الكسر هو واحد أو أكثر من الأجزاء المتساوية من كل واحد. تتم كتابة الكسر باستخدام اثنين الأعداد الطبيعية، والتي يفصل بينها خط. على سبيل المثال، 1/2، 14/4، ¾، 5/9، إلخ.
الرقم المكتوب فوق السطر يسمى بسط الكسر، والرقم المكتوب أسفل السطر يسمى مقام الكسر.
ل أرقام كسرية، الذي مقامه 10، 100، 1000، إلخ. اتفقنا على كتابة العدد بدون مقام. للقيام بذلك، اكتب أولا الجزء الصحيح من الرقم، ضع فاصلة واكتب الجزء الكسري من هذا الرقم، أي بسط الجزء الكسري.
على سبيل المثال، بدلا من 6 * (7 / 10) يكتبون 6.7.
يُطلق على هذا الترميز عادة اسم الكسر العشري.
كيفية المقارنة بين عددين عشريين
دعونا نتعرف على كيفية مقارنة كسرين عشريين. للقيام بذلك، دعونا أولا نتحقق من حقيقة مساعدة واحدة.
على سبيل المثال، طول قطعة معينة هو 7 سم أو 70 ملم. أيضا 7 سم = 7/10 دسم أو بوصة العشري 0.7 دي إم.
ومن ناحية أخرى، 1 مم = 1/100 dm، ثم 70 مم = 70/100 dm أو بالتدوين العشري 0.70 dm.
وبذلك نحصل على 0.7 = 0.70.
ومن هذا نستنتج أنه إذا أضفنا أو حذفنا صفرًا في نهاية الكسر العشري، فإننا نحصل على كسر يساوي الكسر المعطى. بمعنى آخر، لن تتغير قيمة الكسر.
الكسور ذات المقامات المتشابهة
لنفترض أننا بحاجة إلى مقارنة كسرين عشريين 4.345 و4.36.
تحتاج أولاً إلى مساواة عدد المنازل العشرية عن طريق إضافة أو التخلص من الأصفار الموجودة على اليمين. ستكون النتائج 4.345 و 4.360.
أنت الآن بحاجة إلى كتابتها على هيئة كسور غير حقيقية:
- 4,345 = 4345 / 1000 ;
- 4,360 = 4360 / 1000 .
الكسور الناتجة نفس القواسم. وفقًا لقاعدة مقارنة الكسور، نعلم أنه في هذه الحالة يكون الكسر ذو البسط الأكبر أكبر. وهذا يعني أن الكسر 4.36 أكبر من الكسر 4.345.
وبالتالي، من أجل مقارنة كسرين عشريين، يجب عليك أولاً مساواة عدد المنازل العشرية فيهما عن طريق إضافة أصفار إلى أحدهما على اليمين، ثم التخلص من الفاصلة، ومقارنة الأعداد الطبيعية الناتجة.
يمكن تمثيل الكسور العشرية كنقاط على خط الأعداد. ولذلك، في بعض الأحيان في حالة وجود رقم أكبر من آخر، يقولون إن هذا الرقم يقع على يمين الآخر، أو إذا كان أقل، فهو على اليسار.
إذا كان عددان عشريان متساويان، فسيتم تمثيلهما بنفس النقطة على خط الأعداد.
هذا الموضوع سوف يناقش كيف المخطط العاممقارنات الكسور العشرية، فضلا عن تحليل مفصل لمبدأ المقارنة بين محدودة و كسور لا حصر لها. الجزء النظريسوف نقوم بإصلاحه بقرار المهام النموذجية. سننظر أيضًا في أمثلة مقارنة الكسور العشرية بالكسور الطبيعية أو أرقام مختلطة، والكسور العادية.
دعونا نوضح: من الناحية النظرية، سيتم النظر أدناه في مقارنة الكسور العشرية الإيجابية فقط.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
المبدأ العام لمقارنة الكسور العشرية
لكل كسر عشري محدود وكسر عشري دوري لا نهائي هناك بعض المقابل الكسور المشتركة. وبالتالي، يمكن إجراء مقارنة بين الكسور الدورية المحدودة واللانهائية كمقارنة بين الكسور العادية المقابلة. في الواقع، هذه العبارة هي المبدأ العام لمقارنة الكسور العشرية الدورية.
على أساس مبدأ عام، يتم صياغة قواعد مقارنة الكسور العشرية، والالتزام بها والتي من الممكن عدم تحويل الكسور العشرية المقارنة إلى عادية.
ويمكن قول الشيء نفسه عن الحالات التي تتم فيها مقارنة الكسر الدوري العشري بالأعداد الطبيعية أو الأعداد المختلطة، والكسور العادية - أرقام معينةيجب استبدالها بالكسور العادية المقابلة لها.
