ទំនងតិចណាស់។ និយមន័យស្ថិតិនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

ដើមឡើយគ្រាន់តែជាការប្រមូលព័ត៌មាន និង ការសង្កេតជាក់ស្តែងនៅពីក្រោយល្បែងគ្រាប់ឡុកឡាក់ ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេបានក្លាយជាវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ហ្មត់ចត់។ អ្នកដំបូងដែលផ្តល់ឱ្យវានូវក្របខ័ណ្ឌគណិតវិទ្យាគឺ Fermat និង Pascal ។

ពីការគិតអំពីភាពអស់កល្បជានិច្ចដល់ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

បុគ្គលពីរនាក់ដែលទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេជំពាក់រូបមន្តជាមូលដ្ឋានជាច្រើនគឺ Blaise Pascal និង Thomas Bayes ត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាអ្នកកាន់សាសនាជ្រៅជ្រះ ហើយក្រោយមកទៀតគឺជារដ្ឋមន្ត្រី Presbyterian ។ ជាក់ស្តែង បំណងប្រាថ្នារបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទាំងពីរនាក់នេះ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពខុសឆ្គងនៃគំនិតអំពីសំណាងជាក់លាក់មួយ ដែលផ្តល់សំណាងល្អដល់ចំណង់ចំណូលចិត្តរបស់នាង បានផ្តល់កម្លាំងរុញច្រានដល់ការស្រាវជ្រាវនៅក្នុងតំបន់នេះ។ បន្ទាប់ពីទាំងអស់, នៅក្នុងការពិត, ណាមួយ។ ល្បែងស៊ីសងជាមួយនឹងការឈ្នះ និងចាញ់របស់វា វាគ្រាន់តែជាបទភ្លេងនៃគោលការណ៍គណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។

សូមអរគុណចំពោះចំណង់ចំណូលចិត្តរបស់សុភាពបុរស de Mere ដែល ស្មើគ្នាក្នុងនាមជាអ្នកលេងល្បែង និងជាមនុស្សមិនព្រងើយកន្តើយនឹងវិទ្យាសាស្ត្រ Pascal ត្រូវបានបង្ខំឱ្យស្វែងរកវិធីដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ។ De Mere ចាប់អារម្មណ៍លើសំណួរខាងក្រោម៖ "តើអ្នកត្រូវការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ចំនួនប៉ុន្មានដង ដើម្បីអោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន 12 ពិន្ទុលើសពី 50%?" សំណួរទីពីរដែលចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះសុភាពបុរស៖ "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបែងចែកការភ្នាល់រវាងអ្នកចូលរួមនៅក្នុងហ្គេមដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់?" ជាការពិតណាស់ Pascal បានឆ្លើយតបដោយជោគជ័យនូវសំណួរទាំងពីររបស់ de Mere ដែលបានក្លាយជាអ្នកផ្តួចផ្តើមគំនិតដោយមិនដឹងខ្លួននៃការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលបុគ្គលនៃដឺ Mere នៅតែត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងតំបន់នេះ ហើយមិនមែននៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ទេ។

ពីមុនមក គ្មានគណិតវិទូណាម្នាក់ធ្លាប់ព្យាយាមគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នោះទេ ព្រោះគេជឿថានេះគ្រាន់តែជាដំណោះស្រាយទាយប៉ុណ្ណោះ។ Blaise Pascal បានផ្តល់និយមន័យដំបូងនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ហើយបានបង្ហាញថាវាគឺជាតួលេខជាក់លាក់ដែលអាចរាប់ជាសុចរិត។ គណិតវិទ្យា. ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេបានក្លាយជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ស្ថិតិ ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រទំនើប។

តើអ្វីទៅជាភាពចៃដន្យ

ពិចារណាលើការធ្វើតេស្តដែលអាចធ្វើម្តងទៀត ចំនួនគ្មានកំណត់ដង បន្ទាប់មកយើងអាចកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។ នេះ​ជា​លទ្ធផល​ទំនង​មួយ​នៃ​ការ​ពិសោធន៍។

បទពិសោធន៍គឺជាការអនុវត្ត សកម្មភាពជាក់ស្តែងនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌថេរ។

ដើម្បីអាចធ្វើការជាមួយលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ ព្រឹត្តិការណ៍ជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ A, B, C, D, E...

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ

ដើម្បីចាប់ផ្តើមផ្នែកគណិតវិទ្យានៃប្រូបាប៊ីលីតេ ចាំបាច់ត្រូវកំណត់សមាសធាតុទាំងអស់របស់វា។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុង ទម្រង់លេខរង្វាស់នៃលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន (A ឬ B) ដែលកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍មួយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានបង្ហាញជា P(A) ឬ P(B)។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ពួកគេបែងចែក៖

• អាចទុកចិត្តបាន។ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានធានាថានឹងកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ P(Ω) = 1;
• មិនអាចទៅរួចព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចកើតឡើង P(Ø) = 0;
• ចៃដន្យព្រឹត្តិការណ៍មួយស្ថិតនៅចន្លោះជាក់លាក់ និងមិនអាចទៅរួច ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់វាអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែមិនត្រូវបានធានាទេ (ប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យតែងតែនៅក្នុង 0≤Р(А)≤ 1)។

ទំនាក់ទំនងរវាងព្រឹត្តិការណ៍

ទាំងមួយ និងផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ A+B ត្រូវបានពិចារណា នៅពេលដែលព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានរាប់ នៅពេលដែលយ៉ាងហោចណាស់ធាតុផ្សំមួយ A ឬ B ឬទាំងពីរ A និង B ត្រូវបានបំពេញ។

ទាក់ទងនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក ព្រឹត្តិការណ៍អាចជាៈ

• អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។
• ឆបគ្នា។
• មិនឆបគ្នា។
• ទល់មុខ (ផ្តាច់មុខ) ។
• អាស្រ័យ។

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ពីរអាចកើតឡើងដោយមានប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នា នោះពួកវា អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា.

ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A មិនកាត់បន្ថយទៅសូន្យប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ B នោះពួកគេ ឆបគ្នា។

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A និង B មិនដែលកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាក្នុងបទពិសោធន៍ដូចគ្នា នោះគេហៅថា មិនឆបគ្នា។. បោះកាក់ - ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អ៖ រូបរាងនៃក្បាលគឺដោយស្វ័យប្រវត្តិ មិនមែនជារូបរាងនៃក្បាល។

ប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាបែបនេះរួមមានផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ៖

P(A+B)=P(A)+P(B)

ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយធ្វើឱ្យការកើតឡើងនៃមួយផ្សេងទៀតមិនអាចទៅរួចនោះគេហៅថាផ្ទុយ។ បន្ទាប់មកមួយក្នុងចំនោមពួកគេត្រូវបានកំណត់ថាជា A និងមួយទៀត - Ā (អានថា "មិនមែន A") ។ ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A មានន័យថា Ā មិនបានកើតឡើង។ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរនេះបង្កើតជាក្រុមពេញលេញដែលមានផលបូកនៃប្រូបាបស្មើនឹង 1 ។

ព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យមានឥទ្ធិពលទៅវិញទៅមក ការថយចុះ ឬបង្កើនប្រូបាប៊ីលីតេនៃគ្នាទៅវិញទៅមក។

ទំនាក់ទំនងរវាងព្រឹត្តិការណ៍។ ឧទាហរណ៍

ការប្រើឧទាហរណ៍ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់អំពីគោលការណ៍នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងការបញ្ចូលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍។

ការពិសោធន៍ដែលនឹងត្រូវបានអនុវត្តរួមមានការយកបាល់ចេញពីប្រអប់មួយ ហើយលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍នីមួយៗគឺជាលទ្ធផលបឋម។

ព្រឹត្តិការណ៍​មួយ​ជា​លទ្ធផល​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​នៃ​ការ​ពិសោធ​មួយ - បាល់​ពណ៌​ក្រហម បាល់​ខៀវ បាល់​ដែល​មាន​លេខ​ប្រាំមួយ ។ល។

