Selles teemas käsitleme kõiki kolme ülaltoodud irratsionaalsusega piiride rühma. Alustame piirangutega, mis sisaldavad määramatust kujul $\frac(0)(0)$.
Määramatuse avalikustamine $\frac(0)(0)$.
Lahendusskeem standardsed näited See tüüp koosneb tavaliselt kahest etapist:
- Ebakindlust tekitanud irratsionaalsusest vabaneme korrutades nn konjugaatväljendiga;
- Vajadusel faktoristage avaldis lugejas või nimetajas (või mõlemas);
- Vähendame ebakindlust tekitavaid tegureid ja arvutame limiidi soovitud väärtuse.
Ülalpool kasutatud terminit "konjugeeritud ekspressioon" selgitatakse üksikasjalikult näidetes. Praegu pole põhjust sellel üksikasjalikult peatuda. Üldiselt võite minna ka teistpidi, ilma konjugeeritud avaldist kasutamata. Mõnikord võib hästi valitud asendus kõrvaldada irratsionaalsuse. Selliseid näiteid on standardis harva testid, seetõttu võtame asendus kasutamise puhul arvesse ainult ühte näidet nr 6 (vt selle teema teist osa).
Vajame mitut valemit, mille ma allpool kirjutan:
\begin(võrrand) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(võrrand) \begin(võrrand) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(võrrand) \begin(võrrand) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(võrrand) \begin (võrrand) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(võrrand)
Lisaks eeldame, et lugeja teab ruutvõrrandite lahendamise valemeid. Kui $x_1$ ja $x_2$ on juured ruuttrinoom$ax^2+bx+c$, siis saab selle faktoriseerida järgmine valem:
\begin(võrrand) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(võrrand)
Valemid (1)-(5) on lahendamiseks täiesti piisavad standardülesanded, mille juurde me nüüd pöördume.
Näide nr 1
Otsige üles $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.
Kuna $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ ja $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, siis antud limiidis on meil määramatus kujul $\frac(0)(0)$. Erinevus $\sqrt(7-x)-2$ ei lase meil seda ebakindlust paljastada. Sellistest irratsionaalsustest vabanemiseks kasutatakse korrutamist nn konjugeeritud avaldisega. Nüüd vaatame, kuidas selline korrutamine töötab. Korrutage $\sqrt(7-x)-2$ väärtusega $\sqrt(7-x)+2$:
$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$
Sulgude avamiseks rakendage , asendades nimetatud valemi paremas servas $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$:
$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$
Nagu näete, kui korrutate lugeja arvuga $\sqrt(7-x)+2$, siis kaob lugeja juur (st irratsionaalsus). See avaldis $\sqrt(7-x)+2$ on konjugaat avaldisele $\sqrt(7-x)-2$. Kuid me ei saa lihtsalt lugejat korrutada arvuga $\sqrt(7-x)+2$, sest see muudab murdosa $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, mis on alla limiidi. Peate korraga korrutama nii lugeja kui ka nimetaja:
$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$
Nüüd pidage meeles, et $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ ja avage sulud. Ja pärast sulgude avamist ja väikest teisendust $3-x=-(x-3)$ vähendame murdosa $x-3$ võrra:
$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\kuni 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\kuni 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\kuni 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$
Määramatus $\frac(0)(0)$ on kadunud. Nüüd saate hõlpsalt vastuse see näide:
$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$
Märgin, et konjugeeritud avaldis võib muuta oma struktuuri olenevalt sellest, millise irratsionaalsuse see peaks eemaldama. Näidetes nr 4 ja nr 5 (vt selle teema teist osa) kasutatakse teist tüüpi konjugaatväljendust.
Vastus: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.
Näide nr 2
Otsige üles $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.
Alates $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ ja $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, siis me tegelevad määramatusega kujul $\frac(0)(0)$. Vabaneme selle murru nimetaja irratsionaalsusest. Selleks lisame murdu $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ nii lugeja kui ka nimetaja avaldis $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugeerida nimetajaga:
$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$
Jällegi, nagu näites nr 1, tuleb laiendamiseks kasutada sulgusid. Asendades nimetatud valemi paremas servas $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$, saame nimetaja jaoks järgmise avaldise:
$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ right)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Tuleme tagasi oma piiri juurde:
$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$
Näites nr 1 vähendati fraktsiooni peaaegu kohe pärast konjugaadi ekspressiooniga korrutamist. Siin peate enne redutseerimist avaldised $3x^2-5x-2$ ja $x^2-4$ faktoriseerima ning alles siis jätkama vähendamisega. Avaldise $3x^2-5x-2$ arvestamiseks peate kasutama . Kõigepealt otsustame ruutvõrrand$3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(joondatud) $$
Asendades $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ väärtusega , saame:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\parem)(x-2)=\vasak(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$
Nüüd on aeg avaldis $x^2-4$ faktoriseerida. Kasutame , asendades sellega $a=x$, $b=2$:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Kasutame saadud tulemusi. Kuna $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ja $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, siis:
$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$
Sulu $x-2$ võrra vähendades saame:
$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$
Kõik! Ebakindlus on kadunud. Veel üks samm ja jõuame vastuseni:
$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$
Vastus: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.