لو نحن نتحدث عنحول مقارنة الكسور غير الدورية اللانهائية، فإنه عادة ما يتم اختزاله إلى مقارنة الكسور العشرية المحدودة. للنظر فيها، يتم أخذ مثل هذا العدد من علامات الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية المقارنة، مما سيجعل من الممكن الحصول على نتيجة المقارنة.
الأعداد العشرية المتساوية وغير المتساوية
التعريف 1أعداد عشرية متساوية- هذان كسران عشريان منتهيان تتساوى كسورهما العادية المقابلة. في خلاف ذلكالكسور العشرية هي غير متكافئ.
بناءً على هذا التعريف، من السهل تبرير العبارة التالية: إذا قمت بالتوقيع أو، على العكس من ذلك، تجاهل عدة أرقام 0 في نهاية الكسر العشري المحدد، فستحصل على كسر عشري مساوٍ له. على سبيل المثال: 0، 5 = 0، 50 = 0، 500 = …. أو: 130،000 = 130، 00 = 130، 0 = 130. في الأساس، إضافة أو حذف صفر في نهاية الكسر على اليمين يعني ضرب أو قسمة البسط والمقام على 10 للكسر العادي المقابل. دعونا نضيف إلى ما سبق الخاصية الأساسية للكسور (عن طريق ضرب أو قسمة بسط ومقام الكسر على نفس العدد الطبيعي، نحصل على كسر يساوي الكسر الأصلي) ولدينا دليل على العبارة أعلاه.
على سبيل المثال، الكسر العشري 0.7 يتوافق مع الكسر المشترك 7 10. بإضافة صفر إلى اليمين، نحصل على عدد عشري 0، 70، وهو ما يتوافق مع الكسر المشترك 70100، 770100: 10 . أي: 0.7 = 0.70. والعكس صحيح: بطرح الصفر الموجود على اليمين في الكسر العشري 0، 70، نحصل على الكسر 0، 7 - وهكذا، من الكسر العشري 70100 نذهب إلى الكسر 7 10، ولكن 7 10 = 70: 10 100 : 10 ثم: 0, 70 = 0, 7 .
الآن فكر في محتوى مفهوم الكسور العشرية الدورية المتساوية وغير المتساوية.
التعريف 2
كسور دورية لا نهائية متساويةهي كسور دورية لا نهائية تكون الكسور العادية المقابلة لها متساوية. إذا كانت الكسور العادية المقابلة لها غير متساوية، فإن الكسور الدورية المعطاة للمقارنة متساوية أيضًا غير متكافئ.
هذا التعريف يسمح لنا باستخلاص الاستنتاجات التالية:
إذا كانت رموز الكسور العشرية الدورية متطابقة، فإن هذه الكسور متساوية. على سبيل المثال، الكسور العشرية الدورية 0.21 (5423) و0.21 (5423) متساوية؛
إذا كانت الفترات في الكسور العشرية الدورية تبدأ من نفس الموضع، فإن الكسر الأول له فترة 0، والثاني له فترة 9؛ قيمة الرقم الذي يسبق الفترة 0 أكبر من قيمة الرقم الذي يسبق الفترة 9، ثم تكون هذه الكسور العشرية الدورية اللانهائية متساوية. على سبيل المثال، الكسور الدورية 91، 3 (0) و 91، 2 (9)، وكذلك الكسور: 135، (0) و 134، (9) متساوية؛
أي كسرين دوريين آخرين غير متساويين. على سبيل المثال: 8، 0 (3) و6، (32)؛ 0 و (42) و 0 و (131) وما إلى ذلك.
يبقى النظر في الكسور العشرية غير الدورية المتساوية وغير المتكافئة. هذه الكسور هي أرقام غير منطقيةولا يمكن تحويلها إلى كسور عادية. وبالتالي، فإن مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية لا يتم اختزالها في مقارنة الكسور العادية.
التعريف 3
أعداد عشرية غير دورية لا نهائية متساوية- هذه كسور عشرية غير دورية تتطابق إدخالاتها تمامًا.
سيكون السؤال المنطقي هو: كيفية مقارنة السجلات إذا كان من المستحيل رؤية السجل "النهائي" لهذه الكسور؟ عند مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية، ما عليك سوى مراعاة بعضها الرقم النهائيعلامات الكسور المعطاة للمقارنة بحيث تسمح بالتوصل إلى استنتاج. أولئك. في الأساس، مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية هي مقارنة الكسور العشرية المحدودة.
يتيح هذا النهج تأكيد المساواة بين الكسور غير الدورية اللانهائية حتى الرقم المعني فقط. على سبيل المثال، الكسران 6، 73451... و 6، 73451... يساويان أقرب جزء من مائة ألف، لأن الكسور العشرية النهائية 6، 73451 و 6، 7345 متساوية. الكسور 20، 47... و20، 47... تساوي أقرب جزء من مائة، لأن الكسور 20، 47، 20، 47 وهكذا متساوية.
