3. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете ъгъла между правите: AB и A 1 C. Решение: Търсеният ъгъл е равен на ъгъла B 1 A 1 C. В триъгълника B 1 A 1 C начертаваме височина CD 1. В правоъгълен триъгълник A 1 CD 1 катет A 1 D 1 е равен на 0,5; хипотенузата A 1 C е равна. следователно
Решение 1. Нека O 1 е центърът на правилния шестоъгълник A 1 ...F 1. Тогава правата линия AO 1 е успоредна на правата линия BC 1 и желаният ъгъл между правите линии AB 1 и BC 1 е равен на ъгъла B 1 AO 1. В равнобедрения триъгълник B 1 AO 1 имаме : O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 =. Прилагайки косинусовата теорема, получаваме.
Решение 2. Нека въведем координатна система, като считаме, че точка A е началото на координатите, точка B има координати (1, 0, 0), точка A 1 има координати (0, 0, 1). Тогава точка C 1 има координати (1.5, 1). Векторът има координати (1, 0, 1), векторът има координати (0,5, 1). Нека използваме формулата, изразяваща косинуса на ъгъла между векторите чрез тяхното скаларно произведение и дължина. Имаме. Следователно косинусът на ъгъла между правите AB 1 и BC 1 е 0,75.
Решение 2. Нека въведем координатна система, като считаме, че точка A е началото на координатите, точка B има координати (1, 0, 0), точка A 1 има координати (0, 0, 1). Тогава точка D 1 има координати (1, 1). Векторът има координати (1, 0, 1), векторът има координати (0, 1). Нека използваме формулата, изразяваща косинуса на ъгъла между векторите чрез тяхното скаларно произведение и дължина. Имаме. Следователно косинусът на ъгъла между правите AB 1 и BC 1 е равен.
Решение 1. Нека докажем, че ъгълът между правите AB 1 и BE 1 е равен на 90 градуса. За да направим това, използваме теоремата за три перпендикуляра. А именно, ако ортогоналната проекция на наклонена равнина върху равнина е перпендикулярна на права линия, лежаща в тази равнина, то самата наклонена е перпендикулярна на тази права линия. Ортогоналната проекция на BE 1 върху равнината ABB 1 е правата линия A 1 B, перпендикулярна на AB 1. Следователно правата линия BE 1 също ще бъде перпендикулярна на правата линия AB 1, т.е. желаният ъгъл е 90°.
Решение 2. През точка B прекарваме права, успоредна на правата AB 1, и означаваме G 1 нейната пресечна точка с правата A 1 B 1. Търсеният ъгъл е равен на ъгъл E 1 BG 1. Страната BG 1 на триъгълник E 1 BG 1 е равен. В правоъгълен триъгълник BEE 1 катетите BE и EE 1 са равни съответно на 2 и 1, следователно хипотенузата на BE 1 е равна. В правоъгълен триъгълник G 1 A 1 E 1 катетите A 1 G 1 и A 1 E 1 са равни на 2 и съответно. Следователно хипотенузата G 1 E 1 е равна. Така в триъгълника BE 1 G 1 имаме: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. Съгласно теоремата, обратна на Питагоровата теорема, намираме, че ъгълът E 1 BG 1 е равен на 90 градуса.
Решение 3. Нека въведем координатна система, като считаме, че точка A е началото на координатите, точка B има координати (1, 0, 0), точка A 1 има координати (0, 0, 1), точка E има координати координати (0, 0). Тогава точката E 1 има координати (0, 1), векторът има координати (1, 0, 1), векторът има координати (-1, 1). Нека използваме формулата, изразяваща косинуса на ъгъла между векторите чрез тяхното скаларно произведение и дължина. Имаме и следователно ъгълът между правите AB 1 и BE 1 е равен на 90 градуса.
13. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете ъгъла между равнините ABC и A 1 B 1 C. Решение: Нека O, O 1 са средите на ръбовете AB и A 1 B 1. Желаният линеен ъгъл ще бъде ъгъл OCO 1. В правоъгълния триъгълник OCO 1 имаме OO 1 = 1; OC = Следователно
16. В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, да се намери ъгълът между равнините CDF 1 и AFD 1. Отговор: Решение: Нека O е центърът на призмата, G, G 1 средите на ръбовете CD и C 1 D 1. Търсеният ъгъл е равен на ъгъла GOG 1. В триъгълника GOG 1 имаме: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следователно = 60 o.
