Трансформациите на Лоренц ни дават възможност да изчислим промяната в координатите на дадено събитие при преминаване от една отправна система към друга. Нека сега поставим въпроса как при промяна на отправната система ще се промени скоростта на едно и също тяло?

IN класическа механика, както е известно, скоростта на тялото просто се добавя към скоростта на отправната система. Сега ще видим, че в теорията на относителността скоростта се трансформира според по-сложен закон.

Отново ще се ограничим до разглеждането на едномерния случай. Нека две отправни системи S и S` „наблюдават” движението на някакво тяло, което се движи равномерно и праволинейно успоредно на осите XИ x`и двете референтни системи. Нека скоростта на тялото, измерена от референтната система С, има И; скоростта на същото тяло, измерена по системата S`, ще означаваме с и` . Писмо vЩе продължим да обозначаваме скоростта на системата С` относно С.

Да приемем, че с нашето тяло се случват две събития, чиито координати в системата С същност x 1,t 1, ИX 2 , t 2 . Координати на същите събития в системата С` нека бъдат x` 1, t` 1 ; x` 2 , t` 2 . Но скоростта на тялото е съотношението на изминатото от тялото разстояние към съответния период от време; следователно, за да намерите скоростта на тялото в едната и другата отправна система, ви е необходима разликата пространствени координатиразделете двете събития на разликата във времевите координати

която може, както винаги, да се получи от релативистката, ако скоростта на светлината се счита за безкрайна. Същата формула може да бъде написана като

За малки, "обикновени" скорости и двете формули - релативистка и класическа - дават почти идентични резултати, които читателят може лесно да провери, ако желае. Но при скорости, близки до скоростта на светлината, разликата става много осезаема. Така че, ако v=150 000 км/сек, u`=200 000 км/сек, км/секрелативистката формула дава u = 262 500 км/сек.

С при скорост v = 150 000 км/сек. С` дава резултат u =200 000 км/сек. км/сек.


км/сек,а вторият - 200 000 км/сек, км.

с.Не е трудно това твърдение да се докаже доста строго. Наистина е лесно да се провери.

За малки, "обикновени" скорости и двете формули - релативистка и класическа - дават почти идентични резултати, които читателят може лесно да провери, ако желае. Но при скорости, близки до скоростта на светлината, разликата става много осезаема. Така че, ако v=150 000 км/сек, u`=200 000 км/сек,тогава вместо класическия резултат u = 350 000 км/секрелативистката формула дава u = 262 500 км/сек.Според смисъла на формулата за събиране на скорости този резултат означава следното.

Нека отправната система S` се движи спрямо отправната система С при скорост v = 150 000 км/сек.Нека едно тяло се движи в същата посока и скоростта му се измерва от референтната система С` дава резултати u` =200 000 км/сек.Ако сега измерим скоростта на същото тяло, използвайки референтната система S, получаваме u=262 500 км/сек.


Трябва да се подчертае, че формулата, която получихме, е предназначена специално за преизчисляване на скоростта на едно и също тяло от една отправна система в друга, а не изобщо за изчисляване на „скоростта на приближаване“ или „отдалечаване“ на две тела. Ако наблюдаваме две тела, движещи се едно към друго от една и съща референтна система, и скоростта на едно тяло е 150 000 км/сек,а вторият - 200 000 км/сек,тогава разстоянието между тези тела ще намалява с 350 000 всяка секунда км. Теорията на относителността не отменя законите на аритметиката.

Читателят вече е разбрал, разбира се, че прилагайки тази формула към скорости, които не надвишават скоростта на светлината, ние отново ще получим скорост, която не надвишава с.Не е трудно това твърдение да се докаже доста строго. Наистина, лесно се проверява дали равенството е изпълнено

защото u` ≤ с И v < c, тогава от дясната страна на равенството числителят и знаменателят, а с тях и цялата дроб, са неотрицателни. Ето защо квадратна скобапо-малко от едно и следователно и ≤ c .
Ако И` = с, тогава и и=с.Това не е нищо повече от закона за постоянството на скоростта на светлината. Разбира се, това заключение не трябва да се счита за „доказателство“ или поне „потвърждение“ на постулата за постоянството на скоростта на светлината. В крайна сметка ние от самото начало изхождахме от този постулат и не е изненадващо, че стигнахме до резултат, който не му противоречи, в иначетози постулат би бил опроверган чрез доказателство от противно. В същото време виждаме, че законът за събиране на скоростите е еквивалентен на постулата за постоянството на скоростта на светлината; всяко от тези две твърдения логически следва другото (и останалите постулати на теорията на относителността).

При извеждането на закона за събиране на скоростите приехме, че скоростта на тялото е успоредна относителна скоростреферентни системи. Това предположение не може да бъде направено, но тогава нашата формула ще се отнася само до тази компонента на скоростта, която е насочена по оста x, и формулата трябва да бъде написана във формата

С помощта на тези формули ще анализираме явлението аберации(виж § 3). Нека се ограничим до най-простия случай. Нека светило в отправната система С неподвижно, нека, освен това, референтната система С` се движи спрямо системата С на скорост v и нека наблюдателят, движещ се с S`, да получи светлинни лъчи от звездата точно в момента, когато тя е точно над главата му (фиг. 21). Скоростни компоненти на този лъч в системата С ще
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

За референтната система S` нашите формули дават
u` х = -v, u` г = 0,
u` z = -c√ (1 - v 2 /c 2 )
Получаваме тангенса на ъгъла на наклона на лъча към оста z`, ако разделим и`X на u` z:
tan α = и`X / и`z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Ако скоростта v не е много голяма, то можем да приложим известната ни приблизителна формула, с помощта на която получаваме
tan α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
Първият член е добре известен класически резултат; вторият член е релативистката корекция.

Орбиталната скорост на Земята е приблизително 30 км/сек,И така (v/ c) = 1 0 -4 . За малки ъгли тангенсът е равен на самия ъгъл, измерен в радиани; тъй като един радиан съдържа в кръг 200 000 дъгови секунди, получаваме за ъгъла на аберация:
α = 20°
Релативистката корекция е 20 000 000 пъти по-малка и е далеч отвъд точността на астрономическите измервания. Поради аберация, звездите всяка година описват елипси в небето с голяма полуос 20".

Когато гледаме движещо се тяло, ние го виждаме не там, където се намира в момента, но там, където е било малко по-рано, защото светлината отнема известно време, за да достигне до очите ни от тялото. От гледна точка на теорията на относителността това явление е еквивалентно на аберация и се свежда до нея при преминаване към отправната система, в която въпросното тяло е неподвижно. Въз основа на това просто съображение можем да получим формулата за аберация по напълно елементарен начин, без да прибягваме до релативистичния закон за събиране на скоростите.

Нека нашето светило се движи успоредно земната повърхностот дясно на ляво (фиг. 22). Когато пристигне в точката а,наблюдател, разположен точно под него в точка С, го вижда все още в точка IN.Ако скоростта на звездата е равна v, и периода от време, през който преминава сегмента АIN, равни Δt, това

AB =Δt ,
пр.н.е. = cΔt ,

гряхα = AB/BC = v/c.

Но след това, според тригонометрична формула,

Q.E.D. Имайте предвид, че в класическата кинематика тези две гледни точки не са еквивалентни.

Също интересно следващ въпрос. Както е известно, в класическата кинематика скоростите се събират по правилото на успоредника. Заменихме този закон с друг, по-сложен. Това означава ли, че в теорията на относителността скоростта вече не е вектор?

Първо, фактът, че u≠ u`+ v (ние обозначаваме векторите с удебелени букви), само по себе си не дава основание да се отрече векторната природа на скоростта. От два дадени вектора, третият вектор може да се получи не само чрез добавянето им, но, например, чрез векторно умножение, и въобще по безброй начини. Отникъде не следва, че при смяна на отправната система векторите и`И v трябва да се събере точно. Наистина има формула, изразяваща И чрез и` И v използване на операции на векторно смятане:

В това отношение трябва да се признае, че наименованието „закон за събиране на скоростите“ не е съвсем подходящо; по-правилно е да се говори, както правят някои автори, не за добавяне, а за трансформация на скоростта при промяна на референтната система.

Второ, в теорията на относителността е възможно да се посочат случаи, когато скоростите все още се сумират векторно. Нека, например, тялото се движи за определен период от време Δt на скорост u 1, и след това - същия период от време на скорост u 2. това сложно движениеможе да се замени с движение с постоянна скорост u = u 1+ u 2 . Ето каква е скоростта u 1 и ти 2 сумират като вектори, съгласно правилото на успоредника; теорията на относителността не прави никакви промени тук.
Като цяло трябва да се отбележи, че повечето от "парадоксите" на теорията на относителността са свързани по един или друг начин с промяна в референтната рамка. Ако разглеждаме явления в една и съща референтна рамка, тогава промените в техните модели, въведени от теорията на относителността, далеч не са толкова драматични, колкото често се смята.

