عند دراسة الجبر في المدرسة الثانوية (الصف التاسع)، أحد الموضوعات المهمة هو دراسة التسلسل العددي، والذي يتضمن التقدم - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.
ما هو التقدم الحسابي؟
لفهم ذلك، من الضروري تحديد التقدم المعني، بالإضافة إلى توفير الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها لاحقًا في حل المشكلات.
من المعروف أنه في بعض المتتابعات الجبرية، يكون الحد الأول يساوي 6، والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.
دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . لنستبدل بها البيانات المعروفة من الشرط، أي الرقمين a 1 و a 7، لدينا: 18 = 6 + 6 * d. من هذا التعبير يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) /6 = 2. وبذلك نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المشكلة.
لاستعادة التسلسل إلى الحد السابع، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري، أي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د، وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16، أ 7 = 18.
المثال رقم 3: رسم التقدم
دعونا تعقيد المشكلة أكثر. الآن نحن بحاجة للإجابة على سؤال كيفية العثور على التقدم الحسابي. يمكن إعطاء المثال التالي: تم إعطاء رقمين، على سبيل المثال - 4 و 5. من الضروري إنشاء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.
قبل البدء في حل هذه المشكلة، عليك أن تفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. وبما أنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما، فإن 1 = -4 و5 = 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى المشكلة، التي تشبه المشكلة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد n الذي نستخدم فيه الصيغة، نحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من: د = (أ 5 - أ 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ما حصلنا عليه هنا ليس قيمة صحيحة للفرق، ولكنه عدد نسبي، لذا تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.
الآن دعونا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الحدود المفقودة للتقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5، وهو ما تزامن مع ظروف المشكلة
مثال رقم 4: الفصل الأول من التقدم
دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتوالية الجبرية معروفا. الآن دعونا نفكر في مسألة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و43 = 37. من الضروري العثور على الرقم الذي يبدأ به هذا التسلسل.
تفترض الصيغ المستخدمة حتى الآن معرفة 1 وd. في بيان المشكلة، لا يوجد شيء معروف عن هذه الأرقام. ومع ذلك، سنكتب تعبيرات لكل حد تتوفر عنه معلومات: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.
أسهل طريقة لحل هذا النظام هي التعبير عن الرقم 1 في كل معادلة ثم مقارنة التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43 - 42 * د = 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).
بمعرفة d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1. على سبيل المثال، أولاً: أ 1 = 50 - 14 * د = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.
إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، يمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد المدة 43 للتقدم، والتي تم تحديدها في الشرط. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ البسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.
مثال رقم 5: المبلغ
الآن دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مع حلول لمجموع التقدم الحسابي.
دعونا نعطي تقدمًا رقميًا بالشكل التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟
بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر، أصبح من الممكن حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بشكل تسلسلي، وهو ما سيقوم به الكمبيوتر بمجرد قيام الشخص بالضغط على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها يساوي 1. وبتطبيق صيغة المجموع نحصل على: S n = n * (a 1 + أ ن) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنه في بداية القرن الثامن عشر تمكن الألماني الشهير، الذي كان لا يزال عمره 10 سنوات فقط، من حلها في رأسه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتوالية الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بجمع الأرقام في نهايات المتتابعة في أزواج، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة يكفي ضرب 50 في 101.
مثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m
مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد ما يساوي مجموع حدودها من 8 إلى 14 .
يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة لا تتطلب عمالة كثيفة. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة ثانية، وهي أكثر عالمية.
تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. وفي كلتا الحالتين نكتب تعبيرين للمجموع:
- س م = م * (أ م + أ 1) / 2.
- س ن = ن * (أ ن + أ 1) / 2.
بما أن n > m، فمن الواضح أن المجموع الثاني يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فسنحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * ن/2 + ا م * (1- م/2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د *(3 * م - م 2 - 2) / 2.
الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n وm وa 1 وd. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.
كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تحتاج إلى العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.
نصيحة أخرى هي السعي لتحقيق البساطة، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب الخطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال المتتابعة الحسابية مع الحل رقم 6، يمكن التوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، و قم بتقسيم المشكلة الإجمالية إلى مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).
إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. اكتشفنا كيفية العثور على التقدم الحسابي. إذا عرفت ذلك، فالأمر ليس بهذه الصعوبة.
آي في ياكوفليف | مواد الرياضيات | MathUs.ru
المتوالية العددية
التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك، قبل تعريف التقدم الحسابي (ثم الهندسي)، نحتاج إلى مناقشة المفهوم المهم للتسلسل الرقمي بإيجاز.
التبعية
تخيل جهازًا يتم عرض أرقام معينة على شاشته واحدًا تلو الآخر. لنفترض 2؛ 7؛ 13؛ 1؛ 6؛ 0; 3؛ : : : هذه المجموعة من الأرقام هي بالضبط مثال على التسلسل.
تعريف. التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تعيين رقم فريد لكل رقم (أي مرتبط برقم طبيعي واحد)1. الرقم n يسمى الحد n من المتتابعة.
لذلك، في المثال أعلاه، الرقم الأول هو 2، وهذا هو العضو الأول في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة a1؛ الرقم خمسة لديه الرقم 6 هو الحد الخامس من التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a5. بشكل عام، يُشار إلى الحد n من التسلسل بـ (أو bn، cn، وما إلى ذلك).
الموقف المريح للغاية هو عندما يمكن تحديد الحد n من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة an = 2n 3 تحدد التسلسل: 1; 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ : : : الصيغة an = (1)n تحدد التسلسل: 1; 1؛ 1؛ 1؛ : : :
ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. وبالتالي، فإن المقطع ليس تسلسلًا؛ أنه يحتوي على أرقام "كثيرة جدًا" بحيث لا يمكن إعادة ترقيمها. المجموعة R لجميع الأعداد الحقيقية ليست أيضًا تسلسلًا. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.
التقدم الحسابي: التعاريف الأساسية
الآن نحن على استعداد لتحديد التقدم الحسابي.
تعريف. التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى فرق التقدم الحسابي).
على سبيل المثال، التسلسل 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2؛ 3؛ 8؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3؛ 3؛ : : : هي متوالية حسابية بفارق يساوي صفر.
تعريف مكافئ: يسمى التسلسل an بالتقدم الحسابي إذا كان الفرق an+1 قيمة ثابتة (مستقلة عن n).
تسمى المتوالية الحسابية تزايدية إذا كان فرقها موجباً، وتناقصية إذا كان فرقها سالباً.
1 ولكن إليك تعريفًا أكثر إيجازًا: التسلسل هو دالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، سلسلة من الأعداد الحقيقية هي دالة f: N ! ر.
بشكل افتراضي، تعتبر التسلسلات لا نهائية، أي أنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام. لكن لا أحد يزعجنا أن نأخذ في الاعتبار التسلسلات المحدودة؛ في الواقع، يمكن تسمية أي مجموعة محدودة من الأرقام بتسلسل محدود. على سبيل المثال، تسلسل النهاية هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5 يتكون من خمسة أرقام.
صيغة الحد n من التقدم الحسابي
من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتحدد بالكامل برقمين: الحد الأول والفرق. لذلك يطرح السؤال: كيف يمكن، بمعرفة الحد الأول والفرق، العثور على حد تعسفي للتقدم الحسابي؟
ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للحد التاسع من التقدم الحسابي. دع
المتوالية الحسابية مع الفرق د. لدينا: | |
أن+1 = أن + د (ن = 1; 2;: : :): | |
ونكتب على وجه الخصوص: | |
a2 = a1 + د؛ | |
a3 = a2 + د = (a1 + د) + د = a1 + 2d؛ | |
a4 = a3 + د = (a1 + 2d) + د = a1 + 3d؛ | |
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي: | |
و = أ1 + (ن 1)د: |
المشكلة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : أوجد صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.
حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:
أن = 2 + 3(ن 1) = 3ن 1:
أ100 = 3100 1 = 299:
خاصية وعلامة التقدم الحسابي
خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي
بمعنى آخر، كل عضو في المتوالية الحسابية (بدءًا من الثاني) هو الوسط الحسابي للأعضاء المجاورة له.
دليل. لدينا: | ||||
ن 1+ ن+1 | (و د) + (و + د) | |||
وهو ما كان مطلوبا.
وبشكل أعم، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة
أ ن = أ ن ك+ أ ن+ك
لأي n > 2 وأي طبيعي k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
لقد اتضح أن الصيغة (2) لا تعد شرطًا ضروريًا فحسب، بل أيضًا شرطًا كافيًا لكي تكون المتتابعة تقدمًا حسابيًا.
علامة التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على جميع n > 2، فإن التسلسل an هو تقدم حسابي.
دليل. لنعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:
أ نا ن 1= أ ن+1أ ن:
من هذا يمكننا أن نرى أن الفرق an+1 an لا يعتمد على n، وهذا يعني بالضبط أن المتتابعة an عبارة عن تقدم حسابي.
يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في شكل عبارة واحدة؛ للراحة، سنفعل ذلك لثلاثة أرقام (وهذا هو الوضع الذي يحدث غالبًا في المشكلات).
