نظام النقاط المادية يتم استدعاء مجموعة منها حيث يعتمد موضع وحركة كل نقطة على موضع وحركة جميع نقاط النظام المحدد. غالبًا ما يُطلق على نظام النقاط المادية اسم النظام الميكانيكي.
مركز كتلة نظام النقاط المادية. تحديد متجه نصف القطر لمركز الكتلة. خصائص مركز الكتلة. سرعة مركز الكتلة . اشتقاق معادلة حركة مركز الكتلة. قانون الحفاظ على إحداثيات مركز الكتلة لنظام النقاط المادية.
مركز الكتلة (أو مركز القصور الذاتي)
تسمى أنظمة النقاط المادية
شيا نقطة وهمية C، الموقف
الذي يميز التوزيع
كتلة هذا النظام. ناقل نصف قطرها
يتحرك مركز كتلة النظام المغلق بشكل مستقيم وموحد أو يظل ثابتًا.
مركز سرعة الكتلة
لتوزيع الكتلة المستمر بكثافة ص 
. إذا تم توجيه قوى الجاذبية المطبقة على كل جسيم في النظام طريقة واحدة، فإن مركز الكتلة يتطابق مع مركز الثقل. لكن اذا غير متوازي، فإن مركز الكتلة ومركز الثقل لا يتطابقان.
وبأخذ المشتقة الزمنية لـ نحصل على: 
أولئك. دفعة كاملةأنظمة يساوي المنتجكتلته بواسطة سرعة مركز الكتلة .
وبالتعويض عن هذا التعبير في قانون التغير في الزخم الكلي نجد: 
يتحرك مركز كتلة النظام مثل الجسيم الذي تتركز فيه كتلة النظام بأكملها وتطبق عليه الكتلة الناتجة خارجيقوة
في تدريجيحركة جميع النقاط صلبيتحرك بنفس طريقة مركز الكتلة (على نفس المسارات)، لذلك يتم وصفه التحرك إلى الأماميكفي كتابة وحل معادلة حركة مركز الكتلة.
لأن 
ثم مركز الكتلة نظام مغلقيجب الحفاظ على حالة من الراحة أو الزي الرسمي حركة مستقيمة، أي. =const. ولكن في الوقت نفسه، يمكن للنظام بأكمله أن يدور، أو يتطاير، أو ينفجر، وما إلى ذلك. نتيجة للعمل القوى الداخلية
.
Rс(t1) = Rc(t2) قانون حفظ إحداثيات مركز الكتلة
عمل القوى المحتملة (المحافظة) باستخدام الجاذبية كمثال. تحديد مجالات القوة المحتملة (المحافظة). مقدمة للمفهوم الطاقة الكامنةمن خلال عمل القوة. العلاقة بين القوة والطاقة الكامنة
القوة المحتملة هي القوة التي يعتمد عملها فقط على الموضع الأولي والنهائي لنقطة تطبيقها ولا تعتمد على نوع المسار أو على قانون حركة هذه النقطة. القوى المحافظة هي تلك القوى التي يكون عملها على طول أي مسار مغلق يساوي 0.
مجال القوة المحتملة (المحافظ): المجال الذي عمله عند الانتقال من نقطة من المجال إلى أخرى لا يعتمد على شكل المسار. الحقول المحتملة هي مجال الجاذبية والمجال الكهروستاتيكي.
مقدمة لمفهوم الإمكانات. الطاقة من خلال عمل القوى - الطاقة الكامنة - العددية الكمية المادية، يميز احتياطي الطاقة لجسم معين (أو نقطة مادية) يقع في مجال قوة محتملة، والذي يستخدم لاكتساب (تغيير) الطاقة الحركية للجسم من خلال عمل القوى الميدانية.
العلاقة بين القوة والطاقة الكامنة - كل نقطة المجال المحتمليتوافق مع قيمة معينة للقوة المؤثرة على الجسم وقيمة معينة من الطاقة الكامنة U. وهذا يعني أنه يجب أن يكون هناك اتصال بين القوة وU، من ناحية أخرى، dA = –dU،
مجموعة من النقاط الرياضية التي يتم تحديد حركتها وموقعها مسبقًا (على سبيل المثال، دراجة، النظام الشمسي).
يتم تعريف كتلة النظام على أنها المجموع الحسابيكتل من النقاط المدرجة في النظام.
CMS هي نقطة يتم تحديد موقعها في الفضاء باستخدام متجه نصف القطر.
2. القوى الخارجية والداخلية لنظام نقطة مادية. خصائص القوى الداخلية.
تنقسم قوى رد فعل الرابطة إلى قوى محددة وقوى رد فعل.
القوى الخارجية (F e) هي القوى المؤثرة على هيئات النظام قيد النظر من الهيئات غير المدرجة في النظام قيد النظر.
القوى الداخلية (F i) هي القوى المتفاعلة بين الأجسام في النظام قيد النظر.
3. عمل القوى الداخلية للنظام المادي.
مجموع الشغل الذي تبذله القوى الداخلية لنظام غير متغير لأي حركة يساوي صفرًا.
دع A و B يكونان نقطتين من النظام.
R A و R B – متساويان في المعامل ومتعاكسان في
اتجاه قوة التفاعل بين هذه النقاط.
عند التحرك، ستستقبل النقطتان A وB الحركات الأولية ds A وds B.
في الحركات ds A II وds B II، المتعامدة مع خطوط عمل القوى، لا تنتج القوى شغلًا. نظرًا لأن المسافة بين النقطتين A وB لنظام غير قابل للتغيير لا يمكن أن تتغير أثناء حركته، فإن الحركتين ds A I وds B I يجب أن تكونا متساويتين وموجهتين في نفس الاتجاه. إنه يتبع هذا.
4. نظرية حركة مركز كتلة النظام. قانون حفظ حركة مركز الكتلة.
حيث c هو مركز نقطة الكتلة
أ ج – تسارع مركز الكتلة
م - كتلة النظام بأكمله
قانون حفظ حركة مركز الكتلة: إذا كان المجموع، فإن قانون حفظ حركة مركز الكتلة ينطبق.
=>
5. المعادلة التفاضلية للحركة الانتقالية لجسم صلب.
الترجمة m*a c =∑F e i
a i =m i *V i عدد حركات النظام الميكانيكي
m i – كتلة النقطة i
F e i - نتيجة الكل قوى خارجية
Q i =m i *V i عدد حركات النقطة i
لنجمع جميع المعادلات (1) للنظام
…………
________
∑Q i = ∑ (m i *V i)
Q=M*V ج (3) مقدار حركة النظام بأكمله
م*ص ج = ∑(م ط * ص ط) (2)
دعونا نفرق المعادلة (2) بالنسبة للوقت:
م*الخامس ج =∑(م ط * ص ط)
6. نظرية التغير في زخم نظام المادة.
الشكل التفاضلي
شكل متكامل
أين هو مقدار الحركة نظام ميكانيكيفي الموقف النهائي والابتدائي
مجموع النبضات في الوضع النهائي ونقطة البداية
7. كمية حركة جسم صلب يدور حول محور ثابت.
يُطلق على إسقاط الزخم الزاوي لجسم صلب بالنسبة إلى أي مركز على أي محور z يمر عبر هذا المركز الزخم الزاوي l z للجسم بالنسبة إلى هذا المحور:
8. نظرية التغير في الزخم الزاوي لنظام مادي.
(1) إذا كان المجموع (1)=0، فإن L 0 =const L 0 x =const.
المشتق الزمني للحظة l z لزخم نقطة ما بالنسبة إلى أي محور ثابت z يساوي لحظة القوة F المؤثرة على النقطة بالنسبة إلى نفس المحور.
النتيجة الطبيعية من (1): إذا كان عزم القوة المؤثرة على نقطة نسبة إلى أي محور لبعض الوقت يساوي الصفر، فإن الزخم الزاوي لنقطة معينة بالنسبة لهذا المحور يظل ثابتًا طوال هذا الوقت.
9. مفهوم لحظة القصور الذاتي للجسم. نصف قطر الجمود.
لحظة القصور الذاتي لجسم صلب بالنسبة إلى أي محور z (لحظة القصور الذاتي المحورية) هي كمية عددية، يساوي المبلغ، يتكون من حاصل ضرب الكتلة m k لكل نقطة من الجسم في مربع بعدها r k إلى محور معين.
لحظة القصور الذاتي لحلقة رقيقة بلا حدود ( دائرة مادية) بالنسبة لمحور دورانه يساوي حاصل ضرب كتلته في مربع نصف قطره:
يتم تمثيل لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحور على أنها حاصل ضرب كتلة الجسم في مربع طول قطعة معينة تسمى نصف قطر القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحور المقابل:
من خلال نصف قطر القصور الذاتي للجسم بالنسبة لأي محور، يمكننا أن نفهم نصف قطر هذه الحلقة الرفيعة للغاية والتي من الضروري فيها تركيز الكتلة الكاملة M للجسم من أجل الحصول على لحظة القصور الذاتي للحلقة، يساوي اللحظةالقصور الذاتي للجسم بالنسبة لهذا المحور.
10. لحظة القصور الذاتي النسبي محاور متوازية(نظرية هيجنز-شتاين).
لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لأي محور يساوي اللحظةالجمود من هذا الجسم النسبي المحور المركزيالموازي لمحور معين مضافًا إلى حاصل ضرب كتلة الجسم ومربع المسافة بين هذين المحورين.
نظرية هيغنز-شتاين.
11. لحظات القصور الذاتي المحورية للأجسام المتجانسة: القضيب والأسطوانات المجوفة والصلبة والكرة.
عزم القصور الذاتي لقضيب مستقيم رفيع ذو مقطع عرضي ثابت
إن لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع مستقيم متجانس بالنسبة إلى محور التماثل المركزي تساوي 1/12 من منتج كتلة القضيب في مربع طوله.
لحظة القصور الذاتي للمادة الصلبة
اسطوانة مستديرة.
عزم القصور الذاتي لأسطوانة دائرية صلبة متجانسة حول محور دورانها يساوي النصفحاصل ضرب كتلة الاسطوانة ومربع نصف قطرها.
لحظة القصور الذاتي لأسطوانة دائرية مجوفة.
لحظة القصور الذاتي لأسطوانة مستديرة مجوفة متجانسة بالنسبة لمحور دورانها تساوي نصف منتج كتلة الأسطوانة بمجموع مربعات نصف قطرها الخارجي والداخلي.
12. المعادلة الديناميكية لدوران جسم صلب حول محور ثابت.
إن حاصل ضرب عزم القصور الذاتي لجسم بالنسبة إلى محور دورانه والتسارع الزاوي للجسم يساوي العزم الرئيسي لجميع القوى الخارجية المطبقة على الجسم بالنسبة إلى نفس المحور.
المعادلة (1) تسمى المعادلة الديناميكية حركة دورانيةجسم صلب.
13. نظرية التغير في الطاقة الحركية لنظام المادة.
إن التغير في الطاقة الحركية لنظام ميكانيكي عند إزاحة معينة يساوي مجموع عمل القوى الخارجية والداخلية المؤثرة على النقاط المادية للنظام عند هذه الإزاحة.
حيث T هي الطاقة الحركية في اللحظة الأخيرة من الزمن
T 0 - الطاقة الحركية في لحظة البدايةوقت
∑А i e +∑А ij – مجموع عمل القوى الخارجية والداخلية
الحالة: مطلوب مواضع البداية والنهاية.
14. الطاقة الحركية لنظام المواد. نظرية كونيج.
النظام الميكانيكي عبارة عن مجموعة من الأجسام المترابطة بواسطة اتصالات مختلفة.
يتم تحديد مواقف وحركات كل هيئة بشكل متبادل. يتم تعريف الطاقة الحركية للنظام الميكانيكي على أنها المجموع الحسابي للطاقات الحركية للجسم الأول الموجود في النظام.
