Вероятността за събитие се разбира като определена числена характеристика на възможността за настъпване на това събитие. Има няколко подхода за определяне на вероятността.

Вероятност за събитието Асе нарича отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълната група. И така, вероятността от събитието Асе определя по формулата

Където м– броят на елементарните благоприятни резултати А, н– броят на всички възможни резултати от елементарни тестове.

Пример 3.1.В експеримент, включващ хвърляне на зар, броят на всички резултати не равно на 6 и всички те са еднакво възможни. Нека събитието Аозначава появата на четно число. Тогава за това събитие благоприятните резултати ще бъдат появата на числата 2, 4, 6. Техният брой е 3. Следователно вероятността от събитието Аравна на

Пример 3.2.Каква е вероятността произволно избрано двуцифрено число да има еднакви цифри?

Двуцифрените числа са числата от 10 до 99, има общо 90 такива числа с еднакви цифри (това са числата 11, 22, ..., 99). Тъй като в този случай м=9, н=90 тогава

Където А– събитие, „число с еднакви цифри.“

Пример 3.3.В партида от 10 части, 7 са стандартни. Намерете вероятността от шест части, взети на случаен принцип, 4 да са стандартни.

Общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя на начините, по които 6 части могат да бъдат извлечени от 10, т.е. броят на комбинациите от 10 елемента от по 6 елемента всяка. Нека определим броя на резултатите, благоприятни за събитието, което ни интересува А(сред шестте взети части има 4 стандартни). Четири стандартни части могат да бъдат взети от седем стандартни части по различни начини; в същото време останалите 6-4=2 части трябва да са нестандартни, но можете да вземете две нестандартни части от 10-7=3 нестандартни части по различни начини. Следователно броят на благоприятните резултати е равен на .

Тогава търсената вероятност е равна на

Следните свойства следват от определението за вероятност:

1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. Следователно в този случай m=n

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В случая означава

3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста се благоприятства от случайно събитие. В такъв случай< м< n, означава 0 < m/n < 1, тоест 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Изграждането на логически пълна теория на вероятността се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност. В системата от аксиоми, предложена от А. Н. Колмогоров, недефинираните понятия са елементарно събитие и вероятност. Ето аксиомите, които определят вероятността:

1. Всяко събитие Априсвоено неотрицателно реално число P(A). Това число се нарича вероятност на събитието А.

2. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

3. Вероятността за настъпване на поне едно от двойно несъвместимите събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Въз основа на тези аксиоми свойствата на вероятностите и зависимостите между тях се извеждат като теореми.

Въпроси за самопроверка

1. Как се нарича числената характеристика на възможността за настъпване на събитие?

2. Каква е вероятността за събитие?

3. Каква е вероятността за надеждно събитие?

4. Каква е вероятността за невъзможно събитие?

5. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?

6. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?

7. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?

Класическа дефиниция на вероятността.

Както споменахме по-горе, с голям брой н тестова честота P*(A)=m/ ннастъпване на събитие А е стабилен и дава приблизителна стойност на вероятността за събитие А , т.е. .

Това обстоятелство ни позволява експериментално да намерим приблизителната вероятност за събитие. На практика този метод за намиране на вероятността от събитие не винаги е удобен. В края на краищата трябва да знаем предварително вероятността за някакво събитие, дори преди експеримента. Това е евристична, предсказваща роля на науката. В редица случаи вероятността от дадено събитие може да се определи преди експеримента, като се използва концепцията за равновероятност на събития (или равновъзможност).

Двете събития се наричат еднакво вероятно (или еднакво възможно ), ако няма обективни причини да се смята, че едно от тях може да се появи по-често от другото.

Така например появата на герб или надпис при хвърляне на монета са еднакво вероятни събития.

Нека да разгледаме друг пример. Нека хвърлят заровете. Поради симетрията на куба можем да предположим, че появата на някое от числата 1, 2, 3, 4, 5 или 6 еднакво възможно (еднакво вероятно).

събития в този експеримент те формират пълна група , ако поне един от тях възникне в резултат на експеримента. И така, в последния пример пълната група събития се състои от шест събития - появата на числа 1, 2, 3, 4, 5 И 6.

Очевидно всяко събитие А и противоположното му събитие образуват пълна група.

Събитие б Наречен благоприятен събитие А , ако настъпването на събитие б води до настъпване на събитие А . Така че, ако А - появата на четен брой точки при хвърляне на зар, след това появата на числото 4 представлява събитие в полза на събитие А.

Нека събития в този експеримент образуват пълна група от еднакво вероятни и по двойки несъвместими събития. Да им се обадим резултати тестове. Да приемем, че събитието А благоприятстват резултатите от процеса. Тогава вероятността от събитието А в този експеримент се нарича отношение. Така стигаме до следното определение.

Вероятността P(A) за събитие в даден експеримент е съотношението на броя на експерименталните резултати, благоприятни за събитие А, към общия брой възможни експериментални резултати, които образуват пълна група от еднакво вероятни по двойки несъвместими събития: .

Това определение на вероятността често се нарича класически. Може да се покаже, че класическата дефиниция удовлетворява аксиомите на вероятността.

Пример 1.1.Партида от 1000 лагери. Попаднах в тази група случайно 30 лагери, които не отговарят на стандарта. Определете вероятността P(A) че произволно взет лагер ще се окаже стандартен.

Решение:Броят на стандартните лагери е 1000-30=970 . Ще приемем, че всеки лагер има еднаква вероятност да бъде избран. Тогава пълната група от събития се състои от еднакво вероятни резултати, от които събитието А благоприятни резултати. Ето защо .

Пример 1.2.В урната 10 топки: 3 бяло и 7 черен. Две топки се вземат от урната наведнъж. Каква е вероятността Р че и двете топки се оказват бели?

Решение:Броят на всички еднакво вероятни резултати от теста е равен на броя на начините, по които 10 извадете две топки, т.е. броя на комбинациите от 10 елементи от 2 (пълна група събития):

Броят на благоприятните резултати (от колко начина може да се избира 3 изберете топки 2) : . Следователно, необходимата вероятност .

Гледайки напред, този проблем може да бъде решен по друг начин.

Решение:Вероятността при първия опит (изваждане на топка) да бъде изтеглена бяла топка е равна на (общо топки 10 , от тях 3 бяло). Вероятността по време на втория опит бялата топка да бъде изтеглена отново е равна на (общият брой топки сега е 9, защото извадиха едното, стана бяло 2, защото Извадиха бялото). Следователно вероятността за комбиниране на събития е равна на произведението на техните вероятности, т.е. .

Пример 1.3.В урната 2 зелено, 7 червен, 5 кафяво и 10 бели топки. Каква е вероятността да се появи цветна топка?

Решение: Намираме съответно вероятностите за появата на зелени, червени и кафяви топки: ; ; . Тъй като разглежданите събития са очевидно несъвместими, тогава, използвайки аксиомата за добавяне, намираме вероятността за появата на цветна топка:

Или по друг начин. Вероятността да се появи бяла топка е . Тогава вероятността за появата на небяла топка (т.е. цветна), т.е. вероятността от обратното събитие е равна на .

Геометрично определение на вероятността. За да се преодолее недостатъкът на класическата дефиниция на вероятността (тя не е приложима за тестове с безкраен брой резултати), се въвежда геометрична дефиниция на вероятността - вероятността точка да попадне в област (сегмент, част от равнина, и т.н.).

Нека сегментът е част от сегмента. Точка се поставя на случаен принцип върху сегмент, което означава, че са изпълнени следните допускания: поставената точка може да бъде във всяка точка на сегмента, вероятността точка да попадне върху сегмента е пропорционална на дължината на този сегмент и не зависи от местоположението му спрямо сегмента. При тези предположения вероятността точка да попадне върху сегмент се определя от равенството

Първоначално, бидейки просто сбор от информация и емпирични наблюдения за играта на зарове, теорията на вероятностите се превърна в задълбочена наука. Първите, които му дадоха математическа рамка, бяха Ферма и Паскал.

От мисълта за вечното до теорията на вероятностите

Двамата личности, на които теорията на вероятностите дължи много от своите фундаментални формули, Блез Паскал и Томас Байес, са известни като дълбоко религиозни хора, като последният е презвитериански свещеник. Очевидно желанието на тези двама учени да докажат погрешността на мнението, че определена съдба дава късмет на своите фаворити, е дало тласък на изследванията в тази област. В края на краищата всъщност всяка хазартна игра с нейните печалби и загуби е просто симфония от математически принципи.

Благодарение на страстта на Шевалие дьо Мер, който беше еднакво комарджия и човек, който не беше безразличен към науката, Паскал беше принуден да намери начин да изчисли вероятността. Де Мере се интересуваше от следния въпрос: „Колко пъти трябва да хвърлите два зара по двойки, така че вероятността да получите 12 точки да надвишава 50%?“ Вторият въпрос, който беше от голям интерес за господина: „Как да разделим залога между участниците в незавършената игра?“ Разбира се, Паскал успешно отговори и на двата въпроса на дьо Мере, който стана неволен инициатор на развитието на теорията на вероятностите. Интересно е, че личността на дьо Мер остава известна в тази област, а не в литературата.

Преди това нито един математик не се е опитвал да изчисли вероятностите за събития, тъй като се смяташе, че това е само предполагаемо решение. Блез Паскал дава първото определение на вероятността за събитие и показва, че това е конкретна цифра, която може да бъде математически обоснована. Теорията на вероятностите се превърна в основа на статистиката и се използва широко в съвременната наука.

Какво е случайност

Ако разгледаме тест, който може да се повтори безкраен брой пъти, тогава можем да дефинираме случайно събитие. Това е един от вероятните резултати от експеримента.

Опитът е изпълнението на конкретни действия при постоянни условия.

За да може да се работи с резултатите от експеримента, събитията обикновено се обозначават с буквите A, B, C, D, E...

Вероятност за случайно събитие

За да започне математическата част на вероятността, е необходимо да се дефинират всички нейни компоненти.

Вероятността за събитие е числена мярка за възможността някакво събитие (А или Б) да се случи в резултат на преживяване. Вероятността се означава като P(A) или P(B).

В теорията на вероятностите те разграничават:

• надежденсъбитието е гарантирано да се случи в резултат на опита P(Ω) = 1;
• невъзможенсъбитието никога не може да се случи P(Ø) = 0;
• случаенсъбитие се намира между надеждно и невъзможно, т.е. вероятността за възникването му е възможна, но не е гарантирана (вероятността за случайно събитие винаги е в диапазона 0≤Р(А)≤ 1).

Връзки между събития

Вземат се предвид както едно, така и сумата от събития A+B, когато събитието се брои, когато поне един от компонентите, A или B, или и двата, A и B, е изпълнен.

Във връзка едно с друго събитията могат да бъдат:

• Еднакво възможно.
• Съвместим.
• Несъвместим.
• Противоположни (взаимно изключващи се).
• Зависим.

Ако две събития могат да се случат с еднаква вероятност, тогава те еднакво възможно.

Ако настъпването на събитие A не намалява до нула вероятността за настъпване на събитие B, тогава те съвместим.

Ако събития A и B никога не се случват едновременно в едно и също преживяване, тогава те се извикват несъвместим. Хвърлянето на монета е добър пример: появата на глави автоматично означава непоява на глави.

Вероятността за сумата от такива несъвместими събития се състои от сумата от вероятностите за всяко от събитията:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ако настъпването на едно събитие прави невъзможно настъпването на друго, тогава те се наричат ​​противоположни. Тогава единият от тях се обозначава като A, а другият - Ā (чете се като „не A“). Настъпването на събитие A означава, че Ā не се е случило. Тези две събития образуват пълна група със сума от вероятности, равна на 1.

Зависимите събития имат взаимно влияние, като намаляват или увеличават вероятността едно от друго.

Връзки между събития. Примери

С помощта на примери е много по-лесно да се разберат принципите на теорията на вероятностите и комбинациите от събития.

Експериментът, който ще се проведе, се състои в изваждане на топки от кутия, като резултатът от всеки експеримент е елементарен резултат.

Събитие е един от възможните резултати от експеримент - червена топка, синя топка, топка с номер шест и т.н.

Тест №1. Участват 6 топки, три от които са сини с нечетни числа по тях, а останалите три са червени с четни числа.

Тест No2. Има 6 сини топки с числа от едно до шест.

Въз основа на този пример можем да именуваме комбинации:

• Надеждно събитие.На Испански № 2 събитието „вземете синята топка“ е надеждно, тъй като вероятността за възникването му е равна на 1, тъй като всички топки са сини и не може да има пропуск. Докато събитието „вземете топката с номер 1“ е случайно.
• Невъзможно събитие.На Испански № 1 със сини и червени топки, събитието „получаване на лилавата топка“ е невъзможно, тъй като вероятността за възникването му е 0.
• Еднакво възможни събития.На Испански № 1, събитията „вземете топката с номер 2“ и „вземете топката с номер 3“ са еднакво възможни, както и събитията „вземете топката с четно число“ и „вземете топката с номер 2“ ” имат различни вероятности.
• Съвместими събития.Получаването на шест два пъти подред, докато хвърляте зар, е съвместимо събитие.
• Несъвместими събития.На същия испански № 1, събитията „вземи червена топка“ и „вземи топка с нечетно число“ не могат да се комбинират в едно и също изживяване.
• Противоположни събития.Най-яркият пример за това е хвърлянето на монета, където тегленето на глави е еквивалентно на нетеглене на опашки и сумата от техните вероятности винаги е 1 (пълна група).
• Зависими събития. И така, на испански № 1, можете да си поставите за цел да изтеглите червената топка два пъти подред. Независимо дали е изтеглен за първи път, влияе върху вероятността да бъде изтеглен втори път.

Вижда се, че първото събитие значително влияе върху вероятността от второто (40% и 60%).

Формула за вероятност на събитието

Преходът от гадаене към точни данни става чрез превод на темата в математическа равнина. Тоест преценките за случайно събитие като „висока вероятност“ или „минимална вероятност“ могат да бъдат преведени в конкретни числени данни. Вече е допустимо да се оценява, сравнява и въвежда такъв материал в по-сложни изчисления.

От гледна точка на изчисленията, определянето на вероятността за събитие е съотношението на броя на елементарните положителни резултати към броя на всички възможни резултати от опита по отношение на конкретно събитие. Вероятността се обозначава с P(A), където P означава думата „probabilite“, която се превежда от френски като „вероятност“.

И така, формулата за вероятността от събитие е:

Където m е броят на благоприятните резултати за събитие А, n е сумата от всички възможни резултати за това преживяване. В този случай вероятността за събитие винаги е между 0 и 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Изчисляване на вероятността от събитие. Пример

Да вземем испански. № 1 с топки, който беше описан по-рано: 3 сини топки с числата 1/3/5 и 3 червени топки с числата 2/4/6.

Въз основа на този тест могат да се разгледат няколко различни проблема:

• A - падаща червена топка. Има 3 червени топки и има общо 6 опции. Това е най-простият пример, в който вероятността за събитие е P(A)=3/6=0,5.
• B - хвърляне на четно число. Има 3 четни числа (2,4,6), а общият брой възможни числови опции е 6. Вероятността за това събитие е P(B)=3/6=0,5.
• C - появата на число, по-голямо от 2. Има 4 такива опции (3,4,5,6) от общ брой възможни изхода 6. Вероятността за събитие C е равна на P(C)=4 /6=0,67.

Както може да се види от изчисленията, събитие C има по-висока вероятност, тъй като броят на вероятните положителни резултати е по-висок, отколкото в A и B.

Несъвместими събития

Такива събития не могат да се появят едновременно в едно и също преживяване. Като на испански № 1 невъзможно е да вземеш синя и червена топка едновременно. Тоест можете да получите или синя, или червена топка. По същия начин четно и нечетно число не могат да се появят в зара едновременно.

Вероятността от две събития се разглежда като вероятността от тяхната сума или продукт. Сборът от такива събития A+B се счита за събитие, което се състои от настъпване на събитие A или B, а произведението от тях AB е настъпване и на двете. Например, появата на две шестици наведнъж върху лицата на два зара при едно хвърляне.

Сумата от няколко събития е събитие, което предполага настъпването на поне едно от тях. Производството на няколко събития е съвместното събитие на всички тях.

В теорията на вероятностите, като правило, използването на връзката "и" означава сума, а връзката "или" - умножение. Формулите с примери ще ви помогнат да разберете логиката на събирането и умножението в теорията на вероятностите.

Вероятност на сумата от несъвместими събития

Ако се вземе предвид вероятността от несъвместими събития, тогава вероятността от сумата от събития е равна на добавянето на техните вероятности:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например: нека изчислим вероятността на испански. № 1 със сини и червени топки ще се появи число между 1 и 4 ще пресмятаме не в едно действие, а чрез сумата от вероятностите на елементарните компоненти. И така, в такъв експеримент има само 6 топки или 6 от всички възможни изхода. Числата, които отговарят на условието, са 2 и 3. Вероятността да се получи числото 2 е 1/6, вероятността да се получи числото 3 също е 1/6. Вероятността да получите число между 1 и 4 е:

Вероятността за сумата от несъвместими събития на пълна група е 1.

Така че, ако в експеримент с куб съберем вероятностите всички числа да се появят, резултатът ще бъде едно.

Това важи и за противоположни събития, например в експеримента с монета, където едната страна е събитието А, а другата е противоположното събитие Ā, както е известно,

P(A) + P(Ā) = 1

Вероятност за възникване на несъвместими събития

Умножението на вероятността се използва, когато се разглежда появата на две или повече несъвместими събития в едно наблюдение. Вероятността събитията A и B да се появят в него едновременно е равна на произведението на техните вероятности или:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Например вероятността на испански № 1, в резултат на два опита ще се появи синя топка два пъти, равна на

Тоест, вероятността за възникване на събитие, когато в резултат на два опита за изваждане на топки се извадят само сини топки, е 25%. Много е лесно да се направят практически експерименти по този проблем и да се види дали това наистина е така.

Съвместни събития

Събитията се считат за съвместни, когато настъпването на едно от тях може да съвпадне с настъпването на друго. Въпреки факта, че са съвместни, се взема предвид вероятността от независими събития. Например, хвърлянето на два зара може да даде резултат, когато числото 6 се появи и на двата, въпреки че събитията са съвпаднали и са се появили по едно и също време, те са независими едно от друго - може да падне само една шестица, второто зарче няма. влияние върху него.

Вероятността от съвместни събития се разглежда като вероятността от тяхната сума.

Вероятност за сумата от съвместни събития. Пример

Вероятността за сумата от събития A и B, които са съвместни едно спрямо друго, е равна на сумата от вероятностите на събитието минус вероятността за тяхното възникване (т.е. съвместното им възникване):

R става (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Да приемем, че вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,4. Тогава събитие А е попадение в целта при първия опит, Б - при втория. Тези събития са съвместни, тъй като е възможно да уцелите целта както с първия, така и с втория изстрел. Но събитията не са зависими. Каква е вероятността за поразяване на целта с два изстрела (поне с един)? Според формулата:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Отговорът на въпроса е: „Вероятността за попадение в целта с два изстрела е 64%“.

Тази формула за вероятността от събитие може да се приложи и към несъвместими събития, където вероятността за съвместно възникване на събитие P(AB) = 0. Това означава, че вероятността от сумата от несъвместими събития може да се счита за специален случай от предложената формула.

Геометрия на вероятността за яснота

Интересното е, че вероятността от сумата от съвместни събития може да бъде представена като две области A и B, които се пресичат една с друга. Както се вижда от снимката, площта на тяхното обединение е равна на общата площ минус площта на тяхното пресичане. Това геометрично обяснение прави привидно нелогичната формула по-разбираема. Имайте предвид, че геометричните решения не са необичайни в теорията на вероятностите.

Определянето на вероятността за сумата от много (повече от две) съвместни събития е доста тромаво. За да го изчислите, трябва да използвате формулите, предоставени за тези случаи.

Зависими събития

Събитията се наричат ​​​​зависими, ако появата на едно (A) от тях влияе върху вероятността за възникване на друго (B). Освен това се отчита влиянието както на настъпването на събитие А, така и на неговото ненастъпване. Въпреки че събитията се наричат ​​зависими по дефиниция, само едно от тях е зависимо (B). Обикновената вероятност се обозначава като P(B) или вероятността от независими събития. В случай на зависими събития се въвежда ново понятие - условна вероятност P A (B), която е вероятността за зависимо събитие B, предмет на настъпването на събитие A (хипотеза), от което то зависи.

Но събитие А също е случайно, така че също има вероятност, която се нуждае и може да бъде взета предвид при извършените изчисления. Следващият пример ще покаже как да работите със зависими събития и хипотеза.

Пример за изчисляване на вероятността от зависими събития

Добър пример за изчисляване на зависими събития би било стандартно тесте карти.

Като използваме тесте от 36 карти като пример, нека да разгледаме зависимите събития. Трябва да определим вероятността втората изтеглена карта от тестето да бъде от диаманти, ако първата изтеглена карта е:

1. Бубновая.
2. Различен цвят.

Очевидно вероятността за второто събитие B зависи от първото A. Така че, ако първата опция е вярна, че има 1 карта (35) и 1 каро (8) по-малко в тестето, вероятността за събитие B:

R A (B) =8/35=0,23

Ако втората опция е вярна, тогава тестето има 35 карти и пълният брой диаманти (9) все още се запазва, тогава вероятността от следното събитие B:

R A (B) =9/35=0,26.

Може да се види, че ако събитие А е обусловено от факта, че първата карта е каро, тогава вероятността за събитие Б намалява и обратно.

Умножаване на зависими събития

Водени от предходната глава, приемаме първото събитие (А) за факт, но по същество то е със случаен характер. Вероятността за това събитие, а именно изтегляне на каро от тесте карти, е равна на:

P(A) = 9/36=1/4

Тъй като теорията не съществува сама по себе си, а е предназначена да служи на практически цели, справедливо е да се отбележи, че това, което най-често е необходимо, е вероятността за създаване на зависими събития.

Съгласно теоремата за произведението на вероятностите от зависими събития, вероятността за възникване на съвместно зависими събития A и B е равна на вероятността за едно събитие A, умножена по условната вероятност за събитие B (зависимо от A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Тогава, в примера с тестето, вероятността да изтеглите две карти с цвят каро е:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятността първо да се извлекат не диаманти, а след това диаманти, е равна на:

27/36*9/35=0,19 или 19%

Може да се види, че вероятността събитие B да се случи е по-голяма, при условие че първата изтеглена карта е от цвят, различен от каро. Този резултат е съвсем логичен и разбираем.

Обща вероятност за събитие

Когато проблем с условни вероятности стане многостранен, той не може да бъде изчислен с помощта на конвенционални методи. Когато има повече от две хипотези, а именно A1, A2,…, A n, ..формира пълна група от събития, при условие че:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

И така, формулата за общата вероятност за събитие B с пълна група от случайни събития A1, A2,..., A n е равна на:

Поглед в бъдещето

Вероятността за случайно събитие е изключително необходима в много области на науката: иконометрия, статистика, физика и т.н. Тъй като някои процеси не могат да бъдат описани детерминистично, тъй като самите те са вероятностни по природа, са необходими специални методи на работа. Теорията за вероятността на събитието може да се използва във всяка технологична област като начин за определяне на възможността за грешка или неизправност.

Можем да кажем, че като разпознаваме вероятността, ние по някакъв начин правим теоретична крачка в бъдещето, разглеждайки го през призмата на формулите.

Задачи за класическото определяне на вероятността.
Примери за решения

В третия урок ще разгледаме различни проблеми, свързани с директното приложение на класическата дефиниция на вероятността. За ефективно изучаване на материалите в тази статия ви препоръчвам да се запознаете с основните понятия теория на вероятноститеИ основи на комбинаториката. Задачата за класическо определяне на вероятността с вероятност, клоняща към единица, ще присъства във вашата самостоятелна/контролна работа върху terver, така че нека се подготвим за сериозна работа. Може да попитате какво толкова сериозно има в това? ...само една примитивна формула. Предупреждавам ви за несериозност - тематичните задачи са доста разнообразни и много от тях лесно могат да ви объркат. В тази връзка, в допълнение към работата по основния урок, опитайте се да изучите допълнителни задачи по темата, които са в касичката готови решения за висша математика. Техниките за решаване са си техники за решаване, но „приятелите“ все пак „трябва да се познават от поглед“, защото дори богатото въображение е ограничено и има достатъчно стандартни задачи. Е, ще се опитам да сортирам възможно най-много от тях с добро качество.

Нека си спомним класиката на жанра:

Вероятността за възникване на събитие при определен тест е равна на отношението , където:

– общ брой на всички еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- количество елементаренрезултати, благоприятни за събитието.

И веднага незабавно спиране в бокса. Разбирате ли подчертаните термини? Това означава ясно, а не интуитивно разбиране. Ако не, тогава все още е по-добре да се върнете към 1-ва статия теория на вероятноститеи едва след това продължете напред.

Моля, не пропускайте първите примери - в тях ще повторя една фундаментално важна точка и също така ще ви кажа как правилно да форматирате решение и по какви начини може да се направи това:

Проблем 1

Една урна съдържа 15 бели, 5 червени и 10 черни топки. На случаен принцип е изтеглена 1 топка, намерете вероятността тя да бъде: а) бяла, б) червена, в) черна.

Решение: Най-важната предпоставка за използване на класическата дефиниция на вероятността е способност за преброяване на общия брой резултати.

В урната има общо 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно следните факти са верни:

– извличането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за събитието: – бяла топка ще бъде изтеглена от урната. Това събитие е предпочитано елементаренрезултати, следователно, според класическата дефиниция:
– вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в толкова проста задача може да се допусне сериозна неточност, на която вече обърнах внимание в първата статия за теория на вероятностите. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че „тъй като половината топки са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка» . Класическата дефиниция на вероятността се отнася до ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а частта трябва да бъде записана!

С други точки, по подобен начин, разгледайте следните събития:

– от урната ще бъде изтеглена червена топка;
– от урната ще бъде изтеглена черна топка.

Едно събитие се предпочита от 5 елементарни резултата, а едно събитие се предпочита от 10 елементарни резултата. Така че съответните вероятности са:

Типична проверка на много сървърни задачи се извършва с помощта на теореми за сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група. В нашия случай събитията образуват пълна група, което означава, че сумата от съответните вероятности задължително трябва да бъде равна на единица: .

Нека да проверим дали това е вярно: това е, което исках да се уверя.

Отговор:

По принцип отговорът може да се запише по-подробно, но лично аз съм свикнал да поставям само цифри там - поради причината, че когато започнете да „избивате“ проблеми със стотици и хиляди, се опитвате да намалите писането на решението, доколкото е възможно. Между другото, относно краткостта: на практика опцията за „високоскоростен“ дизайн е често срещана решения:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урната. Според класическото определение:
– вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
– вероятността от урната да бъде изтеглена червена топка;
– вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

Отговор:

Ако обаче има няколко точки в условието, тогава често е по-удобно решението да се формулира по първия начин, което отнема малко повече време, но в същото време „подрежда всичко на рафтовете“ и го улеснява за навигация в проблема.

Да загреем:

Проблем 2

Магазинът получи 30 хладилника, пет от които са с производствен дефект. На случаен принцип се избира един хладилник. Каква е вероятността да е без дефект?

Изберете подходящата опция за дизайн и проверете примера в долната част на страницата.

В най-простите примери броят на обичайните и броят на благоприятните резултати лежат на повърхността, но в повечето случаи трябва сами да изкопаете картофите. Канонична поредица от проблеми за забравил абонат:

Проблем 3

При набиране на телефонен номер абонатът забравя последните две цифри, но помни, че едната е нула, а другата е нечетна. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка : нулата е четно число (делимо на 2 без остатък)

Решение: Първо намираме общия брой резултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се затруднявате с комбинаториката и използването метод на директно изброяване на резултатите . Тоест, когато правим решение, ние просто записваме всички комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен резултат: правилното число.

Според класическото определение:
– вероятността абонатът да набере правилния номер

Отговор: 0,1

Десетичните дроби изглеждат доста подходящи в теорията на вероятностите, но можете също да се придържате към традиционния стил на Вишматов, работейки само с обикновени дроби.

Разширена задача за самостоятелно решение:

Проблем 4

Абонатът е забравил ПИН кода на SIM картата си, но помни, че тя съдържа три „петици“, като едно от числата е или „седем“, или „осмица“. Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук можете също да развиете идеята за вероятността абонатът да получи наказание под формата на puk код, но, за съжаление, разсъжденията ще надхвърлят обхвата на този урок

Решението и отговорът са по-долу.

Понякога изброяването на комбинации се оказва много старателна задача. По-специално това е случаят в следващата, не по-малко популярна група задачи, където се хвърлят 2 зара (по-рядко - по-големи количества):

Проблем 5

Намерете вероятността при хвърляне на два зара общият брой да бъде:

а) пет точки;
б) не повече от четири точки;
в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини, по които страната на първия зар може да изпадне Ипо различни начини страната на 2-ро кубче може да изпадне; от правило за умножаване на комбинации, Обща сума: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да бъде поръчандвойка с всекиръба на 2-ри куб. Нека се съгласим да запишем такава двойка във формата , където е числото, хвърлено на 1-вия зар, е числото, хвърлено на 2-рия зар. Например:

– първият зар отбеляза 3 точки, вторият зар отбеляза 5 точки, общо точки: 3 + 5 = 8;
– първият зар отбеляза 6 точки, вторият зар отбеляза 1 точка, общо точки: 6 + 1 = 7;
– 2 точки хвърлени на двата зара, сбор: 2 + 2 = 4.

Очевидно най-малката сума се дава от двойка, а най-голямата от две „шестици“.

а) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара ще се появят 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
– желаната вероятност.

b) Обмислете събитието: – няма да бъдат хвърлени повече от 4 точки. Тоест или 2, или 3, или 4 точки. Отново изброяваме и броим благоприятните комбинации, вляво ще напиша общия брой точки, а след двоеточието - подходящите двойки:

Общо: 6 благоприятни комбинации. По този начин:
– вероятността да бъдат хвърлени не повече от 4 точки.

в) Обмислете събитието: – Ще се хвърлят от 3 до 9 точки, включително. Тук можете да поемете по правия път, но... по някаква причина не искате. Да, някои двойки вече са изброени в предишните параграфи, но има още много работа за вършене.

Какъв е най-добрият начин да продължите? В такива случаи обиколният път се оказва рационален. Нека помислим противоположно събитие: – Ще бъдат хвърлени 2 или 10 или 11 или 12 точки.

Какъв е смисълът? Обратното събитие се предпочита от значително по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
– вероятността да хвърлите по-малко от три или повече от 9 точки.

В допълнение към директното изброяване и преброяване на резултатите, различни комбинаторни формули. И отново епичен проблем с асансьора:

Проблем 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) ще излязат на различни етажи
б) двама ще излязат на един етаж;
в) всички ще слязат на един етаж.

Нашият вълнуващ урок приключи и накрая, още веднъж горещо препоръчвам ако не да решите, то поне да разберете допълнителни проблеми за класическото определяне на вероятността. Както вече отбелязах, „подплатата на ръцете“ също има значение!

По-нататък по курса - Геометрично определение на вероятносттаИ Теореми за събиране и умножение на вероятноститеи... късмет в най-важното!

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 хладилника нямат дефект.

– вероятността произволно избран хладилник да няма дефект.
Отговор :

Задача 4: Решение: намерете общия брой резултати:
начини, по които можете да изберете мястото, където се намира съмнителният номер и на всекиОт тези 4 места могат да бъдат локализирани 2 цифри (седем или осем). Съгласно правилото за умножение на комбинации, общият брой резултати: .
Като алтернатива, решението може просто да изброи всички резултати (за щастие има малко от тях):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Има само един благоприятен изход (правилен пин код).
Така според класическата дефиниция:
– вероятността абонатът да влезе при първия опит
Отговор :

Задача 6: Решение: намерете общия брой резултати:
числата на 2 зара могат да се появят по различни начини.

а) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара произведението от точките ще бъде равно на седем. Няма благоприятни изходи за дадено събитие, според класическата дефиниция на вероятността:
, т.е. това събитие е невъзможно.

b) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара произведението от точките ще бъде поне 20. Следните резултати са благоприятни за това събитие:

Общо: 8
Според класическото определение:
– желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположните събития:
– произведението на точките ще бъде четно;
– произведението на точките ще бъде нечетно.
Нека изброим всички резултати, благоприятни за събитието:

Общо: 9 благоприятни изхода.
Според класическата дефиниция на вероятността:
Противоположните събития образуват пълна група, следователно:
– желаната вероятност.

Отговор :

Проблем 8: Решение: нека изчислим общия брой резултати: 10 монети могат да паднат по различни начини.
Друг начин: начините, по които първата монета може да падне Иначини, по които 2-рата монета може да падне И … Иначини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
a) Помислете за събитието: – главите ще се появят на всички монети. Това събитие е облагодетелствано от един изход според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Помислете за събитието: – 9 монети ще паднат с глави, а една монета ще падне с опашки.
Има монети, които могат да паднат върху глави. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Помислете за събитието: – главите ще се появят на половината от монетите.
Съществува уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
Отговор :

Основи на теорията на вероятностите

план:

1. Случайни събития

2. Класическа дефиниция на вероятността

3. Изчисляване на вероятности за събития и комбинаторика

4. Геометрична вероятност

Теоретична информация

Случайни събития.

Случайно явление- явление, чийто резултат не е ясно определен. Това понятие може да се тълкува в доста широк смисъл. А именно: всичко в природата е съвсем случайно, появата и раждането на всеки индивид е случайно явление, изборът на продукт в магазин също е случайно явление, получаването на оценка на изпит е случайно явление, болестта и възстановяването са случайни явления и т.н.

Примери за случайни явления:

~ Стрелбата се извършва от оръдие, монтирано под определен ъгъл спрямо хоризонталата. Попадането в целта е случайно, но снарядът, който удря определена „вилица“, е модел. Можете да посочите разстоянието, по-близо до което и по-далеч от което снарядът няма да лети. Ще получите някакъв вид „вилица за разпръскване на снаряди“

~ Едно и също тяло се претегля няколко пъти. Строго погледнато, всеки път ще получите различни резултати, дори и да се различават незначително, но те ще бъдат различни.

~ Самолет, летящ по един и същ маршрут, има определен полетен коридор, в който самолетът може да маневрира, но никога няма да има строго идентичен маршрут

~ Един спортист никога няма да може да пробяга същото разстояние за едно и също време. Неговите резултати също ще бъдат в рамките на определен цифров диапазон.

Опитът, експериментът, наблюдението са тестове

Пробен период– спазване или изпълнение на определен набор от условия, които се изпълняват многократно и редовно повтарящи се в една и съща последователност, продължителност и в съответствие с други идентични параметри.

Нека разгледаме спортист, който стреля по мишена. За да се осъществи, е необходимо да се изпълнят условия като подготовка на спортиста, зареждане на оръжието, прицелване и др. „Попадение” и „пропуснато” – събития в резултат на изстрел.

Събитие– висококачествен резултат от теста.

Едно събитие може да се случи или да не се случи. Събитията се отбелязват с главни букви. Например: D = "Стрелецът уцели целта." S="Бялата топка е изтеглена." K="Лотарен билет, взет на случаен принцип без печалба.".

Хвърлянето на монета е изпитание. Падането на нейния „герб“ е едно събитие, падането на нейния „цифров“ е второто събитие.

Всеки тест включва настъпването на няколко събития. Някои от тях могат да бъдат необходими на изследователя в даден момент, други може да не са необходими.

Събитието се нарича случайно, ако, когато е изпълнен определен набор от условия Сможе да се случи или да не се случи. По-нататък, вместо да кажем „наборът от условия S е изпълнен“, ще кажем накратко: „тестът е извършен“. Така събитието ще се счита за резултат от теста.

~ Стрелецът стреля по мишена, разделена на четири зони. Кадърът е тест. Удрянето на определена област от целта е събитие.

~ В урната има цветни топки. Една топка се взема на случаен принцип от урната. Извличането на топка от урна е изпитание. Появата на топка с определен цвят е събитие.

Видове случайни събития

1. Събитията се наричат ​​несъвместимиако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същото изпитване.

~ Част се изважда на случаен принцип от кутия с части. Появата на стандартна част елиминира появата на нестандартна част. Събития € появи се стандартна част" и се появи нестандартна част" - несъвместимо.

~ Хвърля се монета. Появата на "герба" ​​изключва появата на надписа. Събитията „появи се герб“ и „появи се надпис“ са несъвместими.

Формират се няколко събития пълна група,ако поне един от тях се появи в резултат на теста. С други думи, появата на поне едно от събитията на пълната група е надеждно събитие.

По-специално, ако събитията, които образуват пълната група, са несъвместими по двойки, тогава резултатът от теста ще бъде едно и само едно от тези събития, което е от най-голям интерес за нас, тъй като ще бъде използвано по-нататък.

~ Закупени са два лотарийни билета за пари и дрехи. Със сигурност ще се случи едно и само едно от следните събития:

1. „печалбите паднаха на първия билет и не паднаха на втория,“

2. „печалбите не паднаха на първия билет, а паднаха на втория,“

3. „печалбите паднаха и на двата билета“,

4. „и двата билета не спечелиха.“

Тези събития образуват пълна група от несъвместими по двойки събития,

~ Стрелецът е стрелял в целта. Едно от следните две събития определено ще се случи: удар, пропуск. Тези две несъвместими събития също образуват пълна група.

2. Извикват се събития еднакво възможно,ако има основание да се смята, че нито едно от тях не е по-възможно от другото.

~ Появата на “герб” и появата на надпис при хвърляне на монета са еднакво възможни събития. Всъщност се предполага, че монетата е изработена от хомогенен материал, има правилна цилиндрична форма и наличието на сечене не влияе на загубата на една или друга страна на монетата.

~ Появата на един или друг брой точки върху хвърлен зар са еднакво възможни събития. Действително се предполага, че матрицата е направена от хомогенен материал, има формата на правилен многостен и наличието на точки не влияе върху загубата на лице.

3. Събитието се нарича надежден,ако няма как да не се случи

4. Събитието се нарича ненадежден, ако не може да стане.

5. Събитието се нарича противоположносткъм някакво събитие, ако се състои в ненастъпването на това събитие. Противоположните събития не са съвместими, но едно от тях задължително трябва да се случи. Противоположните събития обикновено се означават като отрицания, т.е. Над буквата се изписва тире. Противоположни събития: A и Ā; U и Ū и т.н. .

Класическа дефиниция на вероятността

Вероятността е едно от основните понятия на теорията на вероятностите.

Има няколко дефиниции на това понятие. Нека дадем определение, което се нарича класическо. След това ще посочим слабостите на това определение и ще дадем други определения, които ни позволяват да преодолеем недостатъците на класическото определение.

Да разгледаме ситуацията: една кутия съдържа 6 еднакви топки, 2 са червени, 3 са сини и 1 е бяла. Очевидно възможността да се изтегли цветна (т.е. червена или синя) топка от урна произволно е по-голяма от възможността да се изтегли бяла топка. Тази възможност може да се характеризира с число, което се нарича вероятност за събитие (поява на цветна топка).

Вероятност- число, характеризиращо степента на вероятност за настъпване на събитие.

В разглежданата ситуация означаваме:

Събитие A = "Изваждане на цветна топка."

Всеки от възможните резултати от теста (тестът се състои в изваждане на топка от урна) ще бъде извикан елементарен (възможен) изход и събитие.Елементарните резултати могат да бъдат обозначени с букви с индекси по-долу, например: k 1, k 2.

В нашия пример има 6 топки, така че има 6 възможни резултата: появява се бяла топка; появи се червена топка; появи се синя топка и т.н. Лесно е да се види, че тези резултати образуват пълна група от несъвместими по двойки събития (ще се появи само една топка) и са еднакво възможни (топката е изтеглена на случаен принцип, топките са идентични и старателно смесени).

Нека наречем елементарни резултати, в които се случва събитието, което ни интересува благоприятни резултатитова събитие. В нашия пример събитието е предпочитано А(появата на цветна топка) следните 5 резултата:

Така че събитието Асе наблюдава, ако един от елементарните резултати е благоприятен за А.Това е външният вид на всяка цветна топка, от които има 5 в кутията

В разглеждания пример има 6 елементарни изхода; 5 от тях благоприятстват събитието А.следователно P(A)= 5/6. Това число дава количествена оценка на степента на възможност за появата на цветна топка.

Дефиниция на вероятността:

Вероятност за събитие Асе нарича отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълната група.

P(A)=m/n или P(A)=m: n, където:

m е броят на елементарните благоприятни резултати А;

П- броят на всички възможни резултати от елементарни тестове.

Тук се приема, че елементарните резултати са несъвместими, еднакво възможни и образуват пълна група.

Следните свойства следват от определението за вероятност:

1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В такъв случай m = nследователно p=1

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В този случай m=0, следователно p=0.

3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно. 0T< n.

В следващите теми ще бъдат дадени теореми, които позволяват известните вероятности за някои събития да се използват за намиране на вероятностите за други събития.

Измерване. В групата ученици има 6 момичета и 4 момчета. Каква е вероятността произволно избран ученик да е момиче? ще има ли младеж

p dev = 6 / 10 =0,6 p yun = 4 / 10 = 0,4

Концепцията за „вероятност“ в съвременните курсове по строга теория на вероятностите е изградена на основата на теория на множествата. Нека да разгледаме някои аспекти на този подход.

Нека едно и само едно от събитията се случи в резултат на теста: w i(i=1, 2, .... n). събития w i- Наречен елементарни събития (елементарни резултати). ОТНОСНОследва, че елементарните събития са несъвместими по двойки. Множеството от всички елементарни събития, които могат да възникнат в теста, се нарича пространство на елементарни събитияΩ (главна гръцка буква омега), а самите елементарни събития са точки от това пространство..

Събитие Аидентифицирани с подмножество (на пространство Ω), чиито елементи са елементарни благоприятни резултати А;събитие INе подмножество Ω, чиито елементи са благоприятни резултати IN,и т.н. По този начин множеството от всички събития, които могат да възникнат в теста, е множеството от всички подмножества на Ω, което се случва за всеки резултат от теста, следователно Ω е надеждно събитие; празно подмножество на пространството Ω - е невъзможно събитие (не възниква при никакъв резултат от теста).

Елементарните събития се отличават от всички тематични събития, „всяко от тях съдържа само един елемент Ω

Всеки елементарен изход w iсъответства на положително число p i- вероятността за този резултат и сумата от всички p iравно на 1 или със знак за сума, този факт ще бъде записан под формата на израз:

По дефиниция, вероятност P(A)събития Аравна на сумата от вероятностите за елементарни благоприятни резултати А.Следователно вероятността за надеждно събитие е равна на единица, невъзможно събитие е нула, а произволно събитие е между нула и едно.

Нека разгледаме важен специален случай, когато всички резултати са еднакво възможни, сборът от вероятностите на всички резултати е равен на единица; следователно вероятността за всеки резултат е 1/p. Нека събитието Аблагоприятства m резултати.

Вероятност за събитие Аравна на сумата от вероятностите за благоприятни резултати A:

P(A)=1/n + 1/n+...+1/n = n 1/n=1

Получава се класическата дефиниция на вероятността.

Има и аксиоматиченподход към понятието "вероятност". В предложената система от аксиоми. Колмогоров A.N., недефинираните понятия са елементарно събитие и вероятност. Изграждането на логически пълна теория на вероятността се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност.

Ето аксиомите, които определят вероятността:

1. Всяко събитие Априсвоено неотрицателно реално число R(A).Това число се нарича вероятност на събитието А.

2. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица:

3. Вероятността за настъпване на поне едно от двойно несъвместимите събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Въз основа на тези аксиоми свойствата на вероятностите и зависимостта между тях се извеждат като теореми.