វិទ្យាស្ថានអប់រំក្រុង

GYMNASIUM លេខ 6

លើប្រធានបទ "និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ" ។

បញ្ចប់ដោយសិស្សថ្នាក់ទី៨ "ខ"

Klimantova អាឡិចសាន់ត្រា។

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា៖ Videnkina V. A.

Voronezh, ឆ្នាំ ២០០៨

ហ្គេមជាច្រើនប្រើគ្រាប់ឡុកឡាក់។ គូបមាន 6 ជ្រុង ភាគីនីមួយៗមានលេខផ្សេងគ្នាដែលបានសម្គាល់នៅលើវា - ពី 1 ដល់ 6 ។ អ្នកលេងរមៀលគ្រាប់ឡុកឡាក់ ហើយមើលថាតើមានចំណុចប៉ុន្មាននៅលើផ្នែកដែលបានទម្លាក់ (នៅផ្នែកដែលមានទីតាំងនៅខាងលើ) . ជាញឹកញយ ចំណុចនៅលើមុខគូបត្រូវបានជំនួសដោយលេខដែលត្រូវគ្នា ហើយបន្ទាប់មកពួកគេនិយាយអំពីការរំកិលលេខ 1, 2 ឬ 6 ។ ការបោះចោលអាចចាត់ទុកថាជាការពិសោធន៍ ការពិសោធន៍ ការសាកល្បង ហើយលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺ លទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត ឬព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ មនុស្សចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការទស្សន៍ទាយការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ ឬព្រឹត្តិការណ៍នោះ ហើយព្យាករណ៍ពីលទ្ធផលរបស់វា។ តើ​ការ​ទស្សន៍ទាយ​អ្វីខ្លះ​ដែល​ពួកគេ​អាច​ធ្វើ​បាន​នៅពេល​ពួកគេ​ក្រឡុក​គ្រាប់​ឡុកឡាក់? ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

1. ព្រឹត្តិការណ៍ A—លេខ 1, 2, 3, 4, 5 ឬ 6 ត្រូវបានរំកិល;
2. ព្រឹត្តិការណ៍ B - លេខ 7, 8 ឬ 9 ត្រូវបានរំកិល;
3. ព្រឹត្តិការណ៍ C - លេខ 1 លេចឡើង។

ព្រឹត្តិការណ៍ A ដែលត្រូវបានព្យាករណ៍នៅក្នុងករណីដំបូងនឹងពិតជាកើតឡើង។ ជាទូទៅ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រាកដថានឹងកើតឡើងនៅក្នុងបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន។.

ព្រឹត្តិការណ៍ B ដែលត្រូវបានព្យាករណ៍នៅក្នុងករណីទីពីរនឹងមិនកើតឡើងទេ វាមិនអាចទៅរួចទេ។ ជាទូទៅ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចកើតឡើងនៅក្នុងបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច.

ហើយ​តើ​ព្រឹត្តិការណ៍ C ដែល​ព្យាករណ៍​ទុក​ក្នុង​ករណី​ទី​៣ កើតឡើង​ឬ​អត់? យើង​មិន​អាច​ឆ្លើយ​សំណួរ​នេះ​ដោយ​ភាព​ប្រាកដ​ប្រជា​បាន​ទេ ចាប់​តាំង​ពី 1 អាច​ឬ​មិន​អាច​ធ្លាក់​ចេញ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចឬមិនកើតឡើងនៅក្នុងបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ.

នៅពេលគិតអំពីការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន យើងទំនងជានឹងមិនប្រើពាក្យ "ប្រហែលជា" ទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើថ្ងៃនេះជាថ្ងៃពុធ នោះថ្ងៃស្អែកជាថ្ងៃព្រហស្បតិ៍ នេះគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន។ នៅថ្ងៃពុធយើងនឹងមិននិយាយទេថា "ប្រហែលជាថ្ងៃស្អែកជាថ្ងៃព្រហស្បតិ៍" យើងនឹងនិយាយយ៉ាងខ្លីនិងច្បាស់ថា "ថ្ងៃស្អែកជាថ្ងៃព្រហស្បតិ៍" ។ ពិត​ហើយ ប្រសិនបើ​យើង​ងាយ​នឹង​ប្រើ​ឃ្លា​ដ៏​ស្រស់​ស្អាត នោះ​យើង​អាច​និយាយ​ថា​៖ «​ជាមួយ​នឹង​ប្រូបាប៊ីលីតេ​មួយ​រយ​ភាគរយ ខ្ញុំ​និយាយ​ថា​ថ្ងៃ​ស្អែក​ជា​ថ្ងៃ​ព្រហស្បតិ៍​»។ ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ បើ​ថ្ងៃ​នេះ​ជា​ថ្ងៃ​ពុធ នោះ​ថ្ងៃ​សុក្រ​ស្អែក​ជា​ព្រឹត្តិការណ៍​មិន​អាច​ទៅ​រួច។ ការវាយតម្លៃព្រឹត្តិការណ៍នេះនៅថ្ងៃពុធ យើងអាចនិយាយបានថា "ខ្ញុំប្រាកដថាថ្ងៃស្អែកមិនមែនជាថ្ងៃសុក្រ" ។ ឬនេះ៖ "វាមិនគួរឱ្យជឿដែលថ្ងៃស្អែកជាថ្ងៃសុក្រ" ។ ជាការប្រសើរណាស់ ប្រសិនបើយើងងាយនឹងឃ្លាដ៏ស្រស់ស្អាត យើងអាចនិយាយបានថា “ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថ្ងៃស្អែកជាថ្ងៃសុក្រគឺសូន្យ”។ ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេមួយរយភាគរយ(ឧ. កើតឡើងក្នុង ១០ ករណី ក្នុងចំណោម ១០ ករណី ក្នុង ១០០ ករណី ក្នុងចំណោម ១០០ ។ល។) ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនដែលកើតឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ ព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ជាមួយនឹងសូន្យប្រូបាប៊ីលីតេ.

ប៉ុន្តែជាអកុសល (ហើយប្រហែលជាសំណាងល្អ) មិនមែនអ្វីៗទាំងអស់នៅក្នុងជីវិតមានភាពច្បាស់លាស់ និងច្បាស់លាស់នោះទេ៖ វានឹងតែងតែមាន (ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់) វានឹងមិនមាន (ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច)។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់យើងប្រឈមមុខនឹងព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ដែលខ្លះទំនងជាទំនងជាង ខ្លះទៀតប្រហែលតិច។ ជាធម្មតាមនុស្សប្រើពាក្យថា "ទំនងជាង" ឬ "ទំនងតិចជាង" ដូចដែលពួកគេនិយាយដោយចេតនា ពឹងផ្អែកលើអ្វីដែលហៅថាសុភវិនិច្ឆ័យ។ ប៉ុន្តែជារឿយៗការប៉ាន់ស្មានបែបនេះមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ព្រោះវាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវដឹង រយៈពេលប៉ុន្មានភាគរយប្រហែលជាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យឬ ប៉ុន្មានដងព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយទំនងជាច្រើនជាងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត យើងត្រូវការភាពត្រឹមត្រូវ បរិមាណលក្ខណៈ អ្នកត្រូវចេះកំណត់លក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេដោយប្រើលេខ។

យើង​បាន​បោះ​ជំហាន​ដំបូង​រួច​ហើយ​ក្នុង​ទិសដៅ​នេះ។ យើងបាននិយាយថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយដែលកើតឡើងត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈ មួយរយភាគរយហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចកើតឡើងគឺដូច សូន្យ. ដោយយល់ឃើញថា 100% ស្មើនឹង 1 មនុស្សបានយល់ព្រមលើចំណុចខាងក្រោម៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នា 1;
2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នា 0.

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ? យ៉ាងណាមិញវាបានកើតឡើង ចៃដន្យដែលមានន័យថា វាមិនគោរពច្បាប់ ក្បួនដោះស្រាយ ឬរូបមន្ត។ វាប្រែថានៅក្នុងពិភពនៃភាពចៃដន្យ ច្បាប់មួយចំនួនអនុវត្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់គណនាប្រូបាប៊ីលីតេ។ នេះ​ជា​ផ្នែក​នៃ​គណិតវិទ្យា​ដែល​គេ​ហៅ​ថា - ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ.

គណិតវិទ្យាដោះស្រាយជាមួយ គំរូបាតុភូតមួយចំនួននៃការពិតនៅជុំវិញយើង។ ក្នុងចំណោមគំរូទាំងអស់ដែលប្រើក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ យើងនឹងកំណត់ខ្លួនយើងឱ្យសាមញ្ញបំផុត។

គ្រោងការណ៍ប្រូបាប៊ីលីសបុរាណ

ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅពេលធ្វើការពិសោធន៍ខ្លះ អ្នកគួរតែ៖

1) ស្វែងរកលេខ N នៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមាននៃការពិសោធន៍នេះ;

2) ទទួលយកការសន្មត់នៃប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នា (លទ្ធភាពស្មើគ្នា) នៃលទ្ធផលទាំងអស់នេះ;

3) ស្វែងរកលេខ N(A) នៃលទ្ធផលពិសោធន៍ទាំងនោះ ដែលព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើង។

4) ស្វែងរកកូតា ; វានឹងស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ។

វាជាទម្លាប់ក្នុងការបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A: P(A)។ ការពន្យល់សម្រាប់ការរចនានេះគឺសាមញ្ញណាស់៖ ពាក្យ "ប្រូបាប៊ីលីតេ" ជាភាសាបារាំង ប្រូបាប៊ីលីតជាភាសាអង់គ្លេស- ប្រូបាប៊ីលីតេ.ការកំណត់ប្រើអក្សរទីមួយនៃពាក្យ។

ដោយប្រើសញ្ញាណនេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A យោងតាមគ្រោងការណ៍បុរាណអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត

P(A)=។

ជាញឹកញាប់ចំណុចទាំងអស់នៃគ្រោងការណ៍ប្រូបាបបុរាណខាងលើត្រូវបានបង្ហាញក្នុងឃ្លាដ៏វែងមួយ។

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងអំឡុងពេលការធ្វើតេស្តជាក់លាក់មួយគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលជាលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើងចំពោះចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់នៃការធ្វើតេស្តនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលការបោះមួយដង លទ្ធផលនឹងមានៈ ក) 4; ខ) ៥; គ) ចំនួនពិន្ទុស្មើគ្នា; ឃ) ចំនួនពិន្ទុធំជាង 4; ង) ចំនួនពិន្ទុមិនអាចបែងចែកដោយបី។

ដំណោះស្រាយ. សរុបមកមាន N=6 លទ្ធផលដែលអាចកើតមាន៖ ការធ្លាក់ចេញពីមុខគូបដែលមានចំនួនពិន្ទុស្មើនឹង 1, 2, 3, 4, 5 ឬ 6។ យើងជឿថាគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេ មានគុណសម្បត្តិអ្វីលើសពីអ្នកផ្សេងទៀត ពោលគឺយើង ទទួលយកការសន្មត់ថាសមភាពនៃលទ្ធផលទាំងនេះ។

ក) នៅក្នុងលទ្ធផលមួយក្នុងចំណោមលទ្ធផល ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ A នឹងកើតឡើង — លេខ 4 នឹងលេចឡើង នេះមានន័យថា N(A)=1 និង

ទំ(ក)= =.

ខ) ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយគឺដូចគ្នាទៅនឹងកថាខណ្ឌមុនដែរ។

គ) ព្រឹត្តិការណ៍ B ដែល​យើង​ចាប់​អារម្មណ៍​នឹង​កើត​ឡើង​ក្នុង​ករណី​ចំនួន​បី​យ៉ាង​ប្រាកដ​នៅ​ពេល​ដែល​ចំនួន​ពិន្ទុ​គឺ 2, 4 ឬ 6។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា

ន(ខ) = 3 និងទំ(ខ)==.

ឃ) ព្រឹត្តិការណ៍ C ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍នឹងកើតឡើងនៅក្នុងករណីពីរយ៉ាងពិតប្រាកដនៅពេលដែលចំនួនពិន្ទុគឺ 5 ឬ 6 ។ នេះមានន័យថា

ន(គ) =2 និង Р(С)=។

e) ក្នុងចំណោមចំនួនប្រាំមួយដែលអាចទាញបាន បួន (1, 2, 4 និង 5) មិនមែនជាការគុណនៃបីទេ ហើយចំនួនពីរដែលនៅសល់ (3 និង 6) ត្រូវបានបែងចែកដោយបី។ នេះមានន័យថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងកើតឡើងយ៉ាងពិតប្រាកដ 4 ក្នុងចំណោម 6 លទ្ធផលដែលអាចទៅរួច និងប្រហាក់ប្រហែល និងប្រហែលស្មើគ្នានៃលទ្ធផលពិសោធន៍។ ដូច្នេះ​ចម្លើយ​បាន​ប្រែ​ក្លាយ​ជា​។

ចម្លើយ៖ ក); ខ) ; វី); ជី); ឃ)

គ្រាប់ឡុកឡាក់ពិតប្រាកដអាចខុសគ្នាពីគូបដ៏ល្អមួយ ដូច្នេះដើម្បីពណ៌នាអំពីឥរិយាបថរបស់វា គំរូត្រឹមត្រូវ និងលម្អិតគឺត្រូវបានទាមទារ ដោយគិតគូរពីគុណសម្បត្តិនៃមុខមួយលើមួយទៀត វត្តមានដែលអាចកើតមាននៃមេដែកជាដើម។ “អារក្សស្ថិតនៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិត” ហើយភាពត្រឹមត្រូវកាន់តែច្រើនទំនងជានាំទៅរកភាពស្មុគស្មាញកាន់តែខ្លាំង ហើយការទទួលបានចម្លើយក្លាយជាបញ្ហា។ យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងក្នុងការពិចារណាលើគំរូប្រូបាប៊ីលីស្តដ៏សាមញ្ញបំផុត ដែលលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់គឺប្រហែលស្មើគ្នា។

ចំណាំ ១. សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។ សំណួរត្រូវបានសួរថា: "តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានបីលើមួយរមៀល?" សិស្សឆ្លើយថា "ប្រូបាប៊ីលីតេគឺ 0.5" ។ ហើយ​គាត់​បាន​ពន្យល់​ចម្លើយ​របស់គាត់​ថា​៖ «​បី​នាក់​នឹង​ចេញមក​ឬ​អត់​។ នេះមានន័យថា មានលទ្ធផលសរុបចំនួនពីរ ហើយក្នុងចំនោមនោះ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងកើតឡើង។ ដោយប្រើគ្រោងការណ៍ប្រូបាបបុរាណ យើងទទួលបានចម្លើយ 0.5”។ តើមានកំហុសក្នុងការវែកញែកនេះទេ? នៅ glance ដំបូង, ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វានៅតែមាន ហើយនៅក្នុងវិធីជាមូលដ្ឋាន។ បាទ ពិតណាស់ បីនាក់នឹងចេញមក ឬអត់ ពោលគឺជាមួយនឹងនិយមន័យនៃលទ្ធផលនៃការបោះ N=2 នេះ។ វាក៏ជាការពិតដែល N(A) = 1 ហើយជាការពិតណាស់ វាជាការពិតដែល = 0.5 ពោលគឺ ចំនុចបីនៃគ្រោងការណ៍ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានយកមកពិចារណា ប៉ុន្តែការបំពេញចំណុច 2) គឺស្ថិតក្នុងការសង្ស័យ។ ជាការពិតណាស់ តាមទស្សនៈផ្លូវច្បាប់សុទ្ធសាធ យើងមានសិទ្ធិជឿថា ការរំកិលលេខបី ទំនងជាមិនធ្លាក់ចេញ។ ប៉ុន្តែតើយើងអាចគិតដូច្នេះដោយមិនបំពានលើការសន្មត់ធម្មជាតិរបស់យើងអំពី "ភាពដូចគ្នា" នៃគែមទេ? ជាការពិតណាស់មិនមែនទេ! នៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងហេតុផលត្រឹមត្រូវនៅក្នុងគំរូជាក់លាក់មួយ។ ប៉ុន្តែគំរូនេះខ្លួនឯងគឺ "ខុស" ដែលមិនទាក់ទងទៅនឹងបាតុភូតពិត។

ចំណាំ ២. នៅពេលពិភាក្សាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេ សូមកុំបាត់បង់ការមើលឃើញពីកាលៈទេសៈសំខាន់ៗខាងក្រោម។ បើយើងនិយាយថា ពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានមួយពិន្ទុស្មើនឹងដង អ្នកនឹងទទួលបានមួយពិន្ទុយ៉ាងពិតប្រាកដបីដង។ល។ ពាក្យនេះប្រហែលជាស្មាន។ យើងសន្មតថាអ្វីដែលទំនងជានឹងកើតឡើង។ ប្រហែលជាប្រសិនបើយើងក្រឡុកគ្រាប់ឡុកឡាក់ 600 ដង ចំណុចមួយនឹងកើនឡើង 100 ដង ឬប្រហែល 100 ។

ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេបានកើតឡើងនៅសតវត្សទី 17 នៅពេលវិភាគល្បែងផ្សេងៗនៃឱកាស។ ដូច្នេះវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលឧទាហរណ៍ដំបូងគឺមានលក្ខណៈលេងសើច។ ពីឧទាហរណ៍ជាមួយគ្រាប់ឡុកឡាក់ សូមបន្តទៅការទាញសន្លឹកបៀដោយចៃដន្យពីតុ។

ឧទាហរណ៍ ២. ពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹក 3 សន្លឹកត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យក្នុងពេលតែមួយ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាមិនមានមហាក្សត្រីនៃ spades ក្នុងចំណោមពួកគេ?

