Разнообразие от числа. Означаване, запис и представяне на числови множества


От огромно разнообразие от всякакъв вид комплектиОсобен интерес представляват т.нар набори от числа, тоест множества, чиито елементи са числа. Ясно е, че за да работите удобно с тях, трябва да можете да ги записвате. Ще започнем тази статия с нотацията и принципите за писане на числови набори. След това нека да разгледаме как числовите набори са изобразени на координатна линия.

Навигация в страницата.

Записване на числови множества

Нека започнем с приетата нотация. Както знаете, главните букви на латинската азбука се използват за означаване на множества. Обозначават се и числовите множества като частен случай на множества. Например можем да говорим за набори от числа A, H, W и т.н. За тях са от особено значение наборите от естествени, цели, рационални, реални, комплексни числа и др.:

  • N – множество от всички естествени числа;
  • Z – набор от цели числа;
  • Q – множество от рационални числа;
  • J – множество от ирационални числа;
  • R – множество от реални числа;
  • C е множеството от комплексни числа.

Оттук става ясно, че не трябва да обозначавате множество, състоящо се например от две числа 5 и −7 като Q, това обозначение ще бъде подвеждащо, тъй като буквата Q обикновено обозначава множеството от всички рационални числа. За обозначаване на посочения цифров набор е по-добре да използвате друга „неутрална“ буква, например A.

Тъй като говорим за нотация, нека си припомним тук и за нотацията на празно множество, тоест множество, което не съдържа елементи. Означава се със знака ∅.

Нека си припомним и обозначението дали даден елемент принадлежи или не принадлежи на множество. За да направите това, използвайте знаците ∈ - принадлежи и ∉ - не принадлежи. Например записът 5∈N означава, че числото 5 принадлежи към множеството от естествени числа, а 5,7∉Z - десетичната дроб 5,7 не принадлежи към множеството от цели числа.

И нека си припомним нотацията, приета за включване на едно множество в друго. Ясно е, че всички елементи на множеството N са включени в множеството Z, по този начин наборът от числа N е включен в Z, това се означава като N⊂Z. Можете също да използвате нотацията Z⊃N, което означава, че множеството от всички цели Z включва множеството N. Релациите невключени и невключени са обозначени съответно с ⊄ и . Използват се и нестриктни знаци за включване от формата ⊆ и ⊇, което означава съответно включено или съвпада и включва или съвпада.

Говорихме за нотация, нека преминем към описанието на числовите множества. В този случай ще засегнем само основните случаи, които най-често се използват в практиката.

Нека започнем с числови множества, съдържащи краен и малък брой елементи. Удобно е да се опишат числови множества, състоящи се от краен брой елементи, като се изброят всичките им елементи. Всички числови елементи се изписват разделени със запетаи и оградени с , което е в съответствие с общото правила за описване на множества. Например набор, състоящ се от три числа 0, −0,25 и 4/7, може да бъде описан като (0, −0,25, 4/7).

Понякога, когато броят на елементите на числово множество е доста голям, но елементите се подчиняват на определен модел, за описание се използва многоточие. Например наборът от всички нечетни числа от 3 до 99 включително може да се запише като (3, 5, 7, ..., 99).

Така плавно се приближихме до описанието на числови множества, чийто брой елементи е безкраен. Понякога те могат да бъдат описани с помощта на едни и същи елипси. Например, нека опишем множеството от всички естествени числа: N=(1, 2. 3, …) .

Те също така използват описанието на числови множества, като посочват свойствата на неговите елементи. В този случай се използва нотацията (x| свойства). Например нотацията (n| 8·n+3, n∈N) определя набора от естествени числа, които, когато се разделят на 8, оставят остатък от 3. Същият този набор може да бъде описан като (11,19, 27, ...).

В специални случаи числови множества с безкраен брой елементи са известните множества N, Z, R и др. или числови интервали. По принцип числените набори са представени като асоциациясъставните им отделни числови интервали и числови набори с краен брой елементи (за които говорихме малко по-горе).

Да покажем пример. Нека наборът от числа се състои от числата −10, −9, −8.56, 0, всички числа от отсечката [−5, −1,3] и числата от отворената числова ос (7, +∞). Поради дефиницията на обединение от множества, посоченият числов набор може да бъде записан като {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Тази нотация всъщност означава множество, съдържащо всички елементи на множествата (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] и (7, +∞).

По подобен начин, чрез комбиниране на различни интервали от числа и набори от отделни числа, може да се опише всеки набор от числа (състоящ се от реални числа). Тук става ясно защо са въведени такива видове числови интервали като интервал, полуинтервал, сегмент, отворен числов лъч и числов лъч: всички те, съчетани с обозначения за набори от отделни числа, позволяват да се опишат всякакви числови набори чрез техния съюз.

Моля, обърнете внимание, че когато пишете набор от числа, неговите съставни числа и числови интервали са подредени във възходящ ред. Това не е необходимо, но желателно условие, тъй като подреденото числено множество е по-лесно за представяне и изобразяване на координатна линия. Също така имайте предвид, че такива записи не използват числови интервали с общи елементи, тъй като такива записи могат да бъдат заменени чрез комбиниране на числови интервали без общи елементи. Например, обединението на числови набори с общи елементи [−10, 0] и (−5, 3) е полуинтервалът [−10, 3) . Същото важи и за обединението на числови интервали с еднакви гранични числа, например обединението (3, 5]∪(5, 7] е множество (3, 7] , ще се спрем на това отделно, когато се научим да намерете пресечната точка и обединението на числови множества

Представяне на числови множества върху координатна права

На практика е удобно да се използват геометрични изображения на числови набори - техните изображения върху. Например, когато решаване на неравенства, в които е необходимо да се вземат предвид ODZ, е необходимо да се изобразят числови множества, за да се намери тяхното пресичане и/или обединение. Така че ще бъде полезно да имате добро разбиране на всички нюанси на изобразяване на числови набори върху координатна линия.

Известно е, че има взаимно еднозначно съответствие между точките на координатната права и реалните числа, което означава, че самата координатна линия е геометричен модел на множеството от всички реални числа R. По този начин, за да изобразите множеството от всички реални числа, трябва да начертаете координатна линия със засенчване по цялата й дължина:

И често те дори не посочват произхода и сегмента на единицата:

Сега нека поговорим за образа на числови набори, които представляват определен краен брой отделни числа. Например, нека изобразим набора от числа (−2, −0,5, 1,2) . Геометричният образ на това множество, състоящо се от три числа −2, −0,5 и 1,2, ще бъде три точки от координатната линия със съответните координати:

Имайте предвид, че обикновено за практически цели не е необходимо да се изпълнява точно чертежа. Често е достатъчен схематичен чертеж, което означава, че в този случай не е необходимо да се поддържа мащабът, важно е само да се поддържа относителната позиция на точките една спрямо друга: всяка точка с по-малка координата трябва да бъде спрямо вляво от точка с по-голяма координата. Предишният чертеж ще изглежда схематично така:

Отделно от всички видове числови набори се разграничават числови интервали (интервали, полуинтервали, лъчи и т.н.), които представляват техните геометрични изображения, които разгледахме подробно в раздела. Тук няма да се повтаряме.

И остава само да се спрем на образа на числови набори, които са обединение на няколко числови интервала и набори, състоящи се от отделни числа. Тук няма нищо сложно: според значението на обединението в тези случаи всички компоненти на множеството на дадено числено множество трябва да бъдат изобразени на координатната линия. Като пример, нека покажем изображение на набор от числа (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

И нека се спрем на доста често срещани случаи, когато изобразеният числов набор представлява целия набор от реални числа, с изключение на една или няколко точки. Такива набори често се определят от условия като x≠5 или x≠−1, x≠2, x≠3,7 и т.н. В тези случаи геометрично те представляват цялата координатна линия, с изключение на съответните точки. С други думи, тези точки трябва да бъдат „изтръгнати“ от координатната линия. Те са изобразени като кръгове с празен център. За по-голяма яснота нека изобразим цифров набор, съответстващ на условията (този набор по същество съществува):

Нека да обобщим. В идеалния случай информацията от предходните параграфи трябва да формира същия изглед на записа и изобразяването на числови набори като изгледа на отделни числови интервали: записът на числов набор трябва незабавно да даде своето изображение на координатната линия и от изображението на координатната линия трябва да сме готови лесно да опишем съответния числов набор чрез обединението на отделни интервали и набори, състоящи се от отделни числа.

Референции.

  • Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Числата са разделени на класове. Положителните цели числа - N = (1, 2, 3, ...) - съставляват множеството от естествени числа. Често 0 се счита за естествено число.

Наборът от цели Z включва всички естествени числа, числото 0 и всички естествени числа, взети със знак минус: Z = (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Всяко рационално число x може да бъде определено като двойка цели числа (m, n), където m е числителят, n е знаменателят на числото: x = m/n. Еквивалентно представяне на рационално число е да се изрази като число, записано в позиционен десетичен запис, където дробната част на числото може да бъде крайна или безкрайна периодична дроб. Например числото x = 1/3 = 0,(3) е представено като безкрайна периодична дроб.

Наричат ​​се числа, определени от безкрайни непериодични дроби ирационални числа. Това са например всички числа от формата vp, където p е просто число. Познатите на всички числа и e са ирационални.

Обединението на наборите от цели числа, рационални и ирационални числа съставлява множеството от реални числа. Геометричният образ на множеството от реални числа е права линия - реалната ос, където всяка точка от оста отговаря на определено реално число, така че реалните числа плътно и непрекъснато запълват цялата реална ос.

Равнината представлява геометричен образ на набор от комплексни числа, където са въведени две оси - реална и имагинерна. Всяко комплексно число, определено от двойка реални числа, може да бъде представено във формата: x = a+b*i, където a и b са реални числа, които могат да се разглеждат като декартови координати на числото в равнината.

Делители и множители

Нека сега разгледаме една класификация, която разделя множеството от естествени числа на две подмножества - прости и съставни числа. Тази класификация се основава на концепцията за делимост на естествените числа. Ако n се дели на d, тогава казваме, че d „дели“ n и го записваме във формата: . Имайте предвид, че това определение може да не отговаря на интуитивното разбиране: d "дели" n, ако n се дели на d, а не обратното. Числото d се нарича делител на n. Всяко число n има два тривиални множителя - 1 и n. Делителите, различни от тривиалните, се наричат ​​множители на n. Число n се нарича просто, ако няма други делители освен тривиалните. Простите числа се делят само на 1 и на себе си. Числата, които имат множители, се наричат ​​съставни числа. Числото 1 е специално число, защото не е нито просто, нито съставно число. Отрицателните числа също не принадлежат нито към прости, нито към съставни числа, но винаги можете да вземете предвид модула на дадено число и да го класифицирате като просто или съставно число.

Всяко съставно число N може да бъде представено като произведение на своите множители: . Това представяне не е уникално, например 96 = 8*12 = 2*3*16. Въпреки това, за всяко съставно число N има уникално представяне под формата на произведение от степени на прости числа: , където са прости числа и . Това представяне се нарича разлагане на числото N на прости множители. например .

Ако и , то d е общ делител на числата m и n. Сред всички общи делители можем да различим най-големия общ делител, означен като gcd(m,n). Ако gcd(m,n) = 1, тогава числата m и n се наричат ​​взаимно прости. Простите числа са взаимно прости, така че gcd(q,p) =1, ако q и p са прости числа.

Ако и , тогава A е общо кратно на m и n. Сред всички общи кратни можем да различим най-малкото общо кратно, означено като LCM(m,n). Ако LCM(m,n) = m*n, тогава числата m и n са относително прости. LCM(q, p) =q*p, ако q и p са прости числа.

Ако означим множествата от всички прости множители на числата m и n с и, тогава

Ако се получи разлагането на числата m и n на прости множители, тогава с помощта на дадените отношения е лесно да се изчислят НОД(m,n) и НОК(m,n). Има и по-ефективни алгоритми, които не изискват факторизиране на число.

Алгоритъм на Евклид

Ефективен алгоритъм за изчисляване на GCD(m,n) е предложен от Евклид. Базира се на следните свойства на НОД(m,n), чието доказателство е оставено на читателя:

Ако , то според третото свойство може да се намали със стойността n. Ако, тогава според второто свойство аргументите могат да бъдат разменени и отново да стигнат до разгледания по-рано случай. Когато в резултат на тези трансформации стойностите на аргументите станат равни, решението ще бъде намерено. Затова можем да предложим следната схема:

while(m != n) ( if(m< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Тук процедурата за размяна обменя стойностите на аргументите.

Ако помислите малко, става ясно, че изобщо не е необходимо да обменяте стойности - достатъчно е да промените аргумента с максималната стойност на всяка стъпка от цикъла. В резултат на това стигаме до диаграмата:

while(m != n) ( if(m > n) m = m - n; иначе n = n - m; ) return(m);

Ако помислите малко повече, можете да подобрите тази схема, като преминете към цикъл с идентично вярно условие:

while(true) ( ​​​​if(m > n) m = m - n; else if (n > m) n = n - m; else return(m); )

Последната диаграма е добра, защото ясно показва необходимостта от доказване на пълнотата на този цикъл. Не е трудно да се докаже пълнотата на цикъл, като се използва концепцията за вариант на цикъл. За този цикъл опция може да бъде целочислена функция - max(m,n) , която намалява на всяка стъпка, като винаги остава положителна.

Предимството на тази версия на алгоритъма на Евклид е, че на всяка стъпка се използва елементарна и бърза операция върху цели числа – изваждане. Ако разрешите операцията за изчисляване на остатъка при деление на цяло число, тогава броят на стъпките на цикъла може да бъде значително намален. Следното свойство е вярно:

Това води до следната диаграма:

int temp; if(n>m) temp = m; m = n; n = температура; //размяна (m,n) докато (m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

Ако се замислите малко, става ясно, че изобщо не е необходимо да се извършва проверка преди започване на цикъла. Това води до по-проста схема за изчисляване на GCD, обикновено използвана на практика:

int temp; докато (m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

За да изчислите LCM(m, n), можете да използвате следната връзка:

Възможно ли е да се изчисли LCM(m, n) без използване на операции за умножение и деление? Оказва се, че можете едновременно да изчислявате LCM(m,n), докато изчислявате GCD(m,n). Ето и съответната диаграма:

int x = v = m, y = u = n,; while(x != y) ( if(x > y)( x = x - y; v = v + u;) else (y = y - x; u = u + v;) ) НОД = (x + y )/2; LCM = (u+v)/2;

Доказателството, че тази схема изчислява правилно НОД следва от предварително дадените свойства на НОД. Правилността на изчислението на LCM е по-малко очевидна. За да докажете това, забележете, че инвариантът на цикъла е следният израз:

Тази връзка е изпълнена, след като променливите се инициализират преди цикълът да започне изпълнението. В края на цикъла, когато x и y станат равни на gcd, коректността на схемата следва от истинността на инварианта. Лесно е да се провери дали операторите на тялото на цикъла оставят оператора верен. Подробностите за доказателството са оставени на читателите.

Концепцията за GCD и LCM може да бъде разширена чрез дефинирането им за всички цели числа. Валидни са следните отношения:

Разширен Евклидов алгоритъм

Понякога е полезно gcd(m,n) да се представи като линейна комбинация от m и n:

По-специално, изчисляването на коефициентите a и b е необходимо в алгоритъма RSA - криптиране с публичен ключ. Ще дам диаграма на алгоритъм, която ви позволява да изчислите тройната - d, a, b - най-големият общ делител и коефициентите на разлагане. Алгоритъмът може удобно да се реализира като рекурсивна процедура

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

който, при дадени входни аргументи m и n, изчислява стойностите на аргументите d, a, b. Нерекурсивният клон на тази процедура съответства на случая n = 0, връщайки като резултат стойностите: d = m, a = 1, b = 0. Рекурсивният клон извиква

ExtendedEuclid(n, m % n, ref d, ref a, ref b)

и след това променя получените стойности на a и b, както следва:

Не е трудно да се конструира доказателство за коректността на този алгоритъм. За нерекурсивния клон правилността е очевидна, а за рекурсивния клон е лесно да се покаже, че от истинността на резултата, върнат от рекурсивното извикване, следва, че той е верен за входните аргументи след преизчисляване на стойностите на a и b.

Как протича тази процедура? Първо, възниква рекурсивно спускане, докато n стане нула.

В този момент стойността на d и стойностите на параметрите a и b ще бъдат изчислени за първи път. След това ще започне покачването и параметрите a и b ще бъдат преизчислени.

Задачи
  • 49. Дадени са m и n естествени числа. Изчислете gcd(m, n). Когато правите изчисления, не използвайте операции за умножение и деление.
  • 50. Дадени са m и n естествени числа. Изчислете LCM(m, n).
  • 51. Дадени са m и n естествени числа. Изчислете LCM(m, n). Когато правите изчисления, не използвайте операции за умножение и деление.
  • 52. Дадени са m и n цели числа. Изчислете gcd(m, n). Когато правите изчисления, не използвайте операции за умножение и деление.
  • 53. Дадени са m и n цели числа. Изчислете LCM(m, n). Когато правите изчисления, не използвайте операции за умножение и деление.
  • 54. Дадени m и n са цели числа. Изчислете gcd(m, n). Когато правите изчисления, използвайте операцията за вземане на остатъка от деленето на цяло число.
  • 55. Дадени m и n са цели числа. Изчислете LCM(m, n). Когато правите изчисления, използвайте операцията за вземане на остатъка от деленето на цяло число.
  • 56. Дадени m и n са цели числа. Изчислете тройка от числа - (d, a, b) с помощта на разширения Евклидов алгоритъм.
  • 57. Дадени са m и n естествени числа. Мислете за НОД(m, n) като за линейна комбинация от m и n.
  • 58. Дадени m и n са цели числа. Мислете за НОД(m, n) като за линейна комбинация от m и n.
  • 59. Дадени са m и n цели числа. Проверете дали числата m и n са взаимно прости.
Прости числа

Сред четните числа има само едно просто число - това е 2. Има толкова прости нечетни числа, колкото искате. Не е трудно да се докаже, че числото , където са последователни прости числа, е просто. Така че, ако са конструирани прости числа, тогава можем да конструираме друго просто число, по-голямо от . От това следва, че наборът от прости числа е неограничен. Пример: числото N = 2*3*5*7 + 1 = 211 е просто число.

Ситото на Ератостен

Как да определим, че N е просто число? Ако операцията N % m е валидна, даваща остатъка при деление на N на число m, тогава най-простият алгоритъм е да проверите дали остатъкът не е равен на нула при деление на N на всички числа m, по-малки от N. Очевидно подобрение на това алгоритъмът е да се намали обхватът на теста - достатъчно е да се вземат предвид числата m в обхвата.

Още през 3 век пр.н.е. Гръцкият математик Ератостен предложи алгоритъм за намиране на прости числа в диапазон, който не изисква операции за деление. Този алгоритъм се нарича „Ситото на Ератостен“. В компютърната версия идеята на този алгоритъм може да бъде описана по следния начин. Нека изградим масив Numbers, чиито елементи съдържат последователни нечетни числа, започващи с 3. Първоначално всички числа в този масив се считат за незадраскани. Нека поставим първото незачертано число от този масив в масива SimpleNumbers - и това ще бъде първото нечетно просто число (3). След това ще извършим пресяване, преминавайки през масива Numbers със стъпка, равна на намереното просто число, зачертавайки всички числа, които се срещат по време на това преминаване. При първото преминаване числото 3 и всички числа, кратни на 3, ще бъдат задраскани. При следващото преминаване следващото просто число 5 ще бъде въведено в таблицата с прости числа, а числата, кратни на 5, ще бъдат въведени. зачеркнати от масива Числа се повтаря, докато всички числа в масива бъдат зачеркнати Числа. В резултат на това масивът SimpleNumbers ще съдържа таблица с първите прости числа, по-малки от N.

Този алгоритъм е добър за намиране на относително малки прости числа. Но ако трябва да намерите просто число с двадесет значещи цифри, тогава паметта на компютъра вече няма да е достатъчна за съхраняване на съответните масиви. Имайте предвид, че съвременните алгоритми за криптиране използват прости числа, съдържащи няколкостотин цифри.

Основна плътност

Показахме, че броят на простите числа е неограничен. Ясно е, че има по-малко от нечетните числа, но колко по-малко? Каква е плътността на простите числа? Нека е функция, която връща броя на простите числа, по-малък от n. Не е възможно да се посочи точно тази функция, но има добра оценка за нея. Следната теорема е вярна:

Функцията асимптотично се доближава до границата си отгоре, така че оценката дава леко подценени стойности. Тази оценка може да се използва в алгоритъма Sieve of Eratosthenes за избор на измерението на масива SimpleNumbers, когато е дадено измерението на масива Numbers, и обратно, като се има предвид измерението на таблицата с прости числа, може да се избере подходящото измерение за Масив с числа.

Табличен алгоритъм за определяне на простотата на числата

Ако поддържате таблица с прости числа, SimpleNumbers, в която най-голямото просто число е M, тогава можете просто да определите дали числото N, по-малко от, е просто. Ако N е по-малко от M, тогава е достатъчно да проверите дали числото N е в таблицата SimpleNumbers. Ако N е по-голямо от M, тогава е достатъчно да се провери дали числото N се дели на числа от таблицата SimpleNumbers, които не надвишават стойността на vN. Ясно е, че ако числото N няма прости множители, по-малки от vN, то числото N е просто.

Използването на таблица с прости числа изисква достатъчна компютърна памет и следователно ограничава възможностите на алгоритъма, предотвратявайки използването му за намиране на големи прости числа.

Тривиален алгоритъм

Ако N е нечетно число, тогава можете да проверите дали е просто въз основа на определението за простота на число. В този случай не е необходима памет за съхраняване на таблици с числа - но, както винаги, печелейки в паметта, губим във времето. Наистина, достатъчно е да проверим дали числото N се дели на последователни нечетни числа от диапазона . Ако числото N има поне един множител, то е съставно, в противен случай е просто.

Всички обсъждани алгоритми спират да работят ефективно, когато числата надхвърлят битовата мрежа на компютъра за представяне на числа, така че ако стане необходимо да се работи с цели числа извън диапазона System.Int64, тогава задачата за определяне на първичността на такова число става далеч от просто. Има някои рецепти, за да се определи, че числото е съставно. Нека си припомним поне алгоритмите, познати от училищните времена. Ако последната цифра на числото се дели на 2, то числото се дели на 2. Ако последните две цифри на числото се делят на 4, то числото се дели на 4. Ако сборът от цифрите се дели на 3 (на 9), то числото се дели на 3 (на 9). Ако последната цифра е 0 или 5, тогава числото се дели на 5. Математиците са положили много усилия, за да докажат, че едно число е (или не е) просто число. Сега има специални техники, които ви позволяват да докажете, че числата от определен тип са прости.

Задачи

Най-подходящите кандидати за прости са числата от вида , където p е просто число. Например, доказано е, че число с повече от 6000 цифри е просто, но не може да се каже кои прости числа са най-близките съседи на това число.

  • проекти
  • 67. Конструирайте клас „Температура“, който ви позволява да задавате температура в различни мерни единици. Изградете Windows проект, който поддържа интерфейс за работа с класа.
  • 68. Конструирайте клас „Разстояние“, който ви позволява да използвате различни системи от мерки. Изградете Windows проект, който поддържа интерфейс за работа с класа.
  • 69. Изградете клас "Прости числа". Изградете Windows проект, който поддържа интерфейс за работа с класа.
  • 70. Изградете клас “Бройни системи”. Създайте Windows калкулатор, който поддържа изчисления в дадена бройна система.
  • 71. Конструирайте клас "Рационални числа". Създайте калкулатор на Windows, който поддържа изчисления с тези числа.

72. Конструирайте класа "Комплексни числа". Създайте калкулатор на Windows, който поддържа изчисления с тези числа.

“Производни” алгебра 10 клас” - Приложение на производните за изучаване на функции. Производната е нула. Намерете точките. Нека обобщим информацията. Природата на монотонността на функцията. Приложение на производната за изследване на функции. Теоретична загрявка. Довършете твърденията. Изберете правилното твърдение. Теорема. Сравнете. Производната е положителна. Сравнете формулировките на теоремите. Функцията се увеличава. Достатъчни условия за екстремум.

“Тригонометрични уравнения” клас 10” - Стойности от интервала. X= тен х. Осигурете корени. Вярно ли е равенството? Серия от корени. Уравнение cot t = a. Определение. Защото 4x. Намерете корените на уравнението. Уравнение tg t = a. грях х. Има ли смисъл в израза? Sin x =1. Никога не прави това, което не знаеш. Продължете изречението. Да вземем проба от корените. Решете уравнението. Ctg x = 1. Тригонометрични уравнения. Уравнение.

“Алгебра “Производни”” - Допирателно уравнение. Произход на термините. Решете проблема. Производна. Материална точка. Формули за диференциране. Механично значение на производната. Критерии за оценка. Производна функция. Тангента към графиката на функция. Дефиниция на производна. Уравнение на допирателна към графика на функция. Алгоритъм за намиране на производната. Пример за намиране на производната. Структура на изследването на темата. Точката се движи по права линия.

„Най-кратък път“ – път в диграф. Пример за две различни графики. Насочени графики. Примери за насочени графи. Достижимост. Най-краткият път от връх A до връх D. Описание на алгоритъма. Предимства на йерархичен списък. Претеглени графики. Път в графиката. Програма ProGraph. Съседни върхове и ръбове. Най-висока степен. Матрица на съседство. Дължина на пътя в претеглена графика. Пример за матрица на съседство. Намиране на най-краткия път.

"История на тригонометрията" - Якоб Бернули. Техники за работа с тригонометрични функции. Учението за измерване на полиедри. Леонард Ойлер. Развитието на тригонометрията от 16 век до наши дни. Ученикът трябва да се срещне с тригонометрията три пъти. Досега тригонометрията се формира и развива. Изграждане на обща система от тригонометрични и свързани знания. Времето минава и тригонометрията се връща при учениците.

Фигура 3 Организационна схема

Добавянето на организационна диаграма става с помощта на бутона Добавяне на диаграма или организационна диаграма, оригиналният тест се заменя в неговите блокове, след което целият обект се компресира вертикално.

1.1 Програма WordArt

Програмата е предназначена за въвеждане на художествени надписи в документ, редактирането им, поставянето им в текст и др.

Вмъкването на обект става по следния начин:

    щракнете с левия бутон върху клавиш Добавете обектСловоЧл, изберете вида на надписа, натиснете клавиша OK;

    в прозореца, който се появява Смяна на текстWordArtзадайте вида на шрифта, неговия размер и стил (удебелен, курсив), въведете текста и натиснете клавиша добре.

    ще се появи панел WordArt, имащ формата (фиг. 4):

Фигура 4 Лента с инструменти WordArt

Панелът съдържа бутони: Добавете обектWordArt,Промяна на текст..., КолекцияWordArt, Формат на обектаWordArt(цветове и линии, размер, позиция на екрана, обвивка, рисунка, надпис), Меню Text-Shape(форми на надписи) , Вертикален тексти т.н.

Размерът на текста може да се промени с помощта на белите кръгове на контура на селекцията. Преместването на текста става с мишката, като трябва да хванете текста за средата му или линията на контура на селекцията. Завъртането на обекта се извършва с помощта на зелени кръгове, наклонът на надписа е

с помощта на жълти диаманти. Цветът и другите параметри на обекта се променят с бутона Обектен форматWordArtили от главния панел рисуване,с които можете допълнително да зададете засенчване и обемни ефекти .

Например името на вестник „Знамя“ след въвеждане и персонализиране с помощта на програмата WordArt може да изглежда така (фиг. 5):

Пример 3

Фигура 5 Надписът "Банер"

2 Изработка на стенна реклама

При разработването му използваме текстови полета,които се създават с помощта на бутон Надписване.Надписът е рамка, „кръпка“, която се наслагва върху документ и може да съдържа всякакви данни - текст, таблици, снимки и други обекти. Такава реклама обикновено се състои от снимка, текста на рекламата, името на организацията и листа с „откъсващи се телефонни номера“. Всички рекламни елементи се въвеждат в техните текстови полета № 1-№ 5:

Пример 4: Последователност от действия (възможни) при създаване на реклама на стена с помощта на текстови полета:

    С помощта на бутона Надписленти с инструменти рисуванесъздайте текстово поле №1, което съответства на размера на рекламата.

    В менюто форматизберете елемент Граници и засенчванеи създайте рамка около текстово поле №1 - това са оразмерителните граници на рекламата.

    Рамката може да бъде двойна, удебелена, пунктирана и др.

В горния ляв ъгъл на поле № 1 създайте поле № 2 (без рамка), в

    който ще съдържа името на организацията.

    На екрана ще се появи прозорец на WordArt, изберете повдигнатия текст, щракнете върху OK. В полето за въвеждане на текст въведете името на организацията "студент". Задайте типа на шрифта Arial, размер 18, стил - получер, курсив, щракнете върху OK. Името на организацията ще се появи в текстово поле № 2, извито във вертикална форма;

    Създайте текстово поле номер 3, чийто размер се вписва в дъгата на думата „студент“. Поставете чертежа вътре в извития текст. За да направите това в менютоизберете елемент ПоставетеРисуване\Картини , в диалоговия прозорец, който се отваря, изберете подходящото изображение в списъка с файлове и щракнете върху бутонадобре

    .

    Вмъкнатата картина е оградена с рамка с бели квадратчета. Ако картинката не съвпада с размера на поле № 3, тя може да бъде намалена чрез преместване на тези квадратчета с мишката и картината се изрязва.

    За да я намалите пропорционално, трябва да кликнете върху снимката с мишката, ще се появи рамка с черни квадратчета, с която можете да регулирате размера на картината без изрязване. Създайте текстово поле № 4 и въведете рекламния текст „Резюмета, курсови работи, дисертации: ПЕЧАТ, ДИЗАЙН“.Изберете и форматирайте текста според размер на полето № 4, шрифт Arial Narrow, размер на шрифта 16, удебелен, позициониран по ширина, цветове тъмно червено, тъмно синьо и autoflower (черно). Създайте текстово поле #5 в реда, където ще бъде разположен първият телефон за откъсване вляво. Добавете WordArt обект с вертикален текстов ефект и въведете телефонен номер.Копирайте текстово поле № 5 с телефонния номер с помощта на мишката, докато държите натиснат клавиша Ctrl, толкова пъти, колкото ще се побере на ширина в текстово поле № 1. Можете да използвате клипборда, т.е. изберете обект, копирайте го в клипборда с командатаРедактиране\Копиране или бутонИзберете и форматирайте текста според размер на полето № 4, шрифт Arial Narrow, размер на шрифта 16, удебелен, позициониран по ширина, цветове тъмно червено, тъмно синьо и autoflower (черно). копиена панела

    Стандартен

, след това поставете курсора в точката на вмъкване и изпълнете командата Редактиране\ПоставянеПоставете

, но при поставяне копията ще се застъпват едно върху друго и ще трябва допълнително да се преместят в ред ръчно. рисуванеГрупиране на всички обекти, за да ги използвате по-късно като един обект, например при копиране. Ако това не е направено, тогава всеки обект (снимка, пряк път на телефона, име...) ще бъде копиран отделно. Групирането на обекти може да се извърши по два начина: Докато държите натиснат клавиша. Около обектите ще се появи обща рамка (те ще станат един обект);

Натиснете бутона Избор на обектиКопирайте текстово поле № 5 с телефонния номер с помощта на мишката, докато държите натиснат клавиша Ctrl, толкова пъти, колкото ще се побере на ширина в текстово поле № 1. Можете да използвате клипборда, т.е. рисуванеи разтегнете мрежата около всички рекламни обекти, всички те ще бъдат маркирани едновременно и натиснете бутона Група. Ако е необходимо, обектите могат да бъдат разгрупирани чрез бутона Разгрупиране.

    Мишка с ключ Ctrlили чрез клипборда, както е посочено в параграф 9.

Сега рекламната страница може да бъде отпечатана и изрязана

Един лист формат А4 може да побере 8 реклами с този размер.

    Запазете полученото стенно съобщение (фиг. 6) на дискета с командата Файл\Запиши като... .

Трябва да се отбележи, че картините и текстовите полета могат да се наслагват едно върху друго в няколко слоя в различни последователности, както и да се поставят върху или зад основното ниво - текста. За целта се използват 6 команди от лентата с инструменти Чертеж\Поръчка.

ЗА Обектите, създадени в WordArt, могат да бъдат редактирани по-късно. За да направите това, просто щракнете върху обекта, менюто WordArt ще се отвори и променете текстовия ефект, шрифта и т.н. в него.

За да вмъкнете обект в текст, трябва да изберете обекта и в менюто формат, екип Граници и засенчване, в прозореца Обектен формат

в раздела Позицияизберете

необходимо обвиване на текст.

Фигура 6 Бележка на стена

f Форматиране на обекта и запълване около рамката? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 За фиг. 6 се извършва потокът "по контура".

Разгледаната последователност от действия при създаване на реклама на стена не е единствената и оптимална. Въпреки това ви позволява да придобиете опит с помощта на програмата WordArt

Естествени числа

Числата, използвани при броенето, се наричат ​​естествени числа. Например $1,2,3$ и т.н. Естествените числа образуват множеството от естествени числа, което се означава с $N$ Това обозначение идва от латинската дума naturalis-естествено.

Противоположни числа

Определение 1

Ако две числа се различават само по знаци, те се наричат ​​в математиката противоположни числа.

Например числата $5$ и $-5$ са противоположни числа, т.к Те се различават само по знаци.

Бележка 1

За всяко число има противоположно число и само едно.

Бележка 2

Числото нула е обратното на себе си.

Цели числа

Определение 2

Цялчислата са естествените числа, техните противоположности и нулата.

Множеството от цели числа включва множеството от естествени числа и техните противоположности.

Означаваме цели числа $Z.$

Дробни числа

Числата от формата $\frac(m)(n)$ се наричат ​​дроби или дробни числа. Дробните числа могат да се записват и в десетична форма, т.е. под формата на десетични дроби.

Например: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ и т.н.

Точно като целите числа, дробните числа могат да бъдат положителни или отрицателни.

Рационални числа

Определение 3

Рационални числае набор от числа, съдържащ набор от цели числа и дроби.

Всяко рационално число, както цяло, така и дробно, може да бъде представено като дроб $\frac(a)(b)$, където $a$ е цяло число, а $b$ е естествено число.

Така едно и също рационално число може да бъде записано по различни начини.

например,

Това показва, че всяко рационално число може да бъде представено като крайна десетична дроб или безкрайна десетична периодична дроб.

Множеството от рационални числа се означава с $Q$.

В резултат на извършване на която и да е аритметична операция върху рационални числа, полученият отговор ще бъде рационално число. Това се доказва лесно, поради факта, че при събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени дроби се получава обикновена дроб

Ирационални числа

Докато изучавате курс по математика, често трябва да се справяте с числа, които не са рационални.

Например, за да проверим съществуването на набор от числа, различни от рационалните, нека решим уравнението $x^2=6$. Корените на това уравнение ще бъдат числата $\surd 6$ и -$\surd 6$ . Тези числа няма да бъдат рационални.

Освен това, когато намираме диагонал на квадрат със страна $3$, прилагаме Питагоровата теорема и намираме, че диагоналът ще бъде равен на $\surd 18$. Това число също не е рационално.

Такива номера се наричат ирационален.

И така, ирационално число е безкрайна непериодична десетична дроб.

Едно от често срещаните ирационални числа е числото $\pi $

Когато извършвате аритметични операции с ирационални числа, резултатът може да бъде или рационално, или ирационално число.

Нека докажем това с примера за намиране на произведението на ирационални числа. Да намерим:

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

    $\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

С решение

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

    $\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Този пример показва, че резултатът може да бъде или рационално, или ирационално число.

Ако в аритметични операции участват едновременно рационални и ирационални числа, тогава резултатът ще бъде ирационално число (освен, разбира се, умножението по $0$).

Реални числа

Множеството от реални числа е множество, съдържащо множество от рационални и ирационални числа.

Множеството от реални числа се означава с $R$. Символично множеството от реални числа може да се означи с $(-?;+?).$

По-рано казахме, че ирационално число е безкрайна десетична непериодична дроб и всяко рационално число може да бъде представено като крайна десетична дроб или безкрайна десетична периодична дроб, така че всяка крайна и безкрайна десетична дроб ще бъде реално число.

При извършване на алгебрични операции ще се спазват следните правила:

  1. При умножаване и деление на положителни числа, полученото число ще бъде положително
  2. При умножаване и деление на отрицателни числа, полученото число ще бъде положително
  3. При умножаване и деление на отрицателни и положителни числа, полученото число ще бъде отрицателно

Реалните числа също могат да се сравняват едно с друго.