توصيف التقدم الحسابي. ثلاثة أرقام أ، ب، ج تشكل تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2ب = أ + ج.
المشكلة 2. (جامعة ولاية ميشيغان، كلية الاقتصاد، 2007) تشكل ثلاثة أرقام 8x و3x2 و4 بالترتيب المشار إليه تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x وأشر إلى اختلاف هذا التقدم.
حل. وبخاصية التقدم الحسابي لدينا:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; س = 5:
إذا كانت x = 1، فسنحصل على تقدم متناقص قدره 8، 2، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5، فسنحصل على تقدم متزايد قدره 40، 22، 4؛ هذه الحالة ليست مناسبة.
الجواب: س = 1، والفرق هو 6.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي
تقول الأسطورة أنه في أحد الأيام، طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا بهدوء لقراءة الصحيفة. ومع ذلك، لم تمر حتى دقائق قليلة قبل أن يقول أحد الصبية أنه قد حل المشكلة. كان هذا كارل فريدريش غاوس البالغ من العمر 9 سنوات، والذي أصبح لاحقًا أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.
كانت فكرة ليتل غاوس على النحو التالي. يترك
س = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:
س = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1؛
وأضف هاتين الصيغتين:
2س = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
كل حد بين قوسين يساوي 101، وبالتالي هناك 100 حد في المجمل
2س = 101100 = 10100؛
نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة المجموع
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) إذا قمنا باستبدال صيغة الحد النوني an = a1 + (n 1)d فيها:
2أ1 + (ن 1)د | |||||
المشكلة 3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.
حل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هي مضاعفات العدد 13 تشكل تقدمًا حسابيًا حيث يكون الحد الأول 104 والفرق هو 13؛ المصطلح n من هذا التقدم له الشكل:
أن = 104 + 13(ن 1) = 91 + 13ن:
دعنا نتعرف على عدد المصطلحات التي يحتوي عليها تقدمنا. للقيام بذلك، دعونا نحل عدم المساواة:
6999؛ 91 + 13 ن 6 999؛
ن 690813 = 691113; ن669:
إذن، هناك 69 عضوًا في تقدمنا. باستخدام الصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:
س = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2
المتوالية الحسابية والهندسية
المعلومات النظرية
المعلومات النظرية
المتوالية العددية |
المتوالية الهندسية |
|
تعريف |
المتوالية العددية نهو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءاً من الثاني، مساوياً للعضو السابق مضافاً إليه نفس العدد د (د- فرق التقدم) |
المتوالية الهندسية ب نهي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد س (س- قاسم التقدم) |
صيغة التكرار |
لأي طبيعي ن |
لأي طبيعي ن |
صيغة الحد n |
أ ن = أ 1 + د (ن – 1) |
ب n = ب 1 ∙ ف n - 1 , ب n ≠ 0 |
| خاصية مميزة |  |
|
| مجموع الحدود n الأولى |  |
 |
أمثلة على المهام مع التعليقات
التمرين 1
في المتوالية الحسابية ( ن) أ 1 = -6, 2
وفقا لصيغة الحد n:
22 = أ 1+ د (22 - 1) = أ 1+ 21 د
حسب الشرط:
أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21 د .
من الضروري العثور على اختلاف التقدم:
د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
إجابة : 22 = -48.
المهمة 2
أوجد الحد الخامس للمتتالية الهندسية: -3؛ 6 ؛....
الطريقة الأولى (باستخدام صيغة n-term)
وفقًا لصيغة الحد n من التقدم الهندسي:
ب 5 = ب 1 ∙ ف 5 - 1 = ب 1 ∙ ف 4.
لأن ب 1 = -3,
الطريقة الثانية (باستخدام الصيغة المتكررة)
بما أن مقام التقدم هو -2 (q = -2)، إذن:
ب 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
ب 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
ب 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
إجابة : ب 5 = -48.
المهمة 3
في المتوالية الحسابية ( ن) 74 = 34; 76= 156. أوجد الحد الخامس والسبعين من هذا المتتابع.
بالنسبة للتقدم الحسابي، فإن الخاصية المميزة لها الشكل 
.
لذلك:
.
دعنا نستبدل البيانات في الصيغة:
الجواب: 95.
المهمة 4
في المتوالية الحسابية ( أ ن) ن= 3n - 4. أوجد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى.
للعثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي، يتم استخدام صيغتين:
.
أي منهم أكثر ملاءمة للاستخدام في هذه الحالة؟
بالشرط، تُعرف صيغة الحد التاسع من التقدم الأصلي ( ن) ن= 3n - 4. يمكنك أن تجد على الفور و أ 1، و 16دون أن يجد د. ولذلك، سوف نستخدم الصيغة الأولى.
