Понятията синус, косинус, тангенс и котангенс са основните категории на тригонометрията, клон на математиката, и са неразривно свързани с определението за ъгъл. Собственост на това математическа наукаизисква запаметяване и разбиране на формули и теореми, както и развито пространствено мислене. Ето защо ученици и студенти тригонометрични изчислениячесто създават затруднения. За да ги преодолеете, трябва да се запознаете по-добре тригонометрични функциии формули.
Понятия в тригонометрията
Да разбереш основни понятиятригонометрия, първо трябва да решите какво представляват правоъгълен триъгълник и ъгъл в окръжност и защо всички основни тригонометрични изчисления са свързани с тях. Триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса, е правоъгълен. В исторически план тази фигура често се използва от хора в областта на архитектурата, навигацията, изкуството и астрономията. Съответно, изучавайки и анализирайки свойствата на тази фигура, хората стигнаха до изчисляване на съответните съотношения на нейните параметри.
Основните категории, свързани с правоъгълните триъгълници, са хипотенузата и катетите. Хипотенуза - противоположната страна на триъгълник прав ъгъл. Краката, съответно, са останалите две страни. Сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180 градуса.
Сферичната тригонометрия е раздел от тригонометрията, който не се изучава в училище, а в приложни наукикато астрономия и геодезия, учените го използват. Характеристика на триъгълник в сферична тригонометрияе, че винаги има сбор от ъгли, по-голям от 180 градуса.
Ъгли на триъгълник
В правоъгълен триъгълник синусът на ъгъл е съотношението на катета срещу желания ъгъл към хипотенузата на триъгълника. Съответно, косинусът е отношението съседен краки хипотенуза. И двете стойности винаги имат величина, по-малка от единица, тъй като хипотенузата винаги е по-дълга от крака.
Тангенс на ъгъл - стойност, равно на отношението срещуположния краккъм съседната страна на желания ъгъл или синус към косинус. Котангенсът от своя страна е съотношението на съседната страна на желания ъгъл към противоположната страна. Котангенсът на ъгъл може да се получи и чрез разделяне на едно на стойността на тангенса.
Единична окръжност
Единична окръжност в геометрията е окръжност, чийто радиус равно на едно. Такъв кръг е конструиран в Декартова системакоординати, докато центърът на окръжността съвпада с началната точка, и начална позицияРадиус векторът се определя от положителната посока на оста X (абсцисната ос). Всяка точка от окръжността има две координати: XX и YY, тоест координатите на абсцисата и ординатата. Избирайки която и да е точка от окръжността в равнината ХХ и пускайки перпендикуляр от нея към абсцисната ос, получаваме правоъгълен триъгълник, образуван от радиуса към избраната точка (означен с буквата C), перпендикулярът, прекаран към оста X (пресечната точка е означена с буквата G), а отсечката по абсцисната ос е между началото на координатите (точката е означена с буквата A) и пресечната точка G. Полученият триъгълник ACG е правоъгълен триъгълник, вписан в окръжност, където AG е хипотенузата, а AC и GC са катетите. Ъгълът между радиуса на окръжността AC и сегмента на абсцисната ос с обозначение AG се определя като α (алфа). И така, cos α = AG/AC. Като се има предвид, че AC е радиусът на единичната окръжност и е равен на единица, излиза, че cos α=AG. По същия начин sin α=CG.
Освен това, знаейки тези данни, можете да определите координатата на точка C върху окръжността, тъй като cos α=AG и sin α=CG, което означава, че точка C има дадени координати(cos α; sin α). Знаейки, че тангенсът е равен на отношението на синус към косинус, можем да определим, че tan α = y/x и cot α = x/y. Като разглеждате ъглите в отрицателна координатна система, можете да изчислите, че стойностите на синуса и косинуса на някои ъгли могат да бъдат отрицателни.
Изчисления и основни формули
Стойности на тригонометрична функция
След като разгледа същността на тригонометричните функции чрез единична окръжност, можете да извлечете стойностите на тези функции за някои ъгли. Стойностите са посочени в таблицата по-долу.
