Сегмент на топкаЧастта от топката, отсечена от нея от равнината, се нарича. Полученият кръг в напречно сечение се нарича основа сегмент. Отсечката, свързваща центъра на основата на отсечката с точка от повърхността на топката, перпендикулярна на основата, се нарича височина сферичен сегмент (фиг. 41). Повърхнината на сферичната част на сферичен сегмент се нарича сферичен сегмент .
За сферичен сегмент са правилни следните формули:
Където Р– радиус на топката;
r– радиус на основата на сферичния сегмент;
ч– височина на сегмента;
С– площ на сферичната част на сферичния сегмент (площ на сферичния сегмент);
S пълен- квадрат пълна повърхносттопка сегмент;
V– обем на сферичния сегмент.
Сферичен слой и сферичен колан
Топчен слойе част от сфера, затворена между две успоредни секущи равнини. Получените в напречно сечение кръгове се наричат причини слой. Разстоянието между сечещите равнини се нарича височина слой (фиг. 42). Повърхността на сферичната част на сферичния слой се нарича сферичен колан .
Топка, сферичен сегмент и сферичен слой могат да се разглеждат като геометрични тела на въртене. При въртене на полукръг около ос, съдържаща диаметъра на полукръга, се получава топка, съответно при въртене на части от кръг се получават части от топката: сферичен сегмент и сферичен слой.
 |
За сферичния слой са правилни следните формули:
Където Р– радиус на топката;
R1, R2– радиуси на основите;
ч- височина;
S1, S2– площ на основите;
С– площ на сферичната част на сферичния слой (площ на сферичния пояс);
S пълен– обща повърхност;
V– обем на сферичния слой.
Сектор за топка
Сектор за топкаНаречен геометрично тяло, получен чрез завъртане на кръгъл сектор (с ъгъл по-малък от ) около ос, съдържаща един от страничните радиуси. Добавянето на такова тяло към топка също се нарича сферичен сектор . По този начин сферичният сектор се състои от сферичен сегмент и конус или сферичен сегмент без конус (фиг. 43а, 43б).
 |
Ориз. 43а. Ориз. 43б.
За сферичния сектор са правилни следните формули:
Където Р– радиус на топката;
r– радиус на основата на сегмента;
ч- височина на топковия сегмент;
С– повърхност на сферичния сектор;
V– обем на сферичния сектор.
Пример 1.Радиусът на топката е разделен на три равни части. През разделителните точки бяха начертани две секции перпендикулярно на радиуса. Намерете площта на сферичния пояс, ако радиусът на топката е 15 cm.
Решение.Нека да направим чертеж (фиг. 44).
За да изчислите площта на сферичен колан, трябва да знаете радиуса на топката и нейната височина. Радиусът на топката е известен, а височината ще намерим, като знаем, че радиусът е разделен на три равни части:
След това района
Отговор:
Пример 2.Топката е пресечена от двама успоредни равнини, минаваща перпендикулярно на диаметъра и по различни страниот центъра на топката. Площите на сферичните сегменти са 42p cm 2 и 70p cm 2. Намерете радиуса на топката, ако разстоянието между равнините е 6 cm.
Решение.Разгледайте два сферични сегмента с области: където R –радиус на топката (сферата), h, H –височини на сегменти. Получаваме уравненията: и имаме две уравнения с три неизвестни. Нека създадем друго уравнение. Диаметърът на топката е равен на Решавайки системата, намираме радиуса на топката.
Û 
Þ 
Û. Това означава, че общият акорд на разделите
от DAEP(ОА --радиус) 
Така че 
Сравнявайки обемите на сектора и топката, намираме, че V c:V w =1:4.
Първо, отбележете, че връзката (5), доказана в лема 17.2, има много по-голяма общност. Нека разгледаме определена сфера с радиус R и фигура F върху нея (фиг. 17.15). Нека наречем сферичен сектор с основа F фигура, образувана от радиуси, начертани към всички точки на фигурата
Специални случаи на сферични сегменти вече бяха разгледани в раздел 16.5. Обобщение на лема 17.2 е както следва:
Лема. Площта S на областта върху сфера с радиус R и обемът на сферичния сектор, чиято основа е тази област, са свързани с формулата
Нека фигура F е дадена върху сфера и нека Q е сферичен сектор с основа F. Нека опишем многостен около топката и изрежете „сектор“ от него с пирамида с връх в центъра на топката, обхващащ сферичният сектор Q. Ако е площта на повърхността, изрязана от повърхността на полиедъра, a - обем, тогава, както в лема 17.2, . Следователно, в границата, когато получаваме формула (13).
Познавайки формула (13), можете да намерите областите на някои части на сферата.
Сферичният сегмент е част от сфера, отрязана от нея от всяка равнина (фиг. 17.16 а). Нека наречем частта от сферата, разположена между две успоредни равнини, сферичен пояс (фиг. 17.16 b). Височината на сферичния пояс е разстоянието между тези равнини. Сферичен сегмент може да се разглежда като специален случайсферичен колан, когато един
от секущи се превърна в допирателна. Ясно е, че височината на сферичен сегмент е височината на съответния сферичен сегмент.
Съгласно (13) и резултатите от параграф 16.5, за площта на сферичен сегмент D и обема V на съответния сферичен сектор Q е валидно равенството:
От това равенство получаваме това
където H е височината на сегмента
Уверете се, че същата формула е валидна за областта на сферичния колан, тъй като коланът е разликата от два сегмента.
За сферичен сегмент са правилни следните формули:
Където Р– радиус на топката;
r– радиус на основата на сферичния сегмент;
ч– височина на сегмента;
С– площ на сферичната част на сферичния сегмент (площ на сферичния сегмент);
S пълен- обща повърхност на сферичния сегмент;
V– обем на сферичния сегмент.
Сферичен слой и сферичен колан
Топчен слойе част от сфера, затворена между две успоредни секущи равнини. Получените в напречно сечение кръгове се наричат причини слой. Разстоянието между сечещите равнини се нарича височина слой (фиг. 42). Повърхността на сферичната част на сферичния слой се нарича сферичен колан .
Топка, сферичен сегмент и сферичен слой могат да се разглеждат като геометрични тела на въртене. При въртене на полукръг около ос, съдържаща диаметъра на полукръга, се получава топка, съответно при въртене на части от кръг се получават части от топката: сферичен сегмент и сферичен слой.
 |
За сферичния слой са правилни следните формули:
Където Р– радиус на топката;
R1, R2– радиуси на основите;
ч- височина;
S1, S2– площ на основите;
С– площ на сферичната част на сферичния слой (площ на сферичния пояс);
S пълен– обща повърхност;
V– обем на сферичния слой.
Сектор за топка
Сектор за топкае геометрично тяло, получено чрез завъртане на кръгъл сектор (с ъгъл по-малък от ) около ос, съдържаща един от страничните радиуси. Добавянето на такова тяло към топка също се нарича сферичен сектор . По този начин сферичният сектор се състои от сферичен сегмент и конус или сферичен сегмент без конус (фиг. 43а, 43б).
 |
Ориз. 43а. Ориз. 43б.
За сферичния сектор са правилни следните формули:
Където Р– радиус на топката;
r– радиус на основата на сегмента;
ч- височина на топковия сегмент;
С– повърхност на сферичния сектор;
V– обем на сферичния сектор.
Пример 1.Радиусът на топката е разделен на три равни части. През точките на разделяне бяха начертани две секции, перпендикулярни на радиуса. Намерете площта на сферичния пояс, ако радиусът на топката е 15 cm.
Решение.Нека да направим чертеж (фиг. 44).
За да изчислите площта на сферичен колан, трябва да знаете радиуса на топката и нейната височина. Радиусът на топката е известен, а височината ще намерим, като знаем, че радиусът е разделен на три равни части:
След това района
Отговор:
Пример 2.Топката е пресечена от две успоредни равнини, минаващи перпендикулярно на диаметъра и от противоположните страни на центъра на топката. Площите на сферичните сегменти са 42p cm 2 и 70p cm 2. Намерете радиуса на топката, ако разстоянието между равнините е 6 cm.
Решение.Разгледайте два сферични сегмента с области: където R –радиус на топката (сферата), h, H –височини на сегменти. Получаваме уравненията: и имаме две уравнения с три неизвестни. Нека създадем друго уравнение. Диаметърът на топката е равен на Решавайки системата, намираме радиуса на топката.
Û Þ Û
Според условията на проблема стойността е подходяща
Отговор: 7 см
Пример 3.Сечение на топка с равнина, перпендикулярна на нейния диаметър, разделя диаметъра в съотношение 1:2. Колко пъти площта на напречното сечение по-малко площповърхността на топката?
Решение. Да направим чертеж (фиг. 45).
Помислете за диаметралното сечение на топката: AD– диаметър, О- център, OE=R– радиус на топката, БЪДА– радиус на перпендикуляра на сечението диаметър на топката,
Да изразим БЪДАпрез Р: 
от ДОБЕнека изразим БЪДАпрез Р:
Площта на напречното сечение е повърхността на топката. означава, S 1по-малко S 2 4,5 пъти.
Отговор: 4,5 пъти.
Пример 4.В сфера, чийто радиус е 13 cm, две взаимно перпендикулярни сеченияна разстояние 4 см и 12 см от центъра. Намерете дължината на тяхната обща хорда.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 46).
Сеченията са перпендикулярни, т.к ОО 2– разстояние и OO 1 –разстояние. По този начин и O.C.– диагонал на правоъгълник OO 2 CO 1и равно на AOB
1.3. Намерете височината на сферичния сегмент, ако радиусът на основата му е 15 cm, а радиусът на топката е 25 cm.
1.4. Сфера, чийто радиус е 15 cm, се пресича от равнина на разстояние 9 cm от центъра. Намерете площта на сферичната част на сферичния сегмент.
1.5. Намерете площта на сфера, чийто диаметър е равен на диагонала на куб с ръб, равен на 2 cm.
1.6. Определете колко пъти обемът на Земята е по-голям от обема на Луната. (Диаметърът на Земята трябва да се приеме като 13 хиляди км, диаметърът на Луната - 3,5 хиляди км.)
1.7. Обемът на стените на куха топка е 876p cm 3, а дебелината на стените е 3 cm. Намерете радиусите на външните и вътрешни повърхноститопка.
1.8. Намерете обема на сферичен сектор, ако радиусът на сферата е 10 cm, а радиусът на основата на съответния сферичен сегмент е 6 cm.
1.9. Обемът на едната топка е 8 пъти по-голям от обема на другата топка. Определете колко пъти повърхността на първата топка повече площповърхност на втория.
Ниво II
2.1. Страните на триъгълника, равни на 5 cm, 5 cm и 6 cm, докосват топка, чийто радиус е 2,5 cm. Намерете разстоянието от центъра на топката до равнината на триъгълника.
2.2. На повърхността на топката има три точки. Разстоянието между тях е 7 см. Радиусът на топката е 7 см. Намерете разстоянието от центъра на топката до равнината, минаваща през тези три точки.
2.3. Радиусите на основите на сферичния слой са 63 см и 39 см, височината му е 36 см. Намерете радиуса на топката.
2.4. Дадена е топка с радиус 12 см. През една точка на нейната повърхност са прекарани две равнини: първата е допирателна към топката, втората е под ъгъл 60° спрямо радиуса, прекаран до точката на допир. Намерете площта на напречното сечение.
2.5. Определете площта на частта от повърхността на топката, която е видима за наблюдател, разположен на разстояние 10 m от него, ако радиусът балон с горещ въздухе равно на 15 m.
2.6. Топката се пресича от две равнини, минаващи през една точка от повърхността на топката и сключващи ъгъл 60°. Радиусът на топката е 4 см. Намерете повърхнините на сегментите, които трябва да бъдат отсечени, ако окръжностите на техните основи имат равни радиуси.
2.7. Топката докосва краищата двустенен ъгълна 120°. Разстоянието от центъра на топката до ръба на ъгъла е 10 см. Намерете повърхността на топката.
2.8. От топката беше изрязан сферичен слой, чиято дебелина беше 9 cm, основните площи бяха 400p cm 2 и 49p cm 2. Намерете обемите на останалите сферични сегменти.
2.9. Диаметърът на топката се разделя на четири равни части и през точките на разделяне се начертават режещи равнини, перпендикулярни на диаметъра. Намерете обемите на получените части на топката, ако нейният радиус е R.
2.10. В топка с радиус R се пробива цилиндричен отвор. Оста на цилиндъра минава през центъра на топката, диаметърът на отвора равен на радиусатопка. Намерете обема на останалата част от сферата.
3.1. Равнините на две сечения на топката са взаимно перпендикулярни. Едната от тези равнини минава през центъра, другата е на разстояние 12 от него. Общата хорда на сеченията е 18. Намерете сумата от повърхнините на тези сечения.
3.2. Радиусът на топката е 15 m. Извън топката е дадена точка А на разстояние 10 m от нейната повърхност. Намерете радиуса на такава окръжност върху повърхността на топката, всички точки на която са на 20 m от A.
3.3. От точка, взета от повърхността на топката, три равни акорди, чийто ъгъл между всяка двойка е равен на a. Намерете дължината на хордата, ако радиусът на сферата е R.
3.4. Две топки се допират вътрешно в точка A, AB е диаметърът на по-голямата топка, BC е допирателната към по-малката. Намерете радиусите на топките, ако BC = 20 cm и разликата в повърхнините на топките е 700p cm 2.
3.5. Изчислете обема на сфера, чийто радиус е равен на ръба на октаедър с повърхност 10 .
3.6. Кръгов сектор с ъгъл 60° и радиус R се върти около един от страничните радиуси. Намерете обема на полученото тяло на въртене.
Инструкции
Сферичният сегмент може да се разглежда като тяло, образувано чрез въртене на кръгъл сегмент около диаметър, който е перпендикулярен на неговата хорда. Височината на сферичен сегмент е сегментът, който свързва полюса на топката с централна точкаосновите на този сегмент.
Повърхността на сферичния сегмент е S = 2πRh, в която R е радиусът на окръжността, а h е височината на сферичния сегмент. Обемът се изчислява и за сферичния сегмент. Намерете го по формулата: V = πh2(R – 1/3h), където R е радиусът на окръжността, а h е височината на сферичния сегмент.
Всички равнинни сечения на топката образуват кръгове. Най-големият се намира в участъка, който минава централна часттопка: нарича се голям кръг. Радиусът на тази окръжност е равен на радиуса на топката.
Равнината, която минава през центъра на топката, се нарича диаметрална. Сечението на топката с диаметралната равнина се образува голям кръг, а напречното сечение на сферата е голям кръг.
През две точки на сферичната повърхност, които са разположени в краищата на диаметъра, огромен брой големи кръгове. Пример за това е Земята: безкраен брой меридиани могат да бъдат начертани през полюсите на планетата.
Частта от топката, която е затворена между две секущи успоредни равнини, се нарича сферичен слой. Кръгове паралелни секцииса основите на слоя, а разстоянието между тях е височината.
Разделянето на кръг на равни части обикновено се използва за конструиране правилни многоъгълници. По принцип може да се раздели кръгна части с помощта на транспортир, но понякога това е неудобно и неточно.
Инструкции
Споделям кръгна шест части, направете същото за другата аксиална. След това получавате шест точки на кръга.
Разделянето на кръг на четири части е тривиална задача. Четири точки в пресечната точка на две перпендикулярни аксиални линии и окръжност ще разделят това кръгна четири равни части. Споделям кръгна 8 части, трябва да разделите дъгата, съответстваща на 1/4 от кръга, наполовина. След това преместете компаса на разстоянието, посочено в червено на фигурата, и отделете това разстояние от вече получените четири точки.
Споделям кръгс пет равни части, първо разделете радиуса на централна линияна половина. Поставете иглата на компаса в тази точка и преместете стилуса до пресечната точка на аксиалния радиус и окръжността, перпендикулярна на този радиус. На фигурата това разстояние е показано в червено. Отложете това разстояние върху окръжността, като започнете от аксиалната и след това преместете компаса до получената пресечна точка.
Повторете всички тези стъпки в огледалото, за да се счупи кръгна 10 еднакви части.
Видео по темата
източници:
- как да разделя кръг на 8 части
Посредством определени причинипонякога имаш нужда да споделиш кръгна равни части, но необходимите умения и способности не винаги са налични за постигане на това. Но може да се направи различни начини, всеки от които е практичен и удобен по свой начин.
Ще имаш нужда
- Хартия, линийка, транспортир, молив, ножица.
Инструкции
Можете да отидете най-много по прост начин, тоест направете копие на желаната фигура, изрежете я и след това, като я огънете, я разделете на необходимо количествосегменти. Трябва обаче да се има предвид, че по този начин, добавяйки кръгнаполовина, можете да го разделите на 2 части. Сгъвайки отново фигурата, получаваме 4 части. Продължава да се сгъва кръг, резултатът ще бъде 8 и след това 16 части. След това можете да прикрепите разреза кръгкъм основната и маркирайте сегментите върху основната желана фигура на места, където има гънки.
При разделянето обаче кръги по този начин не можете да получите 3, 5, 7, 9 или 11 части. В тези случаи ще трябва да използвате транспортир. Ако не е възможно да се определи средата кръгЕ, тогава отново първо трябва да очертаете фигурата, да я изрежете и да я сгънете на две, а след това четири пъти. Перпендикулярни линии в пресечната точка ще създадат точка, която показва средата. Необходимо е да направите всички белези от нея.
всичко кръге 360°, следователно можете да преброите градусите на произволен брой части. Например, трябва да направите 5 сегмента. За да направите това, разделете 360° на 5 части - получавате 72°. Тоест всеки сегмент ще бъде 72°. Поставете транспортир, който обхваща 180° до средата и измерете 72°. Начертайте линия от централната средна точка до измерената степен, след което направете същото още 3 пъти. Резултатът ще бъде 5 равни части кръгА.