I denne artikel vil vi tale om parallelle linjer, give definitioner og skitsere tegn og betingelser for parallelisme. For klarhedens skyld teoretisk materiale Vi vil bruge illustrationer og løsninger til typiske eksempler.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1
Parallelle linjer på et fly– to lige linjer på et plan, der ikke har fælles punkter.
Definition 2
Parallelle linjer ind tredimensionelt rum – to rette linjer i tredimensionelt rum, der ligger i samme plan og ikke har fælles punkter.
Det er nødvendigt at bemærke, at for at bestemme parallelle linjer i rummet er afklaringen "ligger i samme plan" ekstremt vigtig: to linjer i tredimensionelt rum, der ikke har fælles punkter og ikke ligger i samme plan, er ikke parallelle , men krydsende.
For at angive parallelle linjer er det almindeligt at bruge symbolet ∥. Det vil sige, at hvis de givne linjer a og b er parallelle, skal denne betingelse kort skrives som følger: a ‖ b. Verbal parallelitet af linjer er angivet på følgende måde: linje a og b er parallelle, eller linje a er parallel med linje b, eller linje b er parallel med linje a.
Lad os formulere et udsagn, der spiller vigtig rolle i det emne, der undersøges.
Aksiom
Gennem et punkt, der ikke hører til en given linje, passerer den eneste rette linje parallelt med den givne. Dette udsagn kan ikke bevises på grundlag af de kendte aksiomer for planimetri.
I tilfælde af vi taler om om rummet er sætningen sand:
Sætning 1
Gennem ethvert punkt i rummet, der ikke hører til en given linje, vil der være en enkelt lige linje parallel med den givne.
Denne sætning er let at bevise på baggrund af ovenstående aksiom (geometriprogram for klasse 10 - 11).
Der er et tegn på parallelitet tilstrækkelig stand, hvor paralleliteten af linjerne er garanteret. Med andre ord er opfyldelsen af denne betingelse tilstrækkelig til at bekræfte kendsgerningen om parallelitet.
Især er der nødvendige og tilstrækkelige betingelser for paralleliteten af linjer på planet og i rummet. Lad os forklare: nødvendig betyder den betingelse, hvis opfyldelse er nødvendig for parallelle linjer; hvis det ikke er opfyldt, er linjerne ikke parallelle.
For at opsummere er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for linjers parallelitet en betingelse, hvis overholdelse er nødvendig og tilstrækkelig til at linjerne er parallelle med hinanden. På den ene side er dette et tegn på parallelitet, på den anden side er det en egenskab, der ligger i parallelle linjer.
Før vi giver den nøjagtige formulering af en nødvendig og tilstrækkelig betingelse, lad os huske et par yderligere begreber.
Definition 3
Sekant linje– en ret linje, der skærer hver af to givne ikke-sammenfaldende rette linjer.
Skærende to lige linjer danner en tværgående otte uudviklede vinkler. For at formulere en nødvendig og tilstrækkelig betingelse vil vi bruge sådanne typer vinkler som krydsede, tilsvarende og ensidede. Lad os demonstrere dem i illustrationen:
Sætning 2
Hvis to linjer i et plan skæres af en transversal, så er det nødvendigt og tilstrækkeligt for at de givne linjer er parallelle, at de skærende vinkler er ens, eller de tilsvarende vinkler er ens, eller summen af ensidede vinkler er lig med 180 grader.
Lad os illustrere grafisk den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelliteten af linjer på et plan:
Beviset for disse forhold er til stede i geometriprogrammet for klasse 7 - 9.
Generelt gælder disse betingelser også for tredimensionelt rum, forudsat at to linjer og en sekant hører til samme plan.
Lad os angive nogle flere sætninger, der ofte bruges til at bevise, at linjer er parallelle.
Sætning 3
På et plan er to linjer parallelle med en tredje parallelle med hinanden. Dette træk er bevist på grundlag af parallelismeaksiomet angivet ovenfor.
Sætning 4
I tredimensionelt rum er to linjer parallelle med en tredje parallelle med hinanden.
Beviset for et tegn studeres i 10. klasses geometripensum.
Lad os give en illustration af disse teoremer:
Lad os angive endnu et par sætninger, der beviser linjers parallelitet.
Sætning 5
På et plan er to linjer vinkelret på en tredjedel parallelle med hinanden.
Lad os formulere en lignende ting for tredimensionelt rum.
Sætning 6
I tredimensionelt rum er to linjer vinkelret på en tredjedel parallelle med hinanden.
Lad os illustrere:
Alle ovenstående sætninger, tegn og betingelser gør det muligt bekvemt at bevise parallelliteten af linjer ved hjælp af geometrimetoderne. Det vil sige, for at bevise linjers parallelitet kan man vise, at de tilsvarende vinkler er ens, eller demonstrere, at to givne linjer er vinkelrette på den tredje osv. Men bemærk, at det ofte er mere bekvemt at bruge koordinatmetoden til at bevise parallelliteten af linjer på et plan eller i tredimensionelt rum.
Parallelisme af linjer i et rektangulært koordinatsystem
I en given rektangulært system koordinater, er en ret linje bestemt af ligningen for en ret linje på planet af en af mulige typer. Ligeledes svarer en ret linje defineret i et rektangulært koordinatsystem i tredimensionelt rum til nogle ligninger for en ret linje i rummet.
Lad os nedskrive de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for parallelliteten af linjer i et rektangulært koordinatsystem afhængigt af typen af ligning, der beskriver de givne linjer.
Lad os starte med betingelsen om parallelitet af linjer på et plan. Det er baseret på definitionerne af retningsvektoren for en linje og normalvektoren for en linje på et plan.
Sætning 7
For at to ikke-sammenfaldende linjer skal være parallelle på et plan, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at retningsvektorerne for de givne linjer er kollineære, eller normalvektorerne for de givne linjer er kollineære, eller retningsvektoren for en linje er vinkelret på normalvektoren af den anden linje.
Det bliver indlysende, at betingelsen for parallelitet af linjer på et plan er baseret på betingelsen om kollinearitet af vektorer eller betingelsen for vinkelrethed af to vektorer. Det vil sige, hvis a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) er retningsvektorer af linjerne a og b ;
og n b → = (n b x , n b y) er normale vektorer af linje a og b, så skriver vi ovenstående nødvendige og tilstrækkelige betingelse som følger: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y eller n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y eller a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , hvor t er et reelt tal. Koordinaterne for guiderne eller lige vektorer er bestemt af de givne ligninger for de rette linjer. Lad os se på de vigtigste eksempler.
- Lige a i et rektangulært koordinatsystem er defineret generel ligning ret linie: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; ret linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Så vil normalvektorerne for de givne linjer have koordinater (A 1, B 1) henholdsvis (A 2, B 2). Vi skriver parallelitetsbetingelsen som følger:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Linje a er beskrevet ved ligningen af en linje med en hældning på formen y = k 1 x + b 1 . Lige linie b - y = k 2 x + b 2. Så vil normalvektorerne for de givne linjer have henholdsvis koordinater (k 1, - 1) og (k 2, - 1), og vi vil skrive parallelitetsbetingelsen som følger:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Således, hvis parallelle linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er givet ved ligninger med vinkelkoefficienter, så skråninger givne linjer vil være ens. Og det modsatte udsagn er sandt: Hvis ikke-sammenfaldende linjer på en plan i et rektangulært koordinatsystem er bestemt af ligningerne for en linje med identiske vinkelkoefficienter, så er disse givne linjer parallelle.
- Linjerne a og b i et rektangulært koordinatsystem er specificeret ved de kanoniske ligninger for en linje på en plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y og x - x 2 b x = y - y 2 b y eller ved parametriske ligninger for en linje på en plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y og x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Så vil retningsvektorerne for de givne linjer være: henholdsvis a x, a y og b x, b y, og vi vil skrive parallelitetsbetingelsen som følger:
a x = t b x a y = t b y
Lad os se på eksempler.
Eksempel 1
Der er givet to linjer: 2 x - 3 y + 1 = 0 og x 1 2 + y 5 = 1. Det er nødvendigt at afgøre, om de er parallelle.
Løsning
Lad os skrive ligningen for en ret linje i segmenter i form af en generel ligning:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Vi ser, at n a → = (2, - 3) er normalvektoren for linjen 2 x - 3 y + 1 = 0, og n b → = 2, 1 5 er normalvektoren af linjen x 1 2 + y 5 = 1.
De resulterende vektorer er ikke kollineære, fordi der er ingen sådan værdi af tat, at ligheden vil være sand:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Således er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelitet af linjer på et plan ikke opfyldt, hvilket betyder, at de givne linjer ikke er parallelle.
Svar: de givne linjer er ikke parallelle.
Eksempel 2
Linjerne y = 2 x + 1 og x 1 = y - 4 2 er givet. Er de parallelle?
Løsning
Lad os transformere den kanoniske ligning for den rette linje x 1 = y - 4 2 til ligningen for den rette linje med hældningen:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Vi ser, at ligningerne for linjerne y = 2 x + 1 og y = 2 x + 4 ikke er ens (hvis det var anderledes, ville linjerne være sammenfaldende), og linjernes vinkelkoefficienter er ens, hvilket betyder at givne linjer er parallelle.
Lad os prøve at løse problemet anderledes. Lad os først kontrollere, om de givne linjer er sammenfaldende. Vi bruger et hvilket som helst punkt på linjen y = 2 x + 1, for eksempel (0, 1), koordinaterne for dette punkt svarer ikke til ligningen for linjen x 1 = y - 4 2, hvilket betyder at linjerne gør ikke sammenfaldende.
Det næste trin er at bestemme, om betingelsen om parallelitet af de givne linjer er opfyldt.
Normalvektoren for linjen y = 2 x + 1 er vektoren n a → = (2 , - 1) , og retningsvektoren for den anden givne linje er b → = (1 , 2) . Skalært produkt af disse vektorer er lig nul:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Vektorerne er således vinkelrette: dette viser os opfyldelsen af den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for paralleliteten af de oprindelige linjer. De der. de givne linjer er parallelle.
Svar: disse linjer er parallelle.
For at bevise parallelliteten af linjer i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, bruges følgende nødvendige og tilstrækkelige betingelse.
Sætning 8
For at to ikke-sammenfaldende linjer i det tredimensionelle rum kan være parallelle, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at retningsvektorerne for disse linjer er kollineære.
De der. på givne ligninger af rette linjer i tredimensionelt rum, findes svaret på spørgsmålet: er de parallelle eller ej, ved at bestemme koordinaterne for retningsvektorerne for de givne rette linjer, samt kontrollere tilstanden af deres kollinearitet. Med andre ord, hvis a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) er retningsvektorer af henholdsvis rette linjer a og b, så for at de kan være parallelle, er eksistensen af sådan reelle tal t så ligestillingen gælder:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Eksempel 3
Linjerne x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 og x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ er givet. Det er nødvendigt at bevise parallelliteten af disse linjer.
Løsning
Betingelserne for problemet er givet kanoniske ligningerén lige linje i rummet og parametriske ligninger endnu en linje i rummet. Guide vektorer a → og b → de givne linjer har koordinater: (1, 0, - 3) og (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, derefter a → = 1 2 · b → .
Følgelig er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for paralleliteten af linjer i rummet opfyldt.
Svar: paralleliteten af de givne linjer er bevist.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
Side 1 af 2
Spørgsmål 1. Bevis at to linjer parallelt med en tredje er parallelle.
Svar. Sætning 4.1. To linjer parallelle med en tredje er parallelle.
Bevis. Lad linjerne a og b være parallelle med linje c. Lad os antage, at a og b ikke er parallelle (fig. 69). Så skærer de ikke et eller andet punkt C. Det betyder, at to linjer går gennem punkt C parallelt med linje c. Men dette er umuligt, da det gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, højst er muligt at tegne en ret linje parallelt med den givne. Sætningen er bevist.
Spørgsmål 2. Forklar hvilke vinkler der kaldes ensidede indvendige vinkler. Hvilke vinkler kaldes indre krydsliggende?
Svar. Vinkelpar, der dannes, når linjerne AB og CD skærer hinanden med sekant AC, har specielle navne.
Hvis punkterne B og D ligger i samme halvplan i forhold til den rette linie AC, så kaldes vinklerne BAC og DCA for ensidige indre vinkler (fig. 71, a).
Hvis punkterne B og D ligger i forskellige halvplaner i forhold til den rette linie AC, så kaldes vinklerne BAC og DCA indre tværliggende vinkler (fig. 71, b).
Ris. 71
Spørgsmål 3. Bevis, at hvis de indre vinkler i et par er ens, så er de indre vinkler i det andet par også ens, og summen af de indre vinkler af hvert par er 180°.
Svar. Sekanten AC danner med de rette linjer AB og CD to par indvendige ensidede vinkler og to par indre tværliggende vinkler. De indre tværgående vinkler af et par, for eksempel vinkel 1 og hjørne 2, støder op til de indre tværgående vinkler af et andet par: vinkel 3 og vinkel 4 (fig. 72).
Ris. 72
Derfor, hvis de indre vinkler af et par er kongruente, så er de indre vinkler af det andet par også ens.
Et par indvendige tværliggende vinkler, for eksempel vinkel 1 og vinkel 2, og et par indvendige ensidede vinkler, for eksempel vinkel 2 og vinkel 3, har en vinkel til fælles - vinkel 2, og to andre vinkler støder op til hinanden : vinkel 1 og vinkel 3.
Derfor, hvis indre tværgående vinkler er ens, så summen indvendige hjørner lig med 180°. Og omvendt: hvis summen af indre skærende vinkler er lig med 180°, så er skærende indre vinkler ens. Q.E.D.
Spørgsmål 4. Bevis en test for parallelle linjer.
Svar. Sætning 4.2 (test for parallelle linjer). Hvis indre tværgående vinkler er ens, eller summen af indre ensidede vinkler er lig med 180°, så er linjerne parallelle.
Bevis. Lad de rette linjer a og b danne ens indre tværgående vinkler med sekanten AB (fig. 73, a). Lad os sige, at linjerne a og b ikke er parallelle, hvilket betyder, at de skærer hinanden på et tidspunkt C (fig. 73, b).
Ris. 73
Sekanten AB deler planet i to halvplaner. En af dem indeholder punkt C. Lad os konstruere en trekant BAC 1, lig med en trekant ABC, med toppunkt C 1 i et andet halvplan. Ved betingelse er indre tværgående vinkler for parallelle a, b og sekanten AB ens. Da de tilsvarende vinkler trekanter ABC og BAC 1 med toppunkter A og B er lige store, så falder de sammen med indre tværgående vinkler. Det betyder, at linje AC 1 falder sammen med linje a, og linje BC 1 falder sammen med linje b. Det viser sig, at to forskellige rette linjer a og b går gennem punkterne C og C 1. Og dette er umuligt. Det betyder, at linjerne a og b er parallelle.
Hvis linjerne a og b og den tværgående AB har summen af de indre ensidige vinkler lig med 180°, så er, som vi ved, de indre vinkler, der ligger på tværs, lige store. Dette betyder, ifølge hvad der blev bevist ovenfor, linje a og b er parallelle. Sætningen er bevist.
Spørgsmål 5. Forklar hvilke vinkler der kaldes tilsvarende vinkler. Bevis, at hvis indre tværgående vinkler er ens, så er de tilsvarende vinkler også ens, og omvendt.
Svar. Hvis for et par indre tværgående vinkler en vinkel erstattes af en lodret, så får vi et par vinkler, der kaldes de tilsvarende vinkler af disse linjer med en tværgående. Hvilket var det, der skulle forklares.
Fra ligheden af indvendige vinkler, der ligger på tværs, følger ligheden af de tilsvarende vinkler, og omvendt. Lad os sige, at vi har to parallelle linjer (da indvendige vinkler, der ligger på tværs af hinanden, er ens) og en tværgående linjer, som danner vinklerne 1, 2, 3. Vinkler 1 og 2 er ens som indre vinkler, der ligger hen over hinanden. Og vinkler 2 og 3 er lige så lodrette. Vi får: \(\vinkel\)1 = \(\vinkel\)2 og \(\vinkel\)2 = \(\vinkel\)3. Af lighedstegnets transitivitetsegenskab følger det, at \(\vinkel\)1 = \(\vinkel\)3. Det omvendte udsagn kan bevises på lignende måde.
Heraf får vi tegnet på, at rette linjer er parallelle i de tilsvarende vinkler. Nemlig: rette linjer er parallelle, hvis de tilsvarende vinkler er lige store. Q.E.D.
Spørgsmål 6. Bevis, at du gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, kan tegne en linje parallelt med det. Hvor mange linjer parallelle med en given linje kan trækkes gennem et punkt, der ikke ligger på denne linje?
Svar. Problem (8). Givet en linje AB og et punkt C, der ikke ligger på denne linje. Bevis, at du gennem punkt C kan tegne en linje parallelt med linje AB.
Løsning. Linjen AC deler planet i to halvplaner (fig. 75). Punkt B ligger i en af dem. Lad os tilføje vinkel ACD fra halvlinien CA til et andet halvplan, lig med vinkel CAB. Så vil linjerne AB og CD være parallelle. Faktisk ligger de indre vinkler BAC og DCA på kryds og tværs for disse linjer og sekant AC. Og da de er ens, er linjerne AB og CD parallelle. Q.E.D.
Ved at sammenligne udsagnet af opgave 8 og Axiom IX (hovedegenskaben ved parallelle linjer), kommer vi frem til vigtig konklusion: gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, kan du tegne en linje parallelt med den, og kun én.
Spørgsmål 7. Bevis, at hvis to linjer skæres af en tredje linje, så er de skærende indre vinkler ens, og summen af de indre ensidige vinkler er 180°.
Svar. Sætning 4.3(det modsatte af sætning 4.2). Hvis to parallelle linjer skærer en tredje linje, så er de skærende indre vinkler ens, og summen af de indre ensidede vinkler er 180°.
Bevis. Lad a og b være parallelle linjer, og c være en linje, der skærer dem i punkterne A og B. Lad os tegne en linje a 1 gennem punkt A, så de indre tværgående vinkler dannet af det tværgående c med linjerne a 1 og b er lige store (Fig. 76).
Ifølge princippet om linjers parallelitet er linjerne a 1 og b parallelle. Og da kun én linje går gennem punkt A, parallelt med linje b, så falder linje a sammen med linje a 1.
Det betyder, at indre tværgående vinkler dannet af en tværgående med
parallelle linjer a og b er lige store. Sætningen er bevist.
Spørgsmål 8. Bevis at to linjer vinkelret på en tredje er parallelle. Hvis en linje er vinkelret på en af to parallelle linjer, så er den også vinkelret på den anden.
Svar. Af sætning 4.2 følger, at to linjer vinkelret på en tredje er parallelle.
Antag, at to linjer er vinkelrette på en tredje linje. Det betyder, at disse linjer skærer den tredje linje i en vinkel lig med 90°.
Af egenskaben for vinkler dannet, når parallelle linjer skærer en tværgående linje, følger det, at hvis en linje er vinkelret på en af de parallelle linjer, så er den også vinkelret på den anden.
Spørgsmål 9. Bevis at summen af vinklerne i en trekant er 180°.
Svar. Sætning 4.4. Summen af vinklerne i en trekant er 180°.
Bevis. Lad ABC være givet trekant. Lad os tegne en linje gennem toppunktet B parallelt med linjen AC. Lad os markere punkt D på den, så punkt A og D ligger langs forskellige sider fra lige linje BC (Fig. 78).
Vinklerne DBC og ACB er kongruente som indre krydsliggende vinkler dannet af den tværgående BC med parallelle linjer AC og BD. Derfor er summen af vinklerne i en trekant ved hjørnerne B og C lig med vinkel ABD.
Og summen af alt tre hjørner af en trekant er lig med summen af vinklerne ABD og BAC. Da disse er ensidige indvendige vinkler for parallelle AC og BD og sekant AB, er deres sum 180°. Sætningen er bevist.
Spørgsmål 10. Bevis at enhver trekant har mindst to spidse vinkler.
Svar. Lad os faktisk antage, at trekanten kun har én spids vinkel eller slet ingen skarpe hjørner. Så har denne trekant to vinkler, som hver er mindst 90°. Summen af disse to vinkler er ikke mindre end 180°. Men dette er umuligt, da summen af alle vinklerne i en trekant er 180°. Q.E.D.
Egenskaber ved parallelle linjer
Parallelle linjer
Ved hjælp af denne videolektion kan du selvstændigt studere emnet "Egenskaber af parallelle linjer." I løbet af det bliver du nødt til at parallelle linjer, overveje deres egenskaber og også formulere et af de vigtigste aksiomer for geometri.
Definition:
To linjer i et plan kaldes parallel, hvis de ikke skærer hinanden (fig. 1). Det er betegnet som følger: .
Ris. 1
Gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, passerer kun én linje parallel med den givne linje (fig. 2) .
Ris. 2
Følge1:
Hvis en linje skærer en af de parallelle linjer, så skærer den også den anden.
Ris. 3
Givet:
.
Bevise:.
Bevis:
Vi vil bevise det ved modsigelse. Lad os lade som om Med skærer ikke linjen b(Fig. 4).
Ris. 4
Derefter: (efter betingelse), (ved antagelse). Altså gennem pointen M der er to lige linjer ( EN Og c), parallelt med linjen b. Og dette er i modstrid med aksiomet. Det betyder, at vores antagelse er forkert. Så lige c vil krydse stregen b.
Konsekvens 2:
Hvis to linjer er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle(Fig. 5) .
Ris. 5
Givet:.
Bevise:.
Bevis:
Vi vil bevise det ved modsigelse. Lad os antage, at lige linjer -en Og b krydser hinanden på et tidspunkt M(Fig. 6).
Ris. 6
Således opnår vi en modsigelse med aksiomet: gennem punktet M to linjer passerer samtidigt parallelt med en tredje linje.
Derfor er vores antagelse forkert. Derefter .
Sætning 1:
Hvis to linjer skæres af en tværgående, så er de skærende vinkler ens(Fig. 7).
Ris. 7
Givet:.
Bevise:.
Bevis:
Vi vil bevise det ved modsigelse. Lad os lade som om: .
Så fra strålen MN du kan lægge det eneste hjørne til side ∠ PMN, som vil være lige ∠ 2 ( Ris. 7). Men derefter ∠ PMN Og ∠ 2 - liggende på kryds og tværs. Så lige OM EFTERMIDDAGEN. Og b- parallel. Så gennem punktet M Der er to lige linjer parallelt med den tredje. Nemlig:
Vi opnår en modsigelse med aksiomet. Det betyder, at vores antagelse er forkert. Det er: .
Følge:
Hvis en linje er vinkelret på en af de parallelle linjer, så er den også vinkelret på den anden.
Ris. 8
Givet:
Bevise:
Bevis:
1. Med krydser EN, og skærer derfor linjen parallelt med den, dvs b. Derefter Med- sekant i forhold til EN Og b.
2. fordi de ligger på kryds og tværs. Derefter . Det er .
Sætning 2:
Hvis to parallelle linjer skæres af en transversal, så er de tilsvarende vinkler ens.
Ris. 9
Givet:- sekant.
Bevise:(Fig. 9).
Bevis:
Hvis , så af den foregående sætning følger det, at tværgående vinkler er lige store. Det er .
Så ved egenskaben af lodrette vinkler, .
Det betyder, at det er det, der skulle bevises.
Tegn på parallelitet af to linjer
Sætning 1. Hvis, når to linjer skærer en sekant:
krydsede vinkler er ens, eller
tilsvarende vinkler er ens, eller
summen af ensidede vinkler er altså 180°
linjer er parallelle(Fig. 1).
Bevis. Vi begrænser os til at bevise sag 1.
Lad de skærende linjer a og b være på tværs og vinklerne AB være lige store. For eksempel, ∠ 4 = ∠ 6. Lad os bevise, at en || b.
Antag, at linjerne a og b ikke er parallelle. Så skærer de hinanden på et tidspunkt M, og derfor vil en af vinklerne 4 eller 6 være den ydre vinkel på trekanten ABM. Lad ∠ 4 være den ydre vinkel på trekanten ABM for bestemthed og ∠ 6 den indre vinkel. Fra sætningen om udvendig vinkel trekant følger det, at ∠ 4 er større end ∠ 6, og det modsiger betingelsen, som betyder, at linjerne a og 6 ikke kan skære hinanden, så de er parallelle.
Konsekvens 1. To forskellige linjer i et plan vinkelret på den samme linje er parallelle(Fig. 2).
Kommentar. Den måde, vi netop har bevist tilfælde 1 af sætning 1, kaldes metoden til bevis ved modsigelse eller reduktion til absurditet. Denne metode fik sit fornavn, fordi der i begyndelsen af argumentationen laves en antagelse, der er i modstrid (modsat) af det, der skal bevises. Det kaldes at føre til absurditet på grund af det faktum, at vi ræsonnerer ud fra den antagelse, vi har gjort, kommer til en absurd konklusion (til det absurde). At modtage en sådan konklusion tvinger os til at afvise antagelsen fra begyndelsen og acceptere den, der skulle bevises.
Opgave 1. Konstruer en linje, der går igennem dette punkt M og parallelt med en given linje a, der ikke går gennem punktet M.
Løsning. Vi tegner en ret linje p gennem punktet M vinkelret på den rette linje a (fig. 3).
Så trækker vi en linje b gennem punkt M vinkelret på linjen p. Linje b er parallel med linje a ifølge konsekvensen af sætning 1.
En vigtig konklusion følger af det overvejede problem:
gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, er det altid muligt at tegne en linje parallelt med den givne.
Hovedegenskaben ved parallelle linjer er som følger.
Aksiom for parallelle linjer. Gennem et givet punkt, der ikke ligger på en given linje, går der kun én linje parallelt med den givne.
Lad os overveje nogle egenskaber ved parallelle linjer, der følger af dette aksiom.
1) Hvis en linje skærer en af to parallelle linjer, så skærer den også den anden (fig. 4).
2) Hvis to forskellige linjer er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle (fig. 5).
Følgende sætning er også sand.
Sætning 2. Hvis to parallelle linjer skæres af en transversal, så:
tværgående vinkler er lige store;
tilsvarende vinkler er ens;
summen af ensidede vinkler er 180°.
Konsekvens 2. Hvis en linje er vinkelret på en af to parallelle linjer, så er den også vinkelret på den anden(se fig. 2).
Kommentar. Sætning 2 kaldes det omvendte af sætning 1. Konklusionen af sætning 1 er betingelsen i sætning 2. Og betingelsen i sætning 1 er konklusionen af sætning 2. Ikke alle sætninger har en invers, dvs. denne sætning er sandt, så er den omvendte sætning muligvis ikke sand.
Lad os forklare dette ved at bruge eksemplet med sætningen om lodrette hjørner. Denne sætning kan formuleres som følger: Hvis to vinkler er lodrette, så er de lige store. Den omvendte sætning ville være: Hvis to vinkler er lige store, så er de lodrette. Og dette er selvfølgelig ikke sandt. To lige store vinkler behøver slet ikke at være lodret.
Eksempel 1. To parallelle linjer krydses af en tredje. Det er kendt, at forskellen mellem to indvendige ensidede vinkler er 30°. Find disse vinkler.
Løsning. Lad figur 6 opfylde betingelsen.
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at oplyse din personlig information hver gang du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål såsom revision, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, V forsøg, og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.