Как да намерим стационарни точки на функция. Критични точки на графиката на функция

Дефиниции:

Екстремумизвикване на максималната или минималната стойност на функция върху даден набор.

Екстремна точкае точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.

Максимална точкае точката, в която се достига максималната стойност на функцията.

Минимална точкае точката, в която се достига минималната стойност на функцията.

Обяснение.

На фигурата, в близост до точката x = 3, функцията достига максималната си стойност (т.е. в близост до тази конкретна точка няма точка по-висока). В околността на x = 8 тя отново има максимална стойност (отново да уточним: точно в тази околност няма точка по-висока). В тези точки увеличението отстъпва място на намаление. Това са максималните точки:

x max = 3, x max = 8.

В близост до точката x = 5 се достига минималната стойност на функцията (т.е. в близост до x = 5 няма точка отдолу). В този момент намалението отстъпва място на увеличение. Това е минималната точка:

Максималните и минималните точки са екстремни точки на функцията, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.

Критични и стационарни точки на функцията:

Необходимо условие за екстремум:

Достатъчно условие за екстремум:

На сегмент функцията г = f(х) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Алгоритъм за изследване на непрекъсната функцияг = f(х) за монотонност и екстремуми:

Област на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на област на производна на функция, намиране точкипревръщайки производната в нула, докажете, че намерените точки принадлежат към областта на дефиниция на оригиналната функция.

Пример 1 Идентифицирайте критично точкифункции y = (x - 3)²·(x-2).

Решение Намерете областта на дефиниция на функцията, в този случай няма ограничения: x ∈ (-∞; +∞); Изчислете производната y’. Съгласно правилата за диференциране на произведението от две, имаме: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Тогава получаваме квадратно уравнение: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Намерете областта на дефиниция на производната на функцията: x ∈ (-∞; +∞) Решете уравнението 3 x² – 16 x + 21 = 0, за да намерите при кое става нула: 3 x² – 16 x +. 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3, така че производната отива на нула при стойности на x, равни на 3 и 7/3.

Определете дали намерените принадлежат точкиобласт на дефиниция на оригиналната функция. Тъй като x (-∞; +∞), тогава и двете точкиса критични.

Пример 2: Идентифициране на критично точкифункции y = x² – 2/x.

Област на решение на функцията: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тъй като x е в знаменателя. Изчислете производната y’ = 2 x + 2/x².

Областта на дефиниране на производната на функцията е същата като тази на оригинала: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Решете уравнението 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

И така, производната отива на нула при x = -1. Необходимото, но недостатъчно условие за критичност е изпълнено. Тъй като x=-1 попада в интервала (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тогава тази точка е критична.

източници:

• Критичен обем на продажбите, pcsThreshold

Много жени страдат от предменструален синдром, който се проявява не само с болезнени усещания, но и с повишен апетит. В резултат на това критичните дни могат значително да забавят процеса на отслабване.

Причини за повишен апетит по време на менструация

Причината за повишаване на апетита по време на менструалния цикъл е промяна в общите хормонални нива в женското тяло. Няколко дни преди началото на менструацията нивото на хормона прогестерон се повишава, тялото се приспособява към възможността и се опитва да направи допълнителни резерви от енергия под формата на мастни натрупвания, дори ако жената е седнала. По този начин промените в теглото в критични дни са нормални.

Как да се храните по време на цикъл

Опитайте се да не ядете сладкиши, сладкарски изделия и други висококалорични храни, съдържащи „бързи“ храни в наши дни. Техният излишък веднага ще се отложи в мазнини. През този период много жени наистина искат да ядат шоколад; в този случай можете да си купите черен шоколад и да се поглезите с няколко резена, но не повече. По време на менструацията не трябва да се консумират алкохолни напитки, маринати, туршии, пушени меса, семена и ядки. По принцип туршиите и пушените храни трябва да бъдат ограничени в диетата 6-8 дни преди началото на менструацията, тъй като такива продукти увеличават водните запаси в организма и този период се характеризира с повишено натрупване на течност. За да намалите количеството сол в диетата си, добавяйте минимални количества от нея към готовите храни.