تم تحديد عدم المساواة بين الكسور غير الدورية اللانهائية بشكل محدد تمامًا مع وجود اختلافات واضحة في التدوين. على سبيل المثال، الكسور 6، 4135... و6، 4176... أو 4، 9824... و7، 1132... وهكذا غير متساوية.
قواعد مقارنة الكسور العشرية. حل الأمثلة
إذا ثبت أن اثنين من الكسور العشرية غير متساويين، فمن الضروري عادة أيضًا تحديد أيهما أكبر وأيهما أقل. دعونا ننظر في قواعد مقارنة الكسور العشرية، والتي تجعل من الممكن حل المشكلة المذكورة أعلاه.
في كثير من الأحيان يكفي فقط مقارنة أجزاء كاملة من الكسور العشرية المعطاة للمقارنة.
التعريف 4
الكسر العشري الذي الجزء الكاملالمزيد هو المزيد. والكسر الأصغر هو الذي يكون الجزء كله أصغر منه.
تنطبق هذه القاعدة على الكسور العشرية المحدودة وغير المحدودة.
مثال 1
من الضروري مقارنة الكسور العشرية: 7، 54 و 3، 97823....
حل
من الواضح تمامًا أن الكسور العشرية المعطاة ليست متساوية. أجزائها كلها متساوية على التوالي: 7 و 3. لأن 7 > 3، ثم 7، 54 > 3، 97823….
إجابة: 7 , 54 > 3 , 97823 … .
في حالة تساوي أجزاء الكسور المقدمة للمقارنة، يتم تقليل حل المشكلة إلى مقارنة الأجزاء الكسرية. تتم مقارنة الأجزاء الكسرية شيئًا فشيئًا - من مكان الأعشار إلى الأجزاء السفلية.
دعونا نفكر أولاً في الحالة التي نحتاج فيها إلى مقارنة الكسور العشرية المحدودة.
مثال 2
من الضروري مقارنة الكسور العشرية النهائية 0.65 و 0.6411.
حل
من الواضح أن الأجزاء الصحيحة من الكسور المعطاة متساوية (0 = 0). دعونا نقارن الأجزاء الكسرية: في خانة العشرات تكون القيم متساوية (6 = 6)، لكن في خانة الأجزاء من المائة قيمة الكسر 0.65 أكبر من قيمة خانة الأجزاء من المائة في الكسر 0.6411 (5 > 4) . وبالتالي، 0.65 > 0.6411.
إجابة: 0 , 65 > 0 , 6411 .
في بعض المسائل مقارنة الكسور العشرية المحدودة مع كميات مختلفةالمنازل العشرية، فمن الضروري إضافة العدد المطلوب من الأصفار على اليمين إلى الكسر الذي يحتوي على منازل عشرية أقل. ومن الملائم بهذه الطريقة مساواة عدد المنازل العشرية في الكسور المحددة حتى قبل بدء المقارنة.
مثال 3
من الضروري مقارنة الكسور العشرية النهائية 67، 0205 و 67، 020542.
حل
من الواضح أن هذه الكسور ليست متساوية، لأن سجلاتهم مختلفة. علاوة على ذلك، فإن أجزائهما الصحيحة متساوية: 67 = 67. قبل أن نبدأ المقارنة الثنائية للأجزاء الكسرية لكسور معينة، دعونا نساوي عدد المنازل العشرية عن طريق إضافة أصفار إلى اليمين في الكسور ذات المنازل العشرية الأقل. ثم نحصل على الكسور للمقارنة: 67، 020500 و 67، 020542. نجري مقارنة على مستوى البت ونرى أنه في مكان جزء من مائة ألف تكون القيمة في الكسر 67.020542 أكبر من القيمة المقابلة في الكسر 67.020500 (4 > 0). وهكذا، 67، 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .
إجابة: 67 , 0205 < 67 , 020542 .
إذا كنت بحاجة إلى مقارنة كسر عشري محدود بكسر عشري لا نهائي، إذن الكسر النهائييتم استبداله بواحد لا نهائي يساوي 0. ثم يتم إجراء مقارنة bitwise.
مثال 4
من الضروري مقارنة الكسر العشري المحدود 6، 24 مع الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 6، 240012 ...
حل
نلاحظ أن الأجزاء الصحيحة من الكسور المعطاة متساوية (6 = 6). وفي أماكن الأعشار والمئات، تكون قيم كلا الكسرين متساوية أيضًا. لكي نتمكن من استخلاص نتيجة، نواصل المقارنة، مع استبدال الكسر العشري المحدود بكسر لا نهائي مساو له فترة 0 ونحصل على: 6، 240000 .... وبعد أن وصلنا إلى العلامة العشرية الخامسة، نجد الفرق: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .
الجواب: 6، 24< 6 , 240012 … .