الجواب: 368.
المهمة 5
في المتوالية الحسابية( ن) أ 1 = -6; 2= -8. أوجد الحد الثاني والعشرين من التقدم.
وفقا لصيغة الحد n:
أ 22 = أ 1 + د (22 – 1) = أ 1+ 21 د.
بشرط إذا أ 1= -6 إذن 22= -6 + 21د . من الضروري العثور على اختلاف التقدم:
د = أ 2 - أ 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
إجابة : 22 = -48.
المهمة 6
تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:
ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بواسطة x.
عند الحل، سوف نستخدم صيغة الحد n ب ن = ب 1 ∙ ف ن - 1للتقدم الهندسي. الفصل الأول من التقدم. للعثور على مقام التقدم q، عليك أن تأخذ أيًا من شروط التقدم المعطاة وتقسمها على الحد السابق. في مثالنا، يمكننا أن نأخذ ونقسم على. نحصل على أن q = 3. بدلاً من n، نستبدل 3 في الصيغة، لأنه من الضروري إيجاد الحد الثالث لمتوالية هندسية معينة.
باستبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغة، نحصل على:
.
إجابة : .
المهمة 7
من المتتابعات الحسابية المعطاة بواسطة صيغة الحد النوني، حدد الحد الذي تحقق فيه الشرط 27 > 9:
وبما أنه يجب استيفاء الشرط المحدد للفترة السابعة والعشرين من التقدم، فإننا نستبدل 27 بدلاً من n في كل من التقدمات الأربعة. في التقدم الرابع نحصل على:
.
الجواب: 4.
المهمة 8
في التقدم الحسابي أ 1= 3، د = -1.5. حدد أكبر قيمة لـ n التي ينطبق عليها عدم المساواة ن > -6.
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.
غالبًا ما يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف، الحد التاسع للتقدم، الفرق في التقدم - كل هذا مربك إلى حد ما، نعم... دعونا نكتشف معنى التقدم الحسابي وكل شيء سوف يتحسن على الفور.)
مفهوم التقدم الحسابي.
التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط وواضح للغاية. هل لديك أي شكوك؟ عبثا.) انظر لنفسك.
سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:
1, 2, 3, 4, 5, ...
هل يمكنك تمديد هذه السلسلة؟ ما الأرقام التي ستأتي بعد الخمسة؟ الجميع... أه... باختصار، الجميع سوف يدرك أن الأرقام 6، 7، 8، 9، إلخ ستأتي بعد ذلك.
دعونا تعقيد المهمة. أقدم لك سلسلة غير مكتملة من الأرقام:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ستكون قادرًا على التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابعرقم الصف؟
إذا أدركت أن هذا الرقم هو 20، فتهانينا! لم تشعر فقط النقاط الرئيسية للتقدم الحسابيولكن أيضًا استخدموها بنجاح في العمل! إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك، واصل القراءة.
والآن دعونا نترجم النقاط الرئيسية من الأحاسيس إلى الرياضيات.)
النقطة الرئيسية الأولى.
التقدم الحسابي يتعامل مع سلسلة من الأرقام.هذا محير في البداية. لقد اعتدنا على حل المعادلات ورسم الرسوم البيانية وكل ذلك... ولكن هنا نمد المتسلسلة ونوجد رقم المتسلسلة...
لا بأس. إن الأمر مجرد أن التقدم هو أول التعرف على فرع جديد من الرياضيات. يُطلق على القسم اسم "السلسلة" ويعمل بشكل خاص مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. اعتد عليه.)
النقطة الرئيسية الثانية.
في المتوالية الحسابية، أي رقم يختلف عن الرقم السابق بنفس المبلغ.
في المثال الأول، هذا الفرق هو واحد. ومهما كان الرقم الذي تأخذه، فهو يزيد بمقدار واحد عن الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم يزيد بثلاثة عن الرقم السابق. في الواقع، هذه اللحظة هي التي تمنحنا الفرصة لفهم النمط وحساب الأرقام اللاحقة.
النقطة الرئيسية الثالثة.
هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر، نعم... لكنها مهمة جدًا جدًا. هنا هو: كل رقم التقدم في مكانه.هناك الرقم الأول، وهناك السابع، وهناك الخامس والأربعون، الخ. إذا قمت بخلطها بشكل عشوائي، فسوف يختفي النمط. سوف يختفي التقدم الحسابي أيضًا. ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام.
هذا هو بيت القصيد.
وبطبيعة الحال، تظهر مصطلحات وتسميات جديدة في موضوع جديد. أنت بحاجة إلى معرفتهم. وإلا فلن تفهم المهمة. على سبيل المثال، سيكون عليك أن تقرر شيئًا مثل:
اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.