نظرية كونيج:
الطاقة الحركية للنظام الميكانيكي تساوي مجموع الطاقة الحركية لمركز كتلة النظام، والتي تساوي كتلتها كتلة النظام بأكمله، والطاقة الحركية لهذا النظام في مكوناته الحركة النسبيةنسبة إلى مركز الكتلة.
15. الطاقة الحركية لجسم صلب عند أنواع مختلفةتحركاته.
يتم تحديد الطاقة الحركية للجسم اعتمادا على نوع الحركة التي يتم تنفيذها.
1) الحركة إلى الأمام
2) الحركة الدورانية
3) الحركة المتوازية الطائرة
16. الحركة الديناميكية المتوازية للمستوى لجسم صلب.
17. مبدأ دالمبرت لنقطة مادية.
المجموع الهندسي لجميع القوى المطبقة على نقطة ما وقوة القصور الذاتي لهذه النقطة يساوي صفرًا. ، أين
18. مبدأ دالمبرت للنظام المادي.
(i=1,2,…,n)، حيث تكون محصلة القوى المحددة المطبقة على النقطة؛ - نتيجة لتفاعلات السندات المطبقة على هذه النقطة؛ -قوة القصور الذاتي لنقطة مادية.
توضح المعادلة أنه في أي لحظة من الزمن، يكون المجموع الهندسي لمحصلة القوى المحددة، ورد الفعل الناتج للاتصالات وقوة القصور الذاتي لكل نقطة مادية في نظام ميكانيكي غير حر، يساوي الصفر.
19. المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية للقصور الذاتي لجسم جامد تمامًا.
التحرك إلى الأمام
المتجه الرئيسي هو اللحظة الرئيسية، حيث J z هي لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران، ε هي القيمة الجبرية للتسارع الزاوي للجسم.
20. التوصيلات الميكانيكية، الوصلات الاحتفاظية وغير المحتجزة، الثابتة وغير الثابتة، الرأسية وغير الرأسية.
الروابط هي أجسام تقيد حرية حركة جسم آخر.
OA=l – خيط مرن – معادلة اتصال جامدة
تصنيف الاتصالات:
1) الرأس - الاتصالات التي لا تحتوي معادلاتها
تنسيق الفروق.
2) الروابط غير الرأسية – الروابط التي تحتوي معادلاتها
تنسيق الفروق.
ثابتة (لا تحتوي معادلاتها على
المعلمة ر.)
غير ثابتة (تحتوي معادلاتها على
المعلمة ر.)
الاحتفاظ (يتم تحديد المعادلة
المساواة).
عدم الاحتفاظ (يتم تحديد المعادلة من خلال عدم المساواة).
21. الحركات المحتملة.
الحركة الممكنة هي حركة الجسم التي تسمح بها الاتصالات المفروضة على النظام.
عادةً ما يُشار إلى الحركة المحتملة لنقطة ما برمز، على عكس حركتها الأولية الفعلية.
22. العمل الأولي للقوة على النزوح المحتمل. اتصالات مثالية.
الوصلات المثالية هي تلك الوصلات التي يكون مجموع تفاعلاتها الأولية مناسبًا لأي إزاحة محتملة للنقاط في النظام يساوي الصفر. تشمل الاتصالات المثالية جميع الأشياء الثابتة اتصالات هندسيةبدون احتكاك.
سطح أملس (يتم توجيه التفاعل بشكل طبيعي إلى السطح، وحركة مثل هذه الرابطة ممكنة فقط في مستوى الظل، أي دائمًا عموديًا على اتجاه تفاعل الرابطة والعمل = 0)
المفصلة الثابتة (نقطة تطبيق رد فعل هذا
يبقى الاتصال بلا حراك بغض النظر عن كيفية تحرك النظام
وعمل التفاعل صفر).
مفصل متحرك يربط بين جسمين (رد الفعل R 1 و R 2
وهذه الأجسام متساوية في الحجم مع بعضها البعض وموجهة في اتجاه واحد
مباشرة ل الأطراف المقابلة، لأي ابتدائي
تحريك نقطة تطبيق ردود الفعل من هذا الصدد، مجموعها
العمل الابتدائي هو 0).
23. مبدأ الحركات الممكنة. مبدأ لاغرانج.
لتحقيق التوازن مع النظام اتصالات مثاليةمن الضروري والكافي أن يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة عليه مساوياً للصفر لأي إزاحة محتملة للنظام من موضع التوازن.
الافتراض الأساسي: جميع الإزاحات متناهية الصغر (δS، δφ).
من المفترض أن تكون حركات النقاط مستقيمة.
24. دالمبرت – مبدأ لاغرانج ( المعادلة العامةنظام ديناميكي).
مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة أو المعطاة ومجموع الأعمال الأولية لجميع قوى القصور الذاتي هو صفر.
المعادلة العامة للديناميكيات.
25. الإحداثيات المعممة والسرعة والتسارع.
تسمى الكميات المستقلة، التي تحدد مواصفاتها بشكل فريد موضع جميع نقاط النظام الميكانيكي، الإحداثيات العامة لهذا النظام. بالنسبة للأنظمة الهولونومية، فإن عدد الإحداثيات المعممة المستقلة للنظام الميكانيكي يساوي عدد درجات الحرية لهذا النظام.
تسمى مشتقات الإحداثيات المعممة بالنسبة للزمن بالسرعات المعممة.
تسمى المشتقات الزمنية للسرعات المعممة بالتسارع المعمم.
26. القوى المعممة وطرق حسابها.
تسمى القوة المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة كمية عددية، تحددها العلاقة العمل الأساسي القوى النشطةعلى حركة نظام ميكانيكي ناتج عن زيادة أولية في الإحداثيات إلى حجم هذه الزيادة.
تنقسم القوى المعممة إلى قوى خارجية وداخلية معممة.
27. حالة التوازن للنظام الميكانيكي في الإحداثيات المعممة.
بالنسبة لأي نظام من القوى، فإن ظروف التوازن لها الشكل
إن شروط التوازن لنظام القوى المحافظ لها الشكل
28. معادلة لاغرانج من النوع الثاني.
(ي=1، 2، …، ق)
هذه المعادلات المعادلات التفاضليةالدرجة الثانية بالنسبة للإحداثيات المعممة للنظام q 1, q 2, ..., q s.
29. معادلة لاغرانج من النوع الثاني تتحرك في مجال القوة المحتملة.
لو نظام مادييتحرك في مجال قوة محتملة تحت تأثير قوى المجال فقط (جميع التوصيلات المفروضة على النظام مثالية)، فيمكن تحديد القوى المعممة بالصيغة
س ط = - دب / دق ط
دعونا نقدم الدالة L=TP-P (الإمكانات الحركية) بعين الاعتبار.
وتسمى هذه الوظيفة وظيفة لاغرانج. ثم نعوض به في معادلة لاغرانج من النوع الثاني:
نظام سفرق. تسمى المعادلات معادلات لاغرانج من النوع الثاني يتم عرض هذه المعادلات. هو فرق. المعادلات النسبية من الدرجة الثانية. الإحداثيات المعممة الأنظمة، ...، دمج هذه المعادلات وتحديدها حسب البداية. شروط التكامل المستمر، نحصل عليها سمكافئ. حركات الفراء الأنظمة في الإحداثيات المعممة:
30. اهتزازات مجانيةنظام أحادي الكتلة بدرجة واحدة من الحرية.
المعادلة التفاضلية للاهتزازات الحرة.
فترة التذبذب الحرة
معادلة حركة البضائع
تردد الاهتزاز الحر
31. الاهتزازات القسرية.
من خلال العمل المتزامن لاستعادة القوى وإزعاجها، تؤدي النقطة المادية عملية معقدة حركة متذبذبة، وهو نتيجة تراكب الحرة و التذبذبات القسريةنقاط.
التذبذبات القسرية لا تعتمد على الشروط الأوليةحركة النقطة.
معادلة التذبذبات القسرية ذات التردد المنخفض.
سعة التذبذب منخفضة التردد
معادلة التذبذبات القسرية ذات التردد العالي
سعة التذبذب عالية التردد
تسمى النسبة η لسعة التذبذبات القسرية A B إلى القيمة A 0 بمعامل الديناميكية.
32. تذبذبات الأنظمة بدرجتين أو أكثر من الحرية. اهتزازات حرة وطبيعية.
تسمى التذبذبات المقابلة للتغيير في أحد الإحداثيات المعممة فقط. ملك. الاهتزازات الحرة هي نتيجة إضافة اهتزازات خاصة بها. الأنظمة ذات درجة واحدة من الحرية لها تردد اهتزاز واحد فقط. لذلك، بالنسبة لهم، تتزامن الاهتزازات الحرة والطبيعية. نظام درجتين من الحرية له ترددان الاهتزازات الطبيعية. وبالمثل، يمكن إثبات أن النظام الذي لديه n درجة حرية سيكون له ترددات n من التذبذبات الطبيعية، أي. عدد درجات الحرية يساوي عدد الترددات.
33. ظاهرة التأثير في النقاط. قوة التأثير وقوة التأثير.
الاصطدام هو ظاهرة تتغير فيها سرعتها، نتيجة لتفاعل الأجسام، بمقدار محدود خلال فترة زمنية قصيرة جدًا. كقاعدة عامة، تكون ظاهرة التأثير مصحوبة بتشوه بلاستيكي للأجسام الملامسة، ونتيجة لذلك يتم تحويل الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية. لذلك، عند حل المسائل المتعلقة بتأثير الأجسام، لا يمكن استخدام نظرية التغير في الطاقة الحركية. في هذه الحالات، يتم تطبيق نظرية التغير في الزخم والزخم الزاوي، مكتوبة في شكل تكامل.
ظاهرة الاصطدام هي ظاهرة تتغير فيها سرعات النقاط على الجسم خلال فترة زمنية صغيرة جدًا بمقدار محدود (كرة تصطدم بجدار، وما إلى ذلك)
التغيير النهائي في عدد الحركات التلفزيونية. يحدث الجسم في وقت تأثير قصير جدًا لأن مقادير القوى التي تتطور أثناء الاصطدام تكون كبيرة جدًا، ونتيجة لذلك تكون نبضات هذه القوى أثناء الاصطدام ذات قيم محدودة. تسمى هذه القوى. - فورية أو صدمة.
1) يمكن إهمال عمل القوى غير اللحظية أثناء الاصطدام.
2) التحرك مادة. يمكن تجاهل النقاط أثناء التأثير.
3) نتيجة قوة التأثير على المادة. يتم التعبير عن النقطة بالتغير المحدود أثناء تأثير ناقل السرعة، والذي تحدده المعادلة - ب
34. نظرية التغير في زخم نقطة مادية عند الاصطدام.
التغير في زخم النظام الميكانيكي أثناء الاصطدام يساوي مجموع هندسيكلها خارجية نبضات الصدمة، تطبق على نقاط النظام.
(1)
المعادلة تعبر عن نظرية التغير في عدد حركات الفراء. أنظمة التأثير:
تغيير عدد حركات الفراء. الأنظمة أثناء التأثير ل= المجموع الهندسي لجميع نبضات الصدمة الخارجية ستعلق على النظام.
عدد الحركات يمكن التعبير عنها من حيث كتلة النظام بأكمله موسرعة مركز كتلة النظام وحسب الصيغ
لنعوض بهذه المعادلات في (1) ونحصل على هذه المعادلة التي تحدد التغير في سرعة مركز الكتلة عند الاصطدام.
في غياب نبضات الصدمة الخارجية لدينا:
عند التصرف على الفراء. نظام يتكون من نبضات صدمة داخلية فقط، ولا يتغير مقدار حركة النظام.
