Как да намерите обема на сфера, ако диаметърът е известен. Формули за изчисляване на обема на топка и нейната повърхност

Топката и сферата са преди всичко геометрични фигури и ако топката е геометрично тяло, тогава сферата е повърхността на топката. Тези цифри са представлявали интерес преди много хиляди години пр.н.е.

Впоследствие, когато се установи, че Земята е сфера, а небето е небесна сфера, се разви ново вълнуващо направление в геометрията - геометрия върху сфера или сферична геометрия. За да говорим за размера и обема на една топка, първо трябва да я дефинирате.

Топка

Топка с радиус R с център в точка O в геометрията е тяло, което е създадено от всички точки в пространството, имащи обща собственост. Тези точки са разположени на разстояние, което не надвишава радиуса на топката, т.е. те запълват цялото пространство, по-малко от радиуса на топката във всички посоки от нейния център. Ако разгледаме само онези точки, които са на еднакво разстояние от центъра на топката, ще разгледаме нейната повърхност или обвивката на топката.

Как мога да взема топката? Можем да изрежем кръг от хартия и да започнем да го въртим около собствения му диаметър. Тоест диаметърът на кръга ще бъде оста на въртене. Образована фигура- ще има бал. Следователно топката се нарича още тяло на въртене. Тъй като може да се образува чрез завъртане на плоска фигура - кръг.

Нека вземем някакъв самолет и да разрежем нашата топка с него. Точно както режем портокал с нож. Парчето, което отрязваме от топката, се нарича сферичен сегмент.

IN Древна Гърцияте знаеха как не само да работят с топка и сфера, както с геометрични фигури, например, да ги използват в строителството, но също така знаеха как да изчислят повърхността на топката и обема на топката.

Сфера е другото име за повърхността на топката. Сферата не е тяло - тя е повърхността на въртящо се тяло. Въпреки това, тъй като както Земята, така и много тела имат сферична форма, например капка вода, изучаването на геометричните отношения в сферата стана широко разпространено.

Например, ако свържем две точки от една сфера една с друга с права линия, тогава тази права линия ще се нарича хорда и ако това акордът ще минепрез центъра на сферата, който съвпада с центъра на топката, тогава хордата се нарича диаметър на сферата.

Ако начертаем права линия, която докосва сферата само в една точка, тогава тази линия ще се нарича допирателна. В допълнение, тази допирателна към сферата в тази точка ще бъде перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт.

Ако разширим хордата до права линия в едната или другата посока от сферата, тогава тази хорда ще се нарича секанс. Или можем да го кажем по друг начин - секансът към сферата съдържа нейната хорда.

Обем на топката

Формулата за изчисляване на обема на една топка е:

където R е радиусът на топката.

Ако трябва да намерите обема на сферичен сегмент, използвайте формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е височината на сферичния сегмент.

Площ на повърхността на топка или сфера

За да изчислите площта на сфера или повърхността на топка (те са едно и също нещо):

където R е радиусът на сферата.

Архимед много обичаше топката и сферата, той дори поиска да остави рисунка на гробницата му, в която топка беше вписана в цилиндър. Архимед вярва, че обемът на топката и нейната повърхност са равни на две трети от обема и повърхността на цилиндъра, в който е вписана топката.

където V е изискваното обем на топката, π – 3.14, R – радиус.

По този начин, с радиус от 10 сантиметра обем на топкатае равно на:

V 3,14 × 10 3 = 4186,7

кубически сантиметри.

В геометрията топкасе определя като определено тяло, което е съвкупност от всички точки в пространството, които се намират от центъра на разстояние не повече от дадено, наречено радиус на топката. Повърхността на топката се нарича сфера, а самата топка се образува чрез въртене на полукръг около диаметъра си, оставайки неподвижна.

