"Критични точки на функция" - Критични точки. Сред критичните точки има екстремни точки. Предпоставкаекстремум. Отговор: 2. Определение. Но ако f" (x0) = 0, тогава не е необходимо точката x0 да бъде точка на екстремум. Точки на екстремум (повторение). Критични точки на функцията. Точки на екстремум.
“Координатна равнина 6 клас” - Математика 6 клас. 1. X. 1. Намерете и запишете координатите точки А, Б, C,D: -6. Координатна равнина. О. -3. 7. U.
“Функции и техните графики” - Непрекъснатост. Най-великият и най-малка стойностфункции. Концепция обратна функция. Линеен. Логаритмичен. Монотонен. Ако k > 0, тогава образуван ъгълостър ако k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).
„Функции 9 клас“ - Приемливо аритметични операциинад функциите. [+] – събиране, [-] – изваждане, [*] – умножение, [:] – деление. В такива случаи говорим за графична задачафункции. Образуване на клас елементарни функции. Силова функцияу=х0,5. Йовлев Максим Николаевич, ученик от 9 клас на средно училище RMOU Raduzhskaya.
“Уравнение на допирателната” - 1. Изясняване на понятието допирателна към графиката на функция. Лайбниц разглежда проблема за начертаване на допирателна към произволна крива. АЛГОРИТЪМ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА УРАВНЕНИЕ ЗА ДОПАТНА КЪМ ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯТА y=f(x). Тема на урока: Тест: намерете производната на функция. Уравнение на тангенс. Флуксия. 10 клас. Дешифрирайте това, което Исак Нютон нарича производна функция.
“Постройте графика на функция” - Дадена е функцията y=3cosx. Графика на функцията y=m*sin x. Графика на функцията. Съдържание: Дадена е функцията: y=sin (x+?/2). Разтягане на графиката y=cosx по оста y. За да продължите, щракнете върху l. Бутон на мишката. Дадена е функцията y=cosx+1. Отмествания на графиката y=sinx вертикално. Дадена е функцията y=3sinx. Хоризонтално изместване на графиката y=cosx.
В темата има общо 25 презентации
Научете се да приемате производни на функции.Производната характеризира скоростта на промяна на функция в определена точка, разположена на графиката на тази функция. IN в този случайГрафиката може да бъде или права, или крива линия. Тоест, производната характеризира скоростта на промяна на функция в определен момент от време. Помнете общи правила, по които се вземат производни, и едва тогава се преминава към следващата стъпка.
- Прочетете статията.
- Как да вземем най-простите производни, например производна експоненциално уравнение, описано. Изчисленията, представени в следващи стъпки, ще се базира на описаните там методи.
Научете се да правите разлика между задачите, в които наклонтрябва да се изчисли чрез производната на функцията.Проблемите не винаги изискват да намерите наклона или производната на функция. Например, може да бъдете помолени да намерите скоростта на промяна на функция в точка A(x,y). Може също да бъдете помолени да намерите наклона на тангентата в точка A(x,y). И в двата случая е необходимо да се вземе производната на функцията.
Вземете производната на функцията, която ви е дадена.Тук няма нужда да изграждате графика - трябва ви само уравнението на функцията. В нашия пример вземете производната на функцията. Вземете производното според методите, описани в статията, спомената по-горе:
- Производна:
Заменете координатите на дадената ви точка в намерената производна, за да изчислите наклона.Производната на функция е равна на наклона в определена точка. С други думи, f"(x) е наклонът на функцията във всяка точка (x,f(x)). В нашия пример:
- Намерете наклона на функцията f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)в точка А(4,2).
- Производна на функция:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Заменете стойността на координатата "x" на тази точка:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Намерете наклона:
- Функция наклон f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)в точка A(4,2) е равно на 22.
Ако е възможно, проверете отговора си на графика.Не забравяйте, че наклонът не може да бъде изчислен във всяка точка. Диференциално смятанеобмисля сложни функциии сложни графики, където наклонът не може да бъде изчислен във всяка точка, а в някои случаи точките изобщо не лежат на графиките. Ако е възможно, използвайте графичен калкулатор, за да проверите дали наклонът на дадената ви функция е правилен. IN иначеначертайте допирателна към графиката в дадената ви точка и помислете дали стойността на наклона, която сте намерили, съответства на това, което виждате на графиката.
- Тангентата ще има същия наклон като графиката на функцията в определена точка. За да начертаете допирателна в дадена точка, преместете наляво/надясно по оста X (в нашия пример 22 стойности надясно), а след това нагоре с една по оста Y. Маркирайте точката и след това я свържете с дадена ви точка. В нашия пример свържете точките с координати (4,2) и (26,3).
1) Площ дефиниции на функциии функционален диапазон.
Домейнът на една функция е множеството от всички валидни реални стойностиаргумент х(променлива х), за която функцията y = f(x)определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности г, които функцията приема.
IN елементарна математикафункциите се изучават само върху множеството от реални числа.
2) Функционални нули.
Функция нула е стойност на аргумента, при което стойността на функцията е равна на нула.
3) Интервали с постоянен знак на функция.
Интервалите с постоянен знак на функция са набори от стойности на аргументи, при които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.
4) Монотонност на функцията.
Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.
Намаляваща функция (в определен интервал) е функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.
5) Четна (нечетна) функция.
Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всяко Xот област на дефиницияима равенство f(-x) = f(x).
Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата. XНечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична по отношение на произхода и за всяко от областта на дефиницията равенството е вярно f(-x) = - f(x ).График
странна функция.
симетрични относно произхода. 6) Ограничени и неограничени функцииЕдна функция се нарича ограничена, ако има такава
положително число.
M, така че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x. Ако такъв номер не съществува, тогава функцията е неограничена. 7) Периодичност на функциятаФункция f(x) е периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f(x+T) = f(x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички
тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули). 19. Основен
елементарни функции
, техните свойства и графики. Приложение на функциите в икономиката.
Основни елементарни функции. Техните свойства и графики 1. Линейна функция.
Линейна функция се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа.Номер Асе нарича наклон на линията, то
равно на тангенс
1. Област на дефиниция - множеството от всички реални числа: D(y)=R
2. Наборът от стойности е наборът от всички реални числа: E(y)=R
3. Функцията приема нулева стойност, когато или.
4. Функцията расте (намалява) по цялата област на дефиниране.
5. Линейна функциянепрекъсната в цялата област на дефиниция, диференцируема и .
2. Квадратна функция.
Функция от вида, където x е променлива, коефициентите a, b, c са реални числа, се нарича квадратна
Понятието числова функция. Методи за задаване на функция. Свойства на функциите.
Числова функция- функция, която действа от едно числово пространство (набор) към друго числово пространство (набор).
Три основни начина за дефиниране на функция: аналитичен, табличен и графичен.
1. Аналитичен.
Методът за определяне на функция с помощта на формула се нарича аналитичен. Този метод е основният в мат. анализ, но на практика не е удобно.
2. Табличен методприсвояване на функции.
Функция може да бъде определена с помощта на таблица, съдържаща стойностите на аргументите и съответните им функционални стойности.
3. Графичен методприсвояване на функции.
Казва се, че функция y=f(x) е дадена графично, ако нейната графика е построена. Този метод за определяне на функция позволява да се определят стойностите на функцията само приблизително, тъй като конструирането на графика и намирането на стойностите на функцията върху нея е свързано с грешки.
Свойства на функция, които трябва да се вземат предвид при изграждането на нейната графика:
1) Областта на дефиниране на функцията.
Домейн на функцията,т.е. тези стойности, които аргументът x на функцията F =y (x) може да приеме.
2) Интервали на нарастващи и намаляващи функции.
Функцията се нарича нарастващана разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-голяма стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1 > x 2, тогава y(x 1) > y(x 2).
Функцията се нарича намаляващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Функционални нули.
Точките, в които функцията F = y (x) пресича абсцисната ос (получават се чрез решаване на уравнението y(x) = 0), се наричат нули на функцията.
4) Четни и нечетни функции.
Функцията се нарича дори, if за всички стойности на аргументи от обхвата
y(-x) = y(x).
График дори функциясиметричен спрямо ординатната ос.
Функцията се нарича странна, ако за всички стойности на аргумента от домейна на дефиницията
y(-x) = -y(x).
Графиката на четна функция е симетрична спрямо началото.
Много функции не са нито четни, нито нечетни.
5) Периодичност на функцията.
Функцията се нарича периодична,ако има число P такова, че за всички стойности на аргумента от областта на дефиницията
y(x + P) = y(x).
Линейна функция, нейните свойства и графика.
Линейната функция е функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа.
к– наклон ( реално число)
b– фиктивен термин (реално число)
х– независима променлива.
· В специалния случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, преминаващ през точката с координати (0; b).
· Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, което е пряка пропорционалност.
о Геометрично значениекоефициентът b е дължината на сегмента, отрязан от правата линия по оста Oy, считано от началото.
o Геометричният смисъл на коефициента k е ъгълът на наклона на правата към положителната посока на оста Ox, изчислен обратно на часовниковата стрелка.
Свойства на линейна функция:
1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;
2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос.
Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото b;
3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите k и b.
а) b ≠ 0, k = 0, следователно y = b – четно;
б) b = 0, k ≠ 0, следователно y = kx – нечетно;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y = kx + b е функция общ изглед;
г) b = 0, k = 0, следователно y = 0 е както четна, така и нечетна функция.
4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;
5) Точки на пресичане с координатни оси:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следователно (-b/k; 0) е пресечната точка с оста x.
Oy: y = 0k + b = b, следователно (0; b) е пресечната точка с ординатата.
Коментирайте. Ако b = 0 и k = 0, тогава функцията y = 0 изчезва за всяка стойност на променливата x. Ако b ≠ 0 и k = 0, тогава функцията y = b не изчезва за никоя стойност на променливата x.
6) Интервалите с постоянен знак зависят от коефициента k.
а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положително при x от (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицателно за x от (-∞; -b/k).
б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положително при x от (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицателно за x от (-b/k; +∞).
в) k = 0, b > 0; y = kx + b е положителен в цялата област на дефиниция,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента k.
k > 0, следователно y = kx + b нараства в цялата област на дефиниция,
к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Функция y = ax 2 + bx + c, нейните свойства и графика.
| Функция y = ax 2 + bx + c (a, b, c - константи, a ≠ 0) се извиква квадратнаВ най-простия случай y = ax 2 (b = c = 0) графиката е крива линия, минаваща през началото. Кривата, служеща за графика на функцията y = ax 2, е парабола. Всяка парабола има ос на симетрия, нареченаоста на параболата. Точката O на пресечната точка на парабола с нейната ос се нарича. |
 |
| върха на параболата Графиката може да се построи по следната схема: 1) Намерете координатите на върха на параболата x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Построяваме още няколко точки, принадлежащи на параболата; при построяването можем да използваме симетриите на параболата спрямо правата x = -b/2a. 3) Свържете посочените точки с гладка линия.
|
Пример. Начертайте графика на функцията b = x 2 + 2x - 3. Решения. Графиката на функцията е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. Абсцисата на върха на параболата x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, нейните ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4.И така, върхът на параболата е точка (-1; -4). Нека съставим таблица със стойности за няколко точки, които са разположени вдясно от оста на симетрия на параболата - права линия x = -1.
Функционални свойства.В тази статия ще разгледаме
линейна функция
, графика на линейна функция и нейните свойства. И както обикновено, ще решим няколко задачи по тази тема.
Линейна функция
Линейна функция
наречена функция на формата
Във функционално уравнение числото, по което умножаваме, се нарича коефициент на наклон.
Например в уравнението на функцията;в уравнението на функцията;
в уравнението на функцията.
Графиката на линейна функция е права линия.
2 1. Да начертаете функция
, имаме нужда от координатите на две точки, принадлежащи на графиката на функцията. За да ги намерите, трябва да вземете две стойности x, да ги замените в уравнението на функцията и да ги използвате, за да изчислите съответните стойности на y.">!}
Например, за да начертаете графика на функция, е удобно да вземете и , тогава ординатите на тези точки ще бъдат равни на и .
Получаваме точки A(0;2) и B(3;3). Нека ги свържем и да получим графика на функцията:">!}
. Във функционално уравнение коефициентът отговаря за наклона на графиката на функцията:
Title="k>0 Коефициентът е отговорен за изместването на графиката по оста: Title="b>0Фигурата по-долу показва графики на функции; ; Имайте предвид, че във всички тези функции коефициентътпо-голямо от нула
точно
. Освен това, отколкото
Този път във всички функции коеф по-малко от нулаи всички графики на функции са наклонени наляво.
Имайте предвид, че колкото по-голямо е |k|, толкова по-стръмна е правата линия. Коефициентът b е същият, b=3, а графиките, както в предишния случай, пресичат оста OY в точка (0;3)
Нека да разгледаме графиките на функциите; ;
Сега коефициентите във всички функционални уравнения са равни. И имаме три успоредни прави.
Но коефициентите b са различни и тези графики пресичат оста OY в различни точки:
Графиката на функцията (b=3) пресича оста OY в точка (0;3)
Графиката на функцията (b=0) пресича оста OY в точката (0;0) - началото.
Графиката на функцията (b=-2) пресича оста OY в точка (0;-2)
Така че, ако знаем знаците на коефициентите k и b, тогава можем веднага да си представим как изглежда графиката на функцията.
Ако к<0 и b>0 , тогава графиката на функцията изглежда така:
Ако k>0 и b>0,тогава графиката на функцията изглежда така:
Ако k>0 и b<0 , тогава графиката на функцията изглежда така:
Ако к<0 и b<0 , тогава графиката на функцията изглежда така:
Ако k=0,тогава функцията се превръща във функция и нейната графика изглежда така:
Ординатите на всички точки от графиката на функцията са равни
Ако b=0, тогава графиката на функцията минава през началото:
това графика на пряка пропорционалност.
3. Бих искал отделно да отбележа графиката на уравнението. Графиката на това уравнение е права линия, успоредна на оста, всички точки на която имат абциса.
Например, графиката на уравнението изглежда така:
внимание!Уравнението не е функция, тъй като различни стойности на аргумента съответстват на една и съща стойност на функцията, която не съответства.
4 . Условие за успоредност на две прави:
Графика на функция успоредна на графиката на функцията, Ако
5. Условието за перпендикулярност на две прави линии:
Графика на функция перпендикулярна на графиката на функцията, ако или
6. Пресечни точки на графиката на функция с координатните оси.
С OY ос.Абсцисата на всяка точка, принадлежаща на оста OY, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OY, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо x. Получаваме y=b. Тоест точката на пресичане с оста OY има координати (0; b).
С ос OX:Ординатата на всяка точка, принадлежаща на оста OX, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста OX, трябва да замените нула в уравнението на функцията вместо y. Получаваме 0=kx+b. Оттук. Тоест точката на пресичане с оста OX има координати (;0):
Нека да разгледаме решаването на проблеми.
1. Да се построи графика на функцията, ако е известно, че тя минава през точката A(-3;2) и е успоредна на правата y=-4x.
Функционалното уравнение има два неизвестни параметъра: k и b. Следователно текстът на задачата трябва да съдържа две условия, характеризиращи графиката на функцията.
а) От това, че графиката на функцията е успоредна на правата y=-4x, следва, че k=-4. Тоест уравнението на функцията има формата
b) Просто трябва да намерим b. Известно е, че графиката на функцията минава през точка A(-3;2). Ако точка принадлежи на графиката на функция, тогава при заместване на нейните координати в уравнението на функцията получаваме правилното равенство:
следователно b=-10
Следователно трябва да начертаем функцията
Знаем точка A(-3;2), нека вземем точка B(0;-10)
Нека поставим тези точки в координатната равнина и ги свържем с права линия:
2. Напишете уравнението на правата, минаваща през точките A(1;1); B(2;4).
Следователно, ако една права минава през точки с дадени координати, координатите на точките удовлетворяват уравнението на правата. Тоест, ако заместим координатите на точките в уравнението на правата, ще получим правилното равенство.
Нека заместим координатите на всяка точка в уравнението и ще получим система от линейни уравнения.
Извадете първото от второто уравнение на системата и получете . Нека заместим стойността на k в първото уравнение на системата и ще получим b=-2.
И така, уравнението на правата.
3. Графика на уравнението 
За да намерите при какви стойности на неизвестното продуктът от няколко фактора е равен на нула, трябва да приравните всеки фактор към нула и да вземете предвид всеки множител.
Това уравнение няма ограничения за ODZ. Нека разложим на множители втората скоба и зададем всеки фактор равен на нула. Получаваме набор от уравнения:
Нека построим графики на всички уравнения на множеството в една координатна равнина. Това е графиката на уравнението :
4. Постройте графика на функцията, ако тя е перпендикулярна на правата и минава през точката M(-1;2)
Няма да изграждаме графика, а само ще намерим уравнението на правата.
а) Тъй като графиката на функция, ако е перпендикулярна на права, следователно, следователно. Тоест уравнението на функцията има формата
б) Знаем, че графиката на функцията минава през точката M(-1;2). Нека заместим нейните координати в уравнението на функцията. Получаваме:
Оттук.
Следователно нашата функция изглежда така: .
5. Графика на функцията 
Нека опростим израза от дясната страна на уравнението на функцията.
важно!Преди да опростим израза, нека намерим неговия ODZ.
Знаменателят на дроб не може да бъде нула, така че title="x1">, title="х-1">.!}
Тогава нашата функция приема формата:
Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}
Тоест, трябва да изградим графика на функцията и да изрежем две точки върху нея: с абсцисите x=1 и x=-1:
