متى تتضاعف الاحتمالات ومتى تضيف؟ الأخطاء النموذجية عند حل المشكلات في نظرية الاحتمالات

مفاهيم أساسية
تسمى الأحداث غير متوافقة إذا كان وقوع أحدها يستبعد وقوع أحداث أخرى في نفس التجربة. وإلا فإنها تسمى مشتركة.
المجموعة الكاملة هي مجموعة من الأحداث، والجمع بينها هو حدث موثوق.
الحدثان الوحيدان المحتملان اللذان يشكلان مجموعة كاملة يُطلق عليهما اسم الحدثين المعاكسين.
تسمى الأحداث تابعة إذا كان احتمال حدوث أحدها يعتمد على وقوع أو عدم وقوع أحداث أخرى.
تسمى الأحداث مستقلة إذا كان احتمال وقوع إحداها لا يعتمد على حدوث أو عدم وقوع أحداث أخرى.
نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة
ف(أ+ب)=ف(أ)+ف(ب)،
حيث A، B حدثان غير متوافقين.

نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)، حيث A وB حدثان مشتركان.

نظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة
,
حيث A و B حدثان مستقلان.
نظرية ضرب احتمالات الأحداث التابعة
ف(AB)=ف(أ)ف أ (ب)،
حيث P A (B) هو احتمال وقوع الحدث B، بشرط وقوع الحدث A؛ A و B حدثان تابعان.

مهمة 1.
يطلق مطلق النار طلقتين على الهدف. احتمال ضرب كل طلقة هو 0.8. قم بتأليف مجموعة كاملة من الأحداث وأوجد احتمالاتها. حل.
الاختبار - تم إطلاق طلقتين على الهدف.
حدث أ- غاب في المرتين.
حدث في- ضرب مرة واحدة.
حدث مع- ضرب في المرتين.
.

يتحكم: ف(أ) +ف(ب) +ف(ج) = 1.
المهمة 2.
وفقا لتوقعات خبراء الأرصاد الجوية، P(المطر)=0.4؛ ف (الرياح) = 0.7؛ R(المطر والرياح)=0.2. ما هو احتمال هطول الأمطار أو الرياح؟ حل. ومن خلال نظرية جمع الاحتمالات ونظرا لتوافق الأحداث المقترحة نحصل على:
P(المطر أو الرياح أو كليهما)=P(المطر) +P(الرياح) –P(المطر والرياح)=0.4+0.7-0.2=0.9.
المهمة 3.
يوجد في محطة المغادرة 8 طلبات للبضائع المراد إرسالها: خمسة للشحنات المحلية وثلاثة للتصدير. ما هو احتمال أن يكون الطلبان اللذان تم اختيارهما عشوائيًا للاستهلاك المحلي؟ حل.حدث أ- الطلب الأول الذي يتم أخذه عشوائيًا يكون داخل الدولة. حدث في– والثاني مخصص أيضًا للاستهلاك المحلي. علينا إيجاد الاحتمال، ومن خلال نظرية ضرب احتمالات الأحداث التابعة

المهمة 4.
من بين مجموعة من المنتجات، يقوم التاجر باختيار المنتجات الأعلى جودة بشكل عشوائي. احتمال أن يكون العنصر المحدد بأعلى جودة هو 0.8؛ الصف الأول - 0.7؛ الصف الثاني - 0.5. أوجد احتمال أن يكون من بين ثلاثة منتجات تم اختيارها عشوائيًا:
أ) درجتان متميزتان فقط؛
ب) الجميع مختلفون. حل.دع الحدث يكون منتجًا بأعلى مستويات الجودة؛ الحدث - منتج من الدرجة الأولى؛ الحدث هو منتج من الدرجة الثانية.
حسب ظروف المشكلة؛ ; الأحداث مستقلة.
أ) الحدث أ- سيبدو منتجان فقط من الدرجة الأولى بهذا الشكل

ب) الحدث في- جميع المنتجات الثلاثة مختلفة - دعنا نضع الأمر على هذا النحو: ، ثم .
المهمة 5.
احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق النار من ثلاث بنادق هي كما يلي: ص1= 0,8; ص2=0,7; ص3=0.9. أوجد احتمالية حدوث نتيجة واحدة على الأقل (event أ) مع طلقة واحدة من جميع الأسلحة. حل.إن احتمال إصابة كل بندقية بالهدف لا يعتمد على نتائج إطلاق النار من أسلحة أخرى، وبالتالي فإن الأحداث قيد النظر (الإصابة بالمدفع الأول)، (الإصابة بالمدفع الثاني)، (الإصابة بالمدفع الثالث) مستقلة في المجموع.
احتمالات الأحداث المعاكسة للأحداث (أي احتمال الأخطاء) تساوي على التوالي:

الاحتمالية المطلوبة
المهمة 6.
تحتوي دار الطباعة على 4 آلات طباعة. لكل جهاز، احتمال تشغيله حاليًا هو 0.9. ابحث عن احتمال أن يعمل جهاز واحد على الأقل حاليًا (event أ). حل.الحدثان "الآلة تعمل" و"الآلة لا تعمل" (في الوقت الحالي) متضادان، وبالتالي فإن مجموع احتمالاتهما يساوي واحدًا:
وبالتالي فإن احتمال أن الجهاز لا يعمل حاليًا يساوي
الاحتمال المطلوب المشكلة 7. يوجد في غرفة القراءة 6 كتب دراسية عن نظرية الاحتمالات، ثلاثة منها مجلدة. أخذ أمين المكتبة كتابين مدرسيين بشكل عشوائي. أوجد احتمال ارتباط كلا الكتابين المدرسيين.

حل.خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:
A1 - أول كتاب دراسي مجلد تم أخذه؛
A2 هو الكتاب المدرسي الثاني الذي تم أخذه.
حدث يتمثل في حقيقة أن كلا الكتب المدرسية المأخوذة ملزمة. الحدثان A1 وA2 يعتمدان على بعضهما البعض، حيث أن احتمال وقوع الحدث A2 يعتمد على وقوع الحدث A1. لحل هذه المشكلة، نستخدم نظرية ضرب احتمالات الأحداث التابعة: .
احتمال وقوع الحدث A1 p(A1) وفق التعريف الكلاسيكي للاحتمال:
ف(A1)=م/ن=3/6=0.5.
يتم تحديد احتمالية وقوع الحدث A2 من خلال الاحتمال المشروط لحدوث الحدث A2 الخاضع لوقوع الحدث A1، أي. (أ2)==0.4.
ثم الاحتمال المطلوب لحدوث الحدث:
ف(أ)=0.5*0.4=0.2.

تبدأ دراسة نظرية الاحتمالات بحل المسائل التي تتضمن جمع وضرب الاحتمالات. ومن الجدير بالذكر على الفور أن الطالب قد يواجه مشكلة عند إتقان هذا المجال من المعرفة: إذا كان من الممكن تمثيل العمليات الفيزيائية أو الكيميائية بصريًا وفهمها تجريبيًا، فإن مستوى التجريد الرياضي مرتفع جدًا، ولا يأتي الفهم هنا إلا مع الخبرة.

ومع ذلك، فإن اللعبة تستحق كل هذا العناء، لأن الصيغ - سواء تلك التي تمت مناقشتها في هذه المقالة أو الأكثر تعقيدًا - تُستخدم في كل مكان اليوم وقد تكون مفيدة في العمل.

أصل

ومن الغريب أن الدافع لتطوير هذا الفرع من الرياضيات كان... المقامرة. في الواقع، يعتبر النرد، ورمي العملة، والبوكر، والروليت من الأمثلة النموذجية التي تستخدم الجمع والضرب للاحتمالات. ويمكن ملاحظة ذلك بوضوح باستخدام أمثلة المشكلات الموجودة في أي كتاب مدرسي. كان الناس مهتمين بمعرفة كيفية زيادة فرصهم في الفوز، ولا بد من القول أن البعض نجح في ذلك.

على سبيل المثال، بالفعل في القرن الحادي والعشرين، استخدم شخص واحد، لن نكشف عن اسمه، هذه المعرفة المتراكمة على مر القرون "لتنظيف" الكازينو حرفيًا، وربح عشرات الملايين من الدولارات في لعبة الروليت.

ومع ذلك، على الرغم من الاهتمام المتزايد بالموضوع، بحلول القرن العشرين فقط تم تطوير الإطار النظري الذي جعل "النظرية" كاملة. اليوم، في أي علم تقريبًا يمكن للمرء العثور على حسابات باستخدام الأساليب الاحتمالية.

القابلية للتطبيق

هناك نقطة مهمة عند استخدام الصيغ لجمع وضرب الاحتمالات والاحتمالات الشرطية وهي مدى استيفاء نظرية الحد المركزي. وإلا، على الرغم من أن الطالب قد لا يدرك ذلك، فإن جميع الحسابات، بغض النظر عن مدى معقوليتها، ستكون غير صحيحة.

نعم، يميل الطالب ذو الحافز العالي إلى استخدام المعرفة الجديدة في كل فرصة. ولكن في هذه الحالة، من الضروري التباطؤ قليلاً وتحديد نطاق التطبيق بدقة.

تتعامل نظرية الاحتمالات مع الأحداث العشوائية، والتي تمثل من الناحية التجريبية نتائج التجارب: يمكننا رمي حجر نرد ذي ستة جوانب، وسحب بطاقة من مجموعة أوراق اللعب، والتنبؤ بعدد الأجزاء المعيبة في الدفعة. ومع ذلك، في بعض الأسئلة يمنع منعا باتا استخدام الصيغ من هذا القسم من الرياضيات. سنناقش ميزات النظر في احتمالات حدث ما، ونظريات جمع وضرب الأحداث في نهاية المقال، لكن الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.

مفاهيم أساسية

يشير الحدث العشوائي إلى بعض العمليات أو النتائج التي قد تظهر أو لا تظهر كنتيجة للتجربة. على سبيل المثال، نقوم برمي شطيرة - يمكن أن يسقط جانب الزبدة لأعلى أو جانب الزبدة لأسفل. وستكون أي من النتيجتين عشوائية، ولا نعرف مقدما أي منهما سيحدث.

عند دراسة جمع وضرب الاحتمالات، سنحتاج إلى مفهومين آخرين.

وتسمى مثل هذه الأحداث مشتركة، ووقوع أحدهما لا يمنع وقوع الآخر. لنفترض أن شخصين يطلقان النار على هدف في نفس الوقت. إذا أنتج أحدهم واحدة ناجحة، فلن يؤثر ذلك بأي شكل من الأشكال على قدرة الثانية على ضرب عين الثور أو تفويتها.

الأحداث غير المتوافقة هي تلك الأحداث التي يكون حدوثها في نفس الوقت مستحيلاً. على سبيل المثال، إذا قمت بإخراج كرة واحدة فقط من الصندوق، فلن تتمكن من الحصول على اللونين الأزرق والأحمر في وقت واحد.

تعيين

يُشار إلى مفهوم الاحتمالية بالحرف اللاتيني الكبير P. وبعد ذلك بين قوسين توجد الحجج التي تشير إلى أحداث معينة.

في صيغ نظرية الجمع والاحتمال الشرطي ونظرية الضرب، سترى تعبيرات بين قوسين، على سبيل المثال: A+B، AB أو A|B. وسيتم حسابها بطرق مختلفة، وسوف ننتقل إليها الآن.

إضافة

دعونا نفكر في الحالات التي يتم فيها استخدام صيغ جمع وضرب الاحتمالات.

بالنسبة للأحداث غير المتوافقة، فإن أبسط صيغة جمع تكون ذات صلة: احتمال أي من النتائج العشوائية سيكون مساويًا لمجموع احتمالات كل من هذه النتائج.

لنفترض أن هناك صندوقًا يحتوي على كرتين زرقاء و3 حمراء و5 كرات صفراء. يوجد إجمالي 10 عناصر في الصندوق. ما صحة عبارة أننا سنرسم كرة زرقاء أو حمراء؟ فيكون يساوي 2/10 + 3/10، أي خمسين بالمائة.

في حالة الأحداث غير المتوافقة، تصبح الصيغة أكثر تعقيدا، حيث يتم إضافة مصطلح إضافي. ولنعود إليها في فقرة واحدة، بعد النظر في صيغة أخرى.

عمليه الضرب

يتم استخدام جمع وضرب احتمالات الأحداث المستقلة في حالات مختلفة. إذا كنا، وفقا لشروط التجربة، راضين عن أي من النتيجتين المحتملتين، فسوف نحسب المجموع؛ إذا أردنا الحصول على نتيجتين مؤكدتين واحدة تلو الأخرى، فسنلجأ إلى استخدام صيغة مختلفة.

وبالعودة إلى المثال من القسم السابق، نريد رسم الكرة الزرقاء أولاً ثم الكرة الحمراء. نحن نعرف الرقم الأول - وهو 2/10. ماذا حدث بعد ذلك؟ هناك 9 كرات متبقية، ولا يزال هناك نفس العدد من الكرات الحمراء - ثلاثة. حسب الحسابات ستكون 3/9 أو 1/3. ولكن ماذا تفعل الآن برقمين؟ الإجابة الصحيحة هي أن تضرب لتحصل على 2/30.

الأحداث المشتركة

الآن يمكننا أن ننتقل مرة أخرى إلى صيغة مجموع الأحداث المشتركة. لماذا انحرفنا عن الموضوع؟ لمعرفة كيفية مضاعفة الاحتمالات. الآن سوف نحتاج إلى هذه المعرفة.

نحن نعلم بالفعل ما سيكون عليه الحدان الأولان (كما هو الحال في صيغة الجمع التي ناقشناها سابقًا)، لكننا الآن بحاجة إلى طرح حاصل ضرب الاحتمالات، الذي تعلمنا حسابه للتو. من أجل الوضوح، دعونا نكتب الصيغة: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). اتضح أنه يتم استخدام جمع وضرب الاحتمالات في تعبير واحد.

لنفترض أنه يتعين علينا حل أي من المشكلتين من أجل الحصول على الائتمان. يمكننا حل الأول باحتمال 0.3، والثاني باحتمال 0.6. الحل: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. لاحظ أن مجرد إضافة الأرقام هنا لن يكون كافيًا.

احتمال مشروط

وأخيرا، هناك مفهوم الاحتمال الشرطي، الذي يشار إلى حججه بين قوسين ويفصل بينها شريط عمودي. يقرأ الإدخال P(A|B) كما يلي: "احتمال وقوع الحدث A مع الحدث B."

دعونا نلقي نظرة على مثال: أعطاك أحد الأصدقاء جهازًا ما، فليكن هاتفًا. وقد يكون مكسورًا (20%) أو سليمًا (80%). أنت قادر على إصلاح أي جهاز يقع بين يديك باحتمال 0.4، أو أنك غير قادر على القيام بذلك (0.6). وأخيرًا، إذا كان الجهاز يعمل، يمكنك الوصول إلى الشخص المناسب باحتمال 0.7.

من السهل أن نرى كيف يلعب الاحتمال الشرطي في هذه الحالة: لن تتمكن من الوصول إلى الشخص إذا كان الهاتف معطلاً، ولكن إذا كان يعمل، فلن تحتاج إلى إصلاحه. وبالتالي، من أجل الحصول على أي نتائج في "المستوى الثاني"، تحتاج إلى معرفة الحدث الذي تم تنفيذه في الأول.

العمليات الحسابية

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المشكلات التي تتضمن جمع وضرب الاحتمالات، باستخدام البيانات من الفقرة السابقة.

أولاً، دعنا نجد احتمال قيامك بإصلاح الجهاز المعطى لك. للقيام بذلك، أولاً، يجب أن يكون معيبًا، وثانيًا، يجب أن تكون قادرًا على إصلاحه. هذه مشكلة نموذجية عند استخدام الضرب: نحصل على 0.2 * 0.4 = 0.08.

ما هو احتمال أن تصل على الفور إلى الشخص المناسب؟ الأمر بهذه البساطة: 0.8*0.7 = 0.56. في هذه الحالة، وجدت أن الهاتف يعمل وقمت بإجراء المكالمة بنجاح.

أخيرًا، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: تحصل على هاتف مكسور، فتقوم بإصلاحه، ثم تطلب رقمًا ويرد عليك الشخص الموجود على الطرف الآخر. نحن هنا بحاجة بالفعل إلى ضرب ثلاثة مكونات: 0.2*0.4*0.7 = 0.056.

ماذا تفعل إذا كان لديك هاتفين لا يعملان في وقت واحد؟ ما مدى احتمالية إصلاح واحد منهم على الأقل؟ على جمع وضرب الاحتمالات، حيث يتم استخدام الأحداث المشتركة. الحل: 0.4 + 0.4 - 0.4*0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. وبالتالي، إذا حصلت على جهازين معطلين، فستتمكن من إصلاحهما في 64% من الحالات.

الاستخدام الدقيق

كما ذكرنا في بداية المقال، فإن استخدام نظرية الاحتمالات يجب أن يكون متعمدًا وواعيًا.

كلما كانت سلسلة التجارب أكبر، كلما اقتربت القيمة المتوقعة نظريًا من القيمة التي تم الحصول عليها عمليًا. على سبيل المثال، نرمي عملة معدنية. من الناحية النظرية، بمعرفة وجود صيغ لجمع وضرب الاحتمالات، يمكننا التنبؤ بعدد المرات التي ستظهر فيها "الرؤوس" و"الذيول" إذا أجرينا التجربة 10 مرات. لقد أجرينا تجربة، وبالصدفة كانت نسبة الأضلاع المرسومة هي 3 إلى 7. لكن إذا أجرينا سلسلة من 100 أو 1000 محاولة أو أكثر، يتبين أن الرسم البياني للتوزيع يقترب أكثر فأكثر من الرسم النظري: من 44 إلى 56، ومن 482 إلى 518، وهكذا.

تخيل الآن أن هذه التجربة لم يتم إجراؤها باستخدام عملة معدنية، ولكن بإنتاج مادة كيميائية جديدة لا نعرف احتماليتها. سنجري 10 تجارب، وبدون الحصول على نتيجة ناجحة، يمكننا التعميم: "من المستحيل الحصول على المادة". لكن من يدري لو قمنا بالمحاولة الحادية عشرة هل كنا سنحقق الهدف أم لا؟

لذا، إذا كنت ذاهبًا إلى المجهول، إلى منطقة غير مستكشفة، فقد لا تنطبق نظرية الاحتمالات. كل محاولة لاحقة في هذه الحالة قد تكون ناجحة والتعميمات مثل "X غير موجود" أو "X مستحيل" ستكون سابقة لأوانها.

كلمة أخيرة

لذلك، نظرنا إلى نوعين من الجمع، الضرب والاحتمالات الشرطية. مع مزيد من الدراسة لهذا المجال، من الضروري تعلم كيفية التمييز بين المواقف عند استخدام كل صيغة محددة. بالإضافة إلى ذلك، عليك أن تتخيل ما إذا كانت الطرق الاحتمالية قابلة للتطبيق بشكل عام لحل مشكلتك.

إذا تدربت، فبعد فترة ستبدأ في تنفيذ جميع العمليات المطلوبة حصريًا في عقلك. بالنسبة لأولئك المهتمين بألعاب الورق، يمكن اعتبار هذه المهارة قيمة للغاية - ستزيد فرصك في الفوز بشكل كبير بمجرد حساب احتمالية سقوط بطاقة أو بدلة معينة. ومع ذلك، يمكنك بسهولة العثور على تطبيق المعرفة المكتسبة في مجالات أخرى من النشاط.

في عند تقييم احتمالية وقوع أي حدث عشوائي، من المهم جدًا أن يكون لدينا فهم جيد لما إذا كان احتمال () وقوع الحدث الذي يهمنا يعتمد على كيفية تطور الأحداث الأخرى.

في حالة المخطط الكلاسيكي، عندما تكون جميع النتائج محتملة على قدم المساواة، يمكننا بالفعل تقدير القيم الاحتمالية للحدث الفردي الذي يهمنا بشكل مستقل. يمكننا القيام بذلك حتى لو كان الحدث عبارة عن مجموعة معقدة من عدة نتائج أولية. ماذا لو حدثت عدة أحداث عشوائية في وقت واحد أو بالتتابع؟ كيف يؤثر هذا على احتمالية وقوع الحدث الذي نهتم بحدوثه؟

إذا قمت برمي حجر النرد عدة مرات وأردت ظهور الرقم ستة، واستمر الحظ سيئًا، فهل يعني ذلك أنني يجب أن أزيد رهاني لأنني، وفقًا لنظرية الاحتمالات، على وشك أن أصبح محظوظًا؟ للأسف، نظرية الاحتمالات لا تنص على أي شيء من هذا القبيل. لا يوجد نرد ولا بطاقات ولا عملات معدنية لا أستطيع أن أتذكر ما أظهروه لنا في المرة الأخيرة. لا يهمهم على الإطلاق سواء كانت هذه هي المرة الأولى أو العاشرة التي أختبر فيها حظي اليوم. في كل مرة أكرر فيها الرمي، أعرف شيئًا واحدًا فقط: وهذه المرة احتمال الحصول على ستة هو السدس مرة أخرى. وبطبيعة الحال، هذا لا يعني أن العدد الذي أحتاجه لن يأتي أبدا. هذا يعني فقط أن خسارتي بعد الرمية الأولى وبعد أي رمية أخرى هي أحداث مستقلة.

يتم استدعاء الأحداث A و B مستقلإذا كان تنفيذ أحدهما لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على احتمال وقوع حدث آخر. على سبيل المثال، لا تعتمد احتمالات إصابة هدف بالسلاح الأول من السلاحين على ما إذا كان الهدف قد أصيب بالسلاح الآخر، وبالتالي فإن حدثي "أصاب السلاح الأول الهدف" و"أصاب السلاح الثاني الهدف" هما مستقل.

إذا كان الحدثان A وB مستقلين، وكان احتمال كل منهما معروفًا، فيمكن حساب احتمال وقوع الحدث A والحدث B في وقت واحد (يُشار إليه بـ AB) باستخدام النظرية التالية.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة

ف(AB) = ف(أ)*ف(ب)- احتمالا متزامنةبداية اثنين مستقلالأحداث تساوي عملاحتمالات هذه الأحداث.

مثال.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق المدفعين الأول والثاني متساوية على التوالي: p 1 =0.7؛ ع 2 =0.8. أوجد احتمال الإصابة بطلقتين من كلا السلاحين في وقت واحد.

حل:وكما رأينا من قبل، فإن الحدثين A (الإصابة بالمدفع الأول) والحدث B (الإصابة بالمدفع الثاني) مستقلان، أي. P(AB)=P(A)*P(B)=ص 1 *ص 2 =0.56.

ماذا يحدث لتقديراتنا إذا كانت الأحداث الأولية غير مستقلة؟ دعونا نغير المثال السابق قليلا.

مثال.يقوم اثنان من الرماة بإطلاق النار على أهداف في إحدى المنافسات، وإذا أطلق أحدهما النار بدقة، يبدأ الخصم بالتوتر وتتفاقم نتائجه. كيف يمكن تحويل هذا الموقف اليومي إلى مشكلة رياضية وتحديد طرق حلها؟ من الواضح بشكل حدسي أنه من الضروري فصل الخيارين بطريقة أو بأخرى لتطوير الأحداث، لإنشاء سيناريوهين، مهمتين مختلفتين. في الحالة الأولى، إذا أخطأ الخصم، فسيكون السيناريو مناسبًا للرياضي العصبي وستكون دقته أعلى. في الحالة الثانية، إذا استغل الخصم فرصته بشكل لائق، فإن احتمالية إصابة الهدف بالنسبة للرياضي الثاني تتضاءل.

لفصل السيناريوهات المحتملة (التي تسمى غالبا الفرضيات) لتطور الأحداث، غالبا ما نستخدم مخطط "شجرة الاحتمالية". يشبه هذا المخطط في المعنى شجرة القرار التي ربما تكون قد تعاملت معها بالفعل. يمثل كل فرع سيناريو منفصل لتطوير الأحداث، الآن فقط لديه معنى خاص به لما يسمى الشرطالاحتمالات (س 1، س 2، س 1 -1، س 2 -1).

هذا المخطط مناسب جدًا لتحليل الأحداث العشوائية المتسلسلة.

يبقى توضيح سؤال مهم آخر: من أين تأتي القيم الأولية للاحتمالات؟ مواقف حقيقية ؟ ففي نهاية المطاف، ألا تعمل نظرية الاحتمالات مع العملات المعدنية والنرد فقط؟ عادة ما يتم أخذ هذه التقديرات من الإحصائيات، وعندما لا تتوفر معلومات إحصائية، نقوم بإجراء أبحاثنا الخاصة. وغالبًا ما يتعين علينا أن نبدأ ليس بجمع البيانات، بل بسؤال ما هي المعلومات التي نحتاجها بالفعل.

مثال.لنفترض أننا بحاجة إلى تقدير حجم السوق في مدينة يبلغ عدد سكانها مائة ألف نسمة لمنتج جديد ليس عنصرًا أساسيًا، على سبيل المثال، بلسم للعناية بالشعر الملون. دعونا نفكر في مخطط "شجرة الاحتمالية". في هذه الحالة، نحتاج إلى تقدير قيمة الاحتمالية تقريبًا لكل "فرع". لذلك، تقديراتنا لقدرة السوق:

1) 50% من سكان المدينة هم من النساء،

2) من بين جميع النساء، 30% فقط يصبغن شعرهن كثيرًا،

3) منهن 10% فقط يستخدمن بلسم للشعر المصبوغ،

4) منهم 10% فقط لديهم الشجاعة لتجربة منتج جديد،

5) 70٪ منهم عادة ما يشترون كل شيء ليس منا، ولكن من منافسينا.

حل:وفقًا لقانون ضرب الاحتمالات، نحدد احتمالية الحدث الذي يهمنا أ = (أحد سكان المدينة يشتري منا هذا البلسم الجديد) = 0.00045.

دعونا نضرب قيمة الاحتمالية هذه في عدد سكان المدينة. ونتيجة لذلك، لدينا 45 عميلاً محتملاً فقط، وبالنظر إلى أن زجاجة واحدة من هذا المنتج تكفي لعدة أشهر، فإن التجارة ليست نشطة للغاية.

ومع ذلك، هناك بعض الفوائد من تقييماتنا.

أولاً، يمكننا مقارنة توقعات أفكار الأعمال المختلفة؛ سيكون لها "شوكات" مختلفة في المخططات، وبالطبع ستكون قيم الاحتمالية مختلفة أيضًا.

ثانيا، كما قلنا سابقا، لا يسمى المتغير العشوائي عشوائيا لأنه لا يعتمد على أي شيء على الإطلاق. فقط لها بالضبطالمعنى غير معروف مقدما. نحن نعلم أنه يمكن زيادة متوسط ​​عدد المشترين (على سبيل المثال، عن طريق الإعلان عن منتج جديد). لذا فمن المنطقي أن نركز جهودنا على تلك "الشوكات" حيث لا يناسبنا التوزيع الاحتمالي بشكل خاص، على تلك العوامل التي نستطيع التأثير عليها.

دعونا نلقي نظرة على مثال كمي آخر لأبحاث سلوك المستهلك.

مثال.في المتوسط، يزور سوق المواد الغذائية 10000 شخص يوميًا. احتمال دخول زائر السوق إلى جناح منتجات الألبان هو 1/2. ومن المعروف أن هذا الجناح يبيع ما متوسطه 500 كجم من المنتجات المتنوعة يوميًا.

هل يمكننا القول أن متوسط ​​حجم الشراء في الجناح يزن 100 جرام فقط؟

مناقشة.بالطبع لا. من الواضح أنه ليس كل من دخل الجناح انتهى به الأمر إلى شراء شيء ما هناك.

كما هو موضح في الرسم البياني، للإجابة على السؤال حول متوسط ​​وزن الشراء، يجب أن نجد إجابة للسؤال، ما هو احتمال أن يشتري الشخص الذي يدخل الجناح شيئًا ما هناك. إذا لم تكن لدينا مثل هذه البيانات تحت تصرفنا، ولكننا نحتاج إليها، فسيتعين علينا الحصول عليها بأنفسنا من خلال مراقبة زوار الجناح لبعض الوقت. لنفترض أن ملاحظاتنا أظهرت أن خمس زوار الجناح فقط يشترون شيئًا ما.

