تعريف: الدالة العددية هي المراسلات التي لكل رقم x من بعض مجموعة معينةيقارن صيغة المفردذ.
تعيين:
حيث x هو المتغير المستقل (الوسيطة)، y هو المتغير التابع (الدالة). تسمى مجموعة قيم x مجال الوظيفة (يشار إليها بـ D(f)). تسمى مجموعة قيم y نطاق قيم الدالة (يشار إليها بـ E(f)). الرسم البياني للدالة هو مجموعة النقاط في المستوى ذات الإحداثيات (x، f(x))
طرق تحديد الوظيفة.
- الطريقة التحليلية (باستخدام صيغة رياضية)؛
- الطريقة الجدولية (باستخدام الجدول)؛
- الطريقة الوصفية (باستخدام الوصف اللفظي)؛
- الطريقة الرسومية (باستخدام الرسم البياني).
الخصائص الأساسية للوظيفة.
1. زوجي وغريب
يتم استدعاء الدالة حتى لو
- مجال تعريف الدالة متماثل حول الصفر
و(-س) = و(خ)
جدول دالة زوجيةمتناظرة حول المحور 0y
تسمى الوظيفة غريبة إذا
- مجال تعريف الدالة متماثل حول الصفر
- لأي x من مجال التعريف و(-س) = –و(خ)
جدول وظيفة غريبةمتناظرة حول الأصل.
2. التردد
تسمى الدالة f(x) دورية مع فترة إذا كانت لأي x من مجال التعريف و(س) = و(س+T) = و(س-T) .
يتكون الرسم البياني للدالة الدورية من تكرار أجزاء متطابقة بشكل غير محدود.
3. الرتابة (زيادة، نقصان)
الدالة f(x) تتزايد على المجموعة P إذا كان لأي x 1 و x 2 من هذه المجموعة بحيث يكون x 1
الدالة f(x) تتناقص في المجموعة P إذا كان لأي x 1 و x 2 من هذه المجموعة، مثل x 1 f(x 2) .
4. النهايات
تسمى النقطة X max النقطة القصوى للدالة f(x) إذا كان عدم المساواة f(x) f(X max) راضيًا لجميع x من بعض أحياء X max.
القيمة Y max =f(X max) تسمى الحد الأقصى لهذه الوظيفة.
X ماكس – النقطة القصوى
عند الحد الأقصى - الحد الأقصى
تسمى النقطة X min الحد الأدنى للدالة f(x) إذا كان التباين f(x) f(X min) محققًا لجميع x من بعض الأحياء X min.
القيمة Y min =f(X min) تسمى الحد الأدنى لهذه الوظيفة.
X دقيقة – الحد الأدنى للنقطة
Y دقيقة – الحد الأدنى
X min , X max – النقاط القصوى
Y دقيقة، Y ماكس - الحدود القصوى.
5. أصفار الدالة
صفر الدالة y = f(x) هو كما يلي: قيمة الوسيطة x، حيث تصبح الدالة صفرًا: f(x) = 0.
X 1، X 2، X 3 – أصفار الدالة y = f(x).
المهام والاختبارات حول موضوع "الخصائص الأساسية للوظيفة"
- خصائص الوظيفة - وظائف رقميةالصف التاسع
الدروس: 2 الواجبات: 11 الاختبارات: 1
- خصائص اللوغاريتمات - الدوال الأسية واللوغاريتمية الصف 11
الدروس: 2 الواجبات: 14 الاختبارات: 1
- دالة الجذر التربيعي وخصائصها ورسمها البياني - وظيفة الجذر التربيعي. خصائص الجذر التربيعي الصف 8
الدروس: 1 الواجبات: 9 الاختبارات: 1
- وظائف الطاقة وخصائصها والرسوم البيانية - الدرجات والجذور. وظائف الطاقةالصف 11
الدروس: 4 واجبات: 14 اختبارات: 1
- المهام - مواضيع هامةلإعادة امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات
المهام: 24
بعد دراسة هذا الموضوع، يجب أن تكون قادرا على العثور على مجال التعريف وظائف مختلفة، تحديد فترات رتابة الدالة باستخدام الرسوم البيانية، وفحص الدوال للتأكد من التساوي والغرابة. دعونا نفكر في الحل مهام مماثلةباستخدام الأمثلة التالية.
أمثلة.
1. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.
حل:تم العثور على مجال تعريف الوظيفة من الشرط
طول الجزء محور الإحداثياتتم العثور عليه بواسطة الصيغة:
طول الجزء خطة تنسيقيتم البحث بواسطة الصيغة:
للعثور على طول القطعة في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد، استخدم الصيغة التالية:
يتم حساب إحداثيات منتصف المقطع (بالنسبة لمحور الإحداثيات فقط الصيغة الأولى، للمستوى الإحداثي - الصيغتين الأوليين، لنظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد - جميع الصيغ الثلاثة) يتم حسابها باستخدام الصيغ:
وظيفة- هذه مراسلة النموذج ذ= F(س) بين الكميات المتغيرة، والتي تعتبر كل منها قيمة لبعض الكمية المتغيرة س(وسيطة أو متغير مستقل) يتوافق مع قيمة محددةمتغير آخر، ذ(المتغير التابع، في بعض الأحيان تسمى هذه القيمة ببساطة قيمة الدالة). لاحظ أن الدالة تفترض قيمة وسيطة واحدة Xيمكن أن تتوافق قيمة واحدة فقط من المتغير التابع في. ومع ذلك، نفس القيمة فييمكن الحصول عليها مع مختلف X.
مجال الوظيفة- هذه هي جميع قيم المتغير المستقل (وسيطة الدالة، عادة ما تكون هذه X) ، والتي يتم تعريف الوظيفة لها، أي. معناها موجود. يشار إلى منطقة التعريف د(ذ). على العموم، أنت على دراية بهذا المفهوم بالفعل. مجال الدالة يسمى أيضًا المجال القيم المقبولة، أو ODZ، الذي تمكنت من العثور عليه منذ فترة طويلة.
نطاق الوظيفة- هذا كل شيء القيم الممكنةالمتغير التابع لهذه الدالة معين ه(في).
تزداد الوظيفةفي الفاصل الزمني حيث قيمة أعلىتتوافق الوسيطة مع القيمة الأكبر للدالة. الوظيفة آخذة في التناقصعلى الفاصل الزمني الذي تتوافق فيه القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.
فترات الإشارة الثابتة للدالة- هذه هي فترات المتغير المستقل التي يحتفظ خلالها المتغير التابع بإشارته الإيجابية أو السلبية.
وظيفة الأصفار- هذه هي قيم الوسيطة التي تكون فيها قيمة الدالة صفراً. عند هذه النقاط، يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور الإحداثي السيني (محور OX). في كثير من الأحيان، تعني الحاجة إلى إيجاد أصفار دالة الحاجة إلى حل المعادلة ببساطة. أيضًا، غالبًا ما تعني الحاجة إلى إيجاد فترات ثبات الإشارة الحاجة إلى حل المتراجحة ببساطة.
وظيفة ذ = F(س) وتسمى حتى X
وهذا يعني أنه لأي معاني متضادةالوسيطة، قيم الدالة الزوجية متساوية. يكون الرسم البياني للدالة الزوجية دائمًا متماثلًا بالنسبة إلى المحور الإحداثي لمضخم العمليات.
وظيفة ذ = F(س) وتسمى غريب، إذا تم تعريفه على مجموعة متماثلة ولأي Xمن مجال التعريف فإن المساواة تحمل:
وهذا يعني أنه بالنسبة لأي قيم معاكسة للوسيطة، تكون قيم الدالة الفردية معاكسة أيضًا. الرسم البياني للدالة الفردية يكون دائمًا متماثلًا بالنسبة إلى الأصل.
مجموع جذور الدوال الزوجية والفردية (نقاط تقاطع المحور السيني OX) يساوي دائمًا الصفر، لأن لكل جذر إيجابي Xيجب أن الجذر السلبي –X.
من المهم ملاحظة: لا يجب أن تكون بعض الوظائف زوجية أو فردية. هناك العديد من الوظائف التي ليست زوجية ولا فردية. تسمى هذه الوظائف المهام منظر عام وبالنسبة لهم لا يتم استيفاء أي من المساواة أو الخصائص المذكورة أعلاه.
دالة خطيةهي دالة يمكن أن تعطى بالصيغة:
جدول دالة خطيةهو خط مستقيم وفي الحالة العامةتبدو بالطريقة الآتية(يتم تقديم مثال للحالة عندما ك> 0، في هذه الحالة الدالة آخذة في الازدياد؛ لهذه المناسبة ك < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
الرسم البياني للدالة التربيعية (القطع المكافئ)
يتم إعطاء الرسم البياني للقطع المكافئ بواسطة دالة تربيعية:
الدالة التربيعية، مثل أي دالة أخرى، تتقاطع مع محور OX في النقاط التي تمثل جذورها: ( س 1 ؛ 0) و ( س 2 ; 0). إذا لم يكن هناك جذور، فإن الدالة التربيعية لا تتقاطع مع محور OX إذا كان هناك جذر واحد فقط، ففي هذه المرحلة ( س 0 ; 0) الدالة التربيعية تمس محور OX فقط ولكنها لا تتقاطع معه. تتقاطع الدالة التربيعية دائمًا مع محور OY عند النقطة ذات الإحداثيات: (0؛ ج). جدول وظيفة من الدرجة الثانية(القطع المكافئ) قد يبدو بهذا الشكل (يوضح الشكل أمثلة ليست شاملة على الإطلاق الأنواع الممكنةالقطع المكافئة):
حيث:
- إذا كان المعامل أ> 0، في الوظيفة ذ = فأس 2 + bx + ج، ثم يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى؛
- لو أ < 0, то ветви параболы направлены вниз.
يمكن حساب إحداثيات رأس القطع المكافئ من خلاله الصيغ التالية. قمم X (ص- في الصور أعلاه) القطع المكافئ (أو النقطة التي يصل عندها ثلاثي الحدود التربيعي إلى قيمته الأكبر أو الأصغر):
قمم إيجريك (س- في الأشكال أعلاه) القطع المكافئة أو الحد الأقصى إذا كانت فروع القطع المكافئة موجهة نحو الأسفل ( أ < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (أ> 0)، القيمة ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية:
الرسوم البيانية للوظائف الأخرى
وظيفة الطاقة
فيما يلي بعض الأمثلة على الرسوم البيانية لوظائف الطاقة:
يتناسب عكسيااستدعاء الوظيفة تعطى بواسطة الصيغة:
اعتمادا على علامة الرقم كالجدول الزمني الخلفي الاعتماد النسبيقد يكون هناك خياران أساسيان:
الخط المقاربهو الخط الذي يقترب منه الرسم البياني للدالة بشكل لا نهائي ولكنه لا يتقاطع. الخطوط المقاربة للرسوم البيانية التناسب العكسييظهر في الشكل أعلاه محاور الإحداثيات التي يقترب منها الرسم البياني للدالة بشكل لا نهائي، لكنه لا يتقاطع معها.
الدالة الأسيةمع القاعدة أهي دالة تعطى بالصيغة:
أجدول وظيفة الأسيةقد يكون هناك خياران أساسيان (نقدم أيضًا أمثلة، انظر أدناه):
دالة لوغاريتميةهي دالة تعطى بالصيغة:
اعتمادا على ما إذا كان الرقم أكبر أو أقل من واحد أجدول وظيفة لوغاريتميةقد يكون هناك خياران أساسيان:
رسم بياني للدالة ذ = |س| على النحو التالي:
الرسوم البيانية للدوال الدورية (المثلثية).
وظيفة في = F(س) يسمى دورية، إذا كان هناك رقم غير الصفر ت، ماذا F(س + ت) = F(س)، لأي احد Xمن مجال الدالة F(س). إذا كانت الوظيفة F(س) دورية مع فترة ت، ثم الدالة:
أين: أ, ك, ب – أرقام ثابتة، و كلا يساوي الصفر، وأيضا دورية مع الفترة ت 1، والتي يتم تحديدها بواسطة الصيغة:
معظم الأمثلة وظائف دورية- هذا الدوال المثلثية. نقدم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية الرئيسية. يوضح الشكل التالي جزءًا من الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة س(الرسم البياني بأكمله يستمر إلى أجل غير مسمى من اليسار واليمين)، الرسم البياني للدالة ذ= خطيئة سمُسَمًّى الجيوب الأنفية:
رسم بياني للدالة ذ=cos سمُسَمًّى جيب التمام. يظهر هذا الرسم البياني في الشكل التالي. نظرًا لأن الرسم البياني الجيبي يستمر إلى أجل غير مسمى على طول محور OX إلى اليسار واليمين:
رسم بياني للدالة ذ= تيراغرام سمُسَمًّى مماسي. يظهر هذا الرسم البياني في الشكل التالي. مثل الرسوم البيانية للوظائف الدورية الأخرى، هذا الجدول الزمنييتكرر إلى أجل غير مسمى على طول محور OX إلى اليسار واليمين.
وأخيرًا، الرسم البياني للدالة ذ=ctg سمُسَمًّى ظل التمام. يظهر هذا الرسم البياني في الشكل التالي. مثل الرسوم البيانية للدوال الدورية والمثلثية الأخرى، يتكرر هذا الرسم البياني إلى أجل غير مسمى على طول محور الثور إلى اليسار واليمين.
سيسمح لك التنفيذ الناجح والدؤوب والمسؤول لهذه النقاط الثلاث بالظهور في CT نتيجة ممتازة، الحد الأقصى لما أنت قادر عليه.
وجدت خطأ؟
إذا كنت تعتقد أنك وجدت خطأ في المواد التعليمية، ثم يرجى الكتابة عن ذلك عن طريق البريد الإلكتروني. يمكنك أيضًا الإبلاغ عن خطأ إلى شبكة اجتماعية(). في الرسالة، أشر إلى الموضوع (الفيزياء أو الرياضيات)، أو اسم أو رقم الموضوع أو الاختبار، أو رقم المشكلة، أو المكان في النص (الصفحة) الذي يوجد فيه خطأ في رأيك. قم أيضًا بوصف الخطأ المشتبه به. لن تمر رسالتك دون أن يلاحظها أحد، وسيتم تصحيح الخطأ، أو سيتم توضيح سبب عدم اعتباره خطأ.
وظيفة- هذا كمية رياضيةتظهر تبعية عنصر واحد "ذ"من جهة اخرى "X".
وبعبارة أخرى: الإدمان فيتسمى دالة متغيرة X، إذا كانت كل قيمة يمكن أن تتخذها Xيتوافق مع واحد أو أكثر من القيم المحددة في. عامل X- هذا حجة الوظيفة.
ضخامة فييعتمد دائما على الحجم Xوبالتالي الحجة Xيكون متغير مستقل، والوظيفة في - المتغير التابع.
دعونا نوضح بمثال:
يترك تهي نقطة غليان الماء، و ر - الضغط الجوي. أثناء المراقبة، ثبت أن كل قيمة يمكن أن تتخذها ر، يتوافق دائمًا مع نفس القيمة ت. هكذا، تهي وظيفة الوسيطة ر.
الاعتماد الوظيفي تمن ريتيح لك تحديد الضغط باستخدام جداول خاصة عند مراقبة درجة غليان الماء بدون البارومتر، على سبيل المثال:
ويمكن ملاحظة أن هناك معاني دعوىتوالتي لا يمكن أن تأخذها درجة الغليان، على سبيل المثال، لا يمكن أن تكون أقل من " الصفر المطلق"(- 273 درجة مئوية). وهذا هو، قيمة مستحيلة ت= - 300 درجة مئوية، لا توجد قيمة مطابقة ر. لذلك يقول التعريف: “كل قيمة يمكن أن تأخذها ×…"، وليس لكل قيمة x ...
حيث ريكون وظيفة الحجةت. وبالتالي الاعتماد رمن تيسمح، عند مراقبة الضغط بدون مقياس حرارة، بتحديد درجة غليان الماء باستخدام جدول مماثل:
التعريف الثاني للدالة
إذا كانت قيمة كل وسيطة Xيتوافق مع قيمة دالة واحدة في، ثم يتم استدعاء الدالة خالية من الغموض; إذا اثنين أو أكثر، ثم متعدد الأقدام(رقمين، ثلاثة أرقام). إذا لم يُذكر أن الدالة متعددة القيم، فيجب أن يكون مفهومًا أنها ذات قيمة واحدة.
على سبيل المثال:
مجموع ( س) زوايا المضلع هي وظيفة الرقم (ن) الجوانب. دعوى نيمكن أن تأخذ فقط القيم الصحيحة، ولكن ليس أقل من 3 . مدمن سمن نيتم التعبير عنها من خلال الصيغة:
س = π (ن - 2).
لكل وحدة قياس في في هذا المثالتؤخذ على أنها راديان. حيث ن- هذا وظيفة الحجة سو الاعتماد الوظيفي نمن سيعبر عنها بالصيغة:
ن = س/ π + 2.
دعوىسيمكن أن تأخذ فقط القيم التي تكون مضاعفاتها π , (π , 2 π , 3 π إلخ.).
دعونا نوضح شيئا آخر مثال:
جانب من المربع Xهي وظيفة منطقتها س (س = √ س). يمكن أن تأخذ الوسيطة أي قيمة إيجابية.
دعوى- إنه دائما كمية متغيرةوظيفة، عادة، أيضا كمية متغيرةاعتمادا على الحجة، ولكن لا يتم استبعاد إمكانية ثباتها.
على سبيل المثال:
المسافة بين نقطة متحركة ونقطة ثابتة هي دالة لزمن السفر؛ وعادةً ما تتغير، ولكن عندما تتحرك النقطة حول دائرة، تظل المسافة من المركز ثابتة.
في الوقت نفسه، مدة الحركة في الدائرة ليست كذلك وظيفة المسافةمن المركز.
لذلك عندما تكون الوظيفة قيمة ثابتة ، فلا يمكن تبديل الوسيطة والوظيفة.
1) مجال الوظيفة ونطاق الوظيفة.
مجال الدالة هو مجموعة الكل الصالح القيم الحقيقيةدعوى س(عامل س)، والتي الوظيفة ص = و(س)عازم. مدى الدالة هو مجموعة القيم الحقيقية ذ، والتي تقبلها الدالة.
في الرياضيات الابتدائيةتتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية.
2) الأصفار الوظيفية.
الدالة صفر هي قيمة الوسيطة التي تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا.
3) فترات الإشارة الثابتة للدالة.
فترات الإشارة الثابتة للدالة هي مجموعات من قيم الوسيطات التي تكون فيها قيم الدالة موجبة فقط أو سالبة فقط.
4) رتابة الوظيفة.
الدالة المتزايدة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.
الدالة المتناقصة (في فترة زمنية معينة) هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.
5) الدالة الزوجية (الفردية)..
الدالة الزوجية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال تعريف المساواة و(-س) = و(خ). الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.
الدالة الفردية هي دالة يكون مجال تعريفها متماثلًا بالنسبة إلى الأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و(-x) = - و(x). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.
6) وظائف محدودة وغير محدودة.
تسمى الوظيفة محدودة إذا كان هناك مثل هذا رقم موجب، عدد إيجابي M بحيث |f(x)| ≥ M لجميع قيم x. إذا لم يكن هذا الرقم موجودا، فإن الوظيفة غير محدودة.
7) دورية الوظيفة.
تكون الدالة f(x) دورية إذا كان هناك رقم غير الصفر T بحيث يكون لأي x من مجال تعريف الدالة ما يلي: f(x+T) = f(x). ويسمى هذا العدد الأصغر فترة الدالة. جميع الدوال المثلثية دورية. (الصيغ المثلثية).
19. الأساسية وظائف أوليةوخصائصها والرسوم البيانية. تطبيق الوظائف في الاقتصاد.
الوظائف الأولية الأساسية. خصائصها والرسوم البيانية
1. وظيفة خطية.
دالة خطية تسمى دالة من النموذج حيث x متغير وa وb أرقام حقيقية.
رقم أمُسَمًّى ميلعلى التوالي، هو يساوي الظلزاوية ميل هذا الخط المستقيم إلى الاتجاه الموجب للمحور السيني. الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. يتم تعريفه بنقطتين.
خصائص الدالة الخطية
1. مجال التعريف - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية: D(y)=R
2. مجموعة القيم هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية: E(y)=R
3. تأخذ الدالة قيمة صفر عندما أو.
4. تزيد (تتناقص) الدالة على نطاق التعريف بأكمله.
5. دالة خطية مستمرة على كامل مجال التعريف، قابلة للتفاضل و.
2. الدالة التربيعية.
يتم استدعاء دالة من النموذج، حيث x متغير، والمعاملات a، b، c هي أرقام حقيقية من الدرجة الثانية.