ملهمة؟) الحروف وبعض الفهارس... وبالمناسبة، المهمة لا يمكن أن تكون أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والتسميات. الآن سوف نتقن هذا الأمر ونعود إلى المهمة.
المصطلحات والتسميات.
المتوالية العدديةهي سلسلة من الأرقام يختلف كل رقم فيها عن الرقم الذي يسبقه بنفس المبلغ.
تسمى هذه الكمية . دعونا ننظر إلى هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.
فرق التقدم الحسابي.
فرق التقدم الحسابيهو المبلغ الذي أي رقم التقدم أكثرالسابق.
نقطة واحدة مهمة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر".رياضياً، هذا يعني أن كل رقم تقدم هو بإضافةفرق التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.
لحساب، دعنا نقول ثانيةأرقام السلسلة التي تحتاج إليها أولاًرقم يضيفهذا الاختلاف بالذات في التقدم الحسابي. للحساب الخامس- الاختلاف ضروري يضيفل الرابع،حسنًا ، إلخ.
فرق التقدم الحسابيربما إيجابي،عندها سيتبين أن كل رقم في السلسلة حقيقي أكثر من السابق.ويسمى هذا التقدم في ازدياد.على سبيل المثال:
8; 13; 18; 23; 28; .....
هنا يتم الحصول على كل رقم بإضافةالرقم الموجب، +5 إلى الرقم السابق.
قد يكون الفرق سلبي،ثم سيكون كل رقم في السلسلة أقل من السابق.هذا التقدم يسمى (لن تصدق!) متناقص.
على سبيل المثال:
8; 3; -2; -7; -12; .....
هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا بإضافةإلى الرقم السابق، ولكن بالفعل رقم سالب، -5.
بالمناسبة، عند العمل مع التقدم، من المفيد للغاية تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. يساعد هذا كثيرًا في التنقل بين القرار واكتشاف أخطائك وتصحيحها قبل فوات الأوان.
فرق التقدم الحسابييشار إليها عادة بالحرف د.
كيف تجد د؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم في السلسلة سابقرقم. طرح او خصم. بالمناسبة، نتيجة الطرح تسمى "الفرق".)
دعونا نحدد، على سبيل المثال، دلزيادة التقدم الحسابي:
2, 5, 8, 11, 14, ...
نأخذ أي عدد نريده في المتسلسلة، مثلا 11. ونطرح منه الرقم السابقأولئك. 8:
هذا هو الجواب الصحيح. في هذه المتوالية الحسابية، الفرق هو ثلاثة.
تستطيع أخذها أي رقم التقدم،لأن لتقدم معين د-دائما نفس الشيء.على الأقل في مكان ما في بداية الصف، على الأقل في المنتصف، على الأقل في أي مكان. لا يمكنك أخذ الرقم الأول فقط. ببساطة لأن الرقم الأول لا سابقة.)
بالمناسبة، مع العلم بذلك د = 3إن العثور على الرقم السابع من هذا التقدم أمر بسيط للغاية. أضف 3 إلى الرقم الخامس - نحصل على السادس، سيكون 17. أضف ثلاثة إلى الرقم السادس، نحصل على الرقم السابع - عشرين.
دعونا نحدد دللتقدم الحسابي التنازلي:
8; 3; -2; -7; -12; .....
أذكرك أنه بغض النظر عن العلامات، يجب تحديدها دمطلوب من اي رقم يسلب السابق.اختر أي رقم تقدم، على سبيل المثال -7. رقمه السابق هو -2. ثم:
د = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
يمكن أن يكون الفرق في التقدم الحسابي أي رقم: عدد صحيح، أو كسري، أو غير منطقي، أو أي رقم.
مصطلحات وتسميات أخرى.
كل رقم في السلسلة يسمى عضو في التقدم الحسابي.
كل عضو في التقدم لديه رقم خاص به.الأرقام مرتبة بدقة، دون أي حيل. الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخ. على سبيل المثال، في التسلسل 2، 5، 8، 11، 14، ... اثنان هو الحد الأول، وخمسة هو الحد الثاني، وأحد عشر هو الرابع، حسنًا، أنت تفهم...) يرجى الفهم بوضوح - الأرقام نفسهايمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق، كليًا، كسريًا، سلبيًا، أيًا كان، ولكن ترقيم الأرقام- بدقة في النظام!
كيف تكتب التقدم بشكل عام؟ لا مشكلة! كل رقم في السلسلة مكتوب على شكل حرف. للدلالة على التقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الرسالة أ. تتم الإشارة إلى رقم العضو بواسطة فهرس في أسفل اليمين. نكتب مصطلحات مفصولة بفواصل (أو فواصل منقوطة)، مثل هذا:
أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....