ដំណោះស្រាយ. យើងមានសំណុំនៃ 36 ធាតុ។ យើងជ្រើសរើសធាតុបីដែលជាលំដាប់ដែលមិនសំខាន់។ នេះមានន័យថា វាអាចទទួលបានលទ្ធផល N=C។ យើង​នឹង​ធ្វើ​ទៅ​តាម​គ្រោងការណ៍​ប្រូបាប​បុរាណ ពោល​គឺ​យើង​នឹង​សន្មត​ថា​លទ្ធផល​ទាំង​អស់​នេះ​ប្រហែល​ស្មើ​គ្នា។

វានៅសល់ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការដោយប្រើនិយមន័យបុរាណ៖

តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមសន្លឹកបៀទាំងបីដែលបានជ្រើសរើសមានមហាក្សត្រីនៃ spades? ចំនួននៃលទ្ធផលទាំងអស់គឺមិនពិបាកក្នុងការគណនាទេ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវដកចេញពីលទ្ធផលទាំងអស់ N លទ្ធផលទាំងអស់ដែលមិនមានមហាក្សត្រិយានីនៃ spades ពោលគឺដកលេខ N(A) ដែលមាននៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 ។ បន្ទាប់មក ដោយអនុលោមតាមគ្រោងការណ៍ប្រូបាបបុរាណ ភាពខុសគ្នានេះ N-N(A) គួរតែត្រូវបានបែងចែកដោយ N. នេះគឺជាអ្វីដែលយើងទទួលបាន៖

យើងឃើញថាមានទំនាក់ទំនងជាក់លាក់រវាងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A គឺជាអវត្តមានរបស់មហាក្សត្រីនៃស្ពត ហើយព្រឹត្តិការណ៍ B គឺជាវត្តមានរបស់វាក្នុងចំណោមសន្លឹកបៀទាំងបីដែលបានជ្រើសរើស នោះ

P(B)=1—P(A),

P(A)+P(B)=1។

ជាអកុសល នៅក្នុងសមភាព P(A)+P(B)=1 មិនមានព័ត៌មានអំពីការតភ្ជាប់រវាងព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ទេ។ យើងត្រូវតែរក្សាទំនាក់ទំនងនេះក្នុងចិត្ត។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការផ្តល់ឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ B នូវឈ្មោះ និងការកំណត់ជាមុនដែលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់អំពីទំនាក់ទំនងរបស់វាជាមួយ A ។

និយមន័យ ១. ព្រឹត្តិការណ៍ ខហៅ ទល់មុខនឹងព្រឹត្តិការណ៍ Aហើយបញ្ជាក់ B=Ā ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ B កើតឡើងប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A មិនកើតឡើង។

ធទ្រឹស្តីបទ ១. ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ សូមដកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដោយខ្លួនវាចេញពីការរួបរួម៖ P(Ā)= 1—P(A) ។ តាមពិតទៅ

នៅក្នុងការអនុវត្ត ពួកគេគណនានូវអ្វីដែលងាយស្រួលរក៖ ទាំង P(A) ឬ P(Ā)។ បន្ទាប់ពីនេះ ប្រើរូបមន្តពីទ្រឹស្តីបទ ហើយរករៀងគ្នា P(Ā) = 1 - P(A) ឬ P(A) = 1 - P(Ā) ។

វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់ដោយ "ការរាប់ចំនួនករណី" នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាត្រូវបានបែងចែកទៅជាករណីផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក ដែលនីមួយៗត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។ ឧទាហរណ៍ "ប្រសិនបើអ្នកទៅខាងស្តាំ អ្នកនឹងបាត់បង់សេះ ប្រសិនបើអ្នកទៅត្រង់ អ្នកនឹងដោះស្រាយបញ្ហាលើទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ប្រសិនបើអ្នកទៅខាងឆ្វេង ... " ។ ឬនៅពេលបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=│x+1│—│2x—5│ ពិចារណាករណី x

ឧទាហរណ៍ ៣. ក្នុងចំណោម ៥០ ពិន្ទុ មាន ១៧ ពណ៌ មានពណ៌ខៀវ និង ១៣ ពណ៌គឺពណ៌ទឹកក្រូច។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំណុចដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងត្រូវបានដាក់ស្រមោល។

ដំណោះស្រាយ. ពិន្ទុសរុបចំនួន 30 ក្នុងចំណោម 50 ត្រូវបានដាក់ស្រមោល នេះមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេគឺ = 0.6 ។

ចម្លើយ៖ ០.៦ ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញនេះឱ្យកាន់តែជិត។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ A ថាចំណុចដែលបានជ្រើសរើសគឺពណ៌ខៀវ ហើយព្រឹត្តិការណ៍ B គឺថាចំណុចដែលបានជ្រើសរើសគឺពណ៌ទឹកក្រូច។ តាមលក្ខខណ្ឌ ព្រឹត្តិការណ៍ A និង B មិនអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាបានទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងដោយអក្សរ C ។ ព្រឹត្តិការណ៍ C កើតឡើងប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវាកើតឡើង យ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍ A ឬ B. វាច្បាស់ថា N(C)=N(A)+N(B)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះដោយ N - ចំនួននៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃការពិសោធន៍នេះ; យើងទទួលបាន

ដោយប្រើឧទាហរណ៍សាមញ្ញ យើងបានវិភាគស្ថានភាពសំខាន់ និងជួបប្រទះញឹកញាប់។ មានឈ្មោះពិសេសសម្រាប់វា។

និយមន័យ ២. ព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើពួកគេមិនអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ។

នៅពេលបកប្រែទ្រឹស្តីបទនេះទៅជាភាសាគណិតវិទ្យា ចាំបាច់ត្រូវដាក់ឈ្មោះ និងកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយដែលមានការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ A និង B ។ ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ហើយត្រូវបានតំណាង ក + ខ។

ប្រសិនបើ A និង B មិនត្រូវគ្នានោះ P(A+B)= P(A)+P(B)។

តាមពិតទៅ

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ជាមួយនឹងគំនូរមួយ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលទាំងអស់នៃការពិសោធន៍គឺជាសំណុំនៃចំណុចជាក់លាក់មួយនៅក្នុងរូបភាពនោះ ព្រឹត្តិការណ៍ A និង B គឺមួយចំនួន សំណុំរងនៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ភាពមិនស៊ីគ្នានៃ A និង B មានន័យថា សំណុំរងទាំងពីរនេះមិនប្រសព្វគ្នា។ ឧទាហរណ៍ធម្មតានៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាគឺព្រឹត្តិការណ៍ A និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ Ā ។

ជាការពិតណាស់ ទ្រឹស្តីបទនេះគឺពិតសម្រាប់បី បួន និងចំនួនកំណត់ណាមួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏សំខាន់នេះត្រូវគ្នាយ៉ាងជាក់លាក់ទៅនឹងវិធីសាស្រ្ត "ករណីដោយករណី" នៃការដោះស្រាយបញ្ហា។

វាអាចមានទំនាក់ទំនង ភាពអាស្រ័យ ការតភ្ជាប់ជាដើម។ រវាងព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ខ្លះ និងរវាងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ឧទាហរណ៍ ព្រឹត្តិការណ៍អាចត្រូវបាន "បន្ថែម" ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាគឺស្មើគ្នា ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ។

សរុបសេចក្តី អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិភាក្សាសំណួរជាមូលដ្ឋានខាងក្រោម៖ តើវាអាចទៅរួចដែរឬទេ បញ្ជាក់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាលនៅក្នុងការបោះកាក់មួយគឺ

ចម្លើយគឺទេ។ និយាយជាទូទៅ សំណួរខ្លួនឯងគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ អត្ថន័យពិតប្រាកដនៃពាក្យ "បញ្ជាក់" គឺមិនច្បាស់លាស់។ យ៉ាងណាមិញ យើងតែងតែបង្ហាញអ្វីមួយនៅក្នុងក្របខណ្ឌនៃមួយចំនួន ម៉ូដែលដែលច្បាប់ ច្បាប់ អ័ក្ស រូបមន្ត ទ្រឹស្តីបទ ជាដើម ត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីកាក់ "ឧត្តមគតិ" នោះ វាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាឧត្តមគតិ។ តាមនិយមន័យប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន "កន្ទុយ" គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន "ក្បាល" ។ ហើយជាគោលការណ៍ យើងអាចពិចារណាគំរូដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ “កន្ទុយ” ធំជាងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ “ក្បាល” ពីរដង ឬតិចជាងបីដង។ គំរូ​ការ​បោះ​កាក់​ផ្សេងៗ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​មួយ​ណា​ដែល​លទ្ធផល​នៃ​ការ​បោះ​ទាំងពីរ​ទំនង​ស្មើ​គ្នា?

ចំលើយដ៏ត្រង់បំផុតគឺ៖ “ប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួល ច្បាស់ជាង និងធម្មជាតិសម្រាប់ពួកយើង!” ប៉ុន្តែក៏មានអំណះអំណាងសំខាន់ៗជាច្រើនទៀតផងដែរ។ ពួកគេមកពីការអនុវត្ត។ ភាគច្រើនលើសលប់នៃសៀវភៅសិក្សាស្តីពីទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ផ្តល់ឧទាហរណ៍ពីធម្មជាតិវិទូជនជាតិបារាំង J. Buffon (សតវត្សទី 18) និងគណិតវិទូអង់គ្លេស និងជាអ្នកស្ថិតិ K. Pearson (ចុងសតវត្សទី 19) ដែលបានបោះកាក់ 4040 និង 24000 ដងរៀងៗខ្លួន ហើយរាប់ ចំនួនក្បាលដែលចេញមក។ ពួកគេបានចុះចតក្បាលនៅឆ្នាំ ១៩៩២ និង ១១៩៩៨ ដងរៀងៗខ្លួន។ ប្រសិនបើអ្នករាប់ ភាពញឹកញាប់នៃការបាត់បង់"កន្ទុយ" បន្ទាប់មកវាប្រែចេញ = = 0.493069... សម្រាប់ Buffon និង = 0.4995 សម្រាប់ Pearson ។ ធម្មជាតិកើតឡើង ការសន្មត់ថាជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួននៃការបោះកាក់ ភាពញឹកញាប់នៃ "កន្ទុយ" ដែលធ្លាក់ចេញ ក៏ដូចជាភាពញឹកញាប់នៃ "ក្បាល" ដែលធ្លាក់ចេញនឹងកាន់តែខិតជិតដល់ 0.5 ។ វាគឺជាការសន្មត់នេះ ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យជាក់ស្តែង នោះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការជ្រើសរើសគំរូដែលមានលទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល។

ឥឡូវនេះយើងអាចសង្ខេប។ គំនិតជាមូលដ្ឋាន - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដែលត្រូវបានគណនាក្នុងគំរូសាមញ្ញបំផុត - គ្រោងការណ៍បុរាណ. គំនិតមានសារៈសំខាន់ទាំងទ្រឹស្តី និងក្នុងការអនុវត្ត ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយនិងរូបមន្ត P(Ā)= 1—P(A) ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ។

ទីបំផុតយើងបានជួបគ្នា ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។និងជាមួយរូបមន្ត។

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ បរិមាណព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ។

ឯកសារយោង

1. ព្រឹត្តិការណ៍។ ប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដំណើរការទិន្នន័យស្ថិតិ៖ បន្ថែម។ កថាខណ្ឌសម្រាប់វគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 7-9 ។ ស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich, P. V. Semenov - ទី 4 ed - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 ទំព័រ: ill ។

២.យូ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk “ពិជគណិត។ ធាតុនៃស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។”—ម៉ូស្គូ, “ប្រូសវេសឆេនី”, ២០០៦។

និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើជាមួយនឹងចំនួនដ៏ច្រើន។ ន ប្រេកង់សាកល្បង P*(A)=m/ នការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក មានស្ថេរភាព និងផ្តល់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក , i.e. .

កាលៈទេសៈនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេប្រហាក់ប្រហែលនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយដោយពិសោធន៍។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះមិនតែងតែងាយស្រួលនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ យើងត្រូវដឹងជាមុននូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន សូម្បីតែមុនពេលពិសោធន៍ក៏ដោយ។ នេះ​ជា​តួនាទី​ទស្សន៍ទាយ​របស់​វិទ្យាសាស្រ្ដ​។ ក្នុង​ករណី​មួយ​ចំនួន ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​មួយ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​មុន​ពេល​ពិសោធន៍​ដោយ​ប្រើ​គំនិត​នៃ​ភាព​ស្មើគ្នា​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍ (ឬ​ភាព​ស្មើគ្នា)។

ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ប្រហែលជាដូចគ្នា។ (ឬ អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា ) ប្រសិនបើមិនមានហេតុផលគោលបំណងដើម្បីជឿថាមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចកើតឡើងញឹកញាប់ជាងផ្សេងទៀត។

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ការលេចចេញនូវអាវធំ ឬសិលាចារឹកនៅពេលបោះកាក់ គឺជាព្រឹត្ដិការណ៍ដែលទំនងដូចគ្នា។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យពួកគេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់។ ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីនៃគូបយើងអាចសន្មត់ថារូបរាងនៃលេខណាមួយ។ 1, 2, 3, 4, 5 ឬ 6 លទ្ធភាពស្មើគ្នា (ប្រហាក់ប្រហែល) ។

ព្រឹត្តិការណ៍ នៅក្នុងការពិសោធន៍នេះពួកគេបង្កើត ក្រុមពេញ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគួរតែកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍។ ដូច្នេះនៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍មានប្រាំមួយ - រូបរាងនៃលេខ 1, 2, 3, 4, 5 និង 6.

ជាក់ស្តែង ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ក និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយរបស់វាបង្កើតជាក្រុមពេញលេញ។

ព្រឹត្តិការណ៍ ខ ហៅ អំណោយផល ព្រឹត្តិការណ៍ ក ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង ខ រួមបញ្ចូលការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក . ដូច្នេះប្រសិនបើ ក - រូបរាងនៃចំនួនពិន្ទុស្មើគ្នានៅពេលបោះស្លាប់បន្ទាប់មករូបរាងនៃលេខ 4 តំណាងឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក.

អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ នៅក្នុងការពិសោធន៍នេះបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា និងប្រហែលស្មើគ្នា។ តោះហៅពួកគេ។ លទ្ធផល ការធ្វើតេស្ត។ ចូរសន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍ ក អនុគ្រោះដល់លទ្ធផលសាកល្បង។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក នៅក្នុងការពិសោធន៍នេះត្រូវបានគេហៅថាអាកប្បកិរិយា។ ដូច្នេះយើងមកនិយមន័យខាងក្រោម។

ប្រូបាប៊ីលីតេ P(A) នៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលពិសោធន៍ដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ A ទៅនឹងចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលពិសោធន៍ដែលអាចធ្វើបានដែលបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូដែលប្រហែលស្មើគ្នា៖ .

និយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេនេះត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ បុរាណ. វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានិយមន័យបុរាណបំពេញ axioms នៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ឧទាហរណ៍ 1.1 ។បាច់មួយពី 1000 សត្វខ្លាឃ្មុំ។ ខ្ញុំបានចូលទៅក្នុងក្រុមនេះដោយចៃដន្យ 30 bearings ដែលមិនបំពេញតាមស្តង់ដារ។ កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ P(A) ថាការចាប់ដោយចៃដន្យនឹងប្រែទៅជាស្តង់ដារ។

ដំណោះស្រាយ៖ចំនួននៃ bearings ស្តង់ដារគឺ 1000-30=970 . យើងនឹងសន្មត់ថា bearing នីមួយៗមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នាក្នុងការជ្រើសរើស។ បន្ទាប់មកក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍មានលទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែលគ្នា ដែលព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ ក លទ្ធផលអនុគ្រោះ។ នោះហើយជាមូលហេតុ .

ឧទាហរណ៍ 1.2 ។នៅក្នុងកោដ្ឋ 10 បាល់៖ 3 ស និង 7 ខ្មៅ។ បាល់ពីរត្រូវបានគេយកចេញពីកោដ្ឋក្នុងពេលតែមួយ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេ r តើបាល់ទាំងពីរប្រែទៅជាពណ៌ស?

ដំណោះស្រាយ៖ចំនួននៃលទ្ធផលតេស្តដែលប្រហែលជាស្មើគ្នាទាំងអស់គឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែលនៅក្នុងនោះ។ 10 យកបាល់ពីរចេញ ពោលគឺចំនួនបន្សំពី 10 ធាតុដោយ 2 (ក្រុមព្រឹត្តិការណ៍ពេញ)៖

ចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផល (តាមវិធីជាច្រើនដែលមនុស្សម្នាក់អាចជ្រើសរើសបាន។ 3 ជ្រើសរើសបាល់ 2) : . ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ .

សម្លឹងទៅមុខ បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីផ្សេង។

ដំណោះស្រាយ៖ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅលើការសាកល្បងដំបូង (ទាញបាល់ចេញ) បាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានគូរគឺស្មើនឹង (បាល់សរុប 10 ដែលក្នុងនោះ 3 ស) ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងអំឡុងពេលសាកល្បងលើកទីពីរ បាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានគូរម្តងទៀតគឺស្មើនឹង (ចំនួនសរុបនៃបាល់ឥឡូវនេះ 9, ដោយសារតែ ពួកគេបានយកមួយចេញ វាបានក្លាយជាពណ៌ស 2, ដោយសារតែ ពួកគេបានយកពណ៌ស) ។ ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមបញ្ចូលគ្នាគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ i.e. .

ឧទាហរណ៍ 1.3 ។នៅក្នុងកោដ្ឋ 2 បៃតង, 7 ក្រហម 5 ពណ៌ត្នោត និង 10 បាល់ពណ៌ស។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាល់ពណ៌ដែលលេចឡើង?

ដំណោះស្រាយ៖ យើងរកឃើញរៀងៗខ្លួននូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃរូបរាងនៃបាល់ពណ៌បៃតង ក្រហម និងពណ៌ត្នោត៖ ; ; . ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាគឺមិនស៊ីគ្នាទេ ដូច្នេះដោយប្រើ axiom បន្ថែម យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃរូបរាងនៃបាល់ពណ៌៖

ឬតាមរបៀបផ្សេងទៀត។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាល់ពណ៌សលេចឡើង។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃរូបរាងនៃបាល់ដែលមិនមានពណ៌ស (ឧទាហរណ៍ពណ៌) i.e. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺស្មើនឹង .

និយមន័យធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេ. ដើម្បីយកឈ្នះលើគុណវិបត្តិនៃនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ (វាមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះការធ្វើតេស្តជាមួយនឹងចំនួនលទ្ធផលគ្មានកំណត់) និយមន័យធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានណែនាំ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំណុចដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតំបន់មួយ (ផ្នែក ផ្នែកនៃយន្តហោះ។ ល។ )

អនុញ្ញាតឱ្យផ្នែកនេះជាផ្នែកមួយនៃផ្នែក។ ចំនុចមួយត្រូវបានដាក់ដោយចៃដន្យនៅលើផ្នែកដែលមានន័យថាការសន្មត់ខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ ចំនុចដែលបានដាក់អាចនៅចំណុចណាមួយនៅលើផ្នែក ប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនុចដែលធ្លាក់លើផ្នែកគឺសមាមាត្រទៅនឹងប្រវែងនៃផ្នែកនេះ និងមិន អាស្រ័យលើទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងផ្នែក។ នៅក្រោមការសន្មត់ទាំងនេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំណុចធ្លាក់លើផ្នែកមួយត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព

និយមន័យបុរាណ និងស្ថិតិនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

សម្រាប់សកម្មភាពជាក់ស្តែង ចាំបាច់ត្រូវមានលទ្ធភាពប្រៀបធៀបព្រឹត្តិការណ៍ទៅតាមកម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងរបស់វា។ ចូរយើងពិចារណាករណីបុរាណមួយ។ ក្នុង​កោដ្ឋ​មាន​១០​គ្រាប់​មាន​៨​គ្រាប់​ពណ៌​ស​២​គ្រាប់​ខ្មៅ ។ ជាក់ស្តែងព្រឹត្តិការណ៍ "បាល់ពណ៌សមួយនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ" ហើយព្រឹត្តិការណ៍ "គ្រាប់បាល់ខ្មៅមួយនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ" មានកម្រិតខុសៗគ្នានៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងរបស់វា។ ដូច្នេះ ដើម្បីប្រៀបធៀបព្រឹត្តិការណ៍ រង្វាស់បរិមាណជាក់លាក់គឺចាំបាច់។

រង្វាស់បរិមាណនៃលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងគឺ ប្រូបាប៊ីលីតេ . និយមន័យដែលប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយបំផុតនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺបុរាណ និងស្ថិតិ។

និយមន័យបុរាណប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃលទ្ធផលអំណោយផល។ សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះឱ្យបានលំអិត។

អនុញ្ញាតឱ្យលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមួយចំនួនបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ និងអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ អាចធ្វើទៅបានតែមួយគត់ មិនឆបគ្នា និងអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។ លទ្ធផលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា លទ្ធផលបឋម, ឬ ករណី. វាត្រូវបានគេនិយាយថាការធ្វើតេស្តនេះឆ្អិនចុះទៅ គ្រោងការណ៍ករណីឬ " គ្រោងការណ៍កោដ្ឋ", ដោយសារតែ បញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេណាមួយសម្រាប់ការធ្វើតេស្តបែបនេះអាចត្រូវបានជំនួសដោយបញ្ហាសមមូលជាមួយនឹងកោដ្ឋ និងបាល់ដែលមានពណ៌ខុសៗគ្នា។

លទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា អំណោយផលព្រឹត្តិការណ៍ កប្រសិនបើការកើតឡើងនៃករណីនេះនាំឱ្យមានការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក.

យោងទៅតាមនិយមន័យបុរាណ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍នេះទៅនឹងចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល, i.e.

,

(1.1)

កន្លែងណា P(A)- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក; ម- ចំនួនករណីអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ ក; ន- ចំនួនករណីសរុប។

ឧទាហរណ៍ 1.1 ។នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ មានលទ្ធផលចំនួនប្រាំមួយ៖ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ពិន្ទុ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានពិន្ទុគូ?

ដំណោះស្រាយ។ ទាំងអស់។ ន= 6 លទ្ធផលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ និងអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ អាចធ្វើទៅបានតែមួយគត់ មិនឆបគ្នា និងអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ A - "រូបរាងនៃចំនួនពិន្ទុគូ" - ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ 3 លទ្ធផល (ករណី) - ការបាត់បង់ 2, 4 ឬ 6 ពិន្ទុ។ ដោយប្រើរូបមន្តបុរាណសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ យើងទទួលបាន

P(A) = = . ◄

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ ពោលគឺឧ។

0 ≤ រ(ក) ≤ 1.

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានគឺស្មើនឹងមួយ។

3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ។

ដូចដែលត្រូវបានគេនិយាយពីមុន និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺអាចអនុវត្តបានសម្រាប់តែព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនោះដែលអាចកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តដែលមានស៊ីមេទ្រីនៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមាន ពោលគឺឧ។ អាចកាត់បន្ថយទៅជាគំរូនៃករណី។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានថ្នាក់ធំនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រូបាប៊ីលីតេមិនអាចគណនាបានដោយប្រើនិយមន័យបុរាណ។

ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាកាក់ត្រូវបានរុញភ្ជាប់ នោះវាច្បាស់ណាស់ថាព្រឹត្តិការណ៍ "រូបរាងនៃដៃ" និង "រូបរាងនៃក្បាល" មិនអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នានោះទេ។ ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍បុរាណគឺមិនអាចអនុវត្តបានទេក្នុងករណីនេះ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតក្នុងការប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ដោយផ្អែកលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យញឹកញាប់ប៉ុណ្ណានៅក្នុងការសាកល្បងដែលបានអនុវត្ត។ ក្នុងករណីនេះ និយមន័យស្ថិតិនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើ។

ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិព្រឹត្តិការណ៍ A គឺជាប្រេកង់ដែលទាក់ទងគ្នា (ប្រេកង់) នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះនៅក្នុងការសាកល្បង n ដែលត្រូវបានអនុវត្ត, i.e.

,

(1.2)

កន្លែងណា P*(A)- ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក; w(A)- ប្រេកង់ទាក់ទងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក; ម- ចំនួននៃការសាកល្បងដែលព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើង ក; ន- ចំនួនសរុបនៃការធ្វើតេស្ត។

មិនដូចប្រូបាប៊ីលីតេគណិតវិទ្យាទេ។ P(A)ពិចារណាក្នុងនិយមន័យបុរាណ ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ P*(A)គឺជាលក្ខណៈ មានបទពិសោធន៍, ពិសោធន៍. នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ កគឺ​ជា​ចំនួន​ដែល​ប្រេកង់​ទាក់ទង​ត្រូវ​បាន​ស្ថិរភាព (កំណត់) w(A)ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួនការធ្វើតេស្តដែលបានធ្វើឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលពួកគេនិយាយអំពីអ្នកបាញ់ប្រហារដែលគាត់វាយចំគោលដៅដែលមានប្រូបាប 0.95 នេះមានន័យថាក្នុងចំណោមការបាញ់រាប់រយគ្រាប់ដែលគាត់បាញ់ក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន (គោលដៅដូចគ្នានៅចម្ងាយដូចគ្នា កាំភ្លើងដូចគ្នា ។ល។ ) ជាមធ្យមមានអ្នកជោគជ័យប្រហែល 95 នាក់។ តាមធម្មជាតិ មិនមែនគ្រប់រយនាក់នឹងទទួលបានការបាញ់ប្រហារចំនួន 95 ដែលជោគជ័យនោះទេ ជួនកាលមានតិចជាង ជួនកាលច្រើន ប៉ុន្តែជាមធ្យម នៅពេលដែលបាញ់ម្តងហើយម្តងទៀតក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នានោះ ភាគរយនៃការទស្សនានេះនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ តួលេខ 0.95 ដែលដើរតួជាសូចនាករនៃជំនាញរបស់អ្នកបាញ់គឺជាធម្មតាខ្លាំងណាស់ ស្ថិរភាព, i.e. ភាគរយនៃការចុចចូលក្នុងការបាញ់ប្រហារភាគច្រើននឹងស្ទើរតែដូចគ្នាសម្រាប់អ្នកបាញ់ប្រហារដែលបានផ្តល់ឱ្យ តែក្នុងករណីដ៏កម្រដែលគម្លាតពីតម្លៃមធ្យមរបស់វាយ៉ាងខ្លាំង។

គុណវិបត្តិមួយទៀតនៃនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ( 1.1 ) ការកំណត់ការប្រើប្រាស់របស់វាគឺថាវាសន្មត់ចំនួនកំណត់នៃលទ្ធផលតេស្តដែលអាចកើតមាន។ ក្នុងករណីខ្លះគុណវិបត្តិនេះអាចត្រូវបានយកឈ្នះដោយប្រើនិយមន័យធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេ i.e. ការស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំណុចដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយ (ផ្នែក ផ្នែកនៃយន្តហោះ ។ល។)

សូមឱ្យតួលេខរាបស្មើ gបង្កើតជាផ្នែកនៃរូបសំប៉ែត ជី(រូបភាព 1.1) ។ សម ជីចំនុចមួយត្រូវបានបោះចោលដោយចៃដន្យ។ នេះមានន័យថាចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងតំបន់ ជី"សិទ្ធិស្មើគ្នា" ទាក់ទងនឹងថាតើចំនុចចៃដន្យដែលបោះមកប៉ះវា។ សន្មតថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ក- ចំណុចបោះប៉ះនឹងរូប g- គឺសមាមាត្រទៅនឹងផ្ទៃដីនៃតួលេខនេះ និងមិនអាស្រ័យលើទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹង ជីទាំងពីទម្រង់ gយើងនឹងរកឃើញ

