រកមុំរវាងប្លង់ដែលបានផ្តល់កូអរដោនេនៃចំនុច។ មុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ - និយមន័យឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរក

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេនៅពេលគណនាមុំ

រវាងយន្តហោះ

ភាគច្រើន វិធីសាស្រ្តទូទៅការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ - វិធីសាស្ត្រសំរបសំរួល (ជួនកាលប្រើវ៉ិចទ័រ) ។ វាអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលអ្នកផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានសាកល្បង។ ប៉ុន្តែមានស្ថានភាពដែលវិធីសាស្ត្រសំរបសំរួលធ្វើឱ្យយល់បានដើម្បីអនុវត្តភ្លាមៗ ពោលគឺនៅពេលដែលប្រព័ន្ធកូអរដោណេជាប់ទាក់ទងធម្មជាតិទៅនឹងពហុកោណដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា ឧ។ បន្ទាត់កាត់កែងបីគូអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ ដែលអ័ក្សកូអរដោនេអាចត្រូវបានបញ្ជាក់។ polyhedra បែបនេះគឺជារាងចតុកោណ parallelepiped និងទៀងទាត់ ពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុង. ក្នុងករណីដំបូង ប្រព័ន្ធកូអរដោនេអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគែមដែលលាតសន្ធឹងពីចំនុចកំពូលមួយ (រូបភាពទី 1) នៅក្នុងទីពីរ - ដោយកម្ពស់ និងអង្កត់ទ្រូងនៃមូលដ្ឋាន (រូបភាព 2) ។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តកូអរដោនេមានដូចខាងក្រោម។

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណក្នុងលំហត្រូវបានណែនាំ។ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យណែនាំវាតាមរបៀប "ធម្មជាតិ" - ដើម្បី "ភ្ជាប់" វាទៅនឹងបន្ទាត់កាត់កែងចំនួនបីដែលមានចំណុចរួម។

សម្រាប់ប្លង់នីមួយៗ មុំរវាងដែលត្រូវបានស្វែងរក សមីការមួយត្រូវបានគូរឡើង។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីបង្កើតសមីការបែបនេះគឺត្រូវដឹងពីកូអរដោនេនៃចំណុចបីនៅលើយន្តហោះដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅមើលទៅដូចជាអ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0 ។

មេគុណ A, B, C ក្នុងសមីការនេះគឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ (វ៉ិចទ័រ, កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ) បន្ទាប់មកយើងកំណត់ប្រវែងនិង ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ មុំរវាងដែលត្រូវបានស្វែងរក។ ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ(A 1, B 1; C 1) និង (A 2; B 2; C 2 ) បន្ទាប់មកមុំដែលចង់បានគណនាដោយរូបមន្ត

មតិយោបល់។ វាត្រូវតែចងចាំថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹងមុំរវាងយន្តហោះ) អាចមានរាងមូល ហើយដើម្បីជៀសវាងភាពមិនច្បាស់លាស់ដែលអាចកើតមាន ភាគយកនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃរូបមន្តមានម៉ូឌុល។

ដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។

បញ្ហា 1. បានផ្តល់គូប ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . ចំណុច K គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃគែម AD ចំណុច L គឺជាពាក់កណ្តាលគែមស៊ីឌី។ តើមុំរវាងយន្តហោះ A ជាអ្វី? 1 KL និង A 1 AD?

ដំណោះស្រាយ . សូមឱ្យប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេគឺនៅចំណុចក ហើយអ័ក្សកូអរដោនេដើរតាមកាំរស្មី AD, AB, AA ១ (រូបទី 3) ។ ចូរយកគែមនៃគូបឱ្យស្មើនឹង 2 (វាងាយស្រួលក្នុងការចែកវាជាពាក់កណ្តាល)។ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុច A 1 , K , L មានដូចខាងក្រោម៖ A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0) ។

អង្ករ។ ៣

ចូរយើងសរសេរសមីការនៃយន្តហោះ A 1 K L នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទូទៅ។ បន្ទាប់មកយើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបានជ្រើសរើសនៃយន្តហោះនេះទៅក្នុងវា។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបួន៖

ចូរបង្ហាញពីមេគុណ A, B, C ដល់ D ហើយយើងមកដល់សមីការ

បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជាឃ (ហេតុអ្វី D = 0?) ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹង -2 យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ A 1 KL : 2x − 2 y + z − 2 = 0. បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះនេះមានកូអរដោនេ (2: -2; 1) ។ សមីការយន្តហោះ A 1 AD គឺ៖ y=0, និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅវាឧទាហរណ៍ (0; 2: 0) ។ យោងតាមរូបមន្តខាងលើសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះ យើងទទួលបាន៖

វគ្គសិក្សាវីដេអូ "ទទួលបាននិទ្ទេស A" រួមបញ្ចូលប្រធានបទទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការ ការបញ្ចប់ដោយជោគជ័យការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ពិន្ទុ 60-65 ។ បញ្ចប់បញ្ហាទាំងអស់ 1-13 ទម្រង់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមមូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រលងជាប់ Unified State Exam ជាមួយនឹងពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទី និងដោយគ្មានកំហុស!