أ 1- وهذا هو الرقم الأول، أ 3- الثالث، الخ. لا شيء يتوهم. يمكن كتابة هذه السلسلة بإيجاز على النحو التالي: (ن).
تحدث التقدمات محدود ولانهائي.
ذروةالتقدم له عدد محدود من الأعضاء. خمسة، ثمانية وثلاثون، أيا كان. لكنه عدد محدود.
لانهائيالتقدم - لديه عدد لا حصر له من الأعضاء، كما قد تتخيل.)
يمكنك كتابة التقدم النهائي من خلال سلسلة مثل هذه، جميع المصطلحات ونقطة في النهاية:
أ1، أ2، أ3، أ4، أ5.
أو هكذا إذا كان الأعضاء كثيرين:
أ1، أ2، ...14، أ15.
في الإدخال القصير، سيتعين عليك أيضًا الإشارة إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضواً) هكذا:
(أ ن)، ن = 20
يمكن التعرف على التقدم اللانهائي من خلال علامة الحذف الموجودة في نهاية الصف، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.
الآن يمكنك حل المهام. المهام بسيطة، وهي مخصصة فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.
أمثلة على المهام على التقدم الحسابي.
دعونا نلقي نظرة على المهمة المذكورة أعلاه بالتفصيل:
1. اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.
نترجم المهمة إلى لغة مفهومة. يتم إعطاء تقدم حسابي لانهائي. والرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 = 5.وفرق التقدم معروف: د = -2.5.علينا إيجاد الحدود الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.
وللتوضيح سأكتب سلسلة حسب ظروف المشكلة. الحدود الستة الأولى، حيث الحد الثاني هو خمسة:
أ 1، 5، أ 3، أ 4، أ 5، أ 6، ....
أ 3 = 2 + د
استبدال في التعبير أ 2 = 5و د = -2.5. لا تنسى الطرح!
أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
وتبين أن الحد الثالث أصغر من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان العدد أكبر من الرقم السابق سلبيالقيمة، مما يعني أن الرقم نفسه سيكون أقل من الرقم السابق. التقدم آخذ في التناقص. حسنًا، لنأخذ ذلك بعين الاعتبار.) نعد الحد الرابع من المتسلسلة:
أ 4 = أ 3 + د
أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = أ 4 + د
5=0+(-2,5)= - 2,5
6 = 5 + د
6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
إذن تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. والنتيجة هي السلسلة التالية:
أ 1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....
يبقى العثور على الفصل الأول أ 1على القول الثاني المشهور. هذه خطوة في الاتجاه الآخر، إلى اليسار.) إذن، فرق التقدم الحسابي دلا ينبغي أن تضاف إلى 2، أ يبعد:
أ 1 = 2 - د
أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
هذا كل شيء. إجابة الواجب:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
وبشكل عابر، أود أن أشير إلى أننا حللنا هذه المهمة متكررطريق. هذه الكلمة الرهيبة تعني فقط البحث عن عضو في التقدم حسب الرقم السابق (المجاور).سننظر في طرق أخرى للعمل مع التقدم أدناه.
يمكن استخلاص استنتاج مهم من هذه المهمة البسيطة.
يتذكر:
إذا عرفنا حدًا واحدًا على الأقل وفرق المتتابعة الحسابية، فيمكننا إيجاد أي حد من هذه المتتابعة.
هل تذكر؟ يتيح لك هذا الاستنتاج البسيط حل معظم مشكلات الدورة المدرسية حول هذا الموضوع. جميع المهام تدور حول ثلاثة معايير رئيسية: عضو التقدم الحسابي، فرق التقدم، عدد أعضاء التقدم.الجميع.
بالطبع، لم يتم إلغاء جميع الجبر السابق.) ترتبط المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى بالتقدم. لكن وفقا للتقدم نفسه- كل شيء يدور حول ثلاث عوامل.
على سبيل المثال، دعونا نلقي نظرة على بعض المهام الشائعة حول هذا الموضوع.
2. اكتب المتتابعة الحسابية المحدودة في صورة متسلسلة إذا كان n=5، وd = 0.4، وa 1 = 3.6.
