ទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃសញ្ញាណនៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ទម្រង់ចតុកោណច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន

រាងបួនជ្រុង f(x 1, x 2,...,x n) នៃអថេរ n គឺជាផលបូក ដែលពាក្យនីមួយៗគឺជាការ៉េនៃអថេរមួយ ឬផលគុណនៃអថេរពីរផ្សេងគ្នា ដែលយកដោយមេគុណជាក់លាក់មួយ៖ f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji) ។

ម៉ាទ្រីស A ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ចតុកោណ។ វាតែងតែ ស៊ីមេទ្រីម៉ាទ្រីស (ឧទាហរណ៍ម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីអំពីអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ a ij = a ji) ។

នៅក្នុងសញ្ញាណម៉ាទ្រីស ទម្រង់បួនជ្រុងគឺ f(X) = X T AX ដែល

ជាការពិត

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរទម្រង់ quadratic ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ធាតុអង្កត់ទ្រូងរបស់វាគឺស្មើនឹងមេគុណនៃអថេរការ៉េ ហើយធាតុដែលនៅសល់គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នានៃទម្រង់ការ៉េ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែល

អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស-ជួរឈរនៃអថេរ X ត្រូវបានទទួលដោយការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate នៃម៉ាទ្រីស-ជួរឈរ Y, i.e. X = CY ដែល C ជាម៉ាទ្រីសមិនមែនឯកវចនៈនៃលំដាប់ទី។ បន្ទាប់មកទម្រង់ការ៉េ f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y ។

ដូច្នេះជាមួយនឹងការបំលែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate C ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់រាងចតុកោណមានទម្រង់៖ A * = C T AC ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកទម្រង់ការ៉េ f(y 1, y 2) ដែលទទួលបានពីទម្រង់រាងចតុកោណ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ដោយការបំលែងលីនេអ៊ែរ។

ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា Canonical(វាមាន ទិដ្ឋភាព Canonical) ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាទាំងអស់ ij = 0 សម្រាប់ i≠j ពោលគឺ f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = ។

ម៉ាទ្រីសរបស់វាគឺអង្កត់ទ្រូង។

ទ្រឹស្តីបទ(ភស្តុតាងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះ) ។ ទម្រង់បួនជ្រុងណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ដោយប្រើការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងនាំយកទម្រង់រាងចតុកោណកែង f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះ ដំបូងត្រូវជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញជាមួយអថេរ x ១៖

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 − x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3 ។

ឥឡូវនេះយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញជាមួយនឹងអថេរ x 2៖

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 – (1/20)x 3 2 ។

បន្ទាប់មកការបំប្លែងលីនេអ៊ែរមិន degenerate y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 និង y 3 = x 3 នាំទម្រង់ការ៉េនេះទៅទម្រង់ Canonical formf (y 1, y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

ចំណាំថាទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ (ទម្រង់ការ៉េដូចគ្នាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា 1) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់ Canonical ដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅមួយចំនួន។ ជាពិសេសចំនួននៃពាក្យដែលមានមេគុណវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) នៃទម្រង់បួនជ្រុងមិនអាស្រ័យលើវិធីសាស្រ្តនៃការកាត់បន្ថយទម្រង់ទៅជាទម្រង់នេះទេ (ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណានឹងមានមេគុណអវិជ្ជមានពីរ និងមួយវិជ្ជមានជានិច្ច)។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃនិចលភាពនៃទម្រង់បួនជ្រុង.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់វាដោយនាំយកទម្រង់បួនជ្រុងដូចគ្នាទៅជាទម្រង់ Canonical តាមរបៀបផ្សេង។ ចូរចាប់ផ្តើមការបំប្លែងដោយអថេរ x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 − 3x 2 2 – x 2 x 3 = −3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 − − 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + (((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 ដែល y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 និង y 3 = x 1 ។ នៅទីនេះមានមេគុណវិជ្ជមាន 2 សម្រាប់ y 3 និងមេគុណអវិជ្ជមានពីរ (-3) សម្រាប់ y 1 និង y 2 (ហើយដោយប្រើវិធីមួយផ្សេងទៀត យើងទទួលបានមេគុណវិជ្ជមាន 2 សម្រាប់ y 1 និងអវិជ្ជមានពីរ - (-5) សម្រាប់ y 2 និង (-1/20) សម្រាប់ y 3) ។

វាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ផងដែរថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា ចំណាត់ថ្នាក់នៃទម្រង់បួនជ្រុង, គឺស្មើនឹងចំនួននៃមេគុណ nonzero នៃទម្រង់ Canonical និងមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ។

ទម្រង់បួនជ្រុង f(X) ត្រូវបានគេហៅថា ជាវិជ្ជមាន(អវិជ្ជមាន)ជាក់លាក់ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែលមិនមែនសូន្យក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ វាជាវិជ្ជមាន ពោលគឺ f(X) > 0 (អវិជ្ជមាន ពោលគឺ f(X)< 0).

ឧទាហរណ៍ ទម្រង់រាងបួនជ្រុង f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 គឺជានិយមន័យវិជ្ជមាន ពីព្រោះ គឺជាផលបូកនៃការ៉េ ហើយទម្រង់ចតុកោណ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 គឺជានិយមន័យអវិជ្ជមាន ពីព្រោះ តំណាង វាអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ 2 (X) = -(x 1 − x 2) 2 ។

នៅក្នុងស្ថានភាពជាក់ស្តែងភាគច្រើន វាពិបាកបន្តិចក្នុងការកំណត់សញ្ញាច្បាស់លាស់នៃទម្រង់រាងបួនជ្រុង ដូច្នេះសម្រាប់រឿងនេះ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទមួយក្នុងចំណោមទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម (យើងនឹងបង្កើតវាដោយគ្មានភស្តុតាង)។

ទ្រឹស្តីបទ. ទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) កំណត់ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែតម្លៃ eigenvalues ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសរបស់វាគឺវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន)។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester). ទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានកំណត់ប្រសិនបើអនីតិជនឈានមុខគេទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់នេះគឺវិជ្ជមាន។

មេ (ជ្រុង) អនីតិជនម៉ាទ្រីសលំដាប់ k-th នៃលំដាប់ An-th ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលផ្សំឡើងដោយជួរ k ដំបូង និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A () ។

ចំណាំថាសម្រាប់អនីតិជនដែលកំណត់ជាអវិជ្ជមានបង្កើតជាសញ្ញានៃអនីតិជនចម្បងជំនួស ហើយអនីតិជនលំដាប់ទីមួយត្រូវតែអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលទម្រង់រាងការ៉េ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 សម្រាប់ការកំណត់សញ្ញា។

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 − 2- 3+ 2) – 4 = 2 − 5+ 2 = 0;D= 25– 8 = 17; . ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានច្បាស់លាស់។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A  1 =a 11 = 2 > 0. អនីតិជនចម្បងនៃលំដាប់ទីពីរ  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ការ៉េ ទម្រង់គឺវិជ្ជមាន។

យើងពិនិត្យមើលទម្រង់បួនជ្រុងផ្សេងទៀតសម្រាប់ការកំណត់សញ្ញា f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ។

វិធីសាស្រ្ត 1. ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង A = ។ សមីការលក្ខណៈនឹងមានទម្រង់ = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25– 8 = 17 ; . ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺអវិជ្ជមានកំណត់។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. ដូច្នេះ យោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ទម្រង់រាងចតុកោណគឺអវិជ្ជមានកំណត់ (សញ្ញានៃអនីតិជនសំខាន់ៗឆ្លាស់គ្នា ចាប់ផ្តើមដោយដក)។

ហើយជាឧទាហរណ៍មួយទៀត យើងពិនិត្យមើលទម្រង់រាងចតុកោណដែលកំណត់ដោយសញ្ញា f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ។

វិធីសាស្រ្ត 1. ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង A = ។ សមីការលក្ខណៈនឹងមានទម្រង់ = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (−6 − 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះគឺអវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺវិជ្ជមាន។ សញ្ញានៃ eigenvalues គឺខុសគ្នា។ ដូច្នេះ ទម្រង់រាងបួនជ្រុងអាចមិនច្បាស់ជាអវិជ្ជមាន ឬវិជ្ជមានឡើយ ឧ. ទម្រង់បួនជ្រុងនេះមិនមានសញ្ញាកំណត់ទេ (វាអាចយកតម្លៃនៃសញ្ញាណាមួយ)។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A  1 =a 11 = 2 > 0. មេអនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណានៃការកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ Canonical គឺងាយស្រួលប្រើនៅពេលដែលមេគុណមិនសូន្យត្រូវបានជួបប្រទះជាមួយការេនៃអថេរ។ ប្រសិនបើពួកគេមិននៅទីនោះ វានៅតែអាចអនុវត្តការបំប្លែងបាន ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវប្រើបច្ចេកទេសផ្សេងទៀតមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យ f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 − x 1 2 − x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 − x 1 2 − x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 − 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – – (x 1 – x 2) 2 – 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 – x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* * (x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 – x 2) 2 = f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 ដែល y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 − x 2 ។

