Абсолютна и относителна грешка на числата.

Като характеристики на точността на приблизителни количества от всякакъв произход се въвеждат понятията за абсолютни и относителни грешки на тези количества.

Нека означим с a приближението до точното число A.

Дефинирайте. Количеството се нарича грешка на приблизителното число a.

Определение. Абсолютна грешка приблизителното число а се нарича количество
.

Практически точното число А обикновено е неизвестно, но винаги можем да посочим границите, в които варира абсолютната грешка.

Определение. Максимална абсолютна грешка приблизителното число а се нарича най-малката от горните граници на количеството , които могат да бъдат намерени с помощта на този метод за получаване на numbera.

На практика, като изберете една от горните граници за , доста близо до най-малките.

защото
, Това
. Понякога пишат:
.

Абсолютна грешкае разликата между резултата от измерването

и истинска (реална) стойност измерено количество.

Абсолютната грешка и максималната абсолютна грешка не са достатъчни, за да характеризират точността на измерването или изчислението. Качествено по-значимо е количеството относителна грешка.

Определение. Относителна грешка Наричаме приблизителното число a количеството:

Определение. Максимална относителна грешка приблизително число а нека наречем количеството

защото
.

По този начин относителната грешка всъщност определя големината на абсолютната грешка за единица измерено или изчислено приблизително число a.

Пример.Закръглете точните числа А до три значещи цифри, определете

абсолютна D и относителна δ грешки на полученото приближение

дадени:

намирам:

∆-абсолютна грешка

δ – относителна грешка

Решение:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,а 0

*100%=0.203%

отговор:=0,027; δ=0,203%

2. Десетичен запис на приблизително число. Значима фигура. Правилни цифри на числа (дефиниция на правилни и значими цифри, примери; теория за връзката между относителната грешка и броя на правилните цифри).

Верни знацичисла.

Определение. Значимата цифра на приблизително число a е всяка цифра, различна от нула, и нула, ако се намира между значещи цифри или е представител на съхранен десетичен знак.

Например в числото 0,00507 =
имаме 3 значещи цифри, а в числото 0,005070=
значими фигури, т.е. нулата вдясно, запазвайки десетичния знак, е значима.

Отсега нататък нека се съгласим да пишем нули отдясно, ако само те са значими. Тогава, с други думи,

Всички цифри на a са значими, с изключение на нулите отляво.

В десетичната бройна система всяко число a може да бъде представено като крайна или безкрайна сума (десетична дроб):

Къде
,
- първата значима цифра, m - цяло число, наречено най-значим десетичен знак на числото a.

Например 518,3 =, m=2.

Използвайки нотацията, въвеждаме концепцията за правилни десетични знаци (в значими фигури) приблизително

на 1-вия ден.

Определение. Казва се, че в едно приблизително число a от формата n са първите значими цифри ,

където i= m, m-1,..., m-n+1 са правилни, ако абсолютната грешка на това число не надвишава половин единица цифра, изразена чрез n-тата значима цифра:

В противен случай последната цифра
наречено съмнително.

При изписване на приблизително число без посочване на грешката му се изисква всички написани числа

бяха верни. Това изискване е изпълнено във всички математически таблици.

Терминът „n правилни цифри“ характеризира само степента на точност на приблизителното число и не трябва да се разбира в смисъл, че първите n значими цифри на приблизителното число a съвпадат със съответните цифри на точното число A. Например, за числата A = 10, a = 9.997, всички значими цифри са различни, но числото a има 3 валидни значими цифри. Наистина тук m=0 и n=3 (намираме го чрез селекция).

учител по математика в общинска образователна институция "Упшинская гимназия"

Област Орша на Република Марий Ел

(Към учебника на Ю.А. Макаричев Алгебра 8)

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

Нека намерим стойността на y при x = 1,5 от графиката

y=x 2

y ≈2,3

Нека намерим стойността на y при x = 1,5, използвайки формулата

у =1,5 2 = 2,25

Приблизителната стойност се различава от точната с 2,3 – 2,25 = 0,05

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

Нека намерим стойността на y при x = 1,8 от графиката

y=x 2

y ≈3,2

Нека намерим стойността на y при x = 1,8 с помощта на формулата

у =1,8 2 = 3,24

Приблизителната стойност се различава от точната с 3,24 – 3,2 = 0,04

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

X

1,5

Точна стойност при

(по формула)

1,8

2,25

Приближение при (по график)

3,24

2,3

3,2

y=x 2

Определение. Абсолютна грешка

y = 2,3 A.P. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05

y = 3,2 А.П. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

Определение. Абсолютна грешка приблизителна стойност се нарича модулът на разликата между точната и приблизителната стойност.

Пример 1 pud е равно на 16,38.Закръглете тази стойност до цели числа и намерете абсолютната грешка на приблизителната стойност.

Решение. 1 6,38 ≈ 16

16,38 – точна стойност;

16 е приблизителна стойност.

А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

Определение. Абсолютна грешка приблизителна стойност се нарича модулът на разликата между точната и приблизителната стойност.

Пример 2 версте равно на 1067 m. Закръглете тази стойност до десетки и намерете абсолютната грешка на приблизителната стойност.

Решение. 10 6 7 ≈ 1070

1067 – точна стойност;

1070 е приблизителна стойност.

А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

Определение. Абсолютна грешка приблизителна стойност се нарича модулът на разликата между точната и приблизителната стойност.

Пример 3. Древна руска мярка за дължина дълбочинае равно на 2,13 m. Закръглете тази стойност до десети и намерете абсолютната грешка на приблизителната стойност.

Решение. 2.1 3 ≈ 2.1

2.13 – точна стойност;

2.1 е приблизителна стойност.

А.П. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03

АБСОЛЮТНА ГРЕШКА

Пример 4. Представете дроб като безкрайна дроб периодична дроб. Закръглете резултата до стотни и намерете абсолютната грешка на приблизителната стойност.

ТОЧНОСТ НА ПРИБЛИЖЕНИЕТО

Винаги ли е възможно да се намери абсолютна грешка?

AB ≈ 5,3 cm

Намерете дължината на отсечката AB

Не можем да определим точната стойност на дължината на сегмента AB, следователно е невъзможно да намерим абсолютната грешка на приблизителната стойност.

В такива случаи грешката се посочва като число, над което абсолютната грешка не може да бъде по-голяма.

В нашия пример можем да вземем числото 0,1 като такова число.

ЗАЩО? Стойността на делението на линийката е 0,1 cm и следователно абсолютната грешка на приблизителната стойност от 5,3 е не повече от 0,1.

ТОЧНОСТ НА ПРИБЛИЖЕНИЕТО

Казват, че числото 5,3 е приблизителна стойност на дължината на сегмента AB (в сантиметри) с точност до 0,1

AB ≈ 5,3 cm

t ≈ 28 0 с точност до 1

t ≈ 14 0 с точност 2

Определете точността на приблизителните стойности на количествата, получени при измерване с инструментите, показани на фигури 1-4

ТОЧНОСТ НА ПРИБЛИЖЕНИЕТО

Казват, че числото 5,3 е приблизителна стойност на дължината на сегмента AB (в сантиметри) с точност до 0,1

AB ≈ 5,3 cm

Ако x ≈ a и абсолютната грешка на приблизителната стойност не надвишава определено число ч , Тованомер Анаречена приблизителна стойност Xс точност до h

X ≈ А до ч

X = А ± ч

ТОЧНОСТ НА ПРИБЛИЖЕНИЕТО

AB ≈ 5,3 cm

с точност до 0,1

t ≈ 28 0 с точност до 1

точен до 2

Определение. Относителната грешка (точност) на приблизителна стойност е отношението на абсолютната грешка (точност) към модула на приблизителната стойност

Дефинициите могат да се използват за оценка на качеството на измерване относителна грешка и относителна точност

l = 100,0 ± 0,1

b = 0,4 ± 0,1

ОТНОСИТЕЛНА ГРЕШКА

Определение .

Пример 5. Древна руска мярка за маса pud е равно на 16,38.Закръглете тази стойност до цели числа и намерете относителната грешка на приблизителната стойност.

Решение. 1 6,38 ≈ 16

16.38 – точна стойност;

16 е приблизителна стойност.

А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

ОТНОСИТЕЛНА ГРЕШКА

Определение . Относителната грешка на приблизителна стойност е отношението на абсолютната грешка към абсолютната стойност на приблизителната стойност

Пример 6. Древна руска мярка за дължина версте равно на 1067 m. Закръглете тази стойност до десетки и намерете относителната грешка на приблизителната стойност.

Решение. 10 6 7 ≈ 1070

1067 – точна стойност;

1070 е приблизителна стойност.

А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

ОТНОСИТЕЛНА ГРЕШКА

Пример 7. Мислете за дробта като за безкрайна периодична дроб. Закръглете резултата до стотни и намерете относителната грешка на приблизителната стойност.

Използват се абсолютни и относителни грешки за оценка на неточността на направените изчисления висока сложност. Те се използват и при различни измервания и за закръгляване на резултатите от изчисленията. Нека да разгледаме как да определим абсолютната и относителната грешка.

Абсолютна грешка

Абсолютна грешка на числотоизвикайте разликата между това число и точната му стойност.
Нека разгледаме един пример : В училището учат 374 ученика. Ако закръглим това число до 400, тогава абсолютната грешка на измерване е 400-374=26.

За изчисляване на абсолютната грешка е необходимо от повечеизвадете по-малкото.

Има формула за абсолютна грешка. Нека означим точното число с буквата А, а буквата а – приближението до точното число. Приблизителното число е число, което се различава малко от точното и обикновено го замества в изчисленията. Тогава формулата ще изглежда така:

Δa=A-a. Обсъдихме по-горе как да намерим абсолютната грешка с помощта на формулата.

На практика абсолютната грешка не е достатъчна за точна оценка на измерването. Рядко е възможно да се знае точната стойност на измереното количество, за да се изчисли абсолютната грешка. Измервайки книга с дължина 20 см и допускайки грешка от 1 см, можете да вземете предвид измерването с голяма грешка. Но ако е направена грешка от 1 см при измерване на стена от 20 метра, това измерване може да се счита за възможно най-точно. Следователно на практика повече важноима определение за относителна грешка при измерване.

Запишете абсолютната грешка на числото, като използвате знака ±. например , дължината на една ролка тапет е 30 m ± 3 cm граница на абсолютна грешка се нарича максимална абсолютна грешка.

Относителна грешка

Относителна грешкаТе наричат ​​отношението на абсолютната грешка на число към самото число. За да изчислим относителната грешка в примера с учениците, разделяме 26 на 374. Получаваме числото 0,0695, превръщаме го в процент и получаваме 6%. Относителната грешка се обозначава като процент, тъй като е безразмерна величина. Относителната грешка е точна оценкагрешки при измерване. Ако вземем абсолютна грешка от 1 cm при измерване на дължината на сегменти от 10 cm и 10 m, тогава относителните грешки ще бъдат равни съответно на 10% и 0,1%. За сегмент с дължина 10 cm грешка от 1 cm е много голяма, това е грешка от 10%. Но за десетметров сегмент 1 см няма значение, само 0,1%.

Има систематични и случайни грешки. Систематична е грешката, която остава непроменена при многократни измервания. Случайна грешка възниква в резултат на влияние върху процеса на измерване външни фактории може да промени значението си.

Правила за изчисляване на грешки

Има няколко правила за номинална оценка на грешките:

• при събиране и изваждане на числа е необходимо да се сумират техните абсолютни грешки;
• при деление и умножение на числа е необходимо да се добавят относителни грешки;
• Когато се повдигне на степен, относителната грешка се умножава по експонентата.

Приблизителните и точните числа са написани с помощта на десетични знаци. Взема се само средната стойност, тъй като точната стойност може да бъде безкрайно дълга. За да разберете как да напишете тези числа, трябва да научите за истинските и съмнителните числа.

Истинските числа са тези числа, чийто ранг надвишава абсолютната грешка на числото. Ако цифрата на цифрата е по-малка от абсолютната грешка, тя се нарича съмнителна. например , за дробта 3.6714 с грешка 0.002 правилните числа ще бъдат 3,6,7, а съмнителните ще са 1 и 4. В записа на приблизителното число са оставени само правилните числа. Дробта в този случай ще изглежда така - 3,67.

Разликата между точните и приблизителните стойности на дадено количество се нарича грешка на приближението (означено с x),

тези. х=х- А- грешка на приближението

където x= А+ x,

тези. истинската стойност е равна на сумата от приблизителната стойност и грешката на приближението.

Модулът на разликата между точните и приблизителните стойности на дадено количество се нарича абсолютна грешкаприблизителна стойност на числото X.

тези. - абсолютна апроксимационна грешка.

Напишете x= и h означава, че истинската стойност на x се намира между границите, т.е. а - з X a + h

Пример 1.В предприятието работят 1284 работници и служители. При закръгляване на това число до 1300 абсолютната грешка е 1300 -1284 = 16. При закръгляване до 1280 абсолютната грешка е 1284 - 1280 = 4.

Пример 2.Приблизителни стойности на числото x = ; Кое от тези три приближения е най-доброто?

Решение:

Ние намираме ; Най-доброто приближение на числото Xе

Пример 3.Дължина на частта х (см)затворени в границите на 33 x 34. Намерете границата на абсолютната грешка при измерване на детайла.

Решение:Нека вземем средноаритметичната стойност на границите като приблизителна стойност на дължината на детайла: a = (33 + 34)/2 = 33,5 (cm).

Тогава границата на абсолютната грешка за приблизителната стойност на дължината на частта няма да надвишава 0,5 (cm). Стойността може да се намери и като полуразликата на горната и долни граници, т.е. = (34-33)/2 = 0,5 (cm). Дължина на частта X, намерено с точност =0,5 (cm), се съдържа между приблизителните стойности на числото X:

33,5-0,5 х 33,5+0,5;

х=33,5 0,5 (cm).

Отношението на абсолютната грешка на приближението към абсолютната стойност на приблизителната стойност на дадено количество се нарича относителна грешкаподход и се означава с .

е относителната грешка на приближението

Пример 1.При измерване на дължина Ли диаметър на проводника бяха получени Л=(10,0 0,1) m ,г= (2,5 ± 0,1) mm. Кое от тези измервания е по-точно?

Решение:Дължината на проводника е измерена с точност 0,1 m = 100 mm, а диаметърът на проводника е измерен с точност 0,1 mm.

При измерване на дължината на проводник се допуска абсолютна грешка от 100 mm на 10 000 mm и следователно допустимата абсолютна грешка е

измерено количество.

При измерване на диаметър допустимата абсолютна грешка е

измерено количество. Следователно измерването на дължината на проводника е по-точно.

Пример 2.Известно е, че 0,111 е приблизителна стойност за Намерете абсолютните и относителните грешки на това приближение.

Решение:Тук x=, А=0,111. Тогава = x- А= 1/9 – 0,111 = 1/9000-a.p.p.,

-о.п.п

Пример 3.В училището се обучават 197 ученици. Закръгляме това число до 200. Абсолютната грешка е 200-197 = 3. Относителната грешка е равна на или, закръглено, %.
В повечето случаи е невъзможно да се знае точната стойност на приблизителното число и следователно точна стойностгрешки. Почти винаги обаче е възможно да се установи, че грешката (абсолютна или относителна) не надвишава определено число.

Пример 4.

Продавач претегля диня на кантар. Най-малкото тегло в комплекта е 50 гр. Това число е приблизително. Точна масадинята е непозната. Но абсолютната грешка не надвишава 50 g.

Комплексни числа.

Графично изображениекомплексни числа.
Изображение на комплексни числа.

Комплексни числа се записват във вида: а+ би. тук аи b – реални числа , А аз – въображаема единица, т.е. аз 2 = –1.Брой анаречен абсцисата, а b – ординатакомплексно число а+ би.Комплексно число 0 + бинаречен чисто имагинерно число.Запис биозначава същото като 0 + би.

Модулкомплексното число е дължината на вектора OP, изобразяващ комплексно числопо координата ( изчерпателен) самолет. Конюгираните комплексни числа имат еднакъв модул

Нека разгледаме на равнината декартово правоъгълна системакоординати xOy . Всяко комплексно число z = a + bi може да бъде свързано с точка с координати (a;b) и обратно, всяка точка с координати (c;d) може да бъде свързано с комплексно число w = c + di. Така се установява взаимно еднозначно съответствие между точките на равнината и множеството от комплексни числа. Следователно комплексните числа могат да бъдат представени като точки на равнина. Равнината, върху която се изобразяват комплексните числа, обикновено се нарича комплексна равнина.

Пример. Нека представим числата на комплексната равнина

Z 1 = 2 + i; z 2 = 3i; z 3 = -3 + 2i; z 4 = -1 – i.

V

А

Аритметичните операции с комплексни числа са същите като с реални числа: те могат да се събират, изваждат, умножават и делят едно на друго. Събирането и изваждането се извършват по правилото ( а + би) ± ( c + ди) = (а ± c) + (b ± d)аз, а умножението следва правилото ( а + би) · ( c + ди) = (ак – бд) + (реклама + пр.н.е)аз(тук се използва това аз 2 = –1). Число = а – бинаречен комплексно спрегнатдо z = а + би. Равенство z · = а 2 + b 2 ви позволява да разберете как да разделите едно комплексно число на друго (различно от нула) комплексно число:

например,

Задачи за независимо решение

Абсолютна и относителна грешка

Елементи на теорията на грешките

Точни и приблизителни числа

Точността на броя обикновено не е под съмнение, когато ние говорим заотносно целочислени стойности на данни (2 молива, 100 дървета). Но в повечето случаи, когато е невъзможно да се посочи точната стойност на дадено число (например при измерване на обект с линийка, вземане на резултати от уред и др.), имаме работа с приблизителни данни.

Приблизителна стойност е число, което се различава леко от точната стойност и я замества при изчисленията. Степента, в която приблизителната стойност на числото се различава от точната му стойност, се характеризира с грешка .

Разграничават се следните основни източници на грешки:

1. Грешки при формулирането на проблема, възникващи в резултат на приблизително описание истински феноменпо отношение на математиката.

2. Грешки в метода, свързани със затруднението или невъзможността за решаване на даден проблем и замяната му с подобен, така че да е възможно да се приложи познат и наличен методрешения и да получите резултат, близък до желания.

3. Фатални грешки, свързани с приблизителни стойности на оригиналните данни и поради извършването на изчисления върху приблизителни числа.

4. Грешки при закръгляниятасвързани със закръгляване на стойностите на първоначалните данни, междинни и крайни резултати, получени с помощта на изчислителни инструменти.

Абсолютна и относителна грешка

Отчитането на грешките е важен аспектприложения числени методи, тъй като грешката краен резултатрешението на целия проблем е продукт на взаимодействието на всички видове грешки. Следователно една от основните задачи на теорията на грешките е да оцени точността на резултата въз основа на точността на изходните данни.

Ако е точно число и е неговата приблизителна стойност, тогава грешката (грешката) на приблизителната стойност е степента на близост на стойността му до точната му стойност.

Най-простата количествена мярка за грешка е абсолютната грешка, която се определя като

(1.1.2-1)

Както се вижда от формула 1.1.2-1, абсолютната грешка има същите мерни единици като стойността. Следователно не винаги е възможно да се направи правилно заключение за качеството на приближението въз основа на големината на абсолютната грешка. Например ако , и говорим за машинна част, тогава измерванията са много груби, а ако говорим за размер на съда, тогава са много точни. В тази връзка беше въведена концепцията за относителна грешка, при която стойността на абсолютната грешка е свързана с модула на приблизителната стойност ( ).

(1.1.2-2)

Използването на относителни грешки е удобно, по-специално, защото те не зависят от мащаба на количествата и единиците на измерване на данните. Относителната грешка се измерва във фракции или проценти. Така например, ако

,А , Това , какво ако и ,

тогава тогава .

За да оцените числено грешката на функция, трябва да знаете основните правила за изчисляване на грешката на действията:

· при събиране и изваждане на числа абсолютните грешки на числата се събират

· при умножение и деление на числа техните относителни грешки се сумират една с друга

· при повдигане на приблизително число на степен неговата относителна грешка се умножава по експонентата

Пример 1.1.2-1. Дадена функция: . Намерете абсолютната и относителната грешка на стойността (грешка на резултата от изпълнението аритметични операции), ако стойностите са известни, а 1 е точно число и неговата грешка е нула.

След като по този начин определихме стойността на относителната грешка, можем да намерим стойността на абсолютната грешка като , където стойността се изчислява по формулата за приблизителни стойности

Тъй като точната стойност на количеството обикновено е неизвестна, изчислението и според горните формули е невъзможно. Следователно на практика се оценяват максималните грешки на формуляра:

(1.1.2-3)

Къде и – известни количества, които са горните граници на абсолютната и относителната грешка, иначе се наричат ​​максимална абсолютна и максимална относителна грешка. Следователно точната стойност е в рамките на:

Ако стойността известно, тогава , и ако количеството е известно , Това