Препоръчително е да се консумират нискомаслени млечни продукти, растителни храни и зърнени храни. Фасул, варени картофи, ориз - продукти, които съдържат „бавни“ въглехидрати, ще бъдат полезни. Морски дарове, черен дроб, риба, говеждо месо, птици, яйца, бобови растения и сушени плодове ще помогнат за попълване на загубите на желязо. Пшеничните трици ще бъдат полезни. Естествена реакция по време на менструация е подуването. Леките диуретични билки ще помогнат за коригиране на състоянието: босилек, копър, магданоз, целина. Могат да се използват като подправка. През втората половина на цикъла се препоръчва да се консумират протеинови храни (постни меса и риба, млечни продукти), а количеството на въглехидратите в диетата трябва да се намали възможно най-много.

Икономическа концепция за критичния обем продажбисъответства на позицията на предприятието на пазара, при която приходите от продажба на стоки са минимални. Тази ситуация се нарича точка на рентабилност, когато търсенето на продукти пада и печалбите едва покриват разходите. За определяне на критичния обем продажби, използвайте няколко метода.

Инструкции

Цикълът на работа не се ограничава до неговите дейности - производство или услуги. Това е сложна работа на определена структура, включваща работата на основния персонал, ръководния персонал, ръководния персонал и др., Както и икономисти, чиято задача е финансовият анализ на предприятието.

Целта на този анализ е да се изчислят определени количества, които в една или друга степен влияят върху размера на крайната печалба. Това са различни видове обеми на производство и продажби, пълни и средни, показатели за търсене и др. Основната задача е да се определи обемът на производството, при който се установява стабилна връзка между разходите и печалбите.

Минимален обем продажби, при който приходите напълно покриват разходите, но не увеличават собствения капитал на компанията, се нарича критичен обем продажби. Има три метода за изчисляване на метода на този показател: метод на уравнения, пределен доход и графичен.

За определяне на критичния обем продажбипо първия метод съставете уравнение от вида: Вп – Zпер – Зпос = Пп = 0, където: Вп – приходи от продажбии ;Zper и Zpos – променливи и постоянни разходи; продажбиИ.

Според друг метод, първият термин, приходи от продажби, представи го като произведение на пределния доход за единица стока и обем продажби, същото важи и за променливите разходи. Фиксираните разходи се отнасят за цялата партида стоки, така че оставете този компонент общ: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Изразете стойността на N от това уравнение и ще получите критичния обем продажби:N = Zpos/(MD – Zper1), където Zper1 са променливите разходи за единица стока.

Графичният метод включва конструиране. Начертайте две линии в координатната равнина: функцията на приходите от продажбиминус функцията на разходите и печалбата. По абсцисната ос се нанася обемът на произведената продукция, а по ординатната ос - доходът от съответното количество стоки, изразен в парични единици. Пресечната точка на тези линии съответства на критичния обем продажби, рентабилна позиция.

източници:

• как да дефинираме критичната работа

Критичното мислене е съвкупност от съждения, въз основа на които се формират определени заключения и се прави оценка на обектите на критика. Това е особено характерно за изследователи и учени от всички клонове на науката. Критичното мислене заема по-високо ниво в сравнение с обикновеното мислене.

Стойността на опита за развиване на критично мислене

Трудно е да анализирате и да правите заключения за нещо, което не разбирате добре. Следователно, за да се научим да мислим критично, е необходимо да изучаваме обектите във всевъзможни връзки и отношения с други явления. Също така от голямо значение в този въпрос е притежаването на информация за такива обекти, способността да се изграждат логически вериги от преценки и да се правят разумни заключения.

Например, човек може да прецени стойността на едно произведение на изкуството само като познава доста други плодове на литературната дейност. В същото време е добре да си експерт в историята на човешкото развитие, формирането на литературата и литературната критика. В изолация от историческия контекст едно произведение може да загуби предвиденото си значение. За да бъде оценката на художественото произведение достатъчно пълна и обоснована, е необходимо да използвате и своите литературни познания, които включват правилата за изграждане на литературен текст в рамките на отделните жанрове, система от различни литературни техники, класификация и анализ на съществуващите стилове и направления в литературата и др. В същото време е важно да се изучава вътрешната логика на сюжета, последователността от действия, подреждането и взаимодействието на героите в произведението на изкуството.

Характеристики на критичното мислене

Други характеристики на критичното мислене включват следното:
- знанието за изучавания обект е само отправна точка за по-нататъшна мозъчна дейност, свързана с изграждането на логически вериги;
- последователно изградените и разумни разсъждения водят до идентифициране на вярна и погрешна информация за обекта, който се изучава;
- критичното мислене винаги е свързано с оценката на наличната информация за даден обект и съответните заключения, оценката от своя страна е свързана със съществуващите умения.

За разлика от обикновеното мислене, критичното не е подчинено на сляпа вяра. Критичното мислене позволява, с помощта на цяла система от преценки за обекта на критика, да се разбере неговата същност, да се идентифицират истинските знания за него и да се опровергаят фалшивите. Тя се основава на логиката, дълбочината и пълнотата на изследването, истинността, адекватността и последователността на преценките. В този случай очевидните и отдавна доказани твърдения се приемат като постулати и не изискват повторно доказване и оценка.

Критични точки– това са точките, в които производната на дадена функция е равна на нула или не съществува. Ако производната е равна на 0, тогава функцията в тази точка приема локален минимум или максимум. На графиката в такива точки функцията има хоризонтална асимптота, т.е. допирателната е успоредна на оста Ox.

Такива точки се наричат стационарен. Ако видите „гърбица“ или „дупка“ на графиката на непрекъсната функция, не забравяйте, че максимумът или минимумът се достига в критична точка. Да вземем за пример следната задача.

Пример 1. Намерете критичните точки на функцията y=2x^3-3x^2+5.
Решение. Алгоритъмът за намиране на критични точки е както следва:

Така че функцията има две критични точки.

След това, ако трябва да изучавате функция, тогава определяме знака на производната отляво и отдясно на критичната точка. Ако производната промени знака от “-” на “+” при преминаване през критичната точка, тогава функцията приема местен минимум. Ако от “+” до “-” трябва локален максимум.

Втори тип критични точкитова са нулите на знаменателя на дробни и ирационални функции

Логаритмични и тригонометрични функции, които не са дефинирани в тези точки


Трети тип критични точкиимат частично непрекъснати функции и модули.
Например всяка модулна функция има минимум или максимум в точката на прекъсване.

Например модул y = | x -5 | в точка х = 5 има минимум (критична точка).
Производната не съществува в него, но отдясно и отляво приема съответно стойност 1 и -1.

Опитайте се да определите критичните точки на функциите

1)
2)
3)
4)
5)

Ако отговорът е y, получавате стойността
1) х=4;
2) x=-1;x=1;
3) х=9;
4) x=Pi*k;
5) х=1.
тогава вече знаеш как да намерите критични точкии да можете да се справите с прост тест или тестове.

Помислете за следната фигура.

Той показва графиката на функцията y = x^3 – 3*x^2. Нека разгледаме някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича още околност на точката x = 0. Както може да се види на графиката, в тази околност функцията y = x ^3 – 3*x^2 взема най-голяма стойност точно в точка x = 0.

Максимални и минимални функции

В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това точката x = 2 се нарича точка на минимум на функцията y = x^3 – 3*x^2. Тъй като има квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минимална сред всички останали стойности от този квартал.

Точка максимумфункция f(x) се нарича точка x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x) е валидно< f(x0).

Точка минимумфункция f(x) се нарича точката x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, е валидно неравенството f(x) > f(x0).

В точките на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването на функция в максимална или минимална точка.

Например функцията y = x^3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x^3 нараства по цялата числена ос.

По този начин минималните и максималните точки винаги ще бъдат сред корените на уравнението f’(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат максимални или минимални точки.

Стационарни и критични точки

Точките, в които стойността на производната на функцията е нула, се наричат ​​стационарни точки. Може също да има точки на максимум или минимум в точки, в които производната на функцията изобщо не съществува. Например y = |x| в точката x = 0 има минимум, но производната не съществува в тази точка. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.

Критичните точки на функция са точките, в които производната е равна на нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка е недиференцируема. За да се намери максимумът или минимумът на дадена функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.

Нека f(x) е някаква диференцируема функция на интервала (a;b). Точка x0 принадлежи на този интервал и f’(x0) = 0. Тогава:

1. ако при преминаване през стационарна точка x0 функцията f(x) и нейната производна сменят знака от „плюс“ на „минус“, тогава точката x0 е максималната точка на функцията.

2. ако при преминаване през стационарна точка x0 функцията f(x) и нейната производна сменят знака от „минус“ на „плюс“, тогава точката x0 е минималната точка на функцията.

Стационарни точки на функция. Необходимо условие за локален екстремум на функция

Първото достатъчно условие за локален екстремум

Второ и трето достатъчни условия за локален екстремум

Най-малката и най-голямата стойност на функция в сегмент

Изпъкнали функции и инфлексни точки

1. Стационарни точки на функцията. Необходимо условие за локален екстремум на функция

Определение 1 . Нека функцията е дефинирана на
. Точка наречена стационарна точка на функцията
, Ако
диференцирани в точка И
.

Теорема 1 (необходимо условие за локален екстремум на функция) . Нека функцията
определени на
и има в точката
локален екстремум. Тогава едно от условията е изпълнено:

По този начин, за да се намерят точки, които са съмнителни за екстремум, е необходимо да се намерят стационарни точки на функцията и точки, в които производната на функцията не съществува, но които принадлежат към областта на дефиниране на функцията.

Пример . Позволявам
. Намерете точки за него, които са подозрителни за екстремум. За да разрешим проблема, първо намираме домейна на дефиниция на функцията:
. Нека сега намерим производната на функцията:

Точки, в които производната не съществува:
. Стационарни функционални точки:

Тъй като и
, И
принадлежат към областта на дефиниране на функцията, тогава и двете ще бъдат подозрителни за екстремум. Но за да се заключи дали там наистина ще има екстремум, е необходимо да се приложат достатъчни условия за екстремума.

2. Първото достатъчно условие за локален екстремум

Теорема 1 (първо достатъчно условие за локален екстремум) . Нека функцията
определени на
и диференцирани на този интервал навсякъде, с изключение може би на точката
, но в този момент функция
е непрекъснато. Ако има такива десни и леви полуоколности на точка , във всяка от които
запазва определен знак, тогава

1) функция
има локален екстремум в точката , Ако
приема стойности на различни знаци в съответните полу-околности;

2) функция
няма локален екстремум в точката , ако отдясно и отляво на точката
има същия знак.

Доказателство . 1) Да предположим, че в полу-съседство
производна
, и в

.

Така че по същество функция
има локален екстремум, а именно локален максимум, което трябваше да се докаже.

2) Да предположим, че отляво и отдясно на точката производната запазва своя знак, например,
. След това на
И
функция
нараства строго монотонно, т.е.

Така екстремумът в точката функция
няма, което трябваше да се докаже.

Бележка 1 . Ако производната
при преминаване през точка променя знака от “+” на “-”, след това в точката функция
има локален максимум и ако знакът се промени от „-“ на „+“, тогава има локален минимум.

Бележка 2 . Важно условие е непрекъснатостта на функцията
в точката . Ако това условие не е изпълнено, тогава теорема 1 може да не е валидна.

Пример . Разглежда се функцията (фиг. 1):

Тази функция е дефинирана на и е непрекъсната навсякъде с изключение на точка
, където има подвижна празнина. При преминаване през точка

променя знака от “-” на “+”, но функцията няма локален минимум в тази точка, но има локален максимум по дефиниция. Наистина, близо до точката
възможно е да се конструира квартал, така че за всички аргументи от този квартал стойностите на функцията да бъдат по-малки от стойността
. Теорема 1 не работи, защото в точката
функцията имаше пропуск.

Бележка 3 . Първото достатъчно условие за локален екстремум не може да се използва, когато производната на функцията
променя знака си във всяка лява и всяка дясна полуоколност на точка .

Пример . Разглежданата функция е:

Тъй като
, Че
, и следователно
, Но
. По този начин:

,

тези. в точката
функция
има локален минимум по дефиниция. Нека да видим дали тук работи първото достатъчно условие за локален екстремум.

За
:

За първия член от дясната страна на получената формула имаме:

,

и следователно в малък квартал на точката
знакът на производната се определя от знака на втория член, тоест:

,

което означава, че във всяка околност на точката

ще приема както положителни, така и отрицателни стойности. Наистина, разгледайте произволна околност на точката
:
. Кога

,

Че

(фиг. 2) и променя знака си тук безкрайно много пъти. По този начин първото достатъчно условие за локален екстремум не може да се използва в дадения пример.