За да се изчислете сумата на серия, просто трябва да добавите елементите на реда определен брой пъти. Например:
В примера по-горе това беше направено много просто, тъй като трябваше да сумираме крайно числоведнъж. Но какво ще стане, ако горната граница на сумиране е безкрайност? Например, ако трябва да намерим сумата от следните серии:
По аналогия с предишния пример, можем да запишем тази сума така:
Но какво да правим след това?! На този етап е необходимо да се въведе концепцията частична сумаред. така че частична сума на серията(означен като S n) е сумата от първите n члена на серията. Тези. в нашия случай:
Тогава сумата от оригиналната серия може да се изчисли като границата на частичната сума:
По този начин, за изчисляване на сумата от серия, е необходимо по някакъв начин да се намери израз за частичната сума на реда (S n ). В нашата конкретен случайредицата е намаляваща геометрична прогресия със знаменател 1/3. Както знаем, сумата от първите n елемента геометрична прогресияизчислено по формулата:
тук b 1 е първият елемент на геометричната прогресия (в нашия случай е 1), а q е знаменателят на прогресията (в нашия случай 1/3). Следователно, частичната сума S n за нашата серия е равна на:
Тогава сумата от нашата серия (S) според дефиницията, дадена по-горе, е равна на:
Обсъдените по-горе примери са доста прости. Обикновено изчисляването на сбора на ред е много по-трудно и най-голямата трудност е намирането на частичния сбор на реда. Показани по-долу онлайн калкулатор, базиран на системата Wolfram Alpha, ви позволява да изчислите сумата на доста сложни серии. Освен това, ако калкулаторът не може да намери сумата на серията, вероятно е това тази серияе разнопосочна (в този случай калкулаторът показва съобщение като "сумата се разминава"), т.е. Този калкулатор също косвено помага да се добие представа за конвергенцията на сериите.
За да намерите сумата на вашата серия, трябва да посочите променливата на серията, долната и горната граница на сумата, както и израза за n-тия член на серията (т.е. действителния израз за самата серия) .
Някои задачи по физика и математика могат да бъдат решени с помощта на свойствата числова серия. Двете най-прости числови последователности, преподавани в училищата, са алгебрична и геометрична. В тази статия ще разгледаме по-отблизо въпроса как да намерим сумата безкрайна прогресиягеометрично намаляване.
Геометрична прогресия
Тези думи означават следната серия реални числа, чиито елементи a i отговарят на израза:
Тук i е номерът на елемента в реда, r е постоянно число, което се нарича знаменател.
Тази дефиниция показва, че като знаете всеки член на прогресията и нейния знаменател, можете да възстановите цялата поредица от числа. Например, ако 10-ият елемент е известен, тогава разделянето му на r ще получи 9-ия елемент, след това разделянето му отново ще получи 8-ия и така нататък. Тези просто разсъждениени позволяват да напишем израз, който е валиден за разглежданата серия от числа:
Пример за прогресия със знаменател 2 би била следната серия:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Ако знаменателят е равен на -2, тогава се получава напълно различна серия:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Геометричната прогресия е много по-бърза от алгебричната прогресия, тоест нейните членове нарастват бързо и намаляват бързо.
Сума от i условия на прогресия
За решаване практически проблемичесто трябва да се изчисли сумата от няколко елемента от разглеждания числова последователност. За случая е вярно следната формула:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Вижда се, че за да изчислите сумата от i членове, трябва да знаете само две числа: a 1 и r, което е логично, тъй като те еднозначно определят цялата последователност.
Намаляваща редица и сумата от нейните членове
Сега нека помислим специален случай. Ще приемем, че модулът на знаменателя r не надвишава единица, тоест -1 Намаляваща геометрична прогресия е интересна за разглеждане, тъй като безкрайният сбор от нейните членове клони към крайно реално число. Нека получим формулата за сбора. Това е лесно да се направи, ако напишете израза за S i, даден в предишния параграф. Ние имаме: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Нека разгледаме случая, когато i->∞. Тъй като модулът на знаменателя е по-малък от 1, повишаването му на безкрайна степен ще даде нула. Това може да се провери с помощта на примера на r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. В резултат на това сумата от членовете на безкрайна намаляваща геометрична прогресия ще приеме формата: Тази формула често се използва на практика, например за изчисляване на площите на фигури. Използва се и за разрешаване на парадокса на Зенон от Елея с костенурката и Ахил. Очевидно е, че разглеждането на сумата от безкрайна геометрична нарастваща прогресия (r>1) ще доведе до резултата S ∞ = +∞. Нека покажем как да приложим горните формули, използвайки пример за решаване на задача. Известно е, че сборът на една безкрайна геометрична прогресия е 11. Освен това нейният 7-ми член е 6 пъти по-малък от третия член. Кой е първият елемент за тази редица от числа? Първо, нека напишем два израза, за да определим 7-ия и 3-тия елемент. Получаваме: Разделяйки първия израз на втория и изразявайки знаменателя, имаме: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Тъй като съотношението на седмия и третия член е дадено в изложението на проблема, можете да го замените и да намерите r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Изчислихме r до пет знака след десетичната запетая. Тъй като получената стойност е по-малка от единица, прогресията е намаляваща, което оправдава използването на формулата за нейния безкраен сбор. Нека запишем израза за първия член по отношение на сумата S ∞: Заменяме известните стойности в тази формула и получаваме отговора: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Зенон от Елея е известен гръцки философ, живял през 5 век пр.н.е. д. До наши дни са достигнали редица нейни апогеи или парадокси, в които е формулиран проблемът за безкрайно голямото и безкрайно малкото в математиката. Един от известните парадокси на Зенон е съревнованието между Ахил и костенурката. Зенон вярваше, че ако Ахил даде известно предимство на костенурката в разстоянието, той никога няма да може да я настигне. Например, нека Ахил бяга 10 пъти по-бързо от пълзящо животно, което например е на 100 метра пред него. Когато воинът пробяга 100 метра, костенурката изпълзи на 10 метра. След като избяга отново 10 метра, Ахил вижда, че костенурката пропълзя още 1 метър. Можете да спорите по този начин до безкрайност, разстоянието между конкурентите наистина ще намалее, но костенурката винаги ще бъде отпред. Доведоха Зенон до заключението, че движението не съществува и всички околни движения на обекти са илюзия. Разбира се, древногръцкият философ не е прав. Решението на парадокса се крие във факта, че безкраен сбор от постоянно намаляващи сегменти клони към краен брой. В горния случай за разстоянието, което Ахил пробяга, получаваме: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Прилагайки формулата за сумата на безкрайна геометрична прогресия, получаваме: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метра Този резултат показва, че Ахил ще настигне костенурката, когато тя пропълзи само 11,111 метра. Древните гърци не са знаели как да работят с безкрайни количества в математиката. Този парадокс обаче може да бъде разрешен, ако обърнем внимание не на безкрайния брой пропуски, които Ахил трябва да преодолее, а на крайния брой стъпки, необходими на бегача, за да достигне целта си. Дефиниции и свойства на безкрайно малки и безкрайно големи функции в точка. Доказателства на свойства и теореми. Връзка между безкрайно малки и безкрайно големи функции. Нека x 0
е крайна или безкрайна точка: ∞, -∞ или +∞. Дефиниция на безкрайно малка функция Дефиниция на безкрайно голяма функция Свойство на сбора, разликата и произведението на безкрайно малки функции Сбор, разлика и произведениекраен брой безкрайно малки функции като x → x 0
е безкрайно малка функция при x → x 0
.
Това свойство е пряко следствие от аритметичните свойства на границите на функция. Теорема за произведението на ограничена функция и безкрайно малка Продукт на ограничена функциявърху някаква пунктирана околност на точка x 0
, до безкрайно малки, като x → x 0
, е безкрайно малка функция при x → x 0
.
Свойството за представяне на функция като сума от константа и безкрайно малка функция За да може функцията f (х)имаше крайна граница, необходимо и достатъчно е, че Теорема за сумата на ограничена функция и безкрайно голяма Сумата или разликата на ограничена функция в някаква пунктирана околност на точката x 0
, и безкрайно голяма функция, като x → x 0
, е безкрайно голяма функция при x → x 0
.
Теорема за разделянето на ограничена функция на безкрайно голяма Ако функцията f (х)е безкрайно голяма при x → x 0
, и функцията g (х)- е ограничено в някаква пунктирана околност на точка x 0
, Това Теорема за разделянето на функция, ограничена отдолу, на безкрайно малка Ако функцията, в някаква пунктирана околност на точката, е ограничена отдолу с положително число по абсолютна стойност: Свойство на неравенствата на безкрайно големи функции Ако функцията е безкрайно голяма при: Това свойство има два специални случая. Нека в някаква пунктирана околност на точката функциите и удовлетворяват неравенството: От двете предишни свойства следва връзката между безкрайно големи и безкрайно малки функции. Ако една функция е безкрайно голяма при , тогава функцията е безкрайно малка при . Ако една функция е безкрайно малка за , и , тогава функцията е безкрайно голяма за . Връзката между безкрайно малка и безкрайно голяма функция може да се изрази символично: Ако една безкрайно малка функция има определен знак при , т.е. тя е положителна (или отрицателна) в някакъв пунктиран квартал на точката , тогава можем да я напишем така: Тогава символната връзка между безкрайно малки и безкрайно големи функции може да се допълни със следните отношения: Допълнителни формули, свързани със символи за безкрайност, могат да бъдат намерени на страницата Нека функцията е безкрайно голяма за: Нека вземем произволна последователност, сходна към . Тогава Тъй като последователността е произволна, сходна към , тогава, по дефиницията на границата на функция според Хайне, Имотът е доказан. Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г. Нека сега разгледаме въпроса за сумирането на безкрайна геометрична прогресия. Нека наречем частичната сума на дадена безкрайна прогресия сумата от нейните първи членове. Нека означим частичната сума със символа За всяка безкрайна прогресия може да се състави (също безкрайна) поредица от неговите частични суми В този случай числото S, т.е. границата на частичните суми на една прогресия, се нарича сума на безкрайна прогресия. Ще докажем, че една безкрайна намаляваща геометрична прогресия винаги има сума и ще изведем формула за тази сума (можем също да покажем, че ако една безкрайна прогресия няма сума, тя не съществува). Нека запишем израза за частичната сума като сумата от членовете на прогресията съгласно формула (91.1) и разгледаме границата на частичната сума при От теорема 89 е известно, че за намаляваща прогресия; следователно, прилагайки теоремата за границата на разликата, намираме (тук също се използва правилото: постоянният фактор се взема отвъд граничния знак). Съществуването е доказано, като в същото време се получава формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия: Равенството (92.1) също може да бъде записано във формата Тук може да изглежда парадоксално, че на сумата от безкраен брой членове се приписва много определена крайна стойност. Може да се даде ясна илюстрация, за да се обясни тази ситуация. Да разгледаме квадрат със страна равна на едно (фиг. 72). Разделете този квадрат с хоризонтална линия на две равни части и прикрепете горната част към долната, така че да се образува правоъгълник със страни 2 и . След това отново ще разделим дясната половина на този правоъгълник наполовина с хоризонтална линия и ще прикрепим горната част към долната (както е показано на фиг. 72). Продължавайки този процес, ние непрекъснато трансформираме оригиналния квадрат с площ, равна на 1, във фигури с еднакъв размер (приемайки формата на стълбище с изтънени стъпала). С безкрайното продължение на този процес, цялата площ на квадрата се разлага на безкраен брой членове - площите на правоъгълниците с основи, равни на 1, и площите на правоъгълниците точно образуват безкрайна намаляваща прогресия, нейната сума т.е., както може да се очаква, равна на площта на квадрата. Пример. Намерете сумите на следните безкрайни прогресии: Решение, а) Забелязваме, че тази прогресия Следователно, използвайки формула (92.2), намираме б) Тук това означава, че използвайки същата формула (92.2), имаме в) Откриваме, че следователно тази прогресия няма сбор. В параграф 5 беше показано приложението на формулата за сумата от членовете на безкрайно намаляваща прогресия към преобразуването на периодична десетична дроб в обикновена дроб. 1. Сборът на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 3/5, а сборът на първите четири члена е 13/27. Намерете първия член и знаменателя на прогресията. 2. Намерете четири числа, които образуват променлива геометрична прогресия, в която вторият член е по-малък от първия с 35, а третият е по-голям от четвъртия с 560. 3. Покажете, че ако последователността образува безкрайно намаляваща геометрична прогресия, след това последователността за всеки, той образува безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Ще бъде ли вярно това твърдение кога Изведете формула за произведението на членовете на геометрична прогресия. Входно ниво И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например: Можете да пишете произволни числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност: Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер. Например за нашата последователност: Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също. Числото с числото се нарича n-ти член на редицата. Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: . В нашия случай: Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия. Още в древни времена италианският математик монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи) се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? В своите трудове Фибоначи доказва, че такава система от тегла е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно вече сте чували и имате поне общо разбиране. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална? В момента в житейската практика геометричната прогресия се проявява при инвестиране на пари в банка, когато размерът на лихвата се начислява върху сумата, натрупана в сметката за предходния период. С други думи, ако поставите пари на срочен депозит в спестовна банка, тогава след една година депозитът ще се увеличи с първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената по това време сума отново ще бъде умножена по и т.н. Подобна ситуация е описана в задачи за изчисляване на т.нар сложна лихва- процентът се взема всеки път от сумата, която е в сметката, като се вземат предвид предишни лихви. Ще говорим за тези задачи малко по-късно. Има много по-прости случаи, в които се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази друг човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на заразата е човек, а той от своя страна зарази друг... и така нататък. . Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление, основано на свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем. Да кажем, че имаме числова последователност: Веднага ще отговорите, че това е лесно и името на такава редица е аритметична прогресия с разликата на нейните членове. Какво ще кажете за това: Ако извадите предишното от следващото число, ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и така нататък), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното! Този тип числова последователност се нарича геометрична прогресияи е обозначен. Геометричната прогресия () е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия. Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са случайни. Да приемем, че няма такива и първият член все още е равен и q е равно на, хмм.. нека бъде, тогава се оказва: Съгласете се, че това вече не е прогресия. Както разбирате, ще получим същите резултати, ако има число, различно от нула, a. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или само нули, или едно число, а всички останали са нули. Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометричната прогресия, тоест o. Нека повторим: - това е числото колко пъти се променя всеки следващ член?геометрична прогресия. Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе). Да приемем, че нашата е положителна. Нека в нашия случай, a. Каква е стойността на втория член и? Можете лесно да отговорите на това: точно така Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни. Ами ако е отрицателен? Например, a. Каква е стойността на втория член и? Това е съвсем друга история Опитайте се да преброите условията на тази прогресия. Колко получихте? имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци за нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема. Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична прогресия: Разбра ли? Нека сравним нашите отговори: Нека се върнем към последната ни прогресия и се опитаме да намерим нейния член, точно както в аритметичната. Както може би се досещате, има два начина да го намерите. Ние последователно умножаваме всеки член по. И така, членът на описаната геометрична прогресия е равен на. Както вече се досетихте, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометричната прогресия. Или вече сте го разработили за себе си, описвайки как да намерите члена стъпка по стъпка? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения. Нека илюстрираме това с примера за намиране на тия член на тази прогресия: С други думи: Намерете сами стойността на члена на дадената геометрична прогресия. Подейства ли? Нека сравним нашите отговори: Моля, имайте предвид, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия. Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете това сами, като изчислите членовете на геометричната прогресия със следните условия: , a. броихте ли Нека сравним резултатите: Съгласете се, че би било възможно да се намери член на прогресия по същия начин като член, но има възможност за неправилно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометричната прогресия, тогава какво може да бъде по-просто от използването на „скъсената“ част от формулата. Съвсем наскоро говорихме за факта, че може да бъде или по-голямо, или по-малко от нула, но има специални стойности, за които геометричната прогресия се нарича безкрайно намаляваща. Защо мислите, че е дадено това име? Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния с коефициент, но ще има ли някакво число? Веднага ще отговорите - „не“. Затова е безкрайно намаляваща – намалява и намалява, но никога не става нула. За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма: На графиките, от които сме свикнали да начертаваме зависимостта, следователно: Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия като , и обозначава поредния номер не като, а като. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика. виждате ли Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и: Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни графика? успяхте ли Ето графиката, която измислих: Сега, след като сте разбрали напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство. Спомняте ли си свойствата на членовете на аритметична прогресия? Да, да, как да намерите стойността на определен брой от прогресията, когато има предишни и последващи стойности на условията на тази прогресия. помниш ли Ето го: Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами. Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намерим? С аритметичната прогресия е лесно и просто, но какво да кажем тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да запишете всяка стойност, дадена ни според формулата. Може да попитате какво трябва да направим по въпроса сега? Да, много просто. Първо, нека изобразим тези формули в картина и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойност. Нека се абстрахираме от числата, които ни се дават, нека се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формулата. Трябва да намерим стойността, маркирана в оранжево, като знаем термините, съседни на нея. Нека се опитаме да извършим различни действия с тях, в резултат на което можем да получим. Допълнение. От този израз, както виждате, не можем да го изразим по никакъв начин, затова ще опитаме друг вариант - изваждане. Изваждане. Както можете да видите, ние също не можем да изразим това, затова нека се опитаме да умножим тези изрази един по друг. Умножение. Сега погледнете внимателно какво имаме, като умножим членовете на дадената ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери: Познайте за какво говоря? Правилно, за да намерим, трябва да вземем корен квадратен от числата на геометричната прогресия, съседни на желаното, умножени едно по друго: Ето го. Вие сами сте извели свойството на геометричната прогресия. Опитайте се да напишете тази формула в общ вид. проработи ли Забравихте условието за? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами. Какво ще стане в този случай? Точно така, пълни глупости, защото формулата изглежда така: Съответно, не забравяйте това ограничение. Сега нека изчислим на какво се равнява Правилният отговор е! Ако не сте забравили втората възможна стойност по време на изчислението, значи сте страхотни и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво се обсъжда по-долу и обърнете внимание защо и двата корена трябва да бъдат записани в отговорът. Нека начертаем и двете си геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване: За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали всички нейни дадени членове са еднакви? Изчислете q за първия и втория случай. Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения термин зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус. Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и Сравнете вашите отговори с правилните: Какво мислите, ако ни бяха дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на равно разстояние от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или опровергаете тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както сте направили, когато първоначално сте извели формулата, при. Сега погледнете внимателно отново. От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометричната прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят. Така нашата първоначална формула приема формата: Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е, че е еднакво и за двете дадени числа. Практикувайте с конкретни примери, само бъдете изключително внимателни! Решихте ли? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка. Нека сравним резултатите. В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности: В третия случай, при внимателно разглеждане на серийните номера на числата, които са ни дадени, ние разбираме, че те не са на еднакво разстояние от номера, който търсим: това е предишният номер, но е премахнат на позиция, така че е не е възможно да се приложи формулата. Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем от какво се състои всяко дадено ни число и числото, което търсим. Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях? Предлагам да разделите на. Получаваме: Заменяме нашите данни във формулата: Следващата стъпка, която можем да намерим е - за това трябва да вземем кубичен корен от полученото число. Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме го, но трябва да го намерим, а то от своя страна е равно на: Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата: Нашият отговор: . Опитайте сами да разрешите друг подобен проблем: Колко получихте? Имам - . Както можете да видите, по същество имате нужда запомни само една формула- . Всички останали можете да изтеглите сами без никакви затруднения по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво е равно всяко от нейните числа, съгласно описаната по-горе формула. Сега нека разгледаме формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал: За да изведете формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, умножете всички части на горното уравнение по. Получаваме: Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например, и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-вото от 2-то уравнение. Какво получи? Сега изразете члена на геометричната прогресия чрез формулата и заместете получения израз в нашата последна формула: Групирайте израза. Трябва да получите: Всичко, което остава да се направи, е да се изрази: Съответно в този случай. какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. каква е тя Поредица от еднакви числа е правилна, така че формулата ще изглежда така: Има много легенди както за аритметичната, така и за геометричната прогресия. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха. Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и му наредил да поиска от него всичко, което поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание. Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с безпрецедентната скромност на молбата си. Той поиска да даде житно зърно за първото поле на шахматната дъска, житно зърно за второто, житно зърно за третото, четвъртото и т.н. Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за щедростта на краля, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички квадратчета на дъската. И сега въпросът: използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет? Да започнем да разсъждаваме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първото поле на шахматната дъска, за второто, за третото, за четвъртото и т.н., тогава виждаме, че задачата е за геометрична прогресия. На какво се равнява в този случай? Общо полета на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, всичко, което остава, е да ги включим във формулата и да изчислим. За да си представим поне приблизително „мащаба“ на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента: Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какво число ще получите в крайна сметка, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде. квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди. Пфу) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете колко голям хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно. Ако кралят беше силен в математиката, той можеше да покани самия учен да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилиони, зърната ще трябва да се броят през целия му живот. Сега нека решим проста задача, включваща сумата от членовете на геометрична прогресия. И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. Членът на геометричната прогресия са двамата души, които е заразил в първия ден от пристигането си. Общият сбор от условията за прогресиране е равен на броя на учениците от 5A. Съответно говорим за прогресия, при която: Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия: Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. проработи ли Вижте как изглежда при мен: Пресметнете сами за колко дни ще се разболеят учениците от грип, ако всеки зарази по един човек, а в класа има само един човек. Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден. Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек участва във финансова пирамида, в която се дават пари, ако доведете други двама участници, тогава лицето (или като цяло) няма да доведе никого, съответно ще загуби всичко, което е инвестирало в тази финансова измама. Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален тип - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно. И така, първо, нека да погледнем отново този чертеж на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример: Сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано: Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест при, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна. - формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброй членове. Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или. Сега нека практикуваме. Надявам се, че сте били изключително внимателни. Нека сравним нашите отговори: Вече знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-честите задачи с геометрична прогресия, срещани на изпита, са задачи за изчисляване на сложна лихва. Това са тези, за които ще говорим. Вероятно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво означава? Ако не, нека го разберем, защото след като разберете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него. Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условия за депозити: това включва срок, допълнителни услуги и лихва с два различни начина за изчисляване - прост и сложен. СЪС проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако кажем, че депозираме 100 рубли за една година, те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли. Сложна лихва- това е вариант, в който се среща капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващо изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Писането с главни букви не се случва постоянно, а с известна честота. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година. Да приемем, че депозираме същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. какво правим Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го разберем стъпка по стъпка. Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест: Съгласни ли сте? Можем да го извадим от скоби и тогава получаваме: Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на това, което написахме в началото. Всичко, което остава, е да разбера процентите В изложението на проблема ни се казва за годишни ставки. Както знаете, ние не умножаваме по - ние преобразуваме процентите в десетични дроби, тоест: нали Сега може да попитате откъде идва числото? Много просто! Разбра ли? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно. браво! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка през втория месец, като се има предвид, че върху натрупаната сума на депозита се начислява лихва. Или с други думи: Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи каква сума пари ще получим в края на месеца. Както можете да видите, ако вложите пари в банка за една година при проста лихва, ще получите рубли, а ако при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша: Нека разгледаме друг тип задачи, включващи сложна лихва. След това, което сте разбрали, ще ви е елементарно. И така, задачата: Компанията Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с капитал в долари. Всяка година от 2001 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма Звезда в края на 2003 г., ако печалбите не бяха изтеглени от обращение? Капитал на фирма Звезда през 2000г. Или можем да напишем накратко: За нашия случай: 2000, 2001, 2002 и 2003 г. Отговори: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия. 2) Уравнението на членовете на геометричната прогресия е . 3) може да приема всякакви стойности с изключение на и. 4) , с - свойство на геометрична прогресия (съседни членове) или Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора. например, 5) Сумата от членовете на геометричната прогресия се изчислява по формулата: Ако прогресията е безкрайно намаляваща, тогава: ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове. 6) Проблемите със сложната лихва също се изчисляват по формулата на th член на геометрична прогресия, при условие че средствата не са изтеглени от обращение: Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия. Знаменател на геометричната прогресияможе да приема всякаква стойност освен и. Уравнение на членовете на геометричната прогресия - . Сума от членовете на геометрична прогресияизчислено по формулата:
Задачата за намиране на първия член на прогресия
Известният парадокс на Зенон с бързия Ахил и бавната костенурка
Дефиниции на безкрайно малка и безкрайно голяма функция
Функция α (х)наречен безкрайно малъккато х клони към х 0
0
, и е равно на нула:
.
Функция f (х)наречен безкрайно голямкато х клони към х 0
, ако функцията има граница при x → x 0
, и е равно на безкрайност:
.
Свойства на безкрайно малки функции
,
където е безкрайно малка функция при x → x 0
.
Свойства на безкрайно големи функции
.
,
и функцията е безкрайно малка като x → x 0
:
,
и има пунктирана околност на точката, на която , След това
.
,
и функциите и , в някаква пунктирана околност на точката, удовлетворяват неравенството:
,
тогава функцията също е безкрайно голяма при:
.
.
Тогава ако , тогава и .
Ако , тогава и .Връзка между безкрайно големи и безкрайно малки функции
,
.
.
По същия начин, ако безкрайно голяма функция има определен знак при , тогава те пишат:
, или .
,
,
,
.
"Точки в безкрайността и техните свойства."Доказателство на свойства и теореми
Доказателство на теоремата за произведението на ограничена функция и безкрайно малка
.
И нека има пунктирана околност на точката, на която
при .
при .
Тогава, започвайки от някакво число N, елементите на редицата ще принадлежат към този квартал:
при .
.
Според дефиницията на границата на функция според Хайне,
.
Тогава, по свойството на неравенствата на безкрайно големи последователности,
.
Използвана литература:
Упражнения
Геометрична прогресия. Изчерпателно ръководство с примери (2019)
Числова последователност
Защо е необходима геометричната прогресия и нейната история?
Геометрична прогресия.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
Първо, нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:
Да видим какво имаш. Ето графиката, която измислих:
Свойство на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:
Какво получи?
и съответно:
Дадено: ,
намирам:Сумата от членовете на геометрична прогресия.
вярно
това е:
Ако хамбарът е m висок и m широк, дължината му трябва да се простира с km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.
Ученикът от 5А клас Вася се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама и т.н. В класа има само хора. След колко дни целият клас ще е болен от грип?
или
Задачи за изчисляване на сложна лихва.
Повтарям: изложението на проблема казва за ГОДИШЕНлихва, която се натрупва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно за година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:
успяхте ли Нека сравним резултатите:
Ето какво получих:
направи ли? Да проверим!
- капитал на фирма Звезда 2001г.
- капитал на фирма Звезда 2002г.
- капитал на фирма Звезда 2003г.
Съответно:
рубли
Моля, обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задача за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се изчислява и едва след това преминете към изчисления.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.обучение.
MDM Capital Company:
- се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
Съответно:
рубли
Компания MSK Cash Flows:
- се увеличава с, тоест с пъти.
Съответно:
рубли
рублиНека да обобщим.
, при (равноотдалечени термини)
или
илиГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
или