>>Информатика: Представяне на зависимости между величини
Представяне на зависимости между величини
Решаването на проблемите на планирането и управлението постоянно изисква отчитане на зависимостите на едни фактори от други.
Примери за зависимости:
1) времето за падане на тялото на земята зависи от първоначалната височина;
2) налягането зависи от температурата на газа в цилиндъра;
Математически модел- е колекция количествени характеристикинякакъв обект (процес) и връзките между тях, представени на езика на математиката.
Математическите модели за първите два примера, изброени по-горе, са добре известни. Те отразяват физичните закони и са представени под формата на формули:
Това са примери за зависимости, представени в трионообразна функция. Първата зависимост се нарича коренна зависимост (времето е пропорционално на корен квадратенот височина), вторият - линеен (налягането е право пропорционално на температурата).
В повече сложни задачиматематическите модели се представят под формата на уравнения или системи от уравнения. В този случай за извличане функционална зависимостколичества, от които се нуждаете, за да можете да решите тези уравнения. В края на тази глава ще разгледаме пример за математически модел, който е изразен чрез система от неравенства.
Нека да разгледаме примери за други два начина за представяне на зависимости между количествата: табличен и графичен.
Представете си, че решихме да тестваме закона свободно паданетела експериментално. Експериментът беше организиран по следния начин; хвърлете стоманена топка от балкона на 2-ри етаж, 3-ти етаж (и т.н.) на десететажна сграда, измервайки височината начална позициятопка и падащо време. Въз основа на резултатите от експеримента съставихме таблица и начертахме графика.
"
Ориз. 2.11. Табличен и графично представянезависимост на времето на падане на тялото от височината
Ако всяка двойка стойности на H и t от тази таблица се замени в горната формула за зависимостта на височината от времето, тогава тя ще се превърне в равенство (с точност до грешката на измерване). Това означава, че моделът работи добре. (Ако обаче хвърлите не стоманена топка, а голяма светлинатопката тогава този моделще отговаря по-малко на формулата, а ако е надуваема топка, изобщо няма да отговаря - защо мислите?)
В този пример разгледахме три начина за показване на зависимостта на количествата: функционален (формула), табличен и графичен. Въпреки това, само формула може да се нарече математически модел на процеса на падане на тялото на земята. Защо? Защото формулата е универсална. Позволява ви да определите времето на падане на тяло от всякаква височина, а не само за експерименталния набор от H стойности, показани на фиг. 2.11.
Освен това масата и диаграма(графика) посочете фактите и математически моделви позволява да прогнозирате, прогнозирате чрез изчисления.
По същия начин можете да покажете зависимостта на налягането от температурата по три начина. И двата примера са свързани с известни физични закони – законите на природата. знание физични законипозволяват да произвеждат точни изчисления, те формират основата на съвременната технология.
Накратко за основното
Величината е някаква количествена характеристика на даден обект.
Зависимостите между величините могат да бъдат представени под формата на математически модел, в табличен и графичен вид.
Връзката, представена под формата на формула, е математически модел.
Въпроси и задачи
1. а) Какви форми на представяне на зависимостите между величините познавате?
б) Какво е математически модел?
в) Може ли един математически модел да включва само константи?
2. Дайте пример за известна ви функционална връзка (формула) между характеристиките на дадена система.
3. Обосновете предимствата и недостатъците на всяка от трите форми на представяне на зависимости.
Семакин И.Г., Хенър Е.К., Компютърни науки и ИКТ, 11
Изпратено от читатели от интернет сайтове
Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашни спорни въпроси риторични въпросиот студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроциПредмет:„Моделиране на зависимости между количества“
Цели на урока:
1. Запознайте се с понятията:
"величина"
"математически модел",
"табличен модел"
"графичен модел"
Образователни:
Създайте условия за развитие на способността да подчертавате основното, да сравнявате, анализирате, обобщавате.
Образователни:
Култивирайте вниманието, желанието да доведете въпроса до желания резултат;
Установяване на взаимни контакти и споделяне на опит между ученици и учител.
Оборудване:учителски компютър с мултимедиен проектор.
План на урока
Организационен момент (2 мин) Поставяне на целите на урока. Обяснение на нов материал. (17 мин) Затвърдяване на нов материал (5 мин) Решаване на задачи от демо версии на единния държавен изпит 2010 (15 мин) Обобщаване (3 мин) Домашна работа (3 мин)
По време на часовете
Кажете на учениците темата на урока. (слайд 1) Поставяне на цел на урока(слайд 2)
Цели на урока:
1. Запознайте се с понятията:
"величина"
"зависимости между количествата"
"математически модел",
"табличен модел"
"графичен модел"
Разгледайте зависимостите между количествата, като използвате примери.
2. Подобряване на уменията за решаване на задачи от Единния държавен изпит KIMs.
Обяснение на нов материал. (17 минути)(слайд 3)
Приложение математическо моделиранепостоянно изисква отчитане на зависимостите на едни величини от други.
1. Времето за падане на тялото на земята зависи от първоначалната височина;
2. Налягането на газа в цилиндъра зависи от неговата температура;
3. Честота на заболявания сред жителите бронхиална астмазависи от качеството на градския въздух
(слайд 4)
Всяко изследване трябва да започне с идентифициране на количествените характеристики на обекта, който се изследва. Такива характеристики се наричат количества. Има три основни свойства, свързани с всяко количество: име, стойности, тип.
Наименованието на величината може да бъде пълно (налягане на газ), или може да бъде символично (P). За определени величини се използват стандартни наименования: време - T, скорост - V, сила - F...
(слайд 5)
Ако стойността на дадено количество не се променя, то се извиква постоянна стойност или постоянен
(π =3,14159…).
Величина, която променя стойността си, се нарича променлива.
(слайд 6)
Типът определя набора от стойности, които стойността може да приеме. Основни видове величини: числови, символни, логически. Тъй като ще говорим само за количествени характеристики, ще разгледаме само количества числов тип.
(Слайд 7)
Да се върнем към примерите и обозначим променливи, зависимостите между които ни интересуват.
В пример 1:
T (sec) – време на падане; N (m) – височина на падане. Гравитационно ускорение g (m/sec2) – постоянно.
В пример 2: P(n/m2) – налягане на газа ; t° C е температурата на газа.
IN пример 3:
Замърсяването на въздуха се характеризира с концентрация на примеси C (mg/куб.м). Заболеваемостта се характеризира с броя на болните от хронична астма на 1000 жители на този град– P(bol/хиляда)
(Слайд 8)
Нека да разгледаме методите за представяне на зависимости
Математически модел Табличен моделГрафичен модел
(Слайд 9)
Математически модел
Това е набор от количествени характеристики на даден обект (процес) и връзки между тях, представени на езика на математиката.
За първия пример математическият модел е представен като формула:
455 " style="width:341.25pt">
(Слайд 11)
Графичен модел
и начертайте графика
 |
(Слайд 12)
Информационните модели, които описват развитието на системите във времето, имат специално име: динамични модели.
IN физика динамичен информационни моделиописват движението на телата; V биология – развитие на организми и животински популации; по химия – изтичане химична реакцияи т.н
(слайд 13)
Решението на проблема: (1 ученик на дъската, останалите в тетрадките)
Изграждане на математически, таблични и графични модели на проблема:
Тялото се движи според законах (t)=5t2+2t-5,
Къдетоx – движение в метри,t – време в секунди. Намерете скоростта на тялото в моментаt=2.
Изградете таблица, показваща зависимостта на скоростта на тялото от времето на движение на тялото с интервал от 3 секунди.
Затвърдяване на изучения материал.Отговори на въпросите:
1. Какви форми на представяне на зависимостите между величините познавате? (отговор 1 ученик)
2. Обосновете предимствата и недостатъците на всеки от тях три формипредставителство
зависимости. (отговор 1 ученик)
Решаване на задачи от демо версията на Единния държавен изпит 2010 (15 мин.)
Повторение на 10-та, 2-ра, 8-ма и 16-та бройни системи.
Решаване на задачата от демо версията на Единния държавен изпит (1 )
1. Как се представя числото 26310 в осмичната бройна система?
Решение:
Как се пише числото 5678 в двоична системамъртва сметка?
(1 ученик на дъската, останалите в тетрадките)
Решение:
Как се записва числото A8716 в осмичната бройна система?
(1 ученик на дъската, останалите в тетрадките)
Решение:
Задача A1 от демо версията от 2010 г. (1 ученик на дъската, останалите в тетрадките)
Дадено е: a=9D16, b=2378. Кое от числата C, записани в двоичната бройна система, удовлетворява неравенството
Решение:
Обобщаване (3 мин.) Домашна работа (3 мин.) §36, въпроси. Пример.
Дадено е: a= 3328, b= D416. Кое от числата C, записани в двоичната бройна система, удовлетворява неравенството a Количества и зависимости между тях Това са примери за зависимости, представени във функционална форма. Първата зависимост се нарича корен (времето е пропорционално на корен квадратен от височината), втората е линейна. Моделиране на зависимости между величини Стойност - количествени характеристики на обекта на изследване Количествени характеристики Значение отразява значението на количеството определя възможните стойности на количеството постоянен Видове зависимости: Функционален Методи за показване на зависимости Математически Табличен модел Графичен Описание на развитието на системите във времето – динамичен модел Двете величини се наричат право-пропорционален, ако когато едното от тях се увеличи няколко пъти, другото се увеличи със същото количество. Съответно, когато единият от тях намалее няколко пъти, другият намалява със същото количество. Връзката между тези количества е правопропорционална. Примери за пряка пропорционална зависимост: 1) при постоянна скорост изминатото разстояние е право пропорционално на времето; 2) периметърът на квадрат и неговата страна са правопропорционални величини; 3) цената на продукт, закупен на една цена, е пряко пропорционална на неговото количество. За да разграничите пряка пропорционална връзка от обратна, можете да използвате поговорката: „Колкото по-навътре в гората, толкова повече дърва за огрев“. Удобно е да се решават задачи, включващи правопропорционални количества, като се използват пропорции. 1) За да направите 10 части са ви необходими 3,5 кг метал. Колко метал ще отиде за направата на 12 от тези части? (Разсъждаваме така: 1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото. 2. Колкото повече части, толкова повече метал е необходим за направата им. Това означава, че това е правопропорционална зависимост. Нека са необходими x kg метал, за да се направят 12 части. Съставяме пропорцията (в посока от началото на стрелката към нейния край): 12:10=х:3,5 За да намерите, трябва да разделите произведението на екстремните членове на известния среден член: Това означава, че ще са необходими 4,2 кг метал. Отговор: 4,2 кг. 2) За 15 метра плат те платиха 1680 рубли. Колко струват 12 метра такъв плат? (1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото. 2. Колкото по-малко плат купувате, толкова по-малко трябва да платите за него. Това означава, че това е правопропорционална зависимост. 3. Следователно втората стрелка е в същата посока като първата). Нека х рубли струват 12 метра плат. Правим пропорция (от началото на стрелката до нейния край): 15:12=1680:x За да намерите неизвестния екстремен член на пропорцията, разделете произведението на средните членове на известния екстремен член на пропорцията: Това означава, че 12 метра струват 1344 рубли. Отговор: 1344 рубли. МОДЕЛИРАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ПРОМЕНЛИВИТЕ ТЕХНОЛОГИИ ЗА ИНФОРМАЦИОННО МОДЕЛИРАНЕ Ключови понятия Приложение на математическото моделиране Използването на математическо моделиране постоянно изисква отчитане на зависимостите на едни величини от други. Примери за зависимости:
Внедряване математически моделизисква познаване на техники за представяне на зависимости между величини. Методи за представяне на зависимости величина– количествени характеристики на изследвания обект Количествени характеристики отразява значението на количеството определя възможните стойности на количеството Значение постоянен променлива Основни видове количества: Пример за константа е числото на Питагор Името на стойността може да бъде семантичен семантичен числови "налягане на газ" При описанието на процеса на падане на тялото променливи количества са височина з
и времето на есента T
символичен символичен логично Видове зависимости Функционална зависимост
е връзка между две величини, при която промяната в едната от тях предизвиква промяна в другата. Пример 1:
T(c) – време на падане; з(m) – височина на падане. Ще представим зависимостта, като пренебрегнем въздушното съпротивление; ускорението на свободното падане g (m/s 2) ще се счита за константа. Пример 2:
П(n/m 2) – налягане на газа (в единици SI налягането се измерва в нютони на квадратен метър); T°C – температура на газа. Налягане при нула градуса ПЩе считаме 0 за константа за даден газ. определени . Видове зависимости Друго пристрастяване
е по-сложен по природа, една и съща стойност може да приема различни стойности, тъй като може да бъде повлияна от други показатели. Пример 3:
Замърсеността на въздуха се характеризира с концентрация на примеси – C (mg/m3). Мерната единица е масата на примесите, съдържащи се в 1 кубичен метър въздух, изразена в милиграми. Заболеваемостта ще се характеризира с броя на пациентите с хронична астма на 1000 жители на даден град П(бол/хиляда) Връзката между количествата е напълно определени . Математически модели Математически модели -това е набор от количествени характеристики на някакъв обект (процес) и връзки между тях, представени на езика на математиката. Математическите модели отразяват физичните закони и се представят под формата на формули: Линейна зависимост Коренна зависимост (времето е пропорционално на корен квадратен от височината) При сложни задачи математическите модели се представят като уравнения или системи от уравнения. Таблични и графични модели Нека експериментално проверим закона за свободното падане на тялото Експеримент:
стоманена топка се пуска от 6-метрова, 9-метрова височина и т.н. (след 3 метра), като се измерва височината на началната позиция на топката и времето на падане Резултатът от експеримента е представен в таблица и графика н
, м T
, ° С Таблично и графично представяне на зависимостта на времето на падане на тялото от височината Динамични модели Информационните модели, които описват развитието на системите във времето, имат специално име: динамични модели . Във физиката това е движението на телата, в биологията - развитието на организмите или животинските популации, в химията – протичане на химични реакции. Най-основното Име – отразява значението на количеството Тип – определя възможните стойности на количествата Стойност: постоянна стойност (константа) или променлива Въпроси и задачи Илюстрации: ИзточнициИнформатика и ИКТ 10-11 клас Семакин, Информатика 10-11 клас Семакин, Моделиране на зависимости между величини, Величини и зависимости между тях, Различни методи за представяне на зависимости, Математически модели, Таблични и графични модели
Съдържанието на този раздел от учебника е свързано с компютърно математическо моделиране. Използването на математическо моделиране постоянно изисква отчитане на зависимостите на едни величини от други. Ето примери за такива зависимости:
1) времето за падане на тялото на земята зависи от първоначалната му височина;
2) налягането на газа в цилиндъра зависи от неговата температура;
3) нивото на заболеваемост на жителите на града с бронхиална астма зависи от концентрацията на вредни примеси в градския въздух.
Реализирането на математически модел на компютър (компютърен математически модел) изисква познаване на техники за представяне на зависимости между величини.
Нека да разгледаме различни методи за представяне на зависимости.
Всяко изследване трябва да започне с идентифициране на количествените характеристики на обекта, който се изследва. Такива характеристики се наричат количества.
Вече сте се сблъскали с понятието количество в основния курс по компютърни науки. Нека припомним, че три основни свойства са свързани с всяко количество: име, стойност, тип.
Наименованието на величина може да бъде семантично или символно. Пример за семантично име е „налягане на газ“, а символично име за същото количество е P. В базите данни количествата са полета за запис. Като правило за тях се използват смислени имена, например: ФАМИЛИЯ, ТЕГЛО, ОЦЕНКА и др. Във физиката и други науки, които използват математически апарат, символичните имена се използват за означаване на количества. За да се гарантира, че значението не се губи, се използват стандартни имена за определени количества. Например времето се обозначава с буквата t, скоростта с V, силата с F и т.н.
Ако стойността на дадена величина не се променя, тогава тя се нарича постоянна величина или константа. Пример за константа е числото на Питагор π = 3,14259... . Величина, чиято стойност може да се променя, се нарича променлива. Например при описанието на процеса на падане на тяло променливите величини са височината H и времето на падане t.
Третото свойство на количеството е неговият тип. Вие също се натъкнахте на концепцията за тип стойност, когато изучавахте програмиране и бази данни. Типът определя набора от стойности, които стойността може да приеме. Основни видове величини: числови, символни, логически. Тъй като в този раздел ще говорим само за количествени характеристики, тогава ще се разглеждат само количества от числен тип.
Сега да се върнем към примери 1-3 и да обозначим (именуваме) всички променливи величини, зависимостите между които ще ни интересуват. Освен наименованията посочваме и размерите на количествата. Размерите определят единиците, в които са представени стойностите на количествата.
1) t (s) - време на падане; N (m) — височина на падане. Ще представим зависимостта, като пренебрегнем въздушното съпротивление; ускорението на свободното падане g (m/s 2) ще се счита за константа.
2) P (n/m2) - налягане на газа (в единици SI налягането се измерва в нютони на квадратен метър); t °С е температурата на газа. Ще считаме налягането при нула градуса Po за константа за даден газ.
3) Замърсяването на въздуха ще се характеризира с концентрацията на примеси (кои ще бъдат обсъдени по-късно) - C (mg/m3). Мерната единица е масата на примесите, съдържащи се в 1 кубичен метър въздух, изразена в милиграми. Коефициентът на заболеваемост ще се характеризира с броя на пациентите с хронична астма на 1000 жители на даден град - P (пациенти/хиляда).
Нека отбележим важна качествена разлика между зависимостите, описани в примери 1 и 2, от една страна, и в пример 3, от друга. В първия случай връзката между величините е напълно дефинирана: стойността на H еднозначно определя стойността на t (пример 1), стойността на t еднозначно определя стойността на P (пример 2). Но в третия пример връзката между стойността на замърсяването на въздуха и нивото на заболеваемостта е значително по-сложна; При едно и също ниво на замърсяване през различни месеци в един и същи град (или в различни градове през един и същи месец), честотата на заболеваемост може да бъде различна, тъй като се влияе от много други фактори. Ще отложим по-подробното обсъждане на този пример до следващия параграф, но засега ще отбележим само, че на математически език зависимостите в примери 1 и 2 са функционални, но в пример 3 не са.
Математически модели
Ако връзката между количествата може да бъде представена в математическа форма, тогава имаме математически модел.
Математическият модел е набор от количествени характеристики на даден обект (процес) и връзките между тях, представени на езика на математиката.
Математическите модели за първите два примера са добре известни. Те отразяват физичните закони и са представени под формата на формули:
При по-сложни задачи математическите модели се представят като уравнения или системи от уравнения. В края на тази глава ще разгледаме пример за математически модел, който е изразен чрез система от неравенства.
В още по-сложни задачи (пример 3 е един от тях) зависимостите също могат да бъдат представени в математическа форма, но не функционална, а друга.
Таблични и графични модели
Нека да разгледаме примери за два други, неформулни, начина за представяне на зависимости между количествата: табличен и графичен. Представете си, че решихме да проверим експериментално закона за свободното падане на тялото. Ще организираме експеримента по следния начин: ще хвърлим стоманена топка от височина 6 метра, 9 метра и т.н. (след 3 метра), като измерваме височината на началната позиция на топката и времето на падане. Въз основа на резултатите от експеримента ще създадем таблица и ще начертаем графика.
Ако всяка двойка стойности на H и t от тази таблица се замени в горната формула за зависимостта на височината от времето, тогава формулата ще се превърне в равенство (с точност до грешката на измерване). Това означава, че моделът работи добре. (Ако обаче пуснете не стоманена топка, а голяма светлинна топка, тогава няма да се постигне равенство и ако е надуваема топка, тогава стойностите на лявата и дясната страна на формулата ще се различават много . Защо мислиш?)
В този пример разгледахме три начина за моделиране на зависимостта на количествата: функционален (формула), табличен и графичен. Въпреки това, само формула може да се нарече математически модел на процеса на падане на тялото на земята. Формулата е по-универсална; тя ви позволява да определите времето на падане на тялото от всякаква височина, а не само за експерименталния набор от стойности на H, показани на фиг. 6.1. Като имате формула, можете лесно да създадете таблица и да изградите графика, но обратното - това е много проблематично.
По същия начин можете да покажете зависимостта на налягането от температурата по три начина. И двата примера са свързани с известни физични закони – законите на природата. Познаването на физичните закони ни позволява да правим точни изчисления;
Информационните модели, които описват развитието на системите във времето, имат специално име: динамични модели. Пример 1 показва точно такъв модел. Във физиката динамичните информационни модели описват движението на телата, в биологията - развитието на организмите или животинските популации, в химията - протичането на химичните реакции и т.н.
Система от основни понятия
