Изчислете обема на топката въз основа на нейния диаметър. Фигура топка в геометрията

Топката и сферата са предимно геометрични фигури и ако топката е геометрично тяло, тогава сфера е повърхността на топка. Тези цифри са представлявали интерес преди много хиляди години пр.н.е.

Впоследствие, когато се установи, че Земята е сфера, а небето е небесна сфера, се разви ново вълнуващо направление в геометрията - геометрия върху сфера или сферична геометрия. За да говорим за размера и обема на една топка, първо трябва да я дефинирате.

Топка

Топка с радиус R с център в точка O в геометрията е тяло, което е създадено от всички точки в пространството, имащи обща собственост. Тези точки са разположени на разстояние, което не надвишава радиуса на топката, т.е. те запълват цялото пространство, по-малко от радиуса на топката във всички посоки от нейния център. Ако разгледаме само тези точки, които са на еднакво разстояние от центъра на топката, ще разгледаме нейната повърхност или обвивката на топката.

Как мога да взема топката? Можем да изрежем кръг от хартия и да започнем да го въртим около собствения му диаметър. Тоест диаметърът на кръга ще бъде оста на въртене. Образована фигура- ще има бал. Следователно топката се нарича още тяло на въртене. Тъй като може да се образува чрез ротация плоска фигура- кръг.

Нека вземем някакъв самолет и да разрежем нашата топка с него. Точно както режем портокал с нож. Парчето, което отрязваме от топката, се нарича сферичен сегмент.

IN Древна Гърцияте знаеха как не само да работят с топка и сфера, както с геометрични фигури, например, да ги използват в строителството, но също така знаеха как да изчислят повърхността на топката и обема на топката.

Сфера е другото име за повърхността на топката. Сферата не е тяло - тя е повърхността на въртеливото тяло. Но тъй като както Земята, така и много тела имат сферична форма, например капка вода, изучаването на геометричните отношения вътре в сферата стана широко разпространено.

Например, ако свържем две точки от една сфера една с друга с права линия, тогава тази права линия ще се нарича хорда и ако това акордът ще минепрез центъра на сферата, който съвпада с центъра на топката, тогава хордата се нарича диаметър на сферата.

Ако начертаем права линия, която докосва сферата само в една точка, тогава тази линия ще се нарича допирателна. В допълнение, тази допирателна към сферата в тази точка ще бъде перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт.

Ако разширим хордата до права линия в едната или другата посока от сферата, тогава тази хорда ще се нарича секанс. Или можем да го кажем по друг начин - секущата на сферата съдържа нейната хорда.

Обем на топката

Формулата за изчисляване на обема на една топка е:

където R е радиусът на топката.

Ако трябва да намерите обема на сферичен сегмент, използвайте формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е височината на сферичния сегмент.

Площ на повърхността на топка или сфера

За да изчислите площта на сфера или повърхността на топка (те са едно и също нещо):

където R е радиусът на сферата.

Архимед много обичаше топката и сферата, той дори поиска да остави рисунка на гробницата му, в която топка беше вписана в цилиндър. Архимед вярва, че обемът на сферата и нейната повърхност са равни на две трети от обема и повърхността на цилиндъра, в който е вписана сферата.

Топката е геометрично въртящо се тяло, образувано от въртене на кръг или полукръг около неговия диаметър. Освен това топката е пространство, ограничено от сферична повърхност. Има много реални сферични обекти и свързани с тях проблеми, които изискват определяне на обема на сфера.

Топка и сфера

Кръгът е най-древната геометрична фигура и древните учени са му придавали сакрално значение. Кръгът е символ на безкрайното време и пространство, символ на Вселената и съществуването. Според Питагор кръгът е най-красивата фигура. IN триизмерно пространствокръгът се превръща в сфера, идеална, космическа и красива като кръга.

Сфера означава "топка" на старогръцки. Сферата е образувана повърхност безкраен бройточки на еднакво разстояние от центъра на фигурата. пространство, ограничено до сферата, и има топка. Топката е идеална геометрична фигура, чиято форма може да бъде приета от мнозина реални обекти. Например в реалния животгюлетата, лагерите или сачмите имат формата на топка, в природата - капки вода, корони на дървета или плодове, в космоса - звезди, метеори или планети.

Обем на топката

Определяне на обема на сферична фигура - трудна задача, тъй като такова геометрично тяло не може да се раздели на кубчета или триъгълни призми, чиито обемни формули вече са известни. Съвременна наукави позволява да изчислите обема на сфера, като използвате определен интеграл, но как е изведена формулата за обем в Древна Гърция, когато никой не е чувал за интеграли? Архимед изчислява обема на сфера с помощта на конус и цилиндър, тъй като формулите за обемите на тези фигури вече са били определени от древногръцкия философ и математик Демокрит.

Архимед изобразява половин сфера с помощта на еднакви конуси и цилиндри, като радиусът на всяка фигура е равен на нейната височина R = h. Древният учен си представя конус и цилиндър, разбити навътре безкраен броймалки цилиндри. Архимед разбра, че ако извади обема на конуса Vk от обема на цилиндъра Vc, той получава обема на едно полукълбо Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Обемът на конуса се изчислява по проста формула:

Vk = 1/3 × So × h,

но знаейки, че така в този случайе площта на кръга и h = R, тогава формулата се трансформира в:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Обемът на цилиндъра се изчислява по формулата:

Vc = pi × R 2 × h,

но ако приемем, че височината на цилиндъра е равна на неговия радиус, получаваме:

Vc = pi × R 3 .

Използвайки тези формули, Архимед получава:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 или Vsh = 4/3 pi × R 3

Съвременната дефиниция на формулата за обем на топка се извлича от интеграла на площта на сферичната повърхност, но резултатът остава същият

Vsh = 4/3 pi × R 3

Изчисляването на обема на топка може да е необходимо както в реалния живот, така и при решаване на абстрактни проблеми. За да изчислите обема на сфера с помощта на онлайн калкулатор, ще трябва да знаете само един параметър, от който да избирате: диаметърът или радиусът на сферата. Нека да разгледаме няколко примера.

Примери от живота

Гюлета

Да приемем, че искате да знаете колко чугун е необходим, за да отлеете гюле с калибър шест фута. Знаете, че диаметърът на такова ядро ​​е 9,6 сантиметра. Въведете това число в клетката „Диаметър“ на калкулатора и ще получите отговора като

По този начин, за да натопите гюле от даден калибър, ще ви трябват 463 кубически сантиметра или 0,463 литра чугун.

Балони

Нека бъдете любопитни колко въздух е необходим за изпомпване балон с горещ въздухидеална сферична форма. Знаете, че радиусът на избраната топка е 10 см. Въведете тази стойност в клетката на калкулатора „Радиус“ и ще получите резултата

Това означава, че за надуването на един такъв балон ще ви трябват 4188 кубически сантиметра или 4,18 литра въздух.

Заключение

Необходимостта от определяне на обема на една топка може да възникне най-често различни ситуации: от абстр училищни задачиза научни изследвания и производствени въпроси. За да разрешите въпроси с всякаква сложност, използвайте нашия онлайн калкулатор, който незабавно ще ви представи точния резултат и необходимите математически изчисления.

ТопкаТова е геометрично тяло, образувано в резултат на въртенето на полукръг по оста на неговия диаметър.

Изчислете обема на топката

Обем на топкатаможе да се изчисли по формулата:

R – радиус на топката

V – обем на топката

Намерете обема на сфера с радиус от сантиметри.

За да се изчисли обемът на една топка, се използва следната формула:

където е необходимият обем на топката, – , е радиусът.

По този начин, с радиус от сантиметри, обемът на топката е равен на:

V

3,14×103

= 4186,7

кубически сантиметри.

В геометрията топкасе определя като определено тяло, което е съвкупност от всички точки в пространството, които се намират от центъра на разстояние не повече от дадено, наречено радиус на топката.

Повърхността на топката се нарича сфера, а самата топка се образува чрез въртене на полукръг около диаметъра си, оставайки неподвижна.

Това геометрично тяло често се среща от инженери-проектанти и архитекти, на които често им се налага изчисляване на обема на сфера. Например, в конструкцията на предното окачване на по-голямата част от съвременните автомобили се използват така наречените сферични шарнири, в които, както лесно можете да се досетите от самото име, топките са един от основните елементи.

С тяхна помощ са свързани главините на управляваните колела и лостовете. За това колко правилно ще бъде изчисленотехният обем до голяма степен зависи не само от издръжливостта на тези единици и правилната им работа, но и от безопасността на движението.

В технологиите най-широко разпространениеполучи такива части като сачмени лагери, с помощта на които осите се закрепват в неподвижните части на различни компоненти и възли и се осигурява тяхното въртене.

Трябва да се отбележи, че когато ги изчисляват, дизайнерите трябва да намерят обема на топката (или по-скоро топките, поставени в клетката) с висока степенточност. Що се отнася до производството на метални топки за лагери, те са направени от метална тел с помощта на комплекс технологичен процес, което включва етапите на формоване, закаляване, грубо шлайфане, окончателно шлайфане и почистване.

Между другото, тези топки, които са включени в дизайна на всички химикалки, са произведени по абсолютно същата технология.

Доста често топките се използват в архитектурата, където най-често са декоративни елементи на сгради и други конструкции.

В повечето случаи те са изработени от гранит, което често изисква високи разходи ръчен труд. Разбира се, съобразете се с това висока точностпроизводството на тези топки, като тези, използвани в различни възли и механизми, не се изисква.

Такава интересна и популярна игра като билярд е немислима без топки. За производството им се използват различни материали(кост, камък, метал, пластмаса) и се използват различни технологични процеси.

Едно от основните изисквания към билярдните топки е тяхната висока якост и способност да издържат на големи механични натоварвания (предимно удар). Освен това повърхността им трябва да бъде точна сфера, за да се осигури гладко и равномерно търкаляне по повърхността на билярдните маси.

И накрая, нито едно новогодишно или коледно дърво не може без такива геометрични тела като топки. Тези декорации се изработват в повечето случаи от стъкло по метода на издухване и по време на производството им най-голямо вниманиеФокусът не е върху точността на размерите, а върху естетиката на продуктите.

Технологичният процес е почти напълно автоматизиран и коледните топки се опаковат само ръчно.

Сферата е едно от най-простите геометрични тела, в което всички точки от повърхността й са на еднакво разстояние от центъра на изображението. Разстоянието от центъра на сферата до всяка точка от нейната повърхност се нарича радиус.

Обем на топката

Диаметърът на топката се нарича два пъти радиуса.

Как да намерите обема на сфера около нейния радиус

Ако знаем радиуса на една сфера, можем лесно да изчислим нейната величина. За да направите това, умножете куба по радиуса и четворното число Pi, след което резултатът ще бъде разделен на три. Формулата за определяне на обема на топка въз основа на нейния радиус е както следва: .
За тези, които са забравили, помним, че Пи е фиксирана стойност и е равно на 3,14.

Как да намерите обема на сфера по диаметър

Ако диаметърът на сферата е известен от условията на задачата, нейният обем се изчислява с помощта на следната формула: , т.е.

числото Pi трябва да се умножи по диаметъра на диаметъра, след което резултатът се разделя на 6.

Как да определим масата на топка

Телесното тегло е физическо количество, което показва степента на неговата инертност. Тегло физическо тялозависи от обема на заеманото пространство и плътността на материала, от който е сглобен. Обем на тялото правилна форма(да кажем победи) не е трудно да се изчисли и ако материалът, от който е направен, също е известен, в насипно състояниепозволено е да бъде много примитивно.

инструкции

първиВъведете сумата победи .

Как да изчислим обема на топка

За да направите това, достатъчно е да знаете един от вашите параметри - радиус, диаметър, повърхност и т.н. Кажете ми дали знаете диаметъра победи(d), неговият обем (V) може да се определи като една шеста от продукт с диаметър, издигащ се в куб с числото Pi: ​​V = π * d? / 6. През радиуса победи(r) обемът се изразява като една трета от произведението на Pi, което се учетворява с радиуса, поставен в куба: V = 4 * π * r? / 3.

второброй в насипно състояниепобеди(m), умножете неговия обем с великолепната плътност на материята (p): m = p * V.

Ако това е материалът победине е хомогенен, тогава трябва да вземем средна плътност. В тази формула заместваме обема победичрез известните му параметри, е позволено да се вземе съгл известен диаметър победиформула m = p * π * d? / 6 и за главния радиус m = p * 4 * π * r? / 3.

третиИзползвайте за изчисления, например, типичен калкулатор софтуер, който е включен в осн операционна система Windows, всяка силна версия, която се използва днес.

Най-лесният начин да започнете е като натиснете win + r, за да отворите типичния диалог за стартиране на програмата, след това въведете командата calc и щракнете върху OK.

В менюто "Калкулатор" разгънете секцията "Изглед" и изберете реда "Инженер" или "Учен" (в зависимост от версията на операционната система, която използвате) - интерфейсът на този режим има бутон за въвеждане на числото Pi с единица щракнете. Операциите на умножение и деление в този калкулатор не трябва да повдигат въпроси, но се определят при изчисляване на масата победище има няколко бутона със символи x^2 и x^3.

ВИК ПРОЕКТИРАНЕ

Имейл: [имейл защитен]

Работно време: понеделник-пет от 9-00 до 18-00 (без обяд)

Изчисляване на обема на сфера с радиус или диаметър

Сферата е геометрично тяло, което е съвкупност от всички точки в пространството, разположени на определено разстояние от центъра.

Как да изчислим обема на топка

Основната математическа характеристика на топката е нейният радиус.

Номерът на топката е количествена характеристикатова число във Вселената.

Формула за изчисляване на обема на топка:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r е радиусът на сферата;
d е диаметърът на сферата.

Вижте и статията за всички геометрични форми(линейно 1D, плоско 2D и 3D 3D).

Тази страница е най-простият уеб калкулатор за изчисляване на обема на сфера по радиус или диаметър.

Радиусът на топка (означен като r или R) е сегментът, който свързва центъра на топката с всяка точка от нейната повърхност. Както при кръга, радиусът на топката е важно количество, необходимо за намиране на диаметъра, обиколката, повърхността и/или обема на топката. Но радиусът на топката може да се намери и чрез дадена стойностдиаметър, обиколка и други количества. Използвайте формула, в която можете да замените тези стойности.

стъпки

Формули за изчисляване на радиуса

Изчислете радиуса от диаметъра.Радиус равен на половинатадиаметър, така че използвайте формулата g = D/2. Това е същата формула, която се използва за изчисляване на радиуса и диаметъра на кръг.

• Например, дадена е топка с диаметър 16 cm: r = 16/2 8 см. Ако диаметърът е 42 см, тогава радиусът е 21 см (42/2=21).

1. Изчислете радиуса от обиколката.Използвайте формулата: r = C/2π. Тъй като обиколката на кръг е C = πD = 2πr, тогава разделете формулата за изчисляване на обиколката на 2π и получете формулата за намиране на радиуса.

   • Например, дадена топка с обиколка 20 cm е: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Същата формула се използва за изчисляване на радиуса и обиколката на кръг.

2. Изчислете радиуса от обема на сферата.Използвайте формулата: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Обемът на топката се изчислява по формулата V = (4/3)πr 3. Изолирайки r от едната страна на уравнението, получавате формулата ((V/π)(3/4)) 3 = r, тоест, за да изчислите радиуса, разделете обема на топката на π, умножете резултата по 3/4 и повдигнете получения резултат на степен 1/3 (или вземете кубичния корен).

   • Например, дадена е топка с обем 100 cm 3 . Радиусът на тази топка се изчислява, както следва:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см= r

3. Изчислете радиуса от повърхността.Използвайте формулата: g = √(A/(4 π)). Повърхността на топката се изчислява по формулата A = 4πr 2. Изолирайки r от едната страна на уравнението, получавате формулата √(A/(4π)) = r, тоест, за да изчислите радиуса, трябва да извлечете корен квадратенот площта на повърхността, разделена на 4π. Вместо да се взема корен, изразът (A/(4π)) може да бъде повдигнат на степен 1/2.

   • Например, дадена сфера с повърхностна площ от 1200 cm 3. Радиусът на тази топка се изчислява, както следва:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см= r

   Определяне на базисни величини

   1. Запомнете основните величини, които са от значение за изчисляване на радиуса на топка.Радиусът на топката е сегментът, който свързва центъра на топката с която и да е точка от нейната повърхност. Радиусът на топка може да се изчисли от дадени стойности на диаметър, обиколка, обем или повърхност.

      Използвайте стойностите на тези количества, за да намерите радиуса.Радиусът може да се изчисли от дадени стойности на диаметър, обиколка, обем и повърхност. Освен това посочените стойности могат да бъдат намерени от дадена стойност на радиуса. За да изчислите радиуса, просто преобразувайте формулите, за да намерите показаните стойности. По-долу са дадени формулите (които включват радиус) за изчисляване на диаметър, обиколка, обем и повърхност.

   Намиране на радиуса от разстоянието между две точки

   1. Намерете координатите (x,y,z) на центъра на топката.Радиус на топката равно на разстояниетомежду неговия център и която и да е точка, разположена на повърхността на топката. Ако координатите на центъра на топката и всяка точка, разположена на нейната повърхност, са известни, можете да намерите радиуса на топката, като използвате специална формула, като изчислите разстоянието между две точки. Първо намерете координатите на центъра на топката. Имайте предвид, че тъй като топката е триизмерна фигура, тогава точката ще има три координати (x, y, z), а не две (x, y).

      • Нека разгледаме един пример. Дадена е топка с централни координати (4,-1,12) . Използвайте тези координати, за да намерите радиуса на топката.

   2. Намерете координатите на точка, разположена върху повърхността на топката.Сега трябва да намерим координатите (x,y,z) всякаквиточка, лежаща на повърхността на топката. Тъй като всички точки, лежащи на повърхността на топката, са разположени на еднакво разстояние от центъра на топката, можете да изберете всяка точка, за да изчислите радиуса на топката.

      • В нашия пример нека приемем, че някаква точка, разположена на повърхността на топката, има координати (3,3,0) . Като изчислите разстоянието между тази точка и центъра на топката, ще намерите радиуса.

   3. Изчислете радиуса по формулата d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).След като откриете координатите на центъра на топката и точка, лежаща на нейната повърхност, можете да намерите разстоянието между тях, което е равно на радиуса на топката. Разстоянието между две точки се изчислява по формулата d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), където d е разстоянието между точките , (x 1, y 1 ,z 1) – координати на центъра на топката, (x 2 , y 2 , z 2) – координати на точка, лежаща на повърхността на топката.

      • В разглеждания пример вместо (x 1 ,y 1 ,z 1) заменете (4,-1,12), а вместо (x 2 ,y 2 ,z 2) заменете (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Това е желаният радиус на топката.

   4. Имайте предвид, че в общи случаи r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Всички точки, лежащи на повърхността на топката, са разположени на еднакво разстояние от центъра на топката. Ако във формулата за намиране на разстоянието между две точки „d“ се замени с „r“, ще получите формула за изчисляване на радиуса на топката от известните координати (x 1,y 1,z 1) на центъра на топката и координатите (x 2,y 2,z 2 ) на всяка точка, разположена върху повърхността на топката.

      • Повдигнете на квадрат двете страни на това уравнение и ще получите r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Обърнете внимание, че това уравнение съответства на уравнението на сфера r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с център в координати (0,0,0).
   • Не забравяйте за реда на изпълнение математически операции. Ако не помните този ред и вашият калкулатор може да работи със скоби, използвайте ги.
   • Тази статия говори за изчисляване на радиуса на топка. Но ако имате проблеми с изучаването на геометрията, най-добре е да започнете с изчисляване на количествата, свързани с топка, като използвате известна стойнострадиус.
   • π (Pi) е буква от гръцката азбука, която обозначава константа, равно на отношениетодиаметър на кръг към неговата обиколка. Пи е ирационално число, което не се записва като отношение реални числа. Има много приближения, например съотношението 333/106 ще ви позволи да намерите Пи с точност до четири цифри след десетична точка. Като правило те използват приблизителна стойностПи, което е 3,14.

Преди да започнете да изучавате концепцията за топка, какъв е обемът на топката и да разгледате формулите за изчисляване на нейните параметри, трябва да запомните концепцията за кръг, изучавана по-рано в курса по геометрия. В края на краищата, повечето действия в триизмерното пространство са подобни или следват от двуизмерната геометрия, коригирана за появата на трета координата и трета степен.

Какво е кръг?

Кръгът е фигура в декартова равнина (показана на фигура 1); най-често срещаното определение е „ локусвсички точки на равнината, разстоянието от които до дадена точка(център) не надвишава определена неотрицателно число, наречен радиус."

Както можем да видим от фигурата, точка O е центърът на фигурата и множеството от абсолютно всички точки, които запълват кръга, например A, B, C, K, E, не са по-нататък даден радиус(не излизайте извън кръга, показан на фиг. 2).

Ако радиус равно на нула, тогава кръгът се превръща в точка.

Проблеми с разбирането

Студентите често бъркат тези понятия. Лесно е да се запомни с аналогия. Обръчът, който децата въртят в клас физическа култура, - кръг. Като разбират това или си спомнят, че първите букви и на двете думи са „О“, децата ще разберат мнемонично разликата.

Въвеждане на понятието "топка"

Топката е тяло (фиг. 3), ограничено от определена сферична повърхност. Какво е „сферична повърхност“ ще стане ясно от нейната дефиниция: това е геометричното място на всички точки на повърхността, разстоянието от което до дадена точка (център) не надвишава определено неотрицателно число, наречено радиус. Както можете да видите, концепциите за кръг и сферична повърхност са сходни, различават се само пространствата, в които се намират. Ако изобразим топка в двумерно пространство, получаваме окръжност, чиято граница е окръжност (границата на топката е сферична повърхност). На фигурата виждаме сферична повърхност с радиуси OA = OB.

Топка затворена и отворена

Във векторните и метричните пространства се разглеждат и две концепции, свързани със сферичната повърхност. Ако топката включва тази сфера, тогава тя се нарича затворена, но ако не, тогава топката е отворена. Това са по-„напреднали“ понятия; те се изучават в институтите като част от въведението им в анализа. За един прост дори домакинска употребаФормулите, които се изучават в курса по стереометрия за 10-11 клас, ще бъдат достатъчни. Това са тези, които са достъпни за почти всеки средностатистически човек. образован човекконцепциите ще бъдат обсъдени допълнително.

Концепции, които трябва да знаете за следните изчисления

Радиус и диаметър.

Радиусът на топката и нейният диаметър се определят по същия начин, както при окръжност.

Радиусът е сегмент, свързващ всяка точка от границата на топката и точката, която е центърът на топката.

Диаметърът е сегмент, свързващ две точки от границата на топката и минаващ през нейния център. Фигура 5а ясно показва кои сегменти са радиусите на топката, а Фигура 5b показва диаметрите на сферата (сегменти, минаващи през точка O).

Раздели в сфера (топка)

Всеки участък от сфера е кръг. Ако минава през центъра на топката, тя се нарича голяма окръжност (окръжност с диаметър AB), останалите секции се наричат ​​малки окръжности (окръжност с диаметър DC).

Площта на тези кръгове се изчислява по следните формули:

Тук S е обозначението за площ, R за радиус, D за диаметър. Има и константа, равна на 3,14. Но не бъркайте това за изчисляване на площта голям кръгте използват радиуса или диаметъра на самата топка (сфера), а за определяне на площта са необходими размерите на радиуса на малкия кръг.

Могат да бъдат начертани безкраен брой такива сечения, които минават през две точки с еднакъв диаметър, разположени на границата на топката. Като пример нашата планета: две точки на север и Южни полюси, които са краищата земната ос, и в геометричен смисъл- краищата на диаметъра и меридианите, които минават през тези две точки (Фигура 7). Тоест числото големи кръговечислото на една сфера клони към безкрайност.

Топкови части

Ако отрежете „парче“ от сферата с помощта на определена равнина (Фигура 8), то ще се нарече сферичен или сферичен сегмент. Тя ще има височина - перпендикулярна от центъра на режещата равнина към сферичната повърхност O 1 K. Точката K на сферичната повърхност, в която идва височината, се нарича връх сферичен сегмент. И малък кръг с радиус O 1 T (в този случай, според фигурата, равнината не минава през центъра на сферата, но ако сечението минава през центъра, тогава кръгът на напречното сечение ще бъде голям), образуван чрез отрязване на сферичния сегмент, ще се нарича основата на нашето парче топка - сферичен сегмент.

Ако свържем всяка базова точка на сферичен сегмент с центъра на сферата, получаваме фигура, наречена „сферичен сектор“.

Ако две равнини преминават през сфера и са успоредни една на друга, тогава тази част от сферата, която е затворена между тях, се нарича сферичен слой (Фигура 9, която показва сфера с две равнини и отделен сферичен слой).

Повърхността (маркираната част на фигура 9 вдясно) на тази част от сферата се нарича пояс (отново, за по-добро разбиране, може да се направи аналогия с земното кълбо, а именно с неговия климатични зони- арктически, тропически, умерен и т.н.), а кръговете на напречното сечение ще бъдат основите на сферичния слой. Височината на слоя е част от диаметъра, изчертан перпендикулярно на режещите равнини от центровете на основите. Съществува и концепцията за сферична сфера. Образува се, когато равнините, които са успоредни една на друга, не пресичат сферата, а я докосват в една точка всяка.

Формули за изчисляване на обема на топка и нейната повърхност

Топката се формира чрез въртене около фиксирания диаметър на полукръг или кръг. За изчисления различни параметритози обект няма да се нуждае от много данни.

Обемът на сфера, формулата за изчисляване на която е дадена по-горе, се извлича чрез интегриране. Нека да го разберем точка по точка.

Ние разглеждаме кръг в двумерна равнина, тъй като, както бе споменато по-горе, кръгът е в основата на конструкцията на топката. Използваме само четвъртата му част (Фигура 10).

Взимаме окръжност с единичен радиус и център в началото. Уравнението на такъв кръг е както следва: X 2 + Y 2 = R 2. Изразяваме Y от тук: Y 2 = R 2 - X 2.

Не забравяйте да отбележите, че получената функция е неотрицателна, непрекъсната и намаляваща на сегмента X (0; R), тъй като стойността на X в случая, когато разглеждаме четвърт от кръга, е от нула до стойността на радиус, тоест до едно.

Следващото нещо, което правим, е да завъртим нашата четвърт окръжност около оста х. В резултат на това получаваме полукълбо. За да определим неговия обем, ще прибегнем до интеграционни методи.

Тъй като това е обемът само на полукълбо, удвояваме резултата, от което намираме, че обемът на топката е равен на:

Малки нюанси

Ако трябва да изчислите обема на топка чрез нейния диаметър, не забравяйте, че радиусът е половината от диаметъра и заменете тази стойност в горната формула.

Също така формулата за обема на една топка може да бъде достигната чрез площта на нейната гранична повърхност - сферата. Нека си припомним, че площта на една сфера се изчислява по формулата S = 4πr 2, интегрирайки която също стигаме до горната формула за обема на една сфера. От същите формули можете да изразите радиуса, ако формулировката на проблема съдържа стойност на обема.