Vaatleme järgmises näites juhtumit, kus irratsionaalsused esinevad nii murdarvu lugejas kui ka nimetajas.
Näide nr 3
Otsige üles $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.
Alates $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ ja $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, siis on meil kuju $ määramatus \frac (0) (0)$. Alates aastast sel juhul Kuna juured on olemas nii nimetajas kui ka lugejas, tuleb ebakindlusest vabanemiseks korrutada kahe sulguga korraga. Esiteks, avaldis $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugeeri lugejaga. Ja teiseks, avaldise $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugaat nimetajaga.
$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(joondatud) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(joondatud) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Avaldise $x^2-8x+15$ jaoks saame:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(joondatud)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Saadud laienduste $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ ja $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ asendamine limiidiga kaalumisel on:
$$ \lim_(x\kuni 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\kuni 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\kuni 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$
Vastus: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6 $.
Järgmises (teises) osas käsitleme veel paari näidet, kus konjugaadi avaldis on erineva kujuga kui varasemad ülesanded. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et konjugaatväljendi kasutamise eesmärk on vabaneda ebakindlust tekitavast irratsionaalsusest.
Tokarev Kirill
Töö aitab teil õppida ekstraheerima Ruutjuur suvalisest arvust ilma kalkulaatorit ja ruutude tabelit kasutamata ning vabasta murdosa nimetaja irratsionaalsusest.
Enda vabastamine murdosa nimetaja irratsionaalsusest
Meetodi põhiolemus on murdude korrutamine ja jagamine avaldisega, mis kõrvaldab irratsionaalsuse (ruut ja kuubiku juured) nimetajast ja muudab selle lihtsamaks. Pärast seda on murdosasid lihtsam vähendada ühine nimetaja ja lõpuks lihtsustada algset väljendit.
Ruutjuure eraldamine antud numbri lähendusega.
Oletame, et peame eraldama naturaalarvu 17358122 ruutjuure ja on teada, et juure saab eraldada. Tulemuse leidmiseks on mõnikord mugav kasutada töös kirjeldatud reeglit.
Lae alla:
Eelvaade:
Eelvaate kasutamiseks looge konto ( konto) Google'i ja logige sisse: https://accounts.google.com
Eelvaade:
Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Radikaalne. Enda vabastamine murdosa nimetaja irratsionaalsusest. Ekstraheerige ruutjuur kindlaksmääratud täpsusega. Munitsipaalharidusasutuse 7. keskkooli 9B klassi õpilane, Salsk Kirill Tokarev
PÕHIKÜSIMUS: Kas suvalise arvu ruutjuurt on võimalik etteantud täpsusega eraldada ilma kalkulaatorita ja ruutude tabelita?
EESMÄRGID JA EESMÄRGID: kaaluge radikaalidega avaldiste lahendamise juhtumeid, mida ei ole uuritud koolikursus matemaatika, kuid vajalik ühtseks riigieksamiks.
JUURE AJALUGU Juuremärk pärineb väiketähest Ladina täht r (alguses Ladina sõna radix - juur), sulandatud ülaindeksiga. Vanasti kasutati praeguse sulgude asemel avaldise allajoonimist, seega on lihtsalt muudetud iidne viis rekordid millegi sarnase kohta. Seda nimetust kasutati esmakordselt Saksa matemaatik Thomas Rudolf 1525. aastal.
VABADUS MURD ANDJA IRRATSIOONIVSUST Meetodi olemus seisneb murdosa korrutamises ja jagamises avaldisega, mis kõrvaldab nimetaja irratsionaalsuse (ruut- ja kuupjuured) ja muudab selle lihtsamaks. Pärast seda on lihtsam murde ühiseks nimetajaks taandada ja lõpuks algset avaldist lihtsustada. ALGORITM MURU ANDJAS IRRATSIOONSUST VABASTAMISEKS: 1. Jaga murru nimetaja teguriteks. 2. Kui nimetajal on kuju või see sisaldab tegurit, tuleb lugeja ja nimetaja korrutada. Kui nimetaja on sellist tüüpi või sisaldab seda tüüpi tegurit, tuleb murdosa lugeja ja nimetaja korrutada vastavalt kas või arvuga. Arve nimetatakse konjugaatideks. 3. Teisenda võimalusel murdu lugeja ja nimetaja, seejärel vähenda saadud murdu.
a) b) c) d) = - Vabanemine irratsionaalsusest murru nimetajas.