ការធ្វើតេស្តលេខ 1 ។ មានបាល់ចំនួន 6 ដែលជាប់ពាក់ព័ន្ធ បីគ្រាប់មានពណ៌ខៀវដែលមានលេខសេសនៅលើពួកវា ហើយបីគ្រាប់ទៀតមានពណ៌ក្រហមជាមួយនឹងលេខគូ។

ការធ្វើតេស្តលេខ 2 ។ បាល់ចំនួន 6 ពាក់ព័ន្ធ ខៀវជាមួយនឹងលេខពីមួយទៅប្រាំមួយ។

ដោយផ្អែកលើឧទាហរណ៍នេះ យើងអាចដាក់ឈ្មោះបន្សំ៖

• ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន។ជាភាសាអេស្ប៉ាញ លេខ 2 ព្រឹត្តិការណ៍ "ទទួលបានបាល់ពណ៌ខៀវ" គឺអាចទុកចិត្តបាន ចាប់តាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់វាស្មើនឹង 1 ដោយសារបាល់ទាំងអស់មានពណ៌ខៀវ ហើយមិនអាចខកខានបានទេ។ ចំណែកឯព្រឹត្តិការណ៍ "យកបាល់ជាមួយលេខ 1" គឺចៃដន្យ។
• ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច។ជាភាសាអេស្ប៉ាញ លេខ 1 ជាមួយនឹងបាល់ពណ៌ខៀវ និងក្រហម ព្រឹត្តិការណ៍ "ទទួលបានបាល់ពណ៌ស្វាយ" គឺមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់វាគឺ 0។
• ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានដូចគ្នា។ជាភាសាអេស្ប៉ាញ លេខ 1 ព្រឹត្តិការណ៍ "ទទួលបានបាល់ជាមួយនឹងលេខ 2" និង "ទទួលបានបាល់ជាមួយនឹងលេខ 3" គឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា ហើយព្រឹត្តិការណ៍ "ទទួលបានបាល់ជាមួយនឹងលេខគូ" និង "ទទួលបានបាល់ជាមួយនឹងលេខ 2 "មានប្រូបាប៊ីលីតេខុសៗគ្នា។
• ព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវគ្នា។ការទទួលបានប្រាំមួយពីរដងជាប់គ្នាខណៈពេលដែលបោះចោលគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវគ្នា។
• ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។នៅក្នុងភាសាអេស្ប៉ាញដូចគ្នា។ លេខ 1 ព្រឹត្តិការណ៍ "ទទួលបានបាល់ក្រហម" និង "ទទួលបានបាល់ដែលមានលេខសេស" មិនអាចរួមបញ្ចូលគ្នាក្នុងបទពិសោធន៍តែមួយបានទេ។
• ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។ភាគច្រើន ឧទាហរណ៍ភ្លឺនេះគឺជាការបោះកាក់ ដែលក្បាលគូរស្មើនឹងមិនគូរកន្ទុយ ហើយផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺតែងតែ 1 (ក្រុមពេញ)។
• ព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ. ដូច្នេះនៅក្នុងភាសាអេស្ប៉ាញ លេខ 1 អ្នកអាចកំណត់គោលដៅនៃការគូរបាល់ពណ៌ក្រហមពីរដងជាប់គ្នា។ ថាតើវាត្រូវបានទាញយកជាលើកដំបូងឬអត់ ប៉ះពាល់ដល់លទ្ធភាពនៃការទៅយកលើកទីពីរ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាព្រឹត្តិការណ៍ដំបូងប៉ះពាល់យ៉ាងខ្លាំងដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃលើកទីពីរ (40% និង 60%) ។

រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍

ការផ្លាស់ប្តូរពីការទស្សន៍ទាយទៅទិន្នន័យច្បាស់លាស់កើតឡើងតាមរយៈការបកប្រែប្រធានបទទៅជាយន្តហោះគណិតវិទ្យា។ នោះគឺការវិនិច្ឆ័យអំពីព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដូចជា "ប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់" ឬ "ប្រូបាប៊ីលីតេអប្បបរមា" អាចត្រូវបានបកប្រែទៅជាទិន្នន័យជាលេខជាក់លាក់។ វាត្រូវបានអនុញ្ញាតរួចហើយដើម្បីវាយតម្លៃ ប្រៀបធៀប និងបញ្ចូលសម្ភារៈទាំងនោះទៅក្នុងការគណនាស្មុគ្រស្មាញ។

តាមទស្សនៈនៃការគណនា ការកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលវិជ្ជមានបឋមទៅនឹងចំនួននៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃបទពិសោធន៍ទាក់ទងនឹង ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់. ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានតំណាងដោយ P(A) ដែល P តំណាងឱ្យពាក្យ "ប្រូបាប៊ីលីត" ដែលត្រូវបានបកប្រែពីភាសាបារាំងថា "ប្រូបាប៊ីលីតេ" ។

ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺ៖

ដែល m ជាចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ A នោះ n គឺជាផលបូកនៃលទ្ធផលទាំងអស់ដែលអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់បទពិសោធន៍នេះ។ ក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍តែងតែស្ថិតនៅចន្លោះ 0 និង 1៖

0 ≤ P(A)≤ 1 ។

ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ឧទាហរណ៍

តោះយកភាសាអេស្ប៉ាញ។ លេខ 1 ជាមួយបាល់ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាមុននេះ: បាល់ពណ៌ខៀវចំនួន 3 ដែលមានលេខ 1/3/5 និងបាល់ពណ៌ក្រហម 3 ដែលមានលេខ 2/4/6 ។

ដោយផ្អែកលើការធ្វើតេស្តនេះ បញ្ហាផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនអាចត្រូវបានពិចារណា៖

• ក - បាល់ក្រហមធ្លាក់ចេញ។ មានបាល់ក្រហមចំនួន 3 ហើយមានជម្រើសសរុបចំនួន 6 ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ដែលក្នុងនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺស្មើនឹង P(A)=3/6=0.5។
• ខ - រមៀលលេខគូ។ មានលេខគូ 3 (2,4,6) ហើយចំនួនសរុបនៃជម្រើសលេខដែលអាចធ្វើបានគឺ 6។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺ P(B)=3/6=0.5។
• C - ការកើតឡើងនៃចំនួនធំជាង 2 ។ មានជម្រើសចំនួន 4 (3,4,5,6) ក្នុងចំណោមចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលដែលអាចមាននៃ 6។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ C គឺស្មើនឹង P(C)=4 /6=0.67 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីការគណនាព្រឹត្តិការណ៍ C មាន ប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់។ចាប់តាំងពីចំនួននៃលទ្ធផលវិជ្ជមានដែលទំនងគឺខ្ពស់ជាង A និង B ។

ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។

ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះមិនអាចលេចឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាក្នុងបទពិសោធន៍ដូចគ្នានោះទេ។ ដូចនៅក្នុងភាសាអេស្ប៉ាញ លេខ 1 វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលបានបាល់ពណ៌ខៀវនិងពណ៌ក្រហមក្នុងពេលតែមួយ។ នោះគឺអ្នកអាចទទួលបានបាល់ពណ៌ខៀវឬក្រហម។ ដូចគ្នាដែរ លេខគូ និងលេខសេស មិនអាចបង្ហាញក្នុងគ្រាប់ឡុកឡាក់ក្នុងពេលតែមួយបានទេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូក ឬផលិតផលរបស់វា។ ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ A+B ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ឬ B ហើយផលនៃពួកវា AB គឺជាការកើតឡើងនៃទាំងពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ ការលេចចេញនូវគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ក្នុងពេលតែមួយ។

ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលសន្មតថាការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ការផលិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនគឺជាការកើតឡើងរួមគ្នានៃពួកគេទាំងអស់។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ជាក្បួន ការប្រើប្រយោគ "និង" តំណាងឱ្យផលបូកមួយ ហើយការភ្ជាប់ "ឬ" - គុណ។ រូបមន្តដែលមានឧទាហរណ៍នឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីតក្កវិជ្ជានៃការបូកនិងគុណនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។

ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានពិចារណា ទេ។ ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាបន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺស្មើនឹងការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

P(A+B)=P(A)+P(B)

ឧទាហរណ៍៖ ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនោះជាភាសាអេស្ប៉ាញ។ លេខ 1 ដែលមានបាល់ពណ៌ខៀវ និងក្រហម លេខចន្លោះពី 1 និង 4 នឹងបង្ហាញឡើង យើងនឹងគណនាមិននៅក្នុងសកម្មភាពមួយទេ ប៉ុន្តែដោយផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃសមាសធាតុបឋម។ ដូច្នេះនៅក្នុងការពិសោធន៍បែបនេះមានតែ 6 គ្រាប់ឬ 6 នៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់។ លេខដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌគឺ 2 និង 3 ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានលេខ 2 គឺ 1/6 ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានលេខ 3 ក៏ជា 1/6 ផងដែរ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានលេខរវាង 1 និង 4 គឺ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នានៃក្រុមពេញលេញគឺ 1 ។

ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងការពិសោធន៍ជាមួយគូបមួយ យើងបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃលេខទាំងអស់ដែលលេចឡើង លទ្ធផលនឹងមួយ។

នេះក៏ជាការពិតសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគ្នា ឧទាហរណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍ជាមួយកាក់ ដែលភាគីម្ខាងជាព្រឹត្តិការណ៍ A និងមួយទៀតជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ Ā ដូចដែលគេដឹងស្រាប់។

P(A) + P(Ā) = ១

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាកើតឡើង

ការគុណប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើនៅពេលពិចារណាលើការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាពីរ ឬច្រើននៅក្នុងការសង្កេតមួយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ A និង B នឹងបង្ហាញនៅក្នុងវាក្នុងពេលដំណាលគ្នាគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ ឬ៖

P(A*B)=P(A)*P(B)

ឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងភាសាអេស្ប៉ាញ លេខ 1 ជាលទ្ធផលនៃការប៉ុនប៉ងពីរដង បាល់ពណ៌ខៀវនឹងលេចឡើងពីរដង ស្មើនឹង

នោះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅពេលដែលលទ្ធផលនៃការព្យាយាមទាញយកបាល់ចំនួនពីរ មានតែបាល់ពណ៌ខៀវប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានស្រង់ចេញគឺ 25% ។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការធ្វើពិសោធន៍ជាក់ស្តែងលើបញ្ហានេះ ហើយមើលថាតើនេះពិតជាករណីឬអត់។

ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា

ព្រឹត្តិការណ៍​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ការ​រួម​គ្នា​នៅ​ពេល​ដែល​ការ​កើត​ឡើង​នៃ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួក​វា​អាច​ស្រប​គ្នា​នឹង​ការ​កើត​ឡើង​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​ផ្សេង​ទៀត​។ ទោះបីជាការពិតដែលថាពួកគេរួមគ្នាក៏ដោយក៏ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេពិចារណា ទេ។ ព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ. ជាឧទាហរណ៍ ការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់អាចផ្តល់លទ្ធផលនៅពេលដែលលេខ 6 លេចឡើងនៅលើពួកគេទាំងពីរ ទោះបីជាព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងស្របគ្នានិងលេចឡើងក្នុងពេលតែមួយក៏ដោយក៏ពួកគេឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក - មានតែប្រាំមួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្លាក់ចេញ។ ឥទ្ធិពលលើវា។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូករបស់ពួកគេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា។ ឧទាហរណ៍

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ដែលជាប់ទាក់ទងគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់ពួកគេ (នោះគឺការកើតឡើងរួមគ្នារបស់ពួកគេ)៖

សន្លាក់ R (A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

ចូរសន្មតថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.4 ។ បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ A កំពុងវាយលុកគោលដៅនៅក្នុងការប៉ុនប៉ងលើកដំបូង B - នៅក្នុងលើកទីពីរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺរួមគ្នា ព្រោះវាអាចទៅរួចដែលអ្នកអាចវាយប្រហារគោលដៅទាំងការបាញ់លើកទីមួយ និងលើកទីពីរ។ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍មិនអាស្រ័យទេ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់ពីរ (យ៉ាងហោចណាស់មួយគ្រាប់)? យោងតាមរូបមន្ត៖

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

ចម្លើយចំពោះសំណួរគឺ៖ "ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់ពីរគឺ 64%" ។

រូបមន្តនេះសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាផងដែរ ដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ P(AB) = 0។ នេះមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាអាចចាត់ទុកថាជាករណីពិសេស។ នៃរូបមន្តដែលបានស្នើឡើង។

ធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងជាតំបន់ពីរ A និង B ដែលប្រសព្វគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាពតំបន់នៃសហជីពរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង ផ្ទៃដីសរុបដកតំបន់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ការពន្យល់ធរណីមាត្រនេះធ្វើឱ្យរូបមន្តដែលហាក់ដូចជាមិនសមហេតុផលអាចយល់បានកាន់តែច្រើន។ ចំណាំថា ដំណោះស្រាយធរណីមាត្រ- មិនមែនជារឿងចម្លែកទេនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ការកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាជាច្រើន (ច្រើនជាងពីរ) គឺពិបាកណាស់។ ដើម្បីគណនាវាអ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តដែលត្រូវបានផ្តល់សម្រាប់ករណីទាំងនេះ។

ព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យ ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយ (A) នៃពួកវាប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃ (B) ផ្សេងទៀត។ លើសពីនេះទៅទៀត ឥទ្ធិពលនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A និងការមិនកើតឡើងរបស់វាត្រូវបានយកមកពិចារណា។ ទោះបីជាព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យតាមនិយមន័យក៏ដោយ មានតែមួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនោះគឺអាស្រ័យ (B) ។ ប្រូបាប៊ីលីតេធម្មតាត្រូវបានកំណត់ថាជា P(B) ឬប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ ក្នុងករណីអ្នកញៀនគំនិតថ្មីត្រូវបានណែនាំ - ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ P A (B) ដែលជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ B ដែលបានផ្តល់ឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ A (សម្មតិកម្ម) ដែលវាអាស្រ័យ។

ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍ A ក៏ចៃដន្យដែរ ដូច្នេះវាក៏មានប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ និងអាចយកទៅពិចារណាក្នុងការគណនាដែលបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនឹងបង្ហាញពីរបៀបធ្វើការជាមួយព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ និងសម្មតិកម្មមួយ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ

ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អសម្រាប់ការគណនាព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យនឹងជាសន្លឹកបៀស្តង់ដារ។

ដោយប្រើសន្លឹកបៀចំនួន 36 ជាឧទាហរណ៍ សូមក្រឡេកមើលព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ។ យើងត្រូវកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសន្លឹកបៀទី 2 ដែលត្រូវបានទាញចេញពីនាវានឹងមានពេជ្រ ប្រសិនបើសន្លឹកបៀទី 1 ដែលត្រូវបានដកចេញគឺ៖

1. Bubnovaya ។
2. ពណ៌ផ្សេង។

ជាក់ស្តែង ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទីពីរ B គឺអាស្រ័យលើ A ទីមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើជម្រើសទីមួយគឺពិត នោះមានកាត 1 (35) និង 1 ពេជ្រ (8) តិចជាងនៅក្នុងនាវា ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ B:

R A (B) =8/35=0.23

ប្រសិនបើជម្រើសទី 2 គឺពិត នោះបន្ទះឥឡូវនេះមាន 35 សន្លឹក ហើយ លេខពេញ tambourine (9) បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បន្ទាប់ B:

R A (B) =9/35=0.26 ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A មានលក្ខខណ្ឌលើការពិតដែលថាកាតទីមួយគឺជាពេជ្រនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ B ថយចុះហើយផ្ទុយទៅវិញ។

គុណព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ

ដឹកនាំដោយជំពូកមុន យើងទទួលយកព្រឹត្តិការណ៍ទីមួយ (A) ជាការពិត ប៉ុន្តែនៅក្នុងខ្លឹមសារ វាមានលក្ខណៈចៃដន្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ ពោលគឺការគូរគ្រាប់ពេជ្រពីសន្លឹកបៀ គឺស្មើនឹង៖

P(A) = 9/36=1/4

ដោយសារទ្រឹស្ដីមិនមានដោយខ្លួនឯង ប៉ុន្តែមានគោលបំណងបម្រើក្នុង គោលបំណងជាក់ស្តែងបន្ទាប់មកវាជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការកត់សម្គាល់ថាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុតគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផលិតព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទលើផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យរួមគ្នា A និង B គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ A គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ B (អាស្រ័យលើ A)៖

P(AB) = P(A) * P A(B)

បន្ទាប់មកនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃនាវា ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការគូរសន្លឹកបៀពីរជាមួយនឹងឈុតពេជ្រគឺ៖

9/36*8/35=0.0571 ឬ 5.7%

ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្រង់ចេញមិនមែនពេជ្រមុន ហើយបន្ទាប់មកពេជ្រគឺស្មើនឹង៖

27/36*9/35=0.19 ឬ 19%

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ B កើតឡើងគឺធំជាងដែលថាសន្លឹកបៀដំបូងដែលគូរគឺមានលក្ខណៈផ្សេងក្រៅពីពេជ្រ។ លទ្ធផលនេះគឺពិតជាឡូជីខល និងអាចយល់បាន។

ប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។

នៅពេលដែលបញ្ហាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌក្លាយជាពហុមុខ វាមិនអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញទេ។ នៅពេលដែលមានសម្មតិកម្មច្រើនជាងពីរគឺ A1,A2,…,A n, .. បង្កើតក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j = Ø, i≠j ។
• Σ k A k = Ω ។

ដូច្នេះរូបមន្ត ប្រូបាប៊ីលីតេពេញលេញសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ B នៅ ក្រុមពេញព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ A1,A2,…, ហើយ n ស្មើនឹង៖

សម្លឹងមើលទៅអនាគត

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យគឺចាំបាច់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងវិស័យជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រ៖ សេដ្ឋកិច្ច ស្ថិតិ រូបវិទ្យា។ល។ ដោយសារដំណើរការមួយចំនួនមិនអាចកំណត់បានដោយកំណត់បានទេ ដោយសារពួកវាផ្ទាល់មានលក្ខណៈប្រហាក់ប្រហែល វិធីសាស្ត្រការងារពិសេសត្រូវបានទាមទារ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងវិស័យបច្ចេកវិទ្យាណាមួយជាមធ្យោបាយដើម្បីកំណត់លទ្ធភាពនៃកំហុស ឬដំណើរការខុសប្រក្រតី។

យើងអាចនិយាយបានថា តាមរយៈការទទួលស្គាល់ប្រូបាប៊ីលីតេ យើងនៅក្នុងវិធីមួយចំនួន បោះជំហានទ្រឹស្តីទៅអនាគត ដោយសម្លឹងមើលវាតាមរយៈ prism នៃរូបមន្ត។

អ្វីៗក្នុងលោកកើតឡើងដោយកំណត់ ឬដោយចៃដន្យ...
អារីស្តូត

ប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ច្បាប់មូលដ្ឋាន

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងៗ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាគំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។

ឧទាហរណ៍ អ្នកបោះកាក់ ចៃដន្យធ្លាក់លើអាវធំ ឬកន្ទុយ។ អ្នក​មិន​ដឹង​ជា​មុន​ថា​កាក់​នឹង​ទៅ​ខាង​ណា​ទេ។ អ្នកចូលទៅក្នុងកិច្ចសន្យាធានារ៉ាប់រង អ្នកមិនដឹងជាមុនថាតើការទូទាត់នឹងត្រូវធ្វើឡើងឬអត់។

នៅក្នុងការគណនាជាក់ស្តែង អ្នកត្រូវមានលទ្ធភាពប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងៗ ដូច្នេះទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេដើរតួនាទីមួយ តួនាទីសំខាន់. គ្មាន​មុខវិជ្ជា​គណិតវិទ្យា​ណា​អាច​ដោះស្រាយ​ប្រូបាប​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​បាន​ទេ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីការបោះកាក់។ មានលទ្ធផលផ្តាច់មុខពីរ៖ អាវដៃធ្លាក់ចេញ ឬកន្ទុយធ្លាក់ចេញ។ លទ្ធផលនៃការបោះគឺចៃដន្យ ដោយសារអ្នកសង្កេតការណ៍មិនអាចវិភាគ និងពិចារណាលើកត្តាទាំងអស់ដែលមានឥទ្ធិពលលើលទ្ធផលនោះទេ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃអាវធំធ្លាក់ចេញ? ភាគច្រើននឹងឆ្លើយ ½ ប៉ុន្តែហេតុអ្វី?

សូមឱ្យវាមានលក្ខណៈផ្លូវការ កបង្ហាញពីការបាត់បង់អាវធំ។ ទុកឱ្យកាក់បោះចោល នម្តង។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កអាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ថា​ជា​សមាមាត្រ​នៃ​ការ​បោះ​ទាំង​នោះ​ដែល​នាំ​ឱ្យ​មាន​ដៃ​អាវ​:

កន្លែងណា នចំនួនសរុបនៃការបោះ, n(A)ចំនួននៃការទម្លាក់អាវុធ។

ទំនាក់ទំនង (1) ត្រូវបានគេហៅថា ប្រេកង់ព្រឹត្តិការណ៍ កនៅក្នុងការធ្វើតេស្តដ៏វែងមួយ។

វាប្រែថានៅក្នុងស៊េរីជាច្រើននៃការធ្វើតេស្តប្រេកង់ដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងទ្រង់ទ្រាយធំ នចង្កោមនៅជុំវិញមួយចំនួន តម្លៃថេរ P(A). បរិមាណនេះត្រូវបានគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ កនិងត្រូវបានកំណត់ដោយលិខិត រ- អក្សរកាត់សម្រាប់ ពាក្យអង់គ្លេស ប្រូបាប៊ីលីតេ - ប្រូបាប៊ីលីតេ.

ជាផ្លូវការយើងមាន៖

(2)

ច្បាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃចំនួនធំ។

ប្រសិនបើកាក់មានភាពយុត្តិធម៌ (ស៊ីមេទ្រី) នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានអាវធំគឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាល និងស្មើនឹង½។

អនុញ្ញាតឱ្យ កនិង INឧទាហរណ៍ ព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន ថាតើព្រឹត្តិការណ៍ធានារ៉ាប់រងបានកើតឡើង ឬអត់។ ការរួបរួមនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ ដែលរួមមានការប្រតិបត្តិនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក, ព្រឹត្តិការណ៍ INឬព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីររួមគ្នា។ ចំណុចប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ កនិង INហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការអនុវត្តជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក, និងព្រឹត្តិការណ៍ IN.

ច្បាប់ជាមូលដ្ឋានការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មានដូចខាងក្រោម៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ៖

2. សូមឲ្យ A និង B ជាព្រឹត្តិការណ៍ពីរ បន្ទាប់មក៖

វាអានដូចនេះ៖ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីររួមបញ្ចូលគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះដកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រសព្វគ្នា។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនស៊ីគ្នា ឬមិនត្រួតស៊ីគ្នា នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរួមបញ្ចូលគ្នា (ផលបូក) នៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប។ ច្បាប់នេះហៅថាច្បាប់ បន្ថែម ប្រូបាប៊ីលីតេ.

