سنتحدث في هذا المقال عن الخطوط المتوازية ونقدم تعريفاتها ونحدد علامات وشروط التوازي. للتوضيح المادة النظريةسوف نستخدم الرسوم التوضيحية والحلول للأمثلة النموذجية.
تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1
خطوط متوازية على متن الطائرة– خطان مستقيمان في المستوى ليس لهما النقاط المشتركة.
التعريف 2
الخطوط المتوازية في مساحة ثلاثية الأبعاد - خطان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد يقعان في نفس المستوى ولا توجد نقاط مشتركة بينهما.
من الضروري ملاحظة أنه لتحديد الخطوط المتوازية في الفضاء، فإن توضيح "الكذب في نفس المستوى" مهم للغاية: الخطان في الفضاء ثلاثي الأبعاد ليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى ليسا متوازيين ، ولكن متقاطعة.
للإشارة إلى الخطوط المتوازية، من الشائع استخدام الرمز ∥. أي أنه إذا كان الخطان a وb متوازيين، فيجب كتابة هذا الشرط بإيجاز على النحو التالي: أ ‖ ب. يشار إلى التوازي اللفظي للخطوط بالطريقة الآتية: الخطان a و b متوازيان، أو المستقيم a موازي للخط b، أو المستقيم b موازي للخط a.
دعونا صياغة بيان الذي يلعب دور مهمفي الموضوع الذي تتم دراسته .
اكسيوم
من نقطة لا تنتمي إلى خط معين يمر الخط المستقيم الوحيد الموازي للخط المعطى. لا يمكن إثبات هذا البيان على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط.
في حال نحن نتحدث عنوفيما يتعلق بالفضاء، فإن النظرية صحيحة:
النظرية 1
من خلال أي نقطة في الفضاء لا تنتمي إلى خط معين، سيكون هناك خط مستقيم واحد موازي للخط المعطى.
من السهل إثبات هذه النظرية على أساس البديهية المذكورة أعلاه (برنامج الهندسة للصفوف 10 - 11).
هناك علامة على التوازي شرط كاف، حيث يتم ضمان توازي الخطوط. وبعبارة أخرى فإن تحقيق هذا الشرط كافٍ لتأكيد حقيقة التوازي.
وعلى وجه الخصوص، هناك شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط على المستوى وفي الفضاء. دعونا نوضح: الضرورة تعني الشرط الذي يكون تحقيقه ضروريًا للخطوط المتوازية؛ وإذا لم يتحقق، فإن الخطوط ليست متوازية.
وخلاصة القول إن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط هو الشرط الذي تكون مراعاته ضرورية وكافيّة لكي تكون الخطوط متوازية مع بعضها البعض. من ناحية، هذه علامة على التوازي، من ناحية أخرى، إنها خاصية متأصلة في الخطوط المتوازية.
قبل إعطاء الصيغة الدقيقة للشرط الضروري والكافي، دعونا نتذكر بعض المفاهيم الإضافية.
التعريف 3
خط قاطع- خط مستقيم يتقاطع كل من خطين مستقيمين غير متطابقين.
عند تقاطع خطين مستقيمين، يشكل القاطع ثماني زوايا غير متطورة. لصياغة شرط ضروري وكاف، سنستخدم أنواعًا من الزوايا مثل المتقاطعة والمتناظرة وأحادية الجانب. دعونا نوضح لهم في الرسم التوضيحي:
النظرية 2
إذا تقاطع مستقيمان في المستوى بمستعرض، فإنه لكي تكون الخطوط المعطاة متوازية، من الضروري ويكفي أن تكون الزوايا المتقاطعة متساوية، أو الزوايا المتناظرة متساوية، أو مجموع الزوايا أحادية الجانب يساوي 180 درجة.
دعونا نوضح بيانياً الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى:
والدليل على هذه الشروط موجود في برنامج الهندسة للصفوف 7 - 9.
