Cực trị có điều kiện.

Cực trị của hàm nhiều biến

Phương pháp bình phương tối thiểu.

Cực trị địa phương của FNP

Hãy để chức năng được đưa ra Và= f(P), РÎDÌR N và cho điểm P 0 ( MỘT 1 , MỘT 2 , ..., một p) –nội bộđiểm của tập D.

Định nghĩa 9.4.

1) Điểm P 0 được gọi là điểm tối đa chức năng Và= f(P), nếu có một lân cận của điểm này U(P 0) М D sao cho với mọi điểm P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , điều kiện được thỏa mãn f(P)£ f(P 0) . Nghĩa f Hàm số (P 0) tại điểm cực đại được gọi là cực đại của hàm và được chỉ định f(P0) = tối đa f(P) .

2) Điểm P 0 được gọi là điểm tối thiểu chức năng Và= f(P), nếu có một lân cận của điểm này U(P 0)Ì D sao cho với mọi điểm P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , điều kiện được thỏa mãn f(P)³ f(P 0) . Nghĩa f Hàm số (P 0) tại điểm cực tiểu được gọi là hàm tối thiểu và được chỉ định f(P 0) = phút f(P).

Điểm cực tiểu và cực đại của hàm số được gọi là điểm cực trị, các giá trị của hàm số tại điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm số.

Như sau từ định nghĩa, các bất đẳng thức f(P)£ f(P 0), f(P)³ f(P 0) chỉ phải được thỏa mãn trong một lân cận nhất định của điểm P 0 chứ không phải trong toàn bộ miền định nghĩa của hàm, nghĩa là hàm có thể có một số cực trị cùng loại (một số cực tiểu, một số cực đại) . Do đó, cực trị được xác định ở trên được gọi là địa phương(cục bộ) cực đoan.

Định lý 9.1 (điều kiện cần cho cực trị của FNP)

Nếu chức năng Và= f(X 1 , X 2 , ..., x n) có cực trị tại điểm P 0 thì đạo hàm riêng cấp một của nó tại điểm này hoặc bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bằng chứng. Giả sử tại điểm P 0 ( MỘT 1 , MỘT 2 , ..., một p) chức năng Và= f(P) có một cực trị, chẳng hạn như cực đại. Hãy sửa chữa các đối số X 2 , ..., x n, đặt X 2 =MỘT 2 ,..., x n = một p. Sau đó Và= f(P) = f 1 ((X 1 , MỘT 2 , ..., một p) là hàm một biến X 1. Vì chức năng này có X 1 = MỘT 1 cực trị (tối đa) thì f 1 ¢=0hoặc không tồn tại khi X 1 =MỘT 1 (điều kiện cần để tồn tại cực trị của hàm một biến). Nhưng điều đó có nghĩa là hoặc không tồn tại ở điểm P 0 - điểm cực trị. Tương tự, chúng ta có thể xem xét đạo hàm riêng đối với các biến khác. CTD.

Các điểm trong miền của hàm số mà tại đó đạo hàm riêng bậc nhất bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm quan trọng chức năng này.

Như sau Định lý 9.1, các điểm cực trị của FNP phải được tìm trong số các điểm tới hạn của hàm số. Tuy nhiên, đối với hàm một biến, không phải mọi điểm tới hạn đều là điểm cực trị.

Định lý 9.2 (điều kiện đủ cho cực trị của FNP)

Gọi P 0 là điểm tới hạn của hàm số Và= f(P) và là vi phân bậc hai của hàm này. Sau đó

a) nếu d 2 bạn(P 0) > 0 tại , thì P 0 là một điểm tối thiểu chức năng Và= f(P);

b) nếu d 2 bạn(P0)< 0 при , то Р 0 – точка tối đa chức năng Và= f(P);

c) nếu d 2 bạn(P 0) không được xác định bằng dấu thì P 0 không phải là điểm cực trị;

Chúng ta sẽ xem xét định lý này mà không cần chứng minh.

Lưu ý rằng định lý không xét trường hợp khi d 2 bạn(P 0) = 0 hoặc không tồn tại. Điều này có nghĩa là câu hỏi về sự hiện diện của một cực trị tại điểm P 0 trong những điều kiện như vậy vẫn còn bỏ ngỏ - cần có nghiên cứu bổ sung, chẳng hạn như nghiên cứu về độ tăng của hàm số tại điểm này.

Trong các khóa học toán chi tiết hơn, người ta đã chứng minh rằng, đặc biệt đối với hàm z = f(x,y) của hai biến, vi phân bậc hai của chúng là tổng có dạng

việc nghiên cứu sự có mặt của cực trị tại điểm tới hạn P 0 có thể được đơn giản hóa.

Hãy ký hiệu , , . Hãy soạn định thức

.

Hóa ra:

d 2 z> 0 tại điểm P 0, tức là P 0 – điểm tối thiểu, nếu MỘT(P 0) > 0 và D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если MỘT(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

nếu D(P 0)< 0, то d 2 zở lân cận điểm P 0 nó đổi dấu và không có điểm cực trị tại điểm P 0;

nếu D(Р 0) = 0 thì cần phải nghiên cứu thêm hàm số trong vùng lân cận điểm tới hạn Р 0.

Vì vậy, đối với hàm z = f(x,y) của hai biến, ta có thuật toán sau (gọi là “thuật toán D”) để tìm cực trị:

1) Tìm miền định nghĩa D( f) các hàm.

2) Tìm điểm quan trọng, tức là điểm từ D( f), mà và bằng 0 hoặc không tồn tại.

3) Tại mỗi điểm tới hạn P 0, kiểm tra điều kiện đủ cho cực trị. Để làm điều này, hãy tìm , trong đó , , và tính D(P 0) và MỘT(P 0). Khi đó:

nếu D(P 0) >0 thì tại điểm P 0 có cực trị, và nếu MỘT(P 0) > 0 – thì đây là mức tối thiểu và nếu MỘT(P 0)< 0 – максимум;

nếu D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Nếu D(P 0) = 0 thì cần nghiên cứu thêm.

4) Tại điểm cực trị tìm được, tính giá trị của hàm số.

Ví dụ 1.

Tìm cực trị của hàm số z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Giải pháp. Miền định nghĩa của hàm này là toàn bộ mặt phẳng tọa độ. Hãy tìm những điểm quan trọng.