Най-простите тригонометрични тъждества
Уравнения, в които знакът на тригонометричната функция съдържа неизвестна стойност, се наричат тригонометрични. Идентичности със грях стойност x = α, k — всяко цяло число:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, няма решения.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Идентичности със стойност cos x = a, където k е всяко цяло число:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, няма решения.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Идентичности със стойност tg x = a, където k е всяко цяло число:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Идентичности със стойност ctg x = a, където k е всяко цяло число:
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Формули за намаляване
Тази категория постоянни формулиобозначава методи, чрез които можете да преминете от тригонометрични функции на формата към функции на аргумент, тоест да намалите синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл с произволна стойност до съответните индикатори на ъгъла на интервала от 0 до 90 градуса за по-голямо удобство на изчисленията.
Формулите за намаляване на функциите за синуса на ъгъл изглеждат така:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
За косинус от ъгъл:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Използването на горните формули е възможно при спазване на две правила. Първо, ако ъгълът може да бъде представен като стойност (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), стойността на функцията се променя:
- от грях към защото;
- от cos към грях;
- от tg до ctg;
- от ctg до tg.
Стойността на функцията остава непроменена, ако ъгълът може да бъде представен като (π ± a) или (2π ± a).
Второ, знакът на намалената функция не се променя: ако първоначално е бил положителен, той остава такъв. Същото с отрицателните функции.
Формули за добавяне
Тези формули изразяват стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на сумата и разликата на два ъгъла на завъртане чрез техните тригонометрични функции. Обикновено ъглите се обозначават като α и β.
Формулите изглеждат така:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β.
Формули за двоен и троен ъгъл
Тригонометричните формули за двоен и троен ъгъл са формули, които свързват функциите съответно на ъглите 2α и 3α с тригонометричните функции на ъгъла α. Изведено от формули за добавяне:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Преход от сума към произведение
Като се има предвид, че 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), опростявайки тази формула, получаваме идентичност гряхα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. По същия начин sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Преход от произведение към сбор
Тези формули следват от идентичностите на прехода на сума към продукт:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Формули за намаляване на степента
В тези идентичности квадратните и кубичните степени на синус и косинус могат да бъдат изразени чрез синус и косинус на първа степен на кратен ъгъл:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Универсално заместване
Формулите за универсално тригонометрично заместване изразяват тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), като x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), където x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), където x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), като x = π + 2πn.
Особени случаи
Специални случаи на протозои тригонометрични уравненияса дадени по-долу (k е всяко цяло число).
Коефициенти за синус:
| Sin x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk |
Коефициенти за косинус:
| cos x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Коефициенти за тангенс:
| tg x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Коефициенти за котангенс:
| ctg x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Теореми
Теорема за синусите
Има две версии на теоремата - проста и разширена. Проста теоремасинуси: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. В този случай a, b, c са страните на триъгълника, а α, β, γ са противоположните ъгли, съответно.
Разширена синусова теорема за произволен триъгълник: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В това тъждество R означава радиуса на окръжността, в която е вписан дадения триъгълник.
Косинусова теорема
Идентичността се показва, както следва: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Във формулата a, b, c са страните на триъгълника, а α е ъгълът срещу страната a.
Теорема за допирателната
Формулата изразява връзката между тангентите на два ъгъла и дължината на противоположните им страни. Страните са обозначени с a, b, c, а съответните противоположни ъгли са α, β, γ. Формула на теоремата за допирателната: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Теорема за котангенса
Свързва радиуса на окръжност, вписана в триъгълник, с дължината на страните му. Ако a, b, c са страните на триъгълника и съответно A, B, C са ъглите срещу тях, r е радиусът на вписаната окръжност и p е полупериметърът на триъгълника, следното самоличността е валидна:
- детско легло A/2 = (p-a)/r;
- легло B/2 = (p-b)/r;
- легло C/2 = (p-c)/r.
Приложение
Тригонометрия - не само теоретична наукасвързани с математически формули. Неговите свойства, теореми и правила се използват на практика от различни индустрии. човешка дейност- астрономия, въздушни и морска навигация, теория на музиката, геодезия, химия, акустика, оптика, електроника, архитектура, икономика, машинно инженерство, измервателна работа, компютърна графика, картография, океанография и много други.
Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните понятия на тригонометрията, с помощта на които могат да се изразят математически връзките между ъглите и дължините на страните в триъгълник и да се намерят необходимите величини чрез тъждества, теореми и правила.
Примери:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Аргумент и смисъл
Косинус на остър ъгъл
Косинус на остър ъгълможе да се определи с помощта на правоъгълен триъгълник - той е равен на отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Пример :
1) Нека е даден ъгъл и трябва да определим косинуса на този ъгъл.
2) Нека завършим всеки правоъгълен триъгълник върху този ъгъл.
3) След като измерихме необходимите страни, можем да изчислим косинуса.
Косинус на число
Цифровият кръг ви позволява да определите косинуса на всяко число, но обикновено намирате косинуса на числата по някакъв начин свързан с: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Например, за числото \(\frac(π)(6)\) - косинусът ще бъде равен на \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . А за числото \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ще бъде равно на \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (приблизително \ (-0 ,71\)).
За косинус за други числа, които често се срещат в практиката, вижте.
Косинусовата стойност винаги е в диапазона от \(-1\) до \(1\). В този случай косинусът може да се изчисли за абсолютно всеки ъгъл и число.
Косинус на всеки ъгъл
Благодарение на числов кръгможете да определите не само косинус остър ъгъл, но също и тъп, отрицателен и дори по-голям от \(360°\) ( пълен оборот). Как да направите това е по-лесно да видите веднъж, отколкото да чуете \(100\) пъти, така че погледнете снимката.
Сега едно обяснение: да предположим, че трябва да определим косинуса на ъгъла KOAс градусна мярка в \(150°\). Комбиниране на точката ЗАс центъра на кръга и страната добре– с оста \(x\). След това оставете настрана \(150°\) обратно на часовниковата стрелка. След това ординатата на точката Аще ни покаже косинуса на този ъгъл.
Ако се интересуваме от ъгъл с градусна мярка, например в \(-60°\) (ъгъл KOV), правим същото, но задаваме \(60°\) по посока на часовниковата стрелка.
И накрая, ъгълът е по-голям от \(360°\) (ъгъл CBS) - всичко е подобно на глупавото, само след пълно завъртане по посока на часовниковата стрелка, отиваме във втория кръг и „получаваме липсата на градуси“. По-конкретно, в нашия случай ъгълът \(405°\) се изобразява като \(360° + 45°\).
Лесно е да се досетите, че за да начертаете ъгъл, например в \(960°\), трябва да направите две завъртания (\(360°+360°+240°\)), а за ъгъл в \(2640 °\) - цели седем.
Както бихте могли да замените, косинусът на число и косинусът на произволен ъгъл са дефинирани почти идентично. Променя се само начинът, по който се намира точката върху окръжността.
Косинусови знаци по четвъртинки
Използвайки косинусовата ос (т.е. абсцисната ос, подчертана в червено на фигурата), е лесно да се определят знаците на косинусите по числовата (тригонометрична) окръжност:
Когато стойностите на оста са от \(0\) до \(1\), косинусът ще има знак плюс (I и IV четвърти - зелена зона),
- където стойностите на оста са от \(0\) до \(-1\), косинусът ще има знак минус (II и III четвърти - лилава област).
Връзка с други тригонометрични функции:
- същия ъгъл (или номер): основен тригонометрична идентичност\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- същия ъгъл (или число): по формулата \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- и синус на същия ъгъл (или число): формулата \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
За други най-често използвани формули вж.
Решение на уравнението \(\cosx=a\)
Решението на уравнението \(\cosx=a\), където \(a\) е число не по-голямо от \(1\) и не по-малко от \(-1\), т.е. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Ако \(a>1\) или \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Решение:
Нека решим уравнението с помощта на числовата окръжност. За да направите това:
1) Нека изградим осите.
2) Нека построим кръг.
3) На косинусовата ос (ос \(y\)) маркирайте точката \(\frac(1)(2)\) .
4) Начертайте перпендикуляр на косинусовата ос през тази точка.
5) Маркирайте пресечните точки на перпендикуляра и окръжността.
6) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Нека запишем всички стойности, съответстващи на тези точки, като използваме формулата \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
отговор: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Функция \(y=\cos(x)\)
Ако начертаем ъглите в радиани по оста \(x\) и стойностите на косинуса, съответстващи на тези ъгли по оста \(y\), получаваме следната графика:
Тази графика се нарича и има следните свойства:
Домейнът на дефиниция е всяка стойност на x: \(D(\cos(x))=R\)
- диапазон от стойности - от \(-1\) до \(1\) включително: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- дори: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- периодичен с период \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- точки на пресичане с координатни оси:
абсцисната ос: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), където \(n ϵ Z\)
Y ос: \((0;1)\)
- интервали на постоянство на знака:
функцията е положителна на интервалите: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), където \(n ϵ Z\)
функцията е отрицателна на интервалите: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), където \(n ϵ Z\)
- интервали на увеличаване и намаляване:
функцията нараства на интервалите: \((π+2πn;2π+2πn)\), където \(n ϵ Z\)
функцията намалява на интервалите: \((2πn;π+2πn)\), където \(n ϵ Z\)
- максимуми и минимуми на функцията:
функцията има максимална стойност \(y=1\) в точки \(x=2πn\), където \(n ϵ Z\)
функцията има минимална стойност \(y=-1\) в точки \(x=π+2πn\), където \(n ϵ Z\).
Уточняват се връзките между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.
В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.
Навигация в страницата.
Основни тригонометрични тъждества
Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.
За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.
Формули за намаляване
Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. те отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.
Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.
Формули за добавяне
Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.
Формули за двойна, тройна и др. ъгъл
Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (наричат се още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.
По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл
Формули за половин ъгъл
Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.
Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.
Формули за намаляване на степента
Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.
Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции
Основна цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.
Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус
Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.
Авторско право от cleverstudents
Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никаква част от www.site, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.
Единен държавен изпит за 4? Няма ли да се пръснеш от щастие?
Въпросът, както се казва, е интересен... Възможно е, възможно е да минеш с 4! И в същото време да не се спука... Основното условие е да спортувате редовно. Ето основната подготовка за Единния държавен изпит по математика. С всички тайни и мистерии на Единния държавен изпит, за които няма да прочетете в учебниците... Проучете този раздел, решете повече задачи от различни източници - и всичко ще се получи! Предполага се, че основният раздел "A C е достатъчен за вас!" не ви създава никакви затруднения. Но ако изведнъж... Следвайте връзките, не бъдете мързеливи!
И ще започнем с една страхотна и ужасна тема.
Тригонометрия
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази тема създава много проблеми на учениците. Смята се за един от най-тежките. Какво са синус и косинус? Какво са тангенс и котангенс? Какво е числова окръжност?Щом зададете тези безобидни въпроси, човекът пребледнява и се опитва да отклони разговора... Но напразно. Това са прости концепции. И тази тема не е по-трудна от другите. Просто трябва ясно да разберете отговорите на тези въпроси от самото начало. Това е много важно. Ако разбирате, ще ви хареса тригонометрията. така че
Какво са синус и косинус? Какво са тангенс и котангенс?
Да започнем с древността. Не се притеснявайте, ще преминем през всичките 20 века тригонометрия за около 15 минути и без да забележим, ще повторим част от геометрията от 8 клас.
Нека начертаем правоъгълен триъгълник със страни a, b, cи ъгъл X. Ето го.
Нека ви напомня, че страните, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. a и c– крака. Двама са. Останалата страна се нарича хипотенуза. с– хипотенуза.
Триъгълник и триъгълник, само помислете! Какво да правя с него? Но древните хора са знаели какво да правят! Нека повторим техните действия. Да измерим страната V. На снимката клетките са специално нарисувани, както се случва в задачите за единен държавен изпит. Vотстрани равно на четири клетки. добре Да измерим странатаА.
Три клетки. Сега нека разделим дължината на странатаА Vна дължина на страната Сега нека разделим дължината на страната. Или, както се казва, да вземем отношението V. до= 3/4.
а/в VНапротив, можете да разделите равно на четири клетки. добре Да измерим странатана VПолучаваме 4/3. може разделете нас. схипотенуза Невъзможно е да броим по клетки, но е равно на 5. Получавамевисоко качество
= 4/5. Накратко, можете да разделите дължините на страните една на друга и да получите някои числа.
Какво от това? Какъв е смисълът от тази интересна дейност? Все още няма. Безсмислено упражнение, да го кажем направо.) Сега нека направим това. Нека увеличим триъгълника. Нека разширим странитев и с X, но така че триъгълникът да остане правоъгълен. Ъгъл , разбира се, не се променя. За да видите това, задръжте курсора на мишката върху снимката или я докоснете (ако имате таблет). Партита a, b и c ще се превърне в m, n, k
и, разбира се, дължините на страните ще се променят.
Но връзката им не е! доОтношение добеше: = 3/4, станам/н = 6/8 = 3/4. Отношенията на други заинтересовани страни също са няма да се промени . Можете да променяте дължините на страните в правоъгълен триъгълник, както желаете, да увеличавате, намалявате, – без промяна на ъгъла x отношенията между съответните страни няма да се променят
. Можете да го проверите или можете да повярвате на думата на древните хора.
Но това вече е много важно! Съотношенията на страните в правоъгълен триъгълник не зависят по никакъв начин от дължините на страните (при същия ъгъл). Това е толкова важно, че отношенията между страните са спечелили свое специално име. Вашите имена, така да се каже.) Запознайте се с мен. Колко е синусът на ъгъл x
? Това е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
sinx = a/c Колко е косинусът на ъгъла x
с? Това е отношението на съседния катет към хипотенузата:= osx
високо качество Какво е тангенс х
? Това е съотношението на срещуположната страна към съседната страна:до
tgx = Колко е котангенсът на ъгъл x
? Това е съотношението на съседната страна към противоположната:
ctgx = v/a
Много е просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс са някои числа. Безразмерен. Само цифри. Всеки ъгъл има свой собствен. Защо повтарям всичко толкова скучно? Тогава какво е товатрябва да запомните
. Важно е да запомните. Запомнянето може да бъде улеснено. Позната ли е фразата „Да започнем отдалеч…“? Така че започнете отдалеч.синусите ъгълът е отношениеотдалечен от ъгъла на крака към хипотенузата.Косинус
– отношението на съседа към хипотенузата.синусите ъгълът е отношениеДопирателна от ъгъла на крака към близкия.Котангенс
- обратно.
Е, ако помните, че в тангенса и котангенса има само катети, а в синуса и косинуса се появява хипотенузата, тогава всичко ще стане съвсем просто.
Цялото това славно семейство - синус, косинус, тангенс и котангенс се нарича още тригонометрични функции.
Сега въпрос за разглеждане.
Защо казваме синус, косинус, тангенс и котангенс ъгъл?Говорим за отношенията между страните като... Какво общо има? ъгъл?
Нека да разгледаме втората снимка. Абсолютно същото като първото.
Задръжте курсора на мишката върху снимката. Смених ъгъла X. Увеличи го от x към x.Всички отношения са променени! Отношение добеше 3/4 и съответното съотношение т/встана 6/4.
И всички други отношения станаха различни!
Следователно съотношенията на страните не зависят по никакъв начин от техните дължини (при един ъгъл х), но зависят рязко от този точно този ъгъл! И само от него.Следователно термините синус, косинус, тангенс и котангенс се отнасят за ъгъл.Ъгълът тук е основният.
Трябва ясно да се разбере, че ъгълът е неразривно свързан с неговите тригонометрични функции. Всеки ъгъл има свой синус и косинус. И почти всеки има свой тангенс и котангенс.това е важно Смята се, че ако ни е даден ъгъл, тогава неговите синус, косинус, тангенс и котангенс ние знаем ! И обратното. Даден е синус или друга тригонометрична функция, това означава, че знаем ъгъла.
Има специални таблици, където за всеки ъгъл са описани неговите тригонометрични функции. Наричат се Bradis tables. Те са съставени много отдавна. Когато още нямаше калкулатори или компютри...
Разбира се, невъзможно е да запомните тригонометричните функции на всички ъгли. От вас се изисква да ги знаете само за няколко ъгъла, повече за това по-късно. Но заклинанието Познавам ъгъл, което означава, че знам тригонометричните му функции” -винаги работи!
И така повторихме част от геометрията от 8 клас. Имаме ли нужда от него за Единния държавен изпит? необходимо. Ето един типичен проблем от Единния държавен изпит. За решаването на този проблем е достатъчен 8 клас. Дадена снимка:
Всички. Няма повече данни. Трябва да намерим дължината на страната на самолета.
Клетките не помагат особено, триъгълника е някак неправилно позициониран.... Нарочно, предполагам... От информацията има дължината на хипотенузата. 8 клетки. По някаква причина ъгълът беше даден.
Тук трябва незабавно да си спомните за тригонометрията. Има ъгъл, което означава, че знаем всичките му тригонометрични функции. Коя от четирите функции да използваме? Да видим, какво знаем? Знаем хипотенузата и ъгъла, но трябва да намерим съседенкатетър към този ъгъл! Ясно е, косинусът трябва да бъде приведен в действие! Ето го. Ние просто пишем, по дефиницията на косинус (отношението съседенкатет към хипотенуза):
cosC = BC/8
Нашият ъгъл С е 60 градуса, косинусът му е 1/2. Трябва да знаете това, без никакви таблици! Така че:
1/2 = BC/8
Елементарно линейно уравнение. Неизвестен – слънце. Който е забравил как се решават уравнения, погледнете линка, останалите решавайте:
BC = 4
Когато древните хора разбрали, че всеки ъгъл има свой собствен набор от тригонометрични функции, те имали разумен въпрос. Синус, косинус, тангенс и котангенс свързани ли са по някакъв начин един с друг?Така че като знаете една ъглова функция, можете да намерите останалите? Без да изчислявате самия ъгъл?
Бяха толкова неспокойни...)
Връзка между тригонометричните функции на един ъгъл.
Разбира се, синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на един и същ ъгъл са свързани помежду си. Всяка връзка между изразите се дава в математиката чрез формули. В тригонометрията има колосален брой формули. Но тук ще разгледаме най-основните. Тези формули се наричат: основни тригонометрични тъждества.Ето ги:
Трябва да знаете тези формули напълно. Без тях по принцип няма какво да се прави в тригонометрията. Още три спомагателни идентичности следват от тези основни идентичности:
Веднага ви предупреждавам, че последните три формули бързо изпадат от паметта ви. По някаква причина.) Можете, разбира се, да извлечете тези формули от първите три. Но в трудни моменти... разбирате.)
При стандартни задачи, като тези по-долу, има начин да се избегнат тези забравими формули. И значително намаляване на грешкитепоради забрава, а и в изчисленията също. Тази практика е в раздел 555, урок „Връзки между тригонометрични функции на един и същи ъгъл“.
В какви задачи и как се използват основните тригонометрични тъждества? Най-популярната задача е да се намери някаква ъглова функция, ако е дадена друга. В Единния държавен изпит такава задача присъства от година на година.) Например:
Намерете стойността на sinx, ако x е остър ъгъл и cosx=0,8.
Задачата е почти елементарна. Търсим формула, която съдържа синус и косинус. Ето формулата:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Заменяме тук известна стойност, а именно 0,8 вместо косинус:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Е, ние броим както обикновено:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Това е на практика всичко. Изчислихме квадрата на синуса, остава само да извадим корен квадратен и отговорът е готов! Коренът от 0,36 е 0,6.
Задачата е почти елементарна. Но думата „почти“ е там с причина... Факт е, че отговорът sinx= - 0,6 също е подходящ... (-0,6) 2 също ще бъде 0,36.
Има два различни отговора. И имате нужда от такъв. Второто е неправилно. Как да бъде!? Да, както обикновено.) Прочетете внимателно заданието. По някаква причина се казва:... ако x е остър ъгъл...А в задачите всяка дума има значение, да... Тази фраза е допълнителна информация към решението.
Остър ъгъл е ъгъл, по-малък от 90°. И на такива ъгли Всичкитригонометрични функции - синус, косинус и тангенс с котангенс - положителен.Тези. Тук просто отхвърляме отрицателния отговор. Имаме право.
Всъщност осмокласниците нямат нужда от такива тънкости. Те работят само с правоъгълни триъгълници, където ъглите могат да бъдат само остри. И те не знаят, щастливци, че има и отрицателни ъгли, и ъгли от 1000°... И всички тези ужасни ъгли имат свои собствени тригонометрични функции, както плюс, така и минус...
Но за гимназисти, без да се съобразява със знака - няма как. Много знания умножават мъките, да...) А за правилното решение в задачата задължително присъства допълнителна информация (ако е необходима). Например, може да бъде дадено чрез следния запис:
Или по друг начин. Ще видите в примерите по-долу.) За да решите такива примери, трябва да знаете В коя четвърт попада дадения ъгъл x и какъв знак има търсената тригонометрична функция в тази четвърт?
Тези основи на тригонометрията се обсъждат в уроците за това какво е тригонометрична окръжност, измерването на ъглите върху тази окръжност, радианова мярка на ъгъл. Понякога трябва да знаете таблицата на синусите, косинусите на тангенсите и котангенсите.
И така, нека отбележим най-важното:
Практически съвети:
1. Запомнете дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще бъде много полезно.
2. Ние ясно разбираме: синус, косинус, тангенс и котангенс са тясно свързани с ъгли. Ние знаем едно, което означава, че знаем друго.
3. Ние ясно разбираме: синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл са свързани помежду си чрез основни тригонометрични идентичности. Познаваме една функция, което означава, че можем (ако имаме необходимата допълнителна информация) да изчислим всички останали.
Сега нека решим, както обикновено. Първо задачи в обхвата на 8. клас. Но гимназистите също могат да го направят...)
1. Изчислете стойността на tgA, ако ctgA = 0,4.
2. β е ъгъл в правоъгълен триъгълник. Намерете стойността на tanβ, ако sinβ = 12/13.
3. Определете синуса на острия ъгъл x, ако tgх = 4/3.
4. Намерете значението на израза:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Намерете значението на израза:
(1-cosx)(1+cosx), ако sinx = 0,3
Отговори (разделени с точка и запетая, безредно):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Подейства ли? Страхотно! Осмокласниците вече могат да отидат да получат своите A.)
Не се ли получи всичко? Задачи 2 и 3 някак не са много добри...? Няма проблеми! Има една красива техника за такива задачи. Всичко може да се реши практически без формули! Е, следователно, без грешки. Тази техника е описана в урока: „Връзки между тригонометрични функции на един ъгъл“ в раздел 555. Там се решават и всички други задачи.
Това бяха проблеми като Единния държавен изпит, но в съкратена версия. Единен държавен изпит - лек). И сега почти същите задачи, но в пълноправен формат. За обременени със знания гимназисти.)
6. Намерете стойността на tanβ, ако sinβ = 12/13 и
7. Да се определи sinх, ако tgх = 4/3, а x принадлежи на интервала (- 540°; - 450°).
8. Намерете стойността на израза sinβ cosβ, ако ctgβ = 1.
Отговори (в безпорядък):
0,8; 0,5; -2,4.
Тук в задача 6 ъгълът не е посочен много ясно... Но в задача 8 изобщо не е посочен! Това е нарочно). Допълнителна информация се взема не само от задачата, но и от главата.) Но ако решите, една правилна задача е гарантирана!
Ами ако не сте решили? Хм... Е, раздел 555 ще помогне тук. Там решенията на всички тези задачи са описани подробно, трудно е да не се разбере.
Този урок предоставя много ограничено разбиране на тригонометричните функции. В рамките на 8 клас. И старейшините все още имат въпроси...
Например, ако ъгълът X(погледнете втората снимка на тази страница) - направи го глупаво!? Триъгълникът напълно ще се разпадне! И така, какво трябва да направим? Няма да има катет, хипотенуза... Синусът изчезна...
Ако древните хора не бяха намерили изход от тази ситуация, сега нямаше да имаме мобилни телефони, телевизия или електричество. да, да! Теоретичната основа за всички тези неща без тригонометрични функции е нула без пръчка. Но древните хора не са разочаровани. Как са се измъкнали - в следващия урок.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.