យើងនិយាយថាព្រឹត្តិការណ៍មួយអាចទុកចិត្តបាន ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាស្មើនឹង 1។ នៅពេលវិភាគបាតុភូតជាក់លាក់ សំណួរកើតឡើងថាតើការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ប៉ះពាល់យ៉ាងដូចម្តេច? INនៅពេលកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក. ដើម្បីធ្វើដូចនេះបញ្ចូល ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ :

(4)

វាអានដូចនេះ៖ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង កបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ INស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការប្រសព្វ កនិង INបែងចែកដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ IN.
រូបមន្ត (4) សន្មត់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ INច្រើនជាងសូន្យ។

រូបមន្ត (៤) ក៏អាចសរសេរជា៖

(5)

នេះគឺជារូបមន្ត គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានហៅផងដែរ។ ក្រោយ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង កបន្ទាប់ពីការវាយលុក IN.

ក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថា អាទិភាព ប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅមានច្រើនទៀត រូបមន្តសំខាន់ៗដែល​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​យ៉ាង​ខ្លាំង​នៅ​ក្នុង​ការ​គណនា​ការ​ពិត​។

រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប

ចូរយើងសន្មត់ថាការពិសោធន៍មួយកំពុងត្រូវបានអនុវត្ត លក្ខខណ្ឌដែលអាចត្រូវបានកំណត់ជាមុន ទៅវិញទៅមកការសន្មត់ផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក (សម្មតិកម្ម)៖

យើងសន្មត់ថាមានសម្មតិកម្ម ឬ ... ឬ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់ និងស្មើគ្នា៖

បន្ទាប់មករូបមន្តរក្សា ពេញប្រូបាប៊ីលីតេ :

(6)

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង កស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង កសម្រាប់សម្មតិកម្មនីមួយៗអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មនេះ។

រូបមន្ត Bayes

រូបមន្ត Bayes អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាឡើងវិញនូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មនៅក្នុងពន្លឺ ព័ត៌មានថ្មី។ដែលបានផ្តល់លទ្ធផល ក.

រូបមន្តរបស់ Bayes ក្នុងន័យជាក់លាក់មួយ។គឺជាការបញ្ច្រាសនៃរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប។

ពិចារណាបញ្ហាជាក់ស្តែងខាងក្រោម។

បញ្ហា 1

ឧបមាថាមានការធ្លាក់យន្តហោះ ហើយអ្នកជំនាញកំពុងមមាញឹកក្នុងការស៊ើបអង្កេតមូលហេតុរបស់វា។ មូលហេតុ ៤ យ៉ាងដែលគ្រោះមហន្តរាយកើតឡើងត្រូវបានដឹងជាមុន៖ មូលហេតុ ឬ ឬ ឬ ឬ។ យោងតាមស្ថិតិដែលមាន ហេតុផលទាំងនេះមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចខាងក្រោមៈ

នៅពេលពិនិត្យមើលកន្លែងធ្លាក់ ដាននៃការបញ្ឆេះឥន្ធនៈត្រូវបានរកឃើញយោងទៅតាមស្ថិតិ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះសម្រាប់ហេតុផលមួយឬមួយផ្សេងទៀតគឺដូចខាងក្រោម:

សំណួរ៖ តើអ្វីជាមូលហេតុដែលទំនងបំផុតនៃគ្រោះមហន្តរាយ?

ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃបុព្វហេតុនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក.

ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាហេតុផលដំបូងគឺទំនងបំផុតចាប់តាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាគឺអតិបរមា។

បញ្ហា ២

ពិចារណាលើយន្តហោះចុះចតនៅអាកាសយានដ្ឋាន។

ពេលចុះចត លក្ខខណ្ឌអាកាសធាតុអាចមានដូចខាងក្រោមៈ no low clouds (), low clouds yes () ។ ក្នុងករណីដំបូងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចុះចតប្រកបដោយសុវត្ថិភាពគឺ P1. ក្នុងករណីទីពីរ - P2. វាច្បាស់ណាស់។ P1>P2.

ឧបករណ៍ដែលផ្តល់ការចុះចតពិការភ្នែកមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រតិបត្តិការដែលមិនមានបញ្ហា រ. ប្រសិនបើមានគម្របពពកទាប ហើយឧបករណ៍ចុះចតពិការភ្នែកបានបរាជ័យ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចុះចតដោយជោគជ័យគឺ P3, និង P3<Р2 . វាត្រូវបានគេដឹងថាសម្រាប់អាកាសយានដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យសមាមាត្រនៃថ្ងៃក្នុងមួយឆ្នាំដែលមានពពកទាបគឺស្មើនឹង .

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចុះចតដោយសុវត្ថិភាព។

យើងត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ។

មានជម្រើសផ្តាច់មុខពីរ៖ ឧបករណ៍ចុះចតពិការភ្នែកកំពុងដំណើរការ ឧបករណ៍ចុះចតពិការភ្នែកបានបរាជ័យ ដូច្នេះយើងមាន៖

ដូច្នេះយោងតាមរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប៖

បញ្ហា ៣

ក្រុមហ៊ុនធានារ៉ាប់រងផ្តល់ការធានារ៉ាប់រងអាយុជីវិត។ 10% នៃអ្នកធានារ៉ាប់រងដោយក្រុមហ៊ុននេះជាអ្នកជក់បារី។ ប្រសិនបើអ្នកធានារ៉ាប់រងមិនជក់បារី ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្លាប់របស់គាត់ក្នុងកំឡុងឆ្នាំគឺ 0.01 ប្រសិនបើគាត់ជាអ្នកជក់បារី នោះប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺ 0.05។

តើសមាមាត្រនៃអ្នកជក់បារីក្នុងចំណោមអ្នកធានារ៉ាប់រងដែលបានស្លាប់ក្នុងអំឡុងឆ្នាំគឺជាអ្វី?

ចម្លើយដែលអាចធ្វើបាន៖ (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90% ។

ដំណោះស្រាយ

តោះចូលទៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍៖

ស្ថានភាពនៃបញ្ហាមានន័យថា

លើស​ពី​នេះ​ទៀត ដោយសារ​ព្រឹត្តិការណ៍​បង្កើត​ជា​ក្រុម​ពេញលេញ​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​មិន​ត្រូវ​គ្នា​ជា​គូ​នោះ​។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺ។

ដោយប្រើរូបមន្ត Bayes យើងមាន៖

ដូច្នេះជម្រើសត្រឹមត្រូវគឺ ( IN).

បញ្ហា ៤

ក្រុមហ៊ុនធានារ៉ាប់រងលក់កិច្ចសន្យាធានារ៉ាប់រងអាយុជីវិតជាបីប្រភេទ៖ ស្តង់ដារ ពេញចិត្ត និងឯកសិទ្ធិជ្រុល។

50% នៃការធានារ៉ាប់រងទាំងអស់គឺស្តង់ដារ 40% ត្រូវបានគេពេញចិត្ត និង 10% មានសិទ្ធិជ្រុល។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្លាប់ក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំសម្រាប់ការធានារ៉ាប់រងស្តង់ដារគឺ 0.010 សម្រាប់ឯកសិទ្ធិមួយ - 0.005 និងសម្រាប់ឯកសិទ្ធិពិសេស - 0.001 ។

តើ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​អ្វី​ដែល​អ្នក​ធានា​រ៉ាប់រង​ដែល​ស្លាប់​មាន​សិទ្ធិ​ជ្រុល?

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងណែនាំព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមមកពិចារណា៖

នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺ . យោងតាមលក្ខខណ្ឌ៖

ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ , បង្កើតក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូ ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Bayes យើងមាន៖

អថេរចៃដន្យ និងលក្ខណៈរបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យវាជាអថេរចៃដន្យមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ ការខូចខាតដោយសារអគ្គីភ័យ ឬចំនួនទឹកប្រាក់នៃការបង់ប្រាក់ធានារ៉ាប់រង។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈទាំងស្រុងដោយមុខងារចែកចាយរបស់វា។

និយមន័យ។មុខងារ ហៅ មុខងារចែកចាយ អថេរចៃដន្យ ξ .