, , Þ P 0 (0,0), .

Hãy kiểm tra xem điều kiện đủ của cực trị có thỏa mãn hay không. Chúng tôi sẽ tìm thấy

6X, = -3, = 48Tại Và = 288xy – 9.

Khi đó D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – tại điểm Р 1 có cực trị, và do đó MỘT(P 1) = 3 >0 thì cực trị này là cực tiểu. tối thiểu z=z(P 1) = .

Ví dụ 2.

Tìm cực trị của hàm số .

Giải: Đ( f) =R 2 . Điểm quan trọng: ; không tồn tại khi Tại= 0, có nghĩa P 0 (0,0) là điểm tới hạn của hàm số này.

2, = 0, = , = , nhưng D(P 0) không được xác định nên không thể nghiên cứu dấu của nó.

Vì lý do tương tự, không thể áp dụng trực tiếp Định lý 9.2 - d 2 z không tồn tại vào thời điểm này.

Hãy xem xét sự gia tăng của hàm f(x, y) tại điểm P 0. Nếu D f =f(P) - f(P 0)>0"P thì P 0 là điểm nhỏ nhất, nhưng nếu D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Tại D x= 0,1 và D y= -0,008 ta được D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 và D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, tức là ở vùng lân cận điểm P 0 không điều kiện D nào được thỏa mãn f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) và do đó P 0 không phải là điểm cực đại), cũng như điều kiện D f>0 (tức là f(x, y) > f(0, 0) và khi đó P 0 không phải là điểm cực tiểu). Điều này có nghĩa là, theo định nghĩa về cực trị, hàm số này không có cực trị.

Cực trị có điều kiện.

Cực trị được xem xét của hàm số được gọi là vô điều kiện, vì không có hạn chế (điều kiện) nào được áp đặt cho các đối số của hàm.

Định nghĩa 9.2. Cực trị của hàm Và = f(X 1 , X 2 , ... , x n), được tìm thấy với điều kiện là các đối số của nó X 1 , X 2 , ... , x n thỏa mãn phương trình j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, trong đó P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), gọi điện cực trị có điều kiện .

phương trình j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., tôi, được gọi là phương trình kết nối.

Chúng ta hãy nhìn vào các chức năng z = f(x,y) hai biến. Nếu phương trình kết nối là một, tức là. , thì việc tìm cực trị có điều kiện có nghĩa là cực trị đó không được tìm kiếm trong toàn bộ miền định nghĩa của hàm mà trên một đường cong nào đó nằm trong D( f) (nghĩa là không phải điểm cao nhất hay thấp nhất của bề mặt được tìm kiếm z = f(x,y) và các điểm cao nhất hoặc thấp nhất trong số các điểm giao nhau của bề mặt này với hình trụ, Hình 5).

Cực trị có điều kiện của hàm z = f(x,y) của hai biến có thể được tìm thấy theo cách sau ( phương pháp loại trừ). Từ phương trình, hãy biểu thị một trong các biến dưới dạng hàm của một biến khác (ví dụ: viết ) và thay giá trị này của biến vào hàm, viết giá trị sau dưới dạng hàm của một biến (trong trường hợp được xem xét ). Tìm cực trị của hàm kết quả của một biến.

Cực trị của hàm nhiều biến. Điều kiện cần để đạt cực trị. Điều kiện đủ để đạt cực trị. Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân Lagrange. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Bài giảng 5.

Định nghĩa 5.1. chấm M 0 (x 0, y 0) gọi điện điểm tối đa chức năng z = f(x, y), Nếu như f (x o , y o) > f(x,y) cho tất cả các điểm (x, y) M 0.

Định nghĩa 5.2. chấm M 0 (x 0, y 0) gọi điện điểm tối thiểu chức năng z = f(x, y), Nếu như f (x o , y o) < f(x,y) cho tất cả các điểm (x, y) từ một lân cận nào đó của một điểm M 0.

Lưu ý 1. Điểm tối đa và điểm tối thiểu được gọi là điểm cực trị hàm nhiều biến.

Nhận xét 2. Điểm cực trị của hàm số có số biến bất kỳ được xác định theo cách tương tự.

Định lý 5.1(điều kiện cần để đạt cực trị). Nếu như M 0 (x 0, y 0)- điểm cực trị của hàm số z = f(x, y), thì tại thời điểm này đạo hàm riêng cấp một của hàm số này bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bằng chứng.

Hãy cố định giá trị của biến Tại, đếm y = y 0. Sau đó, chức năng f(x, y 0) sẽ là hàm của một biến X, vì cái gì x = x 0 là điểm cực trị. Do đó, theo định lý Fermat, hoặc không tồn tại. Tuyên bố tương tự được chứng minh tương tự cho .

Định nghĩa 5.3. Các điểm thuộc miền xác định của hàm nhiều biến mà tại đó đạo hàm riêng của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm cố định chức năng này.

Bình luận. Do đó, cực trị chỉ có thể đạt được tại các điểm dừng, nhưng nó không nhất thiết phải được quan sát thấy ở mỗi điểm đó.

Định lý 5.2(điều kiện đủ để đạt cực trị). Hãy ở một số vùng lân cận của điểm M 0 (x 0, y 0), là điểm dừng của hàm số z = f(x, y), hàm số này có đạo hàm riêng liên tục đến bậc 3. Hãy ký hiệu Khi đó:

1) f(x,y) có tại thời điểm M 0 tối đa nếu AC–B² > 0, MỘT < 0;

2) f(x,y) có tại thời điểm M 0 tối thiểu nếu AC–B² > 0, MỘT > 0;

3) không có cực trị tại điểm tới hạn nếu AC–B² < 0;

4) nếu AC–B² = 0, cần nghiên cứu thêm.

Bằng chứng.

Hãy viết công thức Taylor bậc hai cho hàm f(x,y), nhớ rằng tại một điểm dừng, đạo hàm riêng bậc nhất bằng 0:

Ở đâu Nếu góc giữa đoạn M 0 M, Ở đâu M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ Tại) và trục O X ký hiệu φ thì Δ x =Δ ρ vì φ, Δ y =Δρsinφ. Trong trường hợp này, công thức Taylor sẽ có dạng: . Vậy thì chúng ta có thể chia và nhân biểu thức trong ngoặc với MỘT. Chúng tôi nhận được:

Bây giờ chúng ta hãy xem xét bốn trường hợp có thể xảy ra:

1) AC-B² > 0, MỘT < 0. Тогда , и ở mức Δρ đủ nhỏ. Vì vậy, ở một số vùng lân cận M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), đó là M 0- điểm tối đa.

2) Hãy để AC–B² > 0, A > 0. Sau đó , Và M 0- điểm tối thiểu

3) Hãy để AC-B² < 0, MỘT> 0. Xét sự tăng dần của các đối số dọc theo tia φ = 0. Khi đó từ (5.1) suy ra rằng , tức là khi di chuyển dọc theo tia này thì hàm số tăng lên. Nếu chúng ta di chuyển dọc theo một tia sao cho tg φ 0 = -A/B, Cái đó , do đó khi di chuyển dọc theo tia này thì hàm số giảm. Vì vậy, kỳ M 0 không phải là điểm cực trị.

3`) Khi AC–B² < 0, MỘT < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

tương tự như cái trước.

3``) Nếu AC–B² < 0, MỘT= 0 thì . Đồng thời. Khi đó với φ đủ nhỏ biểu thức 2 B cosφ + C sinφ gần bằng 2 TRONG, nghĩa là, nó giữ nguyên dấu, nhưng sinφ đổi dấu trong vùng lân cận của điểm M0.Điều này có nghĩa là độ tăng của hàm số thay đổi dấu trong vùng lân cận của một điểm dừng, do đó điểm này không phải là điểm cực trị.

4) Nếu AC–B² = 0, và , , nghĩa là dấu của số gia được xác định bởi dấu của 2α 0. Đồng thời, cần nghiên cứu sâu hơn để làm sáng tỏ câu hỏi về sự tồn tại của một cực trị.

Ví dụ. Hãy tìm điểm cực trị của hàm số z = x 2 - 2 xy + 2y 2 + 2 x.Để tìm điểm dừng ta giải hệ . Vậy điểm dừng là (-2,-1). Đồng thời A = 2, TRONG = -2, VỚI= 4. Khi đó AC–B² = 4 > 0, do đó, tại một điểm dừng đạt đến một cực trị, tức là cực tiểu (vì MỘT > 0).

Định nghĩa 5.4. Nếu các đối số của hàm f(x 1 , x 2 ,…, xn) bị ràng buộc bởi các điều kiện bổ sung dưới dạng tôi phương trình ( tôi< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

trong đó các hàm φ i có đạo hàm riêng liên tục thì phương trình (5.2) được gọi là phương trình kết nối.

Định nghĩa 5.5. Cực trị của hàm f(x 1 , x 2 ,…, xn) khi điều kiện (5.2) được đáp ứng, nó được gọi là cực trị có điều kiện.

Bình luận. Chúng ta có thể đưa ra cách giải thích hình học sau đây về cực trị có điều kiện của hàm hai biến: f(x,y) liên hệ bởi phương trình φ (x,y)= 0, xác định một số đường cong trong mặt phẳng O xy. Dựng lại các đường vuông góc với mặt phẳng O từ mỗi điểm của đường cong này xy cho đến khi nó giao nhau với bề mặt z = f(x,y), chúng ta thu được một đường cong không gian nằm trên bề mặt phía trên đường cong φ (x,y)= 0. Nhiệm vụ là tìm các điểm cực trị của đường cong kết quả, tất nhiên, trong trường hợp tổng quát không trùng với các điểm cực trị vô điều kiện của hàm f(x,y).

Chúng ta hãy xác định các điều kiện cần thiết cho cực trị có điều kiện của hàm hai biến bằng cách đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 5.6. Chức năng L(x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Ở đâu λ tôi – một số là hằng số, được gọi là Hàm Lagrange, và các số λ tôi– số nhân Lagrange không xác định.

Định lý 5.3(điều kiện cần của cực trị có điều kiện). Cực trị có điều kiện của hàm z = f(x,y) với sự có mặt của phương trình ghép φ ( x, y)= 0 chỉ có thể đạt được tại các điểm dừng của hàm Lagrange L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y).

Bằng chứng. Phương trình ghép xác định mối quan hệ ngầm định Tại từ X, do đó chúng ta sẽ giả sử rằng Tại có một chức năng từ X: y = y(x). Sau đó z có một hàm phức tạp từ X và các điểm tới hạn của nó được xác định bởi điều kiện: . (5.4) Từ phương trình ghép suy ra rằng . (5.5)

Chúng ta hãy nhân đẳng thức (5.5) với một số λ nào đó rồi cộng nó với (5.4). Chúng tôi nhận được:

, hoặc .

Đẳng thức cuối cùng phải được thỏa mãn tại các điểm dừng, từ đó suy ra:

(5.6)

Ta thu được hệ ba phương trình cho ba ẩn số: x, y và λ, và hai phương trình đầu tiên là điều kiện cho điểm dừng của hàm Lagrange. Bằng cách loại trừ ẩn số phụ λ khỏi hệ (5.6), chúng ta tìm được tọa độ của các điểm mà tại đó hàm ban đầu có thể có cực trị có điều kiện.

Nhận xét 1. Sự có mặt của cực trị có điều kiện tại điểm tìm được có thể được kiểm tra bằng cách nghiên cứu đạo hàm riêng bậc hai của hàm Lagrange bằng cách tương tự với Định lý 5.2.

Nhận xét 2. Điểm đạt cực trị điều kiện của hàm số f(x 1 , x 2 ,…, xn) khi điều kiện (5.2) được thỏa mãn, có thể được định nghĩa là nghiệm của hệ (5.7)

Ví dụ. Hãy tìm cực trị điều kiện của hàm số z = xy cho rằng x + y= 1. Hãy soạn hàm Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Hệ thống (5.6) trông như thế này:

Trong đó -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Đồng thời L(x,y) có thể được biểu diễn dưới dạng L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, do đó tại điểm dừng tìm được L(x,y) có mức tối đa và z = xy – cực đại có điều kiện.

Điều kiện đủ của hàm số cực trị hai biến

1. Giả sử hàm khả vi liên tục trong một số lân cận của điểm và có đạo hàm riêng liên tục bậc hai (thuần túy và hỗn hợp).

2. Ta biểu thị bằng định thức bậc hai

hàm bài giảng biến cực trị

Định lý

Nếu điểm có tọa độ là điểm dừng của hàm số thì:

A) Tại điểm đó là điểm cực trị cục bộ và tại mức cực đại cục bộ, nó là điểm cực tiểu cục bộ;

C) tại điểm không phải là điểm cực trị địa phương;

C) nếu, có thể cả hai.