វគ្គត្រៀមប្រលងបាក់ឌុប សម្រាប់ថ្នាក់ទី១០-១១ ក៏ដូចជាគ្រូផងដែរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយផ្នែកទី 1 នៃការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង) និងបញ្ហាទី 13 (ត្រីកោណមាត្រ) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡង Unified State ហើយទាំងសិស្ស 100 ពិន្ទុ ឬនិស្សិតផ្នែកមនុស្សសាស្ត្រមិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។

ទាំងអស់។ ទ្រឹស្តីចាំបាច់. វិធីរហ័សដំណោះស្រាយ គ្រោះថ្នាក់ និងអាថ៌កំបាំងនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ រាល់កិច្ចការបច្ចុប្បន្ននៃផ្នែកទី 1 ពីធនាគារកិច្ចការ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សានេះអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវនៃការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋឆ្នាំ 2018 ។

វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ, 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

ភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមរាប់រយ។ បញ្ហាពាក្យនិងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្តី, ឯកសារយោង, ការវិភាគនៃគ្រប់ប្រភេទនៃភារកិច្ចប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ដំណោះស្រាយល្បិច, សន្លឹកបន្លំមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ ការស្រមើលស្រមៃ spatial. ត្រីកោណមាត្រពីដើមដល់បញ្ហា 13. ការយល់ដឹងជាជាងការចង្អៀត។ ការពន្យល់ដែលមើលឃើញ គំនិតស្មុគស្មាញ. ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ដំណោះស្រាយ កិច្ចការស្មុគស្មាញ 2 ផ្នែកនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

អត្ថបទនេះគឺអំពីមុំរវាងយន្តហោះ និងរបៀបស្វែងរកវា។ ទីមួយ និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយគំនូរក្រាហ្វិកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់ពីនេះ គោលការណ៍នៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេត្រូវបានវិភាគ ហើយរូបមន្តមួយត្រូវបានទទួលដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាដោយប្រើកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។ នៅក្នុងការសន្និដ្ឋានវាត្រូវបានបង្ហាញ ដំណោះស្រាយលម្អិតភារកិច្ចលក្ខណៈ។

ការរុករកទំព័រ។

មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។

ចូរយើងបង្ហាញអំណះអំណាងដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងចូលទៅជិតបន្តិចម្តងៗនូវការកំណត់មុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ប្លង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ គ។ ចូរបង្កើតយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M នៃបន្ទាត់ c ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ ក្នុងករណីនេះយន្តហោះនឹងប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះនិង។ ចូរយើងសម្គាល់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជា a និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជា ខ។ ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b មិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ c ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។

ចូរសង់យន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c និងខុសពីយន្តហោះ។ យន្តហោះត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ ដែលយើងសម្គាល់ថាជា 1 និង b 1 រៀងគ្នា។

ពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់យន្តហោះ វាធ្វើតាមដែលបន្ទាត់ a និង b កាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ហើយបន្ទាត់ a 1 និង b 1 គឺកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ ដោយសារបន្ទាត់ a និង 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c បន្ទាប់មកពួកវាស្របគ្នា។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ បន្ទាត់ b និង b 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ដូច្នេះពួកវាគឺស្របគ្នា។ ដូច្នេះអ្នកអាចធ្វើបាន ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល plan to plane ដែលក្នុងនោះ បន្ទាត់ត្រង់ a 1 ត្រូវគ្នាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ a និង បន្ទាត់ត្រង់ b ជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ b 1 ។ ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ a 1 និង b 1 ស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ។

នេះបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុច M ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។ ដូច្នេះ វាជាឡូជីខលក្នុងការយកមុំនេះជាមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចបញ្ចេញនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង។

និយមន័យ។

មុំរវាងយន្តហោះពីរប្រសព្វគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និង- នេះគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ a និង b ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ ហើយប្រសព្វគ្នាជាមួយប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ គ។

និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ ប្រសិនបើនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ c តាមបណ្តោយដែលយន្តហោះនិងប្រសព្វគ្នា សម្គាល់ចំណុច M ហើយគូរបន្ទាត់ត្រង់ a និង b កាត់វាកាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ c ហើយដេកក្នុងយន្តហោះ ហើយរៀងគ្នា បន្ទាប់មកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និង b គឺជាមុំរវាងយន្តហោះ និង។ ជាធម្មតានៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង គ្រាន់តែសំណង់បែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីទទួលបានមុំរវាងយន្តហោះ។

ដោយសារមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាមិនលើសពី វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលបានបញ្ជាក់នោះ។ រង្វាស់ដឺក្រេមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរត្រូវបានបង្ហាញ ចំនួនពិតពីចន្លោះពេល។ ក្នុងករណីនេះយន្តហោះប្រសព្វត្រូវបានគេហៅថា កាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺកៅសិបដឺក្រេ។ មុំរវាង យន្តហោះស្របគ្នា។ពួកគេមិនបានកំណត់វាទាល់តែសោះ ឬពួកគេចាត់ទុកថាវាស្មើនឹងសូន្យ។

ស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ជាធម្មតា នៅពេលស្វែងរកមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាដំបូង អ្នកត្រូវតែធ្វើការសាងសង់បន្ថែម ដើម្បីមើលបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ មុំរវាងដែលស្មើនឹងមុំដែលចង់បាន ហើយបន្ទាប់មកទាក់ទងមុំនេះទៅនឹងទិន្នន័យដើមដោយប្រើតេស្តសមភាព ភាពស្រដៀងគ្នា។ តេស្ត ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ឬនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់នៃមុំ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្រ វិទ្យាល័យបញ្ហាស្រដៀងគ្នាកើតឡើង។

ជាឧទាហរណ៍ សូមផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា C2 ពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ឆ្នាំ 2012 (លក្ខខណ្ឌត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចេតនា ប៉ុន្តែវាមិនប៉ះពាល់ដល់គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយទេ)។ នៅក្នុងវា អ្នកគ្រាន់តែត្រូវរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូងយើងធ្វើគំនូរ។

ចូរយើងធ្វើការសាងសង់បន្ថែមដើម្បី "មើល" មុំរវាងយន្តហោះ។

ដំបូង យើងកំណត់បន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។ ចំណុច B គឺជាចំណុចរួមមួយរបស់ពួកគេ។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចរួមទីពីរនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ បន្ទាត់ DA និង D 1 E ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា ADD 1 ហើយពួកវាមិនស្របគ្នាទេ ដូច្នេះហើយប្រសព្វគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បន្ទាត់ DA ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC ហើយបន្ទាត់ D 1 E - នៅក្នុងយន្តហោះ BED 1 ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ DA និង D 1 E នឹងជា ចំណុចរួម យន្តហោះ ABCនិង BED 1 ។ ដូច្នេះ ចូរយើងបន្តបន្ទាត់ DA និង D 1 E ទៅចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ ដោយសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេជាមួយនឹងអក្សរ F ។ បន្ទាប់មក BF គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។

វានៅសល់ដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ BF និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ BF - មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះតាមនិយមន័យនឹងស្មើនឹងមុំដែលចង់បានរវាង យន្តហោះ ABC និង BED 1 ។ តោះធ្វើបែបនេះ។

ចំណុច A គឺជាការព្យាករនៃចំណុច E ទៅលើយន្តហោះ ABC ។ ចូរគូរបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ BF នៅមុំខាងស្តាំត្រង់ចំនុច M ។ បន្ទាប់មក បន្ទាត់ត្រង់ AM គឺជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់ EM ទៅលើយន្តហោះ ABC ហើយតាមទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបី។

ដូច្នេះមុំដែលត្រូវការរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺស្មើនឹង .

យើងអាចកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស ឬតង់ហ្សង់នៃមុំនេះ (ហើយដូច្នេះមុំខ្លួនវា) ពីត្រីកោណខាងស្តាំ AEM ប្រសិនបើយើងដឹងពីប្រវែងនៃជ្រុងទាំងពីររបស់វា។ តាមលក្ខខណ្ឌវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកប្រវែង AE: ចាប់តាំងពីចំនុច E បែងចែកចំហៀង AA 1 ក្នុងសមាមាត្រនៃ 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A ហើយប្រវែងនៃចំហៀង AA 1 គឺ 7 បន្ទាប់មក AE = 4 ។ ចូររកប្រវែង AM ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមពិចារណា ត្រីកោណកែង ABF ដែលមានមុំខាងស្តាំ A ដែល AM ជាកំពស់។ តាមលក្ខខណ្ឌ AB = 2 ។ យើងអាចរកឃើញប្រវែងនៃចំហៀង AF ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង DD 1 F និង AEF៖

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងរកឃើញពីត្រីកោណ ABF ។ យើងរកឃើញប្រវែង AM កាត់តាមផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABF: នៅម្ខាងផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABF គឺស្មើ , នៅម្ខាងទៀត។ កន្លែងណា .

ដូច្នេះពីត្រីកោណខាងស្តាំ AEM យើងមាន .

បន្ទាប់មកមុំដែលត្រូវការរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺស្មើគ្នា (ចំណាំថា ).

ចម្លើយ៖

ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ Oxyz ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ តោះឈប់នៅទីនោះ។

ចូរយើងកំណត់ភារកិច្ច៖ រកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ចូរយើងកំណត់មុំដែលចង់បានជា .

