Cо всякой величиной связаны три основных свойства:
- имя,
- значение,
- тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим . Пример смыслового имени - «давление газа», символическое имя для этой же величины - Р.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой . Пример константы - число Пифагора ¶=3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин : числовой, символьный, логический. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин. Например, t (с) - время падения; Н (м) - высота падения.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то это математическая модель .
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Это пример зависимости, представленной в функциональной форме. Эту зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений.
Табличные и графические модели
Это другие, не формульные, способы представления зависимостей между величинами. Например, мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем.
| Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график. Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную ранее формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему? |  |  |
Точно так же можно отобразить зависимость любого явления физической природы, описываемого известными формулами.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели . В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии - развитие организмов или популяций животных, в химии - протекание химических реакций и т. д.
Модели статистического прогнозирования
Статистика
- наука о сборе, измерении и анализе массовых количественных данных.
Существуют медицинская статистика, экономическая статистика, социальная статистика и другие. Математический аппарат статистики разрабатывает наука под названием математическая статистика
.
| Например, наиболее сильное влияние на бронхиально-легочные заболевания оказывает угарный газ - .
Поставив цель определить эту зависимость, специалисты по медицинской
статистике проводят сбор данных. Полученные данные можно свести в таблицу, а также представить в виде точечной диаграммы.
А как построить математическую модель данного явления? Очевидно, нужно получить формулу, отражающую зависимость количества хронических больных Р от концентрации угарного газа С. На языке математики это называется функцией зависимости Р от С: Р(С). Вид такой функции неизвестен, ее следует искать методом подбора по экспериментальным данным. |  |  |
Отсюда следуют основные требования к искомой функции:
она должна быть достаточно простой для использования ее в дальнейших вычислениях;
график этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны. Полученную функцию в статистике принято называть регрессионной моделью .
Метод наименьших квадратов
Получение регрессионной модели происходит в два этапа:
1) подбор вида функции;
2) вычисление параметров функции.
Первая задача не имеет строгого решения.
Чаще всего выбор производится среди следующих функций:
у = ах + b - линейная функция (полином 1-й степени);
у = ах 2 + bх + с - квадратичная функция
у = а n х n + a (n-1) х n-1 +...+ а 2 х 2 + a 1 х + a 0 - полином n-й степени ;
у = аln (х) + b - логарифмическая функция;
у = ае bх - экспоненциальная функция;
у = ах b - степенная функция.
После выбора одной из предлагаемых функций нужно подобрать параметры (а, b, с и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам, используя метод вычисления параметров. Такой метод был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом. Он называется методом наименьших квадратов (МНК) и очень широко используется в статистической обработке данных и встроен во многие математические пакеты программ. Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже вопрос критерия соответствия. Для нашего примера рассмотрим три функции, построенные методом наименьших квадратов.
Данные рисунки получены с помощью табличного процессора Microsoft Excel. График регрессионной модели называется трендом .
Английское слово «trend» можно перевести как «общее направление», или «тенденция».
График линейной функции - это прямая. По этому графику трудно что-либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды правдоподобны.
На графиках присутствует величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R 2 . В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности . Именно она определяет, насколько удачной является полученная регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Чем R 2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.
Из трех выбранных моделей значение R 2 наименьшее у линейной. Значит, она самая неудачная. Значения же R 2 у двух других моделей достаточно близки (разница меньше 0,01). Они одинаково удачны.
Прогнозирование по регрессионной модели
Получив регрессионную математическую модель можно прогнозировать процесс путем вычислений, т.е.оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений, которые были получены путем измерений, но и для других значений.
Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений, то это называется восстановлением значения
.
Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.
Имея регрессионную модель, легко прогнозировать, производя расчеты с помощью электронных таблиц.
В ряде случаев с экстраполяцией надо быть осторожным. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами
экспериментальной области. В нашем примере при экстраполяции не следует далеко уходить от величины 5 мг/м 3 . Что будет вдали от этой области, мы не знаем. Всякая экстраполяция держится на гипотезе: «предположим, что за пределами экспериментальной области закономерность сохраняется». А если не сохраняется?
Например, квадратичная модель в нашем примере при концентрации, близкой к 0, выдаст 150 человек больных, т. е. больше, чем при 5 мг/м 3 . Очевидно, это нелепость. В области малых значений С лучше работает экспоненциальная модель. Кстати, это довольно типичная ситуация: разным областям данных могут лучше соответствовать разные модели.
Моделирование корреляционных зависимостей
Пусть важной характеристикой некоторой сложной системы является фактор А. На него могут оказывать влияние одновременно многие другие факторы: B,C,D и т. д.
Зависимости между величинами, каждая из которых подвергается неконтролируемому полностью разбросу, называются корреляционными зависимостями.
Раздел математической статистики, который исследует такие зависимости, называется корреляционным анализом. Корреляционный анализ изучает усредненный закон поведения каждой из величин в зависимости от значений другой величины, а также меру такой зависимости.
Оценку корреляции величин начинают с высказывания гипотезы о возможном характере зависимости между их значениями. Чаще всего допускают наличие линейной зависимости. В таком случае мерой корреляционной зависимости является величина, которая называется коэффициентом корреляции .
коэффициент корреляции (обычно обозначаемый греческой буквой ρ ) есть число из диапазона от -1 до +1;
если ρ по модулю близко к 1, то имеет место сильная корреляция, если к 0, то слабая;
близость ρ к +1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует возрастание значений другого набора, близость к -1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует убывание значений другого набора;
значение ρ легко найти с помощью Excel, так как в эту программу встроены соответствующие формулы.
| В качестве примера сложной системы
рассмотрим школу. Пусть хозяйственные расходы школы выражаются
количеством рублей, отнесенных к числу учеников в школе (руб./чел.),
потраченных за определенный период времени (например, за последние 5
лет). Успеваемость же пусть оценивается средним баллом учеников школы по
результатам окончания последнего учебного года. Итоги сбора данных по 20 школам, введенные в электронную таблицу и точечная диаграмма представлены на рисунках. Значения обеих величин: финансовых затрат и успеваемости учеников - имеют значительный разброс и, на первый взгляд, взаимосвязи между ними не видно. Однако она вполне может существовать. В Excel функция вычисления коэффициента корреляции называется КОРРЕЛ и входит в группу статистических функций. Покажем, как ею воспользоваться. На том же листе Excel, где находится таблица, надо установить курсор на любую свободную ячейку и запустить функцию КОРРЕЛ. Она запросит два диапазона значений. Укажем, соответственно, В2:В21 и С2:С21. После их ввода будет выведен ответ: р = 0,500273843. Эта величина говорит о среднем уровне корреляции. Теперь рассмотрим какой параметр из 2-х: оснащённость учебниками или компьютерами является коррелирующим в большей степени, т.е. имеет большее влияние на успеваемость Ниже на рисунке приведены результаты измерения обоих факторов в 11 разных школах. Для обеих зависимостей получены коэффициенты линейной корреляции. Как видно из таблицы, корреляция между обеспеченностью учебниками и успеваемостью сильнее, чем корреляция между компьютерным обеспечением и успеваемостью (хотя и тот, и другой коэффициенты корреляции не очень большие). Отсюда можно сделать вывод, что пока еще книга остается более значительным источником знаний, чем компьютер. |  |
 |  |
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
- Величина
- Характеристики величины: имя, тип, значение
- Функциональные и иные виды зависимостей
- Математические модели
- Динамические модели
Ключевые понятия
Применение математического моделирования
Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.
Примеры зависимостей:
- время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
- давление газа в баллоне зависит от его температуры;
- уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.
Реализация математической модели требует владения приемами представления зависимостей между величинами.
Методы представления зависимостей
Величина – количественная характеристика исследуемого объекта
Характеристики величины
отражает смысл величины
определяет возможные значения величины
Значение
константа
переменная
Основные типы величин:
Пример константы – число Пифагора
Имя величины может быть
смысловым
смысловым
числовой
«давление газа»
В описании процесса падения тела переменными величинами являются высота H и время падения t
символьный
символическим
логический
Виды зависимостей
Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
Пример 1: t (c) – время падения; H (m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.
Пример 2: P (н/м 2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °C – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.
определенной .
Виды зависимостей
Иная зависимость носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели.
Пример 3: Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P (бол./тыс.)
Зависимость между величинами является полностью определенной .
Математические модели
Математические модели - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул:
Линейная зависимость
Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты)
В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений.
Табличные и графические модели
Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела
Эксперимент: стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения
Результат эксперимента представлен в таблице и графике
Н , м
t , c
Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты
Динамические модели
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели .
В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных,
в химии – протекание химических реакций.
Самое основное
- Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.
- Характеристики величины:
Имя – отражает смысл величины
Тип – определяет возможные значения величин
Значение: постоянная величина (константа) или переменная
- Имя – отражает смысл величины Тип – определяет возможные значения величин Значение: постоянная величина (константа) или переменная
- Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
- Существует три способа моделирования величин: функциональный (формула), табличный и графический
- Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график.
- Описание развития систем во времени – динамическая модель.
Вопросы и задания
- Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
- Что такое математическая модель?
- Может ли математическая модель включать в себя только константы?
- Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками какого-то объекта или процесса.
- Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
- Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры в виде табличной и графической модели, если известно, что при температуре 27 °С давление газа в закрытом сосуде было 75 кПа.
- Информатика и ИКТ. Базовый уровень: учебник для 10-11 классов / И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер. – 7-е изд. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 246. : ил.
Иллюстрации:
Источники
- http://1.bp.blogspot.com/-u7m70qcqIdw/Ukh9R4Ga-9I/AAAAAAAAEkk/wIqkfCqOgGo/s1600/%25D0%2593%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25B8%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BE.gif
- http://ehsdailyadvisor.blr.com/wpcontent/uploads/2015/11/EHSDA_110615.jpg
- http://himki.blizhe.ru/userfiles/Image/MIL-GRAFIK/dop-photo/PRIMESI.JPG
- http://f.10-bal.ru/pars_docs/refs/12/11350/11350_html_mbb50c21.jpg
Предварительная подготовка. Вопросы и задания
При решении каких информационных задач используются
электронные таблицы?
а) Как адресуются данные в электронной таблице?
б) Данные каких типов могут храниться в ячейках ЭТ?
в) Что такое принцип относительной адресации?
г) Как можно отменить действие относительной адресации?
В чем состоит назначение диаграмм?
Как определяется область выбора данных из таблицы для построения диаграммы и порядок выбора? Какие величины откладываются по горизонтальной (ОХ) оси и вертикальной (OY) оси?
В каких ситуациях предпочтительнее использовать: гистограммы; графики; круговые диаграммы?
Информационное моделирование в планировании и управлении производством
Изучаемые вопросы
Наиболее распространенные типы задач планирования и управления
Представление зависимостей между величинами
Статистика и статистические данные
Метод наименьших квадратов
Построение регрессионных моделей с помощью табличного процессора
Прогнозирование по регрессионной модели
Понятие о корреляционных зависимостях. Расчет корреляционных зависимостей в электронной таблице
Оптимальное планирование. Использование MS Excel для решения задачи оптимального планирования
Наиболее распространенные типы задач планирования и управления
В управлении и планировании существует целый ряд типовых задач, которые можно переложить на плечи компьютера. Пользователь таких программных средств может даже и не знать глубоко математику, стоящую за применяемым аппаратом. Он лишь должен понимать суть решаемой проблемы, готовить и вводить в компьютер исходные данные, интерпретировать полученные результаты.
В данной теме рассмотрим три типа задач, которые часто приходится решать специалистам в области планирования и управления:
1) прогнозирование - поиск ответа на вопросы «Что будет через какое-то время?», или «Что будет, если...?»;
2) определение влияния одних факторов на другие - поиск ответа на вопрос «Как сильно влияет фактор Б на фактор А?», или «Какой фактор - Б или В - влияет сильнее на фактор А?»;
3) поиск оптимальных решений - поиск ответа на вопрос «Как спланировать производство, чтобы достичь оптимального значения некоторого показателя (например, максимума прибыли, или минимума расхода электроэнергии)? ».
Инструментом информационных технологий, который мы будем использовать, является табличный процессор MS Excel.
Представление зависимостей между величинами
Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других. Примеры зависимостей:
‒ время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
‒ давление зависит от температуры газа в баллоне;
‒ частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей .
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления). Такие характеристики называются величинами.
Со всякой величиной связаны три основные свойства : имя, значение, тип.
Имя величины может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим. Примером полного имени является «Давление газа»; а символическое имя для этой же величины - Р. В базах данных величинами являются поля записей. Для них, как правило, используются полные имена, например: «Фамилия», «Вес», «Оценка» и т. п. В физике и других науках, использующих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы - число Пифагора π=3,14159... Величина, меняющая свое значение, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).
Третьим свойством величины является ее тип . Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический.
А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.
1. t (сек) - время падения; Н (м) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек 2) - константа.
2. Р (кг/м 2) - давление газа; t (С) - температура газа. Давление при нуле градусов Р о считается константой для данного газа.
3. Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей - С (мг/куб. м). Единица измерения - масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящимся на 1000 жителей данного города - Р (бол./тыс).
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы, и представляется в виде формул:
Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально температуре).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости величин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.
Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического . Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом: бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график.
Планируемые результаты обучения математике в 5-6 классах
Арифметика
Понимать особенности десятичной системы счисления;
Использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел;
Выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;
Сравнивать и упорядочивать рациональные числа;
Выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применять калькулятор;
Использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами, в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчёты;
Анализировать графики зависимостей между величинами (расстояние, время; температура и т. п.).
Познакомиться с позиционными системами счисления с основаниями, отличными от 10;
Углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости;
Научиться использовать приёмы, рационализирующие вычисления, приобрести навык контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ.
По окончании изучения курса учащийся научится:
· выполнять операции с числовыми выражениями;
· выполнять преобразования буквенных выражений (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых);
· решать линейные уравнения, решать текстовые задачи алгебраическим методом.
Учащийся получит возможность:
· развить представления о буквенных выражениях и их преобразованиях;
· овладеть специальными приёмами решения уравнений, применять аппарат уравнений для решения как текстовых, так и практических задач.
Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин
По окончании изучения курса учащийся научится:
Распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространственные геометрические фигуры и их элементы;
Строить углы, определять их градусную меру;
Распознавать и изображать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды, цилиндра и конуса;
Определять по линейным размерам развёртки фигуры линейные размеры самой фигуры и наоборот;
Вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и куба.
Учащийся получит возможность:
Научиться вычислять объём пространственных геометрических фигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов;
Углубить и развить представления о пространственных геометрических фигурах;
Научиться применять понятие развёртки для выполнения практических расчётов.
По окончании изучения курса учащийся научится:
Использовать простейшие способы представления и анализа статистических данных;
Решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций.
Учащийся получит возможность:
Приобрести первоначальный опыт организации сбора данных при проведении опроса общественного мнения, осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы, диаграммы;
Научиться некоторым специальным приёмам решения комбинаторных задач.
Арифметика
Натуральные числа
Ряд натуральных чисел. Десятичная запись натуральных чисел. Округление натуральных чисел.
Координатный луч.
Сравнение натуральных чисел. Сложение и вычитание натуральных чисел. Свойства сложения.
Умножение и деление натуральных чисел. Свойства умножения. Деление с остатком. Степень числа с натуральным показателем.
Делители и кратные натурального числа. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10.
Простые и составные числа. Разложение чисел на простые множители. „
Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Нахождение дроби от числа. Нахождение числа по значению его дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа.
Сравнение обыкновенных дробей и смешанных чисел. Арифметические действия с обыкновенными дробями и смешанными числами.
Десятичные дроби. Сравнение и округление десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Прикидки результатов вычислений. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной. Бесконечные периодические десятичные дроби. Десятичное приближение обыкновенной дроби.
Отношение. Процентное отношение двух чисел. Деление числа в данном отношении. Масштаб.
Пропорция. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Проценты. Нахождение процентов от числа. Нахождение числа по его процентам.
Решение текстовых задач арифметическими способами.
Рациональные числа
Положительные, отрицательные числа и число 0.
Противоположные числа. Модуль числа.
Целые числа. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Свойства сложения и умножения рациональных чисел.
Координатная прямая. Координатная плоскость.
Величины. Зависимости между величинами
Единицы длины, площади, объёма, массы, времени, скорости.
Примеры зависимостей между величинами. Представление зависимостей в виде формул. Вычисления по формулам.
Числовые и буквенные выражения. Уравнения
Числовые выражения. Значение числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях. Буквенные выражения. Раскрытие скобок. Подобные слагаемые, приведение подобных слагаемых. Формулы.
Уравнения. Корень уравнения. Основные свойства уравнений. Решение текстовых задач с помощью уравнений.
Элементы статистики, вероятности. Комбинаторные задачи
Представление данных в виде таблиц, круговых и столбчатых диаграмм, графиков.
Среднее арифметическое. Среднее значение величины.
Случайное событие. Достоверное и невозможное события. Вероятность случайного события. Решение комбинаторных задач.
Геометрические фигуры. Измерения геометрических величин
Отрезок. Построение отрезка. Длина отрезка, ломаной. Измерение длины отрезка, построение отрезка заданной длины. Периметр многоугольника. Плоскость. Прямая. Луч.
Угол. Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
Прямоугольник. Квадрат. Треугольник. Виды треугольников. Окружность и круг. Длина окружности. Число.
Равенство фигур. Понятие и свойства площади. Площадь прямоугольника и квадрата. Площадь круга. Ось симметрии фигуры.
Наглядные представления о пространственных фигурах: прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида, цилиндр, конус, шар, сфера. Примеры развёрток многогранников, цилиндра, конуса. Понятие и свойства объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда и куба.
Взаимное расположение двух прямых. Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые.
Осевая и центральная симметрии.
>>Информатика: Представление зависимостей между величинами
Представление зависимостей между величинами
Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других.
Примеры зависимостей
:
1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
2) давление зависит от температуры газа в баллоне;
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:
Это примеры зависимостей, представленных в функции пильной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально температуре).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости величин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.
Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического.
Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом; бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график.
"
Рис. 2.11. Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты
Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то она превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то данная модель будет меньше соответствовать формуле, а если надувной шарик, то совсем не будет соответствовать - как вы думаете, почему?)
В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11.
Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.
Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами - законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежит в основе современной техники.
Коротко о главном
Величина - некоторая количественная характеристика объекта.
Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах.
Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью.
Вопросы и задания
1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
б) Что такое математическая модель?
в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?
2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.
3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 11
Отослано читателями из интернет-сайтов
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки