Според общоприетата позиция за начален меридиан се приема този, който минава през стария Обсерватория Гринуичв Гринуич. Географските координати на местоположението могат да бъдат получени с помощта на GPS навигатор. Това устройство приема сигнали сателитна системапозициониране в единната за целия свят координатна система WGS-84.
Моделите Navigator се различават по производител, функционалност и интерфейс. В момента в някои модели се предлагат и вградени GPS навигатори мобилни телефони. Но всеки модел може да записва и запазва координатите на точка.
Разстояние между GPS координати
За решаване на практически и теоретични проблемив някои индустрии е необходимо да можете да определяте разстоянията между точките по техните координати. Има няколко начина, по които можете да направите това. Каноничната форма за представяне на географски координати: градуси, минути, секунди.Например, можете да определите разстоянието между следните координати: точка № 1 - ширина 55°45′07″ с.ш., дължина 37°36′56″ из.д.; точка № 2 - ширина 58°00′02″ с.ш., дължина 102°39′42″ из.д.
Най-лесният начин е да използвате калкулатор, за да изчислите дължината между две точки. В търсачката на браузъра трябва да зададете следните параметри за търсене: онлайн - за изчисляване на разстоянието между две координати. В онлайн калкулатора стойностите на географската ширина и дължина се въвеждат в полетата за заявка за първата и втората координата. При изчисляването онлайн калкулаторът даде резултат - 3 800 619 m.
Следващият метод е по-трудоемък, но и по-визуален. Трябва да използвате всяка налична програма за картографиране или навигация. Програмите, в които можете да създавате точки с помощта на координати и да измервате разстояния между тях, включват следните приложения:BaseCamp ( модерен аналогпрограми MapSource), Google Earth, SAS.Planet.
Всички горепосочени програми са достъпни за всеки потребител на мрежата. Например, за да изчислите разстоянието между две координати в Google Earth, трябва да създадете два етикета, указващи координатите на първата точка и втората точка. След това, като използвате инструмента „Линийка“, трябва да свържете първата и втората маркировка с линия, програмата автоматично ще покаже резултата от измерването и ще покаже пътя на сателитна снимкаЗемята.
В случая с примера, даден по-горе, програмата Google Earth върна резултата - дължината на разстоянието между точка № 1 и точка № 2 е 3 817 353 m.
Защо има грешка при определяне на разстоянието
Всички изчисления на разстоянието между координатите се основават на изчисляването на дължината на дъгата. Радиусът на Земята участва в изчисляването на дължината на дъгата. Но тъй като формата на Земята е близка до сплескан елипсоид, радиусът на Земята варира в определени точки. За изчисляване на разстоянието между координатите се взема средната стойност на радиуса на Земята, което дава грешка при измерването. Колкото по-голямо е измереното разстояние, толкова по-голяма е грешката.Създайте маршрут. Как да стигнем от и до. Изчисляване на разстоянията между градовете с кола, кола. Получавайте упътвания на картата от и до между градовете. Създайте маршрут с кола, като използвате точки на картата от няколко точки. Калкулатор за гориво. Изчисляване на маршрута пеша или с велосипед.
Създайте маршрут с кола с помощта на точки и го отпечатайте. Онлайн навигаторът ще ви помогне да създадете маршрут, да изчислите пешеходното разстояние на картата, да начертаете маршрута от и до, ще разберете колко ходене трябва да извървите от точка А до точка Б или да изчислите разстоянието на маршрута от точка А до точка Б, можете да начертаете маршрута и през една допълнителна точка, през която евентуално да минава маршрутът ви. Ще можете да картографирате маршрута, да изчислите разстоянието и времето и да видите данните за този маршрут директно на картата, също така ще ви покаже времето на мястото на пристигане, калкулаторът за гориво ще изчисли разхода на бензин на 100 км. След като щракнете върху бутона „Изчисли“, вдясно ще се появи описание на маршрута, по същество текстов навигатор: ако сте избрали допълнителна точка на маршрута, навигаторът ще раздели нейните участъци и ще изчисли разстоянието във всеки участък, а също и ще изчисли общото разстояние (километри) от точката на тръгване до крайната точка също ще покаже времето за пътуване. Онлайн навигаторът ще ви покаже как да стигнете от и до с кола в Москва, Санкт Петербург, Санкт Петербург, Владивосток, Уфа, Челябинск, Казан, Новосибирск, Нижни Новгород, Омск, Екатеринбург, Перм от точка А до точка Б. Можете да създадете няколко типа маршрут, в зависимост от начина на придвижване, например пеша, с кола, с транспорт (автобус, влак, метро), с велосипед ( този методне работи добре в Русия поради липсата на велосипедни алеи). За да направите това, трябва да изберете метод от падащия списък и лесно можете да получите указания и да разберете как да стигнете до вашата дестинация. Тук можете да разберете как да стигнете до там с кола, да получите указания и да изчислите разстоянието
Как да стигнете до там, вземете упътвания с кола до Москва, Санкт Петербург, Новосибирск, Екатеринбург, Нижни Новгород, Казан, Челябинск, Омск, Самара, Ростов на Дон, Уфа, Красноярск, Перм, Воронеж, Волгоград, Саратов, Краснодар, Толиати, Тюмен, Ижевск, Барнаул, Иркутск, Уляновск, Хабаровск, Владивосток, Ярославъл, Махачкала, Томск , Оренбург, Новокузнецк, Кемерово, Астрахан, Рязан, Набережние Челни, Пенза, Липецк, Киров, Тула, Чебоксари, Калининград, Курск, Улан-Уде, Ставропол, Магнитогорск, Сочи, Белгород, Нижни Тагил, Владимир, Архангелск, Калуга, Сургут , Чита, Грозни, Стерлитамак, Кострома, Петрозаводск, Нижневартовск, Йошкар-Ола, Новоросийск
Всяка точка А от равнината се характеризира със своите координати (x, y). Те съвпадат с координатите на вектора 0A, излизащ от точка 0 - началото на координатите.
Нека A и B са произволни точкиравнини с координати (x 1 y 1) и (x 2, y 2), съответно.
Тогава векторът AB очевидно има координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Известно е, че квадратът на дължината на вектора равно на суматаквадрати на неговите координати. Следователно разстоянието d между точките A и B или, което е същото, дължината на вектора AB, се определя от условието
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Получената формула ви позволява да намерите разстоянието между произволни две точки в равнината, ако са известни само координатите на тези точки
Всеки път, когато говорим за координатите на определена точка от равнината, имаме предвид точно дефинирана координатна система x0y. Като цяло координатната система на равнината може да бъде избрана по различни начини. Така че вместо координатната система x0y, можем да разгледаме координатната система xִy, която се получава в резултат на завъртане на старите координатни оси около началната точка 0 обратно на часовниковата стрелкастрелки на ъгъла α .
Ако някаква точка от равнината в координатната система x0y има координати (x, y), тогава in нова системакоординати xִy ще има различни координати (x, y).
Като пример, разгледайте точка M, разположена на оста 0x и отделена от точка 0 на разстояние 1.
Очевидно в координатната система x0y тази точка има координати (cos α , грях α ), а в координатната система xִy координатите са (1,0).
Координатите на всеки две точки от равнината A и B зависят от това как е зададена координатната система в тази равнина. Но разстоянието между тези точки не зависи от метода на задаване на координатната система .
Други материалиИзчисляването на разстояния между точки въз основа на техните координати в равнина е елементарно; на повърхността на Земята е малко по-сложно: ще разгледаме измерването на разстоянието и началния азимут между точките без трансформации на проекцията. Първо, нека разберем терминологията.
Въведение
Голяма дължина на дъгата на кръга– най-късото разстояние между всеки две точки, разположени на повърхността на сфера, измерено по линията, свързваща тези две точки (такава линия се нарича ортодромия) и минаваща по повърхността на сферата или друга повърхност на въртене. Сферичната геометрия е различна от нормалната евклидова геометрия и уравненията на разстоянието също имат различна форма. В евклидовата геометрия най-късото разстояние между две точки е права линия. На сфера няма прави линии. Тези линии на сферата са част от големи кръгове - кръгове, чиито центрове съвпадат с центъра на сферата. Начален азимут- азимут, който при започване на движение от точка А, следвайки големия кръг за най-късото разстояние до точка Б, крайната точка ще бъде точка В. При движение от точка А до точка Б по линията на големия кръг, азимутът от текущата позиция е крайна точка B постоянно се променя. Началният азимут е различен от постоянен, след което азимутът от текущата до крайната точка не се променя, но следваният маршрут не е най-късото разстояние между две точки.През всеки две точки от повърхността на една сфера, ако те не са точно срещуположни една на друга (т.е. не са антиподи), може да се начертае уникален голям кръг. Две точки разделят голям кръг на две дъги. Дължината на къса дъга е най-късото разстояние между две точки. Между две противоположни точки можем да начертаем безкраен бройголеми кръгове, но разстоянието между тях ще бъде еднакво на всеки кръг и равно на половината от обиколката на кръга, или π*R, където R е радиусът на сферата.
На равнина (в правоъгълна координатна система), големи кръговеи техните фрагменти, както беше споменато по-горе, са дъги във всички проекции, с изключение на гномоничната, където големите кръгове са прави линии. На практика това означава, че самолетите и друг въздушен транспорт винаги използват маршрута на минималното разстояние между точките, за да спестят гориво, тоест полетът се извършва по голямо кръгово разстояние, в самолет изглежда като дъга.
Формата на Земята може да се опише като сфера, така че уравненията за изчисляване на разстояния на голям кръгса важни за изчисляване на най-късото разстояние между точки на земната повърхност и често се използват в навигацията. Изчисляването на разстоянието по този метод е по-ефективно и в много случаи по-точно от изчисляването му за проектирани координати (в правоъгълни координатни системи), тъй като, първо, не изисква превод географски координати V правоъгълна системакоординати (извършете проекционни трансформации) и, второ, много проекции, ако са избрани неправилно, могат да доведат до значителни изкривявания на дължината поради характеристиките на проекционните изкривявания. Известно е, че не е сфера, а елипсоид, който описва по-точно формата на Земята, но в тази статия се обсъжда изчисляването на разстояния конкретно върху сфера за изчисления, използва се сфера с радиус 6 372 795 метра , което може да доведе до грешка при изчисляване на разстояния от порядъка на 0,5%.
Формули
Има три начина за изчисляване на сферичното разстояние на големия кръг. 1. Теорема за сферичен косинусВ случай на малки разстояния и малка дълбочина на изчисление (брой знаци след десетичната запетая), използването на формулата може да доведе до значителни грешки при закръгляване. φ1, λ1; φ2, λ2 - ширина и дължина на две точки в радиани Δλ - разлика в координатите в дължина Δδ - ъглова разлика Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) За превод ъглово разстояниекъм метрична, трябва да умножите ъгловата разлика по радиуса на Земята (6372795 метра), единиците за крайното разстояние ще бъдат равни на единиците, в които е изразен радиусът (в в този случай- метри). 2. Формула на хаверсинусИзползва се за избягване на проблеми с къси разстояния. 3. Модификация за антиподитеПредходната формула също е предмет на проблема с антиподните точки, използва се следната модификация.Моята реализация на PHP
// Дефиниране на радиуса на Земята ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Разстояние между две точки * $φA, $λA - ширина, дължина на 1-ва точка, * $φB, $λB - ширина, дължина на 2-ра точка * Написано на базата на http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Михаил Кобзарев * */ функция изчислиРазстоянието ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // преобразуване на координатите в радиани $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λB * M_PI / 180; $cl1 = cos($lat1); $sl1 = sin( $lat1); cdelta, 2)); $cl2 * $cdelta; $ad = $lat1; 77,1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139,55; ехо изчисляванеРазстоянието($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "метри"; // Връщане на "17166029 метра"Решаването на задачи по математика често е съпроводено с много трудности за учениците. Помогнете на ученика да се справи с тези трудности, както и да го научите да използва това, което има теоретични знанияпри решаване специфични задачивъв всички раздели на курса на предмета „Математика“ - основната цел на нашия сайт.
При започване на решаване на задачи по темата учениците трябва да могат да построяват точка от равнина по нейните координати, както и да намират координатите на дадена точка.
Изчисляването на разстоянието между две точки A(x A; y A) и B(x B; y B), взети в равнина, се извършва по формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), където d е дължината на отсечката, която свързва тези точки в равнината.
Ако един от краищата на сегмента съвпада с началото на координатите, а другият има координати M(x M; y M), тогава формулата за изчисляване на d ще приеме формата OM = √(x M 2 + y M 2 ).
1. Изчисляване на разстоянието между две точки по дадените координати на тези точки
Пример 1.
Намерете дължината на отсечката, която свързва координатна равнинаточки A(2; -5) и B(-4; 3) (фиг. 1).
Решение.
Постановката на задачата гласи: x A = 2; x B = -4; y A = -5 и y B = 3. Намерете d.
Прилагайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), получаваме:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Изчисляване на координатите на точка, която е на равно разстояние от три дадени точки
Пример 2.
Намерете координатите на точка O 1, която е на еднакво разстояние от три точки A(7; -1) и B(-2; 2) и C(-1; -5).
Решение.
От формулировката на условията на задачата следва, че O 1 A = O 1 B = O 1 C. Нека желана точка O 1 има координати (a; b). Използвайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) намираме:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Нека създадем система от две уравнения:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
След като повдигнем на квадрат лявата и дясната страна на уравненията, записваме:
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
Опростено, нека пишем
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
След като решихме системата, получаваме: a = 2; b = -1.
Точка O 1 (2; -1) е на еднакво разстояние от трите точки, посочени в условието, които не лежат на една и съща права линия. Тази точка е центърът на окръжност, минаваща през три дадени точки (фиг. 2).
3. Изчисляване на абсцисата (ординатата) на точка, която лежи на абсцисната (ординатната) ос и се намира на дадено разстояниеот тази точка
Пример 3.
Разстоянието от точка B(-5; 6) до точка A, лежаща на оста Ox, е 10. Намерете точка A.
Решение.
От формулировката на условията на задачата следва, че ординатата на точка А е равна на нула и AB = 10.
Означавайки абсцисата на точка A с a, пишем A(a; 0).
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
Получаваме уравнението √((a + 5) 2 + 36) = 10. Опростявайки го, имаме
a 2 + 10a – 39 = 0.
Корените на това уравнение са a 1 = -13; и 2 = 3.
Получаваме две точки A 1 (-13; 0) и A 2 (3; 0).
преглед:
A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
И двете получени точки са подходящи според условията на задачата (фиг. 3).
4. Изчисляване на абсцисата (ординатата) на точка, която лежи на абсцисната (ординатната) ос и е на еднакво разстояние от две дадени точки
Пример 4.
Намерете точка на оста Oy, която е на същото разстояние от точки A (6, 12) и B (-8, 10).
Решение.
Нека координатите на изискваната от условията на задачата точка, лежаща на оста Oy, са O 1 (0; b) (в точката, лежаща на оста Oy, абсцисата е нула). От условието следва, че O 1 A = O 1 B.
Използвайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) намираме:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Имаме уравнението √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.
След опростяване получаваме: b – 4 = 0, b = 4.
Точка O 1 (0; 4), изисквана от условията на задачата (фиг. 4).
5. Изчисляване на координатите на точка, която се намира на същото разстояние от координатните оси и дадена точка
Пример 5.
Намерете точка M, разположена на координатната равнина на същото разстояние от координатните оси и от точка A(-2; 1).
Решение.
Търсената точка M, подобно на точка A(-2; 1), се намира във втория координатен ъгъл, тъй като е на еднакво разстояние от точките A, P 1 и P 2 (фиг. 5). Разстоянията на точка M от координатните оси са еднакви, следователно нейните координати ще бъдат (-a; a), където a > 0.
От условията на задачата следва, че MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
тези. |-a| = а.
Използвайки формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) намираме:
MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).
Нека съставим уравнение:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
След повдигане на квадрат и опростяване имаме: a 2 – 6a + 5 = 0. Решете уравнението, намерете a 1 = 1; и 2 = 5.
Получаваме две точки M 1 (-1; 1) и M 2 (-5; 5), които удовлетворяват условията на задачата. 
6. Изчисляване на координатите на точка, която се намира на едно и също определено разстояние от абсцисната (ординатната) ос и от дадената точка
Пример 6.
Намерете точка M, така че нейното разстояние от ординатната ос и от точка A(8; 6) да е равно на 5.
Решение.
От условията на задачата следва, че MA = 5 и абсцисата на точка M е равна на 5. Нека ординатата на точка M е равна на b, тогава M(5; b) (фиг. 6).
Съгласно формулата d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) имаме:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Нека съставим уравнение:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Опростявайки го, получаваме: b 2 – 12b + 20 = 0. Корените на това уравнение са b 1 = 2; b 2 = 10. Следователно има две точки, които отговарят на условията на задачата: M 1 (5; 2) и M 2 (5; 10).
Известно е, че много студенти независимо решениепроблемите изискват постоянни консултации относно техниките и методите за разрешаването им. Често ученикът не може да намери начин да реши проблем без помощта на учител. Студентът може да получи необходимите съвети за решаване на проблеми на нашия уебсайт.
Все още имате въпроси? Не знаете как да намерите разстоянието между две точки на равнина?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!
blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.