និយមន័យ។ប្រសិនបើមានមុខងារបែបនេះសម្រាប់បំពាន ក បានបញ្ចប់

បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាអថេរចៃដន្យ ξ មាន អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ f(x).

និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យ។ សម្រាប់មុខងារចែកចាយបន្ត ច ទ្រឹស្តី α-quantileត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

ដំណោះស្រាយនេះប្រហែលជាមិនមែនតែមួយទេ។

កម្រិតបរិមាណ ½ ហៅថាទ្រឹស្តី មធ្យម , កម្រិតបរិមាណ ¼ និង ¾ -ត្រីមាសទាបនិងខាងលើ រៀងៗខ្លួន។

នៅក្នុងកម្មវិធី actuarial ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ វិសមភាពរបស់ Chebyshev៖

នៅណាមួយ។

និមិត្តសញ្ញានៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។

វាអានដូចនេះ៖ប្រូបាប៊ីលីតេដែលម៉ូឌុលគឺធំជាង ឬស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃម៉ូឌុលដែលបែងចែកដោយ .

អាយុកាលជាអថេរចៃដន្យ

ភាពមិនប្រាកដប្រជានៃពេលវេលានៃការស្លាប់គឺជាកត្តាហានិភ័យដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងការធានារ៉ាប់រងអាយុជីវិត។

គ្មានអ្វីច្បាស់លាស់អាចនិយាយបានអំពីគ្រានៃការស្លាប់របស់បុគ្គលនោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងក្រុមមនុស្សដូចគ្នាធំមួយ ហើយមិនចាប់អារម្មណ៍លើជោគវាសនារបស់មនុស្សម្នាក់ៗពីក្រុមនេះទេ នោះយើងស្ថិតនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃបាតុភូតចៃដន្យដ៏ធំដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃស្ថេរភាពប្រេកង់។ .

រៀងៗខ្លួន យើងអាចនិយាយអំពីអាយុសង្ឃឹមរស់ជាអថេរចៃដន្យ T ។

មុខងាររស់រានមានជីវិត

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈ stochastic នៃអថេរចៃដន្យណាមួយ។ ធមុខងារចែកចាយ F(x),ដែលត្រូវបានកំណត់ជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ ធតិចជាងចំនួន x:

.

នៅក្នុងគណិតសាស្ត្រ វាពិតជាល្អណាស់ក្នុងការដំណើរការមិនមែនជាមួយមុខងារចែកចាយទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមុខងារចែកចាយបន្ថែម . នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃភាពជាប់បានយូរនេះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលមនុស្សម្នាក់នឹងរស់នៅតាមអាយុ xឆ្នាំ

ហៅ មុខងាររស់រានមានជីវិត(មុខងាររស់រានមានជីវិត):

មុខងាររស់រានមានជីវិតមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

តារាងជីវិតជាធម្មតាសន្មតថាមានខ្លះ ដែនកំណត់អាយុ (កំណត់អាយុ) (ជាធម្មតាឆ្នាំ) និងតាម x> ។

នៅពេលពិពណ៌នាអំពីមរណភាពដោយច្បាប់វិភាគ ជាធម្មតាវាត្រូវបានសន្មត់ថារយៈពេលនៃជីវិតគឺគ្មានដែនកំណត់ ប៉ុន្តែប្រភេទ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃច្បាប់ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃជីវិតលើសពីអាយុជាក់លាក់មួយគឺមានភាពធ្វេសប្រហែស។

មុខងាររស់រានមានជីវិតមានអត្ថន័យស្ថិតិសាមញ្ញ។

ចូរនិយាយថាយើងកំពុងសង្កេតមើលក្រុមទារកទើបនឹងកើត (ជាធម្មតា) ដែលយើងសង្កេតនិងអាចកត់ត្រាពេលវេលានៃការស្លាប់របស់ពួកគេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីចំនួនអ្នកតំណាងដែលនៅរស់នៃក្រុមនេះតាមអាយុ។ បន្ទាប់មក៖

.

និមិត្តសញ្ញា អ៊ីនៅទីនេះ និងខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។

ដូច្នេះ មុខងាររស់រានមានជីវិតគឺស្មើនឹងសមាមាត្រមធ្យមនៃអ្នកដែលមានជីវិតរស់រានមានជីវិតដល់អាយុពីក្រុមថេរខ្លះនៃទារកទើបនឹងកើត។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា actuarial ជារឿយៗវាមិនដំណើរការជាមួយមុខងាររស់រានមានជីវិតទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងតម្លៃដែលទើបតែណែនាំ (ជួសជុលទំហំក្រុមដំបូង)។

មុខងាររស់រានមានជីវិតអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញពីដង់ស៊ីតេ៖

លក្ខណៈអាយុជីវិត

តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង លក្ខណៈខាងក្រោមមានសារៈសំខាន់៖

1 . មធ្យមពេលវេលាជីវិត

,
2 . ការបែកខ្ញែកពេញមួយជីវិត

,
កន្លែងណា
,

បានបង្ហាញរហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ននៅក្នុងធនាគារបើកចំហនៃបញ្ហាប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា (mathege.ru) ដំណោះស្រាយដែលផ្អែកលើរូបមន្តតែមួយគត់ដែលជានិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីយល់រូបមន្តគឺជាមួយឧទាហរណ៍។
ឧទាហរណ៍ ១.មានបាល់ក្រហមចំនួន 9 និងបាល់ពណ៌ខៀវចំនួន 3 នៅក្នុងកន្ត្រក។ បាល់ខុសគ្នាតែនៅក្នុងពណ៌ប៉ុណ្ណោះ។ យើងយកមួយក្នុងចំណោមពួកគេដោយចៃដន្យ (ដោយមិនមើល) ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ដែលបានជ្រើសរើសតាមរបៀបនេះនឹងមានពណ៌ខៀវ?

មតិយោបល់។នៅក្នុងបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ អ្វីមួយកើតឡើង (ក្នុងករណីនេះ សកម្មភាពរបស់យើងក្នុងការទាញបាល់ចេញ) ដែលអាចមានលទ្ធផលខុសគ្នា - លទ្ធផលមួយ។ គួរកត់សំគាល់ថាលទ្ធផលអាចត្រូវបានមើលតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ "យើងបានដកបាល់ចេញ" ក៏ជាលទ្ធផលផងដែរ។ "យើងបានដកបាល់ពណ៌ខៀវចេញ" - លទ្ធផល។ "យើងបានដកបាល់នេះចេញពីបាល់ដែលអាចធ្វើទៅបាន" - ទិដ្ឋភាពទូទៅតិចបំផុតនៃលទ្ធផលនេះត្រូវបានគេហៅថាលទ្ធផលបឋម។ វាគឺជាលទ្ធផលបឋមដែលមានន័យនៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រូបាប៊ីលីតេ។

ដំណោះស្រាយ។ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌ខៀវ។
ព្រឹត្តិការណ៍ A៖ "បាល់ដែលបានជ្រើសរើសប្រែទៅជាពណ៌ខៀវ"
ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលដែលអាចមានទាំងអស់៖ 9+3=12 (ចំនួនបាល់ទាំងអស់ដែលយើងអាចគូរ)
ចំនួនលទ្ធផលអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ A: 3 (ចំនួននៃលទ្ធផលដែលព្រឹត្តិការណ៍ A បានកើតឡើង - នោះគឺចំនួនបាល់ពណ៌ខៀវ)
P(A)=3/12=1/4=0.25
ចម្លើយ៖ ០.២៥

ចំពោះបញ្ហាដូចគ្នា ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌ក្រហម។
ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមាននឹងនៅដដែល 12. ចំនួនលទ្ធផលអំណោយផល៖ 9. ប្រូបាប៊ីលីតេបានស្វែងរក៖ 9/12=3/4=0.75

