Hulknurga kumeruse määramine.
Kirus-Back algoritm eeldab aknana kasutatava kumera hulknurga olemasolu.
Praktikas tekib aga väga sageli ülesanne hulknurk ära lõigata ja infot selle kohta, kas see on kumer või mitte, esialgu ei anta. Sel juhul tuleb enne lõikamisprotseduuri alustamist kindlaks teha, milline hulknurk on antud - kumer või mitte.
Anname mõned hulknurga kumeruse definitsioonid
Hulknurk loetakse kumeraks, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) kumeral hulknurgal asuvad kõik tipud mis tahes serva kandva joone ühel küljel (mööda sisemine pool antud serva suhtes);
2) hulknurga kõik sisenurgad on alla 180°;
3) kõik hulknurga tippe ühendavad diagonaalid asuvad selle hulknurga sees;
4) kõik hulknurga nurgad on läbitud samas suunas (joonis 3.3-1).
Viimase kumeruskriteeriumi analüütilise esituse väljatöötamiseks kasutame vektorkorrutist.
Vektori kunstiteos W kaks vektorit a Ja b (Joonis 3.3-2 a) defineeritud kui:
A x ,a y ,a z ja b x ,b y,b z on projektsioonid vastavalt faktorivektorite koordinaattelgedele X ,Y ,Z a Ja b,
- i, j, k– ühikvektorid piki koordinaattelgesid X, Y, Z.
 |
Riis.3.3 ‑ 1
Riis.3.3 ‑ 2
Kui käsitleme hulknurga kahemõõtmelist esitust selle esitusena sisse koordinaattasand XY kolmemõõtmeline koordinaatsüsteem X,Y,Z (joon. 3.3-2 b), siis moodustumise avaldis vektorprodukt vektorid U Ja V, kus vektorid U Ja V on külgnevad servad, mis moodustavad hulknurga nurga, võib kirjutada determinandina:
Ristkorrutise vektor on risti tasapinnaga, millel faktorivektorid asuvad. Korrutise vektori suund määratakse klambrireegli või parempoolse kruvireegli abil.
Joonisel fig. 3,3-2 b ), vektor W, mis vastab vektorite vektorkorrutisele V, U, on suunaga samas suunas koordinaatide telg Z.
Arvestades, et faktorvektorite projektsioonid Z-teljel on sel juhul võrdsed nulliga, võib vektorkorrutist esitada järgmiselt:
(3.3-1)
Ühikuvektor k alati positiivne, seega vektori märk w vektori produkti määratakse ülaltoodud avaldises ainult determinandi D märgiga. Pange tähele, et tegurvektorite vahetamisel lähtutakse vektorkorrutise omadustest U Ja V vektormärk w muutub vastupidiseks.
Sellest järeldub, et kui vektoritena V Ja U kui arvestada hulknurga kaht kõrvuti asetsevat serva, siis saab vektorite järjestuse vektorkorrutis seada vastavusse vaadeldava hulknurga nurga või seda nurka moodustavate servade läbimisega. See võimaldab teil hulknurga kumeruse määramise kriteeriumina kasutada järgmist reeglit:
kui hulknurga kõigi servapaaride puhul on täidetud järgmine tingimus:
 |
Kui üksikute nurkade vektorkorrutiste märgid ei lange kokku, siis pole hulknurk kumer.
Kuna hulknurga servad on määratud nende lõpp-punktide koordinaatidena, on vektorkorrutise märgi määramiseks mugavam kasutada determinanti.
Selles õppetükis alustame uus teema ja tutvustada meie jaoks uut kontseptsiooni: "polügoon". Vaatleme hulknurkadega seotud põhimõisteid: küljed, tipunurgad, kumerus ja mittekumerus. Siis me tõestame kõige olulisemad faktid nagu summateoreem sisemised nurgad hulknurk, summateoreem välisnurgad hulknurk. Selle tulemusena jõuame polügoonide erijuhtude uurimisele, mida käsitletakse edasistes tundides.
Teema: Nelinurgad
Õppetund: hulknurgad
Geomeetria kursusel uurime geomeetriliste kujundite omadusi ja oleme juba uurinud neist lihtsamaid: kolmnurki ja ringe. Samal ajal käsitlesime ka nende kujundite konkreetseid erijuhtumeid, nagu parempoolne, võrdhaarne ja korrapärane kolmnurk. Nüüd on aeg rääkida üldisemast ja keerulised kujundid - hulknurgad.
Erijuhtumiga hulknurgad oleme juba tuttavad – see on kolmnurk (vt joonis 1).
Riis. 1. Kolmnurk
Juba nimi ise rõhutab, et tegemist on kolme nurgaga kujundiga. Seetõttu sisse hulknurk neid võib olla palju, st. rohkem kui kolm. Näiteks joonistame viisnurga (vt joon. 2), s.o. viie nurgaga joonis.
Riis. 2. Viisnurk. Kumer hulknurk
Definitsioon.Hulknurk- kujund, mis koosneb mitmest punktist (rohkem kui kahest) ja vastavast arvust segmentidest, mis neid järjestikku ühendavad. Neid punkte nimetatakse tipud hulknurk ja lõigud on peod. Sel juhul ei asu kaks kõrvuti asetsevat külge samal sirgel ja kaks mittekülgnevat külge ei ristu.
Definitsioon.Regulaarne hulknurk- See kumer hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed.
Ükskõik milline hulknurk jagab tasapinna kaheks piirkonnaks: sisemine ja välimine. Sisepiirkonda nimetatakse ka hulknurk.
Ehk siis näiteks viisnurgast rääkides mõeldakse nii kogu selle sisemist piirkonda kui ka piiri. Ja sisemine piirkond hõlmab kõiki punkte, mis asuvad hulknurga sees, st. punkt viitab ka viisnurgale (vt joon. 2).
Hulknurki nimetatakse mõnikord ka n-nurkadeks, et rõhutada, et vaadeldakse üldist juhtumit, kus esineb teadmata arv nurki (n tükki).
Definitsioon. Hulknurga ümbermõõt- hulknurga külgede pikkuste summa.
Nüüd peame tutvuma hulknurkade tüüpidega. Need jagunevad kumer Ja mittekumer. Näiteks joonisel fig. 2 on kumer ja joonisel fig. 3 mittekumer.
Riis. 3. Mittekumer hulknurk
Definitsioon 1. Hulknurk helistas kumer, kui sirgjoone tõmbamisel läbi selle mõne külje, kogu hulknurk asub ainult selle sirgjoone ühel küljel. Mittekumer on kõik teised hulknurgad.
Lihtne on ette kujutada, et joonisel fig. 2 on see kõik selle sirgjoone ühel küljel, st. see on kumer. Kuid sirge joonestamisel läbi nelinurga joonisel fig. 3 näeme juba, et see jagab selle kaheks osaks, s.t. see ei ole kumer.
Kuid on veel üks hulknurga kumeruse määratlus.
2. definitsioon. Hulknurk helistas kumer, kui selle kahe sisepunkti valimisel ja lõiguga ühendamisel on kõik lõigu punktid ühtlasi hulknurga sisepunktid.
Selle määratluse kasutamise demonstratsiooni võib näha segmentide konstrueerimise näites joonisel fig. 2 ja 3.
Definitsioon. Diagonaal hulknurga lõik on mis tahes segment, mis ühendab kahte mittekülgnevat tippu.
Hulknurkade omaduste kirjeldamiseks on neid kaks tähtsamad teoreemid nende nurkade kohta: teoreem kumera hulknurga sisenurkade summa kohta Ja teoreem kumera hulknurga välisnurkade summa kohta. Vaatame neid.
Teoreem. Kumera hulknurga sisenurkade summal (n-gon).
Kus on selle nurkade (külgede) arv.
Tõestus 1. Kujutagem joonisel fig. 4 kumer n-nurk.
Riis. 4. Kumer n-nurk
Tipust joonistame kõik võimalikud diagonaalid. Nad jagavad n-nurga kolmnurkadeks, sest kõik hulknurga küljed moodustavad kolmnurga, välja arvatud tipuga külgnevad küljed. Jooniselt on lihtne näha, et kõigi nende kolmnurkade nurkade summa on täpselt võrdne n-nurga sisenurkade summaga. Kuna iga kolmnurga nurkade summa on , siis n-nurga sisenurkade summa on:
Q.E.D.
Tõestus 2. Selle teoreemi teine tõestus on võimalik. Joonistame sarnase n-nurga joonisel fig. 5 ja ühendage mis tahes selle sisemised punktid kõigi tippudega.
Riis. 5.
Oleme saanud n-nurga jaotuse n kolmnurgaks (nii palju külgi, kui on kolmnurki). Kõigi nende nurkade summa on võrdne hulknurga sisenurkade summaga ja nurkade summaga sisemine punkt, ja see on nurk. Meil on:
Q.E.D.
Tõestatud.
Tõestatud teoreemi järgi on selge, et n-nurga nurkade summa sõltub selle külgede arvust (n-l). Näiteks kolmnurgas ja nurkade summa on . Nelinurgas ja nurkade summa on jne.
Teoreem. Kumera hulknurga välisnurkade summal (n-gon).
Kus on selle nurkade (külgede) arv ja , … on välisnurgad.
Tõestus. Kujutame kumerat n-nurka joonisel fig. 6 ja määrake selle sise- ja välisnurgad.
Riis. 6. Kumer n-nurk määratud välisnurkadega
Sest Välisnurk on ühendatud sisemise nurgaga külgnevana, siis 
ja sarnaselt ülejäänud välisnurkadele. Seejärel:
Teisendustes kasutasime juba tõestatud teoreemi n-nurga sisenurkade summa kohta.
Tõestatud.
Tõestatud teoreemist järeldub huvitav fakt, et välisnurkade summa kumer n-nurk võrdne 
selle nurkade (külgede) arvu kohta. Muide, vastupidiselt sisenurkade summale.
Bibliograafia
- Aleksandrov A.D. ja teised Geomeetria, 8. klass. - M.: Haridus, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geomeetria, 8. klass. - M.: Haridus, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geomeetria, 8. klass. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Kodutöö
Need geomeetrilised kujundid ümbritsevad meid kõikjal. Kumerad hulknurgad võivad olla looduslikud, näiteks kärgstruktuuriga, või kunstlikud (tehislikud). Neid arve kasutatakse tootmises erinevat tüüpi pinnakatted, maalikunstis, arhitektuuris, dekoratsioonides jne. Kumeratel hulknurkadel on omadus, et kõik nende punktid asuvad ühel pool joont, mis läbib selle külgnevate tippude paari geomeetriline kujund. On ka teisi määratlusi. Kumer hulknurk on see, mis asub ühel pooltasandil mis tahes sirgjoone suhtes, mis sisaldab selle ühte külge.
Ma tean elementaarne geomeetria Arvestatakse alati ainult lihtsaid hulknurki. Kõigi selliste omaduste mõistmiseks on vaja mõista nende olemust. Esiteks peaksite mõistma, et iga rida, mille otsad langevad kokku, nimetatakse suletud. Lisaks võib selle moodustatud kujundil olla mitmesuguseid konfiguratsioone. Hulknurk on lihtne suletud katkendlik joon, milles naaberlingid ei asu samal sirgel. Selle lingid ja tipud on vastavalt selle geomeetrilise kujundi küljed ja tipud. Lihtsal polüliinil ei tohiks olla iselõikusi.
Hulknurga tippe nimetatakse külgnevateks, kui need tähistavad selle ühe külje otsa. Geomeetriline kujund, millel on n-s number tipud ja seetõttu n-s kogus külgi nimetatakse n-nurgaks. Katkendjoont ennast nimetatakse selle geomeetrilise kujundi piiriks või kontuuriks. Hulknurkne tasapind või tasane hulknurk on mis tahes sellega piiratud tasapinna lõplik osa. Selle geomeetrilise kujundi külgnevad küljed on ühest tipust lähtuva katkendjoone segmendid. Need ei ole kõrvuti, kui need pärinevad hulknurga erinevatest tippudest.
Kumerate hulknurkade muud definitsioonid
Elementaargeomeetrias on veel mitu tähenduselt ekvivalentset definitsiooni, mis näitavad, millist hulknurka nimetatakse kumeraks. Pealegi on kõik need koostised sisse samal määral on tõesed. Hulknurka loetakse kumeraks, kui see:
Iga segment, mis ühendab selle mis tahes kahte punkti, asub täielikult selles;
Kõik selle diagonaalid asuvad selles;
Ükski sisemine nurk ei ületa 180°.
