لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.
أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ...وتستمر المناقشات حتى يومنا هذا، للتوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات المجتمع العلميوحتى الآن لم يكن ذلك ممكنا... لقد شاركنا في دراسة الموضوع التحليل الرياضي، مجموعة النظرية، المادية الجديدة و المقاربات الفلسفية; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.
من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، جهاز رياضيإن استخدام وحدات القياس المتغيرة إما أنه لم يتم تطويره بعد، أو أنه لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. مع النقطة الماديةمن وجهة نظر يبدو الأمر وكأن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.
إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. أخيل يركض مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. ولو طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، لصح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".
كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقى في وحدات ثابتةقياسات الزمن ولا تذهب إلى الكميات المتبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:
في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. للفترة الزمنية القادمة، يساوي الأولسيركض أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.
يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن الأمر ليس كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.
تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:
السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.
في هذا aporia، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة لحظات مختلفةالوقت، لكن لا يمكن تحديد المسافة منهم. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين مأخوذتين منها نقاط مختلفةالفضاء في وقت ما، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية لإجراء العمليات الحسابية، وسوف يساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه انتباه خاص، هو أن النقطتين في الزمان ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.
الأربعاء 4 يوليو 2018
تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.
كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. هذا هو المستوى الببغاوات الناطقةوالقرود المدربة التي ليس لديها أي ذكاء من كلمة "تماما". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.
في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.
مهما اختبأ علماء الرياضيات وراء عبارة "تبا لي، أنا في البيت"، أو بالأحرى "دراسات الرياضيات" المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بالواقع بشكل لا ينفصم. هذا الحبل السري هو المال. تقدم بطلبك النظرية الرياضيةمجموعات لعلماء الرياضيات أنفسهم.
لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ ورقة واحدة من كل كومة ونسلمها إلى عالم الرياضيات" مجموعة رياضيةالرواتب." نوضح للرياضيين أنه لن يحصل على الفواتير المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. وهنا تبدأ المتعة.
بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: هناك عملات معدنية مختلفة كميات مختلفةطين، الهيكل البلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد من نوعه...
والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.
انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.
لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي "لا يمكن تصوره كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".
الأحد 18 مارس 2018
مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.
هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء، الأرقام هي الرموز الرسوميةالتي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.
دعونا نكتشف ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع الأرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.
1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.
2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.
3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.
4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.
مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.
من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذلك، في أنظمة مختلفةفي حساب التفاضل والتكامل، مجموع أرقام نفس العدد سيكون مختلفا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي، فلننظر إلى الرقم 26 من المقالة التي تتحدث عن . لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.
كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.
يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.
يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. بعد كل شيء، لا يمكننا مقارنة الأرقام مع وحدات مختلفةقياسات. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.
ما هي الرياضيات الحقيقية؟ هذا عندما تكون النتيجة عملية حسابيةلا يعتمد على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة ومن يقوم بالإجراء.
أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحبة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟
أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.
إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،
إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:
أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تسمية الدرجات). وأنا لا أعتقد أن هذه الفتاة غبية، لا على دراية بالفيزياء. لديها فقط صورة نمطية مقوسة للإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.
1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.
في الآونة الأخيرة، اتصل بي أحد الطلاب بسؤال حول مقارنة رقمين. كان من الضروري معرفة ما هو أكثر من ذلك: ه إلى قوة بيأو بي إلى السلطة ه؟ مزيج جميل. أليس كذلك؟ لم يتمكن مدرس الرياضيات الذي علمه طوال العام من التعامل مع مثل هذه اللاعقلانية، وكنت دائمًا مهتمًا بتعديل تلك الأرقام التي فشل فيها شخص آخر. يجب أن يكون المعلم قادرًا على حل المشكلات غير القياسية.
كان الطالب يتمتع ببصيرة ثاقبة بشكل مدهش، وأرسل، إلى جانب السؤال، رابطًا لحل وجده على الإنترنت. اتضح أنه معقد للغاية وغير مفهوم بالنسبة له، لأنه استخدم العقار سلسلة أرقام. بالطبع، لا يمكن لخريج الصف الحادي عشر أن يفهمهم، وهكذا بدأ خادمك المتواضع في العمل. سيكون من المثير للاهتمام ليس فقط إيجاد حل للمشكلة التي يمكن للطالب الوصول إليها ونشرها في شكل نهائي، ولكن إظهار كيف يبحث مدرس الرياضيات عن الحلول المهام غير القياسية. أردت أن أصف قطار أفكاري.
لذلك، نحن بحاجة للمقارنة وكيف أفكر؟
ومن الواضح أنه من غير الواقعي حساب "وجهاً لوجه"، ويحظر استخدام الآلة الحاسبة في مثل هذه الحالات. أعتقد هذا: على الأرجح أنه من الضروري فصل المؤشرات وقواعد الدرجات، وتغيير المقارنة إلى شيء مكافئ على طول الطريق. وإلا بكثرة وظائف أوليةلن نجد الوظيفة نفسها التي ستساعد في مقارنة الأرقام بناءً على خصائص رتابةها. من الممكن كسر الزوجين غير العقلانيين النوويين الحراريين فقط عن طريق حساب اللوغاريتم. لذلك، أخذت على الفور لوغاريتم الدرجات ووجهت أفكاري في اتجاه و. لم يتم اختيار قاعدة اللوغاريتم عن طريق الصدفة. وكان لوجود العارض تأثير.
