Điều này có nghĩa là tìm giá trị nhỏ nhất của hàm. Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong vùng đóng bị chặn? Câu hỏi tự kiểm tra
Tuyên bố vấn đề 2:
Cho một hàm được xác định và liên tục trên một khoảng nhất định. Bạn cần tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trên khoảng này.
Cơ sở lý thuyết. Định lý (Định lý Weierstrass thứ hai):
Nếu một hàm được xác định và liên tục trong một khoảng đóng thì nó sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu trong khoảng này.
Hàm có thể đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng cách điểm nội bộ khoảng cách hoặc tại ranh giới của nó. Hãy minh họa tất cả các tùy chọn có thể.
Giải thích: 1) Hàm số đạt giá trị lớn nhất ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị nhỏ nhất của nó ở biên phải của khoảng tại điểm . 2) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm (đây là điểm cực đại) và giá trị nhỏ nhất của nó tại ranh giới bên phải của khoảng tại điểm. 3) Hàm đạt giá trị cực đại ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị cực tiểu tại điểm (đây là điểm cực tiểu). 4) Hàm không đổi trên khoảng, tức là nó đạt giá trị tối thiểu và tối đa tại bất kỳ điểm nào trong khoảng và giá trị tối thiểu và tối đa bằng nhau. 5) Hàm đạt giá trị cực đại tại điểm và giá trị cực tiểu tại điểm (mặc dù thực tế là hàm có cả cực đại và cực tiểu trên khoảng này). 6) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại một điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị tối thiểu tại một điểm (đây là điểm tối thiểu). Bình luận:
"Tối đa" và " giá trị tối đa" - những thứ khác nhau. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức tối đa và sự hiểu biết trực quan về cụm từ “giá trị tối đa”.
Thuật toán giải bài toán 2.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Ví dụ 4:
Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chức năng trên phân khúc. Giải pháp: 1) Tìm đạo hàm của hàm số. 2) Tìm điểm dừng (và các điểm nghi là cực trị) bằng cách giải phương trình. Hãy chú ý đến những điểm tại đó không có đạo hàm hữu hạn hai mặt. 3) Tính các giá trị của hàm số tại các điểm dừng và tại các biên của khoảng.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị cực đại tại điểm có tọa độ .
Hàm trên đoạn này đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ .
Bạn có thể xác minh tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhìn vào biểu đồ của hàm đang nghiên cứu.
Bình luận: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm tối đa và giá trị tối thiểu tại ranh giới của đoạn.
Một trường hợp đặc biệt.
Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị tối thiểu một hàm nào đó trên một khoảng. Sau khi hoàn thành điểm đầu tiên của thuật toán, tức là. tính đạo hàm, chẳng hạn, rõ ràng là chỉ cần giá trị âm trên toàn bộ phân khúc được xem xét. Hãy nhớ rằng nếu đạo hàm âm thì hàm số giảm. Chúng tôi nhận thấy rằng hàm này giảm trên toàn bộ phân khúc. Tình huống này được thể hiện ở biểu đồ số 1 ở đầu bài viết.
Hàm giảm trên đoạn, tức là nó không có điểm cực trị. Từ hình ảnh, rõ ràng hàm sẽ lấy giá trị nhỏ nhất ở ranh giới bên phải của đoạn và giá trị cao nhất- ở bên trái. nếu đạo hàm trên đoạn này dương ở mọi nơi thì hàm số sẽ tăng. Giá trị nhỏ nhất nằm ở viền trái của đoạn, giá trị lớn nhất nằm ở viền phải.
Nghiên cứu về một đối tượng như vậy phân tích toán học như một chức năng có tuyệt vời nghĩa và trong các lĩnh vực khoa học khác. Ví dụ, trong phân tích kinh tế hành vi luôn cần được đánh giá chức năng lợi nhuận, cụ thể là để xác định mức lớn nhất của nó nghĩa và phát triển chiến lược để đạt được nó.
Hướng dẫn
Việc nghiên cứu bất kỳ hành vi nào cũng phải luôn bắt đầu bằng việc tìm kiếm phạm vi định nghĩa. Thông thường theo điều kiện nhiệm vụ cụ thể cần xác định giá trị lớn nhất nghĩachức năng trên toàn bộ khu vực này hoặc trên một khoảng cụ thể của nó với đường viền mở hoặc đóng.
Dựa vào , lớn nhất là nghĩachức năng y(x0), trong đó với bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa, bất đẳng thức y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) đúng. Về mặt đồ họa, điểm này sẽ cao nhất nếu các giá trị đối số được đặt dọc theo trục abscissa và chính hàm dọc theo trục tọa độ.
Để xác định lớn nhất nghĩachức năng, hãy làm theo thuật toán ba bước. Xin lưu ý rằng bạn phải có khả năng làm việc với một phía và cũng như tính đạo hàm. Vì vậy, hãy cho một số hàm y(x) và bạn cần tìm giá trị lớn nhất của nó nghĩa trên một khoảng nhất định với các giá trị biên A và B.
Tìm hiểu xem khoảng này có nằm trong phạm vi định nghĩa không chức năng. Để làm điều này, bạn cần tìm nó bằng cách xem xét tất cả các hạn chế có thể có: sự hiện diện của một phân số trong biểu thức, căn bậc hai vân vân. Miền định nghĩa là tập hợp các giá trị đối số mà hàm có ý nghĩa. Xác định xem khoảng đã cho có phải là tập con của nó hay không. Nếu có thì đi đến giai đoạn tiếp theo.
Tìm đạo hàm chức năng và giải phương trình thu được bằng cách cho đạo hàm bằng 0. Bằng cách này, bạn sẽ nhận được các giá trị của cái gọi là điểm dừng. Đánh giá xem ít nhất một trong số chúng có thuộc khoảng A, B hay không.
Ở giai đoạn thứ ba, hãy xem xét các điểm này và thay thế giá trị của chúng vào hàm. Tùy thuộc vào loại khoảng thời gian, hãy thực hiện các bước bổ sung sau. Nếu có một đoạn có dạng [A, B] thì các điểm biên được bao gồm trong khoảng; điều này được biểu thị bằng dấu ngoặc đơn. Tính giá trị chức năng với x = A và x = B. Nếu khoảng mở(A, B), các giá trị biên bị thủng, tức là không được bao gồm trong đó. Giải giới hạn một phía cho x→A và x→B. Một khoảng kết hợp có dạng [A, B) hoặc (A, B), một trong các ranh giới của nó thuộc về nó, ranh giới còn lại không thuộc về nó. Tìm giới hạn một phía khi x tiến tới giá trị bị thủng và thay thế ranh giới kia vào. khoảng vô hạn hai phía (-∞, +∞) hoặc khoảng vô hạn một phía có dạng: , (-∞, B). Đối với các giới hạn thực A và B, hãy tiến hành theo các nguyên tắc đã được mô tả và đối với vô hạn, hãy tìm giới hạn lần lượt cho x→-∞ và x→+∞.
Nhiệm vụ ở giai đoạn này
Làm cách nào để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn?
Vì điều này chúng tôi làm theo một thuật toán nổi tiếng:
4
. Chúng ta tìm các khoảng mà đạo hàm giữ nguyên dấu và từ đó chúng ta xác định các khoảng tăng và giảm của hàm:
Nếu trong khoảng I đạo hàm của hàm số là 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} tăng trong khoảng này.
Nếu trên khoảng I đạo hàm của hàm số thì hàm số giảm dần trong khoảng này.
5
. Chúng tôi tìm thấy điểm cực đại và cực tiểu của hàm.
TRONG tại điểm cực đại của hàm số, đạo hàm đổi dấu từ “+” thành “-”.
TRONG điểm tối thiểu của hàmđạo hàm đổi dấu từ “-” thành “+”.
6
. Chúng tôi tìm thấy giá trị của hàm ở cuối đoạn,
sau đó chúng ta so sánh giá trị của hàm ở cuối đoạn và tại các điểm cực đại, và chọn giá trị lớn nhất trong số chúng nếu bạn cần tìm giá trị lớn nhất của hàm
hoặc so sánh giá trị của hàm số ở cuối đoạn và tại các điểm cực tiểu, và chọn giá trị nhỏ nhất trong số chúng nếu bạn cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
Tuy nhiên, tùy thuộc vào cách hoạt động của hàm trên phân khúc, thuật toán này có thể được giảm đi đáng kể.
Hãy xem xét chức năng . Đồ thị của hàm này trông như thế này:
Hãy xem xét một số ví dụ về giải quyết vấn đề từ Mở ngân hàng nhiệm vụ cho
Rõ ràng phương trình này không có nghiệm và đạo hàm dương với mọi giá trị của x. Do đó, hàm tăng và nhận giá trị lớn nhất ở đầu bên phải của khoảng, tức là tại x=0.
Trả lời: 5.
2
. Nhiệm vụ B15 (Số 26702)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốtrên phân khúc.
1. Chức năng ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Đạo hàm bằng 0 tại , tuy nhiên, tại các điểm này nó không đổi dấu:
Do đó, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tăng và nhận giá trị lớn nhất ở đầu bên phải của khoảng, tại .
Để làm rõ vì sao đạo hàm không đổi dấu, ta biến đổi biểu thức cho đạo hàm như sau:
1. Các hàm ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Hãy đặt các nghiệm của phương trình này lên đường tròn lượng giác.
Khoảng chứa hai số: và
Hãy đặt biển báo. Để làm điều này, chúng ta xác định dấu của đạo hàm tại điểm x=0: . Khi đi qua điểm và đạo hàm đổi dấu.
Hãy mô tả sự thay đổi dấu của đạo hàm của hàm số trên đường tọa độ:
Rõ ràng điểm đó là điểm cực tiểu (tại đó đạo hàm đổi dấu từ “-” thành “+”), và để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn thẳng, bạn cần so sánh các giá trị của hàm tại điểm tối thiểu và ở đầu bên trái của đoạn, .
Cho hàm $z=f(x,y)$ được xác định và liên tục trong một số giới hạn khu vực khép kín$D$. Giả sử hàm đã cho trong vùng này có đạo hàm riêng hữu hạn bậc một (có lẽ ngoại trừ một số hữu hạn điểm). Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong một vùng đóng cho trước, cần có ba bước của thuật toán đơn giản.
Thuật toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $z=f(x,y)$ trong miền đóng $D$.
Tìm các điểm tới hạn của hàm $z=f(x,y)$ thuộc miền $D$. Tính toán các giá trị hàm tại các điểm tới hạn.
Nghiên cứu hành vi của hàm $z=f(x,y)$ trên ranh giới của vùng $D$, tìm các điểm có thể có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính các giá trị hàm tại các điểm thu được.
Từ các giá trị hàm thu được trong hai đoạn trước, hãy chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Điểm quan trọng là gì? hiển thị\ẩn
Dưới điểm quan trọng ngụ ý các điểm mà tại đó cả hai đạo hàm riêng bậc nhất đều bằng 0 (tức là $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ và $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) hoặc ít nhất một đạo hàm riêng không tồn tại.
Thông thường những điểm mà tại đó đạo hàm riêng cấp một bằng 0 được gọi là điểm cố định. Vì vậy, điểm dừng là tập con điểm quan trọng.
Ví dụ số 1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $z=x^2+2xy-y^2-4x$ trong vùng đóng, giới hạn bởi dòng$x=3$, $y=0$ và $y=x+1$.
Chúng ta sẽ làm theo những điều trên, nhưng trước tiên hãy nhìn vào bản vẽ khu vực nhất định, mà chúng tôi biểu thị bằng chữ $D$. Chúng tôi được trao phương trình bađường thẳng giới hạn khu vực này. Đường thẳng $x=3$ đi qua điểm $(3;0)$ song song với trục hoành (trục Oy). Đường thẳng $y=0$ là phương trình của trục hoành (trục Ox). Vâng, để dựng đường thẳng $y=x+1$, chúng ta sẽ tìm thấy hai điểm mà qua đó chúng ta sẽ vẽ đường này. Tất nhiên, bạn có thể thay $x$ bằng một cặp giá trị tùy ý. Ví dụ: thay $x=10$, chúng ta nhận được: $y=x+1=10+1=11$. Chúng ta đã tìm thấy điểm $(10;11)$ nằm trên đường thẳng $y=x+1$. Tuy nhiên, tốt hơn là tìm những điểm mà tại đó đường thẳng $y=x+1$ giao với các đường thẳng $x=3$ và $y=0$. Tại sao điều này tốt hơn? Bởi vì chúng ta sẽ giết một vài con chim bằng một hòn đá: chúng ta sẽ có hai điểm để xây dựng đường $y=x+1$ và đồng thời tìm ra điểm nào đường này giao với các đường khác giới hạn diện tích đã cho. Đường thẳng $y=x+1$ cắt đường thẳng $x=3$ tại điểm $(3;4)$ và đường thẳng $y=0$ cắt nhau tại điểm $(-1;0)$. Để không làm lộn xộn tiến trình giải pháp với những lời giải thích phụ trợ, tôi sẽ ghi lại câu hỏi về việc đạt được hai điểm này.
Làm thế nào mà các điểm $(3;4)$ và $(-1;0)$ có được? hiển thị\ẩn
Hãy bắt đầu từ giao điểm của các đường $y=x+1$ và $x=3$. Tọa độ của điểm cần tìm thuộc cả đường thẳng thứ nhất và thứ hai, do đó, để tìm tọa độ chưa biết, bạn cần giải hệ phương trình:
Lời giải của hệ thống như vậy rất đơn giản: thay $x=3$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta sẽ có: $y=3+1=4$. Điểm $(3;4)$ là điểm mong muốn giao điểm của các đường $y=x+1$ và $x=3$.
Bây giờ chúng ta hãy tìm giao điểm của các đường $y=x+1$ và $y=0$. Ta lại soạn và giải hệ phương trình:
Thay $y=0$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được: $0=x+1$, $x=-1$. Điểm $(-1;0)$ là điểm giao nhau mong muốn của các đường $y=x+1$ và $y=0$ (trục x).
Mọi thứ đã sẵn sàng để xây dựng một bản vẽ trông như thế này:
Câu hỏi của ghi chú có vẻ hiển nhiên, bởi vì mọi thứ đều có thể nhìn thấy được trong hình. Tuy nhiên, điều đáng ghi nhớ là một bức vẽ không thể dùng làm bằng chứng. Bản vẽ chỉ nhằm mục đích minh họa.
Khu vực của chúng tôi được xác định bằng cách sử dụng các phương trình của các đường giới hạn nó. Rõ ràng, những đường này xác định một hình tam giác, phải không? Hay nó không hoàn toàn rõ ràng? Hoặc có thể chúng ta được cung cấp một khu vực khác, được giới hạn bởi những đường giống nhau:
Tất nhiên, điều kiện nói rằng khu vực này đã bị đóng cửa nên hình ảnh hiển thị là không chính xác. Nhưng để tránh sự mơ hồ như vậy, tốt hơn hết là xác định các vùng bằng các bất đẳng thức. Chúng ta có quan tâm đến phần của mặt phẳng nằm dưới đường thẳng $y=x+1$ không? Được rồi, vậy $y ≤ x+1$. Diện tích của chúng ta có nên nằm phía trên đường $y=0$ không? Tuyệt vời, điều đó có nghĩa là $y ≥ 0$. Nhân tiện, hai bất đẳng thức cuối cùng có thể dễ dàng kết hợp thành một: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x 3. \end(aligned) \right. $$
Những bất đẳng thức này xác định vùng $D$, và chúng xác định nó một cách rõ ràng, không cho phép bất kỳ sự mơ hồ nào. Nhưng điều này giúp chúng ta như thế nào với câu hỏi nêu ở đầu ghi chú? Nó cũng sẽ giúp ích :) Chúng ta cần kiểm tra xem điểm $M_1(1;1)$ có thuộc vùng $D$ hay không. Chúng ta hãy thay thế $x=1$ và $y=1$ vào hệ bất đẳng thức xác định vùng này. Nếu cả hai bất đẳng thức đều được thỏa mãn thì điểm nằm trong miền. Nếu ít nhất một trong các bất đẳng thức không được thỏa mãn thì điểm đó không thuộc miền. Vì thế:
Cả hai bất đẳng thức đều đúng. Điểm $M_1(1;1)$ thuộc vùng $D$.
Bây giờ là lúc nghiên cứu hành vi của hàm tại ranh giới của vùng, tức là chúng ta hãy đi đến . Hãy bắt đầu với đường thẳng $y=0$.
Đường thẳng $y=0$ (trục x) giới hạn vùng $D$ với điều kiện $-1 ≤ x ≤ 3$. Hãy thay $y=0$ vào hàm đã cho$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Chúng ta biểu thị hàm của một biến $x$ thu được nhờ thay thế là $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Bây giờ đối với hàm $f_1(x)$ chúng ta cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng $-1 ≤ x ≤ 3$. Hãy tìm đạo hàm của hàm này và đánh đồng nó bằng 0:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Giá trị $x=2$ thuộc đoạn $-1 ≤ x 3$ nên chúng ta cũng sẽ thêm $M_2(2;0)$ vào danh sách các điểm. Ngoài ra, chúng ta hãy tính các giá trị của hàm $z$ tại các điểm cuối của đoạn $-1 ≤ x 3$, tức là. tại các điểm $M_3(-1;0)$ và $M_4(3;0)$. Nhân tiện, nếu điểm $M_2$ không thuộc đoạn đang xét, thì tất nhiên, sẽ không cần tính giá trị của hàm $z$ trong đó.
Vì vậy, hãy tính các giá trị của hàm $z$ tại các điểm $M_2$, $M_3$, $M_4$. Tất nhiên, bạn có thể thay thế tọa độ của những điểm này vào biểu thức ban đầu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ví dụ: với điểm $M_2$ ta có:
Tuy nhiên, việc tính toán có thể được đơn giản hóa một chút. Để làm điều này, cần nhớ rằng trên đoạn $M_3M_4$ chúng ta có $z(x,y)=f_1(x)$. Tôi sẽ viết chi tiết điều này:
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang đường thẳng $x=3$. Đường thẳng này giới hạn vùng $D$ với điều kiện $0 ≤ y ≤ 4$. Hãy thay $x=3$ vào hàm $z$ đã cho. Kết quả của sự thay thế này là chúng ta có được hàm $f_2(y)$:
Đối với hàm $f_2(y)$ chúng ta cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng $0 ≤ y ≤ 4$. Hãy tìm đạo hàm của hàm này và đánh đồng nó bằng 0:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Giá trị $y=3$ thuộc đoạn $0 ≤ y ≤ 4$ nên chúng ta cũng sẽ cộng $M_5(3;3)$ vào các điểm đã tìm được trước đó. Ngoài ra, bạn cần tính giá trị của hàm $z$ tại các điểm ở cuối đoạn $0 ≤ y ≤ 4$, tức là. tại các điểm $M_4(3;0)$ và $M_6(3;4)$. Tại thời điểm $M_4(3;0)$ chúng ta đã tính được giá trị của $z$. Hãy tính giá trị của hàm $z$ tại các điểm $M_5$ và $M_6$. Hãy để tôi nhắc bạn rằng trên đoạn $M_4M_6$ chúng ta có $z(x,y)=f_2(y)$, do đó:
Và cuối cùng, xét ranh giới cuối cùng của vùng $D$, tức là đường thẳng $y=x+1$. Đường thẳng này giới hạn vùng $D$ với điều kiện $-1 ≤ x 3$. Thay $y=x+1$ vào hàm $z$, chúng ta sẽ có:
Một lần nữa chúng ta có hàm một biến $x$. Và một lần nữa chúng ta cần tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm này trên khoảng $-1 ≤ x 3$. Hãy tìm đạo hàm của hàm $f_(3)(x)$ và cho nó bằng 0:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Giá trị $x=1$ thuộc khoảng $-1 ≤ x 3$. Nếu $x=1$ thì $y=x+1=2$. Hãy thêm $M_7(1;2)$ vào danh sách các điểm và tìm hiểu xem giá trị của hàm $z$ tại thời điểm này là bao nhiêu. Các điểm ở cuối đoạn $-1 ≤ x 3$, tức là. điểm $M_3(-1;0)$ và $M_6(3;4)$ đã được xem xét trước đó, chúng tôi đã tìm thấy giá trị của hàm trong đó.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Bước thứ hai của giải pháp đã hoàn thành. Chúng tôi đã nhận được bảy giá trị:
Hãy quay sang. Chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ các số thu được trong đoạn thứ ba, chúng ta sẽ có:
$$z_(phút)=-4; \; z_(max)=6.$$
Vấn đề đã được giải quyết, việc còn lại là viết ra câu trả lời.
Trả lời: $z_(phút)=-4; \; z_(tối đa)=6$.
Ví dụ số 2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $z=x^2+y^2-12x+16y$ trong vùng $x^2+y^2 ≤ 25$.
Đầu tiên, hãy xây dựng một bản vẽ. Phương trình $x^2+y^2=25$ (đây là đường ranh giới của một khu vực nhất định) xác định một đường tròn có tâm ở gốc (tức là tại điểm $(0;0)$) và bán kính là 5. Bất đẳng thức $x^2 +y^2 ≤ $25 thỏa mãn mọi điểm trong và trên đường tròn nói trên.
Chúng tôi sẽ hành động theo. Hãy tìm đạo hàm riêng và tìm ra các điểm tới hạn.
Không có điểm nào tại đó đạo hàm riêng tìm được không tồn tại. Chúng ta hãy tìm hiểu xem tại điểm nào cả hai đạo hàm riêng đồng thời bằng 0, tức là chúng ta hãy tìm điểm dừng.
Chúng tôi có điểm cố định$(6;-8)$. Tuy nhiên, điểm tìm thấy không thuộc vùng $D$. Điều này rất dễ thể hiện mà không cần dùng đến bản vẽ. Hãy kiểm tra xem liệu bất đẳng thức $x^2+y^2 ≤ 25$ có đúng hay không, điều này xác định vùng $D$ của chúng ta. Nếu $x=6$, $y=-8$, thì $x^2+y^2=36+64=100$, tức là. bất đẳng thức $x^2+y^2 ≤ 25$ không đúng. Kết luận: điểm $(6;-8)$ không thuộc diện tích $D$.
Vì vậy, không có điểm tới hạn nào bên trong vùng $D$. Hãy chuyển sang... Chúng ta cần nghiên cứu hành vi của một hàm trên ranh giới của một vùng nhất định, tức là trên đường tròn $x^2+y^2=25$. Tất nhiên, chúng ta có thể biểu thị $y$ theo $x$, rồi thay thế biểu thức thu được vào hàm $z$. Từ phương trình của đường tròn, chúng ta nhận được: $y=\sqrt(25-x^2)$ hoặc $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ví dụ, thay thế $y=\sqrt(25-x^2)$ vào hàm đã cho, chúng ta sẽ có:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5 x 5. $$
Giải pháp tiếp theo sẽ hoàn toàn giống với việc nghiên cứu hành vi của hàm tại ranh giới của vùng trong ví dụ số 1 trước đó. Tuy nhiên, theo tôi, áp dụng phương pháp Lagrange trong tình huống này có vẻ hợp lý hơn. Chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến phần đầu tiên của phương pháp này. Sau khi áp dụng phần đầu tiên của phương pháp Lagrange, chúng ta sẽ đạt được các điểm mà tại đó chúng ta sẽ kiểm tra hàm $z$ về các giá trị tối thiểu và tối đa.
Để giải hệ này, chúng ta hãy chỉ ra ngay rằng $\lambda\neq -1$. Tại sao $\lambda\neq -1$? Hãy thử thay $\lambda=-1$ vào phương trình đầu tiên:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Kết quả mâu thuẫn $0=6$ chỉ ra rằng giá trị $\lambda=-1$ là không thể chấp nhận được. Đầu ra: $\lambda\neq -1$. Hãy biểu thị $x$ và $y$ theo $\lambda$:
Tôi tin rằng ở đây đã trở nên rõ ràng tại sao chúng tôi lại quy định cụ thể điều kiện $\lambda\neq -1$. Điều này được thực hiện để khớp biểu thức $1+\lambda$ vào mẫu số mà không bị nhiễu. Nghĩa là, để chắc chắn rằng mẫu số $1+\lambda\neq 0$.
Chúng ta hãy thay thế các biểu thức thu được của $x$ và $y$ vào phương trình thứ ba của hệ, tức là trong $x^2+y^2=25$:
Từ đẳng thức thu được, suy ra $1+\lambda=2$ hoặc $1+\lambda=-2$. Do đó chúng ta có hai giá trị của tham số $\lambda$, đó là: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Theo đó, ta được hai cặp giá trị $x$ và $y$:
Vì vậy, chúng tôi có hai điểm có thể cực trị có điều kiện, tức là $M_1(3;-4)$ và $M_2(-3;4)$. Hãy tìm các giá trị của hàm $z$ tại các điểm $M_1$ và $M_2$:
Chúng ta nên chọn các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ những giá trị chúng ta thu được ở bước đầu tiên và bước thứ hai. Nhưng trong trong trường hợp này sự lựa chọn rất nhỏ :) Chúng tôi có:
$$ z_(phút)=-75; \; z_(tối đa)=125. $$
Trả lời: $z_(phút)=-75; \; z_(tối đa)=$125.
Thuật toán tiêu chuẩn để giải các bài toán như vậy bao gồm, sau khi tìm các số 0 của hàm, xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng. Sau đó, tính toán các giá trị tại các điểm tối đa (hoặc tối thiểu) tìm thấy và tại ranh giới của khoảng, tùy thuộc vào câu hỏi nào trong điều kiện.
Tôi khuyên bạn nên làm mọi việc khác đi một chút. Tại sao? Tôi đã viết về điều này.
Tôi đề xuất giải quyết các vấn đề như sau:
1. Tìm đạo hàm. 2. Tìm các số 0 của đạo hàm. 3. Xác định xem chúng thuộc về ai khoảng thời gian này. 4. Ta tính các giá trị của hàm tại các ranh giới của khoảng và các điểm của bước 3. 5. Chúng ta rút ra kết luận (trả lời câu hỏi đặt ra).
Khi giải các ví dụ đã trình bày, lời giải chưa được xem xét chi tiết phương trình bậc hai, bạn sẽ có thể làm điều này. Họ cũng nên biết.
Hãy xem xét các ví dụ:
77422. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 3 –3x+4 trên đoạn [–2;0].
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:
Điểm x = –1 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.
Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm –2, –1 và 0:
Giá trị lớn nhất của hàm số là 6.
Đáp án: 6
77425. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – 3x 2 + 2 trên đoạn thẳng.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:
Điểm x = 2 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.
Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm 1, 2 và 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2.
Trả lời: –2
77426. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 – 6x 2 trên đoạn [–3;3].
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa điểm x = 0.
Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm –3, 0 và 3:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.
Trả lời: 0
77429. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – 2x 2 + x +3 trên đoạn thẳng.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
3x2 – 4x + 1 = 0
Chúng ta có được các nghiệm: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chỉ chứa x = 1.
Hãy tìm giá trị của hàm tại điểm 1 và 4:
Chúng tôi thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm là 3.
Trả lời: 3
77430. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 + 2x 2 + x + 3 trên đoạn [– 4; –1].
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm và giải phương trình bậc hai:
3x2 + 4x + 1 = 0
Hãy lấy gốc rễ:
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa nghiệm x = –1.
Ta tìm các giá trị của hàm tại các điểm –4, –1, –1/3 và 1:
Chúng tôi thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm là 3.
Trả lời: 3
77433. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – x 2 – 40x +3 trên đoạn thẳng.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:
Hãy tìm các số 0 của đạo hàm và giải phương trình bậc hai:
3x2 – 2x – 40 = 0
Hãy lấy gốc rễ:
Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa nghiệm x = 4.
Tìm giá trị hàm số tại điểm 0 và 4:
Chúng tôi thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm là –109.
Trả lời: –109
Hãy xem xét cách xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm không có đạo hàm. Cách tiếp cận này có thể được sử dụng nếu bạn có vấn đề lớn. Nguyên tắc rất đơn giản - chúng tôi thay thế tất cả các giá trị nguyên từ khoảng vào hàm (thực tế là trong tất cả các nguyên mẫu như vậy, câu trả lời là một số nguyên).
77437. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y=7+12x–x 3 trên đoạn [–2;2].
Thay điểm từ –2 thành 2:
Xem giải pháp
77434. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 trên đoạn [–2;0].
Thế thôi. Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh.
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.
trên phân khúc. 
. Đồ thị của hàm này trông như thế này:
trên phân khúc.
. Khi đi qua điểm và đạo hàm đổi dấu.