وبمجرد حصولنا على هذه التقديرات، تصبح المهمة بسيطة. من بين 10000 شخص يأتون إلى السوق، سيذهب 5000 إلى جناح منتجات الألبان، وسيكون هناك 1000 عملية شراء فقط، ويبلغ متوسط ​​وزن الشراء 500 جرام. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه من أجل بناء صورة كاملة لما يحدث، يجب تحديد منطق "التفرع" المشروط في كل مرحلة من تفكيرنا بشكل واضح كما لو كنا نعمل مع موقف "محدد"، وليس مع الاحتمالات.

مهام الاختبار الذاتي

1. يجب أن تكون هناك دائرة كهربائية تتكون من n من العناصر المتصلة على التوالي، كل منها يعمل بشكل مستقل عن العناصر الأخرى.

احتمالية فشل كل عنصر معروفة. تحديد احتمالية التشغيل السليم لقسم الدائرة بأكمله (الحدث أ).

2. يعرف الطالب 20 سؤالاً من أصل 25 سؤالاً في الامتحان. أوجد احتمال أن يعرف الطالب الأسئلة الثلاثة التي طرحها عليه الممتحن.

3. يتكون الإنتاج من أربع مراحل متتالية، تعمل في كل منها المعدات، والتي تكون احتمالات فشلها خلال الشهر التالي تساوي ص 1، ص 2، ص 3، ع 4، على التوالي. أوجد احتمال عدم توقف الإنتاج بسبب تعطل المعدات خلال شهر واحد.

وتحدث الحاجة إلى التصرف على أساس الاحتمالات عندما تكون احتمالات بعض الأحداث معروفة، ومن الضروري حساب احتمالات الأحداث الأخرى المرتبطة بهذه الأحداث.

يتم استخدام جمع الاحتمالات عندما تحتاج إلى حساب احتمالية مجموعة أو مجموع منطقي للأحداث العشوائية.

مجموع الأحداث أو بدل أ + بأو أ ∪ ب. مجموع حدثين هو حدث يقع في حالة وقوع حدث واحد على الأقل وفقط في حالة وقوعه. هذا يعني انه أ + ب- حدث يقع إذا وفقط إذا وقع الحدث أثناء المراقبة أأو الحدث ب، أو في وقت واحد أو ب.

إذا الأحداث أو بغير متناسقة ومعطى احتمالاتها، عندها يتم حساب احتمال وقوع أحد هذه الأحداث نتيجة لتجربة واحدة باستخدام جمع الاحتمالات.

نظرية إضافة الاحتمال.إن احتمال وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين:

على سبيل المثال، أثناء الصيد، يتم إطلاق طلقتين. حدث أ- ضرب البطة بالطلقة الأولى، حدث في- ضرب من الطلقة الثانية، الحدث ( أ+ في) – إصابة من الطلقة الأولى أو الثانية أو من طلقتين. لذلك، إذا حدثان أو في- أحداث غير متوافقة، إذن أ+ في- وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث أو حدثين.

مثال 1.هناك 30 كرة من نفس الحجم في الصندوق: 10 كرات حمراء و5 زرقاء و15 كرة بيضاء. احسب احتمال التقاط كرة ملونة (وليست بيضاء) دون النظر إليها.

حل. لنفترض أن الحدث أ- "تم أخذ الكرة الحمراء"، والحدث في- "تم أخذ الكرة الزرقاء." ثم الحدث هو "أخذ كرة ملونة (وليست بيضاء)". دعونا نجد احتمال الحدث أ:

والأحداث في:

الأحداث أو في- غير متوافقين بشكل متبادل، لأنه إذا تم أخذ كرة واحدة، فمن المستحيل أخذ كرات ذات ألوان مختلفة. لذلك نستخدم جمع الاحتمالات:

نظرية إضافة احتمالات لعدة أحداث غير متوافقة.إذا كانت الأحداث تشكل مجموعة كاملة من الأحداث، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1:

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي أيضًا 1:

تشكل الأحداث المتضادة مجموعة كاملة من الأحداث، واحتمال وجود مجموعة كاملة من الأحداث هو 1.

يشار عادة إلى احتمالات الأحداث المعاكسة بأحرف صغيرة صو س. بخاصة،

والتي تتبع منها الصيغ التالية لاحتمال الأحداث المعاكسة:

مثال 2.ينقسم الهدف في نطاق الرماية إلى 3 مناطق. احتمال أن يطلق مطلق النار على الهدف في المنطقة الأولى هو 0.15، في المنطقة الثانية – 0.23، في المنطقة الثالثة – 0.17. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف واحتمال أن يخطئ مطلق النار الهدف.

الحل: أوجد احتمال إصابة مطلق النار بالهدف:

لنجد احتمال أن يخطئ مطلق النار الهدف:

بالنسبة للمسائل الأكثر تعقيدًا، والتي تحتاج فيها إلى استخدام جمع وضرب الاحتمالات، راجع صفحة "المسائل المختلفة التي تتضمن جمع وضرب الاحتمالات".

إضافة احتمالات الأحداث المتزامنة بشكل متبادل

يسمى حدثان عشوائيان مشتركين إذا كان وقوع حدث واحد لا يستبعد وقوع حدث ثان في نفس الملاحظة. على سبيل المثال، عند رمي حجر النرد في هذا الحدث أيعتبر الرقم 4 قد تم طرحه والحدث في- المتداول رقم زوجي. وبما أن 4 هو عدد زوجي، فإن هذين الحدثين متوافقان. ومن الناحية العملية، هناك مشاكل في حساب احتمالات وقوع أحد الأحداث المتزامنة.

نظرية إضافة الاحتمال للأحداث المشتركة.إن احتمال وقوع أحد الحدثين المشتركين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث، والذي يطرح منه احتمال وقوع الحدثين المشتركين، أي حاصل ضرب الاحتمالات. صيغة احتمالات الأحداث المشتركة لها الشكل التالي:

منذ الأحداث أو فيمتوافق، حدث أ+ فييحدث في حالة وقوع أحد الأحداث الثلاثة المحتملة: أو أ.ب. وفقا لنظرية جمع الأحداث غير المتوافقة، نحسب على النحو التالي:

حدث أسيحدث في حالة وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين: أو أ.ب. ومع ذلك فإن احتمال وقوع حدث واحد من عدة أحداث غير متوافقة يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث كلها:

على نفس المنوال:

باستبدال التعبيرين (6) و (7) في التعبير (5)، نحصل على صيغة الاحتمال للأحداث المشتركة:

عند استخدام الصيغة (8)، ينبغي أن تؤخذ في الاعتبار تلك الأحداث أو فييمكن ان يكون:

• مستقلة بشكل متبادل.
• تعتمد على بعضها البعض.