Куб 1 В куб A…D 1 намерете ъгъла между правите AC и BD 1. Отговорете. 90 o.
Куб 2 В куб A…D 1 намерете ъгъла между правите AB 1 и BD 1. Отговорете. 90 o.
Куб 3 В куб A…D 1 намерете ъгъла между правите DA 1 и BD 1. Отговорете. 90 o.
Куб 4 В единичния куб A...D 1 намерете косинуса на ъгъла между правите AE и BE 1, където E и E 1 са средите съответно на ръбовете BC и B 1 C 1. Решение. През точка A прекарваме права AF 1, успоредна на BE 1. Търсеният ъгъл е равен на ъгъла EAF 1. В триъгълника AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 = . С помощта на косинусовата теорема намираме отговора.
Куб 5 В куб A…D 1 намерете ъгъла между правите AE и BF 1, където E и F 1 са средите на ръбовете BC и C 1 D 1, съответно. От точка F 1 спускаме перпендикуляра F 1 F към правата CD. Правата AE е перпендикулярна на BF, следователно е перпендикулярна на BF 1. Отговор. 90 o.
Пирамида 1 В правилен тетраедър ABCD намерете ъгъла между правите AD и BC. Отговор: 90 o.
Пирамида 1 В правилен тетраедър ABCD точките E, F, G са среди на ръбове AB, BD, CD. Намерете ъгъл EFG. Решение. Правите EF и FG са успоредни на правите AD и BC, които са перпендикулярни. Следователно ъгълът между тях е 90 градуса. Отговор: 90 o.
Пирамида 2 В правилна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, точка E е средата на ръба SC. Намерете тангенса на ъгъла между правите SA и BE. Решение. През точка E прекарваме права, успоредна на SA. Той ще пресече основата в точка O. Търсеният ъгъл е равен на ъгъл OEB. В правоъгълния триъгълник OEB имаме: OB = Отговор: , OE = . следователно
Пирамида 3 В правилна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, точките E, F са среди на ръбовете SB и SC. Намерете косинуса на ъгъла между правите AE и BF. Решение. Нека G означава средата на ръба AD. Правата GF е успоредна на AE. Търсеният ъгъл е равен на ъгъл BFG. В триъгълник BFG имаме: BF = GF = , BG = . Използвайки косинусовата теорема намираме отговора:
Пирамида 4 В правилна пирамида SABCDEF, чиято основа е равна на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете ъгъла между правите SA и BF. Отговор: 90 o.
Пирамида 5 В правилна пирамида SABCDEF, чиито основни страни са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, точка G е средата на ръба SC. Намерете тангенса на ъгъла между правите SA и BG. Решение. Нека с H означим средата на отсечката AC. Правата GH е успоредна на SA. Търсеният ъгъл е равен на ъгъл BGH. В триъгълника BGH имаме: BH = 0, 5, GH = 1. Отговор:
Призма 1 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и BC 1. Решение: Нека построим призмата до 4-ъгълна призма . Нека начертаем AD 1 успоредно на BC 1. Желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъл B 1 AD 1. В триъгълника AB 1 D 1 Използвайки косинусовата теорема, намираме
Призма 2 В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, точките D, E са среди на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете косинуса на ъгъла между правите AD и BE. Решение. Нека F означава средата на отсечката AC. Правата EF е успоредна на AD. Търсеният ъгъл е равен на ъгъл BEF. В триъгълник BGH имаме: Използвайки закона за косинусите намираме Отговора.
Призма 3 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите AA 1 и BD 1. Решение: Търсеният ъгъл е равен на ъгъл B 1 BD 1. В правоъгълен триъгълник B 1 BD 1 B 1 D 1 = ; B 1 B =1; BD 1=2. Следователно желаният ъгъл е 60°. отговор. 60 o.
Призма 4 В правилна 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете тангенса на ъгъла между прави AA 1 и BE 1. Решение: Търсеният ъгъл е равен на ъгъл B 1 BE 1. В правоъгълен триъгълник B 1 BE 1 катет B 1 E 1 е равно на 2; страна B 1 B е равна на 1. Следователно Отг. 2.
Призма 5 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите AC 1 и BE. отговор. 90 o.
Призма 6 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите линии AD 1 и BF. отговор. 90 o.
Призма 7 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите AB 1 и BE 1. Отговор. 90 o.