بشكل عام، تنطبق هذه الشروط أيضًا على الفضاء ثلاثي الأبعاد، بشرط أن ينتمي خطان وقاطع إلى نفس المستوى.
دعونا نشير إلى بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم غالبًا لإثبات حقيقة أن الخطوط متوازية.
النظرية 3
على المستوى، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض. تم إثبات هذه الميزة على أساس بديهية التوازي المذكورة أعلاه.
النظرية 4
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.
يتم دراسة إثبات الإشارة في منهج الهندسة للصف العاشر.
دعونا نعطي توضيحا لهذه النظريات:
دعونا نشير إلى زوج آخر من النظريات التي تثبت توازي الخطوط.
النظرية 5
على المستوى، خطان متعامدان مع خط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.
دعونا نصوغ شيئًا مشابهًا للفضاء ثلاثي الأبعاد.
النظرية 6
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون الخطان المتعامدان مع الثلث متوازيين مع بعضهما البعض.
دعونا نوضح:
جميع النظريات والعلامات والشروط المذكورة أعلاه تجعل من الممكن إثبات توازي الخطوط بسهولة باستخدام طرق الهندسة. أي أنه لإثبات توازي الخطوط، يمكن إثبات أن الزوايا المتناظرة متساوية، أو إثبات حقيقة أن خطين معلومين متعامدين مع الخط الثالث، وما إلى ذلك. لكن لاحظ أنه غالبًا ما يكون من الملائم أكثر استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل
في معين نظام مستطيلالإحداثيات، يتم تحديد الخط المستقيم بمعادلة خط مستقيم على مستوى أحد الأنواع الممكنة. وبالمثل، فإن الخط المستقيم المحدد في نظام إحداثيات مستطيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتوافق مع بعض المعادلات الخاصة بالخط المستقيم في الفضاء.
دعونا نكتب الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل اعتمادًا على نوع المعادلة التي تصف الخطوط المحددة.
لنبدأ بحالة توازي الخطوط على المستوى. يعتمد على تعريفات متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للخط على المستوى.
النظرية 7
لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين على مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العادية للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على المتجه الطبيعي للخط الآخر.
يصبح من الواضح أن شرط توازي الخطوط على المستوى يعتمد على شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات أو شرط التعامد بين متجهين. أي أنه إذا كانت a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) متجهات اتجاه للخطين a و b ;
و n b → = (n b x , n b y) هي متجهات عادية للخطين a و b، ثم نكتب الشرط الضروري والكافي أعلاه كما يلي: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y أو n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y أو a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 ، حيث t هو عدد حقيقي. يتم تحديد إحداثيات الأدلة أو المتجهات المستقيمة بواسطة المعادلات المعطاة للخطوط المستقيمة. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة الرئيسية.
- يتم تعريف مستقيم في نظام الإحداثيات مستطيلة المعادلة العامةالخط المستقيم: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0؛ الخط المستقيم ب - أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0. ثم سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (A 1، B 1) و (A 2، B 2)، على التوالي. نكتب شرط التوازي كما يلي:
أ 1 = ر أ 2 ب 1 = ر ب 2
- يوصف الخط a بمعادلة الخط ذو الميل بالصيغة y = k 1 x + b 1 . الخط المستقيم ب - ص = ك 2 س + ب 2. عندها سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (k 1, - 1) و (k 2, - 1) على التوالي، وسنكتب شرط التوازي كما يلي:
ك 1 = ر ك 2 - 1 = ر (- 1) ⇔ ك 1 = ر ك 2 ر = 1 ⇔ ك 1 = ك 2
وبالتالي، إذا تم إعطاء الخطوط المتوازية على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل بواسطة معادلات ذات معاملات زاوية، إذن المنحدراتالخطوط المعطاة ستكون متساوية. والبيان المعاكس صحيح: إذا تم تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل بمعادلات خط له معاملات زاوية متطابقة، فإن هذه الخطوط المعطاة متوازية.
- يتم تحديد الخطوط a و b في نظام الإحداثيات المستطيل بواسطة المعادلات الأساسية لخط على المستوى: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y أو بواسطة المعادلات البارامترية لـ خط على المستوى: x = x 1 + lect · a x y = y 1 + lect · a y و x = x 2 + lect · b x y = y 2 + lect · b y .
إذن فإن متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة ستكون: a x، a y و b x، b y، على التوالي، وسنكتب شرط التوازي كما يلي:
أ س = ر ب س أ ص = ر ب ص
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.
مثال 1
تم إعطاء سطرين: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1. من الضروري تحديد ما إذا كانت متوازية.
حل
دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم المقطع على شكل معادلة عامة:
س 1 2 + ص 5 = 1 ⇔ 2 س + 1 5 ص - 1 = 0
نرى أن n a → = (2, - 3) هو المتجه الطبيعي للخط 2 x - 3 y + 1 = 0، و n b → = 2, 1 5 هو المتجه العادي للخط x 1 2 + y 5 = 1.
المتجهات الناتجة ليست على خط مستقيم، لأن لا توجد قيمة للتبادل تكون فيها المساواة صحيحة:
2 = ر 2 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = 1 5
وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى غير محقق، مما يعني أن الخطوط المعطاة ليست متوازية.
إجابة:الخطوط المعطاة ليست متوازية.
مثال 2
الخطوط y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 مذكورة. هل هما متوازيان؟
حل
لنحول المعادلة الأساسية للخط المستقيم x 1 = y - 4 2 إلى معادلة الخط المستقيم مع الميل:
س 1 = ص - 4 2 ⇔ 1 · (ص - 4) = 2 س ⇔ ص = 2 س + 4
نرى أن معادلات الخطين y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 ليستا متماثلتين (لو كان الأمر خلاف ذلك لكان المستقيمان متطابقين) وأن المعاملات الزاوية للخطين متساوية، مما يعني الخطوط المعطاة متوازية.
دعونا نحاول حل المشكلة بشكل مختلف. أولاً، دعونا نتحقق مما إذا كانت الخطوط المحددة متطابقة. نستخدم أي نقطة على الخط y = 2 x + 1 مثلاً (0, 1)، إحداثيات هذه النقطة لا تتوافق مع معادلة الخط x 1 = y - 4 2، مما يعني أن الخطوط تفعل لا تتزامن.
والخطوة التالية هي تحديد ما إذا كان شرط التوازي للخطوط المحددة قد تم استيفاءه.
المتجه العادي للخط y = 2 x + 1 هو المتجه n a → = (2 , - 1) ، ومتجه الاتجاه للخط الثاني المحدد هو b → = (1 , 2) . المنتج العدديمن هذه المتجهات يساوي الصفر:
ن أ → , ب → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
وبالتالي فإن المتجهات متعامدة: وهذا يوضح لنا توفر الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط الأصلية. أولئك. الخطوط المعطاة متوازية.
إجابة:هذه الخطوط متوازية.
لإثبات توازي الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد، يتم استخدام الشرط الضروري والكافي التالي.
النظرية 8
لكي يكون خطان غير متطابقين في فضاء ثلاثي الأبعاد متوازيين، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد.
أولئك. في المعادلات المعطاةللخطوط المستقيمة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم العثور على إجابة السؤال: هل هي متوازية أم لا، من خلال تحديد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة المعطاة، وكذلك التحقق من حالة خطيتها الخطية المتداخلة. بمعنى آخر، إذا كانت a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) متجهات اتجاه للخطوط المستقيمة a و b، على التوالي، فمن أجل أن يكونا متوازيين، يجب وجود هذه عدد حقيقير بحيث تكون المساواة:
أ → = ر ب → ⇔ أ س = ر ب × أ ص = ر ب ي أ ض = ر ب ض
مثال 3
الخطوط x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 lect y = 1 z = - 3 - 6 lect مذكورة. من الضروري إثبات التوازي بين هذه الخطوط.
حل
يتم إعطاء شروط المشكلة المعادلات الكنسيةخط مستقيم واحد في الفضاء و المعادلات البارامتريةخط آخر في الفضاء. توجيه المتجهات أ → و ب → للخطوط المعطاة إحداثيات: (1، 0، - 3) و (2، 0، - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , ثم a → = 1 2 · b → .
وبالتالي، يتم استيفاء الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط في الفضاء.
إجابة:تم إثبات التوازي بين الخطوط المعطاة.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
صفحة 1 من 2
السؤال رقم 1.أثبت أن المستقيمين الموازيين للثالث متوازيان.
إجابة. نظرية 4.1. خطان موازيان لثالث متوازيان.
دليل.اجعل الخطين a و b موازيين للخط c. لنفترض أن a وb ليسا متوازيين (الشكل 69). ثم لا يتقاطعان عند نقطة ما C. وهذا يعني أن خطين يمران عبر النقطة C موازيين للخط c. لكن هذا مستحيل، لأنه من خلال نقطة لا تقع على خط معين، من الممكن رسم خط مستقيم واحد على الأكثر موازيًا للخط المعطى. لقد تم إثبات النظرية.
السؤال 2.اشرح ما هي الزوايا التي تسمى زوايا داخلية أحادية الجانب؟ ما هي الزوايا التي تسمى الزوايا المتقاطعة الداخلية؟
إجابة.أزواج الزوايا التي تتشكل عندما يتقاطع الخطان AB و CD مع التيار المتردد القاطع لها أسماء خاصة.
إذا كانت النقطتان B و D تقعان في نفس المستوى النصفي بالنسبة للخط المستقيم AC، فإن الزاويتين BAC و DCA تسمى زوايا داخلية أحادية الجانب (الشكل 71، أ).
إذا كانت النقطتان B و D تقعان في أنصاف مستويات مختلفة بالنسبة للخط المستقيم AC، فإن الزاويتين BAC و DCA تسمى زوايا متقاطعة داخلية (الشكل 71، ب).
أرز. 71
السؤال 3.أثبت أنه إذا كانت الزوايا الداخلية لأحد الزوجين متساوية، فإن الزوايا الداخلية للزوج الآخر متساوية أيضًا، ومجموع الزوايا الداخلية لكل زوج هو 180 درجة.
إجابة.يتشكل التيار المتردد القاطع مع الخطوط المستقيمة AB وCD زوجين من الزوايا الداخلية أحادية الجانب وزوجين من الزوايا الداخلية المتقاطعة. الزوايا العرضية الداخلية لزوج واحد، على سبيل المثال الزاوية 1 والزاوية 2، مجاورة للزوايا العرضية الداخلية لزوج آخر: الزاوية 3 والزاوية 4 (الشكل 72).
أرز. 72
وبالتالي، إذا كانت الزوايا الداخلية لأحد الزوجين متطابقة، فإن الزوايا الداخلية للزوج الآخر تكون متساوية أيضًا.
زوج من الزوايا الداخلية المتقاطعة، على سبيل المثال الزاوية 1 والزاوية 2، وزوج من الزوايا الداخلية أحادية الجانب، على سبيل المثال الزاوية 2 والزاوية 3، لهما زاوية واحدة مشتركة - الزاوية 2، وزاويتان أخريان متجاورتان : الزاوية 1 والزاوية 3.
وبالتالي، إذا كانت الزوايا المتقاطعة الداخلية متساوية، فإن المجموع زوايا داخليةيساوي 180 درجة. والعكس صحيح: إذا كان مجموع الزوايا المتقاطعة الداخلية يساوي 180 درجة، فإن زوايا التقاطع الداخلي متساوية. Q.E.D.
السؤال 4.إثبات اختبار للخطوط المتوازية.