عند مقارنة الكسور العشرية اللانهائية، يتم أيضًا استخدام المقارنة مكانًا بمكان، والتي تنتهي عندما تكون القيم في مكان ما للكسور المعطاة مختلفة.
مثال 5
من الضروري مقارنة الكسور العشرية اللانهائية 7، 41 (15) و 7، 42172....
حل
في الكسور المعطاة توجد أعداد صحيحة متساوية، وقيم الأعشار متساوية أيضًا، لكن في مكان الأجزاء من المائة نرى فرقًا: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
إجابة: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
مثال 6
من الضروري مقارنة الكسور الدورية اللانهائية 4، (13) و 4، (131).
حل:
والمعادلات واضحة وصحيحة: 4، (13) = 4، 131313... و4، (133) = 4، 131131.... نقارن الأجزاء الصحيحة والأجزاء الكسرية ذات البتات، ونصلح التناقض عند العلامة العشرية الرابعة: 3 > 1. ثم: 4، 131313... > 4، 131131...، و4، (13) > 4، (131).
إجابة: 4 , (13) > 4 , (131) .
للحصول على نتيجة مقارنة كسر عشري بعدد طبيعي، عليك مقارنة الجزء الكامل من كسر معين بعدد طبيعي معين. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الكسور الدورية ذات الفترات 0 أو 9 يجب أن يتم تمثيلها أولاً في شكل كسور عشرية محدودة تساويها.
التعريف 5
إذا كان الجزء الصحيح من كسر عشري معين أقل من رقم طبيعي معين، فإن الكسر بأكمله يكون أصغر بالنسبة للرقم الطبيعي المحدد. إذا كان الجزء الصحيح من كسر معين أكبر من أو يساوي عددًا طبيعيًا معينًا، فإن الكسر أكبر من العدد الطبيعي المحدد.
مثال 7
ولا بد من مقارنة العدد الطبيعي 8 والكسر العشري 9، 3142....
حل:
العدد الطبيعي المعطى أقل من الجزء الكامل من الكسر العشري المحدد (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
إجابة: 8 < 9 , 3142 … .
مثال 8
ومن الضروري مقارنة العدد الطبيعي 5 والكسر العشري 5، 6.
حل
الجزء الصحيح من كسر معين يساوي عددًا طبيعيًا معينًا، إذن وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه، 5< 5 , 6 .
إجابة: 5 < 5 , 6 .
مثال 9
ومن الضروري مقارنة العدد الطبيعي 4 والكسر العشري الدوري 3، (9).
حل
الفترة الزمنية لكسر عشري معين هي 9، مما يعني أنه قبل المقارنة من الضروري استبدال الكسر العشري المحدد بعدد محدود أو طبيعي يساويه. في في هذه الحالة: 3، (9) = 4. وبالتالي، فإن البيانات الأصلية متساوية.
الجواب: 4 = 3، (9).
لمقارنة كسر عشري بكسر أو رقم كسري، يجب عليك:
اكتب كسرًا أو عددًا مختلطًا في صورة عدد عشري، ثم قارن بين الأعداد العشرية أو
- كتابة كسر عشري ككسر عادي (باستثناء الكسر غير الدوري اللانهائي)، ثم إجراء مقارنة مع كسر مشترك معين أو رقم مختلط.
مثال 10
من الضروري مقارنة الكسر العشري 0.34 والكسر المشترك 1 3.
حل
دعونا نحل المشكلة بطريقتين.
- لنكتب الكسر العادي المعطى 1 3 على شكل كسر عشري دوري متساوي: 0، 33333.... ومن ثم يصبح من الضروري مقارنة الكسور العشرية 0، 34 و0، 33333.... نحصل على: 0، 34 > 0، 33333 ...، وهو ما يعني 0، 34 > 1 3.
- لنكتب الكسر العشري المعطى 0، 34 ككسر عادي يساويه. أي: 0، 34 = 34,100 = 17,50. دعونا نقارن الكسور العادية مع قواسم مختلفةونحصل على: 17 50 > 1 3 . وبالتالي، 0، 34 > 1 3.
إجابة: 0 , 34 > 1 3 .
مثال 11
من الضروري مقارنة الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 4، 5693 ... والرقم المختلط 4 3 8 .
حل
لا يمكن تمثيل الكسر العشري غير الدوري اللانهائي كرقم مختلط، ولكن من الممكن تحويل رقم مختلط إلى جزء غير لائق، وقم بدوره بكتابتها على شكل كسر عشري يساويها. ثم: 4 3 8 = 35 8 و
أولئك.: 4 3 8 = 35 8 = 4.375. دعونا نقارن الكسور العشرية: 4، 5693 ... و 4، 375 (4، 5693 ... > 4، 375) ونحصل على: 4، 5693 ... > 4 3 8.
إجابة: 4 , 5693 … > 4 3 8 .
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
في هذا المقال سننظر في الموضوع " مقارنة الأعداد العشرية" أولا دعونا نناقش المبدأ العاممقارنة الكسور العشرية. بعد ذلك، سنكتشف أي الكسور العشرية متساوية وأيها غير متساوية. بعد ذلك، سوف نتعلم كيفية تحديد الكسر العشري الأكبر وأيه الأصغر. للقيام بذلك، سوف ندرس قواعد مقارنة الكسور المحدودة، الدورية اللانهائية والكسور غير الدورية اللانهائية. وسنقدم النظرية بأكملها مع الأمثلة حلول مفصلة. في الختام، دعونا نلقي نظرة على مقارنة الكسور العشرية مع الأعداد الطبيعية والكسور العادية والأعداد الكسرية.
لنفترض على الفور أننا سنتحدث هنا فقط عن مقارنة الكسور العشرية الموجبة (انظر الأرقام الموجبة والسالبة). تتم مناقشة الحالات المتبقية في المقالات مقارنة الأعداد العقلانية و مقارنة الأعداد الحقيقية.
التنقل في الصفحة.
المبدأ العام لمقارنة الكسور العشرية
بناءً على مبدأ المقارنة هذا، يتم اشتقاق قواعد مقارنة الكسور العشرية، مما يجعل من الممكن الاستغناء عن تحويل الكسور العشرية المقارنة إلى كسور عادية. وسنناقش هذه القواعد، بالإضافة إلى أمثلة لتطبيقها، في الفقرات التالية.
يتم استخدام مبدأ مماثل لمقارنة الكسور العشرية المحدودة أو الكسور العشرية الدورية اللانهائية مع الأعداد الطبيعية والكسور العادية والأرقام المختلطة: يتم استبدال الأرقام المقارنة بالكسور العادية المقابلة لها، وبعد ذلك تتم مقارنة الكسور العادية.
بخصوص مقارنات الأعداد العشرية غير الدورية اللانهائية، فعادةً ما يتعلق الأمر بمقارنة الكسور العشرية المحدودة. للقيام بذلك، ضع في اعتبارك عدد علامات الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية التي تمت مقارنتها والتي تتيح لك الحصول على نتيجة المقارنة.
الأعداد العشرية المتساوية وغير المتساوية
أولا نقدم تعريفات الكسور العشرية المتساوية وغير المتساوية.
تعريف.
يتم استدعاء الكسور العشرية النهائية متساوي، إذا كانت الكسور العادية المقابلة لها متساوية، وإلا تسمى هذه الكسور العشرية غير متكافئ.
بناءً على هذا التعريف، من السهل تبرير العبارة التالية: إذا قمت بإضافة أو تجاهل عدة أرقام 0 في نهاية كسر عشري معين، فستحصل على كسر عشري مساوٍ له. على سبيل المثال، 0.3=0.30=0.300=…، و140.000=140.00=140.0=140.
في الواقع، فإن إضافة صفر أو التخلص منه في نهاية الكسر العشري على اليمين يتوافق مع ضرب أو قسمة البسط والمقام على 10 للكسر العادي المقابل. ونحن نعرف الخاصية الأساسية للكسر، والتي تنص على أن ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي يعطي كسرًا مساويًا للكسر الأصلي. وهذا يثبت أن إضافة أو حذف الأصفار إلى اليمين في الجزء الكسري من العلامة العشرية يعطي كسرًا مساويًا للكسر الأصلي.
على سبيل المثال، الكسر العشري 0.5 يتوافق مع الكسر المشترك 5/10، بعد إضافة صفر إلى اليمين، الكسر العشري 0.50 يتوافق مع الكسر المشترك 50/100، و. وبالتالي، 0.5 = 0.50. على العكس من ذلك، إذا قمنا في الكسر العشري 0.50 بتجاهل 0 على اليمين، فإننا نحصل على الكسر 0.5، لذلك من الكسر العادي 50/100 نأتي إلى الكسر 5/10، ولكن 
. ولذلك، 0.50 = 0.5.
دعنا ننتقل إلى تحديد الكسور العشرية الدورية المتساوية وغير المتساوية اللانهائية.
تعريف.
اثنين من الكسور الدورية لا حصر لها متساوي، إذا كانت الكسور العادية المتناظرة متساوية؛ إذا كانت الكسور العادية المقابلة لها غير متساوية، فإن الكسور الدورية المقارنة متساوية أيضًا غير متساوي.
من هذا التعريففيما يلي ثلاثة استنتاجات:
- إذا كانت رموز الكسور العشرية الدورية متطابقة تمامًا، فإن هذه الكسور العشرية الدورية اللانهائية تكون متساوية. على سبيل المثال، الكسور العشرية الدورية 0.34(2987) و0.34(2987) متساوية.