បញ្ហាលើការកំណត់បុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។
ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងមេរៀនទីបី យើងនឹងពិនិត្យមើលបញ្ហាផ្សេងៗដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការអនុវត្តផ្ទាល់នៃនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដើម្បីសិក្សាប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពនូវសម្ភារៈនៅក្នុងអត្ថបទនេះ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេនិង មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃ combinatorics. ភារកិច្ចនៃការកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេតាមបែបបុរាណជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលមានទំនោរទៅរកនរណាម្នាក់នឹងមានវត្តមាននៅក្នុងការងារឯករាជ្យ/ការគ្រប់គ្រងរបស់អ្នកនៅលើឆាក ដូច្នេះសូមត្រៀមខ្លួនសម្រាប់ការងារធ្ងន់ធ្ងរ។ អ្នក​អាច​សួរ​ថា តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ធ្ងន់ធ្ងរ​ចំពោះ​រឿង​នេះ? ... រូបមន្តបឋមតែមួយ។ ខ្ញុំព្រមានអ្នកប្រឆាំងនឹងភាពមិនច្បាស់លាស់ - កិច្ចការតាមប្រធានបទគឺមានភាពចម្រុះណាស់ ហើយភាគច្រើននៃពួកគេអាចយល់ច្រឡំអ្នកយ៉ាងងាយស្រួល។ ក្នុងន័យនេះ បន្ថែមពីលើការធ្វើការតាមរយៈមេរៀនសំខាន់ សូមព្យាយាមសិក្សាកិច្ចការបន្ថែមលើប្រធានបទដែលមាននៅក្នុងធនាគារជ្រូក ដំណោះស្រាយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចសម្រាប់គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់. បច្ចេកទេសនៃដំណោះស្រាយគឺជាបច្ចេកទេសនៃដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែ "មិត្ត" នៅតែ "ត្រូវដឹងដោយការមើលឃើញ" ពីព្រោះសូម្បីតែការស្រមើលស្រមៃដ៏សម្បូរបែបក៏មានកម្រិត ហើយមានកិច្ចការស្តង់ដារគ្រប់គ្រាន់ផងដែរ។ ជាការប្រសើរណាស់ ខ្ញុំនឹងព្យាយាមតម្រៀបពួកវាឱ្យបានច្រើនតាមតែអាចធ្វើទៅបានក្នុងគុណភាពល្អ។

ចូរយើងចងចាំពីប្រភេទបុរាណ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការធ្វើតេស្តជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹងសមាមាត្រ ដែល៖

- ចំនួនសរុប អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា, បឋមសិក្សាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនេះ ទម្រង់បែបបទណា ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍;

- បរិមាណ បឋមសិក្សាលទ្ធផលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍។

ហើយ​ភ្លាម​ៗ​ក៏​ឈប់​រណ្ដៅ​ភ្លាម។ តើ​អ្នក​យល់​ពាក្យ​គូស​បន្ទាត់​ក្រោម​ទេ? នេះ​មាន​ន័យ​ថា​ច្បាស់​លាស់ មិន​មែន​ជា​ការ​យល់​ដឹង។ ប្រសិនបើ​មិន​ដូច្នោះ​ទេ នោះ​វា​នៅ​តែ​ល្អ​ជាង​ក្នុង​ការ​ត្រឡប់​ទៅ​អត្ថបទ​ទី 1 នៅ​លើ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេហើយបន្ទាប់ពីនោះបន្តទៅមុខទៀត។

សូម​កុំ​រំលង​ឧទាហរណ៍​ដំបូង​ឡើយ - ក្នុង​នោះ​ខ្ញុំ​នឹង​និយាយ​ឡើង​វិញ​នូវ​ចំណុច​សំខាន់​មួយ​ជា​មូលដ្ឋាន ហើយ​ក៏​ប្រាប់​អ្នក​ពី​របៀប​ធ្វើ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដំណោះស្រាយ​ឱ្យ​បាន​ត្រឹមត្រូវ និង​តាម​វិធី​ណា​ខ្លះ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន៖

បញ្ហា 1

កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស ១៥ គ្រាប់ ក្រហម ៥ និង​គ្រាប់​ខ្មៅ ១០ គ្រាប់។ 1 បាល់ត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងមានៈ ក) ស ខ) ក្រហម គ) ខ្មៅ។

ដំណោះស្រាយ៖ តម្រូវការជាមុនដ៏សំខាន់បំផុតសម្រាប់ការប្រើប្រាស់និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺ សមត្ថភាពក្នុងការរាប់ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល.

មានគ្រាប់បាល់សរុប 15+5+10 = 30 គ្រាប់នៅក្នុងកោដ្ឋ ហើយជាក់ស្តែងដូចតទៅនេះជាការពិត៖

- ការទាញយកបាល់ណាមួយគឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា (ឱកាសស្មើគ្នាលទ្ធផល)ខណៈពេលដែលលទ្ធផល បឋមសិក្សា និងទម្រង់ ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ (ឧទាហរណ៍ ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត គ្រាប់បាល់មួយក្នុងចំណោមគ្រាប់បាល់ទាំង 30 នឹងត្រូវដកចេញ).

ដូច្នេះចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល៖

ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ - បាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានអនុគ្រោះ បឋមសិក្សាលទ្ធផល តាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។

ចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ហើយ សូម្បីតែនៅក្នុងកិច្ចការដ៏សាមញ្ញបែបនេះក៏ដោយ ក៏អាចធ្វើឱ្យមានភាពមិនត្រឹមត្រូវធ្ងន់ធ្ងរ ដែលខ្ញុំបានផ្តោតលើអត្ថបទដំបូងរួចហើយអំពី ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ. តើរណ្ដៅនៅទីនេះនៅឯណា? វាមិនត្រឹមត្រូវទេក្នុងការជជែកតវ៉ានៅទីនេះ “ចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលបាល់មានពណ៌ស នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការគូរបាល់ពណ៌ស» . និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេសំដៅទៅលើ បឋមសិក្សាលទ្ធផល ហើយប្រភាគត្រូវតែសរសេរចុះ!

ជាមួយនឹងចំណុចផ្សេងទៀត ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សូមពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖

- បាល់ពណ៌ក្រហមនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។
- បាល់ខ្មៅមួយនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។

ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានអនុគ្រោះដោយលទ្ធផលបឋមចំនួន 5 ហើយព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានអនុគ្រោះដោយលទ្ធផលបឋមចំនួន 10 ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាគឺ៖

ការត្រួតពិនិត្យធម្មតានៃភារកិច្ចម៉ាស៊ីនមេជាច្រើនត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញ. ក្នុងករណីរបស់យើង ព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតជាក្រុមពេញលេញ ដែលមានន័យថាផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាត្រូវតែស្មើនឹងមួយ៖ .

សូមពិនិត្យមើលថាតើនេះជាការពិតឬអត់៖ នោះគឺជាអ្វីដែលខ្ញុំចង់ធ្វើឱ្យប្រាកដ។

ចម្លើយ:

ជាគោលការណ៍ ចម្លើយអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងលម្អិត ប៉ុន្តែដោយផ្ទាល់ខ្លួន ខ្ញុំធ្លាប់តែដាក់លេខនៅទីនោះ ដោយហេតុផលថា នៅពេលអ្នកចាប់ផ្តើម "បោះត្រាចេញ" បញ្ហារាប់រយរាប់ពាន់ អ្នកព្យាយាមកាត់បន្ថយការសរសេរ។ ដំណោះស្រាយតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ និយាយអញ្ចឹងអំពីភាពខ្លី៖ នៅក្នុងការអនុវត្តជម្រើសនៃការរចនា "ល្បឿនលឿន" គឺជារឿងធម្មតា ដំណោះស្រាយ:

សរុប៖ ១៥ + ៥ + ១០ = ៣០ គ្រាប់ក្នុងកោដ្ឋ។ យោងតាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ពណ៌ក្រហមនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ខ្មៅនឹងត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។

ចម្លើយ:

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើមានចំណុចជាច្រើននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ នោះវាច្រើនតែងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតដំណោះស្រាយតាមវិធីដំបូង ដែលចំណាយពេលយូរជាងនេះ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយ "ដាក់អ្វីៗទាំងអស់នៅលើធ្នើ" ហើយធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួល។ ដើម្បីរុករកបញ្ហា។

តោះ​ក្តៅៗ៖

បញ្ហា ២

ហាង​នេះ​ទទួល​បាន​ទូរទឹកកក​ចំនួន 30 គ្រឿង ក្នុង​នោះ 5 គ្រឿង​មាន​បញ្ហា​ផ្នែក​ផលិត។ ទូទឹកកកមួយត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងមិនមានពិការភាព?