រាងការ៉េ។
ចុះហត្ថលេខាលើនិយមន័យនៃទម្រង់។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester

គុណនាម "ចតុកោណ" ណែនាំភ្លាមៗថាអ្វីមួយនៅទីនេះត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយការ៉េ (ដឺក្រេទីពីរ) ហើយឆាប់ៗនេះយើងនឹងរកឃើញ "អ្វីមួយ" នេះហើយតើរូបរាងជាអ្វី។ វាបានប្រែក្លាយទៅជាអណ្តាតភ្លើង :)

សូមស្វាគមន៍មកកាន់មេរៀនថ្មីរបស់ខ្ញុំ ហើយជាការកក់ក្តៅភ្លាមៗ យើងនឹងពិនិត្យមើលរូបរាងឆ្នូត លីនេអ៊ែរ. ទម្រង់លីនេអ៊ែរ អថេរហៅ ដូចគ្នាពហុនាមដឺក្រេទី 1៖

- លេខជាក់លាក់មួយចំនួន * (យើងសន្មត់ថាយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺមិនមែនសូន្យ) a គឺជាអថេរដែលអាចយកតម្លៃតាមអំពើចិត្ត។

* នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃប្រធានបទនេះយើងនឹងពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ ចំនួនពិត .

យើងបានជួបប្រទះពាក្យ "ដូចគ្នា" រួចហើយនៅក្នុងមេរៀនអំពី ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរហើយក្នុងករណីនេះ វាបង្កប់ន័យថាពហុនាមមិនមានចំនួនថេរបូកទេ។

ឧទាហរណ៍: - ទម្រង់លីនេអ៊ែរនៃអថេរពីរ

ឥឡូវនេះរូបរាងគឺបួនជ្រុង។ រាងបួនជ្រុង អថេរហៅ ដូចគ្នាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 2, ពាក្យនីមួយៗមានទាំងការ៉េនៃអថេរ ឬ ទ្វេដងផលិតផលនៃអថេរ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ទម្រង់បួនជ្រុងនៃអថេរពីរមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

យកចិត្តទុកដាក់!នេះគឺជាការចូលស្ដង់ដារ ហើយមិនចាំបាច់ផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់អំពីវា! ទោះបីជារូបរាង "គួរឱ្យខ្លាច" ក៏ដោយក៏អ្វីៗទាំងអស់គឺសាមញ្ញនៅទីនេះ - សញ្ញារងពីរដងនៃសញ្ញាថេរដែលអថេរត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពាក្យណាមួយ:
- ពាក្យនេះមានផលិតផល និង (ការ៉េ);
- នេះគឺជាការងារ;
- ហើយនេះគឺជាការងារ។

- ភ្លាមៗខ្ញុំរំពឹងថានឹងមានកំហុសធ្ងន់ធ្ងរនៅពេលដែលពួកគេបាត់បង់ "ដក" នៃមេគុណ ដោយមិនយល់ថាវាសំដៅលើពាក្យមួយ៖

ពេលខ្លះមានជម្រើសរចនា "សាលា" នៅក្នុងស្មារតី ប៉ុន្តែពេលខ្លះប៉ុណ្ណោះ។ ដោយវិធីនេះ ចំណាំថាថេរមិនប្រាប់យើងអ្វីទាំងអស់នៅទីនេះ ហើយដូច្នេះវាកាន់តែពិបាកក្នុងការចងចាំ "សញ្ញាណងាយស្រួល" ។ ជាពិសេសនៅពេលដែលមានអថេរច្រើនទៀត។

ហើយទម្រង់បួនជ្រុងនៃអថេរបីមានពាក្យប្រាំមួយរួចហើយ៖

ហេតុអ្វីបានជាកត្តា “ពីរ” ដាក់ក្នុងពាក្យ “លាយឡំ”? នេះងាយស្រួល ហើយវានឹងកាន់តែច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជា

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរសរសេររូបមន្តទូទៅ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការសរសេរវានៅក្នុង "សន្លឹក"៖

- យើងសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវបន្ទាត់នីមួយៗ - មិនមានអ្វីខុសទេ!

ទម្រង់ quadratic មានពាក្យជាមួយការេនៃអថេរ និងលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងផលិតផលដែលបានផ្គូផ្គងរបស់ពួកគេ។ (សង់ទីម៉ែត។ រូបមន្តផ្សំផ្សំ) . គ្មានអ្វីទៀតទេ - គ្មាន "ឯកោ X" និងមិនមានបន្ថែមថេរ (បន្ទាប់មកអ្នកនឹងមិនទទួលបានទម្រង់បួនជ្រុងទេប៉ុន្តែ ខុសគ្នាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី ២) ។

សញ្ញាណម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង

អាស្រ័យលើតម្លៃ ទម្រង់ក្នុងសំណួរអាចទទួលយកបានទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ហើយអនុវត្តដូចគ្នាចំពោះទម្រង់លីនេអ៊ែរ - ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយរបស់វាខុសពីសូន្យ នោះវាអាចជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន (អាស្រ័យលើ តម្លៃ)។

ទម្រង់នេះត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាជំនួស. ហើយប្រសិនបើអ្វីៗទាំងអស់មានតម្លាភាពជាមួយនឹងទម្រង់លីនេអ៊ែរ នោះជាមួយនឹងទម្រង់រាងបួនជ្រុងគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះទៅទៀត៖

វាច្បាស់ណាស់ថាទម្រង់នេះអាចទទួលយកអត្ថន័យនៃសញ្ញាណាមួយដូច្នេះ ទម្រង់បួនជ្រុងក៏អាចឆ្លាស់គ្នាបានដែរ។.

វាប្រហែលជាមិនមែនជា៖

- ជានិច្ច លុះត្រាតែដំណាលគ្នាស្មើសូន្យ។

- សម្រាប់នរណាម្នាក់ វ៉ិចទ័រលើកលែងតែសូន្យ។

ហើយជាទូទៅនិយាយប្រសិនបើសម្រាប់នរណាម្នាក់ មិនមែនសូន្យវ៉ិចទ័រ , បន្ទាប់មកទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា និយមន័យវិជ្ជមាន; បើដូច្នេះមែន និយមន័យអវិជ្ជមាន.

ហើយអ្វីៗនឹងល្អ ប៉ុន្តែភាពច្បាស់លាស់នៃទម្រង់រាងបួនជ្រុងអាចមើលឃើញតែក្នុងឧទាហរណ៍សាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ ហើយការមើលឃើញនេះត្រូវបានបាត់បង់ ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិចក៏ដោយ៖
– ?

មនុស្សម្នាក់អាចសន្មតថាទម្រង់ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែតើនេះពិតជាដូច្នេះមែនឬ? ចុះប្រសិនបើមានតម្លៃដែលវាតិចជាងសូន្យ?

នៅទីនោះគឺជា ទ្រឹស្តីបទ៖ បើគ្រប់គ្នា eigenvaluesម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងគឺវិជ្ជមាន * បន្ទាប់មកវាច្បាស់ជាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើទាំងអស់អវិជ្ជមាន នោះអវិជ្ជមាន។

* វាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមទ្រឹស្ដីថា eigenvalues ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីពិតប្រាកដ ត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ខាងលើ៖
និងពី Eq ។ តោះរកនាង eigenvalues:

តោះដោះស្រាយរឿងចាស់ សមីការការ៉េ:

ដែលមានន័យថាទម្រង់ ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន, i.e. សម្រាប់តម្លៃណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ វាធំជាងសូន្យ។

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាហាក់ដូចជាដំណើរការ ប៉ុន្តែមានមួយធំ។ រួចហើយសម្រាប់ម៉ាទ្រីស 3 គុណនឹង 3 ការស្វែងរកលេខត្រឹមត្រូវគឺជាកិច្ចការដ៏វែងនិងមិនរីករាយ។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ អ្នកនឹងទទួលបានពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ជាមួយនឹងឫសមិនសមហេតុផល។

តើខ្ញុុំគួរធ្វើអ្វី? មានវិធីងាយស្រួលជាង!

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester

ទេ មិនមែន Sylvester Stallone ទេ :) ជាដំបូងខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថាវាជាអ្វី អនីតិជនជ្រុងម៉ាទ្រីស។ នេះ។ វគ្គជម្រុះ ដែល "ដុះ" ពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើរបស់វា៖

ហើយចុងក្រោយគឺពិតជាស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស។

ឥឡូវនេះ តាមពិតទៅ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ:

1) ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានកំណត់ ជាវិជ្ជមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែអនីតិជនជ្រុងទាំងអស់របស់វាធំជាងសូន្យ៖ .

2) ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានកំណត់ អវិជ្ជមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែអនីតិជនជ្រុងរបស់វាឆ្លាស់គ្នាជាសញ្ញា ដោយអនីតិជនទី 1 គឺតិចជាងសូន្យ៖ , , ប្រសិនបើ – គូ ឬ , ប្រសិនបើ – សេស។

ប្រសិនបើអនីតិជនមុំយ៉ាងហោចណាស់មួយមានសញ្ញាផ្ទុយ នោះទម្រង់ សញ្ញាជំនួស. ប្រសិនបើអនីតិជនជ្រុងមានសញ្ញា "ត្រឹមត្រូវ" ប៉ុន្តែមានលេខសូន្យក្នុងចំណោមពួកគេ នោះជាករណីពិសេស ដែលខ្ញុំនឹងពិនិត្យមើលបន្តិចក្រោយមក បន្ទាប់ពីយើងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍ទូទៅបន្ថែមទៀត។

ចូរយើងវិភាគអនីតិជនមុំនៃម៉ាទ្រីស :

ហើយនេះប្រាប់យើងភ្លាមៗថាទម្រង់មិនត្រូវបានកំណត់ជាអវិជ្ជមានទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ អនីតិជនជ្រុងទាំងអស់គឺធំជាងសូន្យ ដែលមានន័យថាទម្រង់ ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន។

តើមានភាពខុសគ្នាជាមួយវិធីសាស្ត្រ eigenvalue ដែរឬទេ? ;)

ចូរយើងសរសេរទម្រង់ម៉ាទ្រីសពី ឧទាហរណ៍ ១:

ទីមួយគឺជាអនីតិជនជ្រុងរបស់វា ហើយទីពីរ ពីដែលវាដូចខាងក្រោមថារូបរាងគឺឆ្លាស់គ្នានៅក្នុងសញ្ញា, i.e. អាស្រ័យលើតម្លៃ វាអាចយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះគឺជាក់ស្តែងរួចទៅហើយ។

ចូរយើងយកទម្រង់ និងម៉ាទ្រីសរបស់វាមក ឧទាហរណ៍ ២:

មិនមានវិធីដើម្បីដោះស្រាយរឿងនេះដោយគ្មានការយល់ដឹងទេ។ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester យើងមិនខ្វល់ទេ៖
ដូច្នេះ ទម្រង់គឺពិតជាមិនអវិជ្ជមានទេ។

ហើយច្បាស់ជាមិនវិជ្ជមានទេ។ (ចាប់តាំងពីអនីតិជនមុំទាំងអស់ត្រូវតែវិជ្ជមាន).

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រាងគឺឆ្លាស់គ្នា។

ឧទហរណ៍កំដៅឡើងសម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស៊ើបអង្កេតទម្រង់បួនជ្រុងសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃសញ្ញា

ក)

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺរលូន (សូមមើលចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន) ប៉ុន្តែការពិតដើម្បីបំពេញកិច្ចការបែបនេះ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។.

ចំណុចគឺថាមានករណី "គែម" ពោលគឺប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ មិនមែនសូន្យវ៉ិចទ័របន្ទាប់មករូបរាងត្រូវបានកំណត់ មិនអវិជ្ជមាន, ប្រសិនបើ - បន្ទាប់មក អវិជ្ជមាន. ទម្រង់ទាំងនេះមាន មិនមែនសូន្យវ៉ិចទ័រដែល .

នៅទីនេះអ្នកអាចដកស្រង់ "accordion" ខាងក្រោម:

ការបន្លិច ការ៉េល្អឥតខ្ចោះយើងឃើញភ្លាមៗ ភាពមិនអវិជ្ជមានទម្រង់៖ ហើយវាស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានកូអរដោនេស្មើគ្នា ឧទាហរណ៍៖ .

ឧទាហរណ៍ "កញ្ចក់" អវិជ្ជមានទម្រង់ជាក់លាក់មួយ៖

និងឧទាហរណ៍មិនសូវច្បាស់មួយទៀត៖
- នៅទីនេះទម្រង់គឺស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ ដែលជាលេខបំពាន។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ទម្រង់មិនអវិជ្ជមាន ឬមិនវិជ្ជមាន?

សម្រាប់បញ្ហានេះយើងត្រូវការគំនិត អនីតិជនសំខាន់ៗ ម៉ាទ្រីស។ អនីតិជនសំខាន់គឺជាអនីតិជនដែលមានធាតុផ្សំដែលឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលមានលេខដូចគ្នា។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសមានអនីតិជនសំខាន់ពីរនៃលំដាប់ទី 1:
(ធាតុស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទី 1 និងជួរទី 1);
(ធាតុស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទី 2 និងជួរទី 2)

និងអនីតិជនសំខាន់ម្នាក់នៃលំដាប់ទី២៖
- មានធាតុផ្សំនៃជួរទី១ ជួរទី២ និងជួរទី១ ជួរទី២។

ម៉ាទ្រីសគឺ "បីដោយបី" មានអនីតិជនសំខាន់ៗចំនួនប្រាំពីរ ហើយនៅទីនេះអ្នកនឹងត្រូវបត់បែន biceps របស់អ្នក:
-អនីតិជនចំនួន០៣នាក់ នៃដីកាទី១,
អនីតិជនលំដាប់ទី ២ ចំនួន ៣ នាក់៖
- សមាសភាពនៃជួរទី 1 ទី 2 និងជួរទី 1 ទី 2 ។
- សមាសភាពនៃជួរទី 1 ទី 3 និងជួរទី 1 ទី 3 ។
- សមាសភាពនៃជួរទី 2 ទី 3 និងជួរទី 2 ទី 3 ។
និងអនីតិជនលំដាប់ទី៣៖
- សមាសភាពនៃជួរទី 1 ទី 2 ទី 3 និងជួរទី 1 ទី 2 និងទី 3 ។
លំហាត់ប្រាណសម្រាប់ការយល់ដឹង៖ សរសេរអនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស .
យើងពិនិត្យមើលនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀនហើយបន្ត។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Schwarzenegger:

1) ទម្រង់ការ៉េមិនសូន្យ* បានកំណត់ មិនអវិជ្ជមានប្រសិនបើ និង លុះត្រាតែអនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់របស់វា។ មិនអវិជ្ជមាន(ធំជាង ឬស្មើសូន្យ)។

* ទម្រង់រាងបួនជ្រុងសូន្យ (degenerate) មានមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ.

2) ទម្រង់ការ៉េមិនសូន្យជាមួយម៉ាទ្រីសត្រូវបានកំណត់ អវិជ្ជមានប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ៖
- អនីតិជនសំខាន់ៗនៃលំដាប់ទី ១ មិនវិជ្ជមាន(តិចជាងឬស្មើសូន្យ);
- អនីតិជនសំខាន់ៗនៃលំដាប់ទី ២ មិនអវិជ្ជមាន;
- អនីតិជនសំខាន់ៗនៃលំដាប់ទី ៣ មិនវិជ្ជមាន(ការជំនួសបានចាប់ផ្តើម);
…
- អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី មិនវិជ្ជមានប្រសិនបើ - សេសឬ មិនអវិជ្ជមាន, ប្រសិនបើ - សូម្បីតែ។

ប្រសិនបើអនីតិជនយ៉ាងហោចណាស់មួយមានសញ្ញាផ្ទុយ នោះទម្រង់ជាសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា។

តោះមើលរបៀបដែលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដំណើរការក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ៖

តោះបង្កើតម៉ាទ្រីសរាង ហើយ ទីមួយចូរយើងគណនាអនីតិជនជ្រុង - ចុះបើវាត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន?

តម្លៃដែលទទួលបានមិនបំពេញតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ទេប៉ុន្តែអនីតិជនទីពីរ មិនអវិជ្ជមានហើយនេះធ្វើឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទី 2 (ក្នុងករណីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទី 2 នឹងមិនត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិទេ ពោលគឺការសន្និដ្ឋានត្រូវបានទាញភ្លាមៗអំពីការជំនួសសញ្ញានៃទម្រង់).

អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ១៖
- វិជ្ជមាន,
អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ២៖
- មិនអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះអនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់មិនមានលក្ខណៈអវិជ្ជមានទេដែលមានន័យថាទម្រង់ មិនអវិជ្ជមាន.

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសរាង ដែលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester ច្បាស់ជាមិនពេញចិត្ត។ ប៉ុន្តែយើងក៏មិនបានទទួលសញ្ញាផ្ទុយគ្នាដែរ (ព្រោះអនីតិជនជ្រុងទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ)។ ដូច្នេះ យើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យមិនអវិជ្ជមាន/មិនវិជ្ជមាន។ អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ១៖
- មិនវិជ្ជមាន
អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ២៖
- មិនអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Schwarzenegger (ចំណុច 2) ទម្រង់មិនត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមានទេ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលបញ្ហាដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បន្ថែមទៀត:

ឧទាហរណ៍ 5

ពិនិត្យទម្រង់រាងចតុកោណសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃសញ្ញា

ទម្រង់នេះត្រូវបានតុបតែងដោយលំដាប់ "អាល់ហ្វា" ដែលអាចស្មើនឹងចំនួនពិតណាមួយ។ ប៉ុន្តែវានឹងកាន់តែសប្បាយ យើងសម្រេចចិត្ត.

ជាដំបូង សូមសរសេរទម្រង់ម៉ាទ្រីស; អង្កត់ទ្រូងសំខាន់យើងដាក់មេគុណសម្រាប់ការ៉េ ហើយនៅកន្លែងស៊ីមេទ្រី យើងដាក់មេគុណពាក់កណ្តាលនៃផលិតផល "ចម្រុះ" ដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរយើងគណនាអនីតិជនមុំ៖

ខ្ញុំនឹងពង្រីកកត្តាកំណត់ទីបីនៅលើខ្សែទី 3៖

គំនិតនៃទម្រង់ការ៉េ។ ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុង។ វិធីសាស្រ្ត Lagrange ។ ទិដ្ឋភាពធម្មតានៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ចំណាត់ថ្នាក់ លិបិក្រម និងហត្ថលេខានៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ទម្រង់ការ៉េច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន។ ការ៉េ។

គំនិតនៃទម្រង់ការ៉េ៖អនុគមន៍លើលំហវ៉ិចទ័រដែលកំណត់ដោយពហុនាមដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរក្នុងកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ។

ទម្រង់បួនជ្រុងពី នមិនស្គាល់ ត្រូវបានគេហៅថាផលបូក ដែលពាក្យនីមួយៗគឺជាការ៉េនៃចំនួនមិនស្គាល់ទាំងនេះ ឬផលនៃចំនួនមិនស្គាល់ពីរផ្សេងគ្នា។

ម៉ាទ្រីសបួនជ្រុង៖ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើលក្ខណៈវាលមិនស្មើនឹង 2 យើងអាចសន្មត់ថាម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងគឺស៊ីមេទ្រី នោះគឺ។

សរសេរម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង៖

អាស្រ័យហេតុនេះ

ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសវ៉ិចទ័រ ទម្រង់ចតុកោណគឺ៖

A, កន្លែងណា

ទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុង៖ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា Canonical ប្រសិនបើទាំងអស់។ i.e.

ទម្រង់បួនជ្រុងណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ដោយប្រើការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តខាងក្រោមជាធម្មតាត្រូវបានប្រើ។

វិធីសាស្រ្ត Lagrange : ការជ្រើសរើសតាមលំដាប់នៃការ៉េពេញលេញ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ

បន្ទាប់មកនីតិវិធីស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តជាមួយទម្រង់រាងបួនជ្រុង ល. ប្រសិនបើក្នុងទម្រង់បួនជ្រុង អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺប៉ុន្តែ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរជាបឋមបញ្ហានឹងចុះទៅក្នុងនីតិវិធីពិចារណា។ ដូច្នេះប្រសិនបើឧទាហរណ៍យើងសន្មត់

ទម្រង់ធម្មតានៃទម្រង់ការ៉េ៖ទម្រង់ quadratic ធម្មតា គឺជាទម្រង់ quadratic canonical ដែលមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹង +1 ឬ -1 ។

ចំណាត់ថ្នាក់ លិបិក្រម និងហត្ថលេខានៃទម្រង់បួនជ្រុង៖ចំណាត់ថ្នាក់នៃទម្រង់បួនជ្រុង កត្រូវបានគេហៅថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ក. ចំណាត់ថ្នាក់នៃទម្រង់បួនជ្រុងមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការបំប្លែងដែលមិនមែនជា degenerate នៃមិនស្គាល់។

ចំនួននៃមេគុណអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថាសន្ទស្សន៍ទម្រង់អវិជ្ជមាន។

ចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមាននៅក្នុងទម្រង់ Canonical ត្រូវបានគេហៅថា សន្ទស្សន៍វិជ្ជមាននៃនិចលភាពនៃទម្រង់ quadratic ចំនួននៃពាក្យអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា សន្ទស្សន៍អវិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នារវាងសន្ទស្សន៍វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថាហត្ថលេខានៃទម្រង់បួនជ្រុង

ទម្រង់ការ៉េច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន៖ទម្រង់ការ៉េពិត ត្រូវបានគេហៅថា និយមន័យវិជ្ជមាន (និយមន័យអវិជ្ជមាន) ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃពិតនៃអថេរដែលមិនមែនជាសូន្យក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ

. (36)

ក្នុងករណីនេះ ម៉ាទ្រីសក៏ត្រូវបានគេហៅថាវិជ្ជមានកំណត់ផងដែរ (អវិជ្ជមានកំណត់)។

ថ្នាក់នៃទម្រង់និយមន័យវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) គឺជាផ្នែកនៃទម្រង់មិនអវិជ្ជមាន (resp. non-positive) ។

បួនជ្រុង៖ការ៉េ - ន- វិមាត្រនៃផ្ទៃខាងលើ ន+1-dimensional space កំណត់ជាសំណុំសូន្យនៃពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលកូអរដោណេ ( x 1 , x 2 , x ន+1 ) (នៅក្នុងលំហអឺគ្លីដ ឬ អេហ្វហ្វីន) សមីការទូទៅនៃការ៉េគឺ

សមីការនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញឱ្យកាន់តែបង្រួមក្នុងសញ្ញាម៉ាទ្រីស៖

កន្លែងណា x = ( x 1 , x 2 , x ន+1) - វ៉ិចទ័រជួរ, x T គឺជាវ៉ិចទ័របញ្ជូនត សំណួរ- ម៉ាទ្រីសទំហំ ( ន+1) ×( ន+1) (វាត្រូវបានសន្មត់ថាយ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយរបស់វាគឺមិនមែនសូន្យ) ទំគឺជាវ៉ិចទ័រជួរដេក និង រ- ថេរ។ Quadrics លើចំនួនពិត ឬកុំផ្លិចត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់បំផុត។ និយមន័យអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាបួនជ្រុងក្នុងលំហដែលមានគម្រោងមើលខាងក្រោម។

ជាទូទៅ សំណុំនៃលេខសូន្យនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពហុនាមត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាពូជពិជគណិត។ ដូច្នេះ quadric គឺជាប្រភេទពិជគណិត (affine ឬ projective) នៃដឺក្រេទីពីរ និង codimension 1 ។

ការផ្លាស់ប្តូរនៃយន្តហោះ និងលំហ។

និយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរយន្តហោះ។ ការរកឃើញចលនា។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃចលនា។ ចលនាពីរប្រភេទ៖ ចលនានៃប្រភេទទីមួយ និងចលនាប្រភេទទីពីរ។ ឧទាហរណ៍នៃចលនា។ ការបញ្ចេញមតិវិភាគនៃចលនា។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃចលនារបស់យន្តហោះ (អាស្រ័យលើវត្តមាននៃចំណុចថេរ និងបន្ទាត់មិនផ្លាស់ប្តូរ)។ ក្រុមនៃចលនាយន្តហោះ។

និយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរយន្តហោះ៖ និយមន័យ។ការបំប្លែងយន្តហោះដែលរក្សាចម្ងាយរវាងចំណុចត្រូវបានគេហៅថា ចលនា(ឬចលនា) នៃយន្តហោះ។ ការផ្លាស់ប្តូរយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា អាហ្វីនប្រសិនបើវាបំប្លែងចំណុចទាំងបីដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាទៅជាចំណុចបី ក៏ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ហើយក្នុងពេលតែមួយរក្សាទំនាក់ទំនងសាមញ្ញនៃចំណុចទាំងបី។

និយមន័យចលនា៖ទាំងនេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូររូបរាងដែលរក្សាចម្ងាយរវាងចំណុច។ ប្រសិនបើតួលេខពីរត្រូវបានតម្រឹមយ៉ាងជាក់លាក់ជាមួយគ្នាតាមរយៈចលនា នោះតួលេខទាំងនេះគឺដូចគ្នា ស្មើ។

