حساب إحداثيات المتجهات وطولها. صيغة لتحديد إحداثيات المتجهات للمشاكل ثنائية الأبعاد

أولًا، علينا أن نفهم مفهوم المتجه نفسه. للتعريف بالتعريف ناقلات هندسيةدعونا نتذكر ما هو الجزء. دعونا نقدم التعريف التالي.

التعريف 1

القطعة هي جزء من خط له حدان على شكل نقاط.

يمكن أن يكون للقطعة اتجاهين. للدلالة على الاتجاه، سنسمي أحد حدود القطعة بدايتها، والحد الآخر نهايتها. يشار إلى الاتجاه من بدايته إلى نهاية المقطع.

التعريف 2

سيكون المقطع المتجه أو الموجه عبارة عن مقطع يُعرف به أي من حدود المقطع يعتبر البداية وأيها هو النهاية.

التسمية: بحرفين: $\overline(AB)$ - (حيث $A$ بدايته، و$B$ نهايته).

بحرف واحد صغير: $\overline(a)$ (الشكل 1).

دعونا الآن نقدم مباشرة مفهوم أطوال المتجهات.

التعريف 3

سيكون طول المتجه $\overline(a)$ هو طول المقطع $a$.

تدوين: $|\overline(a)|$

يرتبط مفهوم طول المتجه، على سبيل المثال، بمفهوم مثل المساواة بين ناقلين.

التعريف 4

سنعتبر المتجهين متساويين إذا استوفيا شرطين: 1. أن يكونا متزامني الاتجاه؛ 1. أطوالها متساوية (الشكل 2).

من أجل تعريف المتجهات، أدخل النظام الإحداثي وحدد إحداثيات المتجه في النظام المدخل. كما نعلم، يمكن تحليل أي متجه في النموذج $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$، حيث $m$ و $n$ هما أرقام حقيقيةو $\overline(i)$ و $\overline(j)$ هما متجهات وحدة على المحور $Ox$ و$Oy$، على التوالي.

التعريف 5

سوف نسمي معاملات التوسع للمتجه $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ بإحداثيات هذا المتجه في نظام الإحداثيات المقدم. رياضيا:

$\overline(c)=(m,n)$

كيفية العثور على طول المتجه؟

من أجل استخلاص صيغة لحساب طول متجه عشوائي بمعرفة إحداثياته، فكر في المشكلة التالية:

مثال 1

المعطى: المتجه $\overline(α)$ بإحداثيات $(x,y)$. أوجد: طول هذا المتجه.

دعونا نقدم نظام الإحداثيات الديكارتية $xOy$ على المستوى. دعونا نضع $\overline(OA)=\overline(a)$ جانبًا من أصول نظام الإحداثيات المقدم. دعونا نبني إسقاطات $OA_1$ و$OA_2$ للمتجه الذي تم إنشاؤه على محوري $Ox$ و$Oy$، على التوالي (الشكل 3).

المتجه $\overline(OA)$ الذي قمنا بإنشائه سيكون متجه نصف القطر للنقطة $A$، وبالتالي، سيكون له إحداثيات $(x,y)$، مما يعني

$=x$, $[OA_2]=y$

الآن يمكننا بسهولة العثور على الطول المطلوب باستخدام نظرية فيثاغورس

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

الإجابة: $\sqrt(x^2+y^2)$.

خاتمة:للعثور على طول المتجه المعطاة إحداثياته، من الضروري إيجاد جذر مربع مجموع هذه الإحداثيات.

مهام العينة

مثال 2

أوجد المسافة بين النقطتين $X$ و$Y$، اللتين لهما الإحداثيات التالية: $(-1.5)$ و$(7.3)$، على التوالي.

يمكن ربط أي نقطتين بسهولة بمفهوم المتجه. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، المتجه $\overline(XY)$. وكما نعلم بالفعل، يمكن العثور على إحداثيات هذا المتجه عن طريق طرح الإحداثيات المقابلة لنقطة البداية ($X$) من إحداثيات نقطة النهاية ($Y$). لقد حصلنا على ذلك

Yandex.RTB RA-A-339285-1

سيتم الإشارة إلى طول المتجه a → بواسطة → . هذا الترميز مشابه لمعامل الرقم، لذلك يسمى طول المتجه أيضًا بمعامل المتجه.

للعثور على طول المتجه على المستوى من إحداثياته، من الضروري النظر في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل O x y. دع بعض المتجهات a → مع الإحداثيات x يتم تحديدها فيه؛ نعم. دعونا نقدم صيغة لإيجاد طول (معامل) المتجه a → من خلال الإحداثيات a x و a y.

دعونا نرسم المتجه O A → = a → من الأصل. دعونا نحدد الإسقاطات المقابلة للنقطة أ محاور الإحداثياتمثل A x و A y . الآن فكر في مستطيل O A x A A y بقطر O A .

من نظرية فيثاغورس تتبع المساواة O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , حيث O A = O A x 2 + O A y 2 . من بالفعل تعريف معروفإحداثيات المتجهات في المستطيل النظام الديكارتيبالإحداثيات، نحصل على أن O A x 2 = a x 2 و O A y 2 = a y 2 وبالبناء فإن طول O A يساوي طول المتجه O A → مما يعني O A → = O A x 2 + O A y 2 .

من هذا يتبين ذلك صيغة لإيجاد طول المتجهأ → = أ س ; a y له الصيغة المقابلة: a → = a x 2 + a y 2 .

إذا تم إعطاء المتجه a → كتوسيع في تنسيق المتجهات a → = a x · i → + a y · j →، فيمكن حساب طوله باستخدام نفس الصيغة a → = a x 2 + a y 2، في في هذه الحالةتعمل المعاملات a x و y كإحداثيات للمتجه a → in نظام معينالإحداثيات

مثال 1

احسب طول المتجه a → = 7 ; ه الواردة في نظام مستطيلالإحداثيات

حل

لإيجاد طول المتجه، سنستخدم صيغة إيجاد طول المتجه من الإحداثيات a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

إجابة: أ → = 49 + ه.

صيغة لإيجاد طول المتجه a → = a x ; ذ؛ a z من إحداثياتها في نظام الإحداثيات الديكارتية Oxyz في الفضاء، يتم اشتقاقها بشكل مشابه لصيغة الحالة على المستوى (انظر الشكل أدناه)

في هذه الحالة، O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (نظرًا لأن OA قطري متوازي مستطيل) ، وبالتالي O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . من تعريف إحداثيات المتجهات يمكننا كتابة المعادلات التالية O A x = a x ; يا ذ = أ ذ ; يا أ ض = أ ض ; ، والطول OA يساوي طول المتجه الذي نبحث عنه، وبالتالي O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

ويترتب على ذلك أن طول المتجه a → = a x ; ذ ; a z يساوي a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

مثال 2

احسب طول المتجه a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → حيث i → , j → , k → هي متجهات الوحدة لنظام الإحداثيات المستطيل.

حل

تحلل المتجه a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → معطى، إحداثياته هي → = 4، - 3، 5. باستخدام الصيغة أعلاه نحصل على → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

إجابة: أ → = 5 2 .

طول المتجه من خلال إحداثيات نقطتي بدايته ونهايته

تم اشتقاق الصيغ أعلاه التي تسمح لك بالعثور على طول المتجه من إحداثياته. نظرنا في الحالات على متن الطائرة وفي مساحة ثلاثية الأبعاد. دعونا نستخدمها لإيجاد إحداثيات المتجه من إحداثيات نقطتي بدايته ونهايته.

لذلك، نظرا للنقاط مع الإحداثيات المعطاة A (a x ; a y) و B (b x ; b y)، وبالتالي فإن المتجه A B → له إحداثيات (b x - a x ; b y - a y) مما يعني أنه يمكن تحديد طوله بواسطة الصيغة: A B → = (b x - a x) 2 + ( ب ي - أ ي) 2

وإذا كانت النقاط ذات الإحداثيات المعطاة A (a x ; a y ; a z) وB (b x ; b y ; b z) معطاة في فضاء ثلاثي الأبعاد، فيمكن حساب طول المتجه A B → باستخدام الصيغة

أ ب → = (ب س - أ س) 2 + (ب ذ - أ ص) 2 + (ب ض - أ ض) 2

مثال 3

أوجد طول المتجه A B → إذا كان في نظام الإحداثيات المستطيل A 1، 3، B - 3، 1.

حل

باستخدام صيغة إيجاد طول المتجه من إحداثيات نقطتي البداية والنهاية على المستوى، نحصل على A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

يتضمن الحل الثاني تطبيق هذه الصيغ تباعًا: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; أ ب → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

إجابة: أ ب → = 20 - 2 3 .

مثال 4

تحديد ما هي قيم طول المتجه A B → يساوي 30 إذا كان A (0، 1، 2)؛ ب (5 ، 2 ، lect2) .

حل

أولاً، دعونا نكتب طول المتجه A B → باستخدام الصيغة: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (2 - 2) 2 = 26 + (2 - 2) 2

ثم نساوي التعبير الناتج بـ 30، ومن هنا نجد α المطلوبة:

26 + (2 - 2) 2 = 30 26 + (2 - 2) 2 = 30 (2 - 2) 2 = 4 2 - 2 = 2 و 2 - 2 = - 2 1 = - 2 , 2 = 2 , 3 = 0.

إجابة: 1 = - 2، 2 = 2، 3 = 0.

إيجاد طول المتجه باستخدام نظرية جيب التمام

للأسف، في المسائل، لا تكون إحداثيات المتجه معروفة دائمًا، لذلك سنفكر في طرق أخرى للعثور على طول المتجه.

دع أطوال المتجهين A B → , A C → والزاوية بينهما (أو جيب تمام الزاوية) معطاة، وتحتاج إلى العثور على طول المتجه B C → أو C B → . في هذه الحالة، يجب عليك استخدام نظرية جيب التمام في المثلث △ A B C وحساب طول الضلع B C، وهو ما يساوي الطول المطلوب للمتجه.

دعونا نفكر في هذه الحالة باستخدام المثال التالي.

مثال 5

أطوال المتجهين A B → و A C → هي 3 و 7 على التوالي، والزاوية بينهما هي π 3. احسب طول المتجه B C → .

حل

طول المتجه B C → في هذه الحالة يساوي طول الضلع B C للمثلث △ A B C . أطوال الضلعين A B و A C للمثلث معروفة من الشرط (أنهما متساويان مع أطوال المتجهات المتناظرة)، والزاوية بينهما معروفة أيضًا، لذا يمكننا استخدام نظرية جيب التمام: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 وبالتالي، B C → = 37 .

إجابة: ب ج → = 37 .

لذا، لإيجاد طول المتجه من الإحداثيات، هناك الصيغ التالية a → = a x 2 + a y 2 أو a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ، من إحداثيات نقطتي البداية والنهاية للمتجه A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 أو A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2، في بعض الحالات يجب استخدام نظرية جيب التمام .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

المتجهات. الإجراءات مع المتجهات. سنتحدث في هذه المقالة عن ماهية المتجه وكيفية إيجاد طوله وكيفية ضرب المتجه بعدد وكذلك كيفية إيجاد المجموع والفرق و منتج نقطةاثنين من المتجهات.

كالعادة، القليل من النظرية الأكثر ضرورة.

المتجه هو قطعة موجهة، أي قطعة لها بداية ونهاية:

هنا النقطة A هي بداية المتجه، والنقطة B هي نهايته.

المتجه له معلمتان: طوله واتجاهه.

طول المتجه هو طول القطعة التي تربط بداية المتجه ونهايته. يشار إلى طول المتجه

يقال أن ناقلين متساويانإذا كان لديهم نفس الطولوشارك في الإخراج.

يتم استدعاء المتجهين شارك في الإخراج، إذا كانت تقع على خطوط متوازية وموجهة في نفس الاتجاه: المتجهات والاتجاه المشترك:

يُطلق على متجهين اتجاهان متعاكسان إذا كانا يقعان على خطين متوازيين وموجهان في اتجاهين متعاكسين: المتجهات و ، وكذلك و موجهة في اتجاهين متعاكسين:

تسمى المتجهات الواقعة على خطوط متوازية خطية متداخلة: متجهة، وهي خطية متداخلة.

منتج من ناقلاتيُسمى الرقم متجهًا مشتركًا للاتجاه إلى المتجه إذا كان العنوان = "k>0">, и направленный в !} الجانب الآخر، إذا، وطوله يساوي طول المتجه مضروبًا في:

ل إضافة اثنين من المتجهاتوتحتاج إلى توصيل بداية المتجه بنهاية المتجه. يربط متجه المجموع بداية المتجه بنهاية المتجه:

تسمى قاعدة إضافة المتجهات هذه حكم المثلث.