- إذا بدأت فترات الكسور الدورية العشرية المقارنة من نفس الموضع، فإن الكسر الأول له فترة 0، والثاني له فترة 9، وقيمة الرقم الذي يسبق الفترة 0 أكبر من قيمة الرقم بمقدار واحد الفترة السابقة 9، فإن هذه الكسور العشرية الدورية اللانهائية متساوية. على سبيل المثال، الكسور الدورية 8,3(0) و8,2(9) متساوية، والكسور 141,(0) و140,(9) متساوية أيضًا.
- أي كسرين دوريين آخرين غير متساويين. فيما يلي أمثلة على الكسور العشرية الدورية غير المتساوية اللانهائية: 9,0(4) و7 و(21) و0 و(12) و0 و(121) و10 و(0) و9,8(9).
يبقى للتعامل معها الكسور العشرية غير الدورية المتساوية وغير المتساوية. وكما هو معروف، لا يمكن تحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية (مثل هذه الكسور العشرية تمثل أرقامًا غير نسبية)، وبالتالي لا يمكن اختزال مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية إلى مقارنة الكسور العادية.
تعريف.
عددان عشريان غير دوريين لا نهائيين متساويإذا كانت سجلاتهم متطابقة تمامًا.
ولكن هناك تحذير واحد: من المستحيل رؤية السجل "النهائي" للكسور العشرية غير الدورية التي لا نهاية لها، لذلك من المستحيل التأكد من المصادفة الكاملة لسجلاتها. كيف تكون؟
عند مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية، يتم الأخذ في الاعتبار فقط عدد محدود من علامات الكسور التي تتم مقارنتها، مما يسمح للمرء باستخلاص الاستنتاجات اللازمة. وبالتالي، يتم تقليل مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية إلى مقارنة الكسور العشرية المحدودة.
من خلال هذا النهج، يمكننا التحدث عن مساواة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية حتى الرقم المعني فقط. دعونا نعطي أمثلة. الأعداد العشرية غير الدورية اللانهائية 5.45839... و5.45839... تساوي أقرب مائة ألف، حيث أن الأعداد العشرية المحدودة 5.45839 و5.45839 متساوية؛ الكسور العشرية غير الدورية 19.54... و 19.54810375... تساوي أقرب جزء من مائة، لأنها تساوي الكسرين 19.54 و 19.54.
مع هذا النهج، يتم تحديد عدم المساواة في الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية بشكل مؤكد تمامًا. على سبيل المثال، الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية 5.6789... و5.67732... غير متساوية، لأن الاختلافات في رموزها واضحة (الكسران العشريان المحدودان 5.6789 و5.6773 غير متساويين). الأعداد العشرية اللانهائية 6.49354... و 7.53789... ليست متساوية أيضًا.
قواعد مقارنة الكسور العشرية والأمثلة والحلول
بعد إثبات حقيقة أن كسرين عشريين غير متساويين، غالبًا ما تحتاج إلى معرفة أي من هذه الكسور أكبر وأيهما أقل من الآخر. سننظر الآن إلى قواعد مقارنة الكسور العشرية، مما يسمح لنا بالإجابة على السؤال المطروح.
في كثير من الحالات، يكفي مقارنة أجزاء كاملة من الكسور العشرية الجاري مقارنتها. ما يلي صحيح قواعد مقارنة الأعداد العشرية: الأكبر هو الكسر العشري الذي كل جزء منه أكبر، والأصغر هو الكسر العشري الذي كل جزء منه أصغر.
تنطبق هذه القاعدة على الكسور العشرية المحدودة وغير المحدودة. دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة.
مثال.
قارن بين الأعداد العشرية 9.43 و 7.983023….
حل.
ومن الواضح أن هذه الأعداد العشرية ليست متساوية. الجزء الصحيح من الكسر العشري المحدود 9.43 يساوي 9، والجزء الصحيح من الكسر العشري المحدود 9.43 يساوي 9، والجزء الصحيح من الكسر العشري المنتهي 9.43 يساوي 9 جزء غير دوري 7.983023... يساوي 7. منذ 9>7 (انظر مقارنة الأعداد الطبيعية)، ثم 9.43>7.983023.
إجابة:
9,43>7,983023 .
مثال.
أي كسر عشري 49.43(14) و1045.45029... أصغر؟
حل.
الجزء الصحيح من الكسر الدوري 49.43(14) أقل من الجزء الصحيح من الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 1045.45029...، وبالتالي 49.43(14)<1 045,45029… .
إجابة:
49,43(14) .
إذا كانت الأجزاء الصحيحة من الكسور العشرية التي تتم مقارنتها متساوية، فلمعرفة أي منها أكبر وأيها أقل، عليك مقارنة الأجزاء الكسرية. تتم مقارنة الأجزاء الكسرية من الكسور العشرية شيئًا فشيئًا- من فئة الأعشار إلى الأدنى منها.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على مثال لمقارنة كسرين عشريين.