Призма 8 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите BA 1 и FC 1. Решение: През средата O на отсечката FC 1, начертайте права PP 1, успоредна на BA 1. Търсеният ъгъл е равен на ъгъла POC 1. В триъгълник POC 1 имаме: PO = ; OC 1= PC 1= Следователно, отговор. .
Призма 9 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и BC 1. Решение: Нека O 1 е центърът на правилната 6-та призма призма A 1...F 1. Тогава AO 1 е успоредник BC 1, а търсеният ъгъл е равен на ъгъл B 1 AO 1. В равнобедрен триъгълник B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Прилагайки косинусовата теорема, получаваме
Призма 10 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и BD 1. Решение: Търсеният ъгъл е равен на ъгъл B 1 AE 1. В триъгълник B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Следователно,
Призма 11 В правилна 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и BF 1. Решение: Нека O, O 1 са центровете на основи на призмата. На оста на призмата начертаваме O 1 O 2 = OO 1. Тогава F 1 O 2 ще бъде успореден на AB 1, а желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла BF 1 O 2. В триъгълника BF 1 O 2 BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = По косинусовата теорема имаме
Призма 12 В правилна 6-та призма A…F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и CD 1. Решение: Търсеният ъгъл е равен на ъгъла CD 1 E. В триъгълникът CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = По косинусовата теорема имаме
Призма 13 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и CE 1. Решение: Обърнете внимание, че CE 1 е успоредна на BF 1. Следователно желаният ъгъл е равен на ъгъла между AB 1 и BF 1, който беше намерен по-рано. а именно
Призма 14 В правилна 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и CF 1. Решение: Нека O, O 1 са центровете на основи на призмата. На оста на призмата начертаваме O 1 O 2 = OO 1. Тогава F 1 O 2 ще бъде успореден на AB 1, а желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла CF 1 O 2. В триъгълника CF 1 O 2 CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = Тогава
Призма 15 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и CA 1. Решение: В продължението на BB 1 оставете настрана B 1 B 2 = BB 1. Тогава A 1 B 2 ще бъде успореден на AB 1, а търсеният ъгъл ще бъде равен на ъгъл CA 1 B 2. В триъгълник CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = Тогава
Призма 16 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и DF 1. Решение: Обърнете внимание, че DF 1 е успореден на CA 1. Следователно желаният ъгъл е равен на ъгъла между AB 1 и CA 1, който беше намерен по-рано. а именно
Призма 17 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете ъгъла между правите AB 1 и DA 1. Решение: В продължението на BB 1 оставяме настрана B 1 B 2 = BB 1. Тогава A 1 B 2 ще бъде успореден AB 1, а търсеният ъгъл ще бъде равен на ъгъла DA 1 B 2. В триъгълника DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Следователно, необходимият ъгъл е 90o.
Призма 18 В правилна 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите линии AB 1 и DC 1. Решение: Нека O е центърът на основата на призма. Отсечките OC 1 и OB 1 ще бъдат равни и успоредни съответно на отсечките AB 1 и DC 1. Търсеният ъгъл ще бъде равен на ъгъл B 1 OC 1. В триъгълника B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Тогава по косинусовата теорема
Призма 19 В правилната 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AC 1 и BD 1. Решение: Забележете, че AE 1 е успоредна на BD 1. Следователно , търсеният ъгъл е равен на ъгъл C 1 AE 1 . В триъгълник C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = По косинусовата теорема имаме
Призма 20 В правилна 6-та призма A...F 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AC 1 и BE 1. Решение: Обърнете внимание, че отсечката GG 1, минаваща през средните точки на ръбовете AF и C 1 D 1 е успореден и е равен на отсечката AC 1. Търсеният ъгъл е равен на ъгъла G 1 OE 1. В триъгълника G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 = ; G 1 E 1 = По косинусовата теорема имаме.
Единен държавен изпит 2010. МАТЕМАТИКА
Проблем C2
Работна тетрадка
Редактирано от и
Издателство MCNMO
2010
ВЪВЕДЕНИЕ
Това ръководство има за цел да ви подготви за изпълнение на задача C2 от Единния държавен изпит по математика. Неговите цели са:
– показване на приблизителната тематика и степента на трудност на геометричните задачи, включени в съдържанието на Единния държавен изпит;
– проверка на качеството на знанията и уменията на учениците по геометрия, тяхната готовност за полагане на Единния държавен изпит;
– развитие на идеите на учениците за основните геометрични фигури и техните свойства, развитие на умения за работа с чертежи и способността за извършване на допълнителни конструкции;
– повишаване на компютърната култура на учениците.
Помагалото съдържа задачи за намиране на ъгли между прави в пространството, права и равнина, две равнини; намиране на разстоянията от точка до права, от точка до равнина, между две прави. Наличието на чертежи помага да се разберат по-добре условията на проблемите, да се представи съответната геометрична ситуация, да се очертае план за решение и да се извършат допълнителни конструкции и изчисления.
За решаване на предложените проблеми са необходими познания за дефинициите на тригонометрични функции, формули за намиране на елементите на триъгълник, теоремата на Питагор, косинусовата теорема, способността за извършване на допълнителни конструкции и познаване на координатните и векторни методи на геометрията .
Всяка задача се оценява на база две точки. Една точка се присъжда за правилно конструиране или описание на необходимия ъгъл или разстояние. Също така се присъжда една точка за правилно извършени изчисления и правилен отговор.
Първо се предлага диагностична работа за намиране на ъгли и разстояния за различни полиедри. За тези, които искат да проверят правилността на решението на предложените задачи или да се уверят, че полученият отговор е правилен, се дават решения на задачите, обикновено по два различни начина, и се дават отговорите. След това, за да се консолидират разгледаните методи за решаване на проблеми, се предлага тренировъчна работа за намиране на ъгли и разстояния за всеки от видовете фигури, разглеждани в диагностичната работа.
Ако тези задачи са решени успешно, можете да преминете към извършване на окончателна диагностична работа, съдържаща задачи от различен тип.
В края на ръководството са дадени отговори на всички задачи.
Имайте предвид, че най-добрият начин да се подготвите за Единния държавен изпит по геометрия е систематично да изучавате учебник по геометрия. Това ръководство не замества учебника. Може да се използва като допълнителна колекциязадачи при изучаване на геометрия в 10-11 клас, както и при организиране на обобщено повторение или самостоятелни занимания по геометрия.
Диагностична работа
1.1. В единичен куб А…г 1 намерете ъгъла между линиите AB 1 и пр.н.е. 1.
1.2.
В единичен куб А…г 1 намерете ъгъла между линиите Д.А. 1 и BD 1.
1.3 . ABCA 1Б 1В AD 1 и н.е. 1, където г 1 и д 1 – съответно средата на ребрата А 1В 1 и Б 1В 1.
2.1. А…Е А.Ф.и самолет
2.2.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете ъгъла между правата CC 1 и самолет
2.3
. SABCD БЪДЕТЕи самолет S.A.D., Къде д– средата на реброто S.C..
3.1.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете ъгъла между равнините
AFF 1 и ДИЙ 1.
3.2. В единичен куб А…г
ДОБАВЯНЕ 1 и BDC 1.
3.3.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1г 1 ACB 1 и Б.А. 1В 1.
4.1. В правилна шестоъгълна призма А…Е Акъм права линия г 1Е 1.
4.2.
В единичен куб А…г Акъм права линия BD 1.
4.3. SABCDEF Екъм права линия Б.Г., Къде Ж– средата на реброто S.C..
5.1. В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Ада рендосвам ИАЛ 1.
5.2.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам SBC.
5.3.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам B.F.E. 1.
6.1.
В правилна четириъгълна пирамида SABCD S.A.и пр.н.е..
6.2. В единичен куб А…г AB 1 и пр.н.е. 1.
6.3.
В правилна шестоъгълна призма А…Е А.А. 1 и CF 1.
Решения на задачи 1.1 – 1.3 от диагностичната работа
1.1.
Първо решение. Направо AD 1 е успоредна на правата пр.н.е. 1 и следователно ъгълът между правите AB 1 и пр.н.е. 1 е равно на ъгъл Б 1AD 1. Триъгълник Б 1AD 1 равностранен и следователно ъгъл Б 1AD 1 е равно на 60o.
Второ решение А, координатни оси – прави AB, AD, А.А. 1. Вектор има координати (1, 0, 1). вектор има координати (0, 1, 1). Нека използваме формулата за намиране на косинуса на ъгъла между векторите и . Получаваме и следователно ъгълът е 60°. Следователно желаният ъгъл между линиите AB 1 и пр.н.е. 1 е равно на 60o.
отговор. 60o.
1.2. Първо решение. Помислете за ортогоналната проекция AD 1 прав BD 1 на самолет ДОБАВЯНЕ 1. Направо AD 1 и Д.А. 1 са перпендикулярни. От теоремата за три перпендикуляра следва, че правите Д.А. 1 и BD 1 също са перпендикулярни, т.е. желаният ъгъл между правите линии Д.А. 1 и BD 1 е равно на 90o.
Второ решение. Нека въведем координатна система, разглеждайки точката като начало на координатите А, координатни оси – прави AB, AD, А.А. 1. Вектор има координати (0, -1, 1). вектор има координати (-1, 1, 1). Скаларното произведение на тези вектори е равно на нула и следователно желаният ъгъл между линиите Д.А. 1 и BD 1 е равно на 90o.
отговор. 90o.
1.3 . Първо решение. Нека обозначим ги Е 1 съответно средата на ребрата A.C.и А 1Б 1.
Директен DC 1 и DF 1 ще бъдат съответно успоредни на прави линии AD 1 и н.е. 1. Следователно ъгълът между правите AD 1 и н.е. 1 ще бъде равно на ъгъла В 1DF 1. Триъгълник В 1DF 1 равнобедрен, DC 1 = DF 1 = , В 1Е 1 = . Използвайки косинусовата теорема, получаваме 
.
Второ решение. Нека въведем координатна система, разглеждайки точката като начало на координатите Акакто е показано на снимката. Точка Вима координати , точка г 1 има координати, точка д 1 има координати. Векторът има координати. Векторът има координати 
. Косинус на ъгъла между правите AD 1 и н.е. 1 е равен на косинуса на ъгъла между векторите и . Нека използваме формулата за намиране на косинуса на ъгъла между векторите. Ще го вземем.
отговор. 0,7.
Учебна работа 1. Ъгъл между прави
1.
В куб А…г 1 намерете косинуса на ъгъла между линиите ABи C.A. 1.
2. В правилен тетраедър ABCDточка д– средата на реброто CD. Намерете косинуса на ъгъла между правите пр.н.е.и А.Е..
3. В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите ABи C.A. 1.
4.
В правилна четириъгълна пирамида SABCD д– средата на реброто SD С.Б.и А.Е..
5.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите ABи F.E. 1.
6. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и пр.н.е. 1.
7. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF С.Б.и А.Е..
8. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете косинуса на ъгъла между правите С.Б.и AD.
Решения на задачи 2.1 – 2.3 от диагностичната работа
2.1. Решение.Нека О– център на долната основа на призмата. Направо Б.О.паралелен А.Ф.. Още от самолета ABCи BCC 1 са перпендикулярни, тогава търсеният ъгъл ще бъде ъгълът OBC. Тъй като триъгълникът OBCравностранен, тогава този ъгъл ще бъде равен на 60°.
отговор. 60o.
2.2.
Решение. Тъй като направо BB 1 и CC 1 са успоредни, тогава желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла между правата BB 1 и самолет BDE 1. Директен BD, през който минава самолета BDE 1, перпендикулярна на равнината ABB 1 и следователно равнина BDE 1 перпендикулярна на равнината ABB 1. Следователно желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла А 1BB 1, т.е. равно на 45o.
отговор. 45o.
2.3. Решение. През върха Сначертайте линия, успоредна на линията ABи начертайте отсечка върху него SF, равен на сегмента AB. В тетраедър SBCFвсички ръбове са равни на 1 и равнината BCFуспоредна на равнината S.A.D.. Перпендикулярен Е.Х., отпадна от точката ддо самолета BCF, е равно на половината от височината на тетраедъра, т.е. равно на . Ъгъл между права линия БЪДЕТЕи самолет S.A.D.равен на ъгъл EBH, чийто синус е равен на .
отговор. .
Учебна работа 2. Ъгъл между права и равнина
1.
В куб А…г 1 намерете тангенса на ъгъла между правата A.C. 1 и самолет
2.
В куб А…г ABи самолет
C.B. 1г 1.
3.
В правилен тетраедър ABCDточка д– средата на реброто BD. Намерете синуса на ъгъла между правата А.Е.и самолет
4. В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете тангенса на ъгъла между правата BB 1 и самолет
AB 1В 1.
5. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете синуса на ъгъла между правата BDи самолет
6.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF пр.н.е.и самолет
7. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете ъгъла между правата А.А. 1 и самолет
8. В правилна шестоъгълна призма А…Е пр.н.е. 1 и самолет
Решения на задачи 3.1 – 3.3 диагностична работа
3.1.
Първо решение. Още от самолета FCC 1 успоредна на равнината ДИЙ AFF 1 и FCC 1. Тъй като самолетът AFF 1 и FCC 1 перпендикулярна на равнината ABC A.F.C., което е равно на 60o.
Второ решение. Още от самолета AFF 1 успоредна на равнината ПЧЕЛА 1, тогава желаният ъгъл е равен на ъгъла между равнините ПЧЕЛА 1 и ДИЙ 1. Тъй като самолетът ПЧЕЛА 1 и ДИЙ 1 перпендикулярна на равнината ABC, тогава съответният линеен ъгъл ще бъде ъгълът ЛЕГЛО, което е равно на 60o.
отговор. 60o.
3.2.
Решение. Още от самолета ДОБАВЯНЕ 1 успоредна на равнината BCC 1, тогава желаният ъгъл е равен на ъгъла между равнините BCC 1 и BDC 1. Нека д– средата на сегмента пр.н.е. 1. След това направо н.е.и DEще бъде перпендикулярна на правата пр.н.е. 1 и следователно ъгълът CEDще бъде линейният ъгъл между равнините BCC 1 и BDC 1. Триъгълник CEDправоъгълна, крак CDе равно на 1, крак н.е.равно на . следователно 
.
3.3. Нека DE– линия на пресичане на тези равнини, Е– средата на сегмента DE, Ж– средата на сегмента А 1В 1. Ъгъл GFB 1 е линейният ъгъл между тези равнини. В триъгълник GFB 1 имаме: FG =
FB 1 = , G.B. 1 = . Използвайки косинусовата теорема, намираме 
.
отговор. .
Учебна работа 3. Ъгъл между две равнини
1.
В куб А…г 1 намерете тангенса на ъгъла между равнините
ABCи C.B. 1г 1.
2.
В куб А…г Б
А 1В 1 и AB 1г 1.
3.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В
ABCи C.A. 1Б 1.
4. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между равнините С
ADи SBC.
5. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на двустенния ъгъл, образуван от лицата
SBCи SCD.
6.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF
SBCи S.E.F..
7. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете косинуса на ъгъла между равнините
SAFи SBC.
8. В правилна шестоъгълна призма А… Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете тангенса на ъгъла между равнините
ABCи Д.Б. 1Е 1.
Решения на задачи 4.1 – 4.3 от диагностичната работа
4.1. Решение.Тъй като е прав г 1Е 1 перпендикулярна на равнината AFF 1, след това сегмента А.Ф. 1 ще бъде търсеният перпендикуляр, спуснат от точката Адиректно г 1Е 1. Дължината му е .
4.2. Първо решение А.Х.правоъгълен триъгълник ABD 1, в която AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . За площ С . Откъде го намираме? А.Х. = .
Второ решение. Необходимият перпендикуляр е височината А.Х.правоъгълен триъгълник ABD 1, в която AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Триъгълници ЛОШО 1 и B.H.A. AD 1:BD 1 = А.Х.:AB. Откъде го намираме? А.Х. = .
Трето решение. Необходимият перпендикуляр е височината А.Х.правоъгълен триъгълник ABD 1, в която AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Къде 
и следователно 
отговор. .
4.3. Необходимото разстояние от точката Екъм права линия Б.Г.равен на височината FHтриъгълник FBG, в който FB = FG = , Б.Г.= . Използвайки Питагоровата теорема намираме FH = .
Учебна работа 4. Разстояние от точка до права
1.
В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Бкъм права линия Д.А. 1.
2.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Бкъм права линия A.C. 1.
3. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Скъм права линия Б.Ф..
4.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Бкъм права линия S.A..
5.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Бкъм права линия А 1Е 1.
6. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Бкъм права линия А 1г 1.
7.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Бкъм права линия F.E. 1.
8. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Бкъм права линия AD 1.
Решения на задачи 5.1 – 5.3 от диагностичната работа
5.1.
Първо решение. Нека О– средата на сегмента BD. Направо BDперпендикулярна на равнината AOA 1. Следователно, самолети ИАЛ 1 и AOA Адо самолета ИАЛ 1, е височината А.Х.правоъгълен триъгълник AOA 1, в която А.А. 1 = 1, А.О. = , О.А. 1 = . За площ Сна този триъгълник важат равенствата . Откъде го намираме? А.Х. = .
Второ решение. Нека О– средата на сегмента BD. Направо BDперпендикулярна на равнината AOA 1. Следователно, самолети ИАЛ 1 и AOA 1 са перпендикулярни. Търсеният перпендикуляр падна от точката Адо самолета ИАЛ 1, е височината А.Х.правоъгълен триъгълник AOA 1, в която А.А. 1 = 1, А.О. = , О.А. 1 = . Триъгълници AOA 1 и HOAподобни в три ъгъла. следователно А.А. 1:О.А. 1 = А.Х.:А.О.. Откъде го намираме? А.Х. = .
Трето решение. Нека О– средата на сегмента BD. Направо BDперпендикулярна на равнината AOA 1. Следователно, самолети ИАЛ 1 и AOA 1 са перпендикулярни. Търсеният перпендикуляр падна от точката Адо самолета ИАЛ 1, е височината А.Х.правоъгълен триъгълник AOA 1, в която А.А. 1 = 1, А.О. = , О.А. 1 = . Къде 
и следователно 
отговор. .
5.2.
Първо решение. Нека О А.О.успоредна на правата пр.н.е. SBC Ода рендосвам SBC. Нека Ж– средата на сегмента пр.н.е.. После направо О.Г.перпендикулярен пр.н.е. Одо самолета SBC, е височината ОХправоъгълен триъгълник SOG. В този триъгълник О.Г. = , С.Г. = , ТАКА= . За площ Сна този триъгълник важат равенствата . Откъде го намираме? ОХ = .
Второ решение. Нека О– центъра на основата на пирамидата. Направо А.О.успоредна на правата пр.н.е.и следователно успоредна на равнината SBC. Следователно търсеното разстояние е равно на разстоянието от точката Ода рендосвам SBC. Нека Ж– средата на сегмента пр.н.е.. После направо О.Г.перпендикулярен пр.н.е.и желаният перпендикуляр падна от точката Одо самолета SBC, е височината ОХправоъгълен триъгълник SOG. В този триъгълник О.Г. = , С.Г. = , ТАКА= . Триъгълници SOGи OHGподобни в три ъгъла. следователно ТАКА:С.Г. = ОХ:О.Г.. Откъде го намираме? ОХ = .
отговор. .
5.3. Първо решение. Нека Ои О 1 – центрове на основите на призмата. Направо А.О. 1 успоредна на равнината B.F.E. 1 и следователно разстоянието от точката Ада рендосвам B.F.E. 1 е равно на разстоянието от правата А.О. 1 до равнина B.F.E. 1. Самолет AOO 1 перпендикулярна на равнината B.F.E. 1 и следователно разстоянието от правата линия А.О. 1 до равнина B.F.E. 1 е равно на разстоянието от правата А.О. 1 до пресечната линия GG 1 самолети AOO 1 и B.F.E. 1. Триъгълник AOO 1 правоъгълна, А.О. =
О.О. 1 = 1, GG 1 – средната му линия. Следователно разстоянието между линиите А.О. 1 и GG 1 е равно на половината от височината ОХтриъгълник AOO 1, т.е. равно на .
Второ решение. Нека Ж– точка на пресичане на линиите ADи Б.Ф.. Ъгъл между права линия ADи самолет B.F.E. 1 е равен на ъгъла между правите пр.н.е.и пр.н.е. 1 и е равно на 45o. Перпендикулярен А.Х., отпадна от точката Адо самолета B.F.E. 1, равно на . защото А.Г. = 0,5 тогава А.Х. = .
отговор. .
Учебна работа 5. Разстояние от точка до равнина
1.
В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Ада рендосвам C.B. 1г 1.
2.
В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Ада рендосвам BDC 1.
3.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам пр.н.е. 1.
4.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам C.A. 1Б 1.
5. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам SCD.
6. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам SDE.
7. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам D.E.A. 1.
8. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам DEF 1.
Решения на задачи 6.1 – 6.3 от диагностичната работа
6.1. Решение.Направо пр.н.е.успоредна на равнината S.A.D., който съдържа правата линия S.A.. Следователно разстоянието между линиите S.A.и пр.н.е.равно на разстоянието от правата линия пр.н.е.да рендосвам S.A.D..
Нека ди Есъответно средата на ребрата ADи пр.н.е.. Тогава необходимият перпендикуляр ще бъде височината FHтриъгълник S.E.F.. В триъгълник S.E.F.имаме: EF = 1, S.E. = SF= , височина ТАКАравно на . За площ Стриъгълник S.E.F.важат равенствата, от които получаваме.
6.2.
Решение. Самолети AB 1г 1 и BDC 1, в която лежат тези прави, са успоредни. Следователно разстоянието между тези прави линии е равно на разстоянието между съответните равнини.
Диагонал C.A. 1 куб е перпендикулярен на тези равнини. Нека обозначим ди Едиагонални пресечни точки C.A. 1 съответно със самолети AB 1г 1 и BDC 1. Дължина на сегмента EFще бъде равно на разстоянието между линиите AB 1 и пр.н.е. 1. Нека Ои О 1, съответно центровете на лицата ABCDи А 1Б 1В 1г 1 кубче. В триъгълник ACEсегмент ОТпаралелен А.Е.и минава през средата A.C.. следователно ОТ ACEи следователно, EF = F.C.. По същия начин е доказано, че О 1д– средна линия на триъгълника А 1В 1Еи следователно, А 1д = EF. по този начин EFе една трета от диагонала C.A. 1, т.е. EF = .
отговор. .
6.3. Решение. Разстояние между линиите А.А. 1 и CF 1 е равно на разстоянието между успоредни равнини ABB 1 и CFF 1, в която се намират тези редове. То е равно.
Учебна работа 6. Разстояние между две прави
1.
В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието между линиите Б.А. 1 и Д.Б. 1.
2.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите CC 1 и AB.
3.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите ABи C.B. 1.
4.
В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите С.Б.и A.C..
5.
В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете разстоянието между правите S.A.и CD.
6.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF С.Б.и А.Ф..
7.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието между линиите С.Б.и А.Е..
8.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите BB 1 и EF 1.
Диагностична работа 1
1. В куб А…г 1 намерете ъгъла между линиите Б.А. 1 и Б 1г 1.
2. В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и пр.н.е. 1.
3.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и DC 1.
4. В куб А…г 1 намерете синуса на ъгъла между правата А 1 г 1 и самолет
5. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете синуса на ъгъла между правата ABи самолет
6.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете синуса на ъгъла между правата А.Ф. 1 и самолет
7. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между равнините
ABCи SCD.
8.
В правилна шестоъгълна призма А…Е
AFF 1 и BCC 1.
9. В куб А…г 1 намерете косинуса на ъгъла между равнините
AB 1г 1 и C.B. 1г 1.
10. В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Бкъм права линия Д.А. 1.
11. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Акъм права линия Е.Б. 1.
12.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Акъм права линия SD.
13. В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Бда рендосвам Д.А. 1В 1.
14. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам B.F.A. 1.
15.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам S.C.E..
16.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите А.А. 1 и пр.н.е..
17. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите BB 1 и CD 1.
18. В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието между линиите AB 1 и BD 1.
Диагностична работа 2
1. В куб А…г 1 намерете ъгъла между линиите AB 1 и BD 1.
2. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, чиито ръбове са равни на 1, точка д– средата на реброто С.Б.. Намерете тангенса на ъгъла между правите S.A.и БЪДЕТЕ.
3. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, чиито ръбове са равни на 1, намерете косинуса на ъгъла между правите AB 1 и BD 1.
4. В куб А…г 1 намерете синуса на ъгъла между правата DD 1 и самолет
5. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете синуса на ъгъла между правата А.Ф.и самолет
6. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете синуса на ъгъла между правата пр.н.е. 1 и самолет
7.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете косинуса на ъгъла между равнините
ABCи S.E.F..
8.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1 намерете ъгъла между равнините
AFF 1 и BDD 1.
9. В куб А…г 1 намерете тангенса на ъгъла между равнините
ABCи Д.А. 1В 1.
10.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Акъм права линия C.B. 1.
11.
В правилна шестоъгълна призма А … Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Акъм права линия БЪДЕТЕ 1.
12. В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Акъм права линия S.C..
13.
В единичен куб А…г 1 намерете разстоянието от точката Бда рендосвам AB 1г 1.
14.
В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам CEF 1.
15.
В правилна шестоъгълна пирамида SABCDEF, страните на основата са равни на 1, а страничните ръбове са равни на 2, намерете разстоянието от точката Ада рендосвам SBF.
16.
В правилна триъгълна призма ABCA 1Б 1В 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите А.А. 1 и пр.н.е. 1.
17. В правилна шестоъгълна призма А…Е 1, всички ръбове на която са равни на 1, намерете разстоянието между правите BB 1 и F.E. 1.