إجابة. النظرية 4.2 (اختبار الخطوط المتوازية).إذا كانت الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية أو كان مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد يساوي 180 درجة، فإن الخطوط متوازية.
دليل.دع الخطوط المستقيمة a و b تشكل زوايا عرضية داخلية متساوية مع القاطع AB (الشكل 73، أ). لنفترض أن الخطين a و b ليسا متوازيين، مما يعني أنهما يتقاطعان عند نقطة ما C (الشكل 73، ب).
أرز. 73
يقسم القاطع AB المستوى إلى نصفين مستويين. إحداها تحتوي على النقطة C. لنقم ببناء مثلث BAC 1، يساوي مثلث ABC، مع قمة C 1 في نصف مستوى آخر. حسب الحالة، تكون الزوايا العرضية الداخلية للتوازي a وb والقاطع AB متساوية. منذ الزوايا المقابلة مثلثات ABCو BAC 1 مع القمم A و B متساويان، ثم يتطابقان مع زوايا عرضية داخلية. وهذا يعني أن السطر AC 1 يتطابق مع السطر a، والخط BC 1 يتطابق مع السطر b. يتبين أن خطين مستقيمين مختلفين a وb يمران بالنقطتين C وC1. وهذا مستحيل. وهذا يعني أن الخطين a وb متوازيان.
إذا كان الخطان a وb والمستعرض AB لهما مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد يساوي 180 درجة، فكما نعلم، فإن الزوايا الداخلية الواقعة بالعرض متساوية. وهذا يعني، على ما ثبت أعلاه، أن الخطين (أ) و(ب) متوازيان. لقد تم إثبات النظرية.
السؤال 5.اشرح ما هي الزوايا التي تسمى زوايا متناظرة؟ أثبت أنه إذا كانت الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية، فإن الزوايا المتناظرة متساوية أيضًا، والعكس صحيح.
إجابة.إذا تم استبدال زاوية واحدة لزوج من الزوايا المتقاطعة الداخلية بزاوية رأسية، فسنحصل على زوج من الزوايا تسمى الزوايا المقابلة لهذه الخطوط المستعرضة. وهو ما يحتاج إلى توضيح.
من تساوي الزوايا الداخلية المتوضعة بالعرض يتبع تساوي الزوايا المتناظرة، والعكس صحيح. لنفترض أن لدينا خطين متوازيين (نظرًا للشرط، تكون الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية) وخط مستعرض يشكل الزوايا 1، 2، 3. الزاويتان 1 و 2 متساويتان كزوايا داخلية متقاطعة مع بعضها البعض. والزاويتان 2 و3 متساويتان بالرأس. نحصل على: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 و \(\angle\)2 = \(\angle\)3. من خلال خاصية العبور لعلامة التساوي يترتب أن \(\angle\)1 = \(\angle\)3. ويمكن إثبات العبارة العكسية بطريقة مماثلة.
ومن هنا نحصل على إشارة أن الخطوط المستقيمة متوازية في الزوايا المتناظرة. وهي: أن الخطوط المستقيمة تكون متوازية إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية. Q.E.D.
السؤال 6.أثبت أنه من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكنك رسم خط مواز لها. كم عدد الخطوط الموازية لمستقيم معين يمكن رسمها من نقطة لا تقع على هذا الخط؟
إجابة.مشكلة (8). بالنظر إلى الخط AB والنقطة C التي لا تقع على هذا الخط. أثبت أنه من خلال النقطة C يمكنك رسم خط موازي للخط AB.
حل. يقسم الخط AC المستوى إلى نصفين مستويين (الشكل 75). النقطة B تقع في واحد منهم. دعونا نضيف زاوية ACD من نصف الخط CA إلى نصف مستوى آخر، يساوي الزاوية CAB. ثم سيكون الخطان AB و CD متوازيين. في الواقع، بالنسبة لهذه الخطوط وAC القاطع، فإن الزاويتين الداخليتين BAC وDCA تقعان بالعرض. وبما أنهما متساويان، فإن الخطين AB وCD متوازيان. Q.E.D.
بمقارنة عبارة المشكلة 8 والبديهية التاسعة (الخاصية الرئيسية للخطوط المتوازية)، نصل إلى استنتاج مهم: من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكنك رسم خط موازي لها، وواحد فقط.
السؤال 7.أثبت أنه إذا تقاطع مستقيمان مع خط ثالث، فإن الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية، ومجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد هو 180 درجة.
إجابة. نظرية 4.3(عكس النظرية 4.2). إذا تقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث، فإن الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية، ومجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد هو 180 درجة.
دليل.ليكن a وb خطين متوازيين وc خطًا يتقاطع معهما عند النقطتين A وB. لنرسم خطًا a 1 عبر النقطة A بحيث تكون الزوايا العرضية الداخلية التي شكلها القاطع c مع الخطين a 1 وb متساوية (الشكل 76).
وفقًا لمبدأ توازي الخطوط، فإن الخطوط a 1 و b متوازية. وبما أن خطًا واحدًا فقط يمر عبر النقطة A، موازيًا للمستقيم b، فإن المستقيم a يتطابق مع الخط a 1.
وهذا يعني أن الزوايا المتقاطعة الداخلية تشكلت بواسطة مستعرض
الخطان المتوازيان a وb متساويان. لقد تم إثبات النظرية.
السؤال 8.أثبت أن المستقيمين المتعامدين على الثلث متوازيان. إذا كان المستقيم عموديًا على أحد الخطين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر.
إجابة.من النظرية 4.2 يترتب على ذلك أن الخطين المتعامدين مع الثلث متوازيان.
لنفترض أن أي خطين متعامدين مع خط ثالث. وهذا يعني أن هذه الخطوط تتقاطع مع الخط الثالث بزاوية تساوي 90 درجة.
ومن خاصية الزوايا التي تتكون عندما يتقاطع مستقيمان متوازيان مع قاطع، يترتب على ذلك أنه إذا كان المستقيم عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر.
السؤال 9.أثبت أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
إجابة. نظرية 4.4.مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
دليل.دع ABC يكون المثلث المعطى. دعونا نرسم خطًا يمر بالرأس B موازيًا للخط AC. دعونا نحدد النقطة D عليها بحيث تقع النقطتان A وD على طول الخط جوانب مختلفةمن الخط المستقيم قبل الميلاد (الشكل 78).
تتطابق الزاويتان DBC وACB كزاويتين متقاطعتين داخليتين تشكلهما BC المستعرضة مع الخطوط المتوازية AC وBD. وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث عند الرؤوس B وC يساوي الزاوية ABD.
ومجموع الكل ثلاث زواياالمثلث يساوي مجموع الزوايا ABD وBAC. وبما أن هذه الزوايا الداخلية أحادية الجانب للتوازيين AC و BD والقاطع AB، فإن مجموعها هو 180 درجة. لقد تم إثبات النظرية.
السؤال 10.أثبت أن أي مثلث له زاويتان حادتان على الأقل.
إجابة.في الواقع، لنفترض أن المثلث له زاوية حادة واحدة فقط أو لا يوجد له زاوية حادة على الإطلاق زوايا حادة. إذن هذا المثلث له زاويتان قياس كل منهما 90 درجة على الأقل. ومجموع هاتين الزاويتين لا يقل عن 180 درجة. لكن هذا مستحيل، لأن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة. Q.E.D.
خصائص الخطوط المتوازية
خطوط متوازية
بمساعدة درس الفيديو هذا، يمكنك دراسة موضوع "خصائص الخطوط المتوازية" بشكل مستقل. خلال ذلك، سيتعين عليك مقارنة الخطوط المتوازية والنظر في خصائصها وصياغة إحدى أهم البديهيات في الهندسة.
تعريف:
يتم استدعاء خطين في الطائرة موازيإذا لم يتقاطعا (الشكل 1). وقد تم تحديدها على النحو التالي: .
أرز. 1
من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر خط واحد فقط موازيًا للخط المحدد (الشكل 2) .
أرز. 2
عاقبة1:
إذا قطع مستقيم أحد المستقيمين المتوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضًا.
أرز. 3
منح:
.
يثبت:.
دليل:
وسوف نثبت ذلك بالتناقض. دعونا نتظاهر بذلك معلا يتقاطع مع الخط ب(الشكل 4).
أرز. 4
ثم: (بالشرط)، (بالظن). وهذا هو، من خلال هذه النقطة مهناك خطان مستقيمان ( أو ج)، بالتوازي مع الخط ب. وهذا يتناقض مع البديهية. وهذا يعني أن افتراضنا غير صحيح. ثم على التوالي جسوف يعبر الخط ب.
النتيجة الطبيعية 2:
إذا كان المستقيمان موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان(الشكل 5) .
أرز. 5
منح:.
يثبت:.
دليل:
وسنثبت ذلك بالتناقض. لنفترض أن الخطوط المستقيمة أو بتتقاطع في مرحلة ما م(الشكل 6).
أرز. 6
وبذلك نحصل على تناقض مع البديهية: من خلال النقطة ميمر سطرين في نفس الوقت بالتوازي مع السطر الثالث.
ولذلك فإن افتراضنا غير صحيح. ثم .
النظرية 1:
إذا تقاطع مستقيمان مع قاطع فإن زوايا التقاطع متساوية(الشكل 7).
أرز. 7
منح:.
يثبت:.
دليل:
وسوف نثبت ذلك بالتناقض. فلنتظاهر بأن : .
ثم من الشعاع مينيسوتايمكنك وضع الزاوية الوحيدة جانبا ∠ PMN، والتي سوف تكون متساوية ∠ 2 (أرز. 7). ولكن بعد ذلك ∠ PMNو ∠ 2 - الكذب بالعرض وعلى قدم المساواة. ثم على التوالي مساءً.و ب- موازي. ثم من خلال هذه النقطة مهناك خطان مستقيمان موازيان للثالث. يسمى:
نحصل على تناقض مع البديهية. وهذا يعني أن افتراضنا غير صحيح. إنه: .
عاقبة:
إذا كان المستقيم عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو عمودي أيضًا على الثاني.
أرز. 8
منح:
يثبت:
دليل:
1. معالصلبان أ، وبالتالي يتقاطع مع الخط الموازي له، أي ب. ثم مع- قاطع نسبة إلى أو ب.
2. لأنهم يكذبون بالعرض. ثم . إنه .
النظرية 2:
إذا تقاطع مستقيمان متوازيان مع قاطع فإن الزوايا المتناظرة تكون متساوية.
أرز. 9
منح:- قاطع.
يثبت:(الشكل 9).
دليل:
إذا، فمن النظرية السابقة يترتب على أن الزوايا المتقاطعة متساوية. إنه .
ثم بخاصية الزوايا العمودية .
وهذا يعني أن هذا هو ما يحتاج إلى إثبات.
علامات التوازي بين خطين
النظرية 1. إذا، عندما يتقاطع خطان مع القاطع:
الزوايا المتقاطعة متساوية، أو
الزوايا المتناظرة متساوية، أو
إذن مجموع الزوايا أحادية الجانب هو 180 درجة
الخطوط متوازية(رسم بياني 1).
دليل. نحن نقتصر على إثبات الحالة 1.
اجعل الخطين المتقاطعين a و b متقابلين والزوايا AB متساوية. على سبيل المثال، ∠ 4 = ∠ 6. دعونا نثبت أن || ب.