صيغة الاحتمال للأحداث المستقلة بشكل متبادل:

صيغة الاحتمال للأحداث المعتمدة على بعضها البعض:

إذا الأحداث أو فيمتعارضتين فإن توافقهما أمر مستحيل، وبالتالي ص(أ.ب) = 0. صيغة الاحتمال الرابعة للأحداث غير المتوافقة هي:

مثال 3.في سباقات السيارات، عندما تقود السيارة الأولى، تكون لديك فرصة أكبر للفوز، وعندما تقود السيارة الثانية. يجد:

• احتمال فوز كلتا السيارتين؛
• احتمال فوز سيارة واحدة على الأقل؛

1) احتمال فوز السيارة الأولى لا يعتمد على نتيجة السيارة الثانية، وبالتالي الأحداث أ(السيارة الأولى تفوز) و في(السيارة الثانية ستفوز) – أحداث مستقلة. دعونا نجد احتمال فوز كلتا السيارتين:

2) أوجد احتمال فوز إحدى السيارتين:

بالنسبة للمسائل الأكثر تعقيدًا، والتي تحتاج فيها إلى استخدام جمع وضرب الاحتمالات، راجع صفحة "المسائل المختلفة التي تتضمن جمع وضرب الاحتمالات".

قم بحل مسألة جمع الاحتمالات بنفسك، ثم انظر إلى الحل

مثال 4.تم رمي عملتين معدنيتين. حدث أ- فقدان شعار النبالة على العملة الأولى. حدث ب- فقدان شعار النبالة على العملة الثانية. العثور على احتمال وقوع حدث ج = أ + ب .

ضرب الاحتمالات

يتم استخدام ضرب الاحتمال عندما يجب حساب احتمالية المنتج المنطقي للأحداث.

وفي هذه الحالة، يجب أن تكون الأحداث العشوائية مستقلة. يقال إن حدثين مستقلان عن بعضهما البعض إذا كان وقوع حدث واحد لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث الثاني.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة.احتمال حدوث حدثين مستقلين في وقت واحد أو فييساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث ويتم حسابه بالصيغة:

مثال 5.يتم رمي العملة ثلاث مرات متتالية. أوجد احتمال ظهور شعار النبالة ثلاث مرات.

حل. احتمال ظهور شعار النبالة في المرة الأولى التي يتم فيها رمي العملة المعدنية، وفي المرة الثانية، وفي المرة الثالثة. لنجد احتمال ظهور شعار النبالة ثلاث مرات:

حل مسائل الضرب الاحتمالية بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 6.يوجد صندوق يحتوي على تسع كرات تنس جديدة. للعب، يتم أخذ ثلاث كرات، وبعد المباراة يتم إعادتها. عند اختيار الكرات، لا يتم تمييز الكرات الملعوبة عن الكرات غير الملعوبة. ما هو احتمال عدم وجود كرات غير ملعوبة في الصندوق بعد ثلاث مباريات؟

مثال 7. 32 حرفًا من الأبجدية الروسية مكتوبة على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم سحب خمس بطاقات بشكل عشوائي واحدة تلو الأخرى ووضعها على الطاولة حسب ظهورها. أوجد احتمال أن تشكل الحروف كلمة "نهاية".

مثال 8.من مجموعة البطاقات الكاملة (52 ورقة)، يتم إخراج أربع بطاقات مرة واحدة. أوجد احتمال أن تكون هذه البطاقات الأربع ذات أشكال مختلفة.

مثال 9.نفس المهمة كما في المثال 8، لكن كل بطاقة بعد إزالتها يتم إرجاعها إلى المجموعة.

يمكن العثور على المسائل الأكثر تعقيدًا، والتي تحتاج فيها إلى استخدام جمع وضرب الاحتمالات، بالإضافة إلى حساب حاصل ضرب عدة أحداث، في صفحة "مسائل مختلفة تتضمن جمع وضرب الاحتمالات".

يمكن حساب احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث المستقلة عن طريق طرح حاصل ضرب احتمالات الأحداث المتضادة من 1، أي باستخدام الصيغة:

مثال 10.يتم تسليم البضائع عن طريق ثلاث وسائل نقل: النقل النهري، والسكك الحديدية، والنقل البري. يبلغ احتمال تسليم البضائع عن طريق النقل النهري 0.82، وعن طريق السكك الحديدية 0.87، وعن طريق النقل البري 0.90. أوجد احتمال تسليم الحمولة بواسطة واحدة على الأقل من وسائل النقل الثلاثة.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل البدء في قراءة المقال، انتبه إلى متصفحنا للحصول على الموارد الأكثر فائدة

ما هو الاحتمال؟

في المرة الأولى التي واجهت فيها هذا المصطلح، لم أكن لأفهم ما هو. لذلك، سأحاول أن أشرح بوضوح.

الاحتمال هو احتمال وقوع الحدث الذي نريده.

على سبيل المثال، قررت الذهاب إلى منزل أحد الأصدقاء، وتتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكني نسيت رقم الشقة وموقعها. والآن أنت واقف على الدرج، وأمامك أبواب يمكنك الاختيار من بينها.

ما هو احتمال (احتمال) أنك إذا قمت بقرع جرس الباب الأول، فإن صديقك سيجيب على الباب نيابة عنك؟ لا يوجد سوى شقق، وصديق يعيش خلف واحدة منها فقط. مع فرصة متساوية يمكننا اختيار أي باب.

ولكن ما هي هذه الفرصة؟

الباب، الباب الأيمن. احتمالية التخمين من خلال قرع جرس الباب الأول: . أي أنك ستخمن بدقة مرة واحدة من كل ثلاثة.

نريد أن نعرف، بعد أن اتصلنا مرة واحدة، كم مرة سنخمن الباب؟ دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات:

1. أنت إتصلت الأولباب
2. أنت إتصلت الثانيباب
3. أنت إتصلت الثالثباب

الآن دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها الصديق:

أ. خلف الأولالباب
ب. خلف الثانيالباب
الخامس. خلف الثالثالباب

دعونا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تشير علامة الاختيار إلى الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق، وعلامة تقاطع - عندما لا يتطابق.

كيف ترى كل شيء ربما خياراتموقع صديقك واختيارك للباب الذي تريد الاتصال به.

أ نتائج إيجابية في كل شيء . أي أنك ستخمن مرة واحدة من خلال قرع جرس الباب مرة واحدة، أي. .

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديقك) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو الصيغة. يُشار إلى الاحتمال عادةً بالرمز p، لذلك:

ليس من المناسب جدًا كتابة مثل هذه الصيغة، لذلك سنحسب - عدد النتائج الإيجابية، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية؛ للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب النتيجة الناتجة عن طريق:

ربما لفتت انتباهك كلمة "النتائج". نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون على الإجراءات المختلفة (في حالتنا، مثل هذا الإجراء هو جرس الباب)، فإن نتيجة هذه التجارب تسمى عادةً النتيجة.

حسنًا، هناك نتائج إيجابية وأخرى سلبية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا قرعنا أحد الأبواب، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن بشكل صحيح. ما احتمال أن يفتح لنا صديقنا أحد الأبواب المتبقية إذا قرعنا؟

إذا كنت تعتقد ذلك، فهذا خطأ. دعونا معرفة ذلك.