យើងនឹងសន្មត់ថានៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Oxyz យើងដឹងពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយឬមានឱកាសស្វែងរកពួកវា។ អនុញ្ញាតឱ្យ គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។

ចូរយើងបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្លង់និងប្រសព្វជា គ។ តាមរយៈចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ c យើងគូរប្លង់កាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ យន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ។ តាមនិយមន័យ មុំរវាងប្លង់ប្រសព្វ និងស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង ខ។

ចូរយើងគូររូបវ៉ិចទ័រ និងប្លង់ធម្មតា និងពីចំណុច M ក្នុងយន្តហោះ។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ a ហើយវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ b ។ ដូច្នេះក្នុងប្លង់វ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ a គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ ខ។

នៅក្នុងអត្ថបទស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា យើងបានទទួលរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b ហើយជាលទ្ធផល។ កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វហើយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត កន្លែងណា និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និងរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគណនាជា .

ចូរដោះស្រាយឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ។

ឧទាហរណ៍។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យចតុកោណ parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ដែលក្នុងនោះ AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 និងចំណុច E បែងចែកចំហៀង AA 1 ក្នុងសមាមាត្រនៃ 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A ។ រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1។

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពីភាគី ចតុកោណ parallelepipedនៅពេលដែល vertex មួយត្រូវកាត់កែងគ្នា វាជាការងាយស្រួលក្នុងការណែនាំ ប្រព័ន្ធចតុកោណសំរបសំរួល Oxyz ដូចនេះ៖ ការចាប់ផ្តើមត្រូវបានតម្រឹមជាមួយ vertex C និង សំរបសំរួលអ័ក្ស Ox, Oy និង Oz ត្រូវបានដឹកនាំទៅភាគី CD, CB និង CC 1 រៀងគ្នា។

មុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត ដែលនិងជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់យន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នា។ ចូរកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

រង្វាស់នៃមុំរវាងយន្តហោះគឺ មុំស្រួចបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះទាំងនេះ ហើយគូសកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នៃចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។

ក្បួនដោះស្រាយសំណង់

ពីចំណុចដែលបំពាន K កាត់កែងត្រូវបានគូរទៅប្លង់នីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ដោយការបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់កម្រិត មុំ γ° ជាមួយចំនុចកំពូលនៅចំណុច K ត្រូវបានកំណត់។
គណនាមុំរវាងប្លង់ ϕ° = 180 – γ° ផ្តល់ថា γ° > 90° ។ ប្រសិនបើγ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

តួលេខបង្ហាញពីករណីនៅពេលដែលយន្តហោះ α និង β ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយដាន។ សំណង់ចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយហើយត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។

ដំណោះស្រាយ

នៅកន្លែងដែលបំពានក្នុងគំនូរ សម្គាល់ចំណុច K. ពីវា យើងបន្ថយកាត់កែង m និង n រៀងគ្នាទៅនឹងប្លង់ α និង β ។ ទិសដៅនៃការព្យាករ m និង n មានដូចខាងក្រោម៖ m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β ។
យើងកំណត់ទំហំពិត ∠γ° រវាងបន្ទាត់ m និង n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅជុំវិញផ្នែកខាងមុខ f យើងបង្វិលយន្តហោះនៃមុំជាមួយ vertex K ទៅទីតាំងមួយស្របទៅនឹងយន្តហោះខាងមុខនៃការព្យាករ។ កាំរបត់ R នៃចំនុច K ស្មើនឹងតម្លៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំ O""K""K 0 ដែលផ្នែកម្ខាងគឺ K""K 0 = y K - y O ។
មុំដែលចង់បានគឺ ϕ° = ∠γ° ចាប់តាំងពី ∠γ° គឺស្រួច។

រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដែលតម្រូវឱ្យស្វែងរកមុំγ°រវាងប្លង់ α និង β ដែលផ្តល់ដោយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងប្រសព្វរៀងគ្នា។

ដំណោះស្រាយ

យើងកំណត់ទិសដៅនៃការព្យាករផ្តេក h 1, h 2 និងផ្នែកខាងមុខ f 1, f 2, ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះα និង β តាមលំដាប់ដែលបង្ហាញដោយព្រួញ។ ពីចំណុចបំពាន K នៅលើការ៉េ។ α និង β យើងលុបកាត់កែង e និង k ។ ក្នុងករណីនេះ e ""⊥f"" 1 , e "⊥h" 1 និង k""⊥f"" 2 , k "⊥h" 2 ។
យើងកំណត់ ∠γ° រវាងបន្ទាត់ e និង k ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគូរបន្ទាត់ផ្តេក h 3 ហើយនៅជុំវិញវាយើងបង្វិលចំណុច K ទៅទីតាំង K 1 ដែល △CKD នឹងក្លាយទៅជាស្របទៅនឹងយន្តហោះផ្តេក ហើយនឹងត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងលើវាតាមទំហំធម្មជាតិ - △C "K" 1 D "។ ការព្យាករនៃចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល O" ស្ថិតនៅលើចំណុចទាញទៅ h" 3 កាត់កែងទៅ K "O" ។ កាំ R ត្រូវបានកំណត់ពីត្រីកោណខាងស្តាំ O"K"K 0 ដែលចំហៀង K"K 0 = Z O - Z K ។
តម្លៃនៃតម្លៃដែលចង់បានគឺ ∠ϕ° = ∠γ° ចាប់តាំងពីមុំ γ° គឺស្រួច។