مثال.
قارن بين الكسور العشرية النهائية 0.87 و0.8521.
حل.
الأجزاء الصحيحة من هذه الكسور العشرية متساوية (0=0)، لذلك ننتقل إلى مقارنة الأجزاء الكسرية. قيم خانة العشرات متساوية (8=8)، وقيمة خانة الأجزاء من المئة من الكسر أكبر بمقدار 0.87 من قيمة خانة الأجزاء من المئة من الكسر 0.8521 (7>5). لذلك، 0.87>0.8521.
إجابة:
0,87>0,8521 .
في بعض الأحيان، لمقارنة الكسور العشرية النهائية بأعداد مختلفة من المنازل العشرية، يجب إلحاق الكسور ذات المنازل العشرية الأقل بعدد من الأصفار إلى اليمين. من السهل جدًا مساواة عدد المنازل العشرية قبل البدء في مقارنة الكسور العشرية النهائية عن طريق إضافة عدد معين من الأصفار إلى يمين أحدها.
مثال.
قارن بين الأعداد العشرية النهائية 18.00405 و18.0040532.
حل.
من الواضح أن هذه الكسور غير متساوية، لأن رموزها مختلفة، ولكنها في نفس الوقت لها أجزاء صحيحة متساوية (18 = 18).
قبل المقارنة الثنائية للأجزاء الكسرية لهذه الكسور، نقوم بمساواة عدد المنازل العشرية. للقيام بذلك، نضيف رقمين 0 في نهاية الكسر 18.00405، ونحصل على كسر عشري مساوٍ 18.0040500.
قيم منازل عشريةالكسران 18.0040500 و18.0040532 يساويان ما يصل إلى جزء من مائة ألف، وقيمة خانة المليون من الكسر هي 18.0040500 أقل من القيمةالرقم المقابل للكسر 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
إجابة:
18,00405<18,0040532 .
عند مقارنة كسر عشري محدود بكسر لا نهائي، يتم استبدال الكسر المحدود بكسر دوري لا نهائي مساو له فترة 0، وبعد ذلك يتم إجراء المقارنة بالرقم.
مثال.
قارن العلامة العشرية المنتهية 5.27 مع العلامة العشرية غير الدورية اللانهائية 5.270013... .
حل.
الأجزاء الكاملة لهذه الكسور العشرية متساوية. قيم أرقام أعشار ومئات من هذه الكسور متساوية، ومن أجل إجراء مزيد من المقارنة، نستبدل الكسر العشري المحدود بكسر دوري لا نهائي مساوٍ له الفترة 0 من الشكل 5.270000.... وحتى الخانة العشرية الخامسة تكون قيم الخانات العشرية 5.270000... و5.270013... متساوية، وعند الخانة العشرية الخامسة لدينا 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
إجابة:
5,27<5,270013… .
يتم أيضًا إجراء مقارنة بين الكسور العشرية اللانهائية في مكانهاوينتهي بمجرد اختلاف قيم بعض الأرقام.
مثال.
قارن بين الأعداد العشرية اللانهائية 6.23(18) و6.25181815….
حل.
جميع أجزاء هذه الكسور متساوية، كما أن قيم المنازل العشرية متساوية أيضًا. وقيمة الجزء من المائة من الكسر الدوري 6.23(18) أقل من الرقم من المائة من الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 6.25181815... وبالتالي 6.23(18)<6,25181815… .
إجابة:
6,23(18)<6,25181815… .
مثال.
أي من الأعداد العشرية الدورية اللانهائية 3,(73) و3,(737) أكبر؟
حل.
ومن الواضح أن 3(73)=3.73737373… و3(737)=3.737737737…. عند العلامة العشرية الرابعة تنتهي المقارنة بالبت، حيث لدينا 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
إجابة:
3,(737) .
مقارنة الأعداد العشرية بالأعداد الطبيعية والكسور والأعداد الكسرية.
يمكن الحصول على نتيجة مقارنة الكسر العشري بعدد طبيعي من خلال مقارنة الجزء الصحيح من كسر معين بعدد طبيعي معين. في هذه الحالة، يجب أولاً استبدال الكسور الدورية ذات الفترات 0 أو 9 بكسور عشرية محدودة مساوية لها.
ما يلي صحيح قاعدة المقارنة بين الكسور العشرية والأعداد الطبيعية: إذا كان الجزء الكامل من الكسر العشري أقل من عدد طبيعي معين، فإن الكسر الكامل أصغر من هذا العدد الطبيعي؛ إذا كان الجزء الصحيح من الكسر أكبر من أو يساوي عددًا طبيعيًا معينًا، فإن الكسر أكبر من العدد الطبيعي المحدد.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق قاعدة المقارنة هذه.
مثال.
قارن بين العدد الطبيعي 7 والكسر العشري 8.8329....
حل.