لإضافة متجهين بواسطة قاعدة متوازي الأضلاع، تحتاج إلى تأجيل المتجهات من نقطة واحدة وبنائها على متوازي الأضلاع. يربط متجه المجموع نقطة البداية للمتجهات زاوية معاكسةمتوازي الأضلاع:

الفرق بين ناقلينيتم تحديده من خلال المجموع: الفرق بين المتجهات ويسمى هذا المتجه، والذي عند جمع المتجه سيعطي المتجه:

ويترتب على ذلك قاعدة إيجاد الفرق بين متجهين: لطرح متجه من متجه، تحتاج إلى رسم هذه المتجهات من نقطة واحدة. يربط متجه الفرق نهاية المتجه بنهاية المتجه (أي نهاية المطروح إلى نهاية المطرح):

للعثور على الزاوية بين المتجه والمتجه، فأنت بحاجة إلى رسم هذه المتجهات من نقطة واحدة. الزاوية التي تشكلها الأشعة التي تقع عليها المتجهات تسمى الزاوية بين المتجهات:

المنتج العددي لمتجهين هو العدد يساوي المنتجأطوال هذه المتجهات بواسطة جيب تمام الزاوية بينهما:

أقترح عليك حل المشاكل من فتح البنكالمهام ل ، ثم تحقق من الحل الخاص بك باستخدام دروس الفيديو:

1. المهمة 4 (رقم 27709)

وجهان للمستطيل ABCDتساوي 6 و 8. أوجد طول الفرق بين المتجهات و .

2. المهمة 4 (رقم 27710)

وجهان للمستطيل ABCDتساوي 6 و 8. أوجد المنتج القياسي للمتجهات و . (مقتبس من المهمة السابقة).

3. المهمة 4 (رقم 27711)

وجهان للمستطيل ABCD يا. أوجد طول مجموع المتجهات و .

4. المهمة 4 (رقم 27712)

وجهان للمستطيل ABCDيساويان 6 و8. ويتقاطع القطران عند هذه النقطة يا. أوجد طول الفرق بين المتجهات و . (مقتبس من المهمة السابقة).

5. المهمة 4 (رقم 27713)

أقطار المعين ABCDيساوي 12 و16. أوجد طول المتجه.

6. المهمة 4 (رقم 27714)

أقطار المعين ABCDيساويان 12 و16. أوجد طول المتجه +.

7.المهمة الرابعة (رقم 27715)

أقطار المعين ABCDيساويان 12 و16. أوجد طول المتجه - .(مستمد من المشكلة السابقة).

8.المهمة 4 (رقم 27716)

أقطار المعين ABCDتساوي 12 و 16. أوجد طول المتجه - .

9 . المهمة 4 (رقم 27717)

أقطار المعين ABCDتتقاطع عند نقطة ما ياوهما يساويان 12 و16. أوجد طول المتجه +.

10. المهمة 4 (رقم 27718)

أقطار المعين ABCDتتقاطع عند نقطة ما ياوهما يساويان 12 و16. أوجد طول المتجه - .(مستمد من المشكلة السابقة).

11.المهمة الرابعة (رقم 27719)

أقطار المعين ABCDتتقاطع عند نقطة ما ياويساويان 12 و 16. أوجد المنتج القياسي للمتجهات و (مستمد من المشكلة السابقة).

12. المهمة 4 (رقم 27720)

اي بي سيمتساويان أوجد طول المتجه +.

13. المهمة 4 (رقم 27721)

الأطراف مثلث منتظم اي بي سيتساوي 3. أوجد طول المتجه - (مستمد من المشكلة السابقة).

14. المهمة 4 (رقم 27722)

جوانب مثلث منتظم اي بي سيتساوي 3. أوجد المنتج العددي للمتجهات و . (مقتبس من المهمة السابقة).

من المحتمل أن متصفحك غير مدعوم. لاستخدام المدرب " ساعة امتحان الدولة الموحدة"، حاول التنزيل
فايرفوكس

أولًا، علينا أن نفهم مفهوم المتجه نفسه. لكي نقدم تعريف المتجه الهندسي، دعونا نتذكر ما هي القطعة المستقيمة. دعونا نقدم التعريف التالي.

التعريف 1

القطعة هي جزء من خط له حدان على شكل نقاط.

التعريف 2

سيكون المقطع المتجه أو الموجه عبارة عن مقطع يُعرف به أي من حدود المقطع يعتبر البداية وأيها هو النهاية.

التسمية: بحرفين: $\overline(AB)$ - (حيث $A$ بدايته، و$B$ نهايته).