ជ្រើសរើសជម្រើសរចនាដែលសមស្រប ហើយពិនិត្យមើលគំរូនៅខាងក្រោមទំព័រ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត ចំនួននៃធម្មតា និងចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលស្ថិតនៅលើផ្ទៃ ប៉ុន្តែក្នុងករណីភាគច្រើនអ្នកត្រូវជីកដំឡូងដោយខ្លួនឯង។ ស៊េរីបញ្ហា Canonical អំពីអតិថិជនដែលភ្លេច៖

បញ្ហា ៣

ពេល​ចុច​លេខ​ទូរសព្ទ អតិថិជន​ភ្លេច​លេខ​ពីរ​ខ្ទង់​ចុង​ក្រោយ ប៉ុន្តែ​ត្រូវ​ចាំ​ថា​លេខ​មួយ​គឺ​សូន្យ ហើយ​លេខ​សេស។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹងចុចលេខត្រឹមត្រូវ។

ចំណាំ ៖ សូន្យគឺជាលេខគូ (ចែកដោយ 2 ដោយគ្មានសល់)

ដំណោះស្រាយ៖ ដំបូងយើងរកឃើញចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល។ តាមលក្ខខណ្ឌ អតិថិជនចងចាំថាលេខមួយគឺសូន្យ ហើយខ្ទង់ផ្សេងទៀតគឺសេស។ នៅទីនេះវាសមហេតុផលជាងដែលមិនត្រូវមានល្បិចជាមួយ combinatorics និងការប្រើប្រាស់ វិធីសាស្រ្តនៃការចុះបញ្ជីលទ្ធផលដោយផ្ទាល់ . នោះគឺនៅពេលបង្កើតដំណោះស្រាយ យើងគ្រាន់តែសរសេរបន្សំទាំងអស់៖
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

ហើយយើងរាប់ពួកគេ - សរុប: 10 លទ្ធផល។

មានលទ្ធផលអំណោយផលតែមួយគត់គឺលេខត្រឹមត្រូវ។

យោងតាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអតិថិជននឹងចុចលេខត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ: 0,1

ប្រភាគទសភាគមើលទៅពិតជាសមរម្យនៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ប៉ុន្តែអ្នកក៏អាចប្រកាន់ខ្ជាប់នូវរចនាប័ទ្ម Vyshmatov ប្រពៃណីដែរ ដោយប្រតិបត្តិការតែជាមួយប្រភាគធម្មតាប៉ុណ្ណោះ។

កិច្ចការកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

បញ្ហា ៤

អតិថិជនបានភ្លេចលេខកូដ PIN សម្រាប់ស៊ីមកាតរបស់គាត់ ប៉ុន្តែចងចាំថាវាមានបី “ប្រាំ” ហើយលេខមួយគឺ “ប្រាំពីរ” ឬ “ប្រាំបី” ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការអនុញ្ញាតជោគជ័យលើការសាកល្បងលើកដំបូងគឺជាអ្វី?

នៅទីនេះអ្នកក៏អាចអភិវឌ្ឍគំនិតនៃលទ្ធភាពដែលអតិថិជននឹងត្រូវប្រឈមមុខនឹងការដាក់ទណ្ឌកម្មក្នុងទម្រង់ជាកូដ puk ប៉ុន្តែជាអកុសល ការវែកញែកនឹងហួសពីវិសាលភាពនៃមេរៀននេះ

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយមាននៅខាងក្រោម។

ជួនកាលការរាយបញ្ជីបន្សំប្រែទៅជាកិច្ចការដ៏លំបាកបំផុត។ ជាពិសេសនេះគឺជាករណីបន្ទាប់មិនតិចក្រុមនៃបញ្ហាដែល 2 គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រូវបានរមៀល (តិចជាញឹកញាប់ - បរិមាណធំជាង):

បញ្ហា ៥

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរចំនួនសរុបនឹងមាន៖

ក) ប្រាំចំណុច;
ខ) មិនលើសពីបួនពិន្ទុ;
គ) ពី 3 ទៅ 9 ពិន្ទុរួមបញ្ចូល។

ដំណោះស្រាយស្វែងរកចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល៖

វិធីដែលចំហៀងនៃអ្នកស្លាប់ទី 1 អាចធ្លាក់ចេញ និងនៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នាផ្នែកម្ខាងនៃគូបទី 2 អាចធ្លាក់ចេញ; ដោយ ច្បាប់សម្រាប់ការគុណបន្សំសរុប៖ បន្សំដែលអាចធ្វើបាន។ ម្យ៉ាង​ទៀត គ្នាមុខនៃគូបទី 1 អាចជា បានបញ្ជាប្តីប្រពន្ធមួយ។ ជាមួយគ្នា។គែមនៃគូបទី 2 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របក្នុងការសរសេរគូបែបនេះនៅក្នុងទម្រង់ តើលេខដែលរមៀលនៅលើ 1st die គឺជាលេខដែលរមៀលនៅលើ 2nd die ។ ឧទាហរណ៍៖

- គ្រាប់ឡុកឡាក់ទី 1 ទទួលបាន 3 ពិន្ទុ គ្រាប់ឡុកឡាក់ទី 2 ទទួលបាន 5 ពិន្ទុ ពិន្ទុសរុប៖ 3 + 5 = 8;
- គ្រាប់ឡុកឡាក់ទី 1 ទទួលបាន 6 ពិន្ទុ គ្រាប់ឡុកឡាក់ទី 2 ទទួលបាន 1 ពិន្ទុ សរុបពិន្ទុ: 6 + 1 = 7;
- ពិន្ទុ 2 រមៀលលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរ ផលបូក 2 + 2 = 4 ។

ជាក់ស្តែង ចំនួនតូចបំផុតត្រូវបានផ្តល់ដោយគូ ហើយធំបំផុតដោយពីរ "ប្រាំមួយ" ។

ក) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ – នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរគ្រាប់ 5 ពិន្ទុនឹងលេចឡើង។ ចូរសរសេរចុះ ហើយរាប់ចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍នេះ៖

សរុប៖ ៤ លទ្ធផលអំណោយផល។ យោងតាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន។

ខ) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ - មិនលើសពី 4 ពិន្ទុនឹងត្រូវបានរំកិល។ នោះគឺ 2 ឬ 3 ឬ 4 ពិន្ទុ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងរាយបញ្ជីនិងរាប់បន្សំអំណោយផលនៅខាងឆ្វេងខ្ញុំនឹងសរសេរចំនួនសរុបនៃចំនុចហើយបន្ទាប់ពីពោះវៀនធំ - គូដែលសមរម្យ:

សរុប: 6 បន្សំអំណោយផល។ ដូចនេះ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនលើសពី 4 ពិន្ទុនឹងត្រូវបានរមៀល។

គ) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ - ពិន្ទុពី 3 ទៅ 9 នឹងវិលជុំ រួមបញ្ចូល។ នៅទីនេះអ្នកអាចដើរតាមផ្លូវត្រង់ ប៉ុន្តែ... សម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនដែលអ្នកមិនចង់។ បាទ/ចាស គូមួយចំនួនត្រូវបានរាយក្នុងកថាខណ្ឌមុនរួចហើយ ប៉ុន្តែនៅមានការងារជាច្រើនដែលត្រូវធ្វើ។

តើអ្វីជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីបន្ត? ក្នុង​ករណី​បែប​នេះ ផ្លូវ​រង្វង់​មូល​ប្រែ​ទៅ​ជា​សមហេតុផល។ ចូរយើងពិចារណា ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ: - 2 ឬ 10 ឬ 11 ឬ 12 ពិន្ទុនឹងត្រូវបានរំកិល។

តើ​មាន​ចំណុច​អ្វី? ព្រឹត្តិការណ៍​ផ្ទុយ​គ្នា​ត្រូវ​បាន​អនុគ្រោះ​ដោយ​ចំនួន​គូ​ស្វាមី​ភរិយា​តិច​តួច​យ៉ាង​ខ្លាំង៖

សរុប៖ ៧ លទ្ធផលអំណោយផល។

យោងតាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកនឹងរមៀលតិចជាង 3 ឬច្រើនជាង 9 ពិន្ទុ។

បន្ថែមពីលើការចុះបញ្ជីផ្ទាល់ និងការរាប់លទ្ធផល ផ្សេងៗ រូបមន្តផ្សំ. ហើយម្តងទៀតបញ្ហាវីរភាពអំពីជណ្តើរយន្ត៖

បញ្ហា ៧

មនុស្ស 3 នាក់បានចូលទៅក្នុងជណ្តើរយន្តនៃអគារ 20 ជាន់នៅជាន់ទីមួយ។ ហើយតោះទៅ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល៖

ក) ពួកគេនឹងចេញនៅជាន់ផ្សេងៗគ្នា
ខ) ពីរនាក់នឹងចេញនៅជាន់តែមួយ;
គ) គ្រប់គ្នានឹងចុះពីលើជាន់តែមួយ។

មេរៀនដ៏រំភើបរបស់យើងបានដល់ទីបញ្ចប់ហើយ ជាចុងក្រោយ ខ្ញុំសូមណែនាំម្តងទៀតថា បើមិនដោះស្រាយទេ យ៉ាងហោចណាស់ក៏ត្រូវដោះស្រាយ។ បញ្ហាបន្ថែមលើការកំណត់បុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ. ដូចដែលខ្ញុំបានកត់សម្គាល់រួចហើយ "ទ្រនាប់ដៃ" ក៏សំខាន់ដែរ!