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយតែងតែស្ថិតនៅចន្លោះ 0 និង 1។
ជួនកាលនៅក្នុងការនិយាយប្រចាំថ្ងៃ (ប៉ុន្តែមិនមែននៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេទេ!) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានប៉ាន់ស្មានជាភាគរយ។ ការផ្លាស់ប្តូររវាងពិន្ទុគណិតវិទ្យា និងការសន្ទនាត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ (ឬចែក) ដោយ 100% ។
ដូច្នេះ
លើសពីនេះទៅទៀត ប្រូបាប៊ីលីតេគឺសូន្យសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចកើតឡើង - មិនគួរឱ្យជឿ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង វានឹងក្លាយជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការគូរបាល់ពណ៌បៃតងពីកន្ត្រក។ (ចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលគឺ 0, P(A)=0/12=0 ប្រសិនបើគណនាដោយប្រើរូបមន្ត)
ប្រូបាប៊ីលីតេ 1 មានព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រាកដណាស់ថានឹងកើតឡើងដោយគ្មានជម្រើស។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថា "បាល់ដែលបានជ្រើសរើសនឹងមានពណ៌ក្រហម ឬពណ៌ខៀវ" គឺសម្រាប់កិច្ចការរបស់យើង។ (ចំនួនលទ្ធផលអំណោយផល៖ 12, P(A)=12/12=1)

យើងបានមើលឧទាហរណ៍បុរាណមួយដែលបង្ហាញពីនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ បញ្ហាស្រដៀងគ្នាទាំងអស់នៃការប្រឡង Unified State ក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តនេះ។
ជំនួសឱ្យបាល់ពណ៌ក្រហម និងពណ៌ខៀវ អាចមានផ្លែប៉ោម និងផ្លែប៉េស ក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រី សំបុត្រដែលបានរៀន និងមិនទាន់បានរៀន សំបុត្រដែលមាន និងមិនមានសំណួរលើប្រធានបទជាក់លាក់ណាមួយ (គំរូដើម) កាបូបដែលខូច និងគុណភាពខ្ពស់ ឬម៉ាស៊ីនបូមសួនច្បារ ( គំរូ,) - គោលការណ៍នៅតែដដែល។

ពួកវាខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៅក្នុងការបង្កើតបញ្ហានៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ដែលអ្នកត្រូវគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនដែលកើតឡើងនៅថ្ងៃជាក់លាក់មួយ។ ( , ) ដូចទៅនឹងបញ្ហាមុនដែរ អ្នកត្រូវកំណត់ថាតើអ្វីជាលទ្ធផលបឋម ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្តដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២.សន្និសីទនេះមានរយៈពេលបីថ្ងៃ។ នៅថ្ងៃទីមួយ និងថ្ងៃទីពីរ មានវាគ្មិនចំនួន 15 នាក់ ហើយនៅថ្ងៃទី 3 - 20 ។ តើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលរបាយការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យ M. នឹងធ្លាក់នៅថ្ងៃទីបី ប្រសិនបើលំដាប់នៃរបាយការណ៍ត្រូវបានកំណត់ដោយការចាប់ឆ្នោត?

តើអ្វីជាលទ្ធផលបឋមនៅទីនេះ? - ការចាត់តាំងរបាយការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យមួយក្នុងចំនោមលេខសៀរៀលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់សុន្ទរកថា។ 15+15+20=50 នាក់ចូលរួមក្នុងការចាប់ឆ្នោត។ ដូច្នេះ របាយការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យ M. អាចទទួលបានបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាចំនួន 50 ។ នេះមានន័យថាមានតែ 50 លទ្ធផលបឋមប៉ុណ្ណោះ។
តើអ្វីជាលទ្ធផលអំណោយផល? - អ្នកដែលវាប្រែថាសាស្រ្តាចារ្យនឹងនិយាយនៅថ្ងៃទីបី។ នោះគឺ 20 លេខចុងក្រោយ។
យោងតាមរូបមន្ត ប្រូបាប៊ីលីតេ P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
ចម្លើយ៖ ០.៤

ការចាប់ឆ្នោតនៅទីនេះតំណាងឱ្យការបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងចៃដន្យរវាងមនុស្ស និងទីកន្លែងដែលបានបញ្ជាទិញ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 ការផ្គូផ្គងត្រូវបានគេពិចារណាតាមទស្សនៈនៃកន្លែងដែលមនុស្សជាក់លាក់ណាមួយអាចកាន់កាប់បាន។ អ្នកអាចចូលទៅជិតស្ថានភាពដូចគ្នាពីភាគីម្ខាងទៀត៖ តើប្រជាជនមួយណាដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេអាចទៅដល់កន្លែងជាក់លាក់មួយ (គំរូ , , , ):

ឧទាហរណ៍ ៣.ការចាប់ឆ្នោតរួមមានជនជាតិអាឡឺម៉ង់ ៥ នាក់ បារាំង ៨ នាក់ និងអេស្តូនី ៣ នាក់។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលទីមួយ (/ ទីពីរ/ ទីប្រាំពីរ/ ចុងក្រោយ - វាមិនមានបញ្ហា) នឹងក្លាយជាជនជាតិបារាំង។

ចំនួននៃលទ្ធផលបឋមគឺជាចំនួននៃមនុស្សដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដែលអាចចូលទៅក្នុងកន្លែងណាមួយដោយការចាប់ឆ្នោត។ 5+8+3=16 នាក់។
លទ្ធផលអំណោយផល - ភាសាបារាំង។ ៨ នាក់។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ៖ 8/16=1/2=0.5
ចម្លើយ៖ ០.៥

គំរូគឺខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ នៅតែមានបញ្ហាអំពីកាក់ () និងគ្រាប់ឡុកឡាក់ () ដែលមានលក្ខណៈច្នៃប្រឌិតជាង។ ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាទាំងនេះអាចរកបាននៅលើទំព័រគំរូ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការបោះកាក់ ឬគ្រាប់ឡុកឡាក់។

ឧទាហរណ៍ 4 ។នៅពេលដែលយើងបោះកាក់មួយ តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចុះចតនៅលើក្បាលគឺជាអ្វី?
មាន 2 លទ្ធផល - ក្បាលឬកន្ទុយ។ (វាត្រូវបានគេជឿថាកាក់មិនដែលនៅលើគែមរបស់វា) លទ្ធផលអំណោយផលគឺកន្ទុយ, 1.
ប្រូបាប៊ីលីតេ 1/2=0.5
ចម្លើយ៖ ០.៥ ។

ឧទាហរណ៍ 5 ។ចុះបើយើងបោះកាក់ពីរដង? តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាលទាំងពីរ?
រឿងចំបងគឺដើម្បីកំណត់ថាតើលទ្ធផលបឋមអ្វីដែលយើងនឹងពិចារណានៅពេលបោះកាក់ពីរ។ បន្ទាប់ពីបោះកាក់ពីរ លទ្ធផលមួយក្នុងចំណោមលទ្ធផលខាងក្រោមអាចកើតឡើង៖
1) PP - ទាំងពីរដងវាឡើងក្បាល
2) PO - ក្បាលលើកទីមួយ ក្បាលទីពីរ
3) OP - ក្បាលលើកទី 1 កន្ទុយទីពីរ
4) OO - ក្បាលបានឡើងទាំងពីរដង
មិនមានជម្រើសផ្សេងទៀតទេ។ នេះ​មានន័យថា មាន​ផល​បឋម​៤ មានតែ​អាបត្ដិ ១ ប៉ុណ្ណោះ​ដែល​អនុគ្រោះ​។
ប្រូបាប៊ីលីតេ៖ 1/4 = 0.25
ចម្លើយ៖ ០.២៥

តើ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​អ្វី​ដែល​ការ​បោះ​កាក់​ពីរ​នឹង​នាំ​ឱ្យ​មាន​កន្ទុយ?
ចំនួននៃលទ្ធផលបឋមគឺដូចគ្នា, 4. លទ្ធផលអំណោយផលគឺទីពីរនិងទីបី, 2 ។
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានកន្ទុយមួយ៖ 2/4 = 0.5

