Dạng chuẩn của đa thức. Bài “dạng chuẩn của đa thức”

Đa thức là tổng của các đơn thức. Nếu tất cả các số hạng của đa thức được viết ở dạng chuẩn (xem đoạn 51) và các số hạng tương tự được rút gọn, bạn sẽ có được một đa thức có dạng chuẩn.

Bất kỳ biểu thức số nguyên nào cũng có thể được chuyển đổi thành đa thức ở dạng chuẩn - đây là mục đích của việc biến đổi (đơn giản hóa) các biểu thức số nguyên.

Chúng ta hãy xem các ví dụ trong đó toàn bộ biểu thức cần được rút gọn về dạng chuẩn của đa thức.

Giải pháp. Đầu tiên, hãy đưa các số hạng của đa thức về dạng chuẩn. Ta thu được Sau khi đưa các số hạng tương tự ta thu được đa thức có dạng chuẩn

Giải pháp. Nếu có dấu cộng ở phía trước dấu ngoặc thì có thể bỏ dấu ngoặc, giữ nguyên dấu của tất cả các số hạng nằm trong ngoặc. Sử dụng quy tắc này để mở dấu ngoặc đơn, chúng ta có:

Giải pháp. Nếu dấu ngoặc đơn đứng trước dấu trừ thì có thể bỏ dấu ngoặc đơn bằng cách thay đổi dấu của tất cả các số hạng nằm trong ngoặc. Sử dụng quy tắc này để ẩn dấu ngoặc đơn, chúng tôi nhận được:

Giải pháp. Tích của một đơn thức và một đa thức, theo định luật phân phối, bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng phần tử của đa thức đó. chúng tôi nhận được

Giải pháp. Chúng tôi có

Vẫn còn phải đưa ra các thuật ngữ tương tự (chúng được gạch chân). Chúng tôi nhận được:

53. Công thức nhân viết tắt.

Trong một số trường hợp, việc đưa toàn bộ biểu thức về dạng chuẩn của đa thức được thực hiện bằng cách sử dụng các nhận dạng:

Những đồng nhất thức này được gọi là các công thức nhân rút gọn,

Hãy xem các ví dụ trong đó bạn cần chuyển đổi một biểu thức đã cho thành dạng myogochlea tiêu chuẩn.

Ví dụ 1. .

Giải pháp. Sử dụng công thức (1), chúng tôi có được:

Ví dụ 2. .

Giải pháp.

Ví dụ 3. .

Giải pháp. Sử dụng công thức (3), chúng tôi có được:

Ví dụ 4.

Giải pháp. Sử dụng công thức (4), chúng tôi có được:

54. Phân tích thành nhân tử đa thức.

Đôi khi bạn có thể biến đổi một đa thức thành tích của một số thừa số - đa thức hoặc đơn thức con. Phép biến đổi nhận dạng như vậy được gọi là phân tích nhân tử của đa thức. Trong trường hợp này, đa thức được cho là chia hết cho từng thừa số này.

Hãy xem xét một số cách phân tích đa thức,

1) Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Sự biến đổi này là hệ quả trực tiếp của định luật phân phối (để rõ ràng, bạn chỉ cần viết lại định luật này “từ phải sang trái”):

Ví dụ 1: Phân tích nhân tử đa thức

Giải pháp. .

Thông thường, khi lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc, mỗi biến có trong tất cả các số hạng của đa thức sẽ được lấy ra với số mũ thấp nhất mà nó có trong đa thức này. Nếu tất cả các hệ số của đa thức là số nguyên thì mô đun lớn nhất được lấy làm hệ số của thừa số chung ước số chung mọi hệ số của đa thức.

2) Sử dụng công thức nhân rút gọn. Các công thức (1) - (7) từ đoạn 53, được đọc từ phải sang trái, trong nhiều trường hợp hóa ra lại hữu ích cho việc phân tích thành nhân tử của đa thức.

Ví dụ 2. Phân tích nhân tử.

Giải pháp. Chúng tôi có. Áp dụng công thức (1) (hiệu các bình phương), ta thu được . Bằng cách áp dụng

Bây giờ công thức (4) và (5) (tổng lập phương, hiệu lập phương), ta có:

Ví dụ 3. .

Giải pháp. Đầu tiên, hãy đặt nó ra khỏi ngoặc số nhân chung. Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm ước chung lớn nhất của các hệ số 4, 16, 16 và số mũ nhỏ nhất mà các biến a và b được đưa vào các thành phần đa thức đã chođơn thức. Chúng tôi nhận được:

3) Phương pháp phân nhóm. Nó dựa trên thực tế là nó có tính giao hoán và luật kết hợp phép cộng cho phép bạn nhóm các số hạng của đa thức theo nhiều cách khác nhau. Đôi khi có thể nhóm theo cách sao cho sau khi lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc, đa thức giống nhau vẫn nằm trong ngoặc trong mỗi nhóm, do đó, với tư cách là thừa số chung, có thể được lấy ra khỏi ngoặc. Hãy xem xét các ví dụ về phân tích một đa thức.