RUUTJUURE VÄLJA VÄLJAVÕTMINE MÄÄRATUD NUMBRILE LÄHENEMISEL. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 81 1 826 näide: Baby 6 8226 6 lonian. Probleemi lahendamiseks antud number laguneb kahe liikme summaks: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, millest esimene on täiuslik ruut. Seejärel rakendame valemit. Algebraline viis:
RUUTJUURE VÄLJA VÄLJAVÕTMINE TÄPSEMATUD NUMBRILE Lühendades. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6, 6 0 3
Kasutatud kirjandus 1. Matemaatika ülesannete kogumik ülikoolidesse astujatele, toimetanud M.I.Skanavi. V. K. Egerev, B. A. Kordemski, V. V. Zaitsev, “ONICS 21. sajand”, 2003 2. Algebra ja elementaarsed funktsioonid. R. A. Kalnin, “Teadus”, 1973 3. Matemaatika. Võrdlusmaterjalid. V. A. Gusev, A. G. Mordkovitš, kirjastus "Prosveštšenije", 1990. 4. Koolinoored matemaatikast ja matemaatikutest. Koostanud M.M. Liman, Enlightenment, 1981.
Irratsionaalse avaldise teisendusi uurides on väga oluline küsimus, kuidas vabaneda irratsionaalsusest murdosa nimetajas. Selle artikli eesmärk on seda toimingut selgitada konkreetsed näitedülesandeid. Esimeses lõigus käsitleme selle teisenduse põhireegleid ja teises - tüüpilised näitedüksikasjalike selgitustega.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Irratsionaalsusest vabanemise mõiste nimetajas
Alustuseks selgitame, mis on sellise teisenduse tähendus. Selleks pidage meeles järgmisi sätteid.
Murru nimetajas saame rääkida irratsionaalsusest, kui seal on radikaal, mida tuntakse ka juuremärgina. Selle märgiga kirjutatud numbrid on sageli irratsionaalsed. Näited on 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Irratsionaalsete nimetajatega murdude hulka kuuluvad ka need, millel on juuremärgid erineval määral(ruut, kuup jne), näiteks 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. Väljendi lihtsustamiseks ja edasiste arvutuste hõlbustamiseks peaksite vabanema irratsionaalsusest. Sõnastame põhimääratluse:
Definitsioon 1
Vabastage end irratsionaalsusest murdosa nimetajas- tähendab selle teisendamist, asendades selle samaga võrdne murdosa, mille nimetaja ei sisalda juuri ega astmeid.
Sellist tegevust võib nimetada vabanemiseks või irratsionaalsusest vabanemiseks, kuid tähendus jääb samaks. Niisiis, üleminek 1 2-lt 2 2-le, s.o. võrdväärse väärtusega murdosale ilma juuremärgita nimetajas ja see on toiming, mida vajame. Toome veel ühe näite: meil on murd x x - y. Viime läbi vajalikke transformatsioone ja saame identselt võrdse murdosa x · x + y x - y , mis on vabastatud nimetaja irratsionaalsusest.
Pärast definitsiooni sõnastamist saame asuda otse sellise teisenduse jaoks sooritatavate toimingute järjestuse uurimisele.
Põhimeetmed murdosa nimetaja irratsionaalsusest vabanemiseks
Juurtest vabanemiseks peate läbi viima kaks järjestikune teisendamine Murrud: korrutage murdosa mõlemad pooled nullist erineva arvuga ja seejärel teisendage saadud nimetaja. Vaatleme peamisi juhtumeid.
Kõige rohkem lihtne juhtum Saate hakkama nimetaja teisendamisega. Näiteks võime võtta nimetajaga murdosa, võrdne juurega 9-st. Olles arvutanud 9, kirjutame nimetajasse 3 ja vabaneme nii irratsionaalsusest.
Kuid palju sagedamini on vaja kõigepealt lugeja ja nimetaja korrutada arvuga, mis võimaldab nimetaja viia soovitud kujule (ilma juurteta). Seega, kui korrutame 1 x + 1 x + 1-ga, saame murdosa x + 1 x + 1 x + 1 ja saame selle nimetajas oleva avaldise asendada x + 1-ga. Nii muutsime 1 x + 1 x + 1 x + 1-ks, vabanedes irratsionaalsusest.
Mõnikord on muudatused, mida peate tegema, üsna spetsiifilised. Vaatame mõnda illustreerivat näidet.
Kuidas teisendada avaldist murdosa nimetajaks
Nagu me ütlesime, on kõige lihtsam viis seda teha nimetaja teisendamine.
Näide 1
Seisukord: vabasta murdosa 1 2 · 18 + 50 nimetaja irratsionaalsusest.
Lahendus
Kõigepealt avame sulud ja saame avaldise 1 2 18 + 2 50. Kasutades juurte põhiomadusi, liigume edasi avaldise 1 2 18 + 2 50 juurde. Arvutame mõlema avaldise väärtused juurte all ja saame 1 36 + 100. Siin saate juba juured välja tõmmata. Selle tulemusel saime murdarvu 1 6 + 10, mis on võrdne 1 16-ga. Ümberkujundamise saab lõpule viia siin.
Paneme kommentaarideta kirja kogu lahenduse käigu:
1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16
Vastus: 1 2 18 + 50 = 1 16.
Näide 2
Seisukord: antud murdarvuks 7 - x (x + 1) 2. Vabane irratsionaalsusest nimetajas.