លក្ខណៈសម្បត្តិចលនា៖រាល់ចលនារក្សាការតំរង់ទិសនៃយន្តហោះគឺជាការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល ឬការបង្វិល រាល់ចលនាផ្លាស់ប្តូរទិសនៃយន្តហោះគឺជាស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស ឬស៊ីមេទ្រីរអិល។ នៅពេលផ្លាស់ទី ចំនុចដែលដេកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយប្រែទៅជាចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយលំដាប់នៃទីតាំងដែលទាក់ទងរបស់ពួកគេត្រូវបានរក្សាទុក។ នៅពេលផ្លាស់ទីមុំរវាងពាក់កណ្តាលបន្ទាត់ត្រូវបានបម្រុងទុក។

ចលនាពីរប្រភេទ៖ ចលនាប្រភេទទី១ និងចលនាទី២៖ចលនានៃប្រភេទទីមួយគឺជាចលនាដែលរក្សាការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននៃតួលេខជាក់លាក់មួយ។ ពួកគេអាចដឹងបានដោយចលនាជាបន្តបន្ទាប់។

ចលនានៃប្រភេទទីពីរគឺជាចលនាដែលផ្លាស់ប្តូរទិសនៃមូលដ្ឋានទៅផ្ទុយ។ ពួកគេមិនអាចត្រូវបានដឹងដោយចលនាបន្ត។

ឧទាហរណ៍នៃចលនានៃប្រភេទទីមួយគឺការបកប្រែ និងការបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយចលនានៃប្រភេទទីពីរគឺ ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល និងកញ្ចក់។

សមាសភាពនៃចំនួនចលនានៃប្រភេទទីមួយ គឺជាចលនានៃប្រភេទទីមួយ។

សមាសភាពនៃចំនួនចលនានៃប្រភេទទី 2 គឺជាចលនានៃប្រភេទទី 1 ហើយសមាសភាពនៃចំនួនសេសនៃចលនានៃប្រភេទទី 2 គឺជាចលនានៃប្រភេទទី 2 ។

ឧទាហរណ៍នៃចលនា៖ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល. ទុកជាវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលទៅវ៉ិចទ័រ a គឺជាការគូសផែនទីនៃប្លង់ទៅលើខ្លួនវា ដែលចំណុចនីមួយៗ M ត្រូវបានគូសវាសទៅចំណុច M 1 ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ MM 1 ស្មើនឹងវ៉ិចទ័រ a ។

ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលគឺជាចលនាមួយ ព្រោះវាគឺជាការគូសផែនទីនៃយន្តហោះនៅលើខ្លួនវា រក្សាចម្ងាយ។ ចលនានេះអាចត្រូវបានតំណាងដោយមើលឃើញថាជាការផ្លាស់ប្តូរនៃយន្តហោះទាំងមូលក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ដោយប្រវែងរបស់វា។

បង្វិល។ចូរយើងកំណត់ចំណុច O នៅលើយន្តហោះ ( មជ្ឈមណ្ឌលបង្វិល) ហើយកំណត់មុំ α ( មុំបង្វិល) ការបង្វិលយន្តហោះជុំវិញចំណុច O ដោយមុំ α គឺជាការគូសផែនទីនៃយន្តហោះទៅលើខ្លួនវា ដែលចំណុចនីមួយៗ M ត្រូវបានគូសវាសទៅនឹងចំណុច M 1 ដូចជា OM = OM 1 និងមុំ MOM 1 ស្មើនឹង α ។ ក្នុងករណីនេះ ចំណុច O នៅតែស្ថិតនៅកន្លែងរបស់វា ពោលគឺ វាត្រូវបានគូសនៅលើខ្លួនវា ហើយចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់បង្វិលជុំវិញចំណុច O ក្នុងទិសដៅដូចគ្នា - ទ្រនិចនាឡិកា ឬច្រាសទ្រនិចនាឡិកា (រូបភាពបង្ហាញពីការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកា)។

ការបង្វិលគឺជាចលនាមួយ ព្រោះវាតំណាងឱ្យការគូសផែនទីនៃយន្តហោះទៅលើខ្លួនវា ដែលចម្ងាយត្រូវបានរក្សា។

ការវិភាគនៃចលនា៖ការតភ្ជាប់ការវិភាគរវាងកូអរដោនេនៃ preimage និងរូបភាពនៃចំណុចមានទម្រង់ (1) ។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃចលនារបស់យន្តហោះ (អាស្រ័យលើវត្តមាននៃចំណុចថេរ និងបន្ទាត់អថេរ): និយមន័យ៖

ចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះគឺមិនប្រែប្រួល (ថេរ) ប្រសិនបើនៅក្រោមការបំប្លែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាបំប្លែងទៅជាខ្លួនវា។

ឧទាហរណ៍៖ ជាមួយនឹងស៊ីមេទ្រីកណ្តាល ចំនុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីគឺមិនប្រែប្រួល។ នៅពេលបង្វិលចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលគឺមិនប្រែប្រួល។ ជាមួយនឹងស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស បន្ទាត់អថេរគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ - អ័ក្សស៊ីមេទ្រីគឺជាបន្ទាត់ត្រង់នៃចំនុចអថេរ។

ទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើចលនាមិនមានចំណុចអថេរតែមួយទេ នោះវាមានទិសដៅអថេរយ៉ាងតិចមួយ។

ឧទាហរណ៍៖ ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល។ ជាការពិត បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងទិសដៅនេះគឺមិនប្រែប្រួលជាតួរលេខទាំងមូល ទោះបីជាវាមិនមានចំណុចអថេរក៏ដោយ។

ទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើកាំរស្មីផ្លាស់ទី កាំរស្មីប្រែទៅជាខ្លួនវា នោះចលនានេះគឺជាការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ ឬស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានកាំរស្មីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយផ្អែកលើវត្តមាននៃចំណុច ឬតួលេខដែលមិនប្រែប្រួល វាអាចចាត់ថ្នាក់ចលនាបាន។

ឈ្មោះចលនា	ចំណុចមិនប្រែប្រួល	បន្ទាត់អថេរ
ចលនានៃប្រភេទទីមួយ។
1. - វេន	(កណ្តាល) - ០	ទេ
2. ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ	ចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ	ត្រង់ទាំងអស់។
3. ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល	ចំណុច 0 - កណ្តាល	បន្ទាត់ទាំងអស់ឆ្លងកាត់ចំណុច 0
4. ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល	ទេ	ត្រង់ទាំងអស់។
ចលនានៃប្រភេទទីពីរ។
5. ស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស។	សំណុំនៃចំណុច	អ័ក្សស៊ីមេទ្រី (បន្ទាត់ត្រង់) បន្ទាត់ត្រង់ទាំងអស់។

ក្រុមចលនារបស់យន្តហោះ៖នៅក្នុងធរណីមាត្រ ក្រុមនៃសមាសភាពខ្លួនឯងនៃតួលេខដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់។ ប្រសិនបើតួលេខជាក់លាក់មួយនៅលើយន្តហោះ (ឬក្នុងលំហ) នោះយើងអាចពិចារណាពីសំណុំនៃចលនាទាំងអស់នៃយន្តហោះ (ឬលំហ) ក្នុងអំឡុងពេលដែលតួលេខប្រែទៅជាខ្លួនវាផ្ទាល់។

ឈុតនេះគឺជាក្រុម។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ត្រីកោណសមភាព ក្រុមនៃចលនាយន្តហោះដែលបំប្លែងត្រីកោណទៅជាខ្លួនវាមាន 6 ធាតុ៖ ការបង្វិលតាមមុំជុំវិញចំណុចមួយ និងស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់បី។

ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 1 បន្ទាត់ក្រហម។ ធាតុនៃក្រុមនៃការតម្រឹមដោយខ្លួនឯងនៃត្រីកោណធម្មតាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ខុសគ្នា។ ដើម្បីពន្យល់ពីចំណុចនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់លេខបញ្ឈរនៃត្រីកោណធម្មតាជាមួយនឹងលេខ 1, 2, 3 ។ ការតម្រឹមដោយខ្លួនឯងនៃត្រីកោណត្រូវយកចំណុច 1, 2, 3 ទៅជាចំណុចដូចគ្នា ប៉ុន្តែបានយកតាមលំដាប់ផ្សេងគ្នា ពោលគឺឧ។ អាចត្រូវបានសរសេរតាមលក្ខខណ្ឌក្នុងទម្រង់នៃតង្កៀបមួយក្នុងចំណោមតង្កៀបទាំងនេះ៖

ល។

ដែលជាកន្លែងដែលលេខ 1, 2, 3 បង្ហាញពីចំនួននៃចំនុចកំពូលទាំងនោះដែលចំនុច 1, 2, 3 ទៅជាលទ្ធផលនៃចលនាដែលកំពុងពិចារណា។

លំហទស្សន៍ទាយ និងគំរូរបស់ពួកគេ។.