صفحة 1
إذا لم نطرح المعادلات (6.1) بل أضفناها، فسنحصل ببساطة على قانون الحفاظ على الزخم
ويمكن إعادة كتابته بشكل رسمي بحت كقانون الثبات في الزمن
بعض السرعة Vc:
دعنا ننتقل إلى نظام مرجعي يتحرك بسرعة (6.4). سرعات
يتم تحويل الجسيمات 1 و 2 بالطريقة الآتية:
أي أنه في الإطار المرجعي الجديد يتم التعبير عنها من خلال السرعة النسبية
الحركات. دعونا نربط السرعة Vc بمتجه نصف القطر لنقطة معينة صمع:
لاحظ أن التعريف (6.6) يتطابق مع التعريف المعروف منه دورة المدرسة
المفهوم الفيزيائي لمركز الثقل. لإثبات ذلك، دعونا ننتقل إلى البداية
إحداثيات للنقطة صمع. ثم نحصل على ما يشبه (6.5) تمامًا
هكذا،
(يتم تحديد مركز الثقل من خلال تساوي منتجات الكتلة و "الكتف"). لكن التعريفين (6.4) و(6.6) أصح وأكثر عمومية، حيث يمكن تعميمهما دون أي مشاكل على أي عدد من النقاط المادية، وبالتالي إلى
الهيئات العيانية. عادة ما تسمى النقطة C في الميكانيكا - وفي الفيزياء بشكل عام - بـ
مركز الكتلة أو مركز القصور الذاتي لنظام النقاط المادية.
دع البعض نظام بالقصور الذاتييتم تحديد إحداثيات موضع نقاط المواد المتفاعلة مع الكتل m 1، m 2، ... m N في كل لحظة زمنية t باستخدام متجهات نصف القطر ص 1(ر)، ص 2 (ر)، ... صن (ر)
(انظر الشكل 6.3 أ). إذن مركز كتلة نظام النقاط المادية قيد النظر هو تلك النقطة التي نصف قطرها متجه ر ص 1(ر)، ص 2 (ر)، ... ص N (ر) النقاط المادية وفقا ل
دعونا نؤكد على ذلك في الحالة العامةموضع مركز الكتلة لا يتطابق مع
موضع أي من النقاط المادية للنظام (انظر الشكل 6.3 ب)،
على الرغم من أن هذا يمكن أن يحدث في بعض الأحيان.
أرز. 6.3، مركز كتلة نظام النقاط المادية هو تلك النقطة التي نصف قطرها متجه ريتم التعبير عن c(t) من حيث ناقلات نصف القطر ص 1(ر)، ص 2 (ر)، ... ص N(ر) النقاط المادية
دعونا نفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة (6.7) فيما يتعلق بالوقت.
مشتق ناقل نصف القطر بالنسبة للوقت هو، بحكم التعريف، السرعة، وبالتالي
ما نحصل عليه نتيجة لذلك
حيث Vc هي سرعة مركز الكتلة، v 1، v 2،... v N هي سرعات نقاط المادة. الكمية m 1 v 1 in (6.8) هي كمية الحركة للنقطة المادية الأولى، m 2 V 2 هي كمية الحركة للنقطة المادية الثانية و
إلخ. وهكذا، بين قوسين متعرجين من التعبير (6.8) هو مجموع نبضات نظام النقاط المادية قيد النظر، أي الدافع P للنظام بأكمله. وبالتالي، يمكن إعادة كتابة المساواة (6.8) في النموذج
ف = (م1 + م2 + .... + م ن )V ج. (6.9)
في إطار مرجعي حيث يكون مركز الكتلة في حالة سكون،
إذا لم نكن مهتمين بالحركة النسبية للنقاط المادية، ولكننا مهتمون بحركة النظام ككل، فيمكن اعتبار النظام بأكمله بمثابة نقطة مادية واحدة تتحرك بسرعة Vc ولها زخم P. تذكر أن الكتلة النقطة المادية هي، حسب التعريف، معامل التناسب بين الاندفاع والسرعة. ولذلك، فإن معامل التناسب في المساواة (6.9)، بين قوسين متعرجين، هو الكتلة M للنظام قيد النظر:
م = م1 + م2 + …. + م ن , (6.10)
أي أن كتلة نظام النقاط المادية تساوي مجموع كتل هذه النقاط. العلاقة (6.10) والتي بموجبها الكتلة جسم معقديساوي مجموع كتل أجزائه، يبدو مألوفا وواضحا بالنسبة لنا. ومع ذلك، كما سنرى لاحقًا، في الميكانيكا النسبية (أي في الحالة الأكثر عمومية) سيكون الوضع مختلفًا تمامًا. في الحالة الحدية للميكانيكا النيوتونية، المساواة (6.10) هي حالة خاصةتأكيد
القانون المادي- قانون حفظ الكتلة .
في غياب القوى الخارجية، أي بالنسبة لنظام مغلق، فإن مجموع نبضات جميع أجسام النظام لا يعتمد على الزمن؛ ثم من (6.9) تتبع خاصية مهمة لحركة مركز الكتلة لنظام مغلق من النقاط المادية:
أي. مركز كتلة نظام مغلق من النقاط المادية لا يتحرك أو
يتحرك بشكل موحد وخطي، على الرغم من أن كل نقطة من النقاط المادية يمكن أن تؤدي حركة معقدة. يُطلق على العبارة المذكورة أعلاه أحيانًا نظرية حركة مركز الكتلة.
سنثبت الآن الخاصية الهامة التالية للطاقة الحركية:
الطاقة الحركية T لنظام من النقاط المادية تساوي مجموع الطاقة الحركية لكتلة النظام بأكملها، تتركز عقليًا في مركز كتلته وتتحرك معه، والطاقة الحركية T لنفس النظام في مركز كتلته الحركة النسبية بالنسبة للنظام المرجعي الذي يتحرك مع مركز الكتلة:
حيث م = م 1 + م 2 + ... + م ن. Vc هي سرعة مركز الكتلة في الإطار المرجعي الأصلي، v i هي سرعة نقطة المادة i بالنسبة للإطار المرجعي الذي يتحرك مع النقطة C. يُطلق على هذا النظام عادةً اسم "مركز نظام الكتلة" أو "مركز نظام القصور الذاتي" أو ببساطة "نظام ج". (النظام المرجعي الذي تطرح فيه المشكلة، إذا كان هذا النظام لا يتطابق مع النظام C، عادة ما يسمى النظام المرجعي المختبري أو النظام L).
لإثبات ذلك، حصلنا أولاً على علاقة أكثر عمومية تربط الطاقة الحركية في نظامين مرجعيين (انظر الشكل 6.4). بالنسبة لإحداثيات وسرعات النقاط في النظام القديم R i, V i وفي النظام الجديد r i, v i نكتب التحويلات الجليلية:
حيث R هو ناقل نصف القطر للانتقال من النظام القديم إلى النظام الجديد، وبالتالي فإن V هي سرعة حركة النظام الجديد بالنسبة للنظام القديم.
أرز. 6.4 ربط الإحداثيات في نظامين مرجعيين
ثم يمكن تمثيل الطاقة الحركية في الإطار المرجعي القديم على النحو التالي
(6.12)
يمكن تمثيل الجانب الأيمن من (6.12) بثلاثة مجاميع:
حيث P هو الزخم الإجمالي لنظام النقاط المادية في الإطار المرجعي الجديد. تسمى العلاقة (6.13) عادةً بنظرية كونيج. لو نظام جديديتطابق مع نظام q، فإن الزخم الكلي فيه هو صفر، V = Vc، مما يعني أن العلاقة (6.11) صحيحة.
وفي ختام هذا القسم، دعونا نلاحظ اثنين خصائص مهمة، الناشئة عن تعريف مركز الكتلة. أولاً، يمكن دمج الجسيمات الموجودة في (6.7) في أي مجموعة، على سبيل المثال:
من هنا، كما هو سهل الفهم، يترتب على ذلك أن مركز كتلة أي نظام من الأجسام العيانية يمكن العثور عليه كمركز كتلة نظام من النقاط المادية، بافتراض أن كتلة كل جسم تتركز في كتلته. مركز الكتلة الخاصة.
وثانياً، من الجمع في (6.7) يسهل الانتقال إلى التكامل،
إذا قمنا بحساب موضع مركز كتلة الجسم مع التوزيع المستمر لكثافة المادة ρ(t):