Hulknurk jagab tasapinna alati kaheks osaks. Üks neist on piiratud (seda saab ümbritseda ringiga) ja teine on piiramatu. Esimest nimetatakse sisemiseks piirkonnaks ja teist selle geomeetrilise kujundi välispiirkonnaks. See hulknurk on mitme pooltasandi ristumiskoht (teisisõnu ühiskomponent). Veelgi enam, iga segment, mille otsad on hulknurgale kuuluvates punktides, kuuluvad sellesse täielikult.
Kumerate hulknurkade sordid
Kumera hulknurga määratlus ei viita sellele, et tüüpe on palju. Lisaks on igal neist teatud kriteeriumid. Seega nimetatakse kumeraid hulknurki, mille sisenurk on võrdne 180°, nõrgalt kumerateks. Kumerat geomeetrilist kujundit, millel on kolm tippu, nimetatakse kolmnurgaks, neli - nelinurkseks, viis - viisnurgaks jne. Iga kumer n-nurk vastab järgmisele kõige olulisemale nõudele: n peab olema võrdne 3-ga või suurem. kolmnurgast on kumer. Geomeetriline kujund seda tüüpi, mille kõik tipud asuvad samal ringil, nimetatakse ringi sisse kirjutatud. Kumerat hulknurka nimetatakse piiritletuks, kui kõik selle ringi lähedal olevad küljed puudutavad seda. Kaht hulknurka peetakse kongruentseks ainult siis, kui neid saab superpositsiooni abil kokku viia. Tasapinnaline hulknurk on hulknurkne tasapind (tasapinna osa), mis on selle geomeetrilise kujundiga piiratud.
Regulaarsed kumerad hulknurgad
Regulaarsed hulknurgad on geomeetrilised kujundid võrdsed nurgad ja pooled. Nende sees on punkt 0, mis asub igast selle tipust samal kaugusel. Seda nimetatakse selle geomeetrilise kujundi keskpunktiks. Lõike, mis ühendavad keskpunkti selle geomeetrilise kujundi tippudega, nimetatakse apoteemideks ja neid, mis ühendavad punkti 0 külgedega, on raadiused.
Korrapärane nelinurk on ruut. Regulaarne kolmnurk nimetatakse võrdkülgseks. Selliste kujundite puhul kehtib järgmine reegel: kumera hulknurga iga nurk on võrdne 180° * (n-2)/n,
kus n on selle kumera geomeetrilise kujundi tippude arv.
Mis tahes ala korrapärane hulknurk määratakse valemiga:
kus p on võrdne poolega kõigi külgede summast antud hulknurk, ja h on võrdne apoteemi pikkusega.
Kumerate hulknurkade omadused
Kumerad hulknurgad on teatud omadused. Seega asub selles tingimata segment, mis ühendab sellise geomeetrilise kujundi 2 punkti. Tõestus:
Oletame, et P on antud kumer hulknurk. Võtke 2 suvalised punktid, näiteks A, B, mis kuuluvad R. Po olemasolevat määratlust kumera hulknurga, need punktid asuvad ühel pool sirget, mis sisaldab mis tahes külge P. Järelikult on ka AB-l see omadus ja see sisaldub P-s. Kumera hulknurga saab alati jagada mitmeks kolmnurgaks absoluutselt kõigi diagonaalidega, mis on tõmmatud ühest selle tipust.
Kumerate geomeetriliste kujundite nurgad
Kumera hulknurga nurgad on nurgad, mille moodustavad selle küljed. Sisenurgad asuvad antud geomeetrilise kujundi sisepiirkonnas. Nurka, mille moodustavad selle ühes tipus kokku puutuvad küljed, nimetatakse kumera hulknurga nurgaks. antud geomeetrilise kujundi sisenurkadega nimetatakse välisteks. Kumera hulknurga iga nurk, mis asub selle sees, on võrdne:
kus x on välisnurga suurus. See lihtne valem kehtib seda tüüpi geomeetriliste kujundite kohta.
IN üldine juhtum, välisnurkade jaoks on olemas järgides reeglit: kumera hulknurga iga nurk võrdub 180° ja sisenurga suuruse vahega. Selle väärtused võivad olla vahemikus -180° kuni 180°. Seega, kui sisemine nurk on 120°, on välisnurk 60°.