لدينا بابان متبقيان. لذلك لدينا الخطوات الممكنة:

1) اتصل الأولباب
2) اتصل الثانيباب

الصديق، رغم كل هذا، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء، لم يكن وراء من اتصلنا به):

أ) صديق ل الأولالباب
ب) صديق ل الثانيالباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون، هناك خيارات فقط، منها مواتية. أي أن الاحتمال متساوي.

ولم لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه هو مثال على الأحداث التابعةالحدث الأول هو جرس الباب الأول، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

وسميت تابعة لأنها تؤثر على الأفعال التالية. بعد كل شيء، إذا أجاب أحد الأصدقاء على جرس الباب بعد الرنة الأولى، فما هو احتمال أن يكون خلف أحد الصديقين الآخرين؟ يمين، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة، فلا بد أن تكون هناك أيضًا مستقل؟ هذا صحيح، يحدث ذلك.

مثال الكتاب المدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - لأن هناك كل الخيارات (إما الصورة أو الكتابة، سنهمل احتمالية هبوط العملة على حافتها)، لكنه يناسبنا فقط.
2. لكنها ظهرت. حسنا، دعونا رميها مرة أخرى. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس الآن؟ لم يتغير شيء، كل شيء هو نفسه. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم نحن سعداء؟ واحد.

ودعها تأتي على الأقل ألف مرة على التوالي. احتمال الحصول على الرؤوس مرة واحدة سيكون هو نفسه. هناك دائما خيارات، وأخرى مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والأحداث المستقلة:

1. إذا تم تنفيذ التجربة مرة واحدة (رمي عملة معدنية مرة واحدة، قرع جرس الباب مرة واحدة، وما إلى ذلك)، فإن الأحداث تكون دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء تجربة عدة مرات (رمي عملة معدنية مرة واحدة، وقرع جرس الباب عدة مرات)، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك، إذا تغير عدد النتائج المواتية أو عدد جميع النتائج، فإن الأحداث مستقلة، وإذا لم تكن كذلك، فهي مستقلة.

دعونا نتدرب على تحديد الاحتمالية قليلًا.

مثال 1.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال الحصول على الرأس مرتين على التوالي؟

حل:

دعونا نفكر في جميع الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. رؤساء ذيول
3. ذيول رؤساء
4. ذيول ذيول

كما ترون، هناك خيارات فقط. ومن هؤلاء لا نرضى إلا. أي أن الاحتمال:

إذا كان الشرط يطلب منك ببساطة إيجاد الاحتمال، فيجب أن تكون الإجابة في شكل كسر عشري. ولو تم تحديد أن الإجابة يجب أن تعطى كنسبة مئوية، لضربنا في.

إجابة:

مثال 2.

في علبة الشوكولاتة، يتم تعبئة جميع الشوكولاتة في نفس الغلاف. ومع ذلك، من الحلويات - مع المكسرات، مع براندي، مع الكرز، مع الكراميل والنوجا.

ما هو احتمال أن تأخذ قطعة حلوى واحدة وتحصل على قطعة حلوى تحتوي على المكسرات؟ أعط إجابتك كنسبة مئوية.

حل:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ .

أي أنك إذا أخذت حلوى واحدة، فستكون واحدة من تلك المتوفرة في الصندوق.

كم عدد النتائج الإيجابية؟

لأن العلبة تحتوي فقط على الشوكولاتة بالمكسرات.

إجابة:

مثال 3.

في علبة بالونات. منها الأبيض والأسود.

1. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء؟
2. أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء الآن؟

حل:

أ) لا يوجد سوى كرات في الصندوق. منهم الأبيض.

الاحتمال هو:

ب) يوجد الآن المزيد من الكرات في الصندوق. وهناك عدد مماثل من البيض المتبقين - .

إجابة:

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

لنفترض أن هناك كرات حمراء وخضراء في صندوق. ما هو احتمال سحب كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ الكرة الحمراء أم الخضراء؟

احتمال سحب كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترون، فإن مجموع كل الأحداث المحتملة يساوي (). إن فهم هذه النقطة سيساعدك على حل العديد من المشاكل.

مثال 4.

توجد علامات في الصندوق: الأخضر، الأحمر، الأزرق، الأصفر، الأسود.

ما هو احتمال عدم رسم علامة حمراء؟

حل:

دعونا نحسب الرقم نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء، وهذا يعني الأخضر أو ​​الأزرق أو الأصفر أو الأسود.

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

ماذا لو كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أننا إذا رمينا عملة معدنية مرة واحدة، سنرى الصورة مرتين؟

لقد نظرنا بالفعل - .

ماذا لو ألقينا قطعة نقود مرة واحدة؟ ما هو احتمال رؤية النسر مرتين على التوالي؟

إجمالي الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لا أعرف عنك، لكنني ارتكبت أخطاء عدة مرات عند تجميع هذه القائمة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة لخمس رميات، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك، لاحظوا أولاً ثم أثبتوا أن احتمالية حدوث تسلسل معين من الأحداث المستقلة في كل مرة تقل بمقدار احتمالية حدث واحد.

بعبارة أخرى،

دعونا نلقي نظرة على مثال نفس العملة المشؤومة.

احتمال الحصول على رؤوس في التحدي؟ . الآن نقوم بقلب العملة مرة واحدة.

ما هو احتمال الحصول على رؤوس متتالية؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمال حدوث نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا إيجاد تسلسل الذيل-الرأس-الذيل للرميات المتتالية، فسنفعل الشيء نفسه.

احتمال سقوط الرؤوس هو - , رؤوس - .

احتمال الحصول على تسلسل TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق عمل جدول.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا معرفة ذلك. دعونا نأخذ عملتنا المعدنية البالية ونرميها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لذا، فإن الأحداث غير المتوافقة هي تسلسل معين للأحداث. - هذه أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد احتمال وقوع حدثين (أو أكثر) غير متوافقين، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن الرؤوس أو الذيول هما حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد احتمال حدوث تسلسل (أو أي تسلسل آخر)، فإننا نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات.
ما هو احتمال الحصول على رأس في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية والثالثة؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحدة من عدة تسلسلات، على سبيل المثال، عندما تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط، أي. الخيارات، ثم يجب علينا جمع احتمالات هذه التسلسلات.

مجموع الخيارات تناسبنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق جمع احتمالات حدوث كل تسلسل:

وبالتالي، فإننا نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالية حدوث تسلسلات معينة وغير متسقة من الأحداث.

هناك قاعدة رائعة تساعدك على تجنب الخلط بين متى تضرب ومتى تضيف:

دعونا نعود إلى المثال الذي قمنا فيه بإلقاء عملة معدنية مرة واحدة وأردنا معرفة احتمال رؤية الصورة مرة واحدة.
ما الذي سيحدث؟

يجب أن تسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
هكذا اتضح:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

هناك أقلام رصاص في الصندوق. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال رسم أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

حل:

مثال 6.

إذا ألقي حجر النرد مرتين، فما احتمال الحصول على العدد الإجمالي 8؟

حل.

كيف يمكننا الحصول على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال الحصول على وجه واحد (أي) هو .

نحسب الاحتمال:

تمرين.

أعتقد أنك الآن تفهم متى تحتاج إلى حساب الاحتمالات، ومتى تضيفها، ومتى تضربها. أليس كذلك؟ دعونا نتدرب قليلا.

مهام:

لنأخذ مجموعة بطاقات تحتوي على بطاقات تتضمن البستوني والقلوب و13 مضربًا و13 ماسة. من إلى الآس من كل دعوى.

1. ما هو احتمال سحب الأندية على التوالي (نضع البطاقة الأولى التي تم سحبها مرة أخرى في المجموعة ونقوم بخلطها)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال رسم صورة (جاك، الملكة، الملك أو الآس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل البطاقة الأولى المسحوبة من المجموعة)؟
5. ما هو احتمال الحصول على ورقتين لجمع مجموعة - (جاك أو ملكة أو ملك) وآس؟ لا يهم التسلسل الذي يتم فيه سحب البطاقات.

الإجابات:

إذا تمكنت من حل جميع المشاكل بنفسك، فأنت عظيم! الآن سوف تتمكن من حل مسائل نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا رمينا حجر النرد. أي نوع من العظام هذا، هل تعلم؟ هذا ما يسمونه المكعب ذو الأرقام على وجوهه. كم عدد الوجوه، العديد من الأرقام: من إلى كم؟ قبل.

لذلك نحن نرمي النرد ونريد أن يأتي أو. ونحن نحصل عليه.

في نظرية الاحتمالات يقولون ما حدث الحدث الميمون(يجب عدم الخلط بينه وبين الازدهار).

إذا حدث ذلك، فإن الحدث سيكون مناسبا أيضا. في المجمل، يمكن أن يحدث حدثان إيجابيان فقط.

كم منهم غير مواتية؟ نظرًا لوجود إجمالي الأحداث المحتملة، فهذا يعني أن الأحداث غير المواتية هي أحداث (هذا إذا أو سقط).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة. وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة التي تكون مواتية.

إنها تشير إلى الاحتمال بحرف لاتيني (على ما يبدو من الكلمة الإنجليزية احتمال - احتمال).

من المعتاد قياس الاحتمالية كنسبة مئوية (انظر المواضيع و). للقيام بذلك، يجب ضرب قيمة الاحتمال. في مثال النرد، الاحتمال.

وبالنسبة : .

أمثلة (قرر بنفسك):

1. ما هو احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود؟ ما هو احتمال هبوط الرؤوس؟
2. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي حجر النرد؟ وأيهما غريب؟
3. في علبة أقلام رصاص بسيطة باللونين الأزرق والأحمر. نرسم قلم رصاص واحد بشكل عشوائي. ما هو احتمال الحصول على واحدة بسيطة؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات الموجودة؟ الرؤوس والذيول - اثنان فقط. كم منهم مواتية؟ واحد فقط هو النسر. لذلك الاحتمال

   إنه نفس الشيء مع ذيول: .

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب، والعديد من الخيارات المختلفة). المفضلة: (هذه كلها أرقام زوجية:).
   احتمالا. وبطبيعة الحال، نفس الشيء مع الأرقام الفردية.
3. المجموع: . ملائم: . احتمالا: .

الاحتمال الإجمالي

جميع أقلام الرصاص الموجودة في الصندوق باللون الأخضر. ما هو احتمال رسم قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرص: احتمال (بعد كل شيء، أحداث مواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال رسم قلم رصاص أخضر؟ يوجد بالضبط نفس عدد الأحداث المواتية مثل إجمالي الأحداث (جميع الأحداث مواتية). وبالتالي فإن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوق.

إذا كان الصندوق يحتوي على أقلام رصاص باللونين الأخضر والأحمر، فما احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟ مرة أخرى. نلاحظ هذا: احتمال سحب اللون الأخضر متساوي، والأحمر متساوي.

باختصار، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. إنه، مجموع احتمالات كل الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم الرسم باللون الأخضر؟

حل:

نتذكر أن كل الاحتمالات تضيف ما يصل. واحتمال الحصول على اللون الأخضر متساوي. وهذا يعني أن احتمال عدم رسم اللون الأخضر متساوي.

تذكر هذه الخدعة:احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

تقلب عملة معدنية مرة واحدة وتريد أن تظهر لك الصورة في المرتين. ما هو احتمال هذا؟

دعنا نستعرض جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

رؤوس - رؤوس، رؤوس - ذيول، رؤوس - ذيول، ذيول - ذيول. ماذا بعد؟

إجمالي الخيارات. من بين هؤلاء، واحد فقط يناسبنا: النسر النسر. في المجمل، الاحتمال متساوي.

بخير. الآن دعونا نقلب عملة معدنية مرة واحدة. قم بالحسابات بنفسك. حدث؟ (إجابة).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية لاحقة، ينخفض ​​الاحتمال بمقدار النصف. القاعدة العامة تسمى قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية عدة مرات، في كل مرة يتم إجراء رمية جديدة، لا تعتمد نتيجتها على جميع الرميات السابقة. يمكننا بسهولة رمي عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول عليه في المرتين؟
2. يتم رمي العملة مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الصورة على الوجه في المرة الأولى ثم الكتابة على الوجه مرتين؟
3. يرمي اللاعب قطعتين من النرد. ما هو احتمال أن يكون مجموع الأرقام الموجودة عليها متساويا؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل: .
2. احتمال الرؤوس متساوي. احتمال ذيول هو نفسه. تتضاعف:
3. لا يمكن الحصول على 12 إلا إذا تم دحرجة اثنين -ki: .

الأحداث غير المتوافقة وقاعدة الإضافة

الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى حد الاحتمال الكامل تسمى غير متوافقة. وكما يوحي الاسم، لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية، فقد تظهر عليها الصورة أو الكتابة.

مثال.

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

حل .

احتمال الرسم بقلم رصاص أخضر متساوي. أحمر - .

الأحداث المواتية للجميع: أخضر + أحمر. وهذا يعني أن احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر متساوي.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال في هذا النموذج: .

هذه هي قاعدة الإضافة:احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

مشاكل من النوع المختلط

مثال.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتائج اللفات مختلفة؟

حل .

وهذا يعني أنه إذا كانت النتيجة الأولى هي الرؤوس، فيجب أن تكون النتيجة الثانية كتابة، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا تحتار بشأن مكان الضرب ومكان الإضافة.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه المواقف. حاول وصف ما سيحدث باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR". على سبيل المثال، في هذه الحالة:

يجب أن يأتي (الرؤوس والذيول) أو (الذيول والرؤوس).

حيثما يوجد حرف العطف "و" يكون الضرب، وحيثما يكون "أو" يكون الجمع:

جربها بنفسك:

1. ما هو احتمال أنه إذا ألقيت قطعة نقد مرتين، فإن العملة ستستقر على نفس الجانب في المرتين؟
2. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول على مجموع النقاط؟

حلول:

مثال آخر:

إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

حل:

نظرية الاحتمالات. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة.

أحداث مستقلة

يكون الحدثان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر.

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

الأحداث غير المتوافقة هي تلك التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. يشكل عدد من الأحداث غير المتوافقة مجموعة كاملة من الأحداث.

احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

بعد وصف ما يجب أن يحدث، باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR"، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب، وبدلاً من "OR" نضع علامة الجمع.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!