جاءت المهمة لمقارنة الأرقام و. بعد ذلك، لاحظت أن استبدال إدخالاتهم بـ يعطي أعداد متساوية. كيف يمكنك استخدام هذا؟ أضعها في الاعتبار الفكرة الرئيسية: إذا كانت المهمة لها حل أولي، فسوف يتعين عليك إدخال بعض الحلول عاجلاً أم آجلاً وظيفة رتيبة. من الواضح أن هذا ليس هو الحال لأن الرقم ليس قيمة عند نقطة مناسبة للمقارنة. ومع ذلك، فإن المساواة المحددة في النتائج ربما تحتاج إلى استخدامها بطريقة أو بأخرى. كيف؟
أتذكر أن إثبات أي متباينة في الرياضيات يعادل إثبات أن الفرق بين الأرقام المعنية له علامة معينة. وهذا يماثل مقارنة الفرق بالصفر. هذا هو بالضبط ما يتم الحصول عليه عند استبدال رقم فيه برقم. كيف يجب أن أتصرف الآن؟ مدرس الرياضيات؟ بالطبع، ضع في اعتبارك الوظيفة وأثبت رتابة . إذا تبين أن الدالة تزايدية، فمنذ > ثم > وبالتالي نحصل على ذلك >
يبقى العثور على المشتق والتحقق من ما يزيد. لدينا. من الواضح أنه إذا كان x>e، إذن > . ولذلك فإنه يزيد على الفاصل الزمني. ولذلك > ولذلك e لقوة pi أكبر من pi لقوة e 
بعد إزالة كل الأسباب، دعنا نكتب حل المشكلة بشكل مضغوط:
استغرقت العملية برمتها حوالي 10-15 دقيقة وقضيت معظمها في التفكير. لا أستطيع أن أقول إن كل مدرس رياضيات مطالب بأن يكون قادرًا على تقديم المشورة للطالب بشأن مهام من نوع الأولمبياد، ولكن سيكون من المفيد له أن يعرف بعض تقنيات التفكير.
مع خالص التقدير، كولباكوف الكسندر نيكولاييفيتش.
مدرس الرياضيات في موسكو,
مدرس محترف في محطة مترو ستروجينو شتشوكينسكايا.
تساعدك الآلة الحاسبة على رفع الرقم بسرعة إلى قوة عبر الإنترنت. يمكن أن يكون أساس الدرجة أي رقم (سواء الأعداد الصحيحة أو الحقيقية). يمكن أن يكون الأس أيضًا عددًا صحيحًا أو حقيقيًا، ويمكن أيضًا أن يكون موجبًا أو سالبًا. يجب أن نتذكر ذلك ل أرقام سلبيةإن الرفع إلى قوة غير صحيحة غير محدد، وبالتالي ستبلغك الآلة الحاسبة عن خطأ إذا حاولت القيام بذلك.
حاسبة الدرجة
رفع إلى السلطة
الأس: 20880
ما هي القوة الطبيعية لعدد؟
يُطلق على الرقم p القوة n للرقم إذا كان p يساوي الرقم a مضروبًا في نفسه n مرات: p = a n = a·...·a
ن - دعا الأس، والرقم أ هو أساس الدرجة.
كيفية رفع الرقم إلى القوة الطبيعية؟
لفهم كيفية البناء أرقام مختلفةللقوى الطبيعية، فكر في بعض الأمثلة:
مثال 1. ارفع الرقم ثلاثة إلى القوة الرابعة. أي أنه من الضروري حساب 3 4
حل: كما ذكر أعلاه، 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
إجابة: 3 4 = 81 .
مثال 2. ارفع العدد خمسة إلى القوة الخامسة. أي أنه من الضروري حساب 5 5
حل: وبالمثل، 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
إجابة: 5 5 = 3125 .
وهكذا، لرفع عدد ل درجة طبيعية، كل ما عليك فعله هو ضربه في نفسه n مرات.
ما هي القوة السلبية للرقم؟
القوة السالبة -n لـ a هي واحدة مقسومة على a أس n: a -n = .في هذه الحالة، توجد درجة سلبية فقط للأرقام غير الصفرية، منذ عام خلاف ذلكسيحدث القسمة على صفر.
كيفية رفع رقم إلى قوة عدد صحيح سلبي؟
لرفع رقم غير الصفر إلى درجة سلبية، تحتاج إلى حساب قيمة هذا الرقم بنفس الطريقة درجة ايجابيةوتقسيم واحد على النتيجة.
مثال 1. ارفع العدد اثنين إلى القوة الرابعة السالبة. أي أنك تحتاج إلى حساب 2 -4
حل: كما ذكر أعلاه، 2 -4 = = 0.0625.إجابة: 2 -4 = 0.0625 .