Инженерите и архитектите много често се сблъскват с това геометрично тяло, на които често им се налага изчисляване на обема на сфера. Например, в конструкцията на предното окачване на по-голямата част от съвременните автомобили се използват така наречените сферични шарнири, в които, както лесно можете да се досетите от самото име, топките са един от основните елементи. С тяхна помощ са свързани главините на управляваните колела и лостовете. За това колко правилно ще бъде изчисленотехният обем до голяма степен зависи не само от издръжливостта на тези агрегати и правилната им работа, но и от безопасността на движението.

В технологиите най-широко разпространениеполучи такива части като сачмени лагери, с помощта на които осите се закрепват в неподвижните части на различни компоненти и възли и се осигурява тяхното въртене. Трябва да се отбележи, че при изчисляването им дизайнерите се нуждаят намерете обема на сферата(или по-скоро топки, поставени в клетка) с висока степенточност. Що се отнася до производството на метални лагерни топки, те се произвеждат от метална тел чрез сложен процес, който включва етапите на формоване, втвърдяване, грубо шлайфане, довършване и почистване. Между другото, тези топки, които са включени в дизайна на всички химикалки, са произведени по абсолютно същата технология.

Доста често топките се използват в архитектурата, където най-често са декоративни елементи на сгради и други конструкции. В повечето случаи те са изработени от гранит, което често изисква високи разходи ръчен труд. Разбира се, съобразете се с това висока точностпроизводството на тези топки, като тези, използвани в различни възли и механизми, не се изисква.

Такава интересна и популярна игра като билярд е немислима без топки. За производството им се използват различни материали(кост, камък, метал, пластмаса) и се използват различни технологични процеси. Едно от основните изисквания към билярдните топки е тяхната висока якост и способност да издържат на високи механични натоварвания (предимно удар). Освен това повърхността им трябва да бъде точна сфера, за да се осигури гладко и равномерно търкаляне по повърхността на билярдните маси.

И накрая без такива геометрични тела, като топки, нито едно новогодишно или коледно дърво не е пълно. Тези декорации се изработват в повечето случаи от стъкло по метода на издухване и по време на производството им най-голямо вниманиеФокусът не е върху точността на размерите, а върху естетиката на продуктите. Технологичен процесВ същото време коледните топки са почти напълно автоматизирани и коледните топки се опаковат само ръчно.

Радиусът на топката (означен като r или R) е сегментът, който свързва центъра на топката с всяка точка от нейната повърхност. Както при кръга, радиусът на топката е важна величина, необходима за намиране на диаметъра, обиколката, повърхността и/или обема на топката. Но радиусът на топката може да се намери и чрез дадена стойностдиаметър, обиколка и други количества. Използвайте формула, в която можете да замените тези стойности.

стъпки

Формули за изчисляване на радиуса

    Изчислете радиуса от диаметъра.Радиус равен на половинатадиаметър, така че използвайте формулата g = D/2. Това е същата формула, която се използва за изчисляване на радиуса и диаметъра на кръг.

    • Например, дадена е топка с диаметър 16 cm: r = 16/2 8 см. Ако диаметърът е 42 см, тогава радиусът е 21 см (42/2=21).

  1. Изчислете радиуса от обиколката.Използвайте формулата: r = C/2π. Тъй като обиколката на кръг е C = πD = 2πr, тогава разделете формулата за изчисляване на обиколката на 2π и получете формулата за намиране на радиуса.

    • Например, дадена топка с обиколка 20 cm е: r = 20/2π = 3,183 cm.
    • Същата формула се използва за изчисляване на радиуса и обиколката на кръг.

  2. Изчислете радиуса от обема на сферата.Използвайте формулата: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Обемът на топката се изчислява по формулата V = (4/3)πr 3. Изолирайки r от едната страна на уравнението, получавате формулата ((V/π)(3/4)) 3 = r, тоест, за да изчислите радиуса, разделете обема на топката на π, умножете резултата по 3/4 и повдигнете получения резултат на степен 1/3 (или вземете кубичния корен).

    • Например, дадена е топка с обем 100 cm 3 . Радиусът на тази топка се изчислява, както следва:
      • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
      • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
      • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
      • (23,87) 1/3 = r
      • 2,88 см= r

  3. Изчислете радиуса от повърхността.Използвайте формулата: g = √(A/(4 π)). Повърхността на топката се изчислява по формулата A = 4πr 2. Изолирайки r от едната страна на уравнението, получавате формулата √(A/(4π)) = r, тоест, за да изчислите радиуса, трябва да извлечете Корен квадратенот площта на повърхността, разделена на 4π. Вместо да се взема корен, изразът (A/(4π)) може да бъде повдигнат на степен 1/2.

    • Например, дадена сфера с повърхностна площ от 1200 cm 3. Радиусът на тази топка се изчислява, както следва:
      • √(A/(4π)) = r
      • √(1200/(4π)) = r
      • √(300/(π)) = r
      • √(95,49) = r
      • 9,77 см= r

    Определяне на базисни величини

    1. Запомнете основните величини, които са от значение за изчисляване на радиуса на топка.Радиусът на топката е сегментът, който свързва центъра на топката с която и да е точка от нейната повърхност. Радиусът на топка може да се изчисли от дадени стойности на диаметър, обиколка, обем или повърхност.

      Използвайте стойностите на тези количества, за да намерите радиуса.Радиусът може да се изчисли от дадени стойности на диаметър, обиколка, обем и повърхност. Освен това посочените стойности могат да бъдат намерени от дадена стойност на радиуса. За да изчислите радиуса, просто преобразувайте формулите, за да намерите показаните стойности. По-долу са дадени формулите (които включват радиус) за изчисляване на диаметър, обиколка, обем и повърхност.

    Намиране на радиуса от разстоянието между две точки

    1. Намерете координатите (x,y,z) на центъра на топката.Радиус на топката равно на разстояниетомежду неговия център и която и да е точка, разположена на повърхността на топката. Ако координатите на центъра на топката и всяка точка, разположена на нейната повърхност, са известни, можете да намерите радиуса на топката, като използвате специална формула, като изчислите разстоянието между две точки. Първо намерете координатите на центъра на топката. Имайте предвид, че тъй като топката е триизмерна фигура, тогава точката ще има три координати (x,y,z), а не две (x,y).

      • Нека разгледаме един пример. Дадена е топка с централни координати (4,-1,12) . Използвайте тези координати, за да намерите радиуса на топката.

    2. Намерете координатите на точка, разположена върху повърхността на топката.Сега трябва да намерим координатите (x,y,z) всякаквиточка, разположена на повърхността на топката. Тъй като всички точки, лежащи на повърхността на топката, са разположени на едно и също разстояние от центъра на топката, можете да изберете всяка точка, за да изчислите радиуса на топката.

      • В нашия пример нека приемем, че някаква точка, разположена на повърхността на топката, има координати (3,3,0) . Като изчислите разстоянието между тази точка и центъра на топката, ще намерите радиуса.

    3. Изчислете радиуса по формулата d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).След като откриете координатите на центъра на топката и точка, лежаща на нейната повърхност, можете да намерите разстоянието между тях, което е равно на радиуса на топката. Разстоянието между две точки се изчислява по формулата d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), където d е разстоянието между точките , (x 1, y 1 ,z 1) – координати на центъра на топката, (x 2 , y 2 , z 2) – координати на точка, лежаща на повърхността на топката.

      • В разглеждания пример вместо (x 1 ,y 1 ,z 1) заменете (4,-1,12), а вместо (x 2 ,y 2 ,z 2) заменете (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Това е желаният радиус на топката.

    4. Имайте предвид, че в общи случаи r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Всички точки, лежащи на повърхността на топката, са разположени на еднакво разстояние от центъра на топката. Ако във формулата за намиране на разстоянието между две точки „d“ се замени с „r“, получавате формула за изчисляване на радиуса на топката от известните координати (x 1,y 1,z 1) на центъра на топката и координатите (x 2,y 2,z 2 ) на всяка точка, разположена върху повърхността на топката.

      • Повдигнете на квадрат двете страни на това уравнение и ще получите r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Обърнете внимание, че това уравнение съответства на уравнението на сфера r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с център в координати (0,0,0).
    • Не забравяйте за реда на изпълнение математически операции. Ако не помните този ред и вашият калкулатор може да работи със скоби, използвайте ги.
    • Тази статия говори за изчисляване на радиуса на топка. Но ако имате проблеми с изучаването на геометрия, най-добре е да започнете с изчисляване на количествата, свързани с топка, като използвате известна стойнострадиус.
    • π (Pi) е буква от гръцката азбука, която обозначава константа, равно на съотношениетодиаметър на кръг към неговата обиколка. Пи е ирационално число, което не се записва като отношение реални числа. Има много приближения, например съотношението 333/106 ще ви позволи да намерите числото Pi с точност до четири цифри след десетична запетая. Като правило те използват приблизителна стойностПи, което е 3,14.

Много тела, които срещаме в живота или за които сме чували, са със сферична форма, например футболна топка, падаща капка вода по време на дъжд или нашата планета. В тази връзка е уместно да се разгледа въпросът как да се намери обемът на сфера.

Фигура топка в геометрията

Преди да отговорим на въпроса за топката, нека разгледаме по-отблизо това тяло. Някои хора го бъркат със сфера. Външно те наистина си приличат, но топката е обект, напълнен отвътре, докато сферата е само външната обвивка на топка с безкрайно малка дебелина.

От гледна точка на геометрията, една топка може да бъде представена чрез набор от точки, като тези от тях, които лежат на нейната повърхност (те образуват сфера), са на еднакво разстояние от центъра на фигурата. Това разстояние се нарича радиус. Всъщност радиусът е единственият параметър, който може да се използва за описание на каквито и да е свойства на топката, като нейната повърхност или обем.

Картината по-долу показва пример за топка.

Ако се вгледате внимателно в този идеален кръгъл предмет, можете да познаете как да го получите от обикновен кръг. За да направите това, просто завъртете това плоска фигураоколо ос, съвпадаща с диаметъра му.

Един от известните древни литературни източници, който разглежда достатъчно подробно свойствата на това обемна фигура, е произведението на гръцкия философ Евклид – “Елементи”.

Площ и обем

Когато разглеждате въпроса как да намерите обема на топка, в допълнение към тази стойност трябва да се даде формула за нейната площ, тъй като и двата израза могат да бъдат свързани помежду си, както ще бъде показано по-долу.

Така че, за да изчислите обема на една топка, трябва да приложите една от следните две формули:

  • V = 4/3 *pi * R3;
  • V = 67/16 * R3.

Тук R е радиусът на фигурата. Първата дадена формула е точна, но за да се възползвате от това, трябва да използвате съответния номердесетични знаци за pi. Вторият израз дава напълно добър резултат, като се различава от първия само с 0,03%. За един ред практически проблемитази точност е повече от достатъчна.

Равна на тази стойност за сфера, т.е. изразена по формулата S = 4 * pi * R2. Ако изразим радиуса от тук и след това го заместим в първата формула за обем, тогава получаваме: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * пи)).

По този начин разгледахме въпросите как да намерим обема на топка през радиуса и чрез нейната повърхност. Тези изрази могат успешно да се прилагат на практика. По-нататък в статията ще дадем пример за тяхното използване.

Проблем с дъждовните капки

Водата, когато е в безтегловност, приема формата на сферична капка. Това се дължи на наличието на сила повърхностно напрежение, които са склонни да минимизират повърхността. Топката от своя страна е с най-ниска стойност сред всички геометрични формисъс същата маса.

По време на дъжд падащата капка вода е в безтегловност, така че формата й е сфера (тук пренебрегваме силата на съпротивлението на въздуха). Необходимо е да се определи обемът, повърхността и радиусът на тази капка, ако е известно, че нейната маса е 0,05 грама.

Обемът е лесен за определяне; разделете известната маса на плътността на H 2 O (ρ = 1 g/cm 3). Тогава V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.

Знаейки как да намерим обема на топка, трябва да изразим радиуса от формулата и да заменим получената стойност, имаме: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 cm.

Сега заместваме стойността на радиуса в израза за повърхността на фигурата, получаваме: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 cm 2.

По този начин, знаейки как да намерим обема на топката, получихме отговори на всички въпроси на проблема: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 и V = 0,05 cm 3.

Преди да започнете да изучавате концепцията за топка, какъв е обемът на топката и да разгледате формулите за изчисляване на нейните параметри, трябва да запомните концепцията за кръг, изучавана по-рано в курса по геометрия. В края на краищата, повечето действия в триизмерното пространство са подобни или следват от двуизмерната геометрия, коригирана за появата на трета координата и трета степен.

Какво е кръг?

Кръгът е фигура в декартова равнина (показана на фигура 1); най-често срещаното определение е „ локусвсички точки на равнината, разстоянието от които до дадена точка(център) не надвишава определена неотрицателно число, наречен радиус."

Както можем да видим от фигурата, точка O е центърът на фигурата и множеството от абсолютно всички точки, които запълват кръга, например A, B, C, K, E, не са по-нататък даден радиус(не излизайте извън кръга, показан на фиг. 2).

Ако радиус равно на нула, тогава кръгът се превръща в точка.

Проблеми с разбирането

Студентите често бъркат тези понятия. Лесно е да се запомни с аналогия. Обръчът, който децата въртят в клас физическа култура, - кръг. Като разбират това или си спомнят, че първите букви и на двете думи са „О“, децата ще разберат мнемонично разликата.

Въвеждане на понятието "топка"

Топката е тяло (фиг. 3), ограничено от определена сферична повърхност. Какво е „сферична повърхност“ ще стане ясно от нейната дефиниция: това е геометричното място на всички точки на повърхността, разстоянието от което до дадена точка (център) не надвишава определено неотрицателно число, наречено радиус. Както можете да видите, концепциите за кръг и сферична повърхност са сходни, различават се само пространствата, в които се намират. Ако изобразим топка в двумерно пространство, получаваме окръжност, чиято граница е кръг (границата на топката е сферична повърхност). На фигурата виждаме сферична повърхност с радиуси OA = OB.

Топка затворена и отворена

Във векторните и метричните пространства се разглеждат и две концепции, свързани със сферичната повърхност. Ако топката включва тази сфера, тогава тя се нарича затворена, но ако не, тогава топката е отворена. Това са по-„напреднали“ понятия; те се изучават в институтите като част от въведението им в анализа. За един прост дори домакинска употребаФормулите, които се изучават в курса по стереометрия за 10-11 клас, ще бъдат достатъчни. Това са тези, които са достъпни за почти всеки средностатистически човек. образован човекконцепциите ще бъдат обсъдени допълнително.

Концепции, които трябва да знаете за следните изчисления

Радиус и диаметър.

Радиусът на топката и нейният диаметър се определят по същия начин, както при окръжност.

Радиусът е сегмент, свързващ всяка точка от границата на топката и точката, която е центърът на топката.

Диаметърът е сегмент, свързващ две точки от границата на топка и минаващ през нейния център. Фигура 5а ясно показва кои сегменти са радиусите на топката, а Фигура 5b показва диаметрите на сферата (сегменти, минаващи през точка O).

Раздели в сфера (топка)

Всеки участък от сфера е кръг. Ако минава през центъра на топката, тя се нарича голяма окръжност (окръжност с диаметър AB), останалите секции се наричат ​​малки окръжности (окръжност с диаметър DC).

Площта на тези кръгове се изчислява по следните формули:

Тук S е обозначението на площта, R е радиусът, D е диаметърът. Има и константа, равна на 3,14. Но не бъркайте това за изчисляване на площта голям кръгте използват радиуса или диаметъра на самата топка (сфера), а за определяне на площта са необходими размерите на радиуса на малкия кръг.

Могат да бъдат начертани безкраен брой такива сечения, които минават през две точки с еднакъв диаметър, разположени на границата на топката. Като пример нашата планета: две точки на север и Южни полюси, които са краищата земната ос, и в геометричен смисъл- краищата на диаметъра и меридианите, които минават през тези две точки (Фигура 7). Тоест числото големи кръговечислото на една сфера клони към безкрайност.

Топкови части

Ако отрежете „парче“ от сферата с помощта на определена равнина (Фигура 8), то ще се нарече сферичен или сферичен сегмент. Тя ще има височина - перпендикулярна от центъра на режещата равнина към сферичната повърхност O 1 K. Точката K на сферичната повърхност, в която идва височината, се нарича връх сферичен сегмент. Малък кръг с радиус O 1 T (in в такъв случай, според фигурата равнината не минава през центъра на сферата, но ако сечението минава през центъра, тогава кръгът на сечението ще бъде голям), образуван при отрязване на сферичен сегмент, ще се нарича основа от нашата част от топката - сферичен сегмент.

Ако свържем всяка базова точка на сферичен сегмент с центъра на сферата, получаваме фигура, наречена „сферичен сектор“.

Ако две равнини преминават през сфера и са успоредни една на друга, тогава тази част от сферата, която е затворена между тях, се нарича сферичен слой (Фигура 9, която показва сфера с две равнини и отделен сферичен слой).

Повърхността (маркираната част на фигура 9 вдясно) на тази част от сферата се нарича пояс (отново, за по-добро разбиране, може да се направи аналогия с Глобусът, а именно с неговия климатични зони- арктически, тропически, умерен и т.н.), а кръговете на напречното сечение ще бъдат основите на сферичния слой. Височината на слоя е част от диаметъра, изтеглен перпендикулярно на режещите равнини от центровете на основите. Съществува и концепцията за сферична сфера. Образува се, когато равнините, които са успоредни една на друга, не пресичат сферата, а я докосват в една точка всяка.

Формули за изчисляване на обема на топка и нейната повърхност

Топката се формира чрез въртене около фиксирания диаметър на полукръг или кръг. За изчисления различни параметритози обект няма да се нуждае от много данни.

Обемът на сфера, формулата за изчисляване на която е дадена по-горе, се извлича чрез интегриране. Нека да го разберем точка по точка.

Ние разглеждаме кръг в двумерна равнина, тъй като, както бе споменато по-горе, кръгът е в основата на конструкцията на топката. Използваме само четвъртата му част (Фигура 10).

Взимаме окръжност с единичен радиус и център в началото. Уравнението на такава окръжност изглежда така по следния начин: X 2 + Y 2 = R 2. Изразяваме Y от тук: Y 2 = R 2 - X 2.

Не забравяйте да отбележите, че получената функция е неотрицателна, непрекъсната и намаляваща на сегмента X (0; R), тъй като стойността на X в случая, когато разглеждаме четвърт от кръга, е от нула до стойността на радиус, тоест до единица.

Следващото нещо, което правим, е да завъртим нашата четвърт окръжност около оста х. В резултат на това получаваме полукълбо. За да определим неговия обем, ще прибегнем до интеграционни методи.

Тъй като това е обемът само на полукълбо, удвояваме резултата, от което намираме, че обемът на топката е равен на:

Малки нюанси

Ако трябва да изчислите обема на топка чрез нейния диаметър, не забравяйте, че радиусът е половината от диаметъра и заменете тази стойност в горната формула.

Също така формулата за обема на една топка може да бъде достигната чрез площта на нейната гранична повърхност - сферата. Нека си припомним, че площта на една сфера се изчислява по формулата S = 4πr 2, интегрирайки която също стигаме до горната формула за обема на една сфера. От същите формули можете да изразите радиуса, ако задачата съдържа стойност за обем.