بحرف واحد صغير: $\overline(a)$ (الشكل 1).

دعونا الآن نقدم مباشرة مفهوم أطوال المتجهات.

التعريف 3

سيكون طول المتجه $\overline(a)$ هو طول المقطع $a$.

تدوين: $|\overline(a)|$

يرتبط مفهوم طول المتجه، على سبيل المثال، بمفهوم مثل المساواة بين ناقلين.

التعريف 4

سنعتبر المتجهين متساويين إذا استوفيا شرطين: 1. أن يكونا متزامني الاتجاه؛ 1. أطوالها متساوية (الشكل 2).

من أجل تعريف المتجهات، أدخل النظام الإحداثي وحدد إحداثيات المتجه في النظام المدخل. كما نعلم، يمكن تحليل أي متجه في النموذج $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$، حيث $m$ و$n$ أرقام حقيقية، و$\overline (i )$ و$\overline(j)$ هما متجها وحدة على المحور $Ox$ و$Oy$، على التوالي.

التعريف 5

$\overline(c)=(m,n)$

كيفية العثور على طول المتجه؟

من أجل استخلاص صيغة لحساب طول متجه عشوائي بمعرفة إحداثياته، فكر في المشكلة التالية:

مثال 1

المعطى: المتجه $\overline(α)$ بإحداثيات $(x,y)$. أوجد: طول هذا المتجه.

المتجه $\overline(OA)$ الذي قمنا بإنشائه سيكون متجه نصف القطر للنقطة $A$، وبالتالي، سيكون له إحداثيات $(x,y)$، مما يعني

$=x$, $[OA_2]=y$

الآن يمكننا بسهولة العثور على الطول المطلوب باستخدام نظرية فيثاغورس

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

الإجابة: $\sqrt(x^2+y^2)$.

خاتمة:للعثور على طول المتجه المعطاة إحداثياته، من الضروري إيجاد جذر مربع مجموع هذه الإحداثيات.

مهام العينة

مثال 2

أوجد المسافة بين النقطتين $X$ و$Y$، اللتين لهما الإحداثيات التالية: $(-1.5)$ و$(7.3)$، على التوالي.

منذ أيام المدرسة ونحن نعرف ما هو عليه ناقلات هو الجزء الذي له اتجاه ويتميز القيمة العدديةزوج من النقاط المطلوبة. يتم تعريف الرقم الذي يساوي طول المقطع الذي يعمل كأساس على أنه طول المتجهات . لتحديده سوف نستخدم نظام الإحداثيات. نحن نأخذ في الاعتبار أيضًا خاصية أخرى - اتجاه الجزء . من أجل العثور على طول المتجه، يمكنك استخدام طريقتين. أبسطها هو أن تأخذ مسطرة وتقيس ما ستكون عليه. أو يمكنك استخدام الصيغة. سننظر الآن في هذا الخيار.

ضروري:

— نظام الإحداثيات (س، ص)؛
— ناقل;
- معرفة الجبر والهندسة.

تعليمات:

صيغة لتحديد طول المقطع الموجهدعونا نكتب على النحو التالي ص²= س²+ص². بأخذ الجذر التربيعي لـ ص²وسيكون الرقم الناتج هو النتيجة. للعثور على طول المتجه، نقوم بالخطوات التالية. نحدد نقطة البداية للإحداثيات (x1;y1), نقطة النهاية (x2;y2). نجد سو ذبالفرق بين إحداثيات نهاية وبداية القطعة الموجهة. وبعبارة أخرى، العدد (X)يحددها الصيغة التالية س=x2-x1، والرقم (ص)على التوالى ص=y2-y1.
أوجد مربع مجموع الإحداثيات باستخدام الصيغة س²+ص². نستخرج الجذر التربيعي للرقم الناتج، والذي سيكون طول المتجه (ص). سيتم تبسيط حل المشكلة المطروحة إذا كانت البيانات الأولية لإحداثيات المقطع الموجه معروفة على الفور. كل ما عليك فعله هو إدخال البيانات في الصيغة.
انتباه!قد لا يكون المتجه على المستوى الإحداثي، ولكن في الفضاء، وفي هذه الحالة ستتم إضافة قيمة أخرى إلى الصيغة، وسيكون لها العرض التالي: ص²= س²+ص²+ ض²، أين - (ض)محور إضافي يساعد في تحديد حجم القطعة الموجهة في الفضاء.