ኮምፓስ በመጠቀም አንድን ክፍል እንዴት እንደሚከፋፈል። የግራፊክ ስራዎችን ለማከናወን ትምህርታዊ እና ዘዴያዊ መመሪያ "የጂኦሜትሪክ ግንባታዎችን ለማከናወን የሚረዱ ዘዴዎች".

የሁሉም ምስሎች ቅርጾች በተለያዩ መስመሮች የተሠሩ ናቸው. ዋናዎቹ መስመሮች ቀጥታ መስመር, ክብ እና ተከታታይ ኩርባዎች ናቸው. የምስሎች ቅርጾችን በሚስሉበት ጊዜ, የጂኦሜትሪክ ግንባታዎች እና ማያያዣዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

ተግሣጽ ሲያጠና " ገላጭ ጂኦሜትሪእና የምህንድስና ግራፊክስ" ተማሪዎች የጂኦሜትሪክ ግንባታዎችን እና ግንኙነቶችን የማከናወን ህጎች እና ቅደም ተከተል መማር አለባቸው።

በዚህ ረገድ የተሻለው መንገድየግንባታ ክህሎቶችን ማግኘት ውስብስብ ክፍሎችን በመሳል ላይ ያሉ ተግባራት ናቸው.

ከመጀመርህ በፊት የመቆጣጠሪያ ተግባር, ቴክኒኩን መማር ያስፈልግዎታል የጂኦሜትሪክ ግንባታዎችእና ግንኙነቶች በዘዴ መመሪያው መሰረት.

1. የክፍሎች እና ማዕዘኖች ክፍፍል

1.1. አንድን ክፍል በግማሽ ማካፈል

ተከፈለ ይህ ክፍል AB በግማሽ.

ከክፍሉ AB ጫፍ ላይ እንደ ማእከሎች, የክበቦች ቅስቶችን ከ ራዲየስ R ጋር እናስባለን, መጠኑ ከ AB ክፍል ከግማሽ (ምስል 1) ትንሽ ከፍ ያለ መሆን አለበት. እነዚህ ቅስቶች M እና N ላይ ይገናኛሉ፣ AB እና MN ቀጥታ መስመሮች የሚገናኙበትን ነጥብ C እናገኝ። ነጥብ C ክፍል AB ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን ይከፍላል.

ማስታወሻ. ሁሉም አስፈላጊ ግንባታዎች በኮምፓስ እና በገዥ (ያለ ክፍሎች) እርዳታ ብቻ መከናወን አለባቸው.

1.2. አንድን ክፍል ወደ n እኩል ክፍሎችን መከፋፈል

መከፋፈል የተሰጠው ክፍልበ n እኩል ክፍሎች.

ከክፍሉ መጨረሻ - ነጥብ A, በዘፈቀደ አንግል ላይ ረዳት ጨረር እንሰራለን α. (ምስል 2 ሀ) በዚህ ሬይ ላይ የዘፈቀደ ርዝመት 4 እኩል ክፍሎችን እናስቀምጣለን (ምስል 2 ለ). የመጨረሻው ፣ አራተኛው ፣ ክፍል (ነጥብ 4) መጨረሻ ከ ነጥብ B ጋር ተያይዟል ። በመቀጠል ፣ ከሁሉም ቀዳሚ ነጥቦች 1 ... 3 ፣ ከክፍል B4 ጋር ትይዩ ክፍሎችን እናስባለን በ 1 ነጥብ 1 ፣ 2 ክፍል AB ጋር እስኪያገናኙ ድረስ ። ", 3" በዚህ መንገድ የተገኙት ነጥቦች ክፍሉን ወደ እኩል አራት ክፍሎች ከፍለውታል

1.3. አንግልን በግማሽ ማካፈል

መከፋፈል የተወሰነ ማዕዘንእርስዎ በግማሽ።

ከማዕዘን A የዘፈቀደ ራዲየስበነጥብ B እና C (ምስል 3 ሀ) ላይ ከማዕዘኑ ጎኖቹ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ ቅስት ይሳሉ። ከዚያም ከ B እና C ነጥቦች ላይ ሁለት ቅስቶችን ራዲየስ እናስባለን ከግማሽ በላይርቀት ዓ.ዓ.፣ ወደ መገናኛቸው ነጥብ D (ምስል 3 ለ)። ነጥቦቹን A እና D ከቀጥታ መስመር ጋር በማገናኘት, የተሰጠውን አንግል በግማሽ የሚከፍለውን የማዕዘን ቢሴክተር እናገኛለን (ምሥል 3 ሐ)

ሀ) ለ) ሐ)

2. ክበብን ወደ እኩል ክፍሎች መከፋፈል እና መደበኛ ፖሊጎኖች መገንባት

2.1. አንድ ክበብ በሦስት እኩል ክፍሎችን መከፋፈል

ከዲያሜትሩ መጨረሻ, ለምሳሌ, ነጥብ A (ምስል 4), ራዲየስ አር ቅስት ይሳሉ. ራዲየስ ጋር እኩልየተሰጠ ክበብ. የመጀመሪያው እና ሁለተኛ ክፍልፋዮች የተገኙት - ነጥቦች 1 እና 2. ሦስተኛው ክፍል, ነጥብ 3, በተመሳሳይ ዲያሜትር በተቃራኒው ጫፍ ላይ ይገኛል. ነጥቦችን 1,2,3 ከኮርዶች ጋር በማገናኘት, በመደበኛነት የተቀረጸ ሶስት ማዕዘን ያገኛሉ.

2.2. አንድ ክበብ ወደ ስድስት እኩል ክፍሎችን መከፋፈል

ከማንኛውም ዲያሜትር ጫፎች, ለምሳሌ AB (ምስል 5), ራዲየስ አር አርከሮች ተገልጸዋል. ነጥቦች A, 1,3,B,4,2 ክብውን ወደ ስድስት እኩል ክፍሎችን ይከፋፍሉት. እነሱን ከኮርዶች ጋር በማገናኘት, መደበኛ የተጻፈበት ሄክሳጎን ይገኛል.

ማስታወሻ. ረዳት ቅስቶች ሙሉ በሙሉ መሳል የለባቸውም, በክበቡ ላይ ኖቶችን ለመሥራት በቂ ነው.

2.3. አንድ ክበብ ወደ አምስት እኩል ክፍሎችን መከፋፈል

ሁለት እርስ በርስ የሚደጋገፉ ዲያሜትሮች AB እና ሲዲ ይሳሉ (ምሥል 6). ነጥብ O 1 ላይ ያለው የስርዓተ ክወና ራዲየስ በግማሽ ተከፍሏል.
ከ O1፣ ልክ ከመሃል፣ ከዲያሜትር ሲዲ ጋር በነጥብ ኢ እስኪያቋርጥ ድረስ የ O1A ራዲየስ ቅስት ይሳሉ።
ክፍል AE ከመደበኛው የተቀረጸ ፒንታጎን ጎን ጋር እኩል ነው፣ እና ክፍል OE ከመደበኛ የተቀረጸ ዲካጎን ጎን ጋር እኩል ነው።
ነጥቡን ሀ እንደ መሃል በመውሰድ የራዲየስ ቅስት R1 = AE በክበቡ ላይ 1 እና 4 ነጥቦችን ያሳያል ። ከ 1 እና 4 ፣ እንደ ማዕከሎች ፣ ተመሳሳይ ራዲየስ R1 ቅስቶች ነጥብ 3 እና 2 ነጥብ A ፣ 1 ፣ 2, 3, 4 ክብውን ወደ አምስት እኩል ክፍሎችን ይከፋፍሉት.

2.4. ክበብን ወደ ሰባት እኩል ክፍሎችን መከፋፈል

ከዲያሜትሩ መጨረሻ, ለምሳሌ, ነጥብ A ከክብ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ ራዲየስ R አንድ ቅስት ይሳሉ (ምሥል 7). የኮርድ ሲዲው ከተለመደው የተቀረጸ ሶስት ማዕዘን ጎን ጋር እኩል ነው. ከሲዲው ውስጥ ግማሹ ወደ በቂ ግምታዊነት, ከመደበኛው የተቀረጸው ሄፕታጎን ጎን ጋር እኩል ነው, ማለትም. ክብውን ወደ ሰባት እኩል ክፍሎችን ይከፍላል.

ሩዝ. 7

ስነ-ጽሁፍ

ቦጎሊዩቦቭ ኤስ.ኬ. የምህንድስና ግራፊክስለሁለተኛ ደረጃ ልዩ የትምህርት ተቋማት የመማሪያ መጽሐፍ. - 3 ኛ እትም ፣ ራዕይ. እና ተጨማሪ - ኤም.: ሜካኒካል ምህንድስና, 2006. - ገጽ 392: የታመመ.
ኩፕሪኮቭ ኤም.ዩ. የምህንድስና ግራፊክስ: የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ተቋማት የመማሪያ መጽሐፍ - M.: Bustard, 2010 - 495 pp.: ሕመም.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. የሜካኒካል ምህንድስና ስዕል መመሪያ መጽሐፍ L.: ሜካኒካል ምህንድስና. 1976. 336 p.

ማወቅ; ትሪያንግሎቹ በሁለቱም በኩል እና በመካከላቸው ያለው አንግል እኩል መሆናቸውን, ይህንን ክፍል ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን ለመከፋፈል ኮምፓስ እና ገዢን መጠቀም እንችላለን.

ለምሳሌ አንድን ክፍል በግማሽ መከፋፈል ካስፈለገዎት ሀ ለ(ምስል 69), ከዚያም የኮምፓሱን ጫፍ በነጥቦቹ ላይ ያስቀምጡት ኤ አይ ቢ እናልክ እንደ ማእከሎች አጠገብ, እኩል ራዲየስ ሁለት የተጠላለፉ ቅስቶች (ምስል 70) በዙሪያቸው ይገልጻሉ. የእነሱ መገናኛ ነጥቦች ጋርእና ዲበቀጥታ መስመር የተገናኘ, የትኛው ABበግማሽ: ጄ.ኤስ.ሲ= ኦብ.

ክፍሎቹን ለማረጋገጥ ጄ.ኤስ.ሲእና ኦብእኩል መሆን አለበት, ነጥቦቹን ያገናኙ ሲእና ዲከጫፍ ጋር ሀእና ውስጥክፍል (ምስል 71). ሁለት ትሪያንግሎች ያገኛሉ ኤሲዲእና ቢሲዲየሶስቱ ጎኖቻቸው በቅደም ተከተል እኩል ናቸው፡ ኤሲ= ፀሐይ; ዓ.ም = ቢዲ; ሲዲ -የተለመደ፣ ማለትም የሁለቱም ትሪያንግሎች ነው። ይህ ፍጹም እኩልነትን ያመለክታል የተጠቆሙት ትሪያንግሎች, እና ስለዚህ የሁሉም ማዕዘኖች እኩልነት. ስለዚህ, በነገራችን ላይ, ማዕዘኖቹ እኩል ናቸው ኤሲዲእና ቢሲዲ. አሁን ትሪያንግሎችን በማወዳደር አሶእና ቪኤስኦጎን እንዳላቸው እናያለን። ስርዓተ ክወና -አጠቃላይ፣ አ.ሲ. = CB, እና በመካከላቸው ያለው አንግል አሶ = ug. ቪኤስኦ. ትሪያንግሎች በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል እኩል ናቸው; ስለዚህ ጎኖቹ እኩል ናቸው ጄ.ኤስ.ሲእና ኦብ፣ ማለትም ነጥብ ስለመሃል ነጥብ አለ። AB.

ጎን እና ሁለት ማዕዘኖችን በመጠቀም ሶስት ማዕዘን እንዴት እንደሚገነባ

በመጨረሻም ፣ መፍትሄው ጎን እና ሁለት ማዕዘኖችን በመጠቀም ወደ ትሪያንግል ግንባታ የሚያመራውን ችግር አስቡበት።

በወንዙ ማዶ (ምሥል 72) አንድ ወሳኝ ምዕራፍ ይታያል ሀ. ወንዙን ሳያቋርጡ ከችግኝቱ የሚደርስበትን ርቀት ለማወቅ ያስፈልጋል ውስጥበዚህ ዳርቻ ላይ.

ይህንን እናድርግ. ከነጥቡ እንለካ ውስጥበቀጥታ መስመር ላይ ማንኛውንም ርቀት ፀሐይእና በእሱ ጫፍ ላይ ውስጥእና ጋርማዕዘኖችን 1 እና 2 እንለካ (ምሥል 73). አሁን ርቀቱን ምቹ በሆነ ቦታ ላይ ከለካን ዲኢ፣እኩል ነው። ፀሐይ, እና ጫፎቹ ላይ ማዕዘኖችን ይገንቡ ሀእና ለ(ሥዕል 74) ከአንግሎች ጋር እኩል ነው 1 እና 2, ከዚያም በጎኖቻቸው መገናኛ ነጥብ ላይ ሶስተኛውን ጫፍ እናገኛለን ኤፍትሪያንግል DEFትሪያንግል መሆኑን ለማረጋገጥ ቀላል ነው DEFከሶስት ማዕዘን ጋር እኩል ነው ኢቢሲ; በእርግጥ, ያንን ሶስት ማዕዘን ካሰብን DEFላይ ተደራቢ ኢቢሲስለዚህ በዚያ በኩል ዲ.ኢከእሱ እኩል ጎን ጋር ተገናኝቷል ፀሐይ, ከዚያም ug. ሀከማዕዘን 1, አንግል ጋር ይጣጣማል ለ -አንግል 2, እና ከጎን ጋር ዲኤፍወደ ጎን ይሄዳል ቪ.ኤ, እና ጎን ኢ.ኤፍ.ከጎኑ ኤስ.ኤ.ሁለት መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ብቻ ሊገናኙ ስለሚችሉ, ከዚያም ወርድ ኤፍከላይ ጋር መመሳሰል አለበት ሀ. ስለዚህ ርቀቱ ዲኤፍከሚፈለገው ርቀት ጋር እኩል ነው ቪ.ኤ.

ችግሩ, እንደምናየው, አንድ መፍትሄ ብቻ ነው ያለው. በአጠቃላይ ከዚህ ጎን ለጎን አንድ ጎን እና ሁለት ማዕዘኖችን በመጠቀም አንድ ሶስት ማዕዘን ብቻ መገንባት ይቻላል; በተመሳሳዩ ቦታዎች ተመሳሳይ ጎን እና ተመሳሳይ ሁለት ማዕዘኖች ያሉት ሌሎች ሶስት ማዕዘኖች ሊኖሩ አይችሉም። አንድ ተመሳሳይ ጎን እና ሁለት ያላቸው ሁሉም ትሪያንግሎች ተመሳሳይ ማዕዘን, ከእሱ አጠገብ በተመሳሳዩ ቦታዎች ላይ, በሱፐርላይዜሽን ወደ ሙሉ በሙሉ በአጋጣሚ ሊመጣ ይችላል. ይህ ማለት አንድ ሰው የሶስት ማዕዘን ቅርጾችን ሙሉ እኩልነት የሚያረጋግጥበት ምልክት ነው.

ቀደም ሲል ከተመሰረቱት የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት ምልክቶች ጋር ፣ አሁን የሚከተሉትን ሶስት እናውቃቸዋለን ።

ትሪያንግሎች፡

በሶስት ጎኖች;

በሁለቱም በኩል እና በመካከላቸው ባለው ጥግ ላይ;

በጎን በኩል እና በሁለት በኩል.

ለማጠቃለል ያህል፣ እነዚህን ሶስት የሶስት ማዕዘናት የእኩልነት ጉዳዮችን እንደሚከተለው እንገልፃለን።

በሶስት ጎን; ኤስኤስኤስ;

በሁለት በኩል እና በመካከላቸው ያለው አንግል; ኤስ.ኤስ;

በጎን በኩል እና በሁለት ማዕዘኖች; ዩኤስዩ.

መተግበሪያዎች

14. ወደ አንድ ነጥብ ያለውን ርቀት ለማወቅ ሀከወንዙ ማዶ ከነጥቡ ውስጥበዚህ ባንክ (ምስል 5) ላይ, አንዳንድ መስመሮችን ቀጥታ መስመር ይለኩ ፀሐይ,ከዚያም ነጥብ ላይ ውስጥእኩል የሆነ አንግል ይገንቡ ኢቢሲ, በሌላ በኩል ፀሐይ, እና ነጥብ ላይ ጋር- በተመሳሳይ መንገድ, እኩል የሆነ አንግል DIAየነጥብ ርቀት ዲየሁለቱም የማዕዘን ጎኖች ወደ ነጥቡ መቆራረጥ ውስጥከሚፈለገው ርቀት ጋር እኩል ነው AB. ለምን?

መፍትሄ: ትሪያንግሎች ኢቢሲእና ቢዲሲበአንድ በኩል እኩል ( ፀሐይ) እና ሁለት ማዕዘኖች (አንግ. ዲ.ሲ.ቢ= ug. DIA; ug. ዲቢሲ= ug. ኢቢሲ.) ስለዚህ AB= ቪዲ፣ልክ እንደ ጎኖቹ ተኝተዋል እኩል ትሪያንግሎችበእኩል ማዕዘኖች ላይ.

ትይዩዎች

ከሶስት ማዕዘኖች ወደ አራት ማዕዘኖች ማለትም በ 4 ጎኖች የተገደቡ ምስሎችን እንቀጥላለን. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ምሳሌ አራት ማዕዘን - አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሁሉም ጎኖች እኩል እና ሁሉም ማዕዘኖች ትክክለኛ ናቸው (ምስል 76). ሌላ ዓይነት አራት ማእዘን ፣ እንዲሁም ብዙውን ጊዜ የሚገኘው ፣ አራት ማዕዘን ነው፡-

ይህ በ 4 ቀኝ ማዕዘኖች (ምስል 77 እና 78) ያሉት የማንኛውንም አራት ማዕዘን ስም ነው. ካሬም አራት ማዕዘን ነው, ግን በ እኩል ጎኖች.