بما أن عددًا طبيعيًا معينًا أقل من الجزء الصحيح لكسر عشري معين، فإن هذا الرقم أقل من كسر عشري معين.
إجابة:
7<8,8329… .
مثال.
قارن بين العدد الطبيعي 7 والكسر العشري 7.1.
القطعة AB تساوي 6 سم، أي 60 ملم. بما أن 1 سم = دسم، إذن 6 سم = دسم. وهذا يعني أن AB يساوي 0.6 dm. بما أن 1 مم = dm، فإن 60 مم = dm. وهذا يعني AB = 0.60 ديسيمتر.
وبالتالي، AB = 0.6 dm = 0.60 dm. وهذا يعني أن الكسرين العشريين 0.6 و0.60 يعبران عن طول القطعة نفسها بالديسيمترات. هذه الكسور متساوية مع بعضها البعض: 0.6 = 0.60.
إذا أضفت صفرًا أو تجاهلت الصفر في نهاية الكسر العشري، فستحصل على جزء، يساوي هذا.
على سبيل المثال،
0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.
دعونا نقارن بين كسرين عشريين 5.345 و5.36. دعونا نساوي عدد المنازل العشرية بإضافة صفر إلى يمين الرقم 5.36. نحصل على الكسرين 5.345 و5.360.
لنكتبها على شكل كسور غير حقيقية:
هذه الكسور لها نفس القواسم. وهذا يعني أن البسط الأكبر هو الأكبر.
منذ 5345< 5360, то 
وهو ما يعني 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
لمقارنة كسرين عشريين، يجب عليك أولاً مساواة عدد المنازل العشرية عن طريق إضافة أصفار إلى أحدهما على اليمين، ثم التخلص من الفاصلة، ومقارنة الناتج الأعداد الصحيحة.
يمكن تمثيل الكسور العشرية على الشعاع الإحداثي بنفس طريقة تمثيل الكسور العادية.
على سبيل المثال، لتصوير الكسر العشري 0.4 على شعاع إحداثي، فإننا نمثله أولاً ككسر عادي: 0.4 = ثم نضع جانبًا أربعة أعشار قطعة الوحدة من بداية الشعاع. نحصل على النقطة A(0,4) (الشكل 141).
يتم تمثيل الكسور العشرية المتساوية على الشعاع الإحداثي بنفس النقطة.
على سبيل المثال، يتم تمثيل الكسرين 0.6 و0.60 بنقطة واحدة B (انظر الشكل 141).
يقع الكسر العشري الأصغر شعاع الإحداثياتعن يسار الأكبر، والأكبر عن يمين الأصغر.
على سبيل المثال، 0.4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).
هل يتغير العدد العشري إذا أضيف صفر إلى النهاية؟
A6 الأصفار؟
صياغة قاعدة المقارنة عدد عشريالكسور.
1172. اكتب الكسر العشري:
أ) بأربع منازل عشرية، تساوي 0.87؛
ب) بخمس منازل عشرية، تساوي 0.541؛
ج) بثلاثة أرقام بعد مشغولة، تساوي 35؛
د) بمنزلتين عشريتين يساوي 8.40000.
1173. عن طريق إضافة الأصفار إلى اليمين، قم بمساواة عدد المنازل العشرية في الكسور العشرية: 1.8؛ 13.54 و 0.789.
1174. اكتب الكسور الأقصر: 2.5000؛ 3.02000; 20,010.
85.09 و 67.99؛ 55.7 و55.7000؛ 0.5 و 0.724؛ 0.908 و 0.918؛ 7.6431 و7.6429؛ 0.0025 و 0.00247.
1176. رتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا:
3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.
0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091
ترتيب تنازليا.
أ) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
ب) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
ج) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.
1184. قارن القيم:
أ) 98.52 م و 65.39 م؛ ه) 0.605 طن و691.3 كجم؛
ب) 149.63 كجم و150.08 كجم؛ و) 4.572 كم و4671.3 م؛
ج) 3.55 درجة مئوية و3.61 درجة مئوية؛ ز) 3.835 هكتار و383.7 أ؛
د) 6.781 ساعة و6.718 ساعة؛ ح) 7.521 لتر و 7538 سم3.
هل من الممكن مقارنة 3.5 كجم و 8.12 م؟ أعط بعض الأمثلة على الكميات التي لا يمكن مقارنتها.
1185. احسب شفويا:
1186. استعادة سلسلة الحسابات
1187. هل من الممكن تحديد عدد الأرقام بعد العلامة العشرية الموجودة في الكسر العشري إذا كان اسمه ينتهي بكلمة:
أ) أجزاء من المئات؛ ب) عشرة آلاف؛ ج) أعشار. د) المليون؟
محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والتدريبات، والحالات، والمهام، والواجبات المنزلية، وأسئلة المناقشة، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للسنة توصيات منهجية دروس متكاملة