គំនិតនៃលំហទស្សន៍ទាយ និងគំរូនៃលំហព្យាករណ៍។ ការពិតជាមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រព្យាករណ៍។ បណ្តុំនៃបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលចំនុច O គឺជាគំរូនៃយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។ ចំណុចប្រឌិត។ យន្តហោះដែលពង្រីកគឺជាគំរូនៃយន្តហោះដែលគ្រោងទុក។ Extended affine three-dimensional space ឬ Euclidean space គឺជាគំរូនៃលំហទស្សន៍ទាយ។ រូបភាពនៃតួលេខផ្ទះល្វែង និងលំហក្នុងការរចនាស្របគ្នា។

គំនិតនៃលំហទស្សន៍ទាយ និងគំរូនៃលំហព្យាករណ៍៖

លំហទស្សន៍ទាយលើវាលមួយ គឺជាលំហដែលមានបន្ទាត់ (ចន្លោះរងមួយវិមាត្រ) នៃចន្លោះលីនេអ៊ែរមួយចំនួនលើវាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចន្លោះផ្ទាល់ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចលំហទស្សន៍ទាយ។ និយមន័យនេះអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកជាទូទៅចំពោះស្ថាប័នបំពាន

ប្រសិនបើវាមានវិមាត្រ នោះវិមាត្រនៃលំហទស្សន៍ទាយត្រូវបានគេហៅថាលេខ ហើយទំហំព្យាករខ្លួនវាត្រូវបានតំណាង និងហៅថាភ្ជាប់ជាមួយ (ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញនេះ សញ្ញាណត្រូវបានអនុម័ត)។

ការផ្លាស់ប្តូរពីទំហំវ៉ិចទ័រនៃវិមាត្រទៅលំហព្យាករណ៍ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាករណ៍លំហ។

ចំណុចអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើកូអរដោនេដូចគ្នា។

ការពិតជាមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រព្យាករណ៍៖ធរណីមាត្រ Projective គឺជាសាខានៃធរណីមាត្រដែលសិក្សាអំពីយន្តហោះ និងលំហ។ លក្ខណៈសំខាន់នៃធរណីមាត្រដែលបានគ្រោងទុកគឺគោលការណ៍នៃភាពទ្វេ ដែលបន្ថែមភាពស៊ីមេទ្រីឆើតឆាយទៅនឹងការរចនាជាច្រើន។ ធរណីមាត្រគម្រោងអាចសិក្សាបានទាំងពីទិដ្ឋភាពធរណីមាត្រសុទ្ធសាធ និងពីការវិភាគ (ដោយប្រើកូអរដោណេដូចគ្នា) និងទិដ្ឋភាព salgebraic ដោយពិចារណាលើយន្តហោះដែលព្យាករណ៍ថាជារចនាសម្ព័ន្ធនៅលើវាលមួយ។ ជាញឹកញយ និងជាប្រវត្តិសាស្ត្រ យន្តហោះដែលព្យាករណ៍ពិតប្រាកដត្រូវបានចាត់ទុកថាជាយន្តហោះ Euclidean ជាមួយនឹងការបន្ថែមនៃ "បន្ទាត់នៅគ្មានដែនកំណត់" ។

ចំណែកឯលក្ខណៈសម្បត្តិនៃតួលេខដែលធរណីមាត្រ Euclidean ដោះស្រាយ ម៉ែត្រ(តម្លៃជាក់លាក់នៃមុំ, ផ្នែក, តំបន់) និងសមមូលនៃតួលេខគឺស្មើនឹង ការចុះសម្រុងគ្នា(ឧ. នៅពេលដែលតួលេខអាចត្រូវបានបកប្រែទៅគ្នាទៅវិញទៅមកតាមរយៈចលនាខណៈពេលដែលរក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិម៉ែត្រ) មានលក្ខណៈសម្បត្តិ "និយាយកុហក" បន្ថែមទៀតនៃតួលេខធរណីមាត្រដែលត្រូវបានរក្សាទុកនៅក្រោមការបំប្លែងនៃប្រភេទទូទៅជាងចលនា។ ធរណីមាត្រ Projective ទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃតួលេខដែលមិនប្រែប្រួលក្រោមថ្នាក់ ការបំប្លែងការព្យាករណ៍ក៏ដូចជាការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះដោយខ្លួនឯង។

ធរណីមាត្រគម្រោង បំពេញបន្ថែមធរណីមាត្រ Euclidean ដោយផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដ៏ស្រស់ស្អាត និងសាមញ្ញចំពោះបញ្ហាជាច្រើនដែលស្មុគស្មាញដោយវត្តមាននៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ ទ្រឹស្តីទស្សន៍ទាយនៃផ្នែកសាជីគឺសាមញ្ញ និងឆើតឆាយជាពិសេស។

មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗចំនួនបីចំពោះធរណីមាត្រព្យាករណ៍៖ អ័ក្សអិចអូម៉ាទីនីយកម្មឯករាជ្យ ការបំពេញបន្ថែមនៃធរណីមាត្រអឺគ្លីដ និងរចនាសម្ព័ន្ធលើវាលមួយ។

Axiomatization

ចន្លោះព្យាករអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើសំណុំ axioms ផ្សេងគ្នា។

Coxeter ផ្តល់ជូនដូចខាងក្រោមៈ

1. មានបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយចំនុចមិននៅលើវា។

2. បន្ទាត់នីមួយៗមានយ៉ាងហោចណាស់បីចំណុច។

3. តាមរយៈចំណុចពីរ អ្នកអាចគូសបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

4. ប្រសិនបើ ក, ខ, គ, និង ឃ- ចំណុចផ្សេងៗគ្នានិង ABនិង ស៊ីឌីប្រសព្វ A.C.និង BDប្រសព្វ។

5. ប្រសិនបើ ABCគឺជាយន្តហោះមួយ បន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់មានចំណុចមួយដែលមិននៅក្នុងយន្តហោះ ABC.

6. យន្តហោះពីរផ្សេងគ្នាប្រសព្វគ្នាយ៉ាងហោចណាស់ពីរចំណុច។

7. ចំនុចអង្កត់ទ្រូងទាំងបីនៃចតុកោណពេញលេញមិនជាប់គ្នាទេ។

8. ប្រសិនបើបីពិន្ទុស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។ X X

ប្លង់ព្យាករ (ដោយគ្មានវិមាត្រទីបី) ត្រូវបានកំណត់ដោយ axioms ខុសគ្នាបន្តិច:

1. តាមរយៈចំណុចពីរ អ្នកអាចគូសបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

2. បន្ទាត់ទាំងពីរប្រសព្វគ្នា។

3. មានបួនចំណុច ដែលបីមិនជាប់គ្នា។

4. ចំនុចអង្កត់ទ្រូងទាំងបីនៃចតុកោណពេញលេញគឺមិនជាប់គ្នាទេ។

5. ប្រសិនបើបីពិន្ទុស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។ Xគឺមិនប្រែប្រួលដោយគោរពទៅនឹងការព្យាករនៃ φ បន្ទាប់មកចំណុចទាំងអស់នៅលើ X invariant ទាក់ទងទៅនឹង φ ។

6. ទ្រឹស្ដី Desargues៖ ប្រសិនបើត្រីកោណពីរគឺទស្សនវិស័យតាមរយៈចំណុចមួយ នោះពួកវាជាទស្សនវិស័យតាមរយៈបន្ទាត់មួយ។

នៅក្នុងវត្តមាននៃវិមាត្រទីបី ទ្រឹស្តីបទរបស់ Desargues អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយមិនបង្ហាញពីចំណុច និងបន្ទាត់ដ៏ល្អ។

យន្តហោះពង្រីក - គំរូយន្តហោះប្រឌិត៖នៅក្នុងលំហ A3 យើងយកបណ្តុំនៃបន្ទាត់ S(O) ជាមួយកណ្តាលនៅចំណុច O និងយន្តហោះΠដែលមិនឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃបាច់: O 6∈ Π។ បណ្តុំនៃបន្ទាត់នៅក្នុងលំហអាហ្វហ្វីន គឺជាគំរូនៃយន្តហោះដែលព្យាករណ៍។ ចូរកំណត់ផែនទីនៃចំណុចនៃយន្តហោះΠ ទៅលើសំណុំនៃបន្ទាត់ត្រង់នៃការតភ្ជាប់ S (Fuck, អធិស្ឋានប្រសិនបើអ្នកទទួលបានសំណួរនេះ, អត់ទោសឱ្យខ្ញុំ)

ពង្រីក affine បីវិមាត្រ ឬ លំហ Euclidean - គំរូលំហទស្សន៍ទាយ៖

ដើម្បីធ្វើការវិភាគផែនទី យើងធ្វើឡើងវិញនូវដំណើរការនៃការពង្រីកជាផ្លូវការនៃយន្តហោះ affine Π ទៅកាន់យន្តហោះដែលគ្រោងទុក Π ដោយបន្ថែមយន្តហោះ Π ជាមួយនឹងសំណុំនៃចំនុចមិនសមរម្យ (M∞) ដូចនេះ៖ ((M∞)) = P0(O) ដោយសារនៅក្នុងផែនទី រូបភាពបញ្ច្រាសនៃយន្តហោះនីមួយៗនៃបាច់យន្តហោះ S(O) គឺជាបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ d វាច្បាស់ណាស់ថាសំណុំនៃចំនុចមិនសមរម្យទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលបានពង្រីក៖ Π = Π ∩ (M∞) , (M∞) តំណាងឱ្យបន្ទាត់មិនត្រឹមត្រូវ d∞ នៃយន្តហោះពង្រីក ដែលជារូបភាពបញ្ច្រាសនៃយន្តហោះឯកវចនៈ Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0) ។ (I.23) អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របថានៅទីនេះ និងចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងនឹងយល់ពីសមភាពចុងក្រោយ P0(O) = Π0 ក្នុងន័យសមភាពនៃសំណុំពិន្ទុ ប៉ុន្តែត្រូវបានផ្តល់ដោយរចនាសម្ព័ន្ធផ្សេងគ្នា។ ដោយការបំពេញបន្ថែមយន្តហោះ affine ជាមួយនឹងបន្ទាត់មិនសមរម្យ យើងធានាថាការធ្វើផែនទី (I.21) បានក្លាយជាគោលបំណងលើសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលបានពង្រីក៖

រូបភាពនៃតួលេខផ្ទះល្វែង និងលំហ កំឡុងពេលរចនាប៉ារ៉ាឡែល៖

នៅក្នុង stereometric តួលេខ spatial ត្រូវបានសិក្សា ប៉ុន្តែនៅក្នុងគំនូរ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញជាតួលេខរាបស្មើ។ តើរូបភពគួរបង្ហាញនៅលើយន្តហោះដោយរបៀបណា? ជាធម្មតានៅក្នុងធរណីមាត្រ ការរចនាប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការនេះ។ សូមឱ្យ p ជាយន្តហោះខ្លះ លីត្រ- បន្ទាត់ត្រង់កាត់វា (រូបភាពទី 1) ។ តាមរយៈចំណុចបំពាន កមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ លីត្រគូសបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ លីត្រ. ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយយន្តហោះ p ត្រូវបានគេហៅថាការព្យាករប៉ារ៉ាឡែលនៃចំនុច កទៅយន្តហោះ p ក្នុងទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រ. ចូរយើងសម្គាល់វា។ ក"។ ប្រសិនបើចំណុច កជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ លីត្របន្ទាប់មកដោយការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល កចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្ថិតនៅលើយន្តហោះទំ លីត្រជាមួយនឹងយន្តហោះទំ។

ដូច្នេះចំណុចនីមួយៗ កលំហ ការព្យាករណ៍របស់វាត្រូវបានប្រៀបធៀប ក" នៅលើយន្តហោះទំ។ ការឆ្លើយឆ្លងនេះត្រូវបានគេហៅថាការព្យាករប៉ារ៉ាឡែលទៅលើយន្តហោះ p ក្នុងទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រ

ក្រុមនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍។ ការអនុវត្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

គំនិតនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះ។ ឧទាហរណ៍នៃការបំប្លែងការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍។ ភាពដូចគ្នា, លក្ខណៈនៃភាពដូចគ្នា ។ ក្រុមនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍។

គោលគំនិតនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះ៖គោលគំនិតនៃការបំប្លែងដោយប្រយោល ធ្វើឱ្យជាទូទៅនូវគំនិតនៃការព្យាករកណ្តាល។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តការព្យាករកណ្តាលនៃយន្តហោះ α ទៅលើយន្តហោះមួយចំនួន α 1 នោះការព្យាករណ៍នៃ α 1 ទៅលើ α 2, α 2 ទៅលើ α 3, ... ហើយចុងក្រោយ យន្តហោះខ្លះ α នម្តងទៀតនៅលើ α 1 បន្ទាប់មកសមាសភាពនៃការព្យាករទាំងនេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះα; ការព្យាករណ៍ប៉ារ៉ាឡែលក៏អាចរួមបញ្ចូលនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់បែបនេះផងដែរ។

ឧទាហរណ៍នៃការផ្លាស់ប្តូរយន្តហោះប្រឌិត:ការបំប្លែងដោយប្រយោលនៃយន្តហោះដែលបានបញ្ចប់គឺជាការគូសវាសមួយទល់មួយទៅលើខ្លួនវា ដែលក្នុងនោះភាពជាប់គ្នានៃចំណុចត្រូវបានរក្សា ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀតរូបភាពនៃបន្ទាត់ណាមួយគឺជាបន្ទាត់ត្រង់។ ការបំប្លែងការព្យាករណ៍ណាមួយគឺជាសមាសភាពនៃខ្សែសង្វាក់នៃការព្យាករកណ្តាល និងប៉ារ៉ាឡែល។ ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលគឺជាករណីពិសេសនៃការបំប្លែងដោយប្រយោល ដែលបន្ទាត់នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ប្រែទៅជាខ្លួនវាផ្ទាល់។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករ៖

កំឡុងពេលបំប្លែងដោយប្រយោល ចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយត្រូវបានបំប្លែងទៅជាចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។

កំឡុងពេលបំប្លែងតាមគម្រោង ស៊ុមប្រែទៅជាស៊ុម។

កំឡុងពេលបំប្លែងតាមគម្រោង បន្ទាត់មួយចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ ហើយខ្មៅដៃចូលទៅក្នុងខ្មៅដៃ។

ភាពដូចគ្នា, លក្ខណៈនៃភាពដូចគ្នា៖

ការបំប្លែងដោយប្រយោលនៃយន្តហោះដែលមានបន្ទាត់នៃចំនុចមិនប្រែប្រួល ហើយដូច្នេះខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់មិនប្រែប្រួលត្រូវបានគេហៅថា homology ។

1. បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដូចគ្នាដែលមិនស្របគ្នា គឺជាបន្ទាត់ដែលមិនប្រែប្រួល។

2. បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដូចគ្នាដែលមិនស្របគ្នាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ខ្មៅដៃដូចគ្នា ដែលចំណុចកណ្តាលគឺជាចំណុចមិនប្រែប្រួល។

3. ចំនុច រូបភាពរបស់វា និងចំណុចកណ្តាលនៃភាពដូចគ្នា ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

ក្រុមនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍៖ពិចារណាលើការគូសវាសនៃយន្តហោះដែលព្យាករណ៍ P 2 មកលើខ្លួនវាផ្ទាល់ ពោលគឺការបំប្លែងគម្រោងនៃយន្តហោះនេះ (P 2 ' = P 2) ។

ដូចពីមុន សមាសភាព f នៃការបំប្លែងបំប្លែង f 1 និង f 2 នៃយន្តហោះព្យាករ P 2 គឺជាលទ្ធផលនៃការប្រតិបត្តិជាបន្តបន្ទាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ f 1 និង f 2: f = f 2 °f 1 ។

ទ្រឹស្តីបទ 1: សំណុំ H នៃការបំប្លែងបំរែបំរួលនៃគម្រោង P 2 គឺជាក្រុមដែលទាក់ទងទៅនឹងសមាសភាពនៃការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករណ៍។

រាងបួនជ្រុង

នៅក្នុងសញ្ញាណម៉ាទ្រីស ទម្រង់បួនជ្រុងគឺ f(X) = X T AX ដែល

ជាការពិត

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរទម្រង់ quadratic ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស-ជួរឈរនៃអថេរ X ត្រូវបានទទួលដោយការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate នៃម៉ាទ្រីស-ជួរឈរ Y, i.e. X = CY ដែល C ជាម៉ាទ្រីសមិនមែនឯកវចនៈនៃលំដាប់ទី។ បន្ទាប់មកទម្រង់ការ៉េ
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y ។

ដូច្នេះជាមួយនឹងការបំលែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate C ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ quadratic យកទម្រង់: A * = C T AC ។

ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា Canonical(វាមាន ទិដ្ឋភាព Canonical) ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាទាំងអស់ a ij = 0 សម្រាប់ i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = ។

ម៉ាទ្រីសរបស់វាគឺអង្កត់ទ្រូង។

ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ Canonical
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 − 3x 2 2 − x 2 x 3 ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះ ដំបូងត្រូវជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញជាមួយអថេរ x ១៖

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 − x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3 ។

ឥឡូវនេះយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញជាមួយនឹងអថេរ x 2៖

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 – (1/20)x 3 2 ។

បន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរមិន degenerate y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 និង y 3 = x 3 នាំទម្រង់បួនជ្រុងនេះទៅជាទម្រង់ Canonical f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

ចំណាំថាទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ (ទម្រង់ការ៉េដូចគ្នាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់ Canonical ដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅមួយចំនួន។ ជាពិសេសចំនួននៃពាក្យដែលមានមេគុណវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) នៃទម្រង់បួនជ្រុងមិនអាស្រ័យលើវិធីសាស្រ្តនៃការកាត់បន្ថយទម្រង់ទៅជាទម្រង់នេះទេ (ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណានឹងមានមេគុណអវិជ្ជមានពីរ និងមួយវិជ្ជមានជានិច្ច)។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃនិចលភាពនៃទម្រង់បួនជ្រុង.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់វាដោយនាំយកទម្រង់បួនជ្រុងដូចគ្នាទៅជាទម្រង់ Canonical តាមរបៀបផ្សេង។ ចូរចាប់ផ្តើមការបំប្លែងដោយអថេរ x 2៖
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 − x 2 x 3 = −3x 2 2 − x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
−3y 2 2 + 2y 3 2 ដែល y 1 = − (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 និង y 3 = x 1 ។ នៅទីនេះមានមេគុណវិជ្ជមាន 2 នៅ y 3 និងមេគុណអវិជ្ជមានពីរ (-3) នៅ y 1 និង y 2 (ហើយដោយប្រើវិធីមួយផ្សេងទៀតយើងទទួលបានមេគុណវិជ្ជមាន 2 នៅ y 1 និងមេគុណអវិជ្ជមានពីរ - (-5) នៅ y 2 និង (-1/20) នៅ y 3) ។

ទម្រង់បួនជ្រុង f(X) ត្រូវបានគេហៅថា ជាវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ជាក់លាក់, ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែលមិនក្នុងពេលដំណាលគ្នាស្មើនឹងសូន្យនោះវាវិជ្ជមាន, i.e. f(X) > 0 (អវិជ្ជមាន, i.e.
f(X)< 0).

មេ (ជ្រុង) អនីតិជនម៉ាទ្រីសលំដាប់ kth A នៃលំដាប់ទី n ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលផ្សំឡើងដោយជួរ k ដំបូង និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A () ។

= (2 - លីត្រ)*
*(3 − l) – 4 = (6 – 2l – 3l + l 2) – 4 = l 2 – 5l + 2 = 0; ឃ = 25 – 8 = 17;
. ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានច្បាស់លាស់។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនចម្បងនៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A D 1 = a 11 = 2 > 0. អនីតិជនចម្បងនៃលំដាប់ទីពីរ D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0 ។ ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ទម្រង់រាងចតុកោណគឺ និយមន័យវិជ្ជមាន។

វិធីសាស្រ្ត 1. ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង A = ។ សមីការលក្ខណៈនឹងមានទម្រង់ = (-2 - លីត្រ)*
*(−3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; ឃ = 25 – 8 = 17;
. ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺអវិជ្ជមានកំណត់។

និយមន័យ។ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាវិជ្ជមានកំណត់ ប្រសិនបើតម្លៃរបស់វាទាំងអស់សម្រាប់តម្លៃពិតនៃអថេរដែលមិនមែនសូន្យក្នុងពេលដំណាលគ្នាគឺវិជ្ជមាន។ ជាក់ស្តែងទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានច្បាស់លាស់។

និយមន័យ។ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាអវិជ្ជមានកំណត់ប្រសិនបើតម្លៃទាំងអស់របស់វាគឺអវិជ្ជមានដោយលើកលែងតែតម្លៃមិនសូន្យសម្រាប់តម្លៃមិនសូន្យនៃអថេរ។

និយមន័យ. ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេនិយាយថាជាវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) semidefinite ប្រសិនបើវាមិនយកតម្លៃអវិជ្ជមាន (វិជ្ជមាន) ។

ទម្រង់បួនជ្រុងដែលយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថាមិនកំណត់។

នៅ ន=1 ទម្រង់រាងបួនជ្រុងគឺជាវិជ្ជមានកំណត់ (នៅ ) ឬនិយមន័យអវិជ្ជមាន (នៅ )។ ទម្រង់មិនកំណត់លេចឡើងនៅពេល។

ទ្រឹស្តីបទ(ការធ្វើតេស្ត Sylvester សម្រាប់និយមន័យវិជ្ជមាននៃទម្រង់បួនជ្រុង) ។ ដើម្បីឱ្យទម្រង់រាងការ៉េ

ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖

ភស្តុតាង។ យើងប្រើ induction លើចំនួនអថេរដែលរួមបញ្ចូលក្នុង . សម្រាប់ទម្រង់បួនជ្រុងអាស្រ័យលើអថេរមួយ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទគឺជាក់ស្តែង។ ចូរយើងសន្មត់ថាទ្រឹស្តីបទគឺពិតសម្រាប់ទម្រង់ការ៉េអាស្រ័យលើ ន- 1 អថេរ។

1. ភស្តុតាងនៃភាពចាំបាច់។ អនុញ្ញាតឱ្យ

និយមន័យវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មកទម្រង់ការ៉េ

នឹងមាននិយមន័យវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកនៅ .

តាមសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូល អនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់នៃទម្រង់គឺវិជ្ជមាន ពោលគឺឧ។

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា។

ទម្រង់ quadratic ច្បាស់លាស់ជាវិជ្ជមានដោយការបំប្លែងលីនេអ៊ែរមិន degenerate X=BYកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical

ទម្រង់ការ៉េត្រូវនឹងម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង

ជាមួយនឹងកត្តាកំណត់។

ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរកំណត់ដោយម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ IN, បំប្លែងម៉ាទ្រីស ជាមួយទម្រង់ quadratic ទៅជាម៉ាទ្រីស។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី នោះ។

2. ភស្តុតាងនៃភាពគ្រប់គ្រាន់។ ឧបមាថាអនីតិជនឈានមុខគេទាំងអស់នៃទម្រង់បួនជ្រុងគឺវិជ្ជមាន៖ .

ចូរយើងបង្ហាញថាទម្រង់បួនជ្រុងគឺវិជ្ជមានច្បាស់លាស់។ សម្មតិកម្មការបញ្ចូលបង្កប់អត្ថន័យវិជ្ជមាននៃទម្រង់បួនជ្រុង . នោះហើយជាមូលហេតុដែល ដោយការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ធម្មតា។ ធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរសមស្របនៃអថេរ និងការដាក់ យើងទទួលបាន

កន្លែងណា - មេគុណថ្មីមួយចំនួន។

អនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរយើងទទួលបាន

កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ចតុកោណនេះគឺស្មើនឹង ហើយចាប់តាំងពីសញ្ញារបស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃ , បន្ទាប់មក , និង, ដូច្នេះ, ទម្រង់ quadratic - និយមន័យវិជ្ជមាន។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដើម្បីឱ្យទម្រង់រាងចតុកោណមាននិយមន័យអវិជ្ជមាន វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់

មានភាពច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាអនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស

មានភាពវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែនេះមានន័យថា

ទាំងនោះ។ ថាសញ្ញានៃអនីតិជនសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស គជំនួសដោយចាប់ផ្តើមដោយសញ្ញាដក។

ឧទាហរណ៍។ គណនាថាតើទម្រង់បួនជ្រុងវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ច្បាស់លាស់ ឬមិនកំណត់។

ដំណោះស្រាយ។ ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងមានទម្រង់៖

ចូរយើងគណនាអនីតិជនសំខាន់ៗនៃម៉ាទ្រីស ជាមួយ:

ទម្រង់រាងបួនជ្រុងគឺជានិយមន័យវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងគណនាអនីតិជនសំខាន់ៗនៃម៉ាទ្រីស

ទម្រង់រាងបួនជ្រុងគឺមិនកំណត់។

សរុបសេចក្តីមក យើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ(ច្បាប់នៃនិចលភាពនៃទម្រង់បួនជ្រុង) ។ ចំនួននៃវិជ្ជមាន និងចំនួននៃការ៉េអវិជ្ជមានក្នុងទម្រង់ធម្មតា ដែលទម្រង់រាងចតុកោណត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយការបំលែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះទេ។

៧.៥. ការចាត់តាំងសម្រាប់ការងារឯករាជ្យនៅក្នុងជំពូកទី 7

៧.១. បញ្ជាក់ថាប្រសិនបើទម្រង់បួនជ្រុងជាមួយម៉ាទ្រីស កគឺជាវិជ្ជមានកំណត់បន្ទាប់មកទម្រង់បួនជ្រុងជាមួយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសរបស់វាគឺជាការកំណត់វិជ្ជមាន។

៧.២. ស្វែងរកទម្រង់ធម្មតានៅក្នុងដែននៃចំនួនពិត

៧.៣. ស្វែងរកទម្រង់ធម្មតានៅក្នុងដែននៃចំនួនពិត