የአራት ማዕዘን (እና ካሬ) ልዩነት ሁለቱም ጥንድ ተቃራኒ ጎኖቹ ትይዩ ናቸው። በአራት ማዕዘን ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲ,ለምሳሌ (ምስል 78), ABትይዩ ዲሲ፣ ሀ ዓ.ምትይዩ ፀሐይ.ይህ ከሁለቱም እውነታዎች ይከተላል ተቃራኒ ጎኖችበተመሳሳዩ መስመር ላይ ቀጥ ያለ ፣ እና ወደ አንድ መስመር ሁለት ቋሚዎች እርስ በእርሳቸው ትይዩ መሆናቸውን እናውቃለን (§ 16)።

የእያንዳንዱ አራት ማእዘን ሌላ ንብረት ተቃራኒው ጎኖቹ እርስ በርስ እኩል ናቸው. ይህ በማገናኘት ማረጋገጥ ይቻላል ተቃራኒ ጫፎችአራት ማዕዘን ከቀጥታ መስመር ጋር ማለትም በውስጡ ዲያግናል ይሳሉ። በመገናኘት ላይ ሀጋር ጋር(ስእል 79) ሁለት ትሪያንግሎች እናገኛለን ኢቢሲእና ኤ.ዲ.ሲ.እነዚህ ትሪያንግሎች እርስ በርስ እኩል መሆናቸውን ለማሳየት ቀላል ነው: ጎን ኤሲ -ጠቅላላ፣ ug. 1 = አንግል 2, ምክንያቱም እነዚህ ትይዩ የሆኑ የመስቀል ማዕዘኖች ናቸው ABእና ሲዲበተመሳሳይ ምክንያት, 3 እና 4 ማዕዘኖች እኩል ናቸው, በተመሳሳይ ጎን እና ሁለት ማዕዘኖች, ትሪያንግሎች. ኢቢሲእና ኤሲዲእኩል; ስለዚህ ጎን AB= ጎን ዲሲ፣እና ጎን ዓ.ም= ጎን ፀሐይ.

እንደዚህ ያሉ አራት ማዕዘኖች ፣ እንደ አራት ማዕዘኖች ፣ ተቃራኒ ጎኖችትይዩዎች ትይዩዎች ይባላሉ. ብዳኝ. 80 የትይዩ ምሳሌ ያሳያል፡- ABትይዩ ዲሲ፣ሀ ዓ.ምትይዩ ዓ.ዓ.እርግማን.80

አራት ማዕዘን ከትይዩዎች አንዱ ነው, ማለትም ሁሉም ማዕዘኖች ትክክለኛ ናቸው. እያንዳንዱ ትይዩ የሚከተሉትን ባህሪያት እንዳለው ማረጋገጥ ቀላል ነው.

ተቃራኒ አንግል ትይዩ ሰዋሰው እኩል; ተቃራኒ ጎኖች

P ar l l l o gr a m a v ys.

ይህንን ለማረጋገጥ, በትይዩ ውስጥ እንሳል ኤ ቢ ሲ ዲ(ምስል 81) ቀጥ ያለ ቪዲ(ሰያፍ) እና ሶስት ማዕዘኖችን ያወዳድሩ ኤቢዲእና ቪዲሲእነዚህ ትሪያንግሎች እኩል ናቸው (ጉዳይ ዩኤስዩ): BD – የጋራ ጎን; ug. 1 = አንግል 2, ጥግ 3 = አንግል 4 (ለምን?) ቀደም ሲል የተዘረዘሩት ንብረቶች ከዚህ ይከተላሉ.

አራት እኩል ጎኖች ያሉት ትይዩ (rhombus) ይባላል።

ጥያቄዎችን ይድገሙ

ምን ዓይነት ቅርጽ ካሬ ይባላል? አራት ማዕዘን? - ሰያፍ ምን ይባላል? - ምን ዓይነት አሃዝ ትይዩ ይባላል? አልማዝ? - የማንኛውንም ትይዩ ማዕዘኖች እና ጎኖች ባህሪያት ያመልክቱ. - አራት ማዕዘን ተብሎ የሚጠራው የትኛው ነው? - አራት ማዕዘን ተብሎ የሚጠራው የትኛው ትይዩ ነው? - በካሬ እና በ rhombus መካከል ያለው ተመሳሳይነት እና ልዩነት ምንድነው?

መተግበሪያዎች

15. ካሬው እንደዚህ ይሳሉ: አንዱን ጎን ወደ ጎን በመተው, ጫፎቹ ላይ ቀጥ ያሉ ቅርጾችን ይሳሉ, ተመሳሳይ ርዝመቶችን በላያቸው ላይ ያድርጉ እና ጫፎቹን ከቀጥታ መስመር ጋር ያገናኙ (ስዕል 82). የተሳለው አራት ማዕዘን አራተኛው ጎን ከሦስቱ ጋር እኩል መሆኑን እና ሁሉም ማዕዘኖቹ ትክክለኛ ማዕዘኖች መሆናቸውን እንዴት እርግጠኛ መሆን ይችላሉ?

መፍትሄው ምስረታውን ወደ ጎን በሚወስደው መንገድ ከተከናወነ ABነጥቦች ላይ ሀእና ውስጥየተቀመጡባቸው ቋሚዎች ተሳሉ፡- AC = ABእና ዲ.ቪ= AB, ከዚያም ማዕዘኖቹን ለማረጋገጥ ይቀራል ጋርእና ዲቀጥ እና ምን ሲዲእኩል ነው። ABይህንን ለማድረግ, (ስዕል 83) አንድ ሰያፍ እንሳል ዓ.ም.ኧረ CAD = ኤ.ዲ.ቢ.እንደ ተጓዳኝ (ለየትኞቹ ትይዩዎች?); ኤሲ= ዲ.ቢ., እና ስለዚህ ትሪያንግሎች CADእና መጥፎእኩል (በላይ የተመሰረተ ኤስ.ኤስ.ከዚህ ተነስተናል ሲዲ = ABእና ug. ሐ =ቀኝ ማዕዘን ውስጥ. አራተኛውን ማዕዘን እንዴት ማረጋገጥ እንደሚቻል ሲዲቢእንዲሁም ቀጥተኛ ነው?

16. አራት ማዕዘን ቅርፅን እንዴት መሳል ይቻላል? የተሳለ ምስል ለምን አራት ማዕዘን ተብሎ ሊጠራ ይችላል? (የተሳለው ምስል ሁሉም ማዕዘኖች ትክክል መሆናቸውን አሳይ)።

መፍትሄው ካለፈው ችግር መፍትሄ ጋር ተመሳሳይ ነው.

17. የአራት ማዕዘኑ ሁለቱም ዲያግኖች እኩል መሆናቸውን ያረጋግጡ።

መፍትሄው (ምስል 84) ከሶስት ማዕዘኖች እኩልነት ይከተላል ኢቢሲእና ኤቢዲ(በዛላይ ተመስርቶ ኤስ.ኤስ.

18. የአንድ ትይዩ ዲያግኖች እርስ በእርሳቸው የሚለያዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

መፍትሄ: ማወዳደር (ምስል 85) ትሪያንግሎች ABOእና ዲኮ፣እነሱ እኩል መሆናቸውን እናረጋግጣለን (በ ዩኤስዩ)።ከዚህ ጄ.ኤስ.ሲ= ስርዓተ ክወና፣ 0 ቪ= ኦ.ዲ.

19. በሁለት ትይዩ መስመሮች መካከል ያለው የጋራ ቋሚ ርዝመት በመካከላቸው ያለው ርቀት ይባላል. በትይዩዎች መካከል ያለው ርቀት በሁሉም ቦታ ተመሳሳይ መሆኑን ያረጋግጡ.

ማመላከቻ፡ ምን አይነት አሀዝ ነው የተፈጠረው? ትይዩ መስመሮችበመካከላቸው በሁለት ቋሚዎች?

IV. አካባቢን መለካት

የካሬ መለኪያዎች. ቤተ-ስዕል

በስዕሎች ውስጥ ብዙውን ጊዜ የመስመሮቹ ርዝመት እና በመካከላቸው ያሉትን ማዕዘኖች ብቻ ሳይሆን የሚሸፍኑትን ስፋት - ማለትም አካባቢያቸውን መለካት ያስፈልጋል. አካባቢ የሚለካው በየትኞቹ ክፍሎች ነው? የተወሰነ ርዝመት (ሜትር, ሴንቲሜትር) እንደ ርዝመት መለኪያ ይወሰዳል, እና የተወሰነ ማዕዘን (1 °) እንደ ማዕዘኖች መለኪያ ይወሰዳል; አንድ የተወሰነ ቦታ እንደ ስፋት መጠን ይወሰዳል ፣ ማለትም ፣ ከ 1 ሜትር ፣ 1 ሴ.ሜ ፣ ወዘተ ጋር የአንድ ካሬ ስፋት። እንደዚህ ያለ ካሬ “ካሬ ሜትር” ፣ “ ካሬ ሴንቲሜትር", ወዘተ. አንድን ቦታ ለመለካት ምን ያህል ካሬ መለኪያ በውስጡ እንዳለ ማወቅ ማለት ነው.

የሚለካው ቦታ ትልቅ ካልሆነ (በወረቀት ላይ የሚስማማ) ከሆነ, ሊለካ ይችላል በሚከተለው መንገድ. ግልጽ ወረቀት ወደ ሴንቲሜትር ካሬዎች ተቆርጦ በሚለካው ምስል ላይ ይቀመጣል. ከዚያ ምን ያህል በቀጥታ ለማስላት አስቸጋሪ አይደለም ካሬ ሴንቲሜትርበስዕሉ ወሰን ውስጥ ተካትቷል. በዚህ ሁኔታ, ከድንበሩ አጠገብ ያሉ ያልተሟሉ ካሬዎች (በዓይን) ለግማሽ ካሬ, ሩብ ካሬ, ወዘተ ይወሰዳሉ ወይም በአዕምሯዊ ሁኔታ ብዙ በአንድ ጊዜ ወደ ሙሉ ካሬዎች ያገናኛሉ. ስለዚህ ያጌጠ ግልጽ ወረቀት pallet ይባላል። ይህ ዘዴ ብዙውን ጊዜ በእቅድ ላይ መደበኛ ያልሆኑ ቦታዎችን ለመለካት ያገለግላል.

ነገር ግን በሚለካው ምስል ላይ የካሬዎች ኔትወርክን ለመጫን ሁልጊዜ የሚቻል ወይም ምቹ አይደለም. ለምሳሌ የወለልውን ስፋት ወይም ለመለካት አይቻልም የመሬት አቀማመጥ. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, በምትኩ ቀጥተኛ መለኪያአካባቢ፣ የአንዳንድ መስመራዊ አሃዞችን ርዝመት ብቻ በመለካት እና በውጤቱ ቁጥሮች ላይ ስሌትን ወደሚያጠቃለው ደስ የማይል ነገር ይጠቀማሉ። የተወሰኑ ድርጊቶች. በኋላ ይህ እንዴት እንደሚደረግ እናሳያለን.

ጥያቄዎችን ይድገሙ

የቁጥሮች አካባቢን ለመወሰን ምን እርምጃዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ? - ፓሌት ምንድን ነው እና እንዴት ጥቅም ላይ ይውላል?

አራት ማዕዘን አካባቢ

የአንዳንድ ሬክታንግል አካባቢን መወሰን ያስፈልግዎታል ለምሳሌ ፣ አብዲሲ(ሥዕል 86) በመስመራዊ አሃድ የሚለካ፣ ለምሳሌ ሜትር, የዚህ ክፍል ርዝመት. ሜትር ርዝመቱ 5 ጊዜ ተዘርግቷል ብለን እናስብ. በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው አንድ ሜትር ስፋት ያለውን ቦታ ወደ ተሻጋሪ ሰቆች እንከፋፍል። 87. በግልጽ እንደሚታየው, 5 እንደዚህ አይነት ጭረቶች ይኖራሉ, በመቀጠል, የቦታውን ስፋት በሜትር እንለካው; ከ 3 ሜትር ጋር እኩል ይሁን. በስእል እንደሚታየው ቦታውን በ 1 ሜትር ስፋት ወደ ቁመታዊ ቁመቶች እንከፍላለን. 88; በእርግጥ 3ቱ ይሆናሉ። እያንዳንዳቸው አምስት ተሻጋሪ ቁርጥራጮች በ 3 ካሬ ሜትር ይቆረጣሉ ፣ እና አጠቃላይው ቦታ በ 5 x 3 = 15 ካሬዎች ከ 1 ሜትር ጎን ጋር ይከፈላል ። 15 ካሬ ሜትር ይይዛል. ሜትር. ነገር ግን አካባቢውን ግራፍ ሳያደርጉ ተመሳሳይ ቁጥር 15 ማግኘት እንችላለን, ነገር ግን ርዝመቱን በስፋት በማባዛት ብቻ ነው. ስለዚህ, ምን ያህል እንደሆነ ለማወቅ ካሬ ሜትርበአራት ማዕዘን ውስጥ, ርዝመቱን, ስፋቱን መለካት እና ሁለቱንም ቁጥሮች ማባዛት ያስፈልግዎታል.

በተጠቀሰው ሁኔታ ፣ የርዝመቱ አሃድ - ሜትር - በአራት ማዕዘኑ በሁለቱም ጎኖች ላይ የኢንቲጀር ቁጥር ተጭኗል። የአራት ማዕዘኑ ጎኖቹ የኢንቲጀር ርዝመት አሃዶች በማይኖሩበት ጊዜ አሁን የተቋቋመው ደንብ እውነት መሆኑን ዝርዝር የሂሳብ መማሪያ መጽሃፍቶች ያረጋግጣሉ። በሁሉም ሁኔታዎች፡-

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አካባቢ

የርዝመቱ ምርት በስፋት,

ወይም እነሱ እንደሚሉት, በጂኦሜትሪ, - የእሱ

"ቁመት" ላይ "መሠረት".

የአንድ አራት ማዕዘን መሠረት ርዝመት በደብዳቤው ከተገለጸ ሀ, እና የቁመቱ ርዝመት ፊደል ነው ለ፣ከዚያም አካባቢው ኤስእኩል ይሆናል

ኤስ = አ? ለ፣

ወይም በቀላሉ ኤስ = ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።፣ ምክንያቱም የማባዛት ምልክቱ በፊደሎች መካከል ስላልተቀመጠ።

የካሬውን ስፋት ለመወሰን የጎንውን ርዝመት በራሱ ማባዛት እንደሚያስፈልግ ለመረዳት ቀላል ነው, ማለትም "በካሬው ከፍ ያድርጉት." በሌላ ቃል:

የአንድ ካሬ ስፋት ከካሬው ጎን ጋር እኩል ነው. የአንድ ካሬ የጎን ርዝመት ከሆነ አ፣ከዚያም አካባቢው ኤስእኩል ይሆናል

ሰ= ሀ? ሀ = ሀ 2.

ይህንን በማወቅ በተለያዩ መካከል ያለውን ግንኙነት መፍጠር ይቻላል ካሬ ክፍሎች. ለምሳሌ, ስኩዌር ሜትር ስኩዌር ዲሲሜትር 10 X 10, ማለትም 100, እና ስኩዌር ሴንቲሜትር 100 X 100, ማለትም 10,000 ይይዛል, ምክንያቱም መስመራዊ ሴንቲሜትር ወደ ጎን ስለሚቀመጥ. ካሬ ዲሲሜትር 10 ጊዜ, እና ካሬ ሜትር 100 ጊዜ ነው.

ለመለካት የመሬት መሬቶችልዩ መለኪያ ጥቅም ላይ ይውላል - ሄክታር, 10,000 ካሬ ሜትር. ከ 100 ሜትር ጎን ያለው ካሬ ቦታ 1 ሄክታር ስፋት አለው; አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቦታ 200 ሜትር እና 150 ሜትር ቁመት ያለው 200 x 150, ማለትም 30,000 ካሬ ሜትር ስፋት አለው. ሜትር ወይም 3 ሄክታር. ትላልቅ ቦታዎች - እንደ ወረዳዎች እና ወረዳዎች - ይለካሉ

ስኩዌር ኪሎሜትሮች.

የካሬ መለኪያዎች አህጽሮት ስያሜ፡-

ካሬ ሜትር …………………………………. ካሬ. m ወይም m2

ካሬ ዲሲሜትር …………………………………. ካሬ. dm ወይም dm2

ካሬ ሴንቲሜትር ………………………………………………… ሴሜ ወይም ሴሜ 2

ካሬ ሚሊሜትር …………………………………………. ካሬ. ሚሜ ወይም ሚሜ 2

ሄክታር …………………………………………. ha

ጥያቄዎችን ይድገሙ

የአራት ማዕዘኑ ስፋት እንዴት ይሰላል? ካሬ? - ስንት ካሬ. ሴሜ እስከ ካሬ. m? ስንት ካሬ. ሚሜ በካሬ. m? - ሄክታር ምንድን ነው? - በአንድ ካሬ ውስጥ ስንት ሄክታር? ኪሜ? አህጽሮቱ ምንድን ነው? ካሬ መለኪያዎች?

መተግበሪያዎች

20. በሥዕሉ ላይ የሚታየውን የውስጠኛ ክፍል ቀለም መቀባት ያስፈልጋል. 6. ልኬቶች በሜትሮች ውስጥ ይጠቁማሉ. ስንት ቁሳቁሶች እና የሥራ ኃይል, አንድ ካሬ ለመሳል ከታወቀ. ሜትሮች የእንጨት ወለል ከስንጥቆች እና ከቅርንጫፎች በላይ ቀደም ሲል ቀለም የተቀቡ ፣ ለሁለት ፣ የሚፈለጉ (በአስቸኳይ ህጎች)

ማሊያሮቭ ………………………………………………… 0.044

ማድረቂያ ዘይቶች፣ ኪሎግራም ………………………………………………………… 0.18

ፈካ ያለ ኦቸር፣ ኪ.ግ ………………………………………………… 0;099

ፑቲስ፣ ኪ.ግ………………………………………………………………………

Pumice, ኪ.ግ……………………………………………… 0.0009.

መፍትሄው: የወለል ስፋት 8 ነው? 12 = 96 ካሬ. ኤም.

የቁሳቁስ እና የጉልበት ፍጆታ እንደሚከተለው ነው

ማሊያሮቭ........ 0.044? 96 = 4.2

ማድረቂያ ዘይቶች......0.18? 96= 17 ኪ.ግ

ኦቸር......... 0.099? 96 - 9.9 ኪ.ግ

Putties........ 0.00225? 96 = 0.22 ኪ.ግ

Pumice.........0.0009? 96 = 0.09 ኪ.ግ.

21. ያለፈውን ክፍል የግድግዳ ወረቀት ለመለጠፍ የጉልበት እና የቁሳቁሶች ፍጆታ መግለጫ ይስጡ. ተግባራት. ግድግዳዎችን ከድንበሮች ጋር ቀለል ያለ የግድግዳ ወረቀት ለመሸፈን, በየ ስኩዌር ሜትር (በአካባቢው ደንቦች መሰረት) ያስፈልጋል. ሜትር፡

ሰዓሊዎች ወይም የቤት እቃዎች ………………………………………… 0.044

ልጣፍ (44 ሴ.ሜ ስፋት) ቁርጥራጮች ………………………………………… 0.264

ማገድ (እንደ ስሌት)

ስታርች ግራም …………………………………………. 90.

መፍትሄ - በተገለጸው ናሙና መሰረት ቀዳሚ ተግባር. በማስላት ጊዜ ብቻ እናስተውላለን የሚፈለገው መጠንበተግባር ፣ የግድግዳ ክፍተቶች ከግድግዳ ወረቀት አካባቢ አይቀነሱም (በአጠገብ ፓነሎች ውስጥ ምስሎችን በሚገጥሙበት ጊዜ አንዳንድ የግድግዳ ወረቀቶች ጠፍተዋል)።

የሶስት ማዕዘን አካባቢ

በመጀመሪያ የቀኝ ትሪያንግል ስፋት እንዴት እንደሚሰላ እንመልከት ። የሶስት ማዕዘን ቦታን መወሰን ያስፈልገናል እንበል ኢቢሲ(ምስል 89), በየትኛው አንግል ውስጥ ውስጥ- ቀጥ ያለ። በከፍታዎቹ ውስጥ እንውሰዳችሁ ሀእና ጋርቀጥታ መስመሮች ከተቃራኒ ጎኖች ጋር ትይዩ. አራት ማዕዘን (ምስል 90) እናገኛለን ኤ ቢ ሲ ዲ(ለምንድን ነው ይህ አኃዝ አራት ማዕዘን የሆነው?)፣ እሱም በዲያግናል የተከፈለ ኤሲወደ ሁለት እኩል ትሪያንግሎች (ለምን?) የዚህ አራት ማዕዘን ቦታ አህ;የሶስት ማዕዘን ቦታችን የአራት ማዕዘኑ ግማሽ ነው ፣ ማለትም ከ 1/2 ጋር እኩል ነው። አህስለዚህ, የእያንዳንዱ አካባቢ የቀኝ ሶስት ማዕዘንቀኝ ማዕዘን ከያዘው የጎኖቹ ግማሽ ምርት ጋር እኩል ነው።

አሁን የገደል (ማለትም አራት ማዕዘን ያልሆነ) ትሪያንግል አካባቢ መወሰን ያስፈልግዎታል - ለምሳሌ። ኢቢሲ(ሥዕል 91) በአንደኛው ጫፍ በኩል ወደ ተቃራኒው ጎን አንድ ቀጥ ያለ እንሳሉ ። እንዲህ ዓይነቱ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው የዚህ ትሪያንግል ቁመት ተብሎ የሚጠራ ሲሆን ጎን ለጎን ደግሞ የሶስት ማዕዘን መሠረት ነው. ቁመቱን በ ሸ, እና መሰረቱን የሚከፋፍልባቸው ክፍሎች ናቸው ገጽእና ቅ. የቀኝ ትሪያንግል አካባቢ ኤቢዲ፣ቀደም ብለን እንደምናውቀው, ከ 1/2 ጋር እኩል ነው ph; ካሬ ቪዲሲ = 1/2 qh. ካሬ ኤስትሪያንግል ኢቢሲከእነዚህ አካባቢዎች ድምር ጋር እኩል ነው። ሰ= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 ሸ (አር+ ቅ). ግን አር+ q = ሀ; ስለዚህ ኤስ = 1/2 አህ.

ይህ ምክንያት በቀጥታ ወደ ትሪያንግል ሊተገበር አይችልም። obtuse አንግል(ምሥል 92), ምክንያቱም የቋሚ ሲዲው መሰረቱን አያሟላም AB፣ እና ቀጣይነቱ። በዚህ ሁኔታ, በተለየ መንገድ ማሰብ አለብን. ክፍሉን እንጥቀስ ዓ.ምበኩል ፒ፣ ቢዲ- በኩል ቅ, ስለዚህ መሠረት ሀትሪያንግል እኩል ነው። ገጽ – ቅ. የሶስት ማዕዘን ቦታችን ኢቢሲበሁለት ትሪያንግል ቦታዎች ላይ ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው ኤ.ዲ.ሲ – ቢዲሲ = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 ሸ (ገጽ – ቅ) = 1/2 አህ.

ስለዚህ ፣ በሁሉም ሁኔታዎች ፣ የሶስት ማዕዘኑ ስፋት ከማንኛውም መሠረቶች እና ተጓዳኝ ቁመት ግማሽ ምርት ጋር እኩል ነው።

እኩል መሠረት እና ከፍታ ያላቸው ትሪያንግሎች እኩል ስፋት አላቸው ወይም እነሱ እንደሚሉት።

እኩል ነው።

እኩል መጠን ያላቸው አሃዞች በአጠቃላይ ያሏቸው ናቸው። እኩል ቦታዎች, ቢያንስ አሃዞች እራሳቸው እኩል አልነበሩም (ይህም ሲደራረብ አልተገጣጠሙም).

ጥያቄዎችን ይድገሙ

የሶስት ማዕዘን ቁመት ምን ይባላል? የሶስት ማዕዘኑ መሠረት? - በአንድ ትሪያንግል ውስጥ ስንት ቁመቶች መሳል ይቻላል? - ባለ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሶስት ማዕዘን ይሳሉ እና በውስጡ ያሉትን ሁሉንም ከፍታዎች ይሳሉ. - የሶስት ማዕዘን ስፋት እንዴት ይሰላል? ይህንን ደንብ በቀመር ውስጥ እንዴት መግለጽ ይቻላል? - ምን አሃዞች በመጠን እኩል ተብለው ይጠራሉ?

መተግበሪያዎች

22. የጓሮ አትክልት የሶስት ማዕዘን ቅርፅ ያለው ሲሆን መሰረቱ 13.4 ሜትር እና ቁመቱ 37.2 ሜትር... በጎመን ለመትከል ስንት ዘር (በክብደት) ያስፈልጋል፣ በካሬ ከሆነ። m 0.5 ግራም ዘሮች ነው?

መፍትሄው የአትክልት ቦታው 13.4 ነው? 37.2 = 498 ካሬ. ኤም.

250 ግራም ዘሮች ያስፈልግዎታል.

23. ትይዩው በዲያግራኖች በ 4 ባለ ሦስት ማዕዘን ክፍሎች ይከፈላል. የትኛው ነው ብዙ ያለው ትልቅ ቦታ?

መፍትሄው ሁሉም 4 ትሪያንግሎች በመጠን እኩል ናቸው, ምክንያቱም አላቸው እኩል ምክንያቶችእና ቁመቶች.

ትይዩ የሆነ አካባቢ

ትይዩአሎግራም አካባቢን ለማስላት ደንቡ በዲያግናል ወደ ሁለት ትሪያንግሎች ከከፈሉት በጣም ቀላል ነው ። ለምሳሌ ፣ የትይዩው ክፍል ኤ ቢ ሲ ዲ(ምስል 93) ከሁለቱ እኩል ትሪያንግሎች ስፋት ጋር እኩል ነው ፣ እሱም በዲያግናል የተከፈለበት። ኤሲ.የሶስት ማዕዘን መሰረቱን ምልክት ማድረግ ኤ.ዲ.ሲበኩል ሀ, እና ቁመቱ በኩል ሸ, አካባቢውን እናገኛለን ኤስ parallelogram

ቀጥ ያለ ሸ"ትይዩው ቁመት" እና ጎን ይባላል አ፣ወደ እሱ የተሳለበት - "የ ትይዩ መሠረት". ስለዚህ አሁን የተቋቋመው ደንብ እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል-

የትይዩው ስፋት ከማንኛውም አዲስ ቁመት ምርት ጋር እኩል ነው።

ጥያቄዎችን ይድገሙ

የትይዩ መሠረት እና ቁመት ምንድን ነው? የትይዩ ሎግራም አካባቢ እንዴት ይሰላል? - ይህንን ደንብ በቀመር ውስጥ ይግለጹ። - ተመሳሳይ መሠረት እና ቁመት ካለው የሶስት ማዕዘኑ ስፋት የትይዩ ስፋት ስንት ጊዜ ይበልጣል? - በ እኩል ከፍታዎችእና መሠረቶች፣ የትኛው አኃዝ ትልቁን ቦታ አለው፡ አራት ማዕዘን ወይስ ትይዩ?

መተግበሪያ

24. ከ 12.4 ሴ.ሜ ጎን ያለው ካሬ ከ 8.8 ሴ.ሜ ቁመት ካለው ትይዩ ጋር እኩል ነው ። የፓራሎግራም መሠረት ይፈልጉ።

መፍትሄው የዚህ ካሬ ስፋት እና ስለዚህ ትይዩው 12.42 = 154 ካሬ ሜትር ነው. ሴሜ አስፈላጊው መሠረት 154: 8.8 = 18 ሴ.ሜ.

የ trapezoid አካባቢ

ከትይዩዎች በተጨማሪ ሌላ ዓይነት አራት ማዕዘን ቅርጾችን እንመልከት - ማለትም አንድ ጥንድ ትይዩ ጎኖች ብቻ ያላቸውን (ምስል 94)። እንደነዚህ ያሉት አኃዞች ትራፔዞይድ ይባላሉ. ትይዩ ጎኖችትራፔዞይድ መሠረቶቹ ተብለው ይጠራሉ, እና ትይዩ ያልሆኑ ጎኖች ይባላሉ.

ክፋት። 94 እርግማን። 95

የ ትራፔዞይድ አካባቢን ለማስላት አንድ ደንብ እንፍጠር. የ trapezoid አካባቢን ማስላት ያስፈልገናል እንበል ኤ ቢ ሲ ዲ(ምስል 95), የመሠረቱ ርዝመት ሀእና ለ. ዲያግናል እንሳል ኤሲ፣ትራፔዞይድን ወደ ሁለት ትሪያንግሎች የሚቆርጥ ኤሲዲእና ኢቢሲ. ያንን እናውቃለን

አካባቢ ኤሲዲ = 1/2 አህ

አካባቢ ኢቢሲ = 1/2 bh.

አካባቢ ኤ ቢ ሲ ዲ= 1/2 አህ+ 1/2 bh= 1/2 (ሀ+ ለ) ሸ.

ከርቀት ጀምሮ ሸበ trapezoid መሠረቶች መካከል ቁመቱ ይባላል, ከዚያም የ trapezoid አካባቢን ለማስላት ደንቡ እንደሚከተለው ሊገለፅ ይችላል.

የ trapezoid ስፋት በግማሽ ድምር ሲባዛ እና በአንተ ውስጥ ከ t በ.

ጥያቄዎችን ይድገሙ

ትራፔዞይድ የሚባለው ምን ዓይነት ቅርጽ ነው? የ trapezoid መሠረቶች ምንድ ናቸው, ጎኖቹ እና ቁመታቸው? - የ trapezoid አካባቢ እንዴት ይሰላል?

መተግበሪያዎች

25. የመንገዱን ክፍል 180 ሜትር እና 170 ሜትር ርዝመት ያለው ትራፔዞይድ ቅርጽ አለው እና ቁመቱ 8.5 ሜትር ነው.በስኩዌር ከሆነ ስንት የእንጨት ብሎኮች መትከል ያስፈልጋል. 48 ቼኮች አሉ?

መፍትሄው የመሬቱ ስፋት 8.5 H = (180 + 170) / 2 = 1490 ካሬ ሜትር ነው. ሜትር የቼኮች ብዛት = 72,000.

26. የጣሪያው ቁልቁል የትራፔዞይድ ቅርጽ አለው, መሰረቱ 23.6 ሜትር እና 19.8 ሜትር, ቁመቱ 8.2 ሜትር ነው, በእያንዳንዱ ካሬ ከሆነ ለመሸፈን ምን ያህል ቁሳቁስ እና ጉልበት ያስፈልጋል. ሜትር ያስፈልጋል:

የብረት አንሶላዎች...... 1.23

የጣሪያ ጥፍሮች ኪ.ግ .... 0.032

ማድረቂያ ዘይቶች ኪ.ግ.........0.036

ጣሪያዎች...... 0.45.

መፍትሄው የዳገቱ ስፋት ከ 8.2 ጋር እኩል ነው? (23.6 + 19.8)/ 2 = 178 ካሬ. ሜትር በጡባዊው ላይ ያሉትን ሁሉንም ቁጥሮች በ178 ለማባዛት ይቀራል።

ክፍሎቹን ለማረጋገጥ ጄ.ኤስ.ሲእና ኦብእኩል መሆን አለበት, ነጥቦቹን ያገናኙ ሲእና ዲከጫፍ ጋር ሀእና ውስጥክፍል (ምስል 71). ሁለት ትሪያንግሎች ያገኛሉ ኤሲዲእና ቢሲዲየሶስቱ ጎኖቻቸው በቅደም ተከተል እኩል ናቸው፡ ኤሲ= ፀሐይ; ዓ.ም= ቢዲ; ሲዲ -የተለመደ፣ ማለትም የሁለቱም ትሪያንግሎች ነው። ይህ የሚያመለክተው የእነዚህ ትሪያንግሎች ሙሉ እኩልነት ነው, እና ስለዚህ የሁሉም ማዕዘኖች እኩልነት. ስለዚህ, በነገራችን ላይ, ማዕዘኖቹ እኩል ናቸው ኤሲዲእና ቢሲዲ. አሁን ትሪያንግሎችን በማወዳደር አሶእና ቪኤስኦጎን እንዳላቸው እናያለን። ስርዓተ ክወና -አጠቃላይ፣ አ.ሲ.= CB, እና በመካከላቸው ያለው አንግል አሶ = ug. ቪኤስኦ. ትሪያንግሎች በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል እኩል ናቸው; ስለዚህ ጎኖቹ እኩል ናቸው ጄ.ኤስ.ሲእና ኦብ፣ ማለትም ነጥብ ስለመሃል ነጥብ አለ። AB.

§ 22. ጎን እና ሁለት ማዕዘኖችን በመጠቀም ሶስት ማዕዘን እንዴት እንደሚገነባ

በመጨረሻም ፣ መፍትሄው ጎን እና ሁለት ማዕዘኖችን በመጠቀም ወደ ትሪያንግል ግንባታ የሚያመራውን ችግር አስቡበት።

ይህንን እናድርግ. ከነጥቡ እንለካ ውስጥበቀጥታ መስመር ላይ ማንኛውንም ርቀት ፀሐይእና በእሱ ጫፍ ላይ ውስጥእና ጋርማዕዘኖችን 1 እና 2 እንለካ (ምሥል 73). አሁን ርቀቱን ምቹ በሆነ ቦታ ላይ ከለካን ዲኢ፣እኩል ነው። ፀሐይ, እና ጫፎቹ ላይ ማዕዘኖችን ይገንቡ ሀእና ለ(ምስል 74), ከማዕዘኖች 1 እና 2 ጋር እኩል ነው, ከዚያም በጎኖቻቸው መገናኛ ነጥብ ላይ ሦስተኛውን ጫፍ እናገኛለን. ኤፍትሪያንግል DEFትሪያንግል መሆኑን ለማረጋገጥ ቀላል ነው DEFከሶስት ማዕዘን ጋር እኩል ነው ኢቢሲ; በእርግጥ, ያንን ሶስት ማዕዘን ካሰብን DEFላይ ተደራቢ ኢቢሲስለዚህ በዚያ በኩል ዲ.ኢከእሱ እኩል ጎን ጋር ተገናኝቷል ፀሐይ, ከዚያም ug. ሀከማዕዘን 1, አንግል ጋር ይጣጣማል ለ -አንግል 2, እና ከጎን ጋር ዲኤፍወደ ጎን ይሄዳል ቪ.ኤ, እና ጎን ኢ.ኤፍ.ከጎኑ ኤስ.ኤ.ሁለት መስመሮች በአንድ ነጥብ ላይ ብቻ ሊገናኙ ስለሚችሉ, ከዚያም ወርድ ኤፍከላይ ጋር መመሳሰል አለበት ሀ. ስለዚህ ርቀቱ ዲኤፍከሚፈለገው ርቀት ጋር እኩል ነው ቪ.ኤ.

ችግሩ, እንደምናየው, አንድ መፍትሄ ብቻ ነው ያለው. በአጠቃላይ ከዚህ ጎን ለጎን አንድ ጎን እና ሁለት ማዕዘኖችን በመጠቀም አንድ ሶስት ማዕዘን ብቻ መገንባት ይቻላል; በተመሳሳዩ ቦታዎች ተመሳሳይ ጎን እና ተመሳሳይ ሁለት ማዕዘኖች ያሉት ሌሎች ሶስት ማዕዘኖች ሊኖሩ አይችሉም። አንድ ተመሳሳይ ጎን እና ተመሳሳይ ቦታ ያላቸው ሁለት ተመሳሳይ ማዕዘኖች ያሉት ሁሉም ትሪያንግሎች በሱፐርላይዜሽን ወደ ሙሉ የአጋጣሚ ጉዳይ ሊመጡ ይችላሉ። ይህ ማለት አንድ ሰው የሶስት ማዕዘን ቅርጾችን ሙሉ እኩልነት የሚያረጋግጥበት ምልክት ነው.

ቀደም ሲል ከተመሰረቱት የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት ምልክቶች ጋር ፣ አሁን የሚከተሉትን ሶስት እናውቃቸዋለን ።

ትሪያንግሎች፡

በሶስት ጎኖች;

በሁለቱም በኩል እና በመካከላቸው ባለው ጥግ ላይ;

በጎን በኩል እና በሁለት በኩል.

ለማጠቃለል ያህል፣ እነዚህን ሶስት የሶስት ማዕዘናት የእኩልነት ጉዳዮችን እንደሚከተለው እንገልፃለን።

በሶስት ጎን; ኤስኤስኤስ;

በሁለት በኩል እና በመካከላቸው ያለው አንግል; ኤስ.ኤስ;

በጎን በኩል እና በሁለት ማዕዘኖች; ዩኤስዩ.

መተግበሪያዎች

መፍትሄ: ትሪያንግሎች ኢቢሲእና ቢዲሲበአንድ በኩል እኩል ( ፀሐይ) እና ሁለት ማዕዘኖች (አንግ. ዲ.ሲ.ቢ= ug. DIA; ug. ዲቢሲ= ug. ኢቢሲ.) ስለዚህ AB= ቪዲ፣በእኩል ማዕዘኖች ላይ በእኩል ትሪያንግል ውስጥ እንደ ጎን ለጎን።

§ 23. ትይዩዎች

ይህ በ 4 ቀኝ ማዕዘኖች (ምስል 77 እና 78) ያሉት የማንኛውንም አራት ማዕዘን ስም ነው. ካሬም አራት ማዕዘን ነው, ግን እኩል ጎኖች ያሉት.

የአራት ማዕዘን (እና ካሬ) ልዩነት ሁለቱም ጥንድ ተቃራኒ ጎኖቹ ትይዩ ናቸው። በአራት ማዕዘን ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲ,ለምሳሌ (ምስል 78), ABትይዩ ዲሲ፣ ሀ ዓ.ምትይዩ ፀሐይ.ይህ የሚከተለው ሁለቱም ተቃራኒ ጎኖች በአንድ መስመር ላይ ቀጥ ያሉ በመሆናቸው ነው፣ እና ወደ አንድ መስመር ሁለት ቋሚዎች እርስ በእርሳቸው ትይዩ መሆናቸውን እናውቃለን (§ 16)።

የእያንዳንዱ አራት ማእዘን ሌላ ንብረት ተቃራኒው ጎኖቹ እርስ በርስ እኩል ናቸው. የአራት ማዕዘኑን ተቃራኒ ጫፎች ከቀጥታ መስመር ጋር ካገናኙት ይህንን ማረጋገጥ ይችላሉ ፣ ማለትም ፣ በእሱ ውስጥ ዲያግናል ይሳሉ። በመገናኘት ላይ ሀጋር ጋር(ስእል 79) ሁለት ትሪያንግሎች እናገኛለን ኢቢሲእና ኤ.ዲ.ሲ.እነዚህ ትሪያንግሎች እርስ በርስ እኩል መሆናቸውን ለማሳየት ቀላል ነው: ጎን ኤሲ -ጠቅላላ፣ ug. 1 = አንግል 2, ምክንያቱም እነዚህ ትይዩ የሆኑ የመስቀል ማዕዘኖች ናቸው ABእና ሲዲበተመሳሳይ ምክንያት, 3 እና 4 ማዕዘኖች እኩል ናቸው, በተመሳሳይ ጎን እና ሁለት ማዕዘኖች, ትሪያንግሎች. ኢቢሲእና ኤሲዲእኩል; ስለዚህ ጎን AB= ጎን ዲሲ፣እና ጎን ዓ.ም= ጎን ፀሐይ.

እንደነዚህ ያሉት አራት ማዕዘኖች, ልክ እንደ አራት ማዕዘኖች, ተቃራኒ ጎኖች ትይዩ ናቸው, ትይዩዎች ይባላሉ. ብዳኝ. 80 የትይዩ ምሳሌ ያሳያል፡- ABትይዩ ዲሲ፣ሀ ዓ.ምትይዩ ዓ.ዓ.እርግማን.80

ተቃራኒ አንግል ትይዩ ሰዋሰው እኩል; ተቃራኒ ጎኖች

P ar l l l o gr a m a v ys.

ይህንን ለማረጋገጥ, በትይዩ ውስጥ እንሳል ኤ ቢ ሲ ዲ(ምስል 81) ቀጥ ያለ ቪዲ(ሰያፍ) እና ሶስት ማዕዘኖችን ያወዳድሩ ኤቢዲእና ቪዲሲእነዚህ ትሪያንግሎች እኩል ናቸው (ጉዳይ ዩኤስዩ): BD- የጋራ ጎን; ug. 1 = አንግል 2, ጥግ 3 = አንግል 4 (ለምን?) ቀደም ሲል የተዘረዘሩት ንብረቶች ከዚህ ይከተላሉ.

አራት እኩል ጎኖች ያሉት ትይዩ (rhombus) ይባላል።

ጥያቄዎችን ይድገሙ

የመሠረታዊ የጂኦሜትሪክ ግንባታዎች እውቀት በትክክል እና በፍጥነት ለመሳል ያስችለዋል, ለእያንዳንዱ ጉዳይ በጣም ምክንያታዊ የሆኑ ዘዴዎችን ይመርጣል.

2.1. አንድን ክፍል ወደ እኩል ክፍሎች መከፋፈል

ኮምፓስ በመጠቀም ክፋዩን በግማሽ መከፋፈል ይችላሉ መካከለኛ ቀጥ ያለ (ምስል 18, ሀ) በመገንባት. ይህንን ለማድረግ የክፍሉን ርዝመት ከግማሽ በላይ የሚለካ ራዲየስ ይውሰዱ እና እርስ በርስ እስኪያያዙ ድረስ በሁለቱም በኩል ክብ ቅርጾችን ከጫፎቹ ይሳሉ። በአርከስ መገናኛ ነጥቦች በኩል አንድ መካከለኛ ቀጥ ያለ እናስባለን.

ወደ ማንኛውም እኩል ክፍሎች ለመከፋፈል Fa-theorem እንጠቀማለን።

ስካፎልዲንግ: እኩል ክፍሎችን በማእዘኑ አንድ ጎን ላይ ከተዘረጉ እና ትይዩ ቀጥ ያሉ መስመሮች ጫፎቻቸው በኩል ከተሳሉ, ከዚያም እኩል ክፍሎችን በማዕዘኑ በሌላኛው በኩል (ምስል 18, ለ) ላይ ይጣላሉ. በፕሮ-

ረዳት ሬይ AC በዘፈቀደ አንግል ወደ ክፍል AB ይሳሉ ፣ በላዩ ላይ የዘፈቀደ ርዝመት ያለው ክፍል ይህ ክፍል መከፋፈል ከሚያስፈልገው መጠን ብዙ ጊዜ እናስቀምጣለን። የመጨረሻውን ክፍል መጨረሻ ወደ ነጥብ B እናያይዛለን እና በቀሪዎቹ ክፍሎች ጫፍ በኩል ቀጥታ መስመሮችን ከ BC ጋር ትይዩ እናደርጋለን.

2.2. ክበብን ወደ ውስጥ መከፋፈል የዘፈቀደ ቁጥርእኩል ክፍሎች

መደበኛ ፖሊጎኖች ለመሥራት ክብ ወደ እኩል ክፍሎች የመከፋፈል ችሎታ አስፈላጊ ነው. በመጀመሪያ ክብ ለመከፋፈል ልዩ ዘዴዎችን እንመልከት.

በሦስት ክፍሎች መከፋፈል (ምስል 19)

የኮምፓሱን እግር ከክበቡ እርስ በርስ የሚደጋገፉ ዲያሜትሮች በአንዱ ጫፍ ላይ እናስቀምጣለን. ከክበብ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ የኮምፓስ መፍትሄን በመጠቀም, በዚህ የዲያሜትር ጫፍ በሁለቱም ጎኖች ላይ ነጠብጣቦችን እንሰራለን. ሁለት ጫፎችን እናገኛለን መደበኛ ትሪያንግል. ሦስተኛው ጫፍ የዲያሜትር ተቃራኒው ጫፍ ነው.

በአራት ክፍሎች መከፋፈል (ምስል 20)

ሁለት እርስ በርስ የሚጣጣሙ ዲያሜትሮች ክብውን በአራት እኩል ክፍሎችን ይከፍላሉ. ቀጥ ያሉ መስመሮች በክበቡ መሃል በ 45ᵒ አንግል ወደ መጥረቢያዎች ከተሳሉ ፣ ከዚያም ክብውን ወደ አራት እኩል ክፍሎችን ይከፍላሉ ። የተቀረጸው ካሬ ጎኖች ከክበቡ መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ይሆናሉ. እነዚህ ሁለት ካሬዎች አንድ ላይ ክብውን ወደ ስምንት እኩል ክፍሎች ከፍለውታል.

በአምስት ክፍሎች ተከፍሏል (ምስል 21)

● 1) ከ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ የኮምፓስ መክፈቻን በመጠቀም, በክበቡ ላይ አንድ ደረጃ እንሰራለን. ነጥብ 2 እናገኛለን.

● ከቁጥር 2 ጀምሮ ኖቻው ከተሰራበት ጫፍ ላይ ቋሚውን ወደ ዲያሜትር ዝቅ እናደርጋለን. ነጥብ 3 እናገኛለን።

● የኮምፓሱን እግር ነጥቡ ላይ እናስቀምጣለን 3. ራዲየስን እንውሰድ ከርቀት ጋር እኩል ነው።ከ 3 ነጥብ 3 እስከ ቋሚው ዲያሜትር መጨረሻ (ነጥብ 4) እና ከአግድም ዲያሜትር ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ አንድ ቅስት ይሳሉ. ነጥብ 5 እናገኛለን.

● ነጥብ 4 እና 5ን ያገናኙ። ቾርድ 4-5 የክበቡ 1/5 ይሆናል።

● የኮርዱን ርዝመት በኮምፓስ እንለካለን 4-5 እና ከዲያሜትሩ ጫፍ ላይ ከአንዱ ጫፍ ላይ መጣል ይጀምሩ (በፔንታጎኑ ከመጥረቢያዎቹ አንጻር እንዴት እንደሚታይ ይወሰናል). አንድ ክፍል መዘርጋት ከጀመርንበት ጫፍ ላይ ያለው ዲያሜትር የምስሉ የሲሜትሪ ዘንግ ይሆናል.

በሁለቱም በኩል ቁርጥራጮቹን በአንድ ጊዜ ለማንሳት ይመከራል. የተቀረው ክፍል መሆን አለበት ወደ ዘንግ ቀጥ ብሎሲሜትሪ. ርዝመቱ ከቀሪዎቹ ክፍሎች ርዝመት ጋር እኩል ካልሆነ, ግንባታው በትክክል ተከናውኗል ወይም ኮርድ 4-5 በትክክል አልተለካም ማለት ነው. የክፋዩን ርዝመት ማስተካከል እና ክቡን እንደገና መከፋፈል መድገም አለብዎት.

በስድስት ክፍሎች መከፋፈል (ምስል 22)

ከክበቡ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ የኮምፓስ መክፈቻን በመጠቀም ከሁለቱም አቅጣጫዎች ተመሳሳይ ዲያሜትር ካላቸው ከሁለቱም ጫፎች ጫፎች እንሰራለን. አራት ጫፎችን እናገኛለን መደበኛ ሄክሳጎን. ሌሎቹ ሁለቱ ጫፎች የዲያሜትር ጫፎች ናቸው, ከነሱም ሰሪፍ የተሰሩ ናቸው.

በሰባት ክፍሎች መከፋፈል (ምስል 23)

● የኮምፓሱን እግር ከዲያሜትሩ ጫፎች በአንዱ ላይ እናስቀምጠዋለን (ነጥብ 1 . ከክበቡ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ የኮምፓስ መፍትሄን በመጠቀም, በላዩ ላይ አንድ ጫፍ እንሰራለን. ነጥብ 2 እናገኛለን.

● ከቁጥር 2 ጀምሮ ኖቻው ከተሰራበት ጫፍ ላይ ቋሚውን ወደ ዲያሜትር ዝቅ እናደርጋለን. ነጥብ 3 እናገኛለን። ከ2-3 ያለው ክፍል የክበቡ 1/7 ነው።

● የክፍሉን ርዝመት በካሊፐር እንለካለን 2-3 እና በቅደም ተከተል በሁለቱም በኩል በሁለቱም በኩል ከየትኛውም የዲያሜትር ጫፍ በአንድ ጊዜ ያስቀምጡት. የመጨረሻው ክፍል ክፍሎቹ መዘርጋት ከጀመሩበት ጫፍ ወደ ዲያሜትር ቀጥ ያለ መሆን አለበት. ይህ ዲያሜትር የተቀረጸው ሄፕታጎን ሲሜትሪ ይሆናል.

በአስር ክፍሎች መከፋፈል (ምስል 24)

● በስእል እንደሚታየው ክብውን በ 5 ክፍሎች ይከፋፍሉት. 21. መደበኛ ፔንታጎን እናገኛለን.

● ከእያንዳንዱ የፔንታጎን ጫፍ ቀጥታ ወደ ተቃራኒው ጎኖች ዝቅ እናደርጋለን። ሁሉም በክበቡ መሃል በኩል በማለፍ ጎኑን እና ቅስትውን በግማሽ ይከፋፍሉት ። 5 ተጨማሪ ጫፎችን እናገኛለን.

በአስራ ሁለት ክፍሎች መከፋፈል (ምስል 25)

ከክበቡ ራዲየስ ጋር እኩል የሆነ የኮምፓስ መክፈቻን በመጠቀም በሁለቱም በኩል በሁለቱም በኩል ከሁለቱም ዲያሜትሮች ጫፍ ላይ ኖቶችን እንሰራለን.

ክበብን ወደ ማናቸውም ክፍሎች ለመከፋፈል አጠቃላይ ዘዴም አለ. መደበኛ ባለ ስድስት ጎን (ምስል 27) የመገንባት ምሳሌን በመጠቀም እንመልከተው.

● እርስ በርስ የሚደጋገፉ ሁለት ዲያሜትሮችን (አግድም እና ቀጥታ) እናስባለን.

● የስዕሉን የሲሜትሪ ዘንግ ለማድረግ የምንፈልገውን ዲያሜትር ክበብን ለመከፋፈል በሚያስፈልገን መጠን ወደ ብዙ ክፍሎች እንከፍላለን. በስእል. 27 ዲያሜትር AB በ 9 ክፍሎች የተከፈለ ነው. የተገኘውን የመከፋፈል ነጥቦችን እንቆጥራለን.

● የኮምፓሱን እግር ነጥቡ ላይ እናስቀምጣለንኤ እና ራዲየስ, ከዲያሜትር ጋር እኩል ነውክብ ፣ ከቋሚው ዲያሜትር ቀጣይ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ አንድ ቅስት ይሳሉ። ነጥብ C እናገኛለን.

● ነጥቡን C ከአንዱ ዲያሜትር ጋር በማገናኘት እና በ I, II, III, IV ነጥቦች ላይ ከክብ ተቃራኒው ቅስት ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ እንቀጥላለን. የ nonagon አንዱ ጫፎች ነጥብ A መሆን አለበት ከሆነ, ከዚያም ዲያሜትሮች (የበለስ. 27, ሀ) በሁሉም ክፍሎች በኩል ጨረሮች ይሳሉ. ነጥብ B ከጫፎቹ ውስጥ አንዱ ከሆነ፣ ጨረሮቹ በሁሉም የዲያሜትር ክፍሎች ውስጥ መሳል አለባቸው (ምሥል 27 ፣ ለ)።

● የተገነቡትን ነጥቦች ከአግድም ዲያሜትር ጋር በተመጣጣኝ ሁኔታ እናሳያለን. የተቀሩትን የስዕሉ ጫፎች እናገኛለን.

2.2.1. ተግባር ቁጥር 4. ክበብ መከፋፈል

ዓላማ: ክበብን ወደ እኩል ክፍሎች ለመከፋፈል ቴክኒኮችን ለማጥናት.

በመጀመሪያው ረድፍ ላይ በ A3 ቅርጸት መደበኛ ፖሊጎኖች(ሶስት-አራት-አምስት-, ስድስት-, ሰባት እና ዘጠኝ-ጎን), በ 60 ሚሜ ዲያሜትር በክበቦች ውስጥ ተቀርጿል. ክበቦች እንደ ረዳት መስመሮች ቀጭን መሆን አለባቸው. ፖሊጎኖቹን በወፍራም መስመሮች ይግለጹ።