Bằng chứng

Chúng ta hãy viết công thức Taylor cho hàm số, giới hạn ở hai số hạng:

Vì theo các điều kiện của định lý, điểm đứng yên nên đạo hàm riêng bậc hai bằng 0, tức là. Và. Sau đó

Hãy biểu thị

Khi đó sự gia tăng của hàm sẽ có dạng:

Do tính liên tục của đạo hàm riêng bậc hai (thuần và hỗn hợp) nên theo điều kiện của định lý tại một điểm, ta có thể viết:

Ở đâu hoặc; ,

1. Hãy để và, tức là. hoặc.

2. Nhân số gia của hàm và chia cho, ta được:

3. Hãy cộng biểu thức trong dấu ngoặc nhọn vào bình phương đầy đủ của tổng:

4. Biểu thức trong dấu ngoặc nhọn không âm, vì

5. Do đó, nếu a có nghĩa là và, thì và do đó, theo định nghĩa, điểm là điểm cực tiểu cục bộ.

6. Nếu a có nghĩa là và thì theo định nghĩa, điểm có tọa độ là điểm cực đại cục bộ.

2. Xét tam thức bậc hai, phân biệt của nó, .

3. Nếu tồn tại những điểm sao cho đa thức

4. Chúng ta viết tổng số tăng của hàm số tại một điểm theo biểu thức thu được trong I là:

5. Do tính liên tục của đạo hàm riêng cấp hai nên theo điều kiện của định lý tại một điểm, ta có thể viết rằng

Do đó, có một lân cận của một điểm sao cho, với bất kỳ điểm nào, tam thức bậc hai đều lớn hơn 0:

6. Xét lân cận của một điểm.

Hãy chọn bất kỳ giá trị nào, vì vậy hãy chấm. Giả sử rằng trong công thức tăng của hàm

Chúng ta nhận được gì:

7. Kể từ đó.

8. Lập luận tương tự đối với nghiệm, chúng ta thấy rằng trong bất kỳ lân cận nào của một điểm đều có một điểm mà trong lân cận của điểm đó không bảo toàn dấu, do đó không có cực trị tại điểm.

Cực trị có điều kiện của hàm hai biến

Khi tìm cực trị của hàm hai biến, các bài toán thường nảy sinh liên quan đến cái gọi là cực trị có điều kiện. Khái niệm này có thể được giải thích bằng ví dụ về hàm hai biến.

Cho hàm số và đường thẳng L trên mặt phẳng 0xy. Nhiệm vụ là tìm điểm P(x,y) trên dòng L mà tại đó giá trị của hàm lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các giá trị của hàm này tại các điểm trên dòng L nằm gần điểm P. Chẳng hạn như các điểm P được gọi là các hàm điểm cực trị có điều kiện trên dòng L. Không giống như điểm cực trị thông thường, giá trị của hàm tại điểm cực trị có điều kiện được so sánh với các giá trị của hàm không phải tại tất cả các điểm lân cận của nó mà chỉ tại các điểm nằm trên đường L

Hoàn toàn rõ ràng rằng điểm cực trị thông thường (người ta còn gọi là điểm cực trị vô điều kiện) cũng là điểm cực trị có điều kiện đối với bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm này. Tất nhiên, điều ngược lại là không đúng: điểm cực trị có điều kiện có thể không phải là điểm cực trị thông thường. Hãy để chúng tôi minh họa điều này bằng một ví dụ.

Ví dụ số 1.Đồ thị của hàm số là bán cầu trên (Hình 2).

Cơm. 2.

Hàm này có cực đại tại gốc tọa độ; nó tương ứng với đỉnh M của bán cầu. Nếu đường thẳng L là một đường thẳng đi qua các điểm A và B (phương trình của nó), thì về mặt hình học rõ ràng rằng đối với các điểm của đường thẳng này, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm nằm ở giữa giữa các điểm A và B. . Đây là điểm của hàm cực trị có điều kiện (tối đa) trên dòng này; nó tương ứng với điểm M 1 trên bán cầu, và từ hình vẽ cho thấy rõ rằng ở đây không thể nói đến bất kỳ điểm cực trị thông thường nào.

Lưu ý rằng ở phần cuối cùng của bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng, chúng ta phải tìm các giá trị cực trị của hàm trên biên của miền này, tức là. trên một dòng nào đó, và từ đó giải được bài toán cực trị có điều kiện.

Định nghĩa 1. Họ nói rằng ở đâu tại một điểm thỏa mãn phương trình một mức tối đa có điều kiện hoặc tương đối (tối thiểu): nếu với bất kỳ điểm nào thỏa mãn phương trình thì bất đẳng thức

Định nghĩa 2. Một phương trình có dạng được gọi là phương trình ràng buộc.

Định lý

Nếu các hàm và khả vi liên tục trong lân cận của một điểm và đạo hàm riêng và điểm đó là điểm cực trị có điều kiện của hàm đối với phương trình ràng buộc, thì định thức bậc hai bằng 0:

Bằng chứng

1. Vì theo điều kiện của định lý, đạo hàm riêng và giá trị của hàm số nên trong một hình chữ nhật nào đó

hàm ngầm được xác định

Do đó, hàm phức hai biến tại một điểm sẽ có cực trị cục bộ, hoặc.

2. Thật vậy, theo tính chất bất biến của công thức vi phân cấp một

3. Phương trình kết nối có thể được biểu diễn dưới dạng này, nghĩa là

4. Nhân phương trình (2) với và (3) với rồi cộng chúng lại

Vì vậy, khi

tùy ý. vân vân.

Kết quả

Việc tìm điểm cực trị có điều kiện của hàm số hai biến trong thực tế được thực hiện bằng cách giải hệ phương trình

Vì vậy, trong ví dụ số 1 ở trên từ phương trình kết nối, chúng ta có. Từ đây thật dễ dàng để kiểm tra những gì đạt đến mức tối đa. Nhưng sau đó từ phương trình truyền thông. Chúng ta thu được điểm P, được tìm thấy về mặt hình học.