كل شيء بسيط هنا. لقد تم بالفعل إعطاء كل شيء. عليك أن تتذكر كيفية حساب أعضاء التقدم الحسابي، وعدهم، وكتابتهم. يُنصح بعدم تفويت الكلمات الموجودة في شروط المهمة: "نهائي" و " ن = 5". حتى لا تحسب حتى يصبح وجهك أزرقًا تمامًا.) لا يوجد سوى 5 (خمسة) أعضاء في هذا التقدم:
أ 2 = أ 1 + د = 3.6 + 0.4 = 4
أ 3 = أ 2 + د = 4 + 0.4 = 4.4
أ 4 = أ 3 + د = 4.4 + 0.4 = 4.8
5 = أ 4 + د = 4.8 + 0.4 = 5.2
يبقى أن أكتب الجواب:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
مهمة أخرى:
3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 سيكون عضوا في المتوالية الحسابية (أ ن)، إذا أ 1 = 4.1؛ د = 1.2.
همم... من يدري؟ كيفية تحديد شيء ما؟
كيف كيف... اكتب التقدم في شكل سلسلة وانظر ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نحن نعد:
أ 2 = أ 1 + د = 4.1 + 1.2 = 5.3
أ 3 = أ 2 + د = 5.3 + 1.2 = 6.5
أ 4 = أ 3 + د = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
الآن أصبح من الواضح أننا في السابعة من عمرنا فقط تسللوا عبربين 6.5 و 7.7! سبعة لم يندرج في سلسلة أرقامنا، وبالتالي، سبعة لن يكون عضوًا في التقدم المحدد.
الجواب: لا.
وهنا مشكلة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:
4. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:
...; 15؛ العاشر؛ 9؛ 6؛ ...
إليكم سلسلة مكتوبة بلا نهاية ولا بداية. لا أرقام الأعضاء، لا فرق د. لا بأس. لحل المشكلة، يكفي أن نفهم معنى التقدم الحسابي. دعونا ننظر ونرى ما هو ممكن لتعرفمن هذه السلسلة؟ ما هي المعلمات الثلاثة الرئيسية؟
أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.
ولكن هناك ثلاثة أرقام و- انتبه! - كلمة "ثابت"في حالة. وهذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة، دون ثغرات. هل هناك اثنان في هذا الصف؟ المجاورةأرقام معروفة؟ نعم لدي! هذه هي 9 و 6. لذلك، يمكننا حساب الفرق في التقدم الحسابي! اطرح من ستة سابقرقم، أي تسع:
لم يتبق سوى تفاهات. ما هو الرقم الذي سيكون الرقم السابق لـ X؟ خمسة عشر. وهذا يعني أنه يمكن العثور على X بسهولة عن طريق الجمع البسيط. أضف فرق التقدم الحسابي إلى 15:
هذا كل شئ. إجابة: س = 12
نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه المشاكل لا تعتمد على الصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة من الأرقام والحروف وننظر إليها ونكتشفها.
5. أوجد الحد الموجب الأول للتقدم الحسابي إذا كان 5 = -3؛ د = 1.1.
6. من المعروف أن العدد 5.5 هو عضو في المتتابعة الحسابية (أ ن) حيث أن 1 = 1.6؛ د = 1.3. تحديد عدد ن من هذا العضو.
7. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 4؛ أ 5 = 15.1. العثور على 3 .
8. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:
...; 15.6؛ العاشر؛ 3.4؛ ...
ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.
9. بدأ القطار بالتحرك من المحطة، وزادت سرعته بشكل منتظم بمقدار 30 مترًا في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار في خمس دقائق؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر/الساعة.
10. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 5؛ أ 6 = -5. العثور على 1.
الإجابات (في حالة من الفوضى): 7.7؛ 7.5؛ 9.5؛ 9؛ 0.3؛ 4.
كل شيء على ما يرام؟ مدهش! يمكنك إتقان التقدم الحسابي على مستوى أعلى في الدروس التالية.
ألم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555، يتم حل كل هذه المشكلات قطعة قطعة.) وبالطبع، يتم وصف تقنية عملية بسيطة تسلط الضوء على الفور على حل هذه المهام بوضوح، بوضوح، في لمحة!
بالمناسبة، يوجد في لغز القطار مشكلتان غالبًا ما يتعثر الناس في حلهما. الأول يتعلق فقط بالتقدم، والثاني عام لأي مشاكل في الرياضيات، والفيزياء أيضًا. هذه هي ترجمة الأبعاد من واحد إلى آخر. ويبين كيف ينبغي حل هذه المشاكل.
في هذا الدرس نظرنا إلى المعنى الأولي للتقدم الحسابي ومعلماته الرئيسية. وهذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف دإلى الأرقام، اكتب سلسلة، سيتم حل كل شيء.
يعمل حل الإصبع بشكل جيد مع الأجزاء القصيرة جدًا من الصف، كما هو موضح في الأمثلة في هذا البرنامج التعليمي. إذا كانت السلسلة أطول، تصبح الحسابات أكثر تعقيدا. على سبيل المثال، إذا كان في المشكلة 9 في السؤال نستبدل "خمس دقائق"على "خمسة وثلاثون دقيقة"سوف تصبح المشكلة أسوأ بكثير.)
وهناك أيضًا مهام بسيطة في جوهرها ولكنها سخيفة من حيث الحسابات، على سبيل المثال:
يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.
فماذا، هل سنضيف 1/6 عدة مرات؟! هل تستطيع أن تقتل نفسك!؟
يمكنك ذلك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطة يمكنك من خلالها حل مثل هذه المهام في دقيقة واحدة. هذه الصيغة ستكون في الدرس القادم ويتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
المتوالية العدديةتسمية تسلسل من الأرقام (شروط التقدم)
وفيه يختلف كل مصطلح لاحق عن الذي قبله بمصطلح جديد، وهو ما يسمى أيضا اختلاف الخطوة أو التقدم.
وبالتالي، من خلال تحديد خطوة التقدم وحدها الأول، يمكنك العثور على أي عنصر من عناصرها باستخدام الصيغة
خصائص التقدم الحسابي
1) كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءاً من الرقم الثاني، هو الوسط الحسابي للأعضاء السابقين والتاليين في المتوالية
والعكس صحيح أيضا. إذا كان المتوسط الحسابي للحدود الفردية (الزوجية) المتجاورة للتقدم يساوي الحد الذي يقع بينهما، فإن هذا التسلسل من الأرقام هو تقدم حسابي. باستخدام هذه العبارة، من السهل جدًا التحقق من أي تسلسل.
أيضًا، من خلال خاصية التقدم الحسابي، يمكن تعميم الصيغة المذكورة أعلاه على ما يلي
من السهل التحقق من ذلك إذا كتبت المصطلحات على يمين علامة المساواة
غالبًا ما يتم استخدامه عمليًا لتبسيط العمليات الحسابية في المشكلات.
2) يتم حساب مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة
تذكر جيدًا صيغة مجموع التقدم الحسابي؛ فهي لا غنى عنها في العمليات الحسابية وغالبًا ما توجد في مواقف الحياة البسيطة.
3) إذا كنت لا تحتاج إلى العثور على المبلغ بالكامل، بل على جزء من التسلسل بدءًا من الحد k الخاص به، فستكون صيغة المجموع التالية مفيدة لك
4) من الأمور العملية المهمة إيجاد مجموع n من الحدود للتقدم الحسابي بدءًا من الرقم k. للقيام بذلك، استخدم الصيغة
بهذا نختتم المادة النظرية وننتقل إلى حل المشكلات الشائعة في الممارسة العملية.
مثال 1. أوجد الحد الأربعين من المتتابعة الحسابية 4;7;...
حل:
وفقا للحالة التي لدينا
دعونا نحدد خطوة التقدم
باستخدام الصيغة المعروفة، نجد الحد الأربعين من التقدم
مثال 2. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الحدين الثالث والسابع. أوجد الحد الأول للتقدم ومجموع العشرة.
حل:
دعونا نكتب العناصر المحددة للتقدم باستخدام الصيغ
نطرح الأولى من المعادلة الثانية، ونتيجة لذلك نجد خطوة التقدم
نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في أي من المعادلات لإيجاد الحد الأول من التقدم الحسابي
نحسب مجموع الحدود العشرة الأولى للتقدم
وبدون استخدام حسابات معقدة، وجدنا جميع الكميات المطلوبة.
مثال 3. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال المقام وأحد حدوده. أوجد الحد الأول من المتتابعة ومجموع حدوده الخمسين بدءًا من 50 ومجموع أول 100 حد.
حل:
دعونا نكتب صيغة العنصر المائة من التقدم
والعثور على أول واحد
بناءً على الأول نجد الحد الخمسين من التقدم
العثور على مجموع جزء من التقدم
ومجموع الـ 100 الأولى
مبلغ التقدم هو 250.
مثال 4.
أوجد عدد حدود المتتابعة الحسابية إذا:
a3-a1=8، a2+a4=14، القص=111.
حل:
لنكتب المعادلات بدلالة الحد الأول وخطوة التقدم ونحددها
نقوم باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في صيغة المجموع لتحديد عدد المصطلحات في المجموع
نقوم بالتبسيط
وحل المعادلة التربيعية
ومن بين القيمتين اللتين تم العثور عليهما، فإن الرقم 8 فقط هو الذي يناسب ظروف المشكلة. وبالتالي، فإن مجموع الحدود الثمانية الأولى للتقدم هو 111.
مثال 5.
حل المعادلة
1+3+5+...+س=307.
الحل: هذه المعادلة هي مجموع التقدم الحسابي. دعونا نكتب الحد الأول ونجد الفرق في التقدم