\(\blacktriangleright\) មុំ Dihedral គឺជាមុំមួយដែលបង្កើតឡើងដោយពាក់កណ្តាលប្លង់ពីរ និងបន្ទាត់ត្រង់ \(a\) ដែលជាព្រំដែនរួមរបស់ពួកគេ។

\(\blacktriangleright\) ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) អ្នកត្រូវស្វែងរក មុំលីនេអ៊ែរ(និង ហឹរឬ ផ្ទាល់) មុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) :

ជំហានទី 1: អនុញ្ញាតឱ្យ \(\xi\cap\pi=a\) (បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ) ។ នៅក្នុងយន្តហោះ \(\xi\) យើងកត់សំគាល់ ចំណុចបំពាន\(F\) និងអនុវត្ត \(FA\perp a\);

ជំហានទី 2: អនុវត្ត \(FG\perp \pi\);

ជំហានទី 3: យោងតាម TTP (\(FG\) - កាត់កែង, \(FA\) - oblique, \(AG\) - ការព្យាករណ៍) យើងមាន: \(AG\perp a\);

ជំហានទី 4៖ មុំ \(\angle FAG\) ត្រូវបានគេហៅថាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) ។

ចំណាំថាត្រីកោណ \(AG\) គឺមុំខាងស្តាំ។
ចំណាំផងដែរថាយន្តហោះ \(AFG\) ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះទាំងពីរ \(\xi\) និង \(\pi\) ។ ដូច្នេះយើងអាចនិយាយខុសគ្នា៖ មុំរវាងយន្តហោះ\(\xi\) និង \(\pi\) គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ \(c\in \xi\) និង \(b\in\pi\) បង្កើតប្លង់កាត់កែងទៅ និង \(\xi\ ) និង \(\pi\) ។

កិច្ចការទី 1 #2875

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

ដោយមើលឃើញពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុង គែមទាំងអស់ស្មើគ្នា ហើយមូលដ្ឋានគឺជាការ៉េ។ ស្វែងរក \(6\cos \alpha\) ដែល \(\alpha\) គឺជាមុំរវាងមុខចំហៀងរបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យ \(SABCD\) - ពីរ៉ាមីតនេះ។(\(S\) គឺជាចំនុចកំពូល) ដែលគែមរបស់វាស្មើនឹង \(a\) ។ ដូច្នេះអ្វីគ្រប់យ៉ាង មុខចំហៀងគឺជាត្រីកោណសមមូល។ ចូរយើងស្វែងរកមុំរវាងមុខ \(SAD\) និង \(SCD\) ។

តោះធ្វើ \(CH\perp SD\) ។ ដោយសារតែ \\(\ត្រីកោណ SAD=\ត្រីកោណ SCD\)បន្ទាប់មក \(AH\) ក៏នឹងជាកម្ពស់នៃ \(\ត្រីកោណ SAD\) ផងដែរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ \(\angle AHC=\alpha\) គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral រវាងមុខ \(SAD\) និង \(SCD\) ។
ដោយសារមូលដ្ឋានគឺជាការ៉េ បន្ទាប់មក \(AC=a\sqrt2\) ។ សូមចំណាំផងដែរថា \(CH=AH\) គឺជាកម្ពស់ ត្រីកោណសមមូលជាមួយចំហៀង \(a\) ដូច្នេះ \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) ។
បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសពី \(\ត្រីកោណ AHC\)៖ \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

ចម្លើយ៖ -២

កិច្ចការទី 2 #2876

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

យន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ប្រសព្វគ្នានៅមុំមួយដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង \(0.2\) ។ ប្លង់ \\(\pi_2\) និង \(\pi_3\) ប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ ហើយបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ យន្តហោះ \(\pi_2\) និង \(\ pi_3\) ។ ស្វែងរកស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_3\) ។

សូមឱ្យបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ជាបន្ទាត់ត្រង់ \(a\) បន្ទាត់ប្រសព្វនៃ \(\pi_2\) និង \(\pi_3\) ជាបន្ទាត់ត្រង់ បន្ទាត់ \(b\) និងបន្ទាត់ប្រសព្វ \(\pi_3\) និង \(\pi_1\) – បន្ទាត់ត្រង់ \(c\) ។ ចាប់តាំងពី \(a\parallel b\) បន្ទាប់មក \(c\parallel a\parallel b\) (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីផ្នែកនៃទ្រឹស្ដីយោង "ធរណីមាត្រក្នុងលំហ" \(\rightarrow\) "សេចក្តីផ្តើមចំពោះស្តេរ៉េអូមេទ្រី, ភាពស្របគ្នា”) ។

ចូរសម្គាល់ចំណុច \(A\in a, B\in b\) ដូច្នេះ \(AB\perp a, AB\perp b\) (វាអាចទៅរួចចាប់តាំងពី \(a\parallel b\))។ ចូរយើងសម្គាល់ \(C\in c\) ដូច្នេះ \(BC\perp c\) ដូច្នេះ \(BC\perp b\) ។ បន្ទាប់មក \(AC\perp c\) និង \(AC\perp a\) ។
ជាការពិត ចាប់តាំងពី \(AB\perp b, BC\perp b\) បន្ទាប់មក \(b\) គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ABC\) ។ ចាប់តាំងពី \(c\parallel a\parallel b\) បន្ទាប់មកបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) ក៏កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ABC\) ហើយដូច្នេះចំពោះបន្ទាត់ណាមួយពីយន្តហោះនេះ ជាពិសេស , បន្ទាត់ \ (AC\) ។

វាធ្វើតាមនោះ។ \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). វាប្រែថា \(\ត្រីកោណ ABC\) មានរាងចតុកោណកែង ដែលមានន័យថា \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

ចម្លើយ៖ ០.២

កិច្ចការទី 3 #2877

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

បានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ \(a, b, c\) ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ហើយមុំរវាងពួកវាទាំងពីរគឺស្មើនឹង \(60^\circ\) ។ ស្វែងរក \(\cos^(-1)\alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងយន្តហោះដែលបង្កើតដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) និង យន្តហោះដែលបង្កើតដោយបន្ទាត់ \( b\) និង \(c\) ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច \(O\) ។ ដោយសារមុំរវាងពួកវាទាំងពីរគឺស្មើនឹង \(60^\circ\) នោះបន្ទាត់ត្រង់ទាំងបីមិនអាចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយបានទេ។ ចូរយើងគូសចំនុច \(A\) នៅលើបន្ទាត់ \(a\) ហើយគូរ \(AB\perp b\) និង \(AC\perp c\) ។ បន្ទាប់មក \\ (\\ ត្រីកោណ AOB = \\ ត្រីកោណ AOC \\)ជាចតុកោណកែងតាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច។ ដូច្នេះ \(OB=OC\) និង \(AB=AC\) ។
តោះធ្វើ \(AH\perp (BOC)\) ។ បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទអំពីបីកាត់កែង \(HC\perp c\), \(HB\perp b\) ។ ចាប់តាំងពី \(AB=AC\) បន្ទាប់មក \\ (\\ ត្រីកោណ AHB = \\ ត្រីកោណ AHC \\)រាងចតុកោណកែងតាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើង។ ដូច្នេះ \(HB=HC\) ។ នេះមានន័យថា \(OH\) គឺជាផ្នែកនៃមុំ \(BOC\) (ចាប់តាំងពីចំនុច \(H\) គឺស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ)។

ចំណាំថាតាមរបៀបនេះយើងក៏បានសាងសង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral, បង្កើតឡើងដោយយន្តហោះបង្កើតដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) ហើយប្លង់ដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(b\) និង \(c\) ។ នេះគឺជាមុំ \(ACH\) ។

ចូរយើងស្វែងរកមុំនេះ។ ដោយសារយើងជ្រើសរើសចំណុច \(A\) តាមអំពើចិត្ត អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសវាដូច្នេះ \(OA=2\) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចតុកោណ \\ (\ ត្រីកោណ AOC)៖ \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]ដោយសារ \(OH\) ជា bisector នោះ \(\angle HOC=30^\circ\) ដូច្នេះក្នុងចតុកោណ \(\ត្រីកោណ HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3)\]បន្ទាប់មកពីចតុកោណ \\ (\ ត្រីកោណ ACH ) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

ចម្លើយ៖ ៣

កិច្ចការទី 4 # 2910

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

ប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ត្រង់ \(l\) ដែលចំនុច \(M\) និង \(N\) ស្ថិតនៅ។ ចម្រៀក \(MA\) និង \(MB\) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ \(l\) ហើយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) រៀងគ្នា និង \(MN = 15 \) , \(AN = 39\), \(BN = 17\), \(AB = 40\) ។ ស្វែងរក \(3\cos\alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ។

ត្រីកោណ \(AMN\) ជាមុំខាងស្តាំ \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) មកពីណា \ ត្រីកោណ \(BMN\) ជាមុំខាងស្តាំ \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) ដែល \យើងសរសេរទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសសម្រាប់ត្រីកោណ \(AMB\): \ បន្ទាប់មក \ ដោយសារមុំ \(\alpha\) រវាងប្លង់គឺជាមុំស្រួច ហើយ \(\angle AMB\) ប្រែទៅជា obtuse បន្ទាប់មក \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) ។ បន្ទាប់មក \

ចម្លើយ៖ ១.២៥

កិច្ចការទី 5 #2911

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) គឺជាប៉ារ៉ាឡែលពីចំណុច \(ABCD\) ជាការ៉េដែលមានចំហៀង \(a\) ចំណុច \(M\) ជាមូលដ្ឋានកាត់កាត់ពីចំណុច \(A_1\) ទៅកាន់យន្តហោះ \ ((ABCD)\) លើសពីនេះទៀត \(M\) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(ABCD\) ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). រកមុំរវាងយន្តហោះ \((ABCD)\) និង \((AA_1B_1B)\) ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។

ចូរយើងសង់ \(MN\) កាត់កែងទៅ \(AB\) ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។

ដោយសារ \(ABCD\) គឺជាការ៉េដែលមានចំហៀង \(a\) និង \(MN\perp AB\) និង \(BC\perp AB\) បន្ទាប់មក \(MN\parallel BC\) ។ ដោយសារ \(M\) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ ដូច្នេះ \(M\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AC\) ដូច្នេះ \(MN\) គឺ បន្ទាត់កណ្តាលនិង \(MN =\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) គឺជាការព្យាករនៃ \(A_1N\) ទៅលើយន្តហោះ \((ABCD)\) ហើយ \(MN\) កាត់កែងទៅ \(AB\) បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទនៃ កាត់កែងបី \ (A_1N\) គឺកាត់កែងទៅនឹង \(AB \) និងមុំរវាងយន្តហោះ \((ABCD)\) និង \((AA_1B_1B)\) គឺ \(\angle A_1NM\) ។
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

ចម្លើយ៖ ៦០

កិច្ចការទី 6 # 1854

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

នៅក្នុងការ៉េមួយ \(ABCD\) : \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង; \(S\) - មិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃការ៉េទេ \(SO \perp ABC\) ។ រកមុំរវាងប្លង់ \(ASD\) និង \(ABC\) ប្រសិនបើ \(SO = 5\) និង \(AB = 10\) ។

ត្រីកោណស្តាំ \\(\ត្រីកោណ SAO\) និង \(\ត្រីកោណ SDO\) ស្មើគ្នានៅជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) ពីព្រោះ \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(SO\) - ផ្នែករួម) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\ត្រីកោណ ASD\) – isosceles ។ ចំណុច \(K\) គឺពាក់កណ្តាលនៃ \(AD\) បន្ទាប់មក \(SK\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ASD\) ហើយ \(OK\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \( AOD\) \(\Rightarrow\) យន្តហោះ \(SOK\) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) - មុំលីនេអ៊ែរ ស្មើនឹងការចង់បាន មុំ dihedral ។

ក្នុង \(\ត្រីកោណ SKO\)៖ \(យល់ព្រម = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - isosceles ត្រីកោណកែង \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) ។

ចម្លើយ៖ ៤៥

កិច្ចការទី 7 # 1855

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម

នៅក្នុងការ៉េមួយ \(ABCD\) : \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង; \(S\) - មិនស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃការ៉េទេ \(SO \perp ABC\) ។ រកមុំរវាងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(BSC\) ប្រសិនបើ \(SO = 5\) និង \(AB = 10\) ។

ត្រីកោណកែង \\(\ត្រីកោណ SAO\) , \(\ត្រីកោណ SDO\) , \(\ត្រីកោណ SOB\) និង \(\ត្រីកោណ SOC\) គឺស្មើគ្នាជាពីរជ្រុង និងមុំរវាងពួកវា (\(SO \perp ABC \\) \\ (\\ ព្រួញស្ដាំ \\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), ដោយសារតែ \(O\) - ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(SO\) - ផ្នែកធម្មតា) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) និង \(\triangle BSC\) គឺជា isosceles ។ ចំណុច \(K\) គឺពាក់កណ្តាលនៃ \(AD\) បន្ទាប់មក \(SK\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ASD\) ហើយ \(OK\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \( AOD\) \(\ Rightarrow\) យន្តហោះ \(SOK\) គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ASD\) ។ ចំណុច \(L\) គឺពាក់កណ្តាលនៃ \(BC\) បន្ទាប់មក \(SL\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\ត្រីកោណ BSC\) ហើយ \(OL\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \( BOC\) \(\rightarrow\) យន្តហោះ \(SOL\) (aka plane \(SOK\)) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(BSC\) ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបាននោះ \(\angle KSL\) គឺជាមុំលីនេអ៊ែរ ស្មើនឹងមុំ dihedral ដែលចង់បាន។

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\\ (\\ ព្រួញស្តាំ \\) \\ (OL = 5 \\); \(SK = SL\) - កម្ពស់ស្មើគ្នា ត្រីកោណ isoscelesដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖ \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). វាអាចត្រូវបានកត់សម្គាល់ឃើញ \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) សម្រាប់ត្រីកោណ \(\triangle KSL\) ទ្រឹស្ដីបទពីតាហ្គោរ ច្រាសកាន់ \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – ត្រីកោណស្តាំ \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ រង្វង់\) ។

ចម្លើយ៖ ៩០

ការរៀបចំសិស្សដើម្បីប្រលងជាប់ Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យា ជាក្បួនចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការធ្វើឡើងវិញនូវរូបមន្តមូលដ្ឋាន រួមទាំងរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់មុំរវាងយន្តហោះ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាផ្នែកនៃធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគ្របដណ្តប់នៅក្នុងលម្អិតគ្រប់គ្រាន់នៅក្នុង កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលានិស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាជាច្រើនត្រូវការសម្ភារៈមូលដ្ឋានឡើងវិញ។ ការយល់ដឹងពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ សិស្សវិទ្យាល័យនឹងអាចគណនាបានរហ័សនូវចម្លើយត្រឹមត្រូវនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ហើយពឹងផ្អែកលើការទទួលបានពិន្ទុសមរម្យលើលទ្ធផលនៃការប្រឡងជាប់រដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

nuances ចម្បង

ដូច្នេះសំណួរគឺរបៀបស្វែងរក មុំ dihedralដោយមិនបង្កឱ្យមានការលំបាកណាមួយឡើយ យើងសូមណែនាំឱ្យធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ ដែលនឹងជួយអ្នកឱ្យស៊ូទ្រាំនឹងភារកិច្ចនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

ដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា។

បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវជ្រើសរើសចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់នេះហើយគូរកាត់កែងពីរទៅវា។

ជំហានបន្ទាប់- ការស្វែងរក មុខងារត្រីកោណមាត្រមុំ dihedral បង្កើតឡើងដោយកាត់កែង។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើនេះគឺដោយមានជំនួយពីត្រីកោណលទ្ធផលដែលមុំគឺជាផ្នែកមួយ។

ចម្លើយនឹងជាតម្លៃនៃមុំ ឬអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររបស់វា។

ការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តប្រឡងជាមួយ Shkolkovo គឺជាគន្លឹះនៃភាពជោគជ័យរបស់អ្នក។

ក្នុងថ្នាក់រៀននៅថ្ងៃមុន។ ឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមសិស្សសាលាជាច្រើនប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកនិយមន័យ និងរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យពួកគេគណនាមុំរវាងយន្តហោះ 2 ។ សៀវភៅសិក្សាសាលាវាមិនតែងតែមាននៅក្នុងដៃទេនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការវា។ និងដើម្បីស្វែងរក រូបមន្តចាំបាច់និងឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេ រួមទាំងការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះនៅលើអ៊ីនធឺណិតតាមអ៊ីនធឺណិត ដែលជួនកាលត្រូវការពេលវេលាច្រើន។

វិបផតថលគណិតវិទ្យា "Shkolkovo" ផ្តល់ជូន វិធីសាស្រ្តថ្មី។ដើម្បីត្រៀមប្រឡងថ្នាក់រដ្ឋ។ ថ្នាក់រៀននៅលើគេហទំព័ររបស់យើងនឹងជួយសិស្សឱ្យស្គាល់ផ្នែកដែលពិបាកបំផុតសម្រាប់ខ្លួនគេ និងបំពេញចន្លោះនៃចំណេះដឹង។

យើងបានរៀបចំ និងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នូវសម្ភារៈចាំបាច់ទាំងអស់។ និយមន័យមូលដ្ឋាននិងរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "ព័ត៌មានទ្រឹស្តី" ។

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីសម្ភារៈ យើងក៏ស្នើឱ្យអនុវត្តលំហាត់សមស្របផងដែរ។ ជម្រើសដ៏ធំនៃភារកិច្ច កម្រិតខុសគ្នាជាឧទាហរណ៍ ភាពស្មុគស្មាញត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "កាតាឡុក"។ កិច្ចការទាំងអស់មានក្បួនដោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ បញ្ជីនៃលំហាត់នៅលើគេហទំព័រត្រូវបានបំពេញបន្ថែម និងធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជានិច្ច។

ខណៈពេលដែលកំពុងអនុវត្តការដោះស្រាយបញ្ហាដែលតម្រូវឱ្យស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះពីរ សិស្សមានឱកាសដើម្បីរក្សាទុកកិច្ចការណាមួយតាមអ៊ីនធឺណិតជា "ចំណូលចិត្ត"។ សូមអរគុណដល់ការនេះពួកគេនឹងអាចត្រលប់ទៅគាត់វិញ។ បរិមាណដែលត្រូវការពេលវេលា និងពិភាក្សាអំពីវឌ្ឍនភាពនៃការសម្រេចចិត្តរបស់ខ្លួនជាមួយ គ្រូបង្រៀនសាលាឬគ្រូបង្រៀន។