Които са ви били познати в една или друга степен. Там също беше отбелязано, че запасът от функционални свойства ще бъде постепенно попълван. За два нови имота и ще говоримв този параграф.
Определение 1.
Функцията y = f(x), x є X, се извиква дори ако за всяка стойност x от множеството X е изпълнено равенството f (-x) = f (x).
Определение 2.
Функцията y = f(x), x є X, се нарича нечетна, ако за всяка стойност x от множеството X е изпълнено равенството f (-x) = -f (x).
Докажете, че y = x 4 е четна функция.
Решение. Имаме: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4. Това означава, че за всяко x е в сила равенството f(-x) = f(x), т.е. функцията е четна.
По същия начин може да се докаже, че функциите y - x 2, y = x 6, y - x 8 са четни.
Докажете, че y = x 3 ~ нечетна функция.
Решение. Имаме: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3. Това означава, че за всяко x е в сила равенството f (-x) = -f (x), т.е. функцията е странна.
По същия начин може да се докаже, че функциите y = x, y = x 5, y = x 7 са нечетни.
Вече неведнъж сме виждали, че новите термини в математиката най-често имат „земен” произход, т.е. могат да се обяснят по някакъв начин. Такъв е случаят както с четните, така и с нечетните функции. Вижте: y - x 3, y = x 5, y = x 7 са нечетни функции, докато y = x 2, y = x 4, y = x 6 са четни функции. И като цяло, за всяка функция от формата y = x" (по-долу ще проучим специално тези функции), където n е естествено число, можем да заключим: ако n не е четно число, тогава функцията y = x" е нечетна; ако n е четно число, тогава функцията y = xn е четна.
Има и функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такава например е функцията y = 2x + 3. Действително, f(1) = 5 и f (-1) = 1. Както можете да видите, тук следователно нито идентичността f(-x) = f ( x), нито идентичността f(-x) = -f(x).
И така, една функция може да бъде четна, нечетна или нито една от двете.
Проучване на въпроса дали дадена функциячетно или нечетно обикновено се нарича изследване на функция за паритет.
В определения 1 и 2 ние говорим заотносно стойностите на функцията в точки x и -x. Това предполага, че функцията е дефинирана както в точка x, така и в точка -x. Това означава, че точка -x принадлежи към областта на дефиниране на функцията едновременно с точка x. Ако набор от номера X, заедно с всеки от неговите елементи, съдържа и противоположен елемент-x, тогава X се нарича симетрично множество. Да кажем, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) са симетрични множества, докато ; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са асиметрични.
– Дори функциите имат ли област на дефиниция, която е симетрично множество? Странните?
– Ако D( f) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията при = f(X) – четно или нечетно, тогава неговият домейн на дефиниция е D( f) е симетрично множество. Вярно ли е обратното твърдение: ако областта на дефиниране на функция е симетрично множество, то четно ли е или нечетно?
– Това означава, че наличието на симетрично множество от областта на дефиниране е необходимо условие, но не е достатъчно.
– И така, как да изследваме функция за паритет? Нека се опитаме да създадем алгоритъм.
слайд
Алгоритъм за изследване на функция за паритет
1. Определете дали областта на дефиниране на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, тогава преминете към стъпка 2 от алгоритъма.
2. Напишете израз за f(–X).
3. Сравнете f(–X).И f(X):
- Ако f(–X).= f(X), тогава функцията е четна;
- Ако f(–X).= – f(X), тогава функцията е нечетна;
- Ако f(–X) ≠ f(X) И f(–X) ≠ –f(X), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.
Примери:
Разгледайте функция а) за паритет при= x 5 +; б) при= ; V) при= .
Решение.
а) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => функция h(x)= x 5 + странно.
б) y =,
при = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, което означава, че функцията не е нито четна, нито нечетна.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Вариант 2
1. Симетрично ли е даден набор: а) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
А); б) y = x (5 – x 2).
а) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Графика на функцията при = f(X), Ако при = f(X) е четна функция.
Графика на функцията при = f(X), Ако при = f(X) е странна функция.
Взаимна проверка включена слайд.
6. Домашна работа: №11.11, 11.21,11.22;
Доказателство за геометричния смисъл на свойството паритет.
***(Присвояване на опцията за единен държавен изпит).
1. Нечетната функция y = f(x) е дефинирана на цялата числова ос. За всяка неотрицателна стойност на променливата x стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Намерете стойността на функцията h( X) = при X = 3.
7. Обобщаване
Скриване на шоуто
Методи за задаване на функция
Нека функцията е дадена с формулата: y=2x^(2)-3. Като присвоите всякакви стойности на независимата променлива x, можете да изчислите, използвайки тази формула, съответните стойности на зависимата променлива y. Например, ако x=-0,5, тогава, използвайки формулата, намираме, че съответната стойност на y е y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Вземайки всяка стойност, взета от аргумента x във формулата y=2x^(2)-3, можете да изчислите само една стойност на функцията, която й съответства. Функцията може да бъде представена като таблица:
| х | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| г | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Използвайки тази таблица, можете да видите, че за стойността на аргумента −1 ще съответства стойността на функцията −3; и стойността x=2 ще съответства на y=0 и т.н. Също така е важно да знаете, че всяка стойност на аргумент в таблицата отговаря само на една стойност на функцията.
Повече функции могат да бъдат определени с помощта на графики. С помощта на графиката се установява с коя стойност на функцията корелира определена стойностх. Най-често това ще бъде приблизителна стойност на функцията.
Четна и нечетна функция
Функцията е дори функция, когато f(-x)=f(x) за всяко x от областта на дефиницията. Такава функция ще бъде симетрична спрямо оста Oy.
Функцията е странна функция, когато f(-x)=-f(x) за всяко x от областта на дефиницията. Такава функция ще бъде симетрична спрямо началото O (0;0) .
Функцията е дори не, нито страннои се нарича функция общ изглед , когато няма симетрия спрямо оста или началото.
Нека разгледаме следната функция за паритет:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) s симетрична зонадефиниции спрямо произхода. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Това означава, че функцията f(x)=3x^(3)-7x^(7) е нечетна.
Периодична функция
Функцията y=f(x) , в чиято област е валидно равенството f(x+T)=f(x-T)=f(x) за всяко x, се нарича периодична функцияс период T \neq 0 .
Повтаряне на графиката на функция върху всеки сегмент от оста x, който има дължина T.
Интервалите, където функцията е положителна, т.е. f(x) > 0, са сегменти от абсцисната ос, които съответстват на точките от графиката на функцията, разположени над абсцисната ос.
f(x) > 0 включено (x_(1); x_(2)) \чаша (x_(3); +\infty)
Интервали, където функцията е отрицателна, т.е. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \чаша (x_(2); x_(3))
Ограничена функция
Ограничен отдолуОбичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато има число A, за което неравенството f(x) \geq A е валидно за всяко x \in X .
Пример за функция, ограничена отдолу: y=\sqrt(1+x^(2)), тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за всяко x .
Ограничен отгорефункция y=f(x), x \in X се извиква, когато има число B, за което неравенството f(x) \neq B е в сила за всяко x \in X .
Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за всяко x \in [-1;1] .
ОграниченОбичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато има число K > 0, за което неравенството \left | f(x)\надясно | \neq K за всяко x \in X .
Пример ограничена функция: y=\sin x е ограничено по цялата числова ос, тъй като \ляво | \sin x \right | \neq 1.
Нарастваща и намаляваща функция
Прието е да се говори за функция, която нараства на разглеждания интервал като увеличаваща се функциякогато по-висока стойност x ще съответства на по-голяма стойност на функцията y=f(x) . От това следва, че като се вземат две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) от разглеждания интервал, с x_(1) > x_(2) , резултатът ще бъде y(x_(1)) > y(x_(2)).
Извиква се функция, която намалява на разглеждания интервал намаляваща функциякогато по-голяма стойност на x съответства на по-малка стойност на функцията y(x) . От това следва, че вземането на две от разглеждания интервал произволни стойностиаргументите x_(1) и x_(2) с x_(1) > x_(2) ще бъдат y(x_(1))< y(x_{2}) .
Функционални корениПрието е да се наричат точките, в които функцията F=y(x) пресича абсцисната ос (те се получават чрез решаване на уравнението y(x)=0).
а) Ако при x > 0 четна функция нараства, то тя намалява при x< 0
б) Когато четна функция намалява за x > 0, тогава тя нараства за x< 0
.png)
в) Когато нечетна функция нараства при x > 0, тогава тя също нараства при x< 0
г) Когато нечетна функция намалява за x > 0, тогава тя също ще намалява за x< 0
.png)
Екстремуми на функцията
Минимална точка на функцията y=f(x) обикновено се нарича точка x=x_(0), чийто околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0)), и за тях неравенството f(x) > f тогава ще бъде доволен (x_(0)) . y_(min) - обозначение на функцията в точката min.
Максимална точка на функцията y=f(x) обикновено се нарича точка x=x_(0), чийто околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0)), и за тях тогава ще бъде изпълнено неравенството f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Предпоставка
Съгласно теоремата на Ферма: f"(x)=0, когато функцията f(x), която е диференцируема в точката x_(0), ще има екстремум в тази точка.
Достатъчно условие
- Когато производната промени знака от плюс на минус, тогава x_(0) ще бъде минималната точка;
- x_(0) - ще бъде максимална точка само когато производната промени знака от минус на плюс при преминаване неподвижна точка x_(0) .
Най-голямата и най-малката стойност на функция на интервал
Стъпки на изчисление:
- Търси се производната f"(x);
- Намират се стационарни и критични точки на функцията и се избират принадлежащите към отсечката;
- Стойностите на функцията f(x) се намират в стационарни и критични точкии краищата на сегмента. По-малкият от получените резултати ще бъде най-ниска стойностфункции, и още - най-големият.
функция- това е едно от най-важните математически понятия. Функция - променлива зависимост приот променлива х, ако всяка стойност Xсъответства на една единствена стойност при. Променлива Xнаречена независима променлива или аргумент. Променлива принаречена зависима променлива. Всички стойности на независимата променлива (променлива х) образуват областта на дефиниране на функцията. Всички стойности, които зависимата променлива приема (променлива г), образуват диапазона от стойности на функцията.
Функционална графиканаричаме множеството от всички точки координатна равнина, чиито абсцисите са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията, т.е. стойностите на променливата са нанесени по абсцисната ос х, а стойностите на променливата са нанесени по ординатната ос г. За да начертаете графика на функция, трябва да знаете свойствата на функцията. Основните свойства на функцията ще бъдат разгледани по-долу!
За да изградите графика на функция, препоръчваме да използвате нашата програма - Graphing functions online. Ако имате някакви въпроси, докато изучавате материала на тази страница, винаги можете да ги зададете на нашия форум. Също във форума те ще ви помогнат да решите задачи по математика, химия, геометрия, теория на вероятностите и много други теми!
Основни свойства на функциите.
1) Функционална област и функционален диапазон.
Домейнът на една функция е множеството от всички валидни реални стойностиаргумент х(променлива х), за която функцията y = f(x)определен.
Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности г, които функцията приема.
IN елементарна математикафункциите се изучават само върху множеството от реални числа.
2) Функционални нули.
Ценности X, при което y=0, наречена функционални нули. Това са абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста Ox.
3) Интервали с постоянен знак на функция.
Интервалите с постоянен знак на функция са такива интервали от стойности х, на които функцията стойности гнаричат се или само положителни, или само отрицателни интервали с постоянен знак на функцията.
4) Монотонност на функцията.
Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.
Намаляваща функция (в определен интервал) е функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.
5) Четна (нечетна) функция.
Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всяко X f(-x) = f(x). График дори функциясиметричен спрямо ординатната ос.
Нечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична по отношение на произхода и за всяко Xот областта на дефиницията равенството е вярно f(-x) = - f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.
Равномерна функция
1) Областта на дефиниция е симетрична по отношение на точката (0; 0), т.е. ако точката апринадлежи към домейна на дефиницията, тогава точката -асъщо принадлежи към областта на дефиницията.
2) За произволна стойност х f(-x)=f(x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.
Странна функцияима следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за произволна стойност х, принадлежащи към областта на дефиницията, равенството f(-x)=-f(x)
3) Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (0; 0).
Не всяка функция е четна или нечетна. Функции общ изгледне са нито четни, нито нечетни.
6) Ограничени и неограничени функции.
Една функция се нарича ограничена, ако има такава положително число M, така че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x. Ако такъв номер не съществува, тогава функцията е неограничена.
7) Периодичност на функцията.
Функция f(x) е периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f(x+T) = f(x). това най-малкото числосе нарича период на функцията. Всички тригонометрични функцииса периодични. (Тригонометрични формули).
функция fсе нарича периодичен, ако има такъв брой, че за всеки хот областта на дефиницията равенството f(x)=f(x-T)=f(x+T). Те периодът на функцията.
Всяка периодична функция има безкрайно множествопериоди. На практика обикновено се взема предвид най-малкият положителен период.
Ценности периодична функцияповторете след интервал, равен на периода. Това се използва при конструиране на графики.
Определение 1. Функцията се извиква даже
(странно
), ако заедно с всяка стойност на променлива 
значение - Xсъщо принадлежи 
и равенството е в сила
По този начин една функция може да бъде четна или нечетна само ако нейната област на дефиниция е симетрична относно началото на координатите на числовата ос (число Xи - Xпринадлежат едновременно 
). Например функцията 
не е нито четен, нито нечетен, тъй като неговата област на дефиниция 
не е симетричен относно произхода.
функция 
дори, защото 
симетрични относно произхода и.
функция 
странно, защото 
И 
.
функция 
не е четно и нечетно, тъй като въпреки че 
и е симетричен спрямо началото, равенствата (11.1) не са изпълнени. Например,.
Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста о, защото ако точката 
също принадлежи към графика. Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото, тъй като ако 
принадлежи на графиката, тогава точката 
също принадлежи към графика.
Когато доказвате дали дадена функция е четна или нечетна, следните твърдения са полезни.
Теорема 1. а) Сумата от две четни (нечетни) функции е четна (нечетна) функция.
б) Произведението на две четни (нечетни) функции е четна функция.
в) Произведение на четно и странни функцииима странна функция.
г) Ако f– дори функция на снимачната площадка X, и функцията ж
определени на снимачната площадка 
, след това функцията 
– даже.
г) Ако f– странна функция на снимачната площадка X, и функцията ж
определени на снимачната площадка 
и четен (нечетен), тогава функцията 
– четен (нечетен).
Доказателство. Нека докажем например b) и d).
б) Нека 
И 
– дори функции. Тогава, следователно. Случаят на странни функции се третира по подобен начин 
И 
.
г) Нека f е четна функция. Тогава.
Останалите твърдения на теоремата могат да бъдат доказани по подобен начин. Теоремата е доказана.
Теорема 2. Всяка функция 
, определени на множеството X, симетрични относно произхода, могат да бъдат представени като сума от четни и нечетни функции.
Доказателство. функция 
може да се запише във формата
.
функция 
– дори, защото 
, и функцията 
– странно, защото. по този начин 
, Къде 
– дори и 
– странни функции. Теоремата е доказана.
Определение 2. Функция 
наречен периодичен
, ако има номер 
, такива, че за всякакви 
числа 
И 
също принадлежат към областта на дефиницията 
и равенствата са изпълнени
Такъв номер Тнаречен период
функции 
.
От Определение 1 следва, че ако Т– период на функцията 
, след това числото – Тсъщото
е периодът на функцията
(тъй като при смяната Тна – Травенството се запазва). С помощта на метода на математическата индукция може да се покаже, че ако Т– период на функцията f, тогава 
, също е период. От това следва, че ако една функция има период, то тя има безкрайно много периоди.
Определение 3. Най-малкият от положителните периоди на функцията се нарича неин основен период.
Теорема 3. Ако Т– основен период на функцията f, тогава останалите периоди са кратни на него.
Доказателство. Нека приемем обратното, тоест, че има период 
функции f
(
>0), не множество Т. След това, разделяне 
на Тс остатъка получаваме 
, Къде 
. Ето защо
това е 
– период на функцията f, и 
, а това противоречи на факта, че Т– основен период на функцията f. Твърдението на теоремата следва от полученото противоречие. Теоремата е доказана.
Добре известно е, че тригонометричните функции са периодични. Основен период 
И 
равни 
,
И 
. Нека намерим периода на функцията 
. Нека 
- периодът на тази функция. Тогава
(защото 
.
oror 
.
Смисъл Т, определено от първото равенство, не може да бъде период, тъй като зависи от X, т.е. е функция на X, а не постоянно число. Периодът се определя от второто равенство: 
. Има безкрайно много периоди, с 
най-малкият положителен период се получава при 
:
. Това е основният период на функцията 
.
Пример за по-сложна периодична функция е функцията на Дирихле
Имайте предвид, че ако Ттогава е рационално число 
И 
са рационални числа за рационални Xи ирационално, когато е ирационално X. Ето защо
за всяко рационално число Т. Следователно всяко рационално число Те периодът на функцията на Дирихле. Ясно е, че тази функция няма основен период, тъй като има положителни рационални числа, произволно близо до нула (например може да се направи избор на рационално число ппроизволно близо до нула).
Теорема 4. Ако функцията f
определени на снимачната площадка Xи има период Т, и функцията ж
определени на снимачната площадка 
, тогава сложна функция 
също има период Т.
Доказателство. Имаме, следователно
т.е. твърдението на теоремата е доказано.
Например, тъй като cos
х
има период 
, след това функциите 
имам период 
.
Определение 4. Функции, които не са периодични, се наричат непериодични .