Нека също така да отбележим, че естествено обобщение на обичайното 3D векторив теорията на относителността векторите са четириизмерни; при промяна на отправната система те се трансформират по формулите на Лоренц. Освен три пространствени компонента, те имат времеви компонент. По-специално, може да се разгледа четириизмерен векторскорост. Пространствената „част“ на този вектор обаче не съвпада с обичайната триизмерна скорост и като цяло четириизмерната скорост е значително различна по своите свойства от триизмерната. По-специално, сумата от две четириизмерни скорости няма, най-общо казано, да бъде скорост.

Релативистки закондобавяне на скорости.

Нека разгледаме движението на материална точка в системата K’ със скорост u. Нека определим скоростта на тази точка в системата K, ако системата K’ се движи със скорост v. Нека запишем проекциите на вектора на скоростта на точката спрямо системите K и K’:

K: u x =dx/dt, u y =dy/dt, u z =dz/dt; K’: u x ’=dx’/dt’, u y ’ =dy’/dt’, u’ z =dz’/dt’.

Сега трябва да намерим стойностите на диференциалите dx, dy, dz и dt. Диференцирайки трансформациите на Лоренц, получаваме:

, , , .

Сега можем да намерим проекциите на скоростта:

, ,
.

От тези уравнения става ясно, че формулите, свързващи скоростите на тялото в различни системисправка (законите за събиране на скоростите) се различават значително от законите на класическата механика. При скорости, малки в сравнение със скоростта на светлината, тези уравнения се превръщат в класически уравнения за добавяне на скорости.

6. 5. Основният закон на динамиката на релативистката частица. @

Масата на релативистките частици, т.е. частици, движещи се със скорости v ~ c не е постоянна, а зависи от тяхната скорост: . Тук m 0 е масата на покой на частицата, т.е. маса, измерена в отправната система, спрямо която частицата е в покой. Тази зависимост е потвърдена експериментално. Въз основа на него се изчисляват всички съвременни ускорители на заредени частици (циклотрон, синхрофазотрон, бетатрон и др.).

От принципа на относителността на Айнщайн, който утвърждава инвариантността на всички закони на природата при преминаване от един инерционна системапрепратка към друг следва условието за инвариантност физични законипо отношение на трансформациите на Лоренц. Основният закон за динамиката на Нютон F=dP/dt=d(mv)/dt също се оказва инвариантен по отношение на трансформациите на Лоренц, ако съдържа времевата производна на релативистичния импулс отдясно.

Основният закон на релативистката динамика има формата: ,

и е формулиран както следва: скоростта на промяна на релативистичния импулс на частица, движеща се със скорост, близка до скоростта на светлината, е равна на силата, действаща върху нея.

При скорости, много по-ниски от скоростта на светлината, уравнението, което получихме, се превръща в основен закон на динамиката на класическата механика. Основният закон на релативистичната динамика е инвариантен по отношение на трансформациите на Лоренц, но може да се покаже, че нито ускорението, нито силата, нито импулсът са инвариантни величини сами по себе си. Поради хомогенността на пространството в релативистичната механика, законът за запазване на релативистичния импулс е изпълнен: релативистичният импулс на затворена система не се променя с времето. В допълнение към всички изброени характеристики, основните и най-важното заключениеспециална теория

относителността се свежда до факта, че пространството и времето са органично свързани помежду си и образуват единна форма на съществуване на материята.

6. 6. Връзка между маса и енергия. Закон за запазване на енергията в релативистката механика. @ Изследвайки последиците от основния закон на релативистичната динамика, Айнщайн стига до извода, че общата енергия на движеща се частица е равна на

. От това уравнение следва, че дори неподвижна частица (когато b = 0) има енергия E 0 = m 0 c 2, тази енергия се нарича енергия на покой (или собствена енергия). И така, универсална зависимостчастици от неговата маса: E = mс 2. Това е основен закон на природата - законът за връзката между маса и енергия.

Съгласно този закон масата в покой има огромен запас от енергия и всяка промяна в масата Δm е придружена от промяна в общата енергия на частицата ΔE=c 2 Δm. Например, 1 kg речен пясък трябва да съдържа 1×(3,0∙10 8 m/s) 2 =9∙10 16 J енергия. Това е двойно повече от седмичното потребление на енергия в Съединените щати. Въпреки товаповечето
това енергията не е налична, тъй като законът за запазване на материята изисква товаобщ брой бариони (т.нарелементарни частици

– неутрони и протони) остават постоянни във всяка затворена система. От това следва, че общата маса на барионите не се променя и съответно не може да се преобразува в енергия. Но вътреатомни ядра неутроните и протоните имат, в допълнение към енергията на покой,страхотна енергия взаимодействия помежду си. В редица процеси като ядрен синтез и делене, част от тази потенциална енергия на взаимодействие може да се преобразува в допълнителна кинетична енергия на частиците, получени при реакции. Тази трансформация служи като източник на енергияядрени реактори

и атомни бомби. Правилността на съотношението на Айнщайн може да се докаже на примера на разпаданетосвободен неутрон

към протон, електрон и неутрино (с нулева маса на покой): n → p + e - + ν. В този случай общата кинетична енергия на крайните продукти е равна на 1,25∙10 -13 J. Масата на покой на неутрона надвишава общата маса на протона и електрона с 13,9∙10 -31 kg. Това намаление на масата трябва да съответства на енергията ΔE=c 2 Δm=(13.9∙10 -31)(3.0∙10 8) 2 =1.25∙10 -15 J. То съвпада с наблюдаваната кинетична енергия на продуктите на разпадане. В релативистката механика законът за запазване на масата на покой не се спазва, но законът за запазване на енергията е изпълнен:.

общата енергия на затворената система се запазва, т.е. не се променя с времето

6.7. Обща теория на относителността. @

Няколко години след публикуването на специалната теория на относителността, Айнщайн разработва и окончателно формулира през 1915 г. общата теория на относителността, която е съвременната физическа теория за пространството, времето и гравитацията. Основният предметобща теория относителността егравитационно взаимодействие по-бърза скоростСвета. Така Айнщайн се сблъсква с проблема на релативистката теория за гравитацията. За да се реши този проблем, беше необходимо също да се отговори на въпроса: дали гравитационната маса (включена в закона Универсална гравитация) и инерционна маса (включена във втория закон на Нютон)? Отговор на този въпрос може да даде само опитът. Целият набор от експериментални факти показва, че инертната и гравитационната маса са идентични. Известно е, че силите на инерцията са подобни на силите на гравитацията: намирайки се в затворена кабина, никакви експерименти не могат да установят какво причинява действието на силата mg върху тялото - дали кабината се движи с ускорение g или фактът, че че неподвижната кабина се намира близо до повърхността на Земята. Горното представлява т.нар принцип на еквивалентност: гравитационното поле в своето проявление е идентично с ускоряващата отправна система. Това твърдение е използвано от Айнщайн като основа за общата теория на относителността.

В своята теория Айнщайн установи, че свойствата на пространството и времето са по-свързани сложни взаимоотношенияотколкото отношенията на Лоренц. Видът на тези връзки зависи от разпределението на материята в пространството; често се казва, че материята огъва пространството и времето. Ако няма въпрос на дълги разстоянияот точката на наблюдение или кривината на пространство-времето е малка, тогава отношенията на Лоренц могат да се използват със задоволителна точност.

Айнщайн обяснява феномена на гравитацията (привличането на тела с маса) с факта, че масивните тела огъват пространството по такъв начин, че естественото движение на други тела по инерция се извършва по същите траектории, сякаш съществуват сили на привличане.

Така Айнщайн решава проблема със съвпадението на гравитационната и инертната маса, като отказва да използва концепцията за гравитационните сили. Последиците, извлечени от общата теория на относителността (теорията на гравитацията), предсказват наличието на новифизични явления близо до масивни тела: промени във времето; промени в траекториите на други тела, които не са обяснени в класическата механика; отклонение на светлинните лъчи; промяна на честотата на светлината; необратимо привличане на всички форми на материята към достатъчнои т.н. Всички тези явления са открити: наблюдава се промяна в тактовата честота по време на полет на самолет около Земята; траекторията на движение на най-близката до Слънцето планета, Меркурий, се обяснява само с тази теория, отклонението на светлинните лъчи се наблюдава за лъчи, идващи от звезди към нас близо до Слънцето; също се открива промяна в честотата или дължината на вълната на светлината, този ефект се нарича гравитационно червено отместване, наблюдава се в спектрални линииСлънце и тежки звезди; Необратимото привличане на материята към звездите обяснява наличието на "черни дупки" - космически звездни обекти, които абсорбират дори светлина. В допълнение, много космологични въпроси са обяснени в общата теория на относителността.

Пример. Да се ​​върнем към пример (1.13):

x = 1 + 12t 3t2

(координатата се измерва в метри, времето в секунди). Последователно диференцирайки два пъти, получаваме:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Както виждаме, ускорението е постоянно по абсолютна стойност и равно на 6 m/s2. Ускорението е насочено в посока, противоположна на оста X.

Даденият пример е случай на равномерно ускорено движение, при което големината и посоката на ускорението са непроменени. Равноускореното движение е един от най-важните и често срещани видове движение в механиката.

от този примерне е трудно да се разбере, че при равномерно ускорено движение проекцията на скоростта е линейна функциявреме и координата квадратична функция. Ще говорим за това по-подробно в съответния раздел за равномерно ускорено движение.

Пример. Да разгледаме един по-екзотичен случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Нека разграничим:

vx = x = 3 8t + 15t2 ;

ax = vx = 8 + 30t:

Това движение не е равномерно ускорено: ускорението зависи от времето.

Пример. Нека тялото се движи по оста X по следния закон:

Виждаме, че координатата на тялото се променя периодично, варирайки от 5 до 5. Това движение е пример хармонични вибрации, когато координатата се променя във времето според синусния закон.

Нека разграничим два пъти:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

ax = vx = 20 sin 2t:

Проекцията на скоростта се променя според косинусния закон, а проекцията на ускорението отново според синусния закон. Величина ax е пропорционална на координатата x и противоположна по знак (а именно ax = 4x); най-общо отношението от вида ax = !2 x е характерно за хармоничните трептения.

1.2.8 Закон за добавяне на скорости

Нека има две отправни системи. Една от тях е свързана с неподвижно отправно тяло O. Ще обозначим тази отправна система с K и ще я наречем неподвижна.

Втората отправна система, обозначена като K0, е свързана с отправното тяло O0, което се движи спрямо тялото O със скорост ~u. Ние наричаме тази референтна система подвижна. Допълнително

предполагаме, че координатни осисистеми K0 се движат успоредно на себе си (няма въртене на координатната система), така че векторът ~u може да се счита за скоростта на движещата се система спрямо неподвижната.

Фиксираната референтна система K обикновено е свързана със земята. Ако влак се движи плавно по релсите със скорост ~u, тогава референтната система, свързана с вагона на влака, ще бъде движеща се еталонна система K0.

Обърнете внимание, че скоростта на всяка точка в car3 е ~u. Ако една муха седи неподвижно в някаква точка на каретата, тогава спрямо земята тя се движи със скорост ~u. Мухата се носи от каретата и затова скоростта ~u на движещата се система спрямо неподвижната се нарича преносима скорост.

Сега да предположим, че една муха пълзи по каретата. След това има още две скорости, които трябва да се вземат предвид.

Скоростта на полета спрямо автомобила (т.е. в движещата се система K0) се обозначава с ~ v0 и

наречена относителна скорост.

Скоростта на полета спрямо земята (т.е. в неподвижна K рамка) се обозначава с ~v и

наречена абсолютна скорост.

Нека разберем как тези три скорости - абсолютна, относителна и преносима - са свързани помежду си.

На фиг. 1.11 мухата е обозначена с точка М. Следва:

~r радиус вектор на точка M в неподвижна система K; ~r0 радиус вектор на точка M в движещата се система K0 ;

~ радиус вектор на референтното тяло 0 в неподвижна система.

~r 0

ориз. 1.11. До заключението на закона за събиране на скоростите

Както се вижда от фигурата,

~ 0 ~r = R + ~r:

Диференцирайки това равенство, получаваме:

					d~r 0

Производната d~r=dt е скоростта на точка М в системата К, т.е абсолютна скорост:

d~r dt = ~v:

По същия начин, производната d~r 0 =dt е скоростта на точка M в системата K0, т.е. относителната

скорост:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 В допълнение към въртящите се колела, но ние не ги вземаме предвид.

Какво е ~? Това е скоростта на точка 0 в стационарна система, тоест преносима dR=dt O

скорост ~u на движеща се система спрямо неподвижна:

dR dt = ~u:

В резултат от (1.28) получаваме:

~v = ~u + ~v 0 :

Законът за събиране на скоростите. Скоростта на точка спрямо фиксирана отправна система е равна на векторна сумаскоростта на движещата се система и скоростта на точката спрямо движещата се система. С други думи, абсолютната скорост е сумата от преносимите и относителните скорости.

Така, ако муха пълзи по движеща се количка, тогава скоростта на мухата спрямо земята е равна на векторната сума на скоростта на каретата и скоростта на мухата спрямо каретата. Интуитивно очевиден резултат!

1.2.9 Видове механични движения

Най-простите видове механично движениена материална точка са равномерно и праволинейно движение.

Движението се нарича равномерно, ако големината на вектора на скоростта остава постоянна (посоката на скоростта може да се промени).

Движението се нарича праволинейно, ако се извършва по определена права линия (големината на скоростта може да се промени). С други думи, траекторията на праволинейното движение е права линия.

Например, кола, движеща се с постоянна скорост по криволичещ път, прави равномерно (но не линейно) движение. Автомобил, който ускорява по прав участък от магистрала, се движи по права линия (но не равномерно).

Но ако по време на движението на тялото както големината на скоростта, така и нейната посока остават постоянни, тогава движението се нарича равномерно праволинейно. Така че:

равномерно движение, j~vj = const;

униформа праволинейно движение, ~v = const.

Най-важният частен случай неравномерно движениее равномерно ускорено движение, при което остават постоянен модули посока на вектора на ускорението:

равномерно ускорено движение, ~a = const.

Наред с материалната точка в механиката се разглежда и друга идеализация - твърдо тяло.

Твърдото тяло е система от материални точки, разстоянията между които не се променят с времето. Модел твърдосе използва в случаите, когато не можем да пренебрегнем размера на тялото, но не можем да отчетем промяната в размера и формата на тялото по време на движение.

Най-простите видове механично движение на твърдо тяло са транслационното и ротационното движение.

Движението на тялото се нарича транслационно, ако всяка права линия, свързваща произволни две точки от тялото, се движи успоредно на първоначалната си посока. По време на транслационното движение траекториите на всички точки на тялото са идентични: те се получават една от друга чрез паралелно изместване.

И така, на фиг. 1.12 е показано движение напредсив квадрат. Произволно избран зелен сегмент от този квадрат се движи успоредно на себе си. Траекториите на краищата на сегмента са изобразени със сини пунктирани линии.

ориз. 1.12. Движение напред

Движението на тялото се нарича въртеливо, ако всички негови точки описват окръжности, разположени в него успоредни равнини. В този случай центровете на тези окръжности лежат на една права линия, която е перпендикулярна на всички тези равнини и се нарича ос на въртене.

На фиг. 1.13 показва топка, която се върти наоколо вертикална ос. Обикновено така рисуват глобусв съответните проблеми на динамиката.

ориз. 1.13. Ротационно движение

Нека два фотона 1 и 2 се движат един към друг със скорости, равни на v 1 = c и v 2 = c (c е скоростта на светлината) спрямо конвенционално „стационарната“ референтна система Земя K (виж фигурата). Да намерим скоростта 1-ви фотон в референтната рамка K, свързана с 2-рия фотон, използвайки класическа формулаза добавяне на скорости:

Таблица 3

Така скоростта на един фотон в референтната система, свързана с 2-ри, се оказа равна на 2c, но според STR нито една частица не може да се движи със скорост, по-голяма от скоростта на светлината.

Когато телата се движат със скорости, сравними със скоростта на светлината, в SRT е получена друга формула, която се нарича релативистка формула за добавяне на скорости. Нека напишем формули за най-простия случай на системи, движещи се в една посока.

u - скоростта на тялото в стационарна отправна система K

u е скоростта на тялото в движещата се отправна система K

v - скоростта на системата K спрямо системата K

(заменихме буквите от предишни формули, за да избегнем използването на индекси и допълнително претрупване на формулите)

Нека вземем тези формули.

Нека въведем междинна променлива t

Нека намерим производната с помощта на трансформации на Лоренц

Нека умножим производните, като вземем предвид това

като е произвел алгебрични операции, намираме от това уравнение u или u

Нека сега изчислим скоростта на фотона от предишния пример, използвайки релативистичната формула.

v 1 = u 1 = c-скорост на 1-ви фотон в K, v 1 = u 1 = c- скорост на 1-ви в K, v 2 = v - скорост на 2-ри фотон, т.е. скорост K в K. Така според релативистичната формула скоростта на фотона не надвишава скоростта на светлината c.

Концепцията за релативистка динамика

При използване на трансформации на Лоренц основният закон на динамиката m(dp/dt) = F се оказва инвариантен, при условие че импулсът на частицата е записан във формата:

Релативистки импулс на частица

Основен закон на релативистката динамика

Тогава основният закон на релативистичната динамика формално запазва същата форма като закона на Нютон II, но между тях има фундаментална разлика. (виж по-долу)

Величината m се нарича релативистка маса, тя зависи от скоростта на тялото и не е инвариант, т.е. има различен смисълв различни ISO.

m 0 - телесната маса, наричана още маса на покой, е инвариант и има една и съща стойност във всеки ISO.

В класическата механика ускорението на една частица и силата, която е причинила това ускорение, винаги са насочени по един и същи начин. При скорост на частиците, сравнима със скоростта на светлината, т.е. в релативистичния случай посоката на ускорението и силата съвпадат само в два случая: 1) когато силата е успоредна на скоростта във всеки момент от времето и 2) когато силата е перпендикулярна на скоростта. IN общ случайпосоките на ускорение и сила не съвпадат (вижте фигурата)

Връзката между маса и енергия в теорията на относителността.

Нека въведем нови обозначения за енергия, които най-често се използват в SRT.

обща енергия

кинетична енергия (ще използваме обозначението T)

Нека намерим израз за кинетична енергияв SRT, като се има предвид, че увеличаването на кинетичната енергия се дължи на работата на някаква сила. Тяло в начален моментнеподвижно и свободно, т.е. не взаимодейства с други тела и следователно няма потенциална енергия.

за да интегрирате и получите, трябва да намалите m до една променлива, докато има две от тях и всички равенства са точкови продуктивектори,

вместо променливата p се появиха променливи

вече не е тук векторни продуктизащото , но остават две променливи

повдигнете го, изразете го, заменете и получете

Сега можете да интегрирате, защото остава само една променлива m

интегрирайки, получаваме израза за кинетична енергия в STR

Релативистка кинетична енергия

Енергия за почивка

Общата релативистка енергия, т.е. енергия на движещо се тяло

По този начин от SRT следва, че всяко неподвижно тяло има запас от енергия, равен на. Например, тяло с тегло 1 kg съдържа енергия E 0 = 1910 16 J. Тази енергия може да загрее резервоар с размери 1 km 20 km 20 m със 100 o C. Проблемът е как да се освободи тази енергия. Дори със термоядрена реакцияосвобождава се по-малко от 1% от общата енергия, съответстваща на цялата маса на покой. В класическата механика понятието „енергия на покой“ отсъства.

Изразът се нарича закон на Айнщайн за връзката между маса и енергия

Съгласно този закон, обща наличностЕнергията на едно тяло (или система от тела), от каквито и видове енергия да се състои (кинетична, потенциална, топлинна, електрическа и т.н.) е свързана с масата на тялото (системата от тела) с това отношение. С други думи, ако масата на тялото се промени, неговата енергия ще се промени и обратно.

Нека парче желязо с тегло 1 kg се нагрее с 1000 o C. Нека изчислим колко трябва да се промени масата на парчето.

промяната в енергията на тялото трябва да промени масата му с

Q - топлина по време на нагряване, C - специфична топлинанагрято вещество

Няма уреди, които да засекат толкова малка промяна в масата от 1 кг

Всички SRT формули стават класически при v<< c.Например, найдем кинетическую энергию тела при малых скоростях. Приближенное выражение, известное из математики

релативистичният израз се превръща в класически

От SRT следва, че частици с нулева маса могат да съществуват, но те не могат да бъдат неподвижни, а трябва да се движат непрекъснато и само със скоростта на светлината c - това са фотони и, вероятно, неутрино.

връзка между енергия и импулс за частици с нулева маса (фотони) m 0 =0

Някои формули от SRT, които могат да бъдат извлечени от горните изрази

Връзка между кинетичната енергия на частицата и нейния импулс

Връзка между общата енергия на частица и нейния импулс

Връзка между общата енергия и енергията на покой с импулса

12.2. Постулати на SRT

12.2.1. Релативистки закон за събиране на скоростите

Релативистката теория се нарича още специалната теория на относителносттаи се основава на два постулата, формулирани от А. Айнщайн през 1905г.

Първият постулат на специалната теория на относителността (СТО) се нарича принципът на относителността: всички закони на физиката са инвариантни по отношение на прехода от една инерционна отправна система към друга, т.е. никакви експерименти (механични, електрически, оптични), проведени вътре в даден ISO, не позволяват да се открие дали този ISO е в покой или се движи равномерно и по права линия.

Първият постулат разширява механичния принцип на относителността на Галилей до всякакви физически процеси.

Вторият постулат на специалната теория на относителността (СТО) се нарича принципът на инвариантността на скоростта на светлината: скоростта на светлината във вакуум не зависи от скоростта на източника на светлина или наблюдателя и е еднаква във всички ISO.

Вторият постулат гласи, че постоянството на скоростта на светлината е основно свойство на природата.

Трансформации на Лоренц(1904) ни позволяват да получим стойностите на три пространствени и една времева координата, когато се движим от една инерционна референтна рамка (x, y, z, t) към друга (x′, y′, z′, t′), движеща се в положителната посока на координатната ос Ox с релативистка скорост u →:

x = x ′ + u t ′ 1 − β 2 , y = y ′, z = z ′, t = t ′ + u x ′ / c 2 1 − β 2 ,

където β = u/c; c е скоростта на светлината във вакуум, c = 3,0 ⋅ 10 8 m/s.

Има практическа стойност за решаване на проблеми закон за добавяне на скорости, написано като

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 ,

където стойностите v ′ x, u x, v x са проекциите на скоростите върху избраната координатна ос Ox:

• v ′ x - относителна скорост на релативистичните частици;
• u x - скорости на частиците, избран за референтна система, спрямо неподвижен наблюдател;
• v x - скоростта на друга частица спрямо същия неподвижен наблюдател.

За изчисление относителна скорост на движение на две релативистични частициПрепоръчително е да използвате следния алгоритъм:

1) изберете посоката на координатната ос Ox по протежение на движението на една от релативистичните частици;

2) свържете референтната система с една от частиците, означете нейната скорост u → ; скоростта на втората частица спрямо неподвижен наблюдател се означава с v → ;

3) запишете проекциите на скоростите u → и v → върху избраната координатна ос:

• когато една частица се движи в положителната посока на оста Ox, знакът на проекцията на скоростта се счита за положителен;
• когато една частица се движи в отрицателна посока на оста Ox, знакът на проекцията на скоростта се счита за отрицателен;

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 ;

5) напишете модула на относителната скорост на движение на релативистичните частици във формата

v rel = |

v ′ x |

.

Пример 1. Ракета, която се отдалечава от Земята със скорост 0,6c (c е скоростта на светлината) изпраща светлинен сигнал в посока, обратна на нейната скорост. Сигналът е регистриран от наблюдател на Земята. Намерете скоростта на този сигнал спрямо наблюдател на земята.

Разтвор . Според втория постулат на SRT, скоростта на светлината във вакуум не зависи от скоростта на източника на светлина или наблюдателя.

Следователно скоростта на сигнала, изпратен от ракетата спрямо наблюдател на земята, е равна на скоростта на светлината:

vrel = c,

където c е скоростта на светлината във вакуум, c = 3,0 ⋅ 10 8 m/s.

За да изчислим относителната скорост на движение на две релативистични частици, ще използваме алгоритъм.

1. Нека изберем посоката на координатната ос Ox по посока на скоростта на електрона и ядрото.

u → = v → el;

v → = v → отрова.

u x = 0,40c; v x = 0,70c.

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 = 0,70 c − 0,40 c 1 − 0,40 c ⋅ 0,70 c c 2 = 0,30 c 1 − 0,40 c ⋅ 0,70 c c 2 = 1,25 ⋅ 10 8 m/s.

5. Проекцията на относителната скорост има положителен знак, следователно големината на скоростта на ядрото спрямо електрона е равна на намерената проекция:

v rel = v ′ x = 1,25 ⋅ 10 8 m/s.

Във втория случай ядрото изхвърля електрон в посока, обратна на скоростта на неговото движение. На фиг. b показва ядро, което е изхвърлило електрон, противоположно на посоката на неговото движение, и са посочени посоките на координатната ос Ox, скоростта на ядрото v → отрова, скоростта на електрона v → електрон.

Ще използваме и алгоритъма за изчисление.

1. Нека изберем посоката на координатната ос Ox по посока на скоростта на електрона.

2. Нека свържем референтната система с електрона и обозначим скоростта му спрямо ускорителя

u → = v → el;

скорост на ядрото спрямо ускорителя -

v → = v → отрова.

3. Нека запишем проекциите на скоростите u → и v → върху избраната координатна ос:

u x = 0,40 s; v x = −0,70c.

4. Изчислете проекцията на относителната скорост на частиците по формулата

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 = − 0,70 c − 0,40 c 1 − 0,40 c ⋅ (− 0,70) c c 2 =

= − 1,1 ⋅ 3,00 ⋅ 10 8 1 − 0,40 s ⋅ (− 0,70) s c 2 = − 2,58 ⋅ 10 8 m/s.

5. Проекцията на относителната скорост има отрицателен знак, следователно модулът на скоростта на ядрото спрямо електрона е равен на модула на намерената проекция:

v rel = |

v ′ x |