لنفترض أن الخطين a وb ليسا متوازيين. ثم يتقاطعان عند نقطة ما M، وبالتالي فإن إحدى الزوايا 4 أو 6 ستكون الزاوية الخارجية للمثلث ABM. من أجل التحديد، اجعل ∠ 4 هي الزاوية الخارجية للمثلث ABM، و∠ 6 هي الزاوية الداخلية. من نظرية حول زاوية خارجيةالمثلث يترتب على ذلك أن ∠ 4 أكبر من ∠ 6، وهذا يخالف الشرط، مما يعني أن المستقيمين a و 6 لا يمكن أن يتقاطعا، فهما متوازيان.
النتيجة الطبيعية 1. خطان مختلفان في المستوى المتعامد على نفس الخط متوازيان(الصورة 2).
تعليق. الطريقة التي أثبتنا بها الحالة 1 من النظرية 1 تسمى طريقة الإثبات بالتناقض أو الاختزال إلى السخافة. حصلت هذه الطريقة على اسمها الأول لأنه في بداية الحجة يتم افتراض مخالف (معاكس) لما يحتاج إلى إثباته. يطلق عليه ما يؤدي إلى العبثية لأنه من خلال التفكير على أساس الافتراض الذي تم التوصل إليه، نصل إلى نتيجة سخيفة (إلى العبثية). إن تلقي مثل هذا الاستنتاج يجبرنا على رفض الافتراض الذي تم تقديمه في البداية وقبول الافتراض الذي يحتاج إلى إثبات.
مهمة 1.بناء خط يمر هذه النقطة M وموازٍ للمستقيم المعطى a، ولا يمر بالنقطة M.
حل. نرسم خطًا مستقيمًا p عبر النقطة M عموديًا على الخط المستقيم a (الشكل 3).
ثم نرسم خطًا b عبر النقطة M عموديًا على الخط p. الخط b موازي للخط a وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1.
استنتاج مهم يتبع من المشكلة قيد النظر:
من خلال نقطة لا تقع على خط معين، من الممكن دائمًا رسم خط موازي للخط المعطى.
الخاصية الرئيسية للخطوط المتوازية هي كما يلي.
بديهية الخطوط المتوازية. من نقطة معينة لا تقع على مستقيم معين يمر فقط خط واحد موازي للخط المعطى.
دعونا نفكر في بعض خصائص الخطوط المتوازية التي تنبع من هذه البديهية.
1) إذا قطع مستقيم أحد خطين متوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضاً (شكل 4).
2) إذا كان مستقيمان مختلفان موازيين لخط ثالث فإنهما متوازيان (شكل 5).
النظرية التالية صحيحة أيضًا.
النظرية 2. إذا تقاطع خطان متوازيان بقاطع، فإن:
الزوايا المتقاطعة متساوية؛
الزوايا المتناظرة متساوية؛
مجموع الزوايا من جانب واحد هو 180 درجة.
النتيجة الطبيعية 2. إذا كان المستقيم عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر(انظر الشكل 2).
تعليق. تسمى النظرية 2 معكوس النظرية 1. نتيجة النظرية 1 هي شرط النظرية 2. وشرط النظرية 1 هو نتيجة النظرية 2. ليس كل نظرية لها معكوس، أي إذا هذه النظريةصحيح، فإن نظرية العكس قد لا تكون صحيحة.
دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال النظرية حول الزوايا العمودية. يمكن صياغة هذه النظرية على النحو التالي: إذا كانت الزاويتان عموديتين، فإنهما متساويتان. النظرية العكسية هي: إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإنهما عموديتان. وهذا بالطبع ليس صحيحا. اثنين زوايا متساويةلا يجب أن تكون عموديًا على الإطلاق.
مثال 1.خطان متوازيان يتقاطعهما الثلث. ومن المعروف أن الفرق بين زاويتين داخليتين من جانب واحد هو 30 درجة. أوجد هذه الزوايا.
حل. دع الشكل 6 يستوفي الشرط.
الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يطلب منك تقديم الخاص بك معلومات شخصيةفي أي وقت تتصل بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- المعلومات الشخصية التي نجمعها تسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.