Lahendus
Eelnevalt artiklis teisendustest irratsionaalsed väljendid juurte omadusi kasutades mainisime, et mis tahes A ja isegi n puhul saame avaldise A n n asendada | A | kogu muutujate lubatud väärtuste vahemikus. Seetõttu võime meie puhul selle kirjutada järgmiselt: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Nii vabastasime end nimetaja irratsionaalsusest.
Vastus: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.
Irratsionaalsusest vabanemine juurega korrutades
Kui murru nimetaja sisaldab avaldist kujul A ja avaldisel A endal juuremärke ei ole, siis saame vabaneda irratsionaalsusest, korrutades lihtsalt algmurru mõlemad pooled A-ga. Selle toimingu võimalikkuse määrab asjaolu, et A ei muutu vastuvõetavate väärtuste vahemikus nulliks. Pärast korrutamist sisaldab nimetaja avaldist kujul A · A, mida on lihtne juurtest lahti saada: A · A = A 2 = A. Vaatame, kuidas seda meetodit praktikas õigesti rakendada.
Näide 3
Seisukord: antud murrud x 3 ja - 1 x 2 + y - 4. Vabanege nende nimetajate irratsionaalsusest.
Lahendus
Korrutame esimese murdosa 3 teise juurega. Saame järgmise:
x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3
Teisel juhul peame korrutama x 2 + y - 4-ga ja teisendama saadud avaldise nimetajas:
1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4
Vastus: x 3 = x · 3 3 ja - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .
Kui algmurru nimetaja sisaldab avaldisi kujul A n m või A m n (oleneb loomulikust m ja n), peame valima sellise teguri, et saadud avaldise saaks teisendada A n n k või A n k n (oleneb loomulikust k) . Pärast seda on irratsionaalsusest lihtne vabaneda. Vaatame seda näidet.
Näide 4
Seisukord: antud murrud 7 6 3 5 ja x x 2 + 1 4 15. Vabane irratsionaalsusest nimetajates.
Lahendus
Peame võtma naturaalarvu, mida saab jagada viiega, ja see peab olema suurem kui kolm. Selleks, et astendaja 6 oleks võrdne 5-ga, peame korrutama 6 2 5-ga. Seetõttu peame algse murru mõlemad osad korrutama 6 2 5-ga:
7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6
Teisel juhul vajame arvu, mis on suurem kui 15, mille saab jagada 4-ga ilma jäägita. Võtame 16. Sellise astendaja saamiseks nimetajas peame teguriks võtma x 2 + 1 4. Selgitame, et selle avaldise väärtus ei ole mingil juhul 0. Arvutame:
x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4
Vastus: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 ja x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .
Irratsionaalsusest vabanemine konjugaatväljendiga korrutamise teel
Järgnev meetod sobib juhtudel, kui algmurru nimetaja sisaldab avaldisi a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. Sellistel juhtudel peame teguriks võtma konjugaadi avaldise. Selgitame selle mõiste tähendust.
Esimese avaldise a + b puhul on konjugaat a - b, teise puhul a - b - a + b. A + b puhul – a – b, a – b puhul – a + b, a + b puhul – a – b ja a – b puhul – a + b. Teisisõnu, konjugeeritud avaldis on väljend, milles vastupidine märk esineb enne teist terminit.
Vaatame, mis see täpselt on seda meetodit. Oletame, et meil on korrutis kujul a - b · a + b. Selle saab asendada ruutude erinevusega a - b · a + b = a 2 - b 2, mille järel liigume edasi avaldise a - b juurde, millel puuduvad radikaalid. Seega vabanesime irratsionaalsusest murdosa nimetajas, korrutades konjugaatavaldisega. Toome paar illustreerivat näidet.
Näide 5
Seisukord: vabaneda irratsionaalsusest avaldistes 3 7 - 3 ja x - 5 - 2.
Lahendus
Esimesel juhul võtame konjugaadi avaldise, mis on võrdne 7 + 3-ga. Nüüd korrutame sellega algse murru mõlemad osad:
3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2
Teisel juhul vajame avaldist - 5 + 2, mis on avaldise - 5 - 2 konjugaat. Korrutage lugeja ja nimetaja sellega ning saate:
x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3
Enne korrutamist on võimalik teha ka teisendus: kui eemaldame nimetajast kõigepealt miinuse, on mugavam arvutada:
x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3
Vastus: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 ja x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.
Oluline on pöörata tähelepanu asjaolule, et korrutamise tulemusel saadud avaldis ei muutu selle avaldise vastuvõetavate väärtuste vahemikus oleva muutuja puhul 0-ks.
Näide 6
Seisukord: antud murdosa x x + 4. Teisenda see nii, et nimetajas ei oleks irratsionaalseid väljendeid.
Lahendus
Alustuseks leiame muutuja x vastuvõetavate väärtuste vahemiku. See on määratletud tingimustega x ≥ 0 ja x + 4 ≠ 0. Nende põhjal võime järeldada, et soovitud pindala on hulk x ≥ 0.
Nimetaja konjugaat on x - 4 . Millal saame sellega korrutada? Ainult siis, kui x - 4 ≠ 0. Vastuvõetavate väärtuste vahemikus on see samaväärne tingimusega x≠16. Selle tulemusena saame järgmise:
x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16
Kui x on 16, saame:
x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2
Seetõttu x x + 4 = x · x - 4 x - 16 kõigi x väärtuste jaoks, mis kuuluvad vastuvõetavate väärtuste vahemikku, välja arvatud 16. Kui x = 16, saame x x + 4 = 2.
Vastus: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .
Nimetaja irratsionaalsusega murdude teisendamine kuubikute summa ja vahe valemite abil
IN eelmine lõik korrutasime konjugeeritud avaldistega, et saaksime kasutada ruutude erinevuse valemit. Mõnikord on nimetaja irratsionaalsusest vabanemiseks kasulik kasutada muid lühendatud korrutusvalemeid, näiteks kuubikute erinevus a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). Seda valemit on mugav kasutada, kui algmurru nimetaja sisaldab avaldisi kolmanda astme juurtega kujul A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. jne. Selle rakendamiseks peame korrutama murdosa nimetaja summa A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 või erinevuse A 3 - B 3 osalise ruuduga. Samamoodi saab rakendada summa valemit a 3 + b 3 = (a) (a 2 - a b + b 2).
Näide 7
Seisukord: teisenda murrud 1 7 3 - 2 3 ja 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3, et vabaneda nimetaja irratsionaalsusest.
Lahendus
Esimese murru puhul peame kasutama meetodit, mille abil korrutame mõlemad osad summade 7 3 ja 2 3 osalise ruuduga, kuna seejärel saame teisendada kuubikute erinevuse valemi abil:
1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5
Teises murrus kujutame nimetajat 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. See avaldis näitab erinevuse 2 ja x 3 mittetäielikku ruutu, mis tähendab, et saame mõlemad murdosa osad korrutada summaga 2 + x 3 ja kasutada kuubikute summa valemit. Selleks peab olema täidetud tingimus 2 + x 3 ≠ 0, mis on võrdne x 3 ≠ - 2 ja x ≠ - 8:
3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x
Asendame murdosa 8 ja leiame väärtuse:
3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4
Teeme kokkuvõtte. Kõigi algse murdarvu (komplekt R) väärtuste vahemikku kuuluvate x-ide puhul, välja arvatud -8, saame 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Kui x = 8, siis 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.
Vastus: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.
Erinevate teisendusmeetodite järjepidev rakendamine
Sageli on praktikas neid rohkem keerulised näited, kui me ei saa vabaneda nimetaja irratsionaalsusest, kasutades ainult ühte meetodit. Nende jaoks peate tegema mitu teisendust järjestikku või valima mittestandardsed lahendused. Võtame ühe sellise probleemi.
Näide N
Seisukord: teisenda 5 7 4 - 2 4, et vabaneda nimetaja juuremärkidest.
Lahendus
Korrutame algse murru mõlemad pooled nullist erineva väärtusega konjugaatlausega 7 4 + 2 4. Saame järgmise:
5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2
Nüüd kasutame uuesti sama meetodit:
5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2
Vastus: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Juhised
Enne kui vabaned irratsionaalsus V nimetaja, järgneb selle tüüp ja sõltuvalt sellest jätkake lahendust. Ja kuigi lihtsast kohalolust tuleneb igasugune irratsionaalsus, eeldavad nende mitmesugused kombinatsioonid ja astmed erinevad algoritmid.
Kohalolek joone all fraktsioonid juur murdosa võimsus kujul m/n, n>m See avaldis näeb välja selline: a/√(b^m/n).
Vabanege sellest irratsionaalsus ka kordaja sisestamisega, seekord keerukama: b^(n-m)/n, s.o. Juure enda eksponendi põhjal vajate selle märgi all oleva avaldise astet. Siis sisse nimetaja jääb alles ainult :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b. Näide 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5) / 4 = 5 √(16^1/5)/4.
Ruutjuurte summa Korrutage mõlemad komponendid fraktsioonid sarnase erinevusega. Siis muudetakse juurte irratsionaalsest liitmisest nimetaja juuremärgiks / all:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).Näide 3: 9/(√ 13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.
Kuupjuurte summa/vahe vali lisateguriks erinevuse osaruut, kui nimetaja on summa ja vastavalt ka summa mittetäielik ruut juurte erinevuse jaoks: a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c) ) ∛b² ∓ ∛(b c ) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).Näide 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25 - ∛20 + ∛16) /9.
Kui ülesanne sisaldab nii ruut kui ka , jagage lahendus kaheks etapiks: tuletage nimetajast järjestikku ruutjuur ja seejärel kuupjuur. Seda tehakse teile juba teadaolevate meetodite abil: esimeses etapis peate valima juurte erinevuse / summa kordaja, teises - summa / erinevuse mittetäielik ruut.
