Следваща дефиниция на последователност. Дефиниране на числова последователност

Последователност

съществително, и., използвани сравнявам често

Морфология: (не, какво? последователности, Какво? последователности, (виж какво? подпоследователност, как? последователност, за какво? относно последователността; мн. Какво? последователности, (не, какво? последователности, Какво? последователности, (виж какво? последователности, как? последователности, за какво? относно последователностите

1. Последователностнарича ред, в който един елемент е разположен до друг.

Непрекъсната последователност. | Хронологична последователност. | Запомнете последователността на събитията. | Последователност в разсъжденията. | Последователност в действията.

2. По математика, информатика последователностназовават поредица от числа, информационни елементи от определен тип.

Безкрайна редица от числа. | Граница на консистенция. | Структурата е обект, състоящ се от поредица от именувани членове, като всеки член може да бъде от произволен тип.

Обяснителен речник на руския език от дмитриев. Д. В. Дмитриев. 2003 г.

Синоними:

Вижте какво е „последователност“ в други речници:

Последователността е набор от елементи на определено множество: за всяко естествено число можете да посочите елемент от това множество; това число е номерът на елемента и показва позицията на този елемент в редицата; за всеки... ... Уикипедия

ПОСЛЕДВАНЕ. В статията на И. В. Киреевски „Деветнадесети век” (1830 г.) четем: „От самото падане на Римската империя до наши дни просвещението на Европа се явява пред нас в постепенно развитие и в непрекъсната последователност” (том 1, стр. ... ... История на думите

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, поредици, мн. не, женска (Книга). разсеян съществително към последователно. Поредица от събития. Последователност в променящите се приливи и отливи. Последователност в разсъжденията. Обяснителен речник на Ушаков.... ... Обяснителен речник на Ушаков

Постоянство, приемственост, логичност; ред, прогресия, заключение, серия, низ, завой, верига, верига, каскада, щафета; постоянство, валидност, набор, методичност, подреждане, хармония, упоритост, подпоследователност, връзка, опашка,... ... Речник на синонимите

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, числа или елементи, подредени по организиран начин. Поредиците могат да бъдат крайни (с ограничен брой елементи) или безкрайни, като пълната поредица от естествени числа 1, 2, 3, 4 ....... ... Научно-технически енциклопедичен речник

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2,..., xn,... или накратко (xi) ... Съвременна енциклопедия

Едно от основните понятия на математиката. Последователността се формира от елементи от произволно естество, номерирани с естествени числа 1, 2, ..., n, ... и записани като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xn) . .. Голям енциклопедичен речник

Последователност- ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xi). ... Илюстрован енциклопедичен речник

SEQUENCE и женски. 1. Вижте последователно. 2. В математиката: безкраен подреден набор от числа. Обяснителен речник на Ожегов. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Обяснителен речник на Ожегов

Английски приемственост/последователност; Немски Последствие. 1. Редът на един след друг. 2. Едно от основните понятия на математиката. 3. Качеството на правилното логическо мислене, при което разсъжденията са свободни от вътрешни противоречия в едното и другото... ... Енциклопедия по социология

Последователност- „функция, дефинирана върху набор от естествени числа, чийто набор от стойности може да се състои от елементи от всякакво естество: числа, точки, функции, вектори, множества, случайни променливи и т.н., номерирани с естествени числа. . Икономически и математически речник

Книги

Изграждаме последователност. Котенца. 2-3 години. Игра "Котенца". Изграждаме последователност. Ниво 1. Поредица "Предучилищно възпитание". Весели котенца решиха да се пекат на плажа! Но те не могат да разделят местата. Помогнете им...

Помислете за поредица от естествени числа: 1, 2, 3, , н – 1, н,  .

Ако заменим всяко естествено число нв тази серия с определен брой а н, следвайки някакъв закон, получаваме нова серия от числа:

а 1 , а 2 , а 3 , , а н –1 , а н , ,

накратко обозначен и наречен числова последователност. величина а нсе нарича общ член на числова редица. Обикновено числовата последователност се дава с някаква формула а н = f(н), което ви позволява да намерите всеки член на редицата по неговия номер н; тази формула се нарича обща терминна формула. Имайте предвид, че не винаги е възможно да се дефинира числова последователност, като се използва формула с общ термин; понякога последователност се специфицира чрез описание на нейните членове.

По дефиниция една последователност винаги съдържа безкраен брой елементи: всеки два различни елемента се различават най-малко по броя си, от които има безкрайно много.

Числовата последователност е частен случай на функция. Последователността е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа и приемаща стойности в множеството от реални числа, т.е. функция от формата f : н  Р.

Последователност
Наречен повишаване на(намаляващи), ако има такива н  н
Такива последователности се наричат строго монотонен.

Понякога е удобно да се използват не всички естествени числа като числа, а само някои от тях (например естествени числа, започващи от някакво естествено число н 0). За номериране също е възможно да се използват не само естествени числа, но и други числа, напр. н= 0, 1, 2,  (тук нулата се добавя като друго число към набора от естествени числа). В такива случаи, когато посочвате последователността, посочете какви стойности приемат числата н.

Ако в някаква последователност за всяка н  н
тогава последователността се извиква ненамаляващ(ненарастващ). Такива последователности се наричат монотонен.

Пример 1 . Числовата редица 1, 2, 3, 4, 5, ... е поредица от естествени числа и има общ термин а н = н.

Пример 2 . Числовата последователност 2, 4, 6, 8, 10, ... е поредица от четни числа и има общ термин а н = 2н.

Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – числова последователност от приблизителни стойности с нарастваща точност.

В последния пример е невъзможно да се даде формула за общия член на редицата.

Пример 4 . Напишете първите 5 члена на числова последователност, като използвате неговия общ член
. Да изчисля а 1 е необходимо във формулата за общия термин а нвместо нзаместете 1, за да изчислите а 2 − 2 и т.н. Тогава имаме:

Тест 6 . Общият член на редицата 1, 2, 6, 24, 120,  е:

Тест 7 .
е:

Тест 8 . Общ член на последователността
е:

Ограничение за последователност от номера

Помислете за редица от числа, чийто общ член се доближава до някакво число Акогато серийният номер се увеличи н. В този случай се казва, че числовата последователност има ограничение. Това понятие има по-строга дефиниция.

Номер Анаречена граница на числова последователност
:

(1)

ако за всяко  > 0 има такова число н 0 = н 0 (), в зависимост от , което
при н > н 0 .

Това определение означава, че Аима ограничение за числова последователност, ако нейният общ член се приближава без ограничение Ас увеличаване н. Геометрично това означава, че за всяко  > 0 може да се намери такова число н 0 , което, започвайки от н > н 0, всички членове на редицата са разположени вътре в интервала ( А – , А+ ). Извиква се последователност с граница конвергентен; в противен случай - разнопосочни.

Числовата последователност може да има само една граница (крайна или безкрайна) на определен знак.

Пример 5 . Хармонична последователност има гранично число 0. Наистина, за всеки интервал (–; +) като число н 0 може да бъде всяко цяло число, по-голямо от . След това за всички н > н 0 > имаме

Пример 6 . Последователността 2, 5, 2, 5,  е дивергентна. Наистина, нито един интервал с дължина, по-малка от например единица, не може да съдържа всички членове на редицата, започвайки от определено число.

Последователността се нарича ограничен, ако такъв номер съществува М, Какво
за всички н. Всяка конвергентна последователност е ограничена. Всяка монотонна и ограничена последователност има граница. Всяка конвергентна последователност има уникален лимит.

Пример 7 . Последователност
се увеличава и ограничава. Тя има лимит
=д.

Номер дНаречен Число на Ойлери приблизително равно на 2,718 28.

Тест 9 . Последователността 1, 4, 9, 16,  е:

1) конвергентен;

2) дивергентни;

3) ограничен;

Тест 10 . Последователност
е:

1) конвергентен;

2) дивергентни;

3) ограничен;

4) аритметична прогресия;

5) геометрична прогресия.

Тест 11 . Последователност не е:

1) конвергентен;

2) дивергентни;

3) ограничен;

4) хармоничен.

Тест 12 . Граница на последователност, дадена от общ член
равен.

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

Последователност- Това комплектелементи на някакъв набор:

за всяко естествено число можете да посочите елемент от дадено множество;
това число е номерът на елемента и показва позицията на този елемент в редицата;
За всеки елемент (член) от последователност можете да посочите следващия елемент от последователността.

Така че последователността се оказва резултат последователенизбор на елементи от дадено множество. И ако някой набор от елементи е краен и говорим за извадка с краен обем, тогава последователността се оказва извадка с безкраен обем.

Една последователност по своята същност е картографиране, така че не трябва да се бърка с набор, който „минава през” последователността.

В математиката се разглеждат много различни последователности:

времеви редове от числово и нечислово естество;
последователности от елементи на метричното пространство
последователности от функционални пространствени елементи
последователности от състояния на системи за управление и автомати.

Целта на изучаването на всички възможни последователности е търсене на модели, прогнозиране на бъдещи състояния и генериране на последователности.

Определение

Нека се даде някакъв комплект $х$ елементи от произволен характер. | Всяко картографиране $f\colon\mathbb(N)\до X$ набор от естествени числа $\mathbb(N)$ към даден набор $х$ Наречен последователност(елементи от комплекта $х$ ).

Изображение на естествено число $н$ , а именно елементът $x_n=f(n)$ , Наречен $н$ -th членили елемент на последователност, а поредният номер на член на редицата е нейният индекс.

Свързани определения

Подмножество $f\left[\mathbb(N)\right]$ комплекти $х$ , която се образува от елементите на редицата, се нарича носител на последователност: докато индексът преминава през набора от естествени числа, точката, „представляваща“ последователността, „се движи“ по носителя.

Ако вземем нарастваща последователност от естествени числа, тогава тя може да се разглежда като последователност от индекси на някаква последователност: ако вземем елементите на оригиналната последователност със съответните индекси (взети от нарастващата последователност от естествени числа), тогава ние може отново да получи извикване на последователност подпоследователностдадена последователност.

Коментари

Не смесвайте носителя на последователността и самата последователност! Например точка $а\в X$ като подмножество с една точка $$a$\подмножество X$ е носител на стационарна последователност на формата $a,a,a,\точки$ .

Всяко зададено картографиране $\mathbb(N)$ в себе си също е последователност.

В математическия анализ важна концепция е границата на числова последователност.

Наименования

Последователности на формата

$x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots$

Прието е да се пише компактно, като се използват скоби:

$(x_n)$ или $(x_n)_(n=1)^(\infty)$

Понякога се използват фигурни скоби:

$$x_n$_(n=1)^(\infty)$

Позволявайки известна свобода на словото, можем да разгледаме и крайни последователности на формата

$(x_n)_(n=1)^N$ ,

които представляват образа на началния сегмент на редица от естествени числа.

Вижте също

Напишете отзив за статията "Последователност"

Бележки

Литература

Последователност // Енциклопедичен речник на младите математици / Comp. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - С. 242-245. - 352 с.

Поредици и серии

Последователности

Редове, основни

Цифрови серии (действия с числови серии)

Функционална серия

Други видове редове

Признаци на конвергенция

Пасаж, характеризиращ Последователността

Сред хората, избрани за обект на разговор, компанията на Джули се оказа при Ростови.
„Казват, че нещата им са много зле“, каза Джули. - И той е толкова глупав - самият граф. Семейство Разумовски искаше да купи къщата му и имота му близо до Москва и всичко това се проточи. Той е ценен.
„Не, изглежда, че продажбата ще се състои един от тези дни“, каза някой. – Въпреки че сега е лудост да се купува нещо в Москва.
- От това, което? – каза Джули. – Наистина ли мислите, че има опасност за Москва?
- Защо отиваш?
- Аз? Това е странно. Отивам, защото... добре, защото всички отиват, а аз не съм Жана д'Арк или амазонка.
- Ами да, да, дай още парцали.
„Ако успее да свърши нещата, може да изплати всичките си дългове“, продължи милиционерът за Ростов.
- Добър старец, но много слаб баща [лош]. И защо живеят тук толкова дълго? Те отдавна искаха да отидат на село. Натали изглежда ли добре сега? – попита Жули Пиер, усмихвайки се лукаво.
„Те очакват по-малък син“, каза Пиер. „Той се присъедини към казаците на Оболенски и отиде в Била Церква. Там се формира полк. И сега го прехвърлиха в моя полк и го чакат всеки ден. Графът отдавна иска да отиде, но графинята никога няма да се съгласи да напусне Москва, докато синът й не пристигне.
„Видях ги онзи ден при Архарови. Натали отново изглеждаше по-хубава и весела. Тя изпя един романс. Колко лесно е за някои хора!
-Какво става? – недоволно попита Пиер. Джули се усмихна.
— Знаете, графе, че рицари като вас има само в романите на мадам Суза.
- Кой рицар? От това, което? – попита Пиер, изчервявайки се.
- Е, хайде, скъпи графе, c "est la fable de tout Moscou. Je vous admire, ma parole d" honneur. [цяла Москва знае това. Наистина, изненадан съм от теб.]
- Глоба! Глоба! - каза милиционерът.
- Добре тогава. Не можеш да ми кажеш колко е скучно!
„Qu"est ce qui est la fable de tout Moscou? [Какво знае цяла Москва?] - каза Пиер ядосано, ставайки.
- Хайде, графе. Ти знаеш!
— Нищо не знам — каза Пиер.
– Знам, че си бил приятел с Натали и затова... Не, винаги съм бил по-приятел с Вера. Cette chere Vera! [Тази сладка Вера!]
— Не, мадам — продължи Пиер с недоволен тон. „Изобщо не поех ролята на рицаря на Ростова и не съм бил с тях почти месец.“ Но аз не разбирам жестокостта...
„Qui s"excuse - s"accuse, [Който се извинява, обвинява себе си.] - каза Джули, усмихвайки се и размахвайки мъх, и за да има последната дума, веднага промени разговора. „Какво, днес разбрах: бедната Мари Волконская пристигна в Москва вчера. Чу ли, че е загубила баща си?
- Наистина ли! Къде е тя? „Много бих искал да я видя“, каза Пиер.
– Вчера прекарах вечерта с нея. Днес или утре сутринта тя отива в района на Москва с племенника си.
- Е, как е тя? - каза Пиер.
- Нищо, тъжно ми е. Но знаете ли кой я спаси? Това е цял роман. Николай Ростов. Те я обградиха, искаха да я убият, раниха хората й. Той се втурна и я спаси...
„Още един роман“, каза милиционерът. „Това всеобщо бягство беше определено направено, за да се оженят всички стари булки.“ Катиче е една, принцеса Болконская е друга.
„Знаете, че наистина мисля, че тя е un petit peu amoureuse du jeune homme.“ [малко влюбен в млад мъж.]
- Глоба! Глоба! Глоба!
– Но как може да се каже това на руски?..

Когато Пиер се върна у дома, му бяха дадени два плаката на Растопчин, донесени същия ден.
Първият каза, че слухът, че на граф Ростопчин е забранено да напуска Москва, е несправедлив и че, напротив, граф Ростопчин се радва, че дамите и съпругите на търговците напускат Москва. „По-малко страх, по-малко новини“, се казва на плаката, „но отговарям с живота си, че в Москва няма да има злодей“. Тези думи ясно показаха на Пиер за първи път, че французите ще бъдат в Москва. Вторият плакат казваше, че основният ни апартамент е във Вязма, че граф Витшщайн е победил французите, но тъй като много жители искат да се въоръжат, в арсенала има подготвени оръжия за тях: саби, пистолети, пушки, които жителите могат да получат евтина цена. Тонът на плакатите вече не беше така закачлив, както в предишните разговори на Чигирин. Пиер се замисли върху тези плакати. Явно онзи страшен гръмотевичен облак, който той призоваваше с цялата си сила на душата си и който същевременно събуждаше у него неволен ужас - явно този облак се приближаваше.

Последователност

Последователност- Това комплектелементи на някакъв набор:

за всяко естествено число можете да посочите елемент от дадено множество;
това число е номерът на елемента и показва позицията на този елемент в редицата;
За всеки елемент (член) от последователност можете да посочите следващия елемент от последователността.

В математиката се разглеждат много различни последователности:

времеви редове от числово и нечислово естество;
последователности от елементи на метричното пространство
последователности от функционални пространствени елементи
последователности от състояния на управляващи системи и машини.

Определение

Нека е дадено определено множество от произволни елементи. | Всяко преобразуване от набор от естествени числа към даден набор се нарича последователност(елементи от комплекта).

Образът на естествено число, а именно елементът, се нарича - th членили елемент на последователност, а поредният номер на член на редицата е нейният индекс.

Свързани определения

Ако вземем нарастваща последователност от естествени числа, тогава тя може да се разглежда като последователност от индекси на някаква последователност: ако вземем елементите на оригиналната последователност със съответните индекси (взети от нарастващата последователност от естествени числа), тогава ние може отново да получи извикване на последователност подпоследователностдадена последователност.

Коментари

В математическия анализ важна концепция е границата на числова последователност.

Наименования

Последователности на формата

Прието е да се пише компактно, като се използват скоби:

или

Понякога се използват фигурни скоби:

Позволявайки известна свобода на словото, можем да разгледаме и крайни последователности на формата

които представляват образа на началния сегмент на редица от естествени числа.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Вижте какво е „последователност“ в други речници:

Книги

Изграждаме последователност. Котенца. 2-3 години. Игра "Котенца". Изграждаме последователност. Ниво 1. Поредица "Предучилищно възпитание". Весели котенца решиха да се пекат на плажа! Но те не могат да разделят местата. Помогнете им...

Определение .
Числова последователност (xn) е закон (правило), според който за всяко естествено число n = 1, 2, 3, . . . е присвоено определено число x n.
Елементът x n се нарича n-ти член или елемент на редицата.

Последователността се обозначава като n-тия член, ограден във фигурни скоби: . Възможни са и следните обозначения: . Те изрично показват, че индексът n принадлежи към множеството от естествени числа и самата последователност има безкраен брой членове. Ето няколко примерни последователности:
, , .

С други думи, числова последователност е функция, чиято област на дефиниране е множеството от естествени числа. Броят на елементите на редицата е безкраен. Сред елементите може да има и членове, които имат същите значения. Също така една последователност може да се разглежда като номериран набор от числа, състоящ се от безкраен брой членове.

Ще се интересуваме главно от въпроса как се държат последователностите, когато n клони към безкрайност: . Този материал е представен в раздел Граница на редица - основни теореми и свойства. Тук ще разгледаме някои примери за последователности.

Примери за последователност

Примери за безкрайно нарастващи последователности

Обмислете последователността. Общият член на тази последователност е . Нека запишем първите няколко члена:
.
Вижда се, че с нарастване на числото n елементите се увеличават неограничено към положителни стойности. Можем да кажем, че тази последователност клони към: за .

Сега разгледайте последователност с общ член. Ето някои от първите му членове:
.
С нарастване на числото n елементите на тази редица нарастват неограничено по абсолютна стойност, но нямат постоянен знак. Тоест тази последователност клони към: при .

Примери за последователности, сходни към крайно число

Обмислете последователността. Нейният общ член. Първите условия имат следната форма:
.
Вижда се, че с увеличаване на числото n елементите на тази редица се доближават до граничната си стойност a = 0 : при . = 0 Така че всеки следващ член е по-близо до нула от предишния. В известен смисъл можем да считаме, че има приблизителна стойност за числото a > 0 с грешка. Ясно е, че с увеличаването на n тази грешка клони към нула, тоест чрез избор на n грешката може да бъде толкова малка, колкото желаете. Освен това, за всяка дадена грешка ε

След това помислете за последователността. Нейният общ член. Ето някои от първите му членове:
.
В тази последователност членовете с четни числа са равни на нула. Членове с нечетно n са равни. Следователно, когато n се увеличава, техните стойности се доближават до граничната стойност a = 0 . Това следва и от факта, че
.
Точно както в предишния пример, можем да зададем произволно малка грешка ε > 0 , за които е възможно да се намери число N, така че елементи с числа, по-големи от N, да се отклоняват от граничната стойност a = 0 със сума, която не надвишава посочената грешка. Следователно тази последователност се свежда до стойността a = 0 : при .

Примери за дивергентни последователности

Помислете за последователност със следния общ термин:

Ето и първите му членове:

.
Вижда се, че термини с четни числа:
,
се сближават със стойността a 1 = 0 . Нечетни членове:
,
се сближават със стойността a 2 = 2 . Самата последователност, когато n расте, не се сближава с никаква стойност.

Последователност с членове, разпределени в интервала (0;1)

Сега нека разгледаме една по-интересна последователност. Нека вземем отсечка на числовата ос. Нека го разделим наполовина. Получаваме два сегмента. Позволявам
.
Нека отново разделим всеки от сегментите наполовина. Получаваме четири сегмента. Позволявам
.
Нека отново разделим всеки сегмент наполовина. Да вземем

.
И така нататък.

В резултат на това получаваме последователност, чиито елементи са разпределени в отворен интервал (0; 1) . Каквато и точка да вземем от затворения интервал , винаги можем да намерим членове на последователността, които ще бъдат произволно близки до тази точка или съвпадат с нея.

Тогава от оригиналната последователност може да се избере подпоследователност, която ще се сближи с произволна точка от интервала . Тоест, с нарастването на числото n, членовете на подпоследователицата ще се приближават все повече и повече до предварително избраната точка.

Например за точка а = 0 можете да изберете следната подпоследователност:
.
= 0 .

За точка а = 1 Нека изберем следната подпоследователност:
.
Членовете на тази подпоследователност се сближават със стойността a = 1 .

Тъй като има подпоследователности, които се сближават с различни стойности, самата оригинална поредица не се сближава с нито едно число.

Последователност, съдържаща всички рационални числа

Сега нека построим редица, която съдържа всички рационални числа. Освен това всяко рационално число ще се появи в такава последователност безкраен брой пъти.

Рационалното число r може да бъде представено по следния начин:
,
където е цяло число; - естествено.
Трябва да свържем всяко естествено число n с двойка числа p и q, така че всяка двойка p и q да бъде включена в нашата последователност.

За да направите това, начертайте осите p и q в равнината. Начертаваме линии на мрежата през целочислените стойности на p и q. Тогава всеки възел на тази мрежа c ще съответства на рационално число. Целият набор от рационални числа ще бъде представен от набор от възли. Трябва да намерим начин да номерираме всички възли, така че да не пропуснем нито един възел. Това е лесно да се направи, ако номерирате възлите с квадрати, чиито центрове са разположени в точката (0; 0) (виж снимката). В този случай долните части на квадратите с q < 1 не ни трябва. Следователно те не са показани на фигурата.

И така, за горната страна на първия квадрат имаме:
.
След това номерираме горната част на следващия квадрат:

.
Номерираме горната част на следния квадрат:

.
И така нататък.

По този начин получаваме редица, съдържаща всички рационални числа. Можете да забележите, че всяко рационално число се появява в тази последователност безкраен брой пъти. Наистина, заедно с възела, тази последователност ще включва и възли, където е естествено число. Но всички тези възли съответстват на едно и също рационално число.

След това от последователността, която сме конструирали, можем да изберем подпоследователност (имаща безкраен брой елементи), всички от които са равни на предварително определено рационално число. Тъй като последователността, която конструирахме, има подпоследователности, които се събират към различни числа, последователността не се сближава с нито едно число.

Заключение

Тук сме дали точна дефиниция на числовата последователност. Ние също повдигнахме въпроса за неговата конвергенция, базирана на интуитивни идеи. Точното определение на конвергенция се обсъжда на страницата Дефиниране на границата на последователност. Свързаните свойства и теореми са посочени на страницата