Ví dụ số 2. Tìm các điểm cực trị có điều kiện của hàm số so với phương trình ghép.

Hãy tìm đạo hàm riêng của hàm số đã cho và phương trình ghép:

Hãy tạo định thức bậc hai:

Viết hệ phương trình tìm điểm cực trị có điều kiện:

Điều này có nghĩa là có bốn điểm cực trị có điều kiện của hàm có tọa độ: .

Ví dụ số 3. Tìm điểm cực trị của hàm số.

Đánh đồng đạo hàm riêng bằng 0: , ta tìm được một điểm dừng - gốc tọa độ. Đây,. Do đó, điểm (0, 0) không phải là điểm cực trị. Phương trình là phương trình của một paraboloid hyperbol (Hình 3), từ hình vẽ có thể thấy điểm (0, 0) không phải là điểm cực trị.

Cơm. 3.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong miền đóng

1. Cho hàm số xác định và liên tục trong miền đóng bị chặn D.

2. Cho hàm số có đạo hàm riêng hữu hạn trong vùng này, ngoại trừ các điểm riêng lẻ của vùng.

3. Theo định lý Weierstrass, trong vùng này có một điểm tại đó hàm số nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

4. Nếu những điểm này là điểm bên trong của vùng D thì hiển nhiên chúng sẽ có cực đại hoặc cực tiểu.

5. Trong trường hợp này, những điểm mà chúng ta quan tâm nằm trong số những điểm đáng ngờ ở mức cực điểm.

6. Tuy nhiên, hàm số cũng có thể nhận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại ranh giới của vùng D.

7. Để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trong vùng D, bạn cần tìm tất cả các điểm bên trong nghi ngờ một cực trị, tính giá trị của hàm trong đó rồi so sánh với giá trị của hàm tại các điểm biên của vùng và giá trị lớn nhất trong tất cả các giá trị tìm được sẽ lớn nhất trong vùng đóng D.

8. Phương pháp tìm cực đại hoặc cực tiểu cục bộ đã được thảo luận trước đó trong phần 1.2. và 1.3.

9. Vẫn còn phải xem xét phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm tại ranh giới của vùng.

10. Trong trường hợp hàm hai biến, diện tích thường bị giới hạn bởi một đường cong hoặc một số đường cong.

11. Dọc theo một đường cong (hoặc một số đường cong) các biến và phụ thuộc lẫn nhau hoặc cả hai đều phụ thuộc vào một tham số.

12. Như vậy, tại biên hàm số phụ thuộc vào một biến.

13. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm một biến đã được thảo luận trước đó.

14. Cho ranh giới vùng D bằng phương trình tham số:

Khi đó trên đường cong này hàm hai biến sẽ là hàm phức của tham số: . Đối với hàm như vậy, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được xác định bằng phương pháp xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho hàm một biến.

CÓ ĐIỀU KIỆN CỰC HẤP DẪN

Giá trị tối thiểu hoặc tối đa mà một hàm (hoặc hàm) nhất định đạt được với điều kiện là một số hàm (hàm) khác nhất định lấy các giá trị từ một tập hợp được chấp nhận nhất định. Nếu không có điều kiện hạn chế sự thay đổi của các biến (hàm) độc lập theo nghĩa đã chỉ ra, thì chúng ta nói về một cực trị vô điều kiện.
Cổ điển nhiệm vụ trên U. e. là bài toán xác định giá trị cực tiểu của hàm nhiều biến

Với điều kiện là một số hàm khác nhận các giá trị đã cho:

Trong bài toán G này, các giá trị của hàm vectơ phải thuộc về ai g=(g 1, ...,g m), đưa vào điều kiện bổ sung (2) có điểm cố định c=(c 1, ..., với t) trong không gian Euclide m chiều
Nếu ở (2) cùng với dấu bằng thì cho phép có dấu bất đẳng thức

Điều này sau đó dẫn đến vấn đề lập trình phi tuyến(1), (3). Trong bài toán (1), (3), tập G các giá trị được chấp nhận của hàm vectơ g là một đường cong nhất định thuộc siêu bề mặt (n-m 1) được xác định bởi m 1 1 , tôi điều kiện như sự bình đẳng (3). Các ranh giới của khối đa diện cong xác định được xây dựng có tính đến chiều-m
1 bất đẳng thức có trong (3). Trường hợp đặc biệt của bài toán (1), (3) trên U.V. là nhiệm vụ trong đó tất cả các hàm f và tôi tuyến tính theo x l , ... , xtr. Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, tập G các giá trị chấp nhận được của hàm vectơ g,đưa vào điều kiện giới hạn diện tích biến đổi x 1, .....x n , biểu thị , thuộc siêu phẳng chiều (n-t 1) được xác định bởi m 1 điều kiện thuộc loại đẳng thức trong (3).
Tương tự như vậy, hầu hết các bài toán tối ưu hóa hàm biểu diễn các hàm thực tế sự quan tâm đến các vấn đề ở U. e. (cm. Bài toán đẳng vi, bài toán vòng, bài toán Lagrange, bài toán cách thức). Tương tự như trong toán học lập trình, các bài toán chính của phép tính biến phân và lý thuyết điều khiển tối ưu là các bài toán trong hệ thống điện tử.
Khi giải quyết các vấn đề trong hệ thống điện tử, đặc biệt khi xem xét các vấn đề lý thuyết. các câu hỏi liên quan đến các vấn đề trong hệ thống điện tử, việc sử dụng thời hạn không xác định Nhân tử Lagrange, cho phép chúng tôi giảm vấn đề xuống U. e. giải quyết bài toán về điều kiện vô điều kiện và đơn giản hóa các điều kiện tối ưu cần thiết. Việc sử dụng các hệ số nhân Lagrange là nền tảng cho hầu hết các nghiên cứu cổ điển. các phương pháp giải các bài toán trong hệ thống điện tử.

Sáng.: Hedley J., Phi tuyến và, trans. từ tiếng Anh, M., 1967; Bliss G. A., Các bài giảng về phép tính biến phân, trans. từ tiếng Anh, M., 1950; Pontryagin L. S. [và cộng sự], Các quy trình tối ưu toán học, tái bản lần thứ 2, M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.

Bách khoa toàn thư toán học. - M.: Bách khoa toàn thư Liên Xô.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Xem " ĐIỀU KIỆN TUYỆT VỜI " trong các từ điển khác là gì:

Cực trị, cực trị tương đối của hàm số f(x1,..., xn + m) từ n + m biến với giả thiết các biến này cũng tuân theo m phương trình kết nối (điều kiện): φk(x1,..., xn + m) = 0, 1< k < m (*) (xem Cực trị).… … Giả sử tập mở và các hàm đã cho. Hãy để nó như vậy. Những phương trình này được gọi là phương trình ràng buộc (thuật ngữ được mượn từ cơ học). Hãy để một hàm được xác định trên G... Wikipedia

- (từ cực trị Latin) giá trị của hàm liên tục f (x), là giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Chính xác hơn: hàm f (x) liên tục tại điểm x0 có cực đại (tối thiểu) tại x0 nếu có một lân cận (x0 + δ, x0 δ) của điểm này,... ...

Là hàm dùng để giải các bài toán về cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến và hàm số. Với sự giúp đỡ của L. f. các điều kiện cần thiết để đạt được sự tối ưu trong các bài toán về cực trị có điều kiện được viết ra. Trong trường hợp này, không cần thiết chỉ biểu thị các biến... Bách khoa toàn thư toán học

Một môn toán dành cho việc tìm các giá trị cực trị (lớn nhất và nhỏ nhất) của các hàm của các biến phụ thuộc vào việc lựa chọn một hoặc nhiều hàm. V. và. là sự phát triển tự nhiên của chương đó... ... Giả sử tập mở và các hàm đã cho. Hãy để nó như vậy. Những phương trình này được gọi là phương trình ràng buộc (thuật ngữ được mượn từ cơ học). Hãy để một hàm được xác định trên G... Wikipedia

Các biến, với sự trợ giúp của hàm Lagrange được xây dựng khi nghiên cứu các vấn đề về cực trị có điều kiện. Việc sử dụng các phương pháp tuyến tính và hàm Lagrange cho phép chúng ta thu được các điều kiện tối ưu cần thiết trong các bài toán liên quan đến cực trị có điều kiện một cách thống nhất... Bách khoa toàn thư toán học

Phép tính biến phân là một nhánh của giải tích hàm nghiên cứu các biến thể của hàm số. Vấn đề điển hình nhất trong phép tính biến phân là tìm một hàm mà một hàm đã cho đạt được... ... Wikipedia

Một nhánh của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp tìm cực trị của các hàm phụ thuộc vào việc chọn một hoặc một số hàm dưới nhiều loại ràng buộc khác nhau (pha, vi phân, tích phân, v.v.) áp đặt lên những hàm này... ... Bách khoa toàn thư toán học

Phép tính biến phân là một nhánh của toán học nghiên cứu các biến thể của hàm số. Bài toán điển hình nhất trong phép tính biến phân là tìm hàm tại đó hàm số đạt giá trị cực trị. Các phương pháp... ...Wikipedia

Sách

• Bài giảng lý thuyết điều khiển. Tập 2. Điều khiển tối ưu, V. Boss. Các vấn đề cổ điển của lý thuyết điều khiển tối ưu được xem xét. Bài trình bày bắt đầu với các khái niệm cơ bản về tối ưu hóa trong không gian hữu hạn chiều: cực trị có điều kiện và vô điều kiện,...

