Kapitel #9 Fibonacci, Det Gyldne Forhold og Pentaklen Fibonacci-sekvensen er ikke kun et tilfældigt talmønster, som er opfundet af denne italienske matematiker. Det er frugten af ​​at forstå de rumlige relationer, der finder sted i naturen og efterfølgende modtages

Spiralformet. Livsspiralens spiral er en af karakteristiske træk af alle organismer som en manifestation af selve livets essens. J. Goethe Ambivalent, tvetydig helligt symbol. Spiralen legemliggør samtidig symbolikken om liv og død, udvikling på

Archimedes' Spiral and the Law of Octaves Kunst - og jeg mener sand, god kunst - bygger blandt andet på principperne om balance, dynamik, placering og komposition. Disse elementer skal være i harmoni og interagere med hinanden for at

Konstruktion af Archimedes-spiralen Det givne trin t i Archimedes-spiralen er opdelt i flere, for eksempel otte, lige dele. Fra enden O af segmentet tegnes en cirkel R = t og opdeles i lige så mange dele, som trin t blev delt i. På den første stråle tegnes en bue med radius

Fibonacci-sekvensen Navnet på matematikeren Leonardo fra Pisa, kendt som Fibonacci (søn af Bonacci), er forbundet med historien om det gyldne snit. Han var middelalderens mest berømte matematiker. I 1202 udkom hans værk "The Book of the Abacus" (tællebord), hvor der var

Meditation på en spiral Meditation med en spiral vil tage tid, det bør gøres inden for en time. Det er bedre at vælge morgen- eller eftermiddagstimerne i weekenden til meditation. Gør meditationsrummet mørkt og tænd et lys. Sid oprejst og prøv at smide alt væk

Konstruktionen af ​​en Archimedes-spiral begynder med konstruktionen af ​​en cirkel med en radius svarende til spiralens stigning ved hjælp af Circle-kommandoen. Fra midten af ​​cirklen OM kommando Segmentet udføres vandret linje, svarende til stigningen af ​​Archimedes-spiralen OA. Cirklen og segmentet er opdelt i 12 lige store dele. Et linjestykke kan opdeles i 12 lige store dele ved hjælp af kommandoen Opdel kurve i n dele. Gennem divisionspunkterne i et segment OA ved hjælp af Equidistant-kommandoen, kopier cirkler: dem skal der være 12. Brug kommandoen Copy along Circle til at oprette en polær array fra et spiraltrin opdelt i 12 dele (fig. 3.50).

Ris. 3,50. Konstruktion af Archimedes-spiralen

Skæringspunkter for trin og cirkler med radier 1/12, 2/12, 3/12 osv. forbundet med en polylinje ved hjælp af kommandoen Linjesegment, startende fra midten af ​​spiralen (punkt OM), under hensyntagen til genstandens rotationsretning. Ved at bruge NURBS-kommandoen opnås linjen for Archimedes-spiralen (fig. 3.51).

For at konstruere et større antal vindinger af Archimedes-spiralen skal du konstruere en cirkel med en radius svarende til to trin af spiralen, eller tre trin, og følgelig opdele to trin i 24 dele, 2,5 trin i 30 dele.

Ris. 3,51. Archimedes' spiral bygget ved hjælp af NURBS-kommandoen

Konstruktion af en to-center krølle

Konstruer først en vandret hjælpelinje. Derefter lægges et segment på den. Fra det første centrum bygges en cirkel med radius O 1 O 2, fra det andet center bygges en cirkel med radius 2O 1 O 2 (Fig. 3.52).

Ris. 3,52. Konstruktion af en to-center krølle ved hjælp af cirkler

Efter at have konstrueret det nødvendige antal cirkler, fjernes deres overskydende dele ved at bruge kommandoen Trim Curve (Fig. 3.53).

Tilføj radiale dimensioner til halvcirklerne, og sørg for, at radius fordobles for hver efterfølgende cirkel.

Ris. 3,53. To-center krølle

Arbejd med tekst

Kommandoen Tekst giver dig mulighed for at oprette en tekstindskrift i en tegning eller et fragment. Hver inskription kan bestå af et vilkårligt antal linjer.

For at kalde kommandoen skal du klikke på knappen Tekst på værktøjslinjen Symboler.

Efter at have kaldt kommandoen skifter KOMPAS til teksttilstand. Dette ændrer antallet og navnene på hovedmenukommandoer samt sammensætningen af ​​det kompakte panel.

Brug af en gruppe kontakter Indkvartering vælg placeringen af ​​teksten i forhold til ankerpunktet.

I marken Hjørne Du kan indtaste hældningsvinklen for tekstlinjer til X-aksen for det aktuelle koordinatsystem.

Angiv et tekstankerpunkt.

Indtast det nødvendige antal linjer, og afslut hver af dem med et tastetryk<Gå ind>.

Du kan ændre standardtekstindstillingerne ved hjælp af kontrollerne på fanen Formatering Ejendomspaneler, samt indsætte forskellige specielle objekter ved hjælp af faneelementer Indsæt.

Tryk på knappen for at tage billedet Opret objekt på det særlige kontrolpanel.

Procedure for udførelse af laboratoriearbejde

Opret et nyt fragment.

Konstruer en Archimedes-spiral i henhold til opgaven.

Opret en brugerdefineret krølle.

Gem filen.

Indtast de nødvendige dimensioner.

Indtast betegnelsen for midten og spiralens stigning ved hjælp af tekstkommandoen.

Opret en inskription i fragmentet, der indeholder elevens navn, gruppe, nr. laboratoriearbejde, optionnummer, oprettelsesdato.

Archimedes spiraler er meget udbredt til at konstruere geometrier til induktorer, spiralvarmevekslere og mikrofluidiske enheder. I dette indlæg vil vi vise, hvordan man konstruerer en Archimedes-spiral ved hjælp af analytiske udtryk og deres derivater til at definere de nødvendige kurver. Vi opretter først en 2D-geometri, og derefter, efter at have indstillet den ønskede tykkelse, konverterer vi den til 3D ved hjælp af Extrude-operationen.

Hvad er en Archimedes-spiral?

Udbredt i naturen, spiraler eller hvirvler bruges i mange tekniske strukturer. For eksempel i elektroteknik og elektronik er induktorer viklet ved hjælp af spiralformede ledere eller spiralformede antenner er designet. I maskinteknik bruges spiraler i udformningen af ​​fjedre, spiralformede tandhjul eller endda urmekanismer, hvoraf den ene er vist nedenfor.

Et eksempel på Archimedes-spiralen, som bruges i en urmekanisme. Billede udlånt af Greubel Forsey. Tilgængelig under CC BY-SA 3.0 fra Wikimedia Commons.

I denne artikel vil vi kun analysere én type spiral, nemlig Archimedes-spiralen, som er afbildet i mekanismen ovenfor. Archimedes spiral- Det her særlig slags spiraler med konstant afstand mellem vindingerne. På grund af denne egenskab er den meget brugt i design af spoler og fjedre.

Arkimedes-spiralens ligning i det polære koordinatsystem er skrevet som:

hvor a og b er parametre, der bestemmer spiralens begyndelsesradius og afstanden mellem vindingerne, som er lig med 2\pi b. Bemærk, at Archimedes-spiralen også nogle gange kaldes aritmetisk spiral. Dette navn er forbundet med den aritmetiske afhængighed af afstanden fra begyndelsen af ​​kurven til spiralens punkter placeret på den samme radiale linje.

Definition af den parametriserede geometri af Archimedes-spiralen

Nu hvor du allerede ved, hvad en Archimedes-spiral er, lad os komme i gang med at parametrisere og skabe geometri i COMSOL Multiphysics.

Arkimedes-spiralen kan specificeres i både polære og kartesiske koordinater.

Først skal du transformere spiralligningen fra polære system koordinater til kartesisk og udtrykke hver ligning i parametrisk form:

\begin(align*) x_(component)=rcos(\theta) \\ y_(component)=rsin(\theta) \end(align*)

Efter konvertering af spiralligningen i parametrisk form til Cartesisk system koordinater vil have formen:

\begin(align*) x_(component)=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_(component)=(a+b\theta)sin(\theta) \end(align*)

I COMSOL Multiphysics skal vi definere et sæt parametre, der skal bruges til at definere spiralens geometri. I vores tilfælde er disse de indledende og sidste radier af henholdsvis spiralen a_(initial) og a_(final) og antallet af vindinger n. Vækstindekset for helix b findes som:

b=\frac(a_(final)-a_(initial))(2 \pi n)

Det er også nødvendigt at bestemme start- og slutvinklerne for spiralen - henholdsvis theta_0 og theta_f. Lad os starte med dem - theta_0=0 og theta_f=2 \pi n . Baseret på den givne information bestemmer vi parametrene for at konstruere spiralens geometri.

Parametre, der bruges til at konstruere spiralgeometrien.

Lad os starte vores byggeri med at vælge tredimensionelt problem (3D-komponent) og skabe Arbejdsplan(Arbejdsplan) i afsnittet Geometri(Geometri). I geometri for Arbejdsplan tilføje Parametrisk kurve(Parametrisk kurve) og skriv parametriske ligninger, beskrevet ovenfor, for at definere den todimensionelle geometri af Archimedes-spiralen. Disse ligninger kan straks indtastes i de relevante felter på fanen Udtryk eller du kan først indstille hver ligning separat Analytisk Analytisk funktion:

\begin(align*) X_(sjov)=(a+bs)cos(s) \\ Y_(sjov)=(a+bs)sin(s) \\ \end(align*)

Udtrykket for X-komponenten af ​​Arkimedes spiralligning givet analytisk fungere.

Analytisk funktionen kan så bruges som et udtryk i en parametrisk kurveknude. På fanebladet Parameter skal du indstille parameteren s fra startvinklen, theta_0, til dens endelige værdi, theta_f=2 \pi n.

Indstillinger for Parametrisk kurve.

Når du har indstillet alle parametrene og klikket på knappen "Byg valgt", vil kurven vist på skærmbilledet ovenfor blive bygget. Lad os nu indstille tykkelsen af ​​spiralen for at få en solid todimensionel figur.

Indtil dette punkt var parametrene for vores kurve de indledende (a_(initial)) og endelige (a_(final)) radier og antallet af omdrejninger n. Nu vil vi tilføje en ting mere - tykkelsen af ​​spiralen.

Lad os igen huske hovedegenskaben ved en spiral - afstanden mellem vindingerne er konstant og lig med 2\pi b. Hvad er tilsvarende \frac(a_(final)-a_(initial))(n). For at tilføje tykkelse til vores ligninger repræsenterer vi afstanden mellem vindingerne som summen af ​​tykkelsen af ​​spiralen og spalten tyk+gab.

Afstanden mellem vindingerne bestemmes af spiralens tykkelse og mellemrummets størrelse.

\begin(align*) distance=\frac(a_(initial)-a_(final))(n) \\ gap=distance-thick \end(align*)

Herefter udtrykker vi spiralens væksthastighed i form af tykkelse:

\begin(align*) distance=2\pi b \\ b=\frac(gap+thick)(2\pi) \end(align*)

Du skal også udtrykke spiralens endelige vinkel i form af startvinklen og den endelige radius:

\begin(align*) \theta_(final)=2 \pi n \\ a_(final)=\text(total distance)+a_(initial) \\ a_(final)=2 \pi bn+a_(initial) \\ n=\frac(a_(final)-a_(initial))(2 \pi b) \\ \theta_(final)=\frac(2 \pi (a_(final)-a_(initial)))( 2 \pi b) \\ \theta_(final)=\frac(a_(final)-a_(initial))(b) \end(align*)

Vil du indstille en startvinkel, der ikke er nul for spiralen? Hvis det er tilfældet, skal det føjes til udtrykket for at bestemme den endelige vinkel: theta_f=\frac(a_(final)-a_(initial))(b)+theta_0.

Duplikere spiralkurven to gange med et skift på -\frac(tyk)(2) og +\frac(tyk)(2) i forhold til startkurven giver dig mulighed for at bygge en spiral af en given tykkelse. For at placere de indre og ydre spiraler korrekt, skal du sørge for, at begyndelsen af ​​disse kurver er vinkelret på linjen, hvor deres startpunkter er placeret. Dette kan gøres ved at gange forskydningsafstanden \pm\frac(tyk)(2) med en enhedsvektor, der er normal på helixens begyndelseskurve. Ligninger af normale vektorer i parametrisk form:

n_x=-\frac(dy)(ds) \quad \text(and) \quad n_y=\frac(dx)(ds)

hvor s er den parameter, der bruges i den parametriske kurveknude. At blive normaliseret enhedsvektorer, er det nødvendigt at dividere disse udtryk med længden af ​​normalen:

\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)

Opdaterede parametriske ligninger for den offset Archimedes spiral:

\begin(align*) x_(component)=(a+bs)cos(s)-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2))\ frac(tyk)(2) \\ y_(komponent)=(a+bs)sin(s)+\frac(dx/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 ))\frac(tyk)(2)\end(align*)

At skrive så lange udtryk er ret ubelejligt, så vi introducerer følgende notation:

\begin(align*) N_x=-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)) \\ N_y=\frac(dx/ds)(\ sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )) \end(align*)

hvor N_x og N_y er defineret analytisk funktioner i COMSOL Multiphysics, svarende til X_(sjov) og Y_(sjov) i det første eksempel. Inde i funktionen bruges den afledede operator, d(f(x),x), som vist på skærmbilledet nedenfor.

Eksempler på den afledte operator, der bruges i analytisk funktioner

Funktionerne X_(sjov) , Y_(sjov) , N_x og N_y kan bruges i udtryk til at definere en parametrisk kurve, som på én måde:

\begin(align*) x_(lower)=X_(sjov)(s)+N_x(s)\frac(thick)(2) \\ y_(lower)=Y_(sjov)(s)+N_y(s) \frac(tyk)(2) \end(align*)

Og så på den anden:

\begin(align*) x_(øvre)=X_(sjov)(s)-N_x(s)\frac(tyk)(2) \\ y_(øvre)=Y_(sjov)(s)-N_y(s) \frac(tyk)(2) \end(align*)

Udtryk for den anden forskudte parametriske kurve.

For at forbinde enderne tilføjer vi yderligere to parametriske kurver ved hjælp af mindre ændringer ligninger ovenfor. For kurven, der forbinder spiralen i midten, skal du angive X_(sjov) , Y_(sjov) , N_x og N_y for startværdi vinkel, theta. Kurven, der forbinder enderne, skal have en endelig theta-værdi. Baseret på dette er ligningerne for kurven i midten:

\begin(align*) X_(sjov)(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac(tyk)(2) \\ Y_(sjov)(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot \frac(tyk)(2) \end(align*)

Kurvens ligninger i slutningen:

\begin(align*) X_(sjov)(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac(tyk)(2) \\ Y_(sjov)(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot \frac(tyk)(2) \end(align*)

I disse ligninger varierer parameteren s fra -1 til 1, som vist på skærmbilledet nedenfor.

Ligninger af kurven, der forbinder spiralen i midten.

Som et resultat har vi fem kurver, der definerer spiralens midterlinje og dens fire sider. Midterlinje kan deaktiveres (deaktivere funktion) eller endda fjernes, da det ikke er nødvendigt. Ved at tilføje en node Konverter til Solid, skaber vi en single geometrisk objekt. Det sidste trin er at ekstrudere denne profil ved hjælp af operationen Ekstruder og skabelse af et tredimensionelt objekt.

Fuld geometrisk rækkefølge og spiralens aflange (ekstruderede) tredimensionelle geometri.

Sammenfatning af simulering af Archimedes-spiralen i COMSOL Multiphysics

I denne note undersøgte vi de vigtigste trin for at skabe en parametrisk Archimedes-spiral. Med denne model kan du eksperimentere med forskellige betydninger parametre, og forsøg også at løse et optimeringsproblem ved hjælp af denne parameterisering. Vi håber, at denne artikel var nyttig, og at du vil ansøge denne teknik i deres efterfølgende modeller.

Yderligere ressourcer om spiraldesign og beregning

• For at forbedre dine spiralmodelleringsevner, tjek følgende selvstudiemodeller:
• Tjek oplevelsen af ​​en af ​​vores brugere: