внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Аритметичната прогресия е поредица от числа, в която всяко число е по-голямо (или по-малко) от предишното с еднаква стойност.
Тази тема често изглежда сложна и неразбираема. Буквени индекси n-ти членпрогресии, разлики в прогресията - всичко това е някак объркващо, да... Нека разберем значението аритметична прогресияи всичко ще се подобри веднага.)
Концепцията за аритметична прогресия.
Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Имате ли съмнения? Напразно.) Вижте сами.
Ще напиша незавършена поредица от числа:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Можете ли да разширите тази серия? Кои числа ще дойдат следващите след петицата? Всички... ъъъ..., накратко, всички ще разберат, че следват числата 6, 7, 8, 9 и т.н.
Нека да усложним задачата. Давам ви незавършена поредица от числа:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Ще можете да уловите модела, да разширите серията и да дадете име седмономер на ред?
Ако сте разбрали, че това число е 20, поздравления! Не само се чувствахте ключови точкиаритметична прогресия,но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не сте го разбрали, прочетете нататък.
Сега нека преведем ключовите точки от усещанията в математика.)
Първата ключова точка.
Аритметичната прогресия работи с серии от числа.Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да чертаем графики и всичко това... Но тук разширяваме серията, намираме номера на серията...
Всичко е наред. Просто прогресиите са първото запознанство с нов клон на математиката. Разделът се нарича "Поредици" и работи специално с серии от числа и изрази. Свикнете.)
Втора ключова точка.
В аритметичната прогресия всяко число е различно от предишното със същата сума.
В първия пример тази разлика е една. Което и число да вземете, то е с едно повече от предишното. Във втория - три. Всяко число е с три повече от предишното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да схванем модела и да изчислим следващите числа.
Трети ключов момент.
Този момент не е фрапантен, да... Но е много, много важен. Ето го: всеки номер на прогресиятастои на мястото си.Има първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако ги смесите на случаен принцип, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Това, което остава, е просто поредица от числа.
Това е целият смисъл.
Разбира се, в нова темапоявяват се нови термини и обозначения. Трябва да ги познавате. В противен случай няма да разберете задачата. Например, ще трябва да решите нещо като:
Запишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.
Вдъхновяващо?) Букви, малко индекси... И задачата, между другото, не може да бъде по-проста. Просто трябва да разберете значението на термините и обозначенията. Сега ще овладеем този въпрос и ще се върнем към задачата.
Термини и обозначения.
Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.
Това количество се нарича . Нека разгледаме тази концепция по-подробно.
Разлика в аритметична прогресия.
Разлика в аритметична прогресияе сумата, с която всяко прогресивно число повечепредишен.
един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "повече".Математически това означава, че всяко число на прогресията е чрез добавянеразлика в аритметичната прогресия спрямо предходното число.
Да изчислим, да речем второномера на серията, трябва да първиномер добавететочно тази разлика на аритметична прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветедо четвърто,добре и т.н.
Разлика в аритметична прогресияМоже би позитивен,тогава всяко число от поредицата ще се окаже истинско повече от предишния.Тази прогресия се нарича нарастваща.Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тук се получава всяко число чрез добавянеположително число, +5 към предишното.
Разликата може да е отрицателен,тогава всяко число в серията ще бъде по-малко от предишния.Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващи.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тук също се получава всяко число чрез добавянекъм предишния, но вече отрицателно число, -5.
Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите нейния характер - дали е нарастваща или намаляваща. Това помага много да се ориентирате във вземането на решение, да забележите грешките си и да ги коригирате, преди да е станало твърде късно.
Разлика в аритметична прогресияобикновено се обозначава с буквата d.
Как да намерите d? Много просто. Необходимо е да се извади от всяко число в серията предишенномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)
Нека дефинираме, например, dза увеличаване на аритметичната прогресия:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Взимаме произволно число от серията, което искаме, например 11. Изваждаме от него предишен номер, тези. 8:
Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.
Можете да го вземете всяко число на прогресията,защото за конкретна прогресия д-винаги едно и също.Поне някъде в началото на редицата, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предишен.)
Между другото, знаейки това d=3, намирането на седмото число от тази прогресия е много лесно. Да добавим 3 към петото число – получаваме шестото, то ще бъде 17. Да добавим три към шестото число, получаваме седмото число – двадесет.
Да дефинираме dза низходяща аритметична прогресия:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите dнужда от произволен номер отнеме предишния.Изберете произволно число на прогресията, например -7. Предишното му число е -2. След това:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробна, ирационална, всяко число.
Други термини и обозначения.
Всяко число от серията се нарича член на аритметична прогресия.
Всеки член на прогресията има собствен номер.Цифрите са строго подредени, без уловки. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... две е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всичко, цяло, дробно, отрицателно, каквото и да е, но номерация на числата- строго по ред!
Как да напиша прогресия в общ изглед? Няма въпрос! Всяко число в серия се изписва като буква. За означаване на аритметична прогресия обикновено се използва буквата а. Членският номер се обозначава с индекс долу вдясно. Пишем термини, разделени със запетаи (или точка и запетая), както следва:
1, 2, 3, 4, 5, .....
а 1- това е първото число, а 3- трети и т.н. Нищо изискано. Тази серия може да бъде написана накратко така: (a n).
Случват се прогресии краен и безкраен.
Ultimateпрогресията има ограничен брой членове. Пет, трийсет и осем, каквото и да е. Но това е краен брой.
Безкраенпрогресия - има безкраен бройчленове, както можете да се досетите.)
Запишете крайна прогресияможете да преминете през поредица като тази, всички термини и точка в края:
1, 2, 3, 4, 5.
Или така, ако има много членове:
1, 2, ... 14, 15.
В краткия запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:
(a n), n = 20
Една безкрайна прогресия може да бъде разпозната по многоточието в края на реда, както в примерите в този урок.
Сега можете да решите задачите. Задачите са прости, чисто за разбиране на значението на аритметична прогресия.
Примери за задачи за аритметична прогресия.
Нека разгледаме дадената по-горе задача в детайли:
1. Напишете първите шест члена на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.
Прехвърляме задачата на ясен език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Второто число на тази прогресия е известно: а 2 = 5.Разликата в прогресията е известна: d = -2,5.Трябва да намерим първия, третия, четвъртия, петия и шестия член на тази прогресия.
За по-голяма яснота ще запиша серия според условията на задачата. Първите шест термина, където вторият член е пет:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
а 3 = а 2 + d
Заместете в израз а 2 = 5И d = -2,5. Не забравяйте за минуса!
а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третият член се оказа по-малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предишното отрицателенстойност, което означава, че самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем предвид.) Отчитаме четвъртия член от нашата серия:
а 4 = а 3 + d
а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
а 5 = а 4 + d
а 5=0+(-2,5)= - 2,5
а 6 = а 5 + d
а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Така бяха изчислени термини от трети до шести. Резултатът е следната серия:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Остава да намерим първия член а 1от известен втори. Това е стъпка в другата посока, наляво.) И така, разликата в аритметичната прогресия dне трябва да се добавя към а 2, А отнемам:
а 1 = а 2 - d
а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Това е. Отговор на задачата:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Между другото бих искал да отбележа, че решихме тази задача рецидивиращначин. това страшна думапросто означава търсене на член на прогресията според предходния (съседен) номер.По-долу ще разгледаме други начини за работа с прогресия.
От тази проста задача може да се направи един важен извод.
Запомнете:
Ако знаем поне един член и разликата на аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.
помниш ли Това просто заключение ви позволява да разрешите повечето проблеми училищен курспо тази тема. Всички задачи се въртят наоколо три основнипараметри: член на аритметична прогресия, разлика на прогресия, номер на член на прогресия.Всички.
Разбира се, цялата предишна алгебра не е отменена.) Неравенствата, уравненията и други неща са свързани с прогресията. Но според самата прогресия- всичко се върти около три параметъра.
Като пример, нека разгледаме някои популярни задачи по тази тема.
2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n=5, d = 0,4 и a 1 = 3,6.
Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как се броят членовете на аритметичната прогресия, да ги преброите и да ги запишете. Препоръчително е да не пропускате думите в условията на задачата: „окончателен“ и „ n=5". За да не броите, докато не сте напълно посинели.) Има само 5 (пет) члена в тази прогресия:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Остава да напиша отговора:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Друга задача:
3. Определете дали числото 7 ще бъде член на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Кой знае? Как да определим нещо?
Как-как... Запишете прогресията под формата на серия и вижте дали там ще има седем или не! Ние броим:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седем не попада в нашата серия от числа и следователно седем няма да бъде член на дадената прогресия.
Отговор: не.
Ето един проблем, базиран на реален вариант GIA:
4. Изписани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:
...; 15; X; 9; 6; ...
Ето една поредица, написана без край и начало. Няма номера на членове, няма разлика d. Всичко е наред. За да разрешите проблема, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Нека да погледнем и да видим какво е възможно да знамот този сериал? Кои са трите основни параметъра?
Членски номера? Тук няма нито едно число.
Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред? съседни известни числа? Да, имам! Това са 9 и 6. Следователно можем да изчислим разликата на аритметичната прогресия! Извадете от шест предишенномер, т.е. девет:
Остават само дреболии. Кое число ще бъде предишното за X? Петнадесет. Това означава, че X може лесно да се намери чрез просто събиране. Добавете разликата на аритметичната прогресия към 15:
Това е. отговор: х=12
Ние решаваме следните проблеми сами. Забележка: тези проблеми не се основават на формули. Чисто, за да разберем значението на аритметичната прогресия.) Просто записваме поредица от цифри и букви, гледаме и я намираме.
5. Намерете първия положителен член от аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.
6. Известно е, че числото 5,5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1,6; d = 1,3. Определете числото n на този член.
7. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 4; а 5 = 15,1. Намерете 3.
8. Изписани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.
9. Влакът започна да се движи от гарата, като равномерно увеличаваше скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км/час.
10. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.
Отговори (в безпорядък): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Всичко получи ли се? невероятно! Можете да овладеете аритметичната прогресия на по-високо ниво в следващите уроци.
Не се ли получи всичко? няма проблеми В специален раздел 555 всички тези проблеми са подредени част по част.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решението на такива задачи ясно, ясно, с един поглед!
Между другото, в пъзела с влака има два проблема, в които хората често се спъват. Единият е само по отношение на прогресията, а вторият е общ за всякакви задачи по математика, а също и по физика. Това е превод на измеренията от един към друг. Показва как трябва да се решават тези проблеми.
В този урок разгледахме елементарен смисъларитметична прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавете dкъм числата, напишете серия, всичко ще бъде решено.
Решението с пръст работи добре за много къси части от ред, както в примерите в този урок. Ако серията е по-дълга, изчисленията стават по-сложни. Например, ако в задача 9 във въпроса сменим "пет минути"на "тридесет и пет минути"проблемът ще се влоши значително.)
А има и задачи, които са прости по същество, но абсурдни по отношение на изчисленията, например:
Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.
И какво, ще добавяме 1/6 много, много пъти?! Можеш да се самоубиеш!?
Можете.) Ако не знаете проста формулапо който да реши подобни задачивъзможно след минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем там е решен. След минута.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Да, да: аритметичната прогресия не е играчка за вас :) Е, приятели, ако четете този текст, тогава вътрешните кап-доказателства ми казват, че все още не знаете какво е аритметична прогресия, но наистина (не, така: ТАААААААА!) искате да знаете. Затова няма да ви измъчвам с дълги въведения и ще премина направо към същността.
Първо, няколко примера. Нека да разгледаме няколко набора от числа:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Какво е общото между всички тези комплекти? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. а именно: всеки следващ елементсе различава от предишния със същото число.
Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всяко следващо е с едно повече от предишното. Във втория случай разликата между серията стоящи номеравече е равно на пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай има напълно корени. Въпреки това, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ и $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. и в този случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $\sqrt(2)$ (и не се страхувайте, че това число е ирационално).
И така: всички такива последователности се наричат аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:
Определение. Поредица от числа, в която всяко следващо се различава от предходното с абсолютно еднаква стойност, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която се различават числата, се нарича прогресивна разлика и най-често се обозначава с буквата $d$.
Нотация: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресия, $d$ е нейната разлика.
И само няколко важни бележки. Първо, разглежда се само прогресията поръчанпоследователност от числа: разрешено е да се четат стриктно в реда, в който са написани - и нищо друго. Числата не могат да се пренареждат или разменят.
Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако запишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Многоточието след четиримата изглежда подсказва, че предстоят още доста числа. Безкрайно много например.
Бих искал също да отбележа, че прогресиите могат да се увеличават или намаляват. Вече видяхме нарастващи - един и същ набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето примери за намаляващи прогресии:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
добре, добре: последен примерможе да изглежда прекалено сложно. Но останалото, мисля, разбирате. Затова въвеждаме нови определения:
Определение. Аритметична прогресия се нарича:
- нараства, ако всеки следващ елемент е по-голям от предходния;
- намалява, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.
Освен това има така наречените „стационарни“ последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).
Остава само един въпрос: как да различим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие тук всичко зависи само от знака на числото $d$, т.е. разлики в прогресията:
- Ако $d \gt 0$, тогава прогресията се увеличава;
- Ако $d \lt 0$, тогава прогресията очевидно намалява;
- И накрая, има случай $d=0$ - в този случай цялата прогресия се свежда до стационарна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.
Нека се опитаме да изчислим разликата $d$ за трите намаляващи прогресии, дадени по-горе. За да направите това, достатъчно е да вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и да извадите числото отляво от числото отдясно. Ще изглежда така:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Както виждаме, и в трите случая разликата всъщност се оказа отрицателна. И сега, когато повече или по-малко разбрахме дефинициите, е време да разберем как се описват прогресиите и какви свойства имат.
Условия за прогресиране и формула за повторение
Тъй като елементите на нашите последователности не могат да се разменят, те могат да бъдат номерирани:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десен\)\]
Отделните елементи на това множество се наричат членове на прогресия. Те се обозначават с цифра: първи член, втори член и т.н.
Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани с формулата:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Дясна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Накратко, за да намерите $n$-тия член на една прогресия, трябва да знаете $n-1$-тия член и разликата $d$. Тази формула се нарича повтаряща се, защото с нейна помощ можете да намерите всяко число само като знаете предишното (и всъщност всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-хитра формула, която намалява всички изчисления до първия член и разликата:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Вероятно вече сте срещали тази формула. Обичат да го дават във всякакви справочници и книги с решения. И във всеки разумен учебник по математика е един от първите.
Предлагам ви обаче да практикувате малко.
Задача No1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.
Решение. И така, знаем първия член $((a)_(1))=8$ и разликата на прогресията $d=-5$. Нека използваме току-що дадената формула и заместваме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \край (подравняване)\]
Отговор: (8; 3; −2)
това е! Моля, обърнете внимание: нашата прогресия намалява.
Разбира се, $n=1$ не може да бъде заменено - първият член вече ни е известен. Въпреки това, замествайки единица, ние се убедихме, че дори за първия член нашата формула работи. В други случаи всичко се свеждаше до банална аритметика.
Задача No2. Запишете първите три члена на аритметична прогресия, ако седмият член е равен на −40, а седемнадесетият член е равен на −50.
Решение. Нека напишем условието на проблема с познати термини:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \право.\]
Слагам знака система, защото тези изисквания трябва да се изпълняват едновременно. Сега нека отбележим, че ако извадим първото от второто уравнение (имаме право да направим това, тъй като имаме система), получаваме това:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \край (подравняване)\]
Ето колко лесно е да откриете разликата в прогресията! Остава само да замените намереното число в някое от уравненията на системата. Например в първия:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \край (матрица)\]
Сега, знаейки първия член и разликата, остава да намерим втория и третия член:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \край (подравняване)\]
Готови! Проблемът е решен.
Отговор: (−34; −35; −36)
Забележете интересното свойство на прогресията, което открихме: ако вземем $n$-тия и $m$-тия член и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, умножена по $n-m$ числото:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решаването на много проблеми с прогресията. тук ярко чепример:
Задача No3. Петият член на аритметична прогресия е 8,4, а десетият член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.
Решение. Тъй като $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и трябва да намерим $((a)_(15))$, отбелязваме следното:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \край (подравняване)\]
Но по условие $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, следователно $5d=6$, от което имаме:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \край (подравняване)\]
Отговор: 20.4
това е! Не беше необходимо да създаваме никакви системи от уравнения и да изчисляваме първия член и разликата - всичко беше решено само с няколко реда.
Сега нека разгледаме друг вид проблем - търсене на отрицателни и положителни членове на прогресия. Не е тайна, че ако една прогресия се увеличава и първият й член е отрицателен, тогава рано или късно в нея ще се появят положителни членове. И обратното: условията на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.
В същото време не винаги е възможно да се намери този момент „челно“ чрез последователно преминаване през елементите. Често задачите са написани по такъв начин, че без да знаем формулите, изчисленията биха отнели няколко листа хартия - просто щяхме да заспим, докато намерим отговора. Затова нека се опитаме да разрешим тези проблеми по-бързо.
Задача No4. Колко отрицателни члена има в аритметичната прогресия −38,5; −35,8; ...?
Решение. И така, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, откъдето веднага намираме разликата:
Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Въпросът е само кога ще стане това.
Нека се опитаме да разберем колко време (т.е. до какво естествено число $n$) остава отрицателността на членовете:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \вдясно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Стрелка надясно ((n)_(\max ))=15. \\ \край (подравняване)\]
Последният ред изисква известно обяснение. Така че знаем, че $n \lt 15\frac(7)(27)$. От друга страна, ние се задоволяваме само с цели стойности на числото (още повече: $n\in \mathbb(N)$), така че най-голямото допустимо число е точно $n=15$ и в никакъв случай 16 .
Задача No5. В аритметична прогресия $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Намерете номер едно положителен сроктази прогресия.
Това би бил точно същият проблем като предишния, но не знаем $((a)_(1))$. Но съседните членове са известни: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така че можем лесно да намерим разликата в прогресията:
В допълнение, нека се опитаме да изразим петия член чрез първия и разликата, използвайки стандартната формула:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \край (подравняване)\]
Сега продължаваме по аналогия с предишна задача. Нека разберем в кой момент от нашата последователност ще се появят положителни числа:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Дясна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \край (подравняване)\]
минимум цяло число решениеот това неравенство е числото 56.
Моля, обърнете внимание: в последна задачавсичко се сведе до строго неравенство, така че опцията $n=55$ няма да ни подхожда.
Сега, след като се научихме как да решаваме прости задачи, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека проучим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което ще ни спести много време и неравни клетки в бъдеще.
Средно аритметично и равни отстъпи
Нека разгледаме няколко последователни члена на нарастващата аритметична прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$. Нека се опитаме да ги отбележим на числовата ос:
Членове на аритметична прогресия на числовата осСпециално маркирах произволни термини $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не някакви $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ и др. Тъй като правилото, за което ще ви разкажа сега, работи по същия начин за всички „сегменти“.
А правилото е много просто. Да си припомним формула за повторениеи го запишете за всички маркирани членове:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \край (подравняване)\]
Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \край (подравняване)\]
Какво от това? И фактът, че термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на същото разстояние от $((a)_(n)) $ . И това разстояние е равно на $d$. Същото може да се каже и за термините $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - те също са премахнати от $((a)_(n) )$ на същото разстояние, равно на $2d$. Можем да продължим безкрайно, но смисълът е добре илюстриран от снимката
Условията на прогресията са на същото разстояние от центъра Какво означава това за нас? Това означава, че $((a)_(n))$ може да бъде намерено, ако съседните числа са известни:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Изведохме отлично твърдение: всеки член от аритметична прогресия е равен на средноаритметичното на съседните му членове! Нещо повече: можем да се отдръпнем от нашия $((a)_(n))$ наляво и надясно не с една стъпка, а с $k$ стъпки - и формулата пак ще бъде правилна:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Тези. можем лесно да намерим някои $((a)_(150))$, ако знаем $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, защото $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много проблеми са специално пригодени да използват средноаритметичното. Разгледайте:
Задача No6. Намерете всички стойности на $x$, за които числата $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ са последователни членове на аритметична прогресия (в посочения ред).
Решение. защото определени числаса членове на прогресия, за тях е изпълнено средноаритметичното условие: централният елемент $x+1$ може да бъде изразен чрез съседни елементи:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \край (подравняване)\]
Получи се класически квадратно уравнение. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ са отговорите.
Отговор: −3; 2.
Задача No7. Намерете стойностите на $$, за които числата $-1;4-3;(()^(2))+1$ образуват аритметична прогресия (в този ред).
Решение. Нека изразим отново среден членчрез средноаритметичното на съседни членове:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \край (подравняване)\]
Отново квадратно уравнение. И отново има два корена: $x=6$ и $x=1$.
Отговор: 1; 6.
Ако в процеса на решаване на проблем излезете с някои брутални числа или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има чудесна техника, която ви позволява да проверите: дали сме решили проблема правилно?
Да кажем, че в задача № 6 получихме отговори −3 и 2. Как можем да проверим дали тези отговори са верни? Нека просто ги включим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$, които трябва да образуват аритметична прогресия. Нека заместим $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \край (подравняване)\]
Получихме числата −54; −2; 50, които се различават с 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и за $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \край (подравняване)\]
Отново прогресия, но с разлика от 27. Така задачата е решена правилно. Тези, които желаят, могат сами да проверят втория проблем, но веднага ще кажа: там също всичко е правилно.
Като цяло, докато решавахме последните проблеми, се натъкнахме на друг интересен факт, което също трябва да се помни:
Ако три числа са такива, че второто е средното първо аритметикаи последно, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.
В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „проектираме“ необходими прогресии, въз основа на условията на проблема. Но преди да се захванем с такова „строителство“, трябва да обърнем внимание на още един факт, който пряко следва от вече обсъденото.
Групиране и сумиране на елементи
Нека се върнем отново към числовата ос. Нека отбележим там няколко члена на прогресията, между които може би. струва много други членове:
На числовата ос са отбелязани 6 елементаНека се опитаме да изразим „лявата опашка“ чрез $((a)_(n))$ и $d$, а „дясната опашка“ чрез $((a)_(k))$ и $d$. Много е просто:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \край (подравняване)\]
Сега имайте предвид, че следните суми са равни:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \край (подравняване)\]
Просто казано, ако вземем за начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакво число $S$, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни страни(едни към други или обратно, за да се отдалечат), след това сумите на елементите, на които ще се натъкнем също ще са равни$S$. Това може да се представи най-ясно графично:
Еднаквите вдлъбнатини дават равни количества разбиране този фактще ни позволи да решим проблемите в фундаментално по-голяма степен високо нивотрудности от тези, които разгледахме по-горе. Например тези:
Задача No8. Определете разликата на аритметична прогресия, в която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е възможно най-малкото.
Решение. Нека запишем всичко, което знаем:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \край (подравняване)\]
Така че не знаем разликата в прогресията $d$. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да бъде пренаписан както следва:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \край (подравняване)\]
За тези в резервоара: извадих го общ множител 11 от втората скоба. Така желаният продукт е квадратична функция по отношение на променливата $d$. Следователно, разгледайте функцията $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, т.к. ако разширим скобите, получаваме:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Както можете да видите, коефициентът на най-високия термин е 11 - това е положително число, така че наистина имаме работа с парабола с разклонения нагоре:
график квадратична функция- парабола
Моля, обърнете внимание: минимална стойносттази парабола взема $((d)_(0))$ в своя връх с абсцисата. Разбира се, можем да изчислим тази абциса, използвайки стандартната схема (има формулата $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било много по-разумно да отбележим че желаният връх лежи на осесиметрията на параболата, следователно точката $((d)_(0))$ е на равно разстояние от корените на уравнението $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \край (подравняване)\]
Ето защо не бързах особено да отварям скобите: в оригиналната си форма корените бяха много, много лесни за намиране. Следователно абсцисата е равна на средната стойност аритметични числа−66 и −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Какво ни дава откритото число? С него необходимият продукт отнема най-малка стойност(между другото, никога не сме изчислявали $((y)_(\min ))$ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)
Отговор: −36
Задача No9. Между числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ вмъкнете три числа, така че заедно с тези числа да образуват аритметична прогресия.
Решение. По същество трябва да направим поредица от пет числа, като първото и последното число вече са известни. Нека означим липсващите числа с променливите $x$, $y$ и $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Обърнете внимание, че числото $y$ е „средата“ на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $x$ и $z$ и от числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1)( 6)$. И ако от числата $x$ и $z$ сме в в моментане можем да получим $y$, тогава ситуацията е различна с краищата на прогресията. Нека си спомним средното аритметично:
Сега, знаейки $y$, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $x$ се намира между числата $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$, които току-що намерихме. Ето защо
Използвайки подобни разсъждения, намираме оставащото число:
Готови! Намерихме и трите числа. Нека ги запишем в отговора в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.
Отговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Задача No10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с тези числа образуват аритметична прогресия, ако знаете, че сборът на първото, второто и последното от въведените числа е 56.
Решение. Още повече трудна задача, който обаче се решава по същата схема като предходните - чрез средноаритметичното. Проблемът е, че не знаем точно колко числа трябва да бъдат вмъкнати. Затова нека приемем за категоричност, че след вмъкването на всичко ще има точно $n$ числа, като първото от тях е 2, а последното е 42. В този случай търсената аритметична прогресия може да се представи във вида:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Имайте предвид обаче, че числата $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се получават от числата 2 и 42 в краищата с една стъпка едно към друго, т.е. към центъра на последователността. И това означава, че
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Но тогава изразът, написан по-горе, може да бъде пренаписан, както следва:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \край (подравняване)\]
Познавайки $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, можем лесно да намерим разликата в прогресията:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Дясна стрелка d=5. \\ \край (подравняване)\]
Всичко, което остава, е да намерим останалите термини:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \край (подравняване)\]
Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на редицата - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Текстови задачи с прогресии
В заключение бих искал да разгледам няколко относително прости задачи. Е, толкова просто: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са прочели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат трудни. Въпреки това, това са видовете проблеми, които се появяват в OGE и Единния държавен изпит по математика, така че ви препоръчвам да се запознаете с тях.
Задача No11. Екипът е произвел 62 части през януари, като през всеки следващ месец са произвели по 14 части повече от предходния. Колко части е произвел екипът през ноември?
Решение. Очевидно броят на частите, изброени по месеци, ще представлява нарастваща аритметична прогресия. Освен това:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Следователно през ноември ще бъдат произведени 202 части.
Задача No12. Книговезката работилница е подвързала през януари 216 книги, като през всеки следващ месец е подвързвала с по 4 книги повече от предходния. Колко книги подвърза работилницата през декември?
Решение. Всичко е същото:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Декември е последният, 12-ти месец на годината, така че търсим $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Това е отговорът – през декември ще бъдат подвързани 260 книги.
Е, ако сте прочели дотук, бързам да ви поздравя: завършихте успешно „курса за млад боец“ по аритметични прогресии. Можете спокойно да преминете към следващия урок, където ще изучаваме формулата за сбора на прогресията, както и важни и много полезни последствияот нея.
Концепция числова последователностпредполага съответствието на всяко естествено число с някои действителна стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства– прогресия. IN последният случайвсеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.
Аритметична прогресия - последователност числови стойности, в което съседните му членове се различават един от друг по същия номер (подобен имотвсички елементи от серията, започвайки от 2-ри, имат). Този номер– разликата между предишния и следващия член е постоянна и се нарича прогресивна разлика.
Разлика в прогресията: определение
Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към множеството естествени числа N. Аритметичната прогресия, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.
d = a(j) – a(j-1).
Акцент:
- Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Прогресия на разликата и нейните произволни елементи
Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Разлика в прогресията и нейния първи член
Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.
Прогресивна разлика и нейната сума
Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. Да се изчисли обща стойностот първите j елемента, използвайте подходящата формула:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.