នៅក្នុងបញ្ហាបែបនេះរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតអាចមានប្រយោជន៍។
ប្រសិនបើការបោះកាក់មួយ យើងមានជម្រើសលទ្ធផលចំនួន 2 នោះ សម្រាប់ការបោះពីរ លទ្ធផលនឹងមាន 2 2 = 2 2 = 4 (ឧទាហរណ៍ 5) សម្រាប់ការបោះបីលើក 2 2 2 = 2 3 = 8 សម្រាប់បួន។ : 2·2·2·2=2 4 =16, ... សម្រាប់ N វិល លទ្ធផលដែលអាចធ្វើបាននឹងមាន 2·2·...·2=2 N ។

ដូច្នេះ អ្នកអាចរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន 5 ក្បាលចេញពី 5 កាក់។
ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋម៖ 2 5 = 32 ។
លទ្ធផលអំណោយផល៖ 1. (RRRRRR - ក្បាលទាំងអស់ 5 ដង)
ប្រូបាប៊ីលីតេ៖ 1/32=0.03125

ដូចគ្នាដែរចំពោះគ្រាប់ឡុកឡាក់។ ជាមួយនឹងការបោះមួយមាន 6 លទ្ធផលដែលអាចធ្វើបាន ដូច្នេះសម្រាប់ការបោះពីរ: 6 6 = 36 សម្រាប់បី 6 6 6 = 216 ។ល។

ឧទាហរណ៍ ៦.យើងបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលលេខគូនឹងត្រូវបានរមៀល?

លទ្ធផលសរុប៖ 6 យោងតាមចំនួនភាគី។
អនុគ្រោះ៖ ៣ លទ្ធផល។ (២, ៤, ៦)
ប្រូបាប៊ីលីតេ៖ 3/6=0.5

ឧទាហរណ៍ ៧.យើងបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលសរុបនឹងមាន ១០? (បង្គត់ទៅជិតមួយរយ)

សម្រាប់ការស្លាប់មួយមាន 6 លទ្ធផលដែលអាចកើតមាន។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ពីរ យោងទៅតាមច្បាប់ខាងលើ 6·6=36។
តើ​លទ្ធផល​អ្វី​នឹង​អំណោយផល​សម្រាប់​ចំនួន​សរុប​ដល់​ទៅ ១០?
10 ត្រូវតែត្រូវបានបំបែកទៅជាផលបូកនៃចំនួនពីរពី 1 ដល់ 6។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី៖ 10=6+4 និង 10=5+5។ នេះមានន័យថាជម្រើសខាងក្រោមគឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់គូប:
(៦ នៅលើទីមួយ និង ៤ នៅលើទីពីរ)
(4 នៅលើទីមួយនិង 6 នៅលើទីពីរ)
(៥ នៅលើទីមួយ និង ៥ នៅលើទីពីរ)
សរុប 3 ជម្រើស។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ៖ 3/36=1/12=0.08
ចម្លើយ៖ ០.០៨

ប្រភេទផ្សេងទៀតនៃបញ្ហា B6 នឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទ របៀបដោះស្រាយនាពេលអនាគត។

• ប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាកម្រិត (រង្វាស់ទាក់ទង ការវាយតម្លៃបរិមាណ) នៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន។ នៅពេលដែលហេតុផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានពិតប្រាកដលើសពីហេតុផលផ្ទុយ នោះព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថាប្រហែលជា បើមិនដូច្នោះទេ - មិនទំនង ឬមិនទំនង។ បុព្វហេតុនៃហេតុផលវិជ្ជមានលើកត្តាអវិជ្ជមាន និងផ្ទុយមកវិញ អាចមានកម្រិតផ្សេងៗគ្នា ដែលជាលទ្ធផលដែលប្រូបាប៊ីលីតេ (និងមិនប្រូបាប៊ីលីតេ) អាចធំជាង ឬតិចជាង។ ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានវាយតម្លៃជាញឹកញាប់ក្នុងកម្រិតគុណភាព ជាពិសេសក្នុងករណីដែលការវាយតម្លៃបរិមាណត្រឹមត្រូវច្រើន ឬតិចមិនអាចទៅរួច ឬពិបាកខ្លាំងបំផុត។ ការចាត់ថ្នាក់ផ្សេងៗគ្នានៃ "កម្រិត" នៃប្រូបាប៊ីលីតេអាចធ្វើទៅបាន។

  ការសិក្សាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេពីទស្សនៈគណិតវិទ្យាបង្កើតជាវិន័យពិសេស - ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា គោលគំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានដាក់ជាផ្លូវការជាលក្ខណៈលេខនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ - រង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ (ឬតម្លៃរបស់វា) - រង្វាស់លើសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ (សំណុំរងនៃសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម) ការយកតម្លៃ។ ពី

  (\រចនាប័ទ្ម 0)

  (\រចនាប័ទ្ម 1)

  អត្ថន័យ

  (\រចនាប័ទ្ម 1)

  ឆ្លើយតបទៅនឹងព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0 (ការសន្ទនាជាទូទៅមិនតែងតែពិតទេ)។ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង

  (\ រចនាប័ទ្ម ទំ )

  បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមិនកើតឡើងរបស់វាស្មើនឹង

  (\រចនាប័ទ្ម 1-p)

  ជាពិសេសប្រូបាប៊ីលីតេ

  (\រចនាប័ទ្ម 1/2)

  មានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នានៃការកើតឡើង និងការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។

  និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺផ្អែកលើគោលគំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នានៃលទ្ធផល។ ប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាល ឬកន្ទុយក្នុងការបោះកាក់ចៃដន្យគឺ 1/2 ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេសន្មត់ថាមានតែលទ្ធភាពទាំងពីរនេះទេ ហើយថាវាអាចទៅរួចដូចគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "និយមន័យ" បុរាណនេះអាចត្រូវបានកំណត់ជាទូទៅចំពោះករណីនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន - ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ខ្លះអាចកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នានៅចំណុចណាមួយ (ចំនួនពិន្ទុគឺគ្មានកំណត់) នៃតំបន់មានកំណត់មួយចំនួននៃ លំហ (យន្តហោះ) បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងកើតឡើងនៅក្នុងផ្នែកខ្លះនៃតំបន់ដែលអាចធ្វើបាននេះគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃបរិមាណ (ផ្ទៃ) នៃផ្នែកនេះទៅនឹងបរិមាណ (តំបន់) នៃតំបន់នៃចំណុចដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។

  "និយមន័យ" ជាក់ស្តែងនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺទាក់ទងទៅនឹងភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាជាមួយនឹងចំនួននៃការសាកល្បងច្រើនគ្រប់គ្រាន់ ប្រេកង់គួរតែមានទំនោរទៅរកកម្រិតគោលបំណងនៃលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ នៅក្នុងបទបង្ហាញសម័យទំនើបនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ជា axiomatically ជាករណីពិសេសនៃទ្រឹស្តីអរូបីនៃរង្វាស់កំណត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទំនាក់ទំនងតភ្ជាប់រវាងរង្វាស់អរូបី និងប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលបង្ហាញពីកម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង គឺពិតជាភាពញឹកញាប់នៃការសង្កេតរបស់វា។

  ការពិពណ៌នាប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាតុភូតមួយចំនួនបានរីករាលដាលយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រទំនើប ជាពិសេសផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច រូបវិទ្យាស្ថិតិនៃប្រព័ន្ធម៉ាក្រូស្កូប (ទែរម៉ូឌីណាមិក) ដែលសូម្បីតែនៅក្នុងករណីនៃការពិពណ៌នាកំណត់បែបបុរាណនៃចលនានៃភាគល្អិត ការពិពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធទាំងមូល។ នៃភាគល្អិតហាក់ដូចជាមិនអាចអនុវត្តបាន ឬសមស្រប។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា quantum ដំណើរការដែលបានពិពណ៌នាគឺទំនងជានៅក្នុងធម្មជាតិ។