Ví dụ 4. .

Giải pháp. Hãy thực hiện việc phân nhóm như sau:

Trong nhóm đầu tiên, hãy đưa thừa số chung ra khỏi ngoặc vào nhóm thứ hai - thừa số chung 5. Chúng ta nhận được Bây giờ chúng ta đặt đa thức làm thừa số chung ra khỏi ngoặc: Do đó, chúng ta có:

Ví dụ 5.

Giải pháp. .

Ví dụ 6.

Giải pháp. Ở đây, không có cách nhóm nào sẽ dẫn đến sự xuất hiện của cùng một đa thức trong tất cả các nhóm. Trong những trường hợp như vậy, đôi khi việc biểu diễn một phần tử của đa thức dưới dạng tổng là rất hữu ích, sau đó thử lại phương pháp nhóm. Trong ví dụ của chúng tôi, nên biểu diễn nó dưới dạng tổng.

Ví dụ 7.

Giải pháp. Cộng và trừ một đơn thức Chúng ta nhận được

55. Đa thức trong một biến.

Đa thức trong đó a, b là các số thay đổi được gọi là đa thức bậc một; một đa thức trong đó a, b, c là các số thay đổi, gọi là đa thức bậc hai hoặc tam thức bậc hai; đa thức trong đó a, b, c, d là các số thì biến được gọi là đa thức bậc ba.

Nói chung, nếu o là một biến thì đó là đa thức

gọi là độ lsmogochnolenol (so với x); , m-số hạng của đa thức, các hệ số, số hạng dẫn đầu của đa thức, a là hệ số của số hạng dẫn đầu, số hạng tự do của đa thức. Thông thường, một đa thức được viết theo lũy thừa giảm dần của một biến, tức là lũy thừa của một biến giảm dần, cụ thể, số hạng dẫn đầu ở vị trí đầu tiên và số hạng tự do ở vị trí cuối cùng. Bậc của đa thức là bậc của số hạng cao nhất.

Ví dụ, một đa thức bậc năm, trong đó số hạng đứng đầu, 1, là số hạng tự do của đa thức.

Căn nguyên của đa thức là giá trị tại đó đa thức trở thành 0. Ví dụ: số 2 là nghiệm của một đa thức vì

Trong bài học này, chúng ta sẽ nhắc lại các định nghĩa cơ bản của chủ đề này và xem xét một số bài toán điển hình, đó là đưa đa thức về dạng chuẩn và tính giá trị số của giá trị đã cho các biến. Chúng ta sẽ giải một số ví dụ trong đó việc rút gọn về dạng chuẩn sẽ được sử dụng để giải các loại nhiệm vụ.

Chủ thể:Đa thức. phép tính số học trên đơn thức

Bài học:Rút gọn đa thức về dạng chuẩn. Nhiệm vụ điển hình

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa cơ bản: đa thức là tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức là một phần của đa thức được gọi là thành viên của nó. Ví dụ:

Nhị thức;

Đa thức;

Nhị thức;

Vì một đa thức bao gồm các đơn thức, nên hành động đầu tiên với đa thức sẽ diễn ra từ đây - bạn cần đưa tất cả các đơn thức về dạng chuẩn. Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng để làm được điều này, bạn cần nhân tất cả các hệ số bằng số - nhận hệ số số, và nhân lên độ tương ứng- lấy phần chữ cái. Ngoài ra, chúng ta hãy chú ý đến định lý về tích lũy thừa: khi nhân lũy thừa thì số mũ của chúng cộng lại.

Hãy xem xét hoạt động quan trọng- Đưa đa thức về dạng chuẩn. Ví dụ:

Nhận xét: để đưa đa thức về dạng chuẩn, bạn cần đưa tất cả các đơn thức có trong thành phần của nó về dạng chuẩn, sau đó, nếu có các đơn thức tương tự - và đây là các đơn thức có cùng phần chữ cái - hãy thực hiện các hành động với chúng .

Vì vậy, chúng ta đã xem xét vấn đề điển hình đầu tiên - đưa đa thức về dạng chuẩn.

Kế tiếp nhiệm vụ điển hình- tính toán ý nghĩa cụ thểđa thức cho trước giá trị số các biến có trong đó. Hãy tiếp tục xem ví dụ trước và đặt giá trị cho các biến:

Nhận xét: nhớ lại rằng một đơn vị trong bất kỳ bằng cấp tự nhiên bằng một và bằng 0 với mọi sức mạnh tự nhiên bằng 0 Ngoài ra, hãy nhớ rằng khi nhân bất kỳ số nào với 0, chúng ta sẽ nhận được số 0.

Chúng ta hãy xem một số ví dụ về các hoạt động điển hình của việc giảm đa thức về dạng chuẩn và tính giá trị của nó:

Ví dụ 1 - đưa về dạng chuẩn:

Nhận xét: bước đầu tiên là đưa các đơn thức về dạng chuẩn, cần đưa các đơn thức thứ nhất, thứ hai và thứ sáu; hành động thứ hai - chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự, nghĩa là chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ nhất định trên chúng các phép tính số học: chúng ta thêm cái thứ nhất với cái thứ năm, cái thứ hai với cái thứ ba, phần còn lại được viết lại mà không thay đổi, vì chúng không có cái nào giống nhau.

Ví dụ 2 - tính giá trị của đa thức từ ví dụ 1 với giá trị của các biến:

Nhận xét: Khi tính lũy thừa các em nên nhớ đơn vị của lũy thừa tự nhiên là một; nếu khó tính lũy thừa của 2 thì có thể sử dụng bảng lũy thừa.

Ví dụ 3 - thay vì dấu hoa thị, hãy đặt một đơn thức sao cho kết quả không chứa biến:

Nhận xét: bất kể nhiệm vụ nào, hành động đầu tiên luôn giống nhau - đưa đa thức về dạng chuẩn. Trong ví dụ của chúng tôi, hành động này dẫn đến việc đưa ra các điều khoản tương tự. Sau đó, bạn nên đọc kỹ điều kiện một lần nữa và suy nghĩ về cách loại bỏ đơn thức. Rõ ràng, để làm được điều này bạn cần thêm đơn thức tương tự vào nó, nhưng với dấu hiệu ngược lại- . Tiếp theo, chúng tôi thay thế dấu hoa thị bằng đơn thức này và đảm bảo rằng giải pháp của chúng tôi là chính xác.

Khi nghiên cứu chủ đề đa thức, điều đáng nói riêng là đa thức xảy ra ở cả dạng chuẩn và dạng không chuẩn. Trong trường hợp này, đa thức có dạng không chuẩn có thể được rút gọn thành dạng chuẩn. Trên thực tế, câu hỏi này sẽ được thảo luận trong bài viết này. Hãy củng cố phần giải thích bằng các ví dụ có mô tả chi tiết từng bước.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ý nghĩa của việc rút gọn đa thức về dạng chuẩn

Chúng ta hãy đi sâu hơn một chút vào bản thân khái niệm, hành động - “đưa đa thức về dạng chuẩn”.

Đa thức, giống như bất kỳ biểu thức nào khác, có thể được biến đổi giống hệt nhau. Kết quả là, trong trường hợp này, chúng ta thu được các biểu thức giống hệt với biểu thức ban đầu.

Định nghĩa 1

Rút gọn đa thức về dạng chuẩn– có nghĩa là thay thế đa thức ban đầu bằng một đa thức bằng nhau có dạng chuẩn, thu được từ đa thức ban đầu bằng các phép biến đổi giống hệt nhau.

Phương pháp rút gọn đa thức về dạng chuẩn

Chúng ta hãy suy đoán về chủ đề chính xác những phép biến đổi đồng nhất nào sẽ dẫn đa thức về dạng chuẩn.

Định nghĩa 2

Theo định nghĩa, mỗi đa thức có dạng chuẩn bao gồm các đơn thức có dạng chuẩn và không chứa các số hạng giống nhau. Một đa thức có dạng không chuẩn có thể bao gồm các đơn thức có dạng không chuẩn và các số hạng tương tự. Từ những điều trên, một quy tắc được suy ra một cách tự nhiên về cách rút gọn đa thức về dạng chuẩn:

trước hết, các đơn thức tạo nên một đa thức đã cho được rút gọn về dạng chuẩn;
sau đó việc cắt giảm các thành viên tương tự được thực hiện.

Ví dụ và giải pháp

Chúng ta hãy xem xét các ví dụ chi tiết trong đó chúng ta rút gọn đa thức về dạng chuẩn. Chúng ta sẽ tuân theo quy tắc rút ra ở trên.

Lưu ý rằng đôi khi các thuật ngữ của đa thức ở trạng thái ban đầu đã có dạng chuẩn và tất cả những gì còn lại là đưa ra các thuật ngữ tương tự. Điều đó xảy ra là sau bước hành động đầu tiên không có thuật ngữ nào như vậy thì chúng ta bỏ qua bước thứ hai. Trong trường hợp chung, cần phải thực hiện cả hai hành động theo quy tắc trên.