បន្ថែមទៀតនៅតាមបណ្តោយវគ្គសិក្សា - និយមន័យធរណីមាត្រនៃប្រូបាប៊ីលីតេនិង ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ និងគុណនិង ... សំណាងនៅក្នុងរឿងសំខាន់!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ:

កិច្ចការទី 2៖ ដំណោះស្រាយ: 30 – 5 = 25 ទូរទឹកកកគ្មានបញ្ហា។

- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលទូទឹកកកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យមិនមានពិការភាព។
ចម្លើយ :

កិច្ចការទី ៤៖ ដំណោះស្រាយ: រកចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល:
វិធីដែលអ្នកអាចជ្រើសរើសកន្លែងដែលលេខគួរឱ្យសង្ស័យស្ថិតនៅ និងនៅរៀងរាល់ក្នុងចំណោម 4 កន្លែងនេះ លេខ 2 ខ្ទង់ (ប្រាំពីរ ឬប្រាំបី) អាចមានទីតាំងនៅ។ យោងតាមក្បួនគុណនៃបន្សំចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល៖ .
ម៉្យាងទៀតដំណោះស្រាយអាចរាយបញ្ជីលទ្ធផលទាំងអស់ (ជាសំណាងល្អមានពួកគេមួយចំនួន)៖
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
មានលទ្ធផលអំណោយផលតែមួយគត់ (លេខកូដម្ជុលត្រឹមត្រូវ) ។
ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអតិថិជនចូលក្នុងការប៉ុនប៉ងលើកទី 1
ចម្លើយ :

កិច្ចការទី ៦៖ ដំណោះស្រាយ: រកចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល:
លេខនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ 2 អាចបង្ហាញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។

ក) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ – នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ ផលនៃពិន្ទុនឹងស្មើនឹងប្រាំពីរ។ មិនមានលទ្ធផលអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ យោងទៅតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖
, i.e. ព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ខ) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ – នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរ លទ្ធផលនៃពិន្ទុនឹងមានយ៉ាងហោចណាស់ 20 ។ លទ្ធផលខាងក្រោមគឺអំណោយផលសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍នេះ៖

សរុប៖ ៨
យោងតាមនិយមន័យបុរាណ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន។

គ) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ៖
- ផលិតផលនៃពិន្ទុនឹងស្មើ;
- ផលិតផលនៃពិន្ទុនឹងសេស។
ចូររាយបញ្ជីលទ្ធផលដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍នេះ៖

សរុប៖ ៩ លទ្ធផលអំណោយផល។
យោងតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញ ដូច្នេះ៖
- ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន។

ចម្លើយ :

បញ្ហាទី ៨៖ ដំណោះស្រាយ: ចូរយើងគណនាចំនួនសរុបនៃលទ្ធផល៖ 10 កាក់អាចធ្លាក់ចុះតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នា។
វិធីមួយទៀត៖ វិធីដែលកាក់ទី ១ អាចធ្លាក់ចុះ និងវិធីដែលកាក់ទី 2 អាចធ្លាក់ចុះ និង … និងវិធីដែលកាក់ទី ១០ អាចធ្លាក់ចុះ។ យោងទៅតាមក្បួនគុណនៃបន្សំ 10 កាក់អាចធ្លាក់ចុះ វិធី។
ក) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ - ក្បាលនឹងលេចឡើងនៅលើកាក់ទាំងអស់។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានអនុគ្រោះដោយលទ្ធផលតែមួយ យោងទៅតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖ .
ខ) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ - កាក់ ៩ នឹងធ្លាក់លើក្បាល ហើយកាក់មួយនឹងកន្ទុយ។
មានកាក់ដែលអាចចុះចតនៅលើក្បាល។ យោងតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖ .
គ) ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ - ក្បាលនឹងលេចឡើងនៅលើពាក់កណ្តាលនៃកាក់។
មាន បន្សំតែមួយគត់នៃកាក់ប្រាំដែលអាចចុះចតបាន។ យោងតាមនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖
ចម្លើយ :

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានយល់ថាជាលក្ខណៈលេខជាក់លាក់នៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កគឺជាសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍នេះទៅនឹងចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមដែលមិនឆបគ្នាដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាដែលបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

កន្លែងណា ម- ចំនួននៃលទ្ធផលបឋមអំណោយផល ក, ន- ចំនួននៃលទ្ធផលតេស្តបឋមដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ 3.1 ។ក្នុង​ការ​ពិសោធន៍​មួយ​ដែល​ពាក់​ព័ន្ធ​នឹង​ការ​បោះ​មនុស្ស​ស្លាប់ ចំនួន​នៃ​លទ្ធផល​ទាំង​អស់ នស្មើ 6 ហើយពួកគេទាំងអស់គឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ កមានន័យថារូបរាងនៃលេខគូ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍នេះ លទ្ធផលអំណោយផលនឹងជារូបរាងនៃលេខ 2, 4, 6 ។ លេខរបស់ពួកគេគឺ 3 ។ ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កស្មើនឹង

ឧទាហរណ៍ 3.2 ។តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលលេខពីរខ្ទង់ដែលត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យមានលេខដូចគ្នា?

លេខពីរខ្ទង់គឺជាលេខពី 10 ដល់ 99 មាន 90 លេខបែបនេះសរុប 9 មានលេខដូចគ្នា (ទាំងនេះគឺជាលេខ 11, 22, ..., 99) ។ ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ ម=9, ន=90 បន្ទាប់មក

កន្លែងណា ក- ព្រឹត្តិការណ៍ "លេខដែលមានលេខដូចគ្នា" ។

ឧទាហរណ៍ 3.3 ។នៅក្នុងបណ្តុំនៃ 10 ផ្នែក 7 គឺជាស្តង់ដារ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមប្រាំមួយផ្នែកដែលបានយកដោយចៃដន្យ 4 គឺជាស្តង់ដារ។

ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលតេស្តបឋមដែលអាចធ្វើបានគឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែល 6 ផ្នែកអាចត្រូវបានស្រង់ចេញពី 10 ពោលគឺចំនួនបន្សំនៃធាតុ 10 នៃ 6 ធាតុនីមួយៗ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំនួនលទ្ធផលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង ក(ក្នុងចំណោមផ្នែកដែលយកទាំង ៦ មាន ៤ ស្ដង់ដារ) ។ ផ្នែកស្តង់ដារចំនួនបួនអាចត្រូវបានយកចេញពីផ្នែកស្តង់ដារចំនួនប្រាំពីរនៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា; ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ 6-4=2 ផ្នែកដែលនៅសល់ត្រូវតែមិនស្តង់ដារ ប៉ុន្តែអ្នកអាចយកផ្នែកមិនស្តង់ដារពីរពី 10-7=3 ផ្នែកដែលមិនមែនជាស្តង់ដារតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ ដូច្នេះចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលគឺស្មើនឹង .

បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង

លក្ខណសម្បត្តិខាងក្រោមធ្វើតាមនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានគឺស្មើនឹងមួយ។

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍នេះអាចទុកចិត្តបាន នោះរាល់លទ្ធផលបឋមនៃការធ្វើតេស្តពេញចិត្តនឹងព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ ក្នុងករណីនេះ m = n ដូច្នេះ

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ។

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយមិនអាចទៅរួច នោះគ្មានលទ្ធផលបឋមណាមួយនៃការធ្វើតេស្តពេញចិត្តនឹងព្រឹត្តិការណ៍នោះទេ។ ក្នុងករណីនេះមានន័យថា

3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យគឺជាចំនួនវិជ្ជមានរវាងសូន្យនិងមួយ។

ជាការពិតណាស់ មានតែផ្នែកមួយនៃចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមនៃការធ្វើតេស្តប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានអនុគ្រោះដោយព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។ ក្នុងករណីនេះ< ម< n, មានន័យថា 0 < m/n < 1 ពោលគឺ 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

ការស្ថាបនាទ្រឹស្តីពេញលេញនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺផ្អែកលើនិយមន័យ axiomatic នៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms ដែលស្នើឡើងដោយ A.N. Kolmogorov គំនិតដែលមិនបានកំណត់គឺជាព្រឹត្តិការណ៍បឋម និងប្រូបាប៊ីលីតេ។ នេះគឺជា axioms ដែលកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ៖

1. រាល់ព្រឹត្តិការណ៍ កបានកំណត់ចំនួនពិតដែលមិនអវិជ្ជមាន P(A). លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ក.

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានគឺស្មើនឹងមួយ។

3. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

ដោយផ្អែកលើ axioms ទាំងនេះ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងភាពអាស្រ័យរវាងពួកវាត្រូវបានយកមកជាទ្រឹស្តីបទ។

សំណួរសាកល្បងខ្លួនឯង

1. តើអ្វីទៅជាឈ្មោះនៃលក្ខណៈលេខនៃលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង?

2. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយគឺជាអ្វី?

3. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានគឺជាអ្វី?

4. តើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច?

5. តើអ្វីជាដែនកំណត់នៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ?

6. តើអ្វីជាដែនកំណត់នៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ?

7. តើនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេហៅថាបុរាណ?