1. Концепцията за позиционен проблем.Припомнете си, че самолетът се нарича режеща равнинамногостен, ако има точки на многостена от двете страни на тази равнина. Сечение на многостенРавнината е многоъгълник, чиито страни са сегментите, по които сечащата равнина пресича лицата на многостена.
На фиг. 30 показва триъгълна призма. (В този проекционен чертеж изображенията на точките са обозначени със същите букви като съответните оригинални точки). Нека си представим, че трябва да отбележим точките: а) М, лежащ на ръба; б) Н, легнал в лицето; в) лежаща вътре в призмата.
Ако изобразим тези точки, както е направено на фигура а), тогава само около точката Мможем грубо да кажем, че лежи на ръба . Точкова позиция Ни КНевъзможно е да се определи от тази снимка. Фигура b) вече ни позволява да заключим, че точката Нлъже в лицето, и точката е
 |
вътре в призмата. Как могат да се направят тези заключения? Факт е, че във втората фигура задаваме проекциите на точките Ни Квърху основната равнина, успоредна на страничните ръбове на призмата. Строго погледнато, за да сте сигурни, че точката Млежи на ръба, сам зрителни възприятиясъщо не е достатъчно. (В дизайна, с който е направено изображението на призмата, точката Мслужи като проекция на всяка точка върху линия, успоредна на посоката на проектиране и минаваща през нея.)
Ако посочим, че при проектиране успоредно на страничните ръбове на призмата, точката Мпроектиран върху основата в точка А, тогава се появява такава увереност.
Подобна ситуация е показана на фиг. 31. Тук трябва да маркирате точките: а) Мна страничния ръб S.A.; б) Н- на ръба SAB;
V) ДО- вътре в пирамидата. Разликата е, че в дясната фигура се използва централна проекция на маркираните точки върху равнината на основата на пирамидата от нейния връх С.
За да стане изображението ясно, в разгледаните примери е необходимо да се използва не един дизайн, а два. Първият дизайн, с помощта на който се прави изображението на полиедър, се нарича външенВторият дизайн е от спомагателен характер. Тя е свързана със самата фигура - това е, като правило, проекция върху равнина, съдържаща едно от лицата на полиедъра. Ще се занимаваме само с призми и пирамиди и най-често избираме равнината на тяхната основа като такава равнина. Асистирано проектиране се нарича вътрешни.От разгледаните примери става ясно, че за призма е удобно да се използва вътрешен паралелен дизайн, а за пирамида - централен.
Нека Е 0 – някаква фигура в пространството, която се проектира успоредно на равнината стр(външен дизайн). За да бъде изображението на фигурата ясно, ние избираме определена равнина в пространството, различна от равнината стри обмислете нов дизайн, успореден или централен, на точките на фигурата Е 0 към тази равнина (вътрешна проекция).
Помислете за точка в пространството М 0 и неговата проекция върху равнината p 0 ¢по време на вътрешно проектиране. Нека проектираме и двете точки върху равнината стр. В този случай проекцията Мточки М 0 се извиква основен(или просто проекция), и проекцията M¢точки – вторичен.
Ако за точка М 0 фигури Е 0 неговата проекция и вторична проекция са известни, тогава от изображението можем да преценим позицията на тази точка върху оригинала. В този случай те казват, че точката М 0, принадлежащ на фигурата Е 0 е даденовърху чертежа на проекцията. Изображение на фигура Е 0, на която е дадена всяка точка от фигурата, се нарича пълен.
В проекционните чертежи често е необходимо да се решават проблеми с намирането на пресечната точка различни фигури. Такива задачи се наричат позиционен.Ако някое изображение е пълно, тогава всеки позиционен проблем е разрешим на това изображение.
В заключение отбелязваме следното. Ако М 0 ¢ , Н 0 ¢, К 0 ¢, ... – изображения на точки М 0 , Н 0 , К 0 , ... за вътрешен дизайн, след това за външен дизайн (паралелни) изображения MM¢, NN¢, КК¢, ... успоредни прави М 0 М 0 ¢, Н 0 Н 0 ¢, К 0 К 0 ¢, ... в самолета стрсъщо ще бъдат успоредни. Ако М 0 ¢, Н 0 ¢, К 0 ¢, ... – изображения на точки М 0 , Н 0 , К 0, ... с вътрешен централен дизайн с център С 0 , след това изображения ММ¢, NN¢, КК¢, ... директен М 0 М 0 ¢, Н 0 Н 0 ¢, К 0 К 0 ¢, ... по време на външен дизайн се пресичат в равнината стрв един момент С.Тази точка ще бъде изображението на точката С 0 .
Сред позиционните задачи ще се интересуваме само от задачи, свързани с изграждането на участъци от полигони. Нека разгледаме основните методи за изграждане на такива секции. Обикновено при решаване на стереометрични задачи изображенията на точките на фигурата в проекционния чертеж се означават със същите букви като съответните точки на оригиналната фигура. Ние също ще се придържаме към това правило в бъдеще.
2. Построяване на сечения по свойствата на успоредни прави и равнини.Този метод се използва особено често при конструиране на секции от паралелепипеди. Това се обяснява с факта, че срещуположните страни на паралелепипеда са успоредни. По теоремата за пресичане успоредни равнинитретата равнина на линията на пресичане на успоредни лица са успоредни сегменти.
Задача 1. Основата четириъгълна пирамида SABCDе успоредник. Построете сечение на пирамидата с равнина, минаваща през точката, разположена на страничния ръб AS, успоредна на диагонала BDоснования.
Колко такива самолета могат да бъдат построени? Какви форми могат да се получат в напречно сечение?
Решение.В равнината на основата на пирамидата начертаваме произволна права линия а, успоредно на диагонала BD. През тази права и точка минава равнина а, при това единственият. Въз основа на успоредността на права линия и равнина и, следователно, равнина ае това, което търсим.
В равнината на основата има безкрайно много прави, успоредни на правата Б.Д.следователно има безкрайно много равнини, които отговарят на условията на проблема.
 |
Видът на многоъгълника, получен в разрез, зависи от броя на лицата, които пресича равнината а. Тъй като четириъгълната пирамида има пет лица, напречното сечение може да доведе до триъгълници, четириъгълници и петоъгълници.
На фиг. 32 показва различни случаи на местоположение по права линия аспрямо успоредник ABCD. Очевидно в зависимост от това местоположение ще се определи вида на полигоналната секция.
Отляво на фиг. 33 случаят се разглежда, когато правата линия а 1 пресича страните AD,ABпо точки М, Нсъответно и лежи с точката в същото полупространство с границата BSD. Тук напречното сечение е триъгълник MKN.
Дясната фигура показва случая, когато правата линия а 3 лъжи с точка отгоре различни страниот самолета BSDи кръстосва страните DC, пр.н.е.бази в точки М, Нсъответно. Нека означим с Xточка на пресичане на линиите ADи а 3 . Тъй като е прав ADлежи в равнината на лицето A.S.D., тогава смисълът е в това лице X. От друга страна, точка Xпринадлежи на линията а 3, разположени в сечащата равнина. Следователно правата линия ще бъде линията на пресичане на режещата равнина и равнината на лицето ASD.Това ви позволява да намерите точката R=SDÇ KX. По същия начин, точка ви позволява да конструирате връх ТÎ Б.С.желаната секция. В разглеждания случай сечащата равнина пресича всички лица на пирамидата и сечението е петоъгълник.
Други случаи относителна позициядиректен аи сами разгледайте основата на пирамидата.
Нека разгледаме специални методи за конструиране на секции.
4. Метод на следите.Ако режещата равнина не е успоредна на лицето на полиедъра, тогава тя пресича равнината на това лице по права линия. Правата линия, по която сечащата равнина пресича равнината на лицето на полиедъра, се нарича следвайки режещата равнинана равнината на това лице. Един от методите за конструиране на сечения на полиедри се основава на използването на следата от сечаща равнина върху равнината на едно от нейните лица. Най-често при конструиране на сечения на призма и пресечена пирамида за такава равнина се избира равнината на долната основа, а при пирамидата - равнината на нейната основа.
Нека да разгледаме конструкцията на секции с помощта на метода на проследяване, използвайки примери.
Задача 2. Дадено изображение четириъгълна призмаABCDA 1 б 1 В 1 г 1. Посочете три точки, принадлежащи на различните му странични стени и построете сечение, минаващо през тези три точки.
Решение.Нека припомним, че за да посочите точка в чертеж на проекция, е необходимо да посочите нейните първична и вторична проекция. В случай на призма, ние се съгласихме да използваме вътрешен паралелен дизайн, за да уточним вторичните проекции. Следователно, за да поставите точката М, легнал в лицето ABB 1 А 1, посочете неговата проекция М 1 върху основната равнина, успоредна на страничните ръбове на призмата. Точките се поставят по същия начин Ни К, лежащи в лицата AD 1 Д.А. 1 , CDD 1 В 1 съответно (фиг. 34). Нека построим следа от сечащата равнина върху равнината на долната основа на призмата. Успоредни прави ММ 1 лежат в една и съща равнина и следователно в общ случайправите линии се пресичат в някаква точка X. Тъй като правата линия лежи в равнината на срязване, а правата линия лежи в равнината на долната основа, тогава точката Xпринадлежи на следата на сечащата равнина върху равнината на долната основа на призмата. По същия начин, точки К, Ни техните вторични проекции К 1 , Н 1 ви позволява да намерите втората точка Y, принадлежащи към желаната следа.
Направо AB, легнал в лицето ABB 1 А 1, пресича пътеката XYв точката З, следователно направо МЗлежи в равнината на лицето ABB 1 А 1 и в секущата равнина. сегмент TR, Къде T=MZÇ А.А. 1 , P=MZÇ BB 1 ще бъде страната на секционния многоъгълник. След това последователно изграждаме страните му TRи RQ, минаваща през тези точки Ни Ксъответно. Накрая изграждаме страната PQ.
Проблем 3 . Дадено е изображение на петоъгълна пирамида SABCDE.Задайте точки Ни К, принадлежащи към страничните ръбове S.C., SDсъответно точката М, легнал в лицето ASE.Построете участък, преминаващ през дадени точки.
Решение.За задаване на точки К,Ни МНека използваме вътрешната централна проекция с центъра на върха на пирамидата. В този случай проекциите на точките Ки Нще има точки ги В, и проекцията на точката М– точка (фиг. 35).
Правите и лежащите в равнината обикновено се пресичат в точката X, лежаща в сечащата равнина. От друга страна, точка Xлежи в равнината на основата и следователно принадлежи на следата на секущата равнина върху равнината на основата. Втората точка от желаната следа ще бъде точката. Направо AE, легнал в лицето ASEпирамиди, пресича пътеката XYв точката З. Начертаване на права линия ЗМ, намерете страната LPмногоъгълник-сечение. За да намерим върха на сечението, построяваме точка и след това права линия.
5. Метод интериорен дизайн. Същността на този метод е, че с помощта на вътрешна проекция точките на сечение се търсят с помощта на техните известни вторични проекции. Методът на вътрешното проектиране е особено удобен за използване в случаите, когато следата на режещата равнина е далеч от дадената фигура. Този метод също е незаменим, когато някои от линиите, съдържащи страните на основата на полиедъра, пресичат следата извън чертежа. Нека да разгледаме приложението на метода с примери.
Задача 4. Дадено е изображение шестоъгълна призмаи три точки, разположени в три странични лица, нито две от които не са съседни. Построете сечение на призмата с равнина, минаваща през дадените точки.
Решение.Нека дадените точки М,Л,Клъжа в лицата , , , и M¢,L¢,K¢– техните вторични проекции
(фиг. 36).
Нека намерим точката, в която сечащата равнина пресича страничния ръб. За да направите това, използвайки вътрешна проекция за точка, намираме основната проекция X, лежаща в сечащата равнина. Търсена точка Xе пресечната точка на правата, минаваща през точката X¢успоредни на страничните ръбове на призмата и прави М.Л., лежаща в сечащата равнина. Точка Xви позволява да изградите връх и след това страна QRсекции. По същия начин, използвайки точката, ние конструираме точка Y, направо KYи намерете върха Рсекции. След това се изграждат страните PQи П.О.секции.
Останалите строежи се изпълняват в следваща последователност:
1) изграждане на точка Z¢=AK¢Ç BD;
2) намерете точката З (ЗÎ PK);
3) извършваме директен OZи намерете върха С (СÎ DD 1) секции;
4) последователно изграждане на страните С.Р.,СВи ДОсекции.
Проблем 5 . Дадено е изображение на четириъгълна пирамида и три точки, разположени на страничните й ръбове. Построете сечение, минаващо през дадени точки.
Решение.Нека S.A.B.C.D. тази пирамида, А М,Н, К– точкови данни (фиг. 37). Вторични проекции на точки М, Н, Кв интериорна централна проекция отгоре Сточки на основната равнина А, Ви гсъответно. Имайте предвид, че в този проблем страните и KNсекциите се изграждат веднага. Остава само да се намери върха на сечението Л, легнал на страничния ръб С.Б.. За да направим това, ще конструираме точка и ще я „повдигнем“ до режещата равнина, използвайки вътрешна проекция. Предобраз на точка X¢в този случай централният дизайн ще бъде точката X=X¢SÇ MN.Вертекс Л, принадлежащ на ръба С.Б., лежи на права линия KX.
6. Комбиниран метод.
Същността на този метод е да комбинира метода на проследяване или метода на вътрешно проектиране с конструкции, базирани на свойствата на успоредни прави и равнини.
Помислете за следния пример.
Задача 6. Точка Ме средата на ръба ADКуба ABCDA 1 б 1 В 1 г 1. Построете сечение на куб с равнина, минаваща през точка Муспоредно на диагонала ВDоснови и диагонали AB 1 страничен ръб АА 1 IN 1 IN.
Решение.Режеща равнина ауспоредно на диагонала BDоснова и минава през точката М, също лежаща в основата, така че пресича основата по права линия
(фиг. 38).
Направо лще бъде следата на самолета авърху равнината на долната основа на куба. Нека обозначим . Писта мсамолет ана лицевата равнина ABB 1 А 1 е конструиран по подобен начин. Тази пътека минава през точката Н, успоредно AB 1. Нека обозначим .
Можете да продължите да изграждате секцията, без да прибягвате до специални методи. Ние обаче ще използваме метода на проследяване. Нека е направо слънцепресича пътеката лв точката X. Точки Xи желания самолет асъщо лежат в равнината на лицето VSS 1 IN 1 . Нека означим с Лпресечна точка на линия и ръб IN 1 СЪС 1. След това е удобно да се използва теоремата за пресичането на две успоредни равнини с трета равнина. По силата на тази теорема, . тук РÎ DD 1 ,ПÎ В 1 г 1 .
Да се докаже, че полученият в сечението шестоъгълник е правилен.
Изображение на кръг
1. Елипса и нейните свойства.Когато изобразяваме цилиндър, конус и топка (сфера), ще трябва да нарисуваме елипси. Може да се определи елипса по различни начини. Нека намалим определението, като компресираме равнина до права линия.
 |
Елипсанаречена линия, която е образ на окръжност, когато равнината е компресирана до права линия, минаваща през центъра на окръжността (фиг. 39).
Ако са дадени окръжност, права линия, минаваща през нейния център, и коефициент на компресия, използвайки горната дефиниция, е лесно да се изгради изображение на всяка точка от дадения кръг. Като изградите няколко точки на изображението и ги свържете с гладка линия, можете да нарисувате елипса, която е изображение на кръг.
Окситака че неговата ос волсъвпадна с директното компресиране л, и началото ЗАбеше центърът на кръга wрадиус а(фиг. 40). В тази координатна система кръгът wсе определя от уравнението: или
Това означава, че всяка точка, чиито координати отговарят на уравнение (1), принадлежи на окръжността w, а точка, чиито координати не отговарят на (1), не принадлежи.
Нека
е степента на компресия, е произволна точка от равнината и М 0 – неговата проекция върху правата л. Когато се компресира до точка Мотива до такава точка, че 
. Тъй като е прав ММ 1 успоредна на оста Ой, тогава , и проекцията М 0 от тези точки на линията на компресия волопределени от координатите.
От тук,. Следователно формулите за компресия имат формата
Обратно, формулите (2) определят компресията на равнината спрямо оста волсъс степен на компресия , при което точката преминава в точката .
От тези формули,. Заместване хи гв уравнение (1), получаваме: . Това означава, че координатите на точката М 1, което е образ на точка върху окръжност, удовлетворяват уравнението
Къде . Това е уравнението в системата Оксидефинира елипса ж, който се получава чрез компресиране на кръга wкъм оста вол. Спомнете си, че уравнение (3) се нарича канонично уравнениеелипса.
Използвайки каноничното уравнение на елипсата, можете да я изучавате геометрични свойства. Нека си припомним някои понятия, свързани с елипсата и нейните свойства.
Нека елипсата жсе дава в правоъгълна координатна система от каноничното уравнение (3). защото хи гвлезем в това уравнение на втора степен, можем да направим следните изводи.
Ако , то О ж(фиг. 41). От това следва, че произходът ЗАе центърът на симетрия на елипсата. Центърът на симетрия на елипса се нарича негов център.
Ако, тогава,. Следва тези прави линии воли Ойса осите на симетрия на елипсата. Осите на симетрия на елипсата се наричат нейни оси. Всяка от осите пресича елипсата в две точки. ос волима уравнението , следователно от уравнение (3) за абсцисата на точките А 1 , А 2имаме пресечки. Оттук А 1 (а;0), А 2 (–а;0). По подобен начин откриваме, че оста Ойпресича елипсата в точки IN 1 (0;b) И IN 2 (0;–b). Точките на пресичане на елипса с нейните оси се наричат върховеелипса. Сегменти А 1 А 2 и IN 1 IN 2 също се нарича оси на елипса. Център на елипса ЗАе общата средна точка на всеки от тези сегменти.
 |
Отсечка, чиито краища принадлежат на елипса, се нарича акордтази елипса. Хордата на елипса, минаваща през центъра й, се нарича диаметър на елипсата. означава, Осите на елипсата са нейните взаимно перпендикулярни диаметри.
Имайте предвид, че за имаме. В този случай А 1 А 2 >Б 1 б 2 и сегменти А 1 А 2 , б 1 б 2 са наречени съответно големи и второстепенни осиелипса. В този случай номерата се наричат съответно големи и второстепенни осиелипса. Когато, напротив,. Тук имената на осите се променят съответно.
Нека разгледаме параметричните уравнения на елипсата и метода за конструиране на точките на елипсата въз основа на тях.
Нека сегментите А 1 А 2 и IN 1 IN 2 са осите на елипсата. Нека построим върху тях концентрични окръжности, както върху диаметри. w 1 и w 2 съответно (фиг. 42). Помислете за лъча чзапочвайки от точка ЗА. Този лъч пресича окръжностите w 1 и w 2 по точки М 1 и М 2. През точката М 1 начертайте права линия, успоредна на малката ос IN 1 IN 2, и през точката М 2 – права, успоредна на голямата ос А 1 А 2. Нека покажем, че точката Мпресечната точка на тези прави принадлежи на елипса с дадени оси.
Да изберем правоъгълна системакоординати Оксизапочвайки от точка ЗА. Нека точка в тази система Мима координати ( х;г). След това нека гредата чформи с лъч ОА 1 ъгъл t.Ако , тогава 
, 
. Тъй като точките Ми М 1 имат равни абциси, а точките Ми М 2 – равни ординати,
От равенствата (4) , , следователно, поради осн тригонометрична идентичност 
имаме, т.е. построената точка принадлежи на елипса с полуоси аи b.
За всякаква стойност tÎ}