Kumerate hulknurkade nurkade summa
Kumera hulknurga sisenurkade summa määratakse järgmise valemiga:
kus n on n-nurga tippude arv.
Kumera hulknurga nurkade summa arvutatakse üsna lihtsalt. Mõelge mis tahes sellisele geomeetrilisele joonisele. Kumera hulknurga sees olevate nurkade summa määramiseks peate ühendama selle ühe tipu teiste tippudega. Selle tegevuse tulemusena saadakse (n-2) kolmnurka. On teada, et mis tahes kolmnurga nurkade summa on alati 180°. Kuna nende arv mis tahes hulknurgas on (n-2), on sellise kujundi sisenurkade summa võrdne 180° x (n-2).
Kumera hulknurga, nimelt kahe sisemise ja külgneva välisnurga nurkade summa antud kumera geomeetrilise kujundi korral on alati võrdne 180°-ga. Selle põhjal saame määrata kõigi selle nurkade summa:
Sisenurkade summa on 180° * (n-2). Selle põhjal määratakse antud joonise kõigi välisnurkade summa valemiga:
180° * n-180°-(n-2) = 360°.
Iga kumera hulknurga välisnurkade summa on alati 360° (olenemata külgede arvust).
Kumera hulknurga välisnurka väljendatakse üldiselt 180° ja sisenurga väärtuse erinevusena.
Kumera hulknurga muud omadused
Lisaks nende geomeetriliste kujundite põhiomadustele on neil ka teisi, mis tekivad nendega manipuleerimisel. Seega võib mis tahes hulknurga jagada mitmeks kumeraks n-nurgaks. Selleks peate jätkama iga selle külge ja lõikama selle geomeetrilise kujundi mööda neid sirgeid jooni. Samuti on võimalik jagada suvaline hulknurk mitmeks kumeraks osaks nii, et iga tüki tipud langevad kokku kõigi selle tippudega. Sellisest geomeetrilisest kujundist saab väga lihtsalt teha kolmnurgad, tõmmates ühest tipust kõik diagonaalid. Seega saab iga hulknurga lõpuks jagada teatud arvuks kolmnurkadeks, mis osutub lahendamisel väga kasulikuks. erinevaid ülesandeid seotud selliste geomeetriliste kujunditega.
Kumera hulknurga ümbermõõt
Katkestatud joonelõike, mida nimetatakse hulknurga külgedeks, tähistatakse kõige sagedamini järgmiste tähtedega: ab, bc, cd, de, ea. Need on geomeetrilise kujundi küljed, mille tipud on a, b, c, d, e. Selle kumera hulknurga kõigi külgede pikkuste summat nimetatakse selle ümbermõõduks.
Hulknurga ring
Kumerad hulknurgad võivad olla sisse kirjutatud või piiritletud. Ringi, mis puudutab selle geomeetrilise kujundi kõiki külgi, nimetatakse sellesse sisse kirjutatud. Sellist hulknurka nimetatakse piiritletuks. Hulknurgale kantud ringi keskpunkt on antud geomeetrilise kujundi kõigi nurkade poolitajate lõikepunkt. Sellise hulknurga pindala on võrdne:
kus r on sisse kirjutatud ringi raadius ja p on antud hulknurga poolperimeeter.
Ringi, mis sisaldab hulknurga tippe, nimetatakse selle ümber piiritletuks. Sel juhul nimetatakse seda kumerat geomeetrilist kujundit sisse kirjutatud. Ringi keskpunkt, mida kirjeldatakse ümber sellise hulknurga, on kõigi külgede nn risti poolitajate lõikepunkt.
Kumerate geomeetriliste kujundite diagonaalid
Kumera hulknurga diagonaalid on lõigud, mis ühendavad naabruses olevad tipud. Igaüks neist asub selle geomeetrilise kujundi sees. Sellise n-nurga diagonaalide arv määratakse järgmise valemiga:
N = n (n - 3)/2.
Mängib kumera hulknurga diagonaalide arv oluline roll elementaargeomeetrias. Kolmnurkade arv (K), milleks saab iga kumera hulknurga jagada, arvutatakse järgmise valemi abil:
Kumera hulknurga diagonaalide arv sõltub alati selle tippude arvust.
Kumera hulknurga eraldamine
Mõnel juhul lahendada geomeetrilised probleemid kumer hulknurk on vaja jagada mitmeks disjunkeeritud diagonaaliga kolmnurgaks. Selle probleemi saab lahendada teatud valemi tuletamisega.
Ülesande definitsioon: nimetame õigeks kumera n-nurga teatud osa mitmeks kolmnurgaks, mille diagonaalid lõikuvad ainult selle geomeetrilise kujundi tippudes.
Lahendus: oletame, et P1, P2, P3..., Pn on selle n-nurga tipud. Arv Xn on selle partitsioonide arv. Mõelgem hoolikalt geomeetrilise kujundi Pi Pn saadud diagonaalile. Ühelgi neist õiged vaheseinadР1 Pn kuulub teatud kolmnurka Р1 Pi Pn, millel on 1 Olgu i = 2 üks regulaarsete partitsioonide rühm, mis sisaldab alati diagonaali P2 Pn. Selles sisalduvate partitsioonide arv langeb kokku (n-1)-goni P2 P3 P4... Pn partitsioonide arvuga. Teisisõnu on see võrdne Xn-1-ga. Kui i = 3, siis see teine vaheseinte rühm sisaldab alati diagonaale P3 P1 ja P3 Pn. Sel juhul langeb selles rühmas sisalduvate tavaliste partitsioonide arv kokku (n-2)-goni P3 P4... Pn partitsioonide arvuga. Teisisõnu, see on võrdne Xn-2-ga. Olgu i = 4, siis kolmnurkade hulgas on õiges jaotuses kindlasti kolmnurk P1 P4 Pn, mis külgneb nelinurgaga P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn. Sellise nelinurga korrapäraste partitsioonide arv on X4 ja (n-3)-nurga vaheseinte arv on Xn-3. Kõigi ülaltoodu põhjal võime öelda, et selles rühmas sisalduvate tavaliste partitsioonide koguarv on võrdne Xn-3 X4-ga. Teised rühmad, mille puhul i = 4, 5, 6, 7... sisaldavad Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... tavalisi partitsioone. Olgu i = n-2, siis langeb õigete partitsioonide arv selles rühmas kokku partitsioonide arvuga rühmas, mille puhul i=2 (teisisõnu võrdub Xn-1-ga). Kuna X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2..., siis on kumera hulknurga kõigi partitsioonide arv võrdne: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Konkreetsete juhtumite kontrollimisel võib eeldada, et kumerate n-nurkade diagonaalide arv on võrdne selle joonise kõigi sektsioonide korrutisega (n-3). Selle eelduse tõestus: kujutage ette, et P1n = Xn * (n-3), siis saab iga n-nurga jagada (n-2)-kolmnurkadeks. Pealegi saab neist moodustada (n-3)-nelinurga. Koos sellega on igal nelinurgal diagonaal. Kuna sellele kumerale geomeetrilisele joonisele saab tõmmata kaks diagonaali, tähendab see, et mis tahes (n-3)-nelinurka saab joonestada täiendavaid (n-3) diagonaale. Selle põhjal võime järeldada, et igas tavalises partitsioonis on võimalik joonistada (n-3)-diagonaale, mis vastavad selle ülesande tingimustele. Sageli on elementaarse geomeetria erinevate ülesannete lahendamisel vaja määrata kumera hulknurga pindala. Oletame, et (Xi. Yi), i = 1,2,3... n on hulknurga kõigi naabertippude koordinaatide jada, millel ei ole iselõikusi. Sel juhul arvutatakse selle pindala järgmise valemi abil: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), kus (X 1, Y 1) = (X n + 1, Y n + 1). Definitsioon 1. Katkendjoon on segmentide piiratud jada, nii et esimese segmendi üks ots toimib teise, teise segmendi teine ots kolmanda lõpuna jne. Segmente, mis moodustavad katkendliku joone, nimetatakse linkideks. Külgnevad segmendid ei asu samal sirgel. Kui katkendjoone otsad langevad kokku, siis nimetatakse seda suletud. Polüliin võib ennast ristuda, ennast puudutada ja iseendale toetuda. Kui katkendjoonel selliseid tunnuseid pole, siis seda nimetatakse lihtne.
2. definitsioon. Lihtsat suletud katkendjoont koos sellega piiratud tasapinna osaga nimetatakse hulknurgaks. Katkendjoont ennast nimetatakse hulknurga piiriks, katkendjoone linke peod hulknurga, linkide otsad on hulknurga tipud. Hulknurga kaks külgnevat külge moodustavad nurga. Hulknurga nurkade arv võrdub külgede arvuga. Igal hulknurgal on nurgad alla 180°. Hulknurga külgi ja nurki nimetatakse elemendid hulknurk. Diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab hulknurga kahte mittekülgnevat tippu. Igal n-nurgal võib olla n-2 diagonaali. 3. määratlus. Hulknurka nimetatakse kumer, kui see asub iga selle külge sisaldava rea ühel küljel. Hulknurki, mis sellele tingimusele ei vasta, nimetatakse mittekumerateks. Kumerate hulknurkade omadused. Vara 1. Kumera hulknurga kõik nurgad on alla 180°. Tõestus: Võtame kumera hulknurga P ja selle külje a mis tahes nurga A, mis tuleb tipust A. Olgu l sirge, mis sisaldab külge a. Kuna hulknurk P on kumer, asub see sirge l ühel küljel. Seetõttu asub nurk A sirge l ühel küljel. Järelikult on nurk A väiksem kui voltimata nurk, st ÐA< 180°.
Vara 2. Selles hulknurgas sisaldub sirglõik, mis ühendab kumera hulknurga mis tahes kahte punkti. Tõestus: Võtke kumera hulknurga P mis tahes kaks punkti M ja N. Hulknurk P on mitme pooltasandi ristumiskoht. Segment MN asub igal pooltasandil. Seetõttu sisaldub see ka hulknurgas R. Vara 3. Kumera hulknurga nurkade summa on (n – 2)∙180°. Tõestus: Võtke kumera hulknurga P sees suvaline punkt O ja ühendage see hulknurga kõigi tippudega. Moodustatakse N kolmnurka, mille iga nurkade summa on 180°. Nurgad tipus O annavad kokku 360° = 2∙180°. Seetõttu on hulknurga nurkade summa n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°. Rööpküliku mõiste. Rööpküliku omadused. Definitsioon 1. Nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Igal rööpkülikul on neli tippu, neli külge ja neli nurka. Nimetatakse kahte külge, millel on ühised otsad külgnevad. Igal rööpkülikul on kaks diagonaali - rööpküliku vastassuunalisi tippe ühendavad segmendid. Rööpküliku nurkade summa on 360°. Rööpküliku omadused. Tõestus: Joonistame diagonaali AC. AC – üldine; РВАС = РАСD (sisemine risti asetsev AB II BC ja sekant AC); РВСА = РСАD (sisemine risti asetseb AD II eKr ja sekant AC); Þ DABC = DADC (2 tunnuse alusel). AB = CD; BC = AD; РВ = РD. RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС. Vara 2. Rööpkülikukujulises nurgas on ühe küljega külgnevad nurgad kokku 180°. Tõestus: РВ + РА =180° (sisemine ühepoolne BC II AD-ga ja sekant AB). ÐB + ÐС =180° (sisemine ühepoolne AB II CD ja sekant BC-ga). ÐD + ÐC =180° (sisemine ühepoolne BC II AD ja sekant CD-ga). ÐA + ÐD =180° (sisemine ühepoolne AB II CD-ga ja sekant AD). Vara 3. Rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks. AB = CD (esimese rööpküliku järgi); ÐABO = ÐODC (sisemine risti asetsev AB II CD ja sekant BD); РБАО = РОСD (sisemine risti asetsev AB II CD ja sekant AC); Þ DABO = DODC (2 tunnuse alusel). BO = OD; AO = OC. Rööpküliku märgid. Märk 1. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis on nelinurk rööpkülik.Tavaliste vaheseinte arv, mis lõikuvad ühe diagonaali sees
Kumerate hulknurkade pindala
Vara 1. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed ja vastasnurgad on paarikaupa võrdsed.
Tõestus: Joonestame diagonaalid AC ja BD, mis ristuvad punktis O.Antud: ABCD – nelinurk; AD II eKr,