Video teemal
Allikad:
- kuidas vabaneda irratsionaalsusest murdosades
Vihje 2: kuidas saada lahti nimetaja irratsionaalsusest
Õige sissekanne murdarv ei sisalda irratsionaalsus V nimetaja. Sellist salvestist on kergem silmaga tajuda, nii et millal irratsionaalsus V nimetaja Mõistlik on sellest lahti saada. Sel juhul võib lugejaks saada irratsionaalsus.
Juhised
Alustuseks võime kaaluda kõige lihtsamat - 1/sqrt(2). Kahe ruutjuur on arv ühikutes. Sel juhul peate korrutama lugeja ja nimetaja selle nimetajaga. See annab nimetaja. Tõepoolest, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Kahe identse ruutjuure korrutamine annab lõpuks mõlema juure all oleva väärtuse: antud juhul kaks. Tulemuseks: 1/ ruut(2) = (1* ruut(2))/(ruut(2)* ruut(2)) = ruut(2)/2. See algoritm kehtib ka murdude kohta nimetaja mille juur korrutatakse ratsionaalarvuga. Lugeja ja nimetaja tuleb sel juhul korrutada sisendis asuva juurega nimetaja.Näide: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = ruut(3)/(2*3) = ruut( 3)/6.
Täpselt samamoodi tuleb käituda, kui nimetaja ei leita juurt, vaid näiteks kuupmeetrit või mis tahes muud kraadi. Juurige sisse nimetaja peate korrutama täpselt sama juurega ja korrutama lugeja sama juurega. Siis läheb juur lugejasse.
Rohkematel juhtudel sisse nimetaja on kas irratsionaalarvu ja või kahe irratsionaalarvu summa Kahe ruutjuure summa (vahe) korral või ruutjuur ja ratsionaalarv saab hästi kasutada tuntud valem(x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). See aitab teil vabaneda nimetaja. Kui sisse nimetaja erinevus, siis peate korrutama lugeja ja nimetaja samade arvude summaga, kui summa - siis erinevusega. Seda korrutatud summat või erinevust nimetatakse avaldise in konjugaadiks nimetaja.Selle mõju on näites selgelt näha: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = ( ruut(2) -1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (ruut(2)-1)/(2-1) = ruut(2)-1.
Kui sisse nimetaja on summa (erinevus), milles juur esineb suuremal määral, siis muutub olukord mittetriviaalseks ja vabaneb sellest irratsionaalsus V nimetaja pole alati võimalik
Allikad:
- 2019. aastal nimetaja juurest lahti saada
Vihje 3: kuidas vabaneda irratsionaalsusest murdosa nimetajas
Murd koosneb lugejast, mis asub rea ülaosas, ja nimetajast, millega see jagatakse, asub allosas. Irratsionaalne arv on arv, mida ei saa vormis esitada fraktsioonid täisarvuga lugejas ja naturaalarvuga nimetaja. Sellised arvud on näiteks ruutjuur kahest või pii-st. Tavaliselt siis, kui nad räägivad irratsionaalsus V nimetaja, tähendab juur.
Juhised
Lahti saama korrutades nimetajaga. Seega kantakse see lugejasse. Lugeja ja nimetaja korrutamisel sama arvuga, väärtus fraktsioonid ei muutu. Kasutage seda valikut, kui kogu nimetaja on juur.
Korrutage lugeja ja nimetaja nimetajaga õige number korda, olenevalt juurtest. Kui juur on ruut, siis üks kord.
Korrutage lugeja ja nimetaja fraktsioonid nimetajani, see tähendab √(x+2). Algne näide (56-a)/√(x+2) muutub ((56-a)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Tulemuseks on ((56-a)*√(x+2))/(x+2). Nüüd on juur lugejas ja sees nimetaja Ei irratsionaalsus.
Korrutage nimetaja juurte summaga. Väärtuse saamiseks korrutage lugeja samaga fraktsioonid pole muutunud. Murd on kujul ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).
Kasutage ülaltoodud omadust (x+y)*(x-y)=x²-y² ja vabastage nimetaja irratsionaalsus. Tulemuseks on ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Nüüd on juur lugejas ja nimetaja on lahti saanud irratsionaalsus.
IN rasked juhtumid korrake mõlemat valikut, rakendades neid vastavalt vajadusele. Pange tähele, et sellest ei ole alati võimalik vabaneda irratsionaalsus V nimetaja.
Allikad:
Algebraline murd on avaldis kujul A/B, kus tähed A ja B tähistavad mis tahes numbrit või sõnasõnalised väljendid. Sageli on lugeja ja nimetaja sees algebralised murrud on tülika välimusega, kuid selliste murdudega tehteid tuleks sooritada samade reeglite järgi nagu tavalistega, kus lugeja ja nimetaja on täisarvud positiivsed numbrid.
Juhised
Kui antakse fraktsioonid, teisendage need (murd, milles lugeja on nimetajast suurem): korrutage nimetaja kogu osaga ja lisage lugeja. Nii et number 2 1/3 muutub 7/3-ks. Selleks korrutage 3 2-ga ja lisage üks.
Kui teil on vaja murru teisendada valeks murruks, siis kujutage seda ette arvudena, kus pole koma ühe kohta ja kus on sama palju nulle, kui palju on pärast koma. Kujutage näiteks ette, et arv 2,5 on 25/10 (kui seda lühendada, saate 5/2) ja arv 3,61 on 361/100. Sageli on lihtsam opereerida ebaregulaarsete kui sega- või kümnendkohaga.
Kui teil on vaja lahutada üks murd teisest, ja nad on seda teinud erinevad nimetajad, viige murrud ühise nimetaja juurde. Selleks leidke arv, mis on mõlema nimetaja vähim ühiskordne (LCM) või mitu, kui neid on rohkem kui kaks murdu. LCM on arv, mis jagatakse kõigi antud murdude nimetajateks. Näiteks 2 ja 5 puhul on see arv 10.
Pärast võrdusmärki pühkige horisontaaljoon ja kirjuta see number (NOC) nimetajasse. Lisage igale liikmele täiendavad tegurid – arv, millega tuleb LCM-i saamiseks korrutada nii lugeja kui ka nimetaja. Korrutage lugejad järjestikku lisateguritega, säilitades liitmise või lahutamise märgi.
Arvutage tulemus, vajadusel lühendage seda või valige kogu osa. Näiteks peate lisama ⅓ ja ¼. Mõlema murdosa LCM on 12. Siis on esimese murdosa lisategur 4, teise puhul 3. Kokku: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.
Kui see on antud korrutamiseks, korrutage lugejad (see on tulemuse lugeja) ja nimetajad (see on tulemuse nimetaja). Sel juhul ei ole vaja neid ühiseks nimetajaks taandada.
Korrigeerige lugeja ja nimetaja vastavalt vajadusele. Näiteks võtke ühistegur sulgudest välja või kasutage lühendatud korrutusvalemeid, et saaksite seejärel vajadusel lugejat ja nimetajat vähendada gcd võrra – väikseim ühine jagaja.
Märge
Lisage numbrid numbritega, samasugused tähed sama tüüpi tähtedega. Näiteks ei saa liita 3a ja 4b, mis tähendab, et nende summa või vahe jääb lugejasse - 3a±4b.
Allikad:
- Murdude korrutamine ja jagamine
Igapäevaelus kohtame kõige sagedamini täisarvud: 1, 2, 3, 4 jne. (5 kg kartuleid) ja murdarvud, mittetäisarvud (5,4 kg sibulat). Enamik neist on esitatud aastal vormi kümnendmurrud. Aga kümnend esitama vormi fraktsioonid piisavalt lihtne.
Juhised
Näiteks antakse arv "0,12". Kui mitte see murdosa ja kujutage seda sellisena, nagu see on, näeb see välja selline: 12/100 ("kaksteist"). Et vabaneda sajast, peate jagama nii lugeja kui ka nimetaja arvuga, mis jagab nende arvud. See arv on 4. Seejärel jagades lugeja ja nimetaja, saame arvu: 3/25.
Kui arvestada igapäevasemat toodet, siis tihtipeale on hinnasildil selgelt näha, et selle kaal on näiteks 0,478 kg või nii edasi.. Seda numbrit on ka lihtne ette kujutada vormi fraktsioonid:
478/1000 = 239/500. See murd on üsna kole ja kui see oleks võimalik, saaks seda kümnendmurdu veelgi vähendada. Ja kõik sama meetodiga: valides numbri, mis jagab nii lugeja kui ka nimetaja. See arv on suurim ühine tegur. Tegur on “suurim”, sest palju mugavam on jagada nii lugeja kui ka nimetaja kohe 4-ga (nagu esimeses näites), kui jagada see kaks korda 2-ga.
Teie soovil!
5. Lahendage ebavõrdsus:
6 . Lihtsusta väljendit:
17. f(x)=6x2 +8x+5, F(-1)=3. Leidke F(-2).
Leiame C, teades, et F(-1) = 3.
3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;
3 = -2 + 4 - 5 + C;
Seega antiderivaat F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. Leiame F(-2).
F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.
20. Vabane irratsionaalsusest nimetajas
Lahendus põhineb murru põhiomadusel, mis võimaldab korrutada murdosa lugeja ja nimetaja sama asjaga, ilma et võrdne nulliga number. Murru nimetaja radikaalsetest märkidest vabanemiseks kasutavad nad tavaliselt lühendatud korrutusvalemeid. Lõppude lõpuks, kui kahe radikaali vahe korrutada nende summaga, siis saame juurte ruutude erinevuse, s.o. saate väljenduse ilma radikaalsete märkideta.
21. Lihtsusta väljendit:
Lahendame selle näite kahel viisil. 1) Kujutagem ette teise teguri radikaalavaldist kahe avaldise summa ruudu kujul, s.o. kujul (a + b) 2 . See võimaldab meil eraldada aritmeetilise ruutjuure.
2) Teeme esimese teguri ruudu ja paneme selle teise teguri aritmeetilise ruutjuure märgi alla.
Otsustage endale sobival viisil!
22. Leidke (x 1 ∙y 1 +x 2 ∙y 2), kus (x n; y n) on võrrandisüsteemi lahendid:
Kuna aritmeetilise ruutjuure saab võtta ainult mittenegatiivne arv, See vastuvõetavad väärtused muutuv juures kõik arvud, mis rahuldavad ebavõrdsust y≥0. Kuna süsteemi esimeses võrrandis olev korrutis on võrdne negatiivne arv, siis peab olema täidetud järgmine tingimus: x<0 . Väljendame X esimesest võrrandist ja asendage selle väärtus teise võrrandiga. Lahendame saadud võrrandi for juures ja seejärel leidke väärtused X, mis vastab eelnevalt saadud väärtustele juures.
23. Lahendage võrratus: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.
Kuna põhilise trigonomeetrilise identiteedi järgi: sin 2 x+cos 2 x=1, siis esitades selle võrratuse kujul 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx ja rakendades peamist trigonomeetriline identiteet, saame: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Ebavõrdsuse lahendamine:
6sin 2 x-5sinx+1 >0. Teeme asendused: sinx=y ja saame ruutvõrratuse:
6a 2 -5a+1>0. Lahendame selle ebavõrdsuse intervallmeetodil laiendamise teel vasak pool kordajate järgi. Selleks leiame täieliku ruutvõrrandi juured:
6a 2 -5a+1=0. Diskriminant D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Siis saame y 1 ja y 2:
24. Sirge prisma põhjas asub korrapärane kolmnurk, mille pindala on Arvutage prisma külgpinna pindala, kui selle ruumala on 300 cm 3.
Andke meile see õige kolmnurkne prisma ABCA 1 B 1 C 1, mis põhineb õigel Δ ABC-l, selle pindala on meile teada. Pindala valemi rakendamine Võrdkülgne kolmnurk, leiame oma poole kolmnurk ABC. Kuna sirge prisma ruumala arvutatakse valemiga V=S main. ∙ H, ja me teame ka, siis leiame H - prisma kõrguse. Prisma külgserv on võrdne prisma kõrgusega: AA 1 =H. Teades prisma aluse külge ja külgserva pikkust, saate selle külgpinna pindala leida valemiga: S-külg. =P põhiline ∙ H.
25. Kooliviktoriinis oli 20 küsimust. Iga õige vastuse eest sai osaleja 12 punkti ja iga vale vastuse eest arvati maha 10 punkti. Mitu õiget vastust andis üks osalejatest, kui ta vastas kõigile küsimustele ja sai 86 punkti?
Laske osalejal anda x õiget vastust. Siis on tal (20) valesid vastuseid. Teades, et iga õige vastuse eest sai ta 12 punkti ja iga vale vastuse eest arvati maha 10 punkti ning samas kogus ta 86 punkti, loome võrrandi:
12x-10·(20s)=86;
12x-200+10x=86;
22x=286 ⇒ x=286:22 ⇒ x=13. Osaleja andis 13 õiget vastust.
Soovin, et annaksite UNT matemaatikatestile 25 õiget vastust!
24. Paremal nelinurkne püramiid kõrgus on 3, külgribi 6. Leia püramiidi ümber piiratud sfääri raadius.
Kirjeldagu palli, mille keskpunkt on punktis O 1 ja raadius MO 1 tavaline püramiid MABCD kõrgusega MO=3 ja külgservaga MA=6. On vaja leida kuuli raadius MO 1. Vaatleme ΔMAM 1, mille külg MM 1 on kuuli läbimõõt. Siis ∠MAM 1 =90°. Leiame hüpotenuusi MM 1, kui on teada külg MA ja selle külje MO projektsioon hüpotenuusile. Mäletad? Tipust tõmmatud kõrgus täisnurk hüpotenuusile on keskmine proportsionaalne väärtus jalgade hüpotenuusile projektsioonide vahel ja iga jalg on keskmine proportsionaalne väärtus kogu hüpotenuusi ja selle jala hüpotenuusile projektsiooni vahel. Selles ülesandes on meile kasulik ainult reegli allajoonitud osa.
Kirjutame võrdsuse: MA 2 =MO∙MM 1. Asendame oma andmed: 6 2 =3∙MM 1. Seega MM 1 =36:3=12. Leidsime kuuli läbimõõdu, seega raadius MO 1 =6.
25. Petja on vanem kui Kolja, kes on vanem Mišast, Maša on vanem kui Kolja ja Daša on Petjast noorem, kuid vanem kui Maša. Kes on vanuselt kolmas?
Oletame: vanem tähendab rohkem. Petya on vanem kui Kolja, kes on vanem kui Miša Kirjutame selle nii: Petya>Kolya>Miša. Dasha on noorem kui Petya, kuid vanem kui Maša kirjutame selle nii: Maša<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Daša> Maša. Sest Masha on vanem kui Kolja, siis saame: Petja> Daša> Maša> Kolja. Ja lõpuks: Petja> Daša> Maša> Kolja> Miša. Seega on vanuselt kolmas Masha.
Soovin teile edukat ettevalmistust UNT-ks!