(100-96)- первым действием
320 разделить на то что получилось в скобках- вторым действием
умножаем на пять - третим действием
плюс 350 - четвертым действием
1 350+320=670:4=167.5=837.5
Похожие задачи:
1. Заполнить пропуски: 18т 4ц = кг
6280г = кг г
48ц = кг
26302кг = т ц кг
7350кг = ц кг
35кг = г
2. Сравнить 18ц 78кг 1т 878кг
22ц 63кг 2т 263кг
380000г 38кг
5кг 320г 532г
3кг 490г 349г
3. Закончить запись:
1/4 часть тонны составляет кг
1/5 часть килограмма составляет г
1/10 часть центнера составляет кг
4. Выразить в более мелких мерах:
86ц =
3т =
25кг =
2т 3ц =
5. Решить задачу.
В каждой из трех машин везли 28 центнеров зерна, а в четвертой - 16 центнеров. Все четыре машины везли т зерна.
6. Решить Задачу.
В магазине привезли 3 т арбузов. В первый день продали 900кг, во второй в два раза больше, чем в первый, а в третий день остальные. Сколько килогроммов арбузов продали в третий день?
Решение:
7. Решить задачу. Сколько килогроммов муки в двух мешках, есле в одном 1/4 ц, а в другом 1/4 центнера?
Ответ:
8. Решить Задачу 1/2кг конфет стоят 28 руб. Сколько стоит 1 кг конфет?
Ответ:
9.* Решить задачу.
У гены 900 руб. А у Валентина в 9 раз меньше. Сколько рублей Гена должен отдать Валентину, чтобы у них стало денег поровну?
Ответ:
10. Решить задачу (устно):
72кг огурцов разложили в 8 корзин поровну. Продали три такие корзины. Сколько килогроммов огурцов осталось?
Ответ:
1. Заполнить пропуски:
3т 005 кг = кг
3т 5 ц = кг
19кг = г
39ц = кг
5830кг = ц кг
46500кг = т кг
2. Сравнить
14т 260кг 14260кг
7670ц 76т 7ц
73000г 73кг
260000г 26кг
345т 34500ц
3. Закончить запись:
1/4 часть центнера составляет кг
1/5 часть тонны составляет ц
1/10 часть килограмма составляет г
4. Выразить в более крупных мерах:
73ц =
640 кг =
2830г =
3200кг =
5. Решить задачу.
Каждый из трех покупателей купил 18кг моркови, а четвертый - 46кг. Все четверо купили ц моркови
6. Решить задачу. С трех участников собрали 2т моркови. С первого уччастка собрали 500кг, со второго в 2 раза больше, чем с первого, а с третьего - остальную морковь. Сколько килогроммов моркови собрали с третьего участка?
Решение:
Ответ:
7. Сравнить
1/4кг 1/2кг
1/2ц 1/10ц
1/10т 1/2ц
8. Решить задачу.
Самка голубого кита во время выкармливания китенка худеет на 30т. Это составляет 1/4 всей ее массы. Определить массу мамы голубого китенка.
Ответ:
9. Вычислить и записать ответ:
816:6
х5
+490
:2
_________
100:2
х7
-250
:100
________
10.* Переставить цифры в числе 810 так, чтобы оно уменьшилось на 630.
Ответ.
Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.
Записать данное число в виде десятичной дроби.
Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.
В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.
Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.
Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».
8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».
25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».
Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.
Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.
В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.
В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.
В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.
Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.
Записать в виде десятичной дроби числа:
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Записать в виде бесконечной периодической дроби числа:
Решение.
Дорогие друзья!
Дорогие друзья! Скоро вы столкнетесь (или уже столкнулись) с необходимостью решать задачи на проценты . Такие задачи начинают решать в 5 классе и заканчивают... а вот и не заканчивают решать задачи на проценты! Эти задачи встречаются и на контрольных, и на экзаменах: как переводных, так и ОГЭ и ЕГЭ. Что же делать? Нужно учиться решать такие задачи. В этом вам поможет моя книга «Как решать задачи на проценты».
Сложение чисел.
- a+b=c , где a и b–слагаемые, c–сумма.
- Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Вычитание чисел.
- a-b=c , где a–уменьшаемое, b–вычитаемое, c-разность.
- Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
- Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Умножение чисел.
- a·b=c , где a и b-сомножители, c-произведение.
- Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Деление чисел.
- a:b=c , где a-делимое, b-делитель, c-частное.
- Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.
- Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Законы сложения.
- a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
- (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
Таблица сложения.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Законы умножения.
- a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
- (a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
- (a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
- (а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
Таблица умножения .
2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.
2·2=4; 3·2=6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.
2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.
2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.
2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.
2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.
2·7=14; 3·7=21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7·7=49; 8·7=56; 9·7=63.
2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.
2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.
2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.
Делители и кратные.
- Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-делители числа 24, т. к. 24 делится на каждое из них без остатка) 1-делитель любого натурального числа. Наибольший делитель любого числа – само это число.
- Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b . (Числа 24, 48, 72,…-кратны числу 24, так как делятся на 24 без остатка). Наименьшее кратное любого числа — само это число.
Признаки делимости натуральных чисел.
- Числа, употребляемые при счете предметов (1, 2, 3, 4,…) называют натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначают буквой N .
- Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными цифрами. Числа, запись которых оканчивается четными цифрами, называют четными числами.
- Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечетными цифрами. Числа, запись которых оканчивается нечетными цифрами, называются нечетными числами.
- Признак делимости на число 2 . Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.
- Признак делимости на число 5 . Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.
- Признак делимости на число 10 . Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.
- Признак делимости на число 3 . Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
- Признак делимости на число 9 . Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
- Признак делимости на число 4 . Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.
- Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.
- Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
- Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
- Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
- Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
- Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
- Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
- Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.
- Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
- Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
- Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.
b -знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;
a -числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.
Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b .
- У правильной дроби числитель меньше знаменателя.
- У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
- Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
- Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.
- Луч Ох с началом отсчета в точке О , на котором указаны единичный отрезо к и направление , называют координатным лучом .
- Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3) . Читают: точка А с координатой 3.
- Наименьшим общим знаменателем (НОЗ ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК ) знаменателей этих дробей.
- Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
- Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Действия над обыкновенными дробями.
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
- Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
- Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
- Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
- При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.
- Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.
- Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.
- Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.
- При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
- Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
- Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
- При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
- Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
- Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.
- Десятичной дробью называют число, записанное в десятичной системе и имеющее разряды меньше единицы. (3,25; 0,1457 и т. д.)
- Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками.
- Десятичная дробь не изменится, если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нули.
Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество десятичных знаков; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых дробях.
Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей, нужно: 1) уравнять количество десятичных знаков в уменьшаемом и вычитаемом; 2) подписать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, и в полученном результате поставить запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.
- Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в данной дроби.
- Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.
- Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
- Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
- Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число, как делят натуральные числа и поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.
- Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
- Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
- Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)
Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.
Среднее арифметическое нескольких чисел.
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Размах ряда чисел.
Разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных называется размахом ряда чисел.
Мода ряда чисел .
Число, встречающееся с наибольшей частотой среди данных чисел ряда, называется модой ряда чисел.
- Процентом называется одна сотая часть.
- Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
- Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
- Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
- Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.
- Частное двух чисел называют отношением этих чисел. a:b или a/b – отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член.
- Если члены данного отношения переставить местами, то получившееся отношение называют обратным для данного отношения. Отношения b/a и a/b – взаимно обратные.
- Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
- Равенство двух отношений называют пропорцией.
- a:b=c:d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
- Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c.
- Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
- Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.
Пусть величина у зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у уменьшается во столько же раз, то такие величины х и у называются обратно пропорциональными.
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
- Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).
- Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают Ø.
- Множество В называют подмножеством множества А , если все элементы множества В являются элементами множества А.
- Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В .
- Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В .
Множества чисел.
- N – множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4,…
- Z – множество целых чисел: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q – множество рациональных чисел, представимых в виде дроби m/n , где m – целое, n – натуральное (-2; 3/5; √9; √25 и т.д.)
- Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.
- Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5 ). Читают: точка А с координатой пять. В(-3) . Читают: точка В с координатой минус три.
- Модулем числа а (записывают |a| ) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а . Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3 и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. |0|=0 .
- По определению модуля числа: |a|=a , если a≥0 и |a|=-a , если а<0 .
Действия с рациональными числами.
Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых (-3-5=-8).
Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший (-4+6=2; -7+3=-4).
Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел (-5·(-6)=30).
Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль произведения равен произведению модулей данных чисел (-3·7=-21; 4·(-7)=-28).
Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя (-8:(-2)=4).
Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).
- Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается или конечной или бесконечной десятичной дробью.
- Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5, записываются конечной десятичной дробью (3/2=1,5; 1/5=0,2).
- Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько неповторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью: 7/15=0,4 (6); 5/12=0,41 (6).
- Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5, обращается в смешанную периодическую дробь.
- Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Примеры: 5=5,(0); 3/5=0,6 (0).
Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода. Примеры:
1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12
2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75
3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55
4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33
5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.
Множество действительных чисел.
- Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом . Примеры: π ; √2 ; е и т.д.
- Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой R .
Медиана данного ряда чисел.
Для нахождения медианы данного ряда, нужно расположить данные числа в порядке возрастания или убывания. Число, оказавшееся в середине полученного ряда, и будет медианой данного ряда чисел. Если количество данных чисел четное, то медиана ряда равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих посередине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда.
- Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
- Значения буквы, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы.
- Если в алгебраическом выражении буквы заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
- Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
- Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время).
- Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых сохраняются.
- Если перед скобками стоит знак «— », то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых меняются на противоположные знаки.
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.
- Равенство с переменной называют уравнением.
- Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
- Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
- Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
- Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
- a-b – положительное число, то a>b .
- Если при сравнении чисел a и b разность a-b
– отрицательное число, то a
- Если неравенства записываются знаками < или >, то их называют строгими неравенствами.
- Если неравенства записывают знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.
Свойства числовых неравенств.
- Если правую часть неравенства поменять местами с его левой частью, то знак неравенства изменится на противоположный. (Если a>b , то b).
- Если числоa больше числа b , а числоb больше числа c , то число a больше числа c . (Если a > b , b > c , то a > c ).
- Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. (Если a>b , то a+c>b+c , где c – любое число).
- Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
- Если обе части неравенства умножают или делят на одно и то же положительное число, то знак неравенства не меняют. (Если a>b ; c – положительное число, то ac>bc ; a/c>b/c ).
- Если обе части неравенства умножают или делят на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняют на противоположный. (Если a>b; c
– отрицательное число, то ac
). - Если положительное число a больше положительного числа b , то число 1/ a меньше числа 1/ b . (Еслиa > b ; a >0; b >0 , то 1/ a <1/ b ).
Числовые промежутки.
Промежуток между точками, соответствующими заданным на координатной прямой числам a и b, изображает числовой промежуток между числами a и b. Виды числовых промежутков: интервал , отрезок , полуинтервал , луч , открытый луч . Решения числовых неравенств можно изобразить на числовых промежутках.
а) Неравенство вида x б) Неравенство вида x≤a. Ответ: (-∞; а]. в) Неравенство вида x>a. Ответ: (a; +∞). г) Неравенство вида x≥a. Ответ: . г) Двойное неравенство вида a≤x≤b. Ответ: . Прямые на плоскости.
Центральная симметрия.
Функция.
Обратная функция.
Правило нахождения функции, обратной данной: 1) из данного равенства выражаютx
через y
; 2) в полученном равенстве вместо x
пишут y
, а вместо y
пишут x
. Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных углов). Линейная функция.
Прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=kx
, где x – независимая переменная, k
– коэффициент прямой
пропорциональности. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Обратная пропорциональность.
Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой вида y=k/x
, где x – независимая переменная, отличная от нуля, k
— коэффициент обратной
пропорциональности. Графиком обратной пропорциональности является гипербола, состоящая из двух ветвей. При k>0 ветви гиперболы расположены в I и III, а при k<0 – во II и IV координатных четвертях. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Решение систем линейных неравенств с одной переменной.
Абсолютная и относительная погрешности.
Страница 1 из 1
1
Вариант № 3329663
При выполнении заданий 1-23 ответом является одна цифра, которая соответствует номеру правильного ответа или число, последовательность букв или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Если вариант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель увидит результаты выполнения заданий части В и сможет оценить загруженные ответы к части С. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике. Версия для печати и копирования в MS Word
1. возведи в квадрат, 2. прибавь 1. Первая из них возводит число на экране в квадрат, вторая увеличивает его на 1. Запишите порядок команд в программе, которая преобразует число 2 в число 36 и содержит не более 4 команд. Указывайте лишь номера команд. (Например, программа 2122
- это программа прибавь 1 возведи в квадрат прибавь 1 прибавь 1. Эта программа преобразует число 1 в число 6. Ответ: 1. прибавь 1, 2. умножь на 5. Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его. Например, программа 121 задает такую последовательность команд: прибавь 1 умножь на 5 прибавь 1 Эта программа преобразует, например, число 7 в число 41. Запишите в ответе программу, которая содержит не более пяти команд и переводит число 2 в число 280. Ответ: На вход алгоритма подаётся натуральное число N
. Алгоритм строит по нему новое число R
следующим образом. 1. Строится двоичная запись числа N
. 2. К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: а) складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 10000 преобразуется в запись 100001; б) над этой записью производятся те же действия - справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2. Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N
) является двоичной записью искомого числа R
. Укажите такое наименьшее число N
, для которого результат работы алгоритма больше 97. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления. Ответ: Автомат получает на вход пятизначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Складываются отдельно первая, третья и пятая цифры, а также вторая и четвёртая цифры. 2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке неубывания без разделителей. Пример.
Исходное число: 63 179. Суммы: 6 + 1 + 9 = 16; 3 + 7 = 10. Результат: 1016. Укажите наименьшее число, при обработке которого автомат выдаёт результат 621. Ответ: 1. Перемножаются отдельно первая и вторая цифры, а также вторая и третья цифры. 2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания без разделителей. Пример. Исходное число: 179. Произведения: 1*7 = 7; 7*9 = 63. Результат: 637. Укажите наименьшее число, при обработке которого автомат выдаёт результат 205. Ответ: Автомат получает на вход четырёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам: 1. Перемножаются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры исходного числа. Пример. Исходное число: 2466. Произведения: 2 × 4 = 8; 6 × 6 = 36. Результат: 368. Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 124. Ответ: Из букв русского алфавита формируется слово. Известно, что слово сформировано по следующим правилам: а) в слове нет повторяющихся букв; б) все буквы слова идут в прямом или обратном алфавитном порядке, исключая, возможно, первую. Какое из следующих слов удовлетворяет всем перечисленным условиям? Ответ: У исполнителя Аккорд-4 две команды, которым присвоены номера: 1. вычти 1
2. умножь на 4
Выполняя первую из них, Аккорд-4 вычитает из числа на экране 1, а выполняя вторую, умножает это число на 4. Запишите порядок команд в программе, которая содержит не более пяти команд и преобразует число 5 в число 62.
Если таких программ более одной, то запишите любую из них. В ответе указывайте лишь номера команд. Так, для программы умножь на 4 нужно написать: 211. Эта программа преобразует, например, число 7 в число 26. Ответ: У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера: 1. отними 1 2. раздели на 3 Выполняя первую из них, Калькулятор отнимает от числа на экране 1, а выполняя вторую, делит его на 3 (если деление нацело невозможно, Калькулятор отключается). Запишите порядок команд в программе получения из числа 37 числа 1, содержащей не более 5 команд, указывая лишь номера команд. (Например, программа 21121 – это программа раздели на 3 раздели на 3 Эта программа, например, преобразует число 60 в число 5.) Ответ: Маша забыла пароль для запуска компьютера, но помнила алгоритм его получения из строки подсказки «KBMAM9KBK»: если все последовательности символов «MAM» заменить на «RP», «KBK» на «1212», а затем из получившейся строки удалить три последних символа, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль: Ответ: Аня пригласила свою подругу Наташу в гости, но не сказала ей код от цифрового замка своего подъезда, а послала следующее сообщение: «В последовательности 4, 1, 9, 3, 7, 5 из всех чисел, которые больше 4, вычесть 3, а затем удалить из полученной последовательности все нечётные цифры». Выполнив указанные в сообщении действия, Наташа получила следующий код для цифрового замка: 4) 4, 1, 6, 3, 4, 2 Ответ: Люба забыла пароль для запуска компьютера, но помнила алгоритм его получения из символов «QWER3QWER1» в строке подсказки. Если все последовательности символов «QWER» заменить на «QQ», а из получившейся строки удалить сочетания символов «3Q», то полученная последовательность и будет паролем: Ответ: У исполнителя ТриПять две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 3, 2. умножь на 5. Выполняя первую из них, ТриПять прибавляет к числу на экране 3, а выполняя вторую, умножает это число на 5. Запишите порядок команд в программе, которая содержит не более 5 команд и переводит число 1 в число 515. В ответе указывайте лишь номера команд, пробелы между цифрами не ставьте. Так, для программы умножь на 5 прибавь 3 прибавь 3 нужно написать: 211. Эта программа преобразует, например, число 4 в число 26. Ответ: У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. возведи в квадрат. Первая из этих команд увеличивает число на экране на 1, вторая - возводит в квадрат. Программа для исполнителя Квадратор - это последовательность номеров команд. Например, 21211 - это программа возведи в квадрат прибавь 1 возведи в квадрат прибавь 1 прибавь 1 Эта программа преобразует число 2 в число 27. Запишите программу, которая преобразует число 2 в число 102 и содержит не более 6 команд. Если таких программ более одной, то запишите любую из них. Ответ: Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа. 2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей). Пример. Исходное число: 348. Суммы: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Результат: 127. Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 1412. Ответ: Автомат получает на вход четырёхзначное восьмеричное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Складываются первая и вторая, а также третья и четвёртая цифры. 2. Полученные два числа в восьмеричной системе счисления записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей). Пример. Исходное число: 4531. Суммы: 4+5 = 9; 3+1 = 4. Результат: 49. Определите, какое из следующих чисел может быть результатом работы автомата. Ответ: В некоторой информационной системе информация кодируется двоичными шестиразрядными словами. При передаче данных возможны их искажения, поэтому в конец каждого слова добавляется седьмой (контрольный) разряд таким образом, чтобы сумма разрядов нового слова, считая контрольный, была чётной. Например, к слову 110011 справа будет добавлен 0, а к слову 101100 - 1. После приёма слова производится его обработка. При этом проверяется сумма его разрядов, включая контрольный. Если она нечётна, это означает, что при передаче этого слова произошёл сбой, и оно автоматически заменяется на зарезервированное слово 0000000. Если она чётна, это означает, что сбоя не было или сбоев было больше одного. В этом случае принятое слово не изменяется. Исходное сообщение 1100101 0001001 0011000 было принято в виде 1100111 0001100 0011000 Как будет выглядеть принятое сообщение после обработки? 1) 0000000 0001100 0011000 2) 0000000 0000000 0011000 3) 1100111 0000000 0011000 4) 1100111 0001100 0000000 Ответ: У исполнителя Калькулятор1 две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. умножь на 5. Выполняя первую из них, Калькулятор1 прибавляет к числу на экране 1, а выполняя вторую, умножает его на 5. Программа для этого исполнителя - это последовательность номеров команд. Например, программа 121 задаёт такую последовательность команд: прибавь 1, умножить 5, прибавь 1, Эта программа преобразует, например, число 7 в число 41. Запишите в ответе программу, которая содержит не более шести команд и переводит число 1 в число 77. Ответ: Исполнитель КАЛЬКУЛЯТОР имеет только две команды, которым присвоены номера: 2. умножь на 2 Выполняя команду номер 1, КАЛЬКУЛЯТОР вычитает из числа на экране 1, а выполняя команду номер 2, умножает число на экране на 2. Напишите программу, содержащую не более 4 команд, которая из числа 3 получает число 16. Укажите лишь номера команд. Например, программа 21211 – это программа: умножь на 2 умножь на 2 которая преобразует число 1 в число 0. Ответ: Вася забыл пароль к Windows XP, но помнил алгоритм его получения из строки подсказки «B265C42GC4»: если все последовательности символов «C4» заменить на «F16», а затем из получившейся строки удалить все трехзначные числа, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль: Ответ: У исполнителя ДваПять две команды, которым присвоены номера: 1. отними 2 2. раздели на 5 Выполняя первую из них, ДваПять отнимает от числа на экране 2, а выполняя вторую, делит это число на 5 (если деление нацело невозможно, ДваПять отключается). Запишите порядок команд в программе, которая содержит не более 5 команд и переводит число 152 в число 2. В ответе указывайте лишь номера команд, пробелы между цифрами не ставьте. Так, для программы раздели на 5 нужно написать 211. Эта программа преобразует, например, число 55 в число 7. Ответ: В некоторой информационной системе информация кодируется двоичными шестиразрядными словами. При передаче данных возможны их искажения, поэтому в конец каждого слова добавляется седьмой (контрольный) разряд таким образом, чтобы сумма разрядов нового слова, считая контрольный, была чётной. Например, к слову 110011 справа будет добавлен 0, а к слову 101100 - 1. После приёма слова производится его обработка. При этом проверяется сумма его разрядов, включая контрольный. Если она нечётна, это означает, что при передаче этого слова произошёл сбой, и оно автоматически заменяется на зарезервированное слово 0000000. Если она чётна, это означает, что сбоя не было или сбоев было больше одного. В этом случае принятое слово не изменяется. Исходное сообщение 1100101 0001001 1111000 было принято в виде 1100111 0001100 1111000. Как будет выглядеть принятое сообщение после обработки? 1) 0000000 0001100 1111000 2) 0000000 0000000 1111000 3) 1100101 0000000 1111000 4) 1100111 0001100 0000000 Ответ: Митя пригласил своего друга Васю в гости, но не сказал ему код от цифрового замка своего подъезда, а послал следующее сообщение: «В последовательности 4, 1, 8, 2, 6 все числа больше 3 разделить на 2, а затем удалить из полученной последовательности все чётные цифры». Выполнив указанные в сообщении действия, Вася получил следующий код для цифрового замка: Ответ: Кассир забыл пароль к сейфу, но помнил алгоритм его получения из строки «AYY1YABC55»: если последовательно удалить из строки цепочки символов «YY» и «ABC», а затем поменять местами символы A и Y, то полученная последовательность и будет паролем. Определите пароль.
Секреты быстрого умножения и деления
1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.
Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д= 100: 2 и т. д.) 54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270). Чтобы число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2. 10800: 50 = 10800:100*2 =216 10800: 50 = 10800*2:100 =216 2. Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д.
Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на= 100: 4) 542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200) (если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить). Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т. д. и умножить на 4 31200: 25 = 31200:100*4 = 1248. 3. Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. д.
Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на= 1000: 8) 72*125=72*1000:8=9000 Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000 и т. д. 48*125 = 48:8*1000 = 6000 Чтобы разделить число на 125, 1250 и т. д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8. 7000: 125 = 7000:1000*8 = 56. 4. Умножение и деление на 75, 750 и т. д.
Чтобы число умножить на 75, 750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т. д. (75 = 300: 4) 48* 75 = 48:4*300 = 3600 Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т. д. и умножить на 4 7200: 75 = 7200: 300*4 = 96. 5.Умножение на 15, 150.
При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения: 23х15=23х(10+5)=230+115=345; если же число четное, то поступаем еще проще - к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10: 18х15=(18+9)х10=27х10=270. При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т. к.150=15х10: 24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600. Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5: 24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840. 6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.
К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288. Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562. Объяснение
:
(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b. 7.Умножение двузначного числа на 101.
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. 57 * 101 = 5> 5757 Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b 8. Умножение числа на 11.
Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд. Пример: Объяснение: Имеем: Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотни, 6+3=9 тысячи, 3+4=7 десятки тысяч, 4 сотни тысяч. 43625*11=479875. Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то можно применить следующий способ умножения на 11.Сначала разбить множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11. Полученное число (75*11=725) даст сотни произведения, так как умножали сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим единицы произведения: 43*11=473. Наконец, полученные произведения сложим: 825 сот. +473=82739. Следовательно, 7543*11=82739. Рассмотрим ещё пример: 8324*11. 83`24; 83 сот. *11=913 сот. 24*11=264; 913 сот. +264=91564. Следовательно, 8324*11=91564. 9. Умножение на 22, 33, …, 99.
Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11: 15 *33= 15*3*11=45*11=495. 10.
Умножение двузначных чисел на 111
. Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах: Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т. е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548. 11. Умножение на 37.
При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111. 27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999 Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37. 23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851. 12. Возведение в квадрат любого двузначного числа.
Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю. Рассмотрим пример: 372=12*100+132=1200+169=1369 (М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 . 13. Умножение чисел, близких к 100.
При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем) 98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784. Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999. Для этого достаточно умножить число на, 1000) и из полученного целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154==1386. Но еще проще ознакомить детей с правилом - «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа): 154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386 14. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10: М=10m + n, K=10a + 10 – n. Составим их произведение. M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m). Рассмотрим несколько примеров: 17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391; 33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211. 15 .
Умножение на число, записанное одними девятками.
Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9. 137 * 999= 136 863; Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72, 46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554. 16. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.
Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25. 15*15 = 225 = 10*20+ 25 (или 1*2 и приписываем справа 25) 35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 и приписываем справа 25) 65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 и приписываем справа 25)
Пример:
Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т. п.
34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой
68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой
10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц.
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
где мы имеем a
сотен, a+b
десятков и b
единиц. т. е. результат содержит a*(a+1)
сотен, два десятка и пять единиц.