៉ាងសំខាន់បែបនេះនៅក្នុងធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការគណនាបំរែបំរួល និងនៅក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធផ្សេងទៀតនៃចំណេះដឹង?
សញ្ញានព្វន្ធត្រូវបានសរសេរជាតួលេខធរណីមាត្រ ហើយតួលេខធរណីមាត្រត្រូវបានគូរតាមរូបមន្ត ហើយគ្មានគណិតវិទូណាអាចធ្វើដោយគ្មានរូបមន្តគូរទាំងនេះបានទេ ដូចជាគាត់មិនអាចបដិសេធក្នុងការដាក់តង្កៀប ឬបើកវា ឬប្រើសញ្ញាវិភាគផ្សេងទៀតនៅពេលគណនា។
ការប្រើប្រាស់តួលេខធរណីមាត្រជាមធ្យោបាយយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់នៃភស្តុតាងសន្មត់ទុកជាមុន ចំណេះដឹងពិតប្រាកដនិងជំនាញពេញលេញនៃ axioms ទាំងនោះដែលស្ថិតនៅក្រោមទ្រឹស្តីនៃតួលេខទាំងនេះ ហើយដូច្នេះដើម្បីឱ្យតួលេខធរណីមាត្រទាំងនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងរតនាគារទូទៅនៃសញ្ញាគណិតវិទ្យា ការសិក្សា axiomatic ដ៏តឹងរឹងនៃមាតិកាដែលមើលឃើញរបស់ពួកគេគឺជាការចាំបាច់។
ដូចពេលដែលបន្ថែមលេខពីរ អ្នកមិនអាចចុះហត្ថលេខាលើខ្ទង់នៃពាក្យក្នុងលំដាប់ខុស ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែអនុវត្តតាមច្បាប់យ៉ាងតឹងរឹង ពោលគឺ axioms នៃនព្វន្ធដែលគ្រប់គ្រងប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ ដូច្នេះប្រតិបត្តិការលើរូបភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់ដោយ axioms ទាំងនោះដែលស្ថិតនៅក្រោមធរណីមាត្រ។ គំនិត និងទំនាក់ទំនងរវាងពួកគេ។
ភាពស្រដៀងគ្នារវាងការគិតធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធក៏បង្ហាញឱ្យឃើញផងដែរនៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុងការសិក្សានព្វន្ធ យើងគ្រាន់តែជាការពិចារណាធរណីមាត្រតិចតួចប៉ុណ្ណោះ តាមដានខ្សែសង្វាក់នៃហេតុផលឡូជីខលរហូតដល់ទីបញ្ចប់ ត្រង់ចុះទៅ axioms ។ ផ្ទុយទៅវិញ ជាពិសេសនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តដំបូងចំពោះបញ្ហាមួយ ក្នុងនព្វន្ធ ដូចនៅក្នុងធរណីមាត្រដែរ ទីមួយ យើងប្រើបណ្តុំមួយចំនួន សន្លប់ មិនមែនជាការរួមបញ្ចូលគ្នាច្បាស់លាស់ទាំងស្រុង ដោយផ្អែកលើការជឿទុកចិត្តលើសភាវគតិនព្វន្ធមួយចំនួន ក្នុងប្រសិទ្ធភាពនៃសញ្ញានព្វន្ធ - បើគ្មានយើងមិនអាចឈានទៅមុខក្នុងនព្វន្ធដូចដែលយើងមិនអាចឈានទៅមុខក្នុងធរណីមាត្រដោយមិនពឹងផ្អែកលើអំណាចនៃការស្រមើលស្រមៃធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃទ្រឹស្តីនព្វន្ធដែលដំណើរការក្នុងលក្ខណៈតឹងរឹងជាមួយ គំនិតធរណីមាត្រនិងសញ្ញា * អាចបម្រើជាការងាររបស់ Minkowski "ធរណីមាត្រនៃលេខ" ** ។
** Leipzig, 1896 ។
ចូរយើងធ្វើការកត់សម្គាល់ពីរបីបន្ថែមទៀតអំពីការលំបាកដែលបញ្ហាគណិតវិទ្យាអាចបង្ហាញ និងអំពីការយកឈ្នះលើការលំបាកទាំងនេះ។
ប្រសិនបើយើងបរាជ័យក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យា ហេតុផលសម្រាប់បញ្ហានេះគឺជាញឹកញាប់ថាយើងមិនទាន់ទទួលបានទស្សនៈទូទៅគ្រប់គ្រាន់ ដែលបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាហាក់ដូចជាគ្រាន់តែជាតំណភ្ជាប់ដាច់ដោយឡែកនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នៃបញ្ហាពាក់ព័ន្ធប៉ុណ្ណោះ។ ដោយបានរកឃើញទស្សនៈនេះ ជាញឹកញាប់យើងមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យកាន់តែអាចចូលដំណើរការបានក្នុងការស្រាវជ្រាវប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងធ្វើជាម្ចាស់លើវិធីសាស្រ្តដែលអនុវត្តចំពោះបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធផងដែរ។ ឧទាហរណ៍រួមមានការរួមបញ្ចូលតាមបណ្តោយផ្លូវ curvilinear ដែលណែនាំដោយ Cauchy ទៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងការបង្កើត Kummer នៃគំនិតនៃឧត្តមគតិក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។ វិធីនៃការស្វែងរកវិធីសាស្រ្តទូទៅនេះគឺងាយស្រួលបំផុត និងអាចទុកចិត្តបាន ពីព្រោះប្រសិនបើនរណាម្នាក់កំពុងស្វែងរកវិធីសាស្រ្តទូទៅដោយមិនមានកិច្ចការជាក់លាក់ណាមួយនៅក្នុងចិត្ត នោះការស្វែងរកទាំងនេះភាគច្រើនគឺឥតប្រយោជន៍។
នៅក្នុងការសិក្សាអំពីបញ្ហាគណិតវិទ្យា ឯកទេសដើរតួរ ខ្ញុំជឿថា មានតួនាទីសំខាន់ជាងការធ្វើទូទៅទៅទៀត។ វាអាចទៅរួចដែលថាក្នុងករណីភាគច្រើននៅពេលដែលយើងស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរដោយឥតប្រយោជន៍ ហេតុផលសម្រាប់ការបរាជ័យរបស់យើងគឺថាបញ្ហាសាមញ្ញ និងងាយស្រួលជាងបញ្ហានេះមិនទាន់ត្រូវបានដោះស្រាយ ឬមិនទាន់ត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុង។ បន្ទាប់មកចំណុចទាំងមូលគឺត្រូវស្វែងរកបញ្ហាដែលងាយស្រួលជាងទាំងនោះ ហើយអនុវត្តដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេដោយមធ្យោបាយទំនើបបំផុត ដោយមានជំនួយពីគំនិតដែលអាចនិយាយបានជាទូទៅ។ ច្បាប់នេះគឺជាគន្លឹះដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតមួយសម្រាប់ការយកឈ្នះលើការលំបាកផ្នែកគណិតវិទ្យា ហើយវាហាក់ដូចជាខ្ញុំថាក្នុងករណីភាគច្រើនវាត្រូវបានដាក់ឱ្យដំណើរការ ជួនកាលដោយមិនដឹងខ្លួន។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលយើងសម្រេចបាននូវចម្លើយជាមួយនឹងតម្រូវការជាមុនមិនគ្រប់គ្រាន់ ឬដើរក្នុងទិសដៅខុស ហើយជាលទ្ធផលយើងមិនបានសម្រេចគោលដៅ។ បន្ទាប់មកភារកិច្ចកើតឡើងនៃការបង្ហាញពីភាពមិនអាចដោះស្រាយបាននៃបញ្ហានេះនៅក្រោមបរិវេណដែលទទួលយកនិងទិសដៅដែលបានជ្រើសរើស។ ភស្តុតាងនៃភាពមិនអាចទៅរួចបែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយគណិតវិទូចាស់ៗ នៅពេលដែលពួកគេបានរកឃើញថាសមាមាត្រនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែង isosceles ទៅម្ខាងរបស់វាគឺ លេខមិនសមហេតុផល. នៅក្នុងគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប ភស្តុតាងនៃភាពមិនអាចទៅរួចនៃដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាមួយចំនួនលេង តួនាទីលេចធ្លោ; នៅទីនោះយើងបញ្ជាក់ថា ចាស់បែបនេះហើយ បញ្ហាលំបាកជាភស្តុតាងនៃ axiom នៃប៉ារ៉ាឡែល ដូចជាការការ៉េនៃរង្វង់មួយ ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទីប្រាំនៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ យើងនៅតែទទួលបានដំណោះស្រាយយ៉ាងម៉ត់ចត់ដែលបំពេញចិត្តយើងទាំងស្រុង ទោះបីជាក្នុងទិសដៅខុសគ្នាពីអ្វីដែលមានក៏ដោយ។ សន្មត់ដំបូង។
ការពិតដ៏អស្ចារ្យនេះ រួមជាមួយនឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះទស្សនវិជ្ជាផ្សេងទៀត បង្កើតឱ្យយើងនូវទំនុកចិត្ត ដែលត្រូវបានចែករំលែកដោយអ្នកគណិតវិទូគ្រប់រូប ប៉ុន្តែអ្វីដែលគ្មាននរណាម្នាក់បានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងភស្តុតាងនៅឡើយ - ទំនុកចិត្តថារាល់បញ្ហាគណិតវិទ្យាជាក់លាក់ត្រូវតែអាចចូលដំណើរការបាន ការសម្រេចចិត្តដ៏តឹងរឹង* ទាំងក្នុងន័យថាអាចទទួលបានចម្លើយចំពោះសំណួរដែលចោទសួរ ឬក្នុងន័យថាភាពមិនអាចដោះស្រាយបាន នឹងត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ ភាពជៀសមិនរួចនៃការបរាជ័យនៃការព្យាយាមទាំងអស់ដើម្បីដោះស្រាយវានឹងត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។
* យើងចាត់ទុកថាវាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ដែលជាការសម្រេចចិត្តយ៉ាងខ្លាំងសម្រាប់ទស្សនៈពិភពលោកវិទ្យាសាស្ត្រទាំងមូលរបស់ Hilbert នៅក្នុងដើម "...ស្លាប់ uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematatische Problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss" - ចំណាំ P.A.
តោះស្រមៃមើលខ្លះ បញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន។និយាយថាសំណួរនៃភាពមិនសមហេតុផលនៃថេរ ជាមួយ អយល័រ - Mascheroni ឬសំណួរនៃអត្ថិភាពនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃលេខបឋមនៃទម្រង់ 2ន + 1 . ទោះបីជាបញ្ហាទាំងនេះហាក់ដូចជាយើងមិនអាចចូលបានយ៉ាងណា ហើយទោះបីជាយើងគ្មានទីពឹងយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏យើងនៅតែមាន ជំនឿមុតមាំថាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេដោយមានជំនួយពីចំនួនកំណត់នៃការសន្និដ្ឋានឡូជីខលត្រូវតែនៅតែទទួលបានជោគជ័យ។
តើ axiom នៃភាពអាចដោះស្រាយបាននៃបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យនីមួយៗជាលក្ខណៈលក្ខណៈតែប៉ុណ្ណោះ ការគិតគណិតវិទ្យាឬប្រហែលជាមានច្បាប់ទូទៅមួយដែលទាក់ទងនឹងខ្លឹមសារខាងក្នុងនៃចិត្តរបស់យើង យោងទៅតាមសំណួរទាំងអស់ដែលវាចោទអាចដោះស្រាយបានដោយវា? យ៉ាងណាមិញ នៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃចំណេះដឹង មានបញ្ហាចាស់ៗដែលត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងគាប់ចិត្តបំផុត និងដើម្បីផលប្រយោជន៍ដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃវិទ្យាសាស្ត្រ ដោយបង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ខ្ញុំចាំពីបញ្ហា ចល័តជារៀងរហូត(ម៉ាស៊ីនចលនាជារៀងរហូត) * ។ បន្ទាប់ពីការព្យាយាមឥតប្រយោជន៍ក្នុងការរចនា ម៉ាស៊ីនចលនាអចិន្រ្តៃយ៍ផ្ទុយទៅវិញបានចាប់ផ្តើម ដើម្បីស្វែងយល់ពីទំនាក់ទំនងដែលត្រូវតែមានរវាងកម្លាំងនៃធម្មជាតិ ក្រោមការសន្មត់ថា ចល័តជារៀងរហូតមិនអាចទៅរួច។ ហើយការបង្កើតបញ្ហាបញ្ច្រាសនេះបាននាំឱ្យមានការរកឃើញនៃច្បាប់នៃការអភិរក្សថាមពល ដែលភាពមិនអាចទៅរួចដូចខាងក្រោម ចល័តជារៀងរហូតនៅក្នុងការយល់ដឹងដើមនៃអត្ថន័យរបស់វា។
ជំនឿលើភាពអាចដោះស្រាយបាននៃរាល់បញ្ហាគណិតវិទ្យាគឺជាជំនួយដ៏ល្អសម្រាប់យើងក្នុងការងាររបស់យើង។ យើងឮការហៅឥតឈប់ឈរនៅក្នុងខ្លួនយើង៖ នៅពេលមានបញ្ហា សូមស្វែងរកដំណោះស្រាយ។ អ្នកអាចរកឃើញវាតាមរយៈការគិតសុទ្ធ; សម្រាប់គណិតវិទ្យាមិនមាន Ignorabimus ទេ! **
* ថ្ងៃពុធ H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, របាយការណ៍នៅក្នុង Konigsberg, 1854 (ការបកប្រែជាភាសារុស្សី៖ "នៅលើអន្តរកម្មនៃកម្លាំងនៃធម្មជាតិ" នៅក្នុងបណ្តុំ G. Helmholtz, សុន្ទរកថាពេញនិយម, ed. 2, part 1 , សាំងពេទឺប៊ឺគ , ឆ្នាំ ១៨៩៨។ ចំណាំ ed ។ ).
** សូមមើលលេខយោង។ - ចំណាំ ed ។
មានបញ្ហារាប់មិនអស់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយនៅពេលដែលបញ្ហាមួយត្រូវបានដោះស្រាយ បញ្ហាថ្មីៗរាប់មិនអស់លេចឡើងដើម្បីជំនួសវា។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំនៅពេលអនាគត ដូចជាការធ្វើតេស្ត ដើម្បីដាក់ឈ្មោះបញ្ហាជាក់លាក់មួយចំនួនពីមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ បញ្ហាដែលការសិក្សាអាចជំរុញឱ្យមានការវិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។
ចូរយើងងាកទៅរកមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគ និងធរណីមាត្រ។ ព្រឹត្តិការណ៍សំខាន់ៗ និងសំខាន់បំផុតនៃសតវត្សចុងក្រោយនៅក្នុងវិស័យនេះគឺ វាហាក់ដូចជាខ្ញុំ ភាពស្ទាត់ជំនាញនព្វន្ធនៃគោលគំនិតនៃការបន្តនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Cauchy, Bolzano, Cantor និងការរកឃើញធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean ដោយ Gauss, Bolyai និង Lobachevsky ។ ដូច្នេះខ្ញុំទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះបញ្ហាមួយចំនួនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ទាំងនេះ។<...>
1. បញ្ហារបស់ Cantor អំពីអំណាចនៃការបន្ត<...>បញ្ហាដែលបានលើកឡើងគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែពួកគេគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាតើវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាសម្បូរបែប ចម្រុះ និងទូលំទូលាយប៉ុណ្ណា។ យើងប្រឈមមុខនឹងសំណួរថាតើគណិតវិទ្យានឹងធ្លាប់ជួបប្រទះនូវអ្វីដែលកំពុងកើតឡើងចំពោះវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតជាយូរណាស់មកហើយ ថាតើវានឹងមិនបំបែកទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រឯកជនដាច់ដោយឡែកទេ អ្នកតំណាងដែលស្ទើរតែមិនយល់គ្នាទៅវិញទៅមក និងការតភ្ជាប់រវាងអ្វីដែលនឹង ក្លាយជាតិចទៅៗ។2. ភាពស៊ីសង្វាក់នៃ axioms នព្វន្ធ
3. សមភាពនៃ tetrahedra ពីរដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នានិងកម្ពស់ស្មើគ្នា។
4. បញ្ហាអំពីវិធីផ្ទាល់ ការតភ្ជាប់ខ្លីបំផុត។ពីរពិន្ទុ។
5. គោលគំនិតនៃក្រុមបន្តនៃការផ្លាស់ប្តូរការកុហកដោយគ្មានការសន្មត់នៃភាពខុសប្លែកគ្នានៃមុខងារដែលកំណត់ក្រុម។
6. ការបង្ហាញគណិតវិទ្យានៃ axioms នៃរូបវិទ្យា។
7. ភាពមិនសមហេតុផល និងវិសាលភាពនៃលេខមួយចំនួន។
8. បញ្ហានៃលេខបឋម។
9. ភ័ស្តុតាងនៃច្បាប់ទូទៅបំផុតនៃការឆ្លើយឆ្លងនៅក្នុងវាលលេខណាមួយ។
10. បញ្ហានៃការរលាយនៃសមីការ Diophantine ។
11. រាងបួនជ្រុងជាមួយមេគុណលេខពិជគណិតតាមអំពើចិត្ត។
12. ផ្នែកបន្ថែមនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Kronecker នៅលើវាល Abelian ទៅជាដែនពិជគណិតតាមអំពើចិត្តនៃសនិទានភាព។
13. ភាពមិនអាចទៅរួចនៃការដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីប្រាំពីរទូទៅដោយប្រើមុខងារដែលអាស្រ័យតែលើអថេរពីរប៉ុណ្ណោះ។
14. ភស្តុតាងនៃការកំណត់មួយចំនួន ប្រព័ន្ធពេញលេញមុខងារ។
15. យុត្តិកម្មយ៉ាងតឹងរឹងនៃធរណីមាត្រគណនារបស់ Schubert ។
16. បញ្ហានៃ topology នៃខ្សែកោងពិជគណិត និងផ្ទៃ។
17. បទបង្ហាញ ទម្រង់ជាក់លាក់ជាផលបូកនៃការ៉េ។
18. ការសាងសង់លំហពី polyhedra congruent ។
19. តើដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាបំរែបំរួលធម្មតា ចាំបាច់មានការវិភាគដែរឬទេ?
20. បញ្ហាទូទៅលើលក្ខខណ្ឌព្រំដែន។
21. ភស្តុតាងនៃអត្ថិភាពនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងក្រុម monodromy ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
22. ឯកសណ្ឋាននៃភាពអាស្រ័យវិភាគដោយប្រើមុខងារ automorphic ។
23. ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តនៃការគណនានៃការប្រែប្រួល
ខ្ញុំមិនជឿលើវា ហើយខ្ញុំមិនចង់បានវា។ គណិតវិទ្យានៅក្នុងគំនិតរបស់ខ្ញុំ វាតំណាងឱ្យទាំងមូលដែលមិនអាចបំបែកបាន សរីរាង្គមួយ លទ្ធភាពជោគជ័យដែលត្រូវបានកំណត់ដោយការស៊ីគ្នានៃផ្នែករបស់វា។ ជាការពិតណាស់ ទោះបីជាមានភាពខុសគ្នាទាំងអស់នៅក្នុងសម្ភារៈគណិតវិទ្យា ជាពិសេសយើងនៅតែឃើញយ៉ាងច្បាស់អំពីអត្តសញ្ញាណនៃមធ្យោបាយជំនួយតក្កវិជ្ជា ភាពស្រដៀងគ្នានៃការបង្កើតគំនិតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទាំងមូល និងភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើននៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗរបស់វា។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាទ្រឹស្ដីគណិតវិទ្យាកាន់តែរីកចម្រើន រចនាសម្ព័ន្ធរបស់វាកាន់តែចុះសម្រុងគ្នា និងបង្រួបបង្រួមគ្នា ហើយទំនាក់ទំនងដែលមិនរំពឹងទុកនឹងបើកឡើងរវាងតំបន់ដែលបំបែកពីគ្នារហូតមកដល់ពេលនេះ។ វាកើតឡើងដូច្នេះថាជាមួយនឹងការពង្រីកគណិតវិទ្យា តួអក្សរបង្រួបបង្រួមរបស់វាមិនបាត់បង់ទេ ប៉ុន្តែកាន់តែមានភាពខុសប្លែកពីគេ។
ប៉ុន្តែ - យើងសួរ - ជាមួយនឹងការពង្រីកចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា តើវាមិនអាចទៅរួចសម្រាប់អ្នកស្រាវជ្រាវម្នាក់ៗដើម្បីគ្របដណ្តប់ផ្នែកទាំងអស់របស់វាទេ? តាមវិធីនៃចម្លើយខ្ញុំចង់សំដៅទៅលើការពិតដែលថាធម្មជាតិនៃវិទ្យាសាស្រ្តគណិតវិទ្យាគឺថារាល់ជោគជ័យពិតប្រាកដនៅក្នុងវាដើរទន្ទឹមគ្នាជាមួយនឹងការរកឃើញនៃជំនួយខ្លាំងជាង និងវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញដែលជួយសម្រួលដល់ការយល់ដឹងអំពីទ្រឹស្តីមុនៗ និងលុបបំបាត់ចោល។ ការលំបាកនៃហេតុផលចាស់; ដូច្នេះ អ្នកស្រាវជ្រាវបុគ្គល អរគុណចំពោះការពិតដែលថាគាត់នឹងពង្រឹងផ្ទៃក្នុងឱ្យកាន់តែរឹងមាំ ជំនួយនិងវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញជាងនេះ វានឹងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការរុករកផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យាជាជាងករណីសម្រាប់វិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។
ធម្មជាតិបង្រួបបង្រួមនៃគណិតវិទ្យាគឺដោយសារតែ ខាងក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តនេះ; យ៉ាងណាមិញ គណិតវិទ្យាគឺជាមូលដ្ឋាននៃវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដទាំងអស់។ ហើយដើម្បីបំពេញគោលបំណងដ៏ខ្ពង់ខ្ពស់នេះឲ្យបានល្អឥតខ្ចោះ សូមឲ្យវាអាចរកឃើញចៅហ្វាយនាយដ៏អស្ចារ្យ និងអ្នកចូលរួមជាច្រើននាក់ដែលកំពុងឆេះដោយការខ្នះខ្នែង *។
* នៅក្នុងពាក្យដើម ស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ "Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im inneren Wesen dieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung vollkommen erfulleim, za hlreiche in edlem Eifer ergluhende Jungerl" - ចំណាំ ed ។