Giả sử hàm z - /(x, y) được xác định trong miền D nào đó và cho Mo(xo, Vo) là điểm trong của miền này. Sự định nghĩa. Nếu tồn tại một số sao cho mọi bất đẳng thức đều thỏa mãn điều kiện thì điểm Mo(xo, y) được gọi là điểm cực đại cục bộ của hàm /(x, y); nếu với mọi Dx, Du thỏa mãn điều kiện | thì điểm Mo(xo,yo) được gọi là điểm cực tiểu cục bộ mỏng. Nói cách khác, điểm M0(x0, y0) là điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm /(x, y) nếu có 6 lân cận của điểm A/o(x0, y0) sao cho điểm M(x, y) của hàm này trong lân cận thì độ tăng của hàm giữ nguyên dấu. Ví dụ. 1. Đối với điểm chức năng - điểm tối thiểu (Hình 17). 2. Đối với hàm, điểm 0(0,0) là điểm cực đại (Hình 18). 3. Đối với hàm số, điểm 0(0,0) là điểm cực đại cục bộ. 4 Trong thực tế, có một lân cận của điểm 0(0, 0), ví dụ, một đường tròn có bán kính j (xem Hình 19), tại bất kỳ điểm nào của nó, khác với điểm 0(0,0), giá trị của hàm /(x,y) nhỏ hơn 1 = Chúng ta sẽ chỉ xem xét các điểm cực đại và cực tiểu nghiêm ngặt của hàm khi bất đẳng thức nghiêm ngặt hoặc bất đẳng thức nghiêm ngặt được thỏa mãn cho tất cả các điểm M(x) y) từ một số lân cận 6 bị thủng của điểm Mq. Giá trị của hàm tại điểm cực đại được gọi là cực đại và giá trị của hàm tại điểm cực tiểu được gọi là cực tiểu của hàm này. Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi là điểm cực trị của hàm số, còn điểm cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi là điểm cực trị của hàm số đó. 18 Hình 20 đạo hàm immt chuyển về 0 tại. Nhưng chức năng này không phù hợp với tính chất của đàn.< 0. Если же то в точке Мо(жо> Điểm cực trị của hàm f(x, y) có thể tồn tại hoặc không. Trong trường hợp này, cần phải nghiên cứu thêm. m Chúng ta hãy giới hạn ở việc chứng minh các mệnh đề 1) và 2) của định lý. Chúng ta hãy viết công thức Taylor bậc hai cho hàm /(i, y): ở đâu. Theo điều kiện, có thể thấy rằng dấu của số gia D/ được xác định bởi dấu của tam thức ở vế phải của (1), tức là dấu của vi phân thứ hai d2f. Hãy biểu thị nó cho ngắn gọn. Khi đó đẳng thức (l) có thể được viết như sau: Giả sử tại điểm MQ(so, V0) ta có... Vì theo điều kiện, đạo hàm riêng bậc hai của hàm f(s, y) là liên tục nên bất đẳng thức (3) cũng sẽ đúng tại một lân cận nào đó của điểm M0(s0,yo). Nếu điều kiện được thỏa mãn (tại điểm А/0 và do tính liên tục, đạo hàm /,z(s,y) sẽ giữ nguyên dấu của nó trong một lân cận nhất định của điểm Af0. Trong vùng mà А Ф 0, Từ đó chúng ta có rõ ràng rằng nếu ЛС - В2 > 0 trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0) y0), thì dấu của tam thức AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 trùng với dấu của A tại điểm đó. (vì vậy, V0) (cũng như với dấu của C, vì đối với AC - B2 > 0 A và C không thể có dấu khác nhau). Vì dấu của tổng AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 tại điểm (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) xác định dấu hiệu của hiệu nên ta đi đến kết luận sau: nếu với hàm /(s,y) tại điều kiện điểm dừng (s0, V0) khi đó với || đủ nhỏ bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn. Như vậy, tại điểm (sq, V0) hàm /(s, y) có giá trị cực đại. Nếu điều kiện tại điểm dừng (s0, y0) được thỏa mãn thì với mọi |Dr| đủ nhỏ và |Du| bất đẳng thức đúng, có nghĩa là tại điểm (so,yo), hàm /(s, y) có giá trị cực tiểu. Ví dụ. 1. Xét hàm số cho một cực trị 4 Sử dụng các điều kiện cần cho một cực trị, ta tìm điểm dừng của hàm số. Để làm điều này, chúng ta tìm đạo hàm riêng u và đánh đồng chúng bằng 0. Chúng ta thu được hệ phương trình từ đâu - một điểm dừng. Bây giờ chúng ta sử dụng Định lý 12. Chúng ta có Điều này nghĩa là có một điểm cực trị tại điểm Ml. Bởi vì đây là mức tối thiểu. Nếu chúng ta chuyển hàm r về dạng, dễ dàng thấy vế phải (“) sẽ cực tiểu khi hàm số này đạt cực tiểu tuyệt đối. 2. Xét hàm số để tìm điểm cực trị. Chúng ta tìm các điểm dừng của hàm, từ đó chúng ta soạn một hệ phương trình sao cho điểm đó đứng yên. Vì theo Định lý 12, không có điểm cực trị tại điểm M. * 3. Xét cực trị của hàm số. Từ hệ phương trình ta thu được điều đó nên điểm đứng yên. Hơn nữa, chúng ta có Định lý 12 không trả lời câu hỏi về sự có mặt hay vắng mặt của một cực trị. Hãy làm theo cách này. Đối với một hàm bao gồm tất cả các điểm khác với điểm đó, theo định nghĩa, và điểm A/o(0,0) thì hàm r có mức tối thiểu tuyệt đối. Bằng các phép tính tương tự, chúng ta chứng minh được rằng hàm số có cực đại tại điểm, nhưng hàm số không có cực trị tại điểm đó. Giả sử hàm số n biến độc lập khả vi tại một điểm. Điểm Mo được gọi là điểm dừng của hàm nếu Định lý 13 (có đủ điều kiện để đạt cực trị). Giả sử hàm số được xác định và có đạo hàm riêng liên tục bậc hai trong một lân cận nào đó của số mịn Mt(xi..., là hàm số ổn định nếu dạng bậc hai (vi phân bậc hai của hàm f trong số mịn là dương xác định (xác định âm), điểm cực tiểu (tương ứng, cực đại mịn) của hàm f là ổn. Nếu dạng bậc hai (4) xen kẽ dấu thì không có cực trị nào trong phạt LG0. dạng bậc hai (4) là xác định dương hoặc xác định âm, chẳng hạn, bạn có thể sử dụng tiêu chuẩn Sylvester cho tính chắc chắn của dạng bậc hai. 15.2. Cho đến nay, chúng ta vẫn đang tìm kiếm cực trị địa phương của. một hàm trong toàn bộ miền định nghĩa của nó, khi các đối số của hàm không bị ràng buộc bởi bất kỳ điều kiện bổ sung nào. Tuy nhiên, các vấn đề về việc tìm cái gọi là cực trị có điều kiện thường gặp phải. (x, y) được xác định trong miền D. Giả sử rằng một đường cong L được cho trong miền này và chúng ta chỉ cần tìm cực trị của hàm f(x> y) trong số các giá trị của nó mà tương ứng với các điểm của đường cong L. Các cực trị tương tự được gọi là cực trị có điều kiện của hàm z = f(x) y) trên đường cong L. Định nghĩa Người ta nói rằng tại một điểm nằm trên đường cong L, hàm /(x , y) đạt cực đại (tối thiểu) có điều kiện nếu bất đẳng thức được thỏa mãn tại mọi điểm M(s,y)y) đường cong L, thuộc lân cận nào đó của điểm M0(x0, V0) và khác với điểm M0 (Nếu đường cong L được cho bởi một phương trình, khi đó bài toán là tìm cực trị có điều kiện của hàm số r - f(x,y) trên đường cong! có thể biểu thức như sau: tìm cực trị của hàm x = /(z, y) trong miền D, với điều kiện là khi tìm cực trị có điều kiện của hàm z = y) thì các đối số của linh dương đầu bò không còn có thể biểu diễn như sau: được coi là các biến độc lập: chúng liên hệ với nhau bởi quan hệ y ) = 0, gọi là phương trình ghép. Để làm rõ sự khác biệt giữa cực trị vô điều kiện và cực trị có điều kiện, chúng ta hãy xem một ví dụ, cực đại vô điều kiện của hàm (Hình 2). 23) bằng 1 và đạt được tại điểm (0,0). Nó tương ứng với điểm M - đỉnh của pvvboloid. Ta cộng phương trình kết nối y = j. Khi đó mức tối đa có điều kiện rõ ràng sẽ bằng nó. Nó đạt được tại điểm (o,|), và nó tương ứng với đỉnh Afj của quả bóng, là đường giao nhau của quả bóng với mặt phẳng y = j. Trong trường hợp mvximum vô điều kiện, chúng ta có mvximum ứng dụng trong số tất cả vpplicvt của bề mặt * = 1 - l;2 ~ y1; summvv có điều kiện - chỉ trong số tất cả các điểm của pvraboloidv, tương ứng với điểm * của đường thẳng y = j không thuộc mặt phẳng xOy. Một trong những phương pháp tìm cực trị có điều kiện của hàm khi có mặt và kết nối như sau. Câu hỏi về sự tồn tại và bản chất của cực trị điều kiện được giải quyết trên cơ sở nghiên cứu dấu vi phân bậc hai của hàm Lagrange đối với hệ giá trị đang xét x0, V0, A, thu được từ (8) với điều kiện If , thì tại điểm (x0, V0) hàm /(x, y ) có mức cực đại có điều kiện; nếu d2F > 0 - thì mức tối thiểu có điều kiện. Cụ thể, nếu tại một điểm dừng (xo, J/o) định thức D của hàm F(x, y) là dương thì tại điểm (®o, V0) có cực đại có điều kiện của hàm f( x, y), if và điều kiện tối thiểu của hàm /(x, y), if Ví dụ. Chúng ta hãy quay lại các điều kiện của ví dụ trước: tìm cực trị của hàm với điều kiện x + y = 1. Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Hàm Lagrange trong trường hợp này có dạng Để tìm điểm dừng, ta lập hệ từ hai phương trình đầu tiên của hệ ta thu được x = y. Khi đó từ phương trình thứ ba của hệ (phương trình liên thông) ta tìm được x - y = j là tọa độ điểm cực trị có thể có. Trong trường hợp này (được chỉ ra rằng A = -1. Do đó, hàm Lagrange. là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm * = x2 + y2 trong điều kiện Không có cực trị vô điều kiện cho hàm Lagrange. P(x, y ) chưa có nghĩa là không có cực trị điều kiện của hàm /(x, y) khi có một kết nối Ví dụ. Tìm cực trị của hàm theo điều kiện y 4 Ta soạn hàm Lagrange và viết hệ phương trình cho xác định A và tọa độ các điểm cực trị có thể có: Từ hai phương trình đầu ta thu được x + y = 0 và từ đó ta suy ra hệ x = y = A = 0. Như vậy, hàm Lagrange tương ứng có dạng Tại điểm (0,0), hàm F(x, y; 0) không có cực trị vô điều kiện, tuy nhiên, có một cực trị có điều kiện của hàm r = xy khi y = x. Từ đây rõ ràng rằng tại điểm (0,0) có một điểm cực tiểu có điều kiện "Phương pháp nhân Lagrange được mở rộng cho trường hợp hàm có số lượng đối số bất kỳ. Chúng ta hãy tìm cực trị của hàm khi có mặt của các phương trình kết nối. Chúng ta hãy soạn hàm Lagrange trong đó A|, Az,..., A, là các hằng số không xác định. Bằng 0 tất cả các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm F và cộng các phương trình nối (9) vào các phương trình thu được, ta thu được hệ phương trình n + m, từ đó xác định Ab A3|..., At và tọa độ x \) x2). » xn điểm cực trị có thể có. Câu hỏi liệu các điểm được tìm thấy bằng phương pháp Lagrange có thực sự là các điểm cực trị có điều kiện hay không thường có thể được giải quyết dựa trên việc xem xét bản chất vật lý hoặc hình học. 15.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm z = /(x, y), liên tục trong một miền giới hạn đóng nào đó D. Theo Định lý 3, trong vùng này có một điểm (xo, V0) tại đó hàm số lấy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Nếu điểm (xo, y0) nằm bên trong miền D thì hàm / có giá trị cực đại (cực tiểu) trong đó, nên trong trường hợp này điểm mà chúng ta quan tâm nằm trong số các điểm tới hạn của hàm /(x, y). Tuy nhiên, hàm /(x, y) có thể đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại ranh giới của vùng. Do đó, để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) mà hàm z = /(x, y) lấy trong vùng đóng giới hạn 2), bạn cần tìm tất cả các cực đại (tối thiểu) của hàm đạt được bên trong vùng này, cũng như giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm ở đường viền của vùng này. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong tất cả các số này sẽ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) mong muốn của hàm z = /(x,y) trong vùng 27. Chúng ta hãy chỉ ra cách thực hiện điều này trong trường hợp hàm khả vi. Prmmr. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong vùng 4. Chúng ta tìm các điểm tới hạn của hàm bên trong vùng D. Để làm điều này, chúng ta soạn một hệ phương trình từ đây chúng ta thu được x = y « 0, sao cho điểm 0 (0,0) là điểm tới hạn của hàm x. Vì Bây giờ chúng ta hãy tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên ranh giới Г của miền D. Trên một phần của ranh giới, chúng ta có y = 0 là điểm tới hạn và vì = nên tại điểm này hàm z = 1 + y2 có giá trị tối thiểu bằng một. Tại hai đầu đoạn Г", tại các điểm (, ta có. Sử dụng phép xét tính đối xứng, ta thu được kết quả tương tự cho các phần khác của đường biên. Cuối cùng ta thu được: giá trị nhỏ nhất của hàm z = x2+y2 trong miền "B bằng 0 và nó đạt được tại vùng điểm 0(0, 0) bên trong và giá trị tối đa của hàm này, bằng hai, đạt được tại bốn điểm của ranh giới (Hình 25) Hình 25 Bài tập Tìm miền định nghĩa của hàm số: Xây dựng đường mức của hàm số: 9 Tìm mặt phẳng mức của hàm số ba biến độc lập: Tính các hàm giới hạn: Tìm đạo hàm riêng của hàm số và vi phân tổng của chúng: Tìm đạo hàm của phức hàm số: 3 Tìm J. Cực trị của hàm nhiều biến Khái niệm cực trị của hàm nhiều biến Điều kiện cần và đủ của một cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục 34. Sử dụng công thức đạo hàm của hàm phức hai biến, tìm và hàm: 35. Sử dụng công thức đạo hàm hàm phức hai biến, find |J và hàm: Tìm hàm jj cho ẩn: 40. Tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến tại giao điểm của nó với đường thẳng x = 3. 41. Tìm các điểm tại đó tiếp tuyến của đường cong x song song với trục Ox. . Trong các bài toán sau, tìm và T: Viết phương trình mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt phẳng: 49. Viết phương trình mặt phẳng tiếp tuyến của mặt phẳng x2 + 2y2 + 3z2 = 21, song song với mặt phẳng x + 4y + 6z = 0. Tìm ba hoặc bốn số hạng đầu tiên của khai triển bằng công thức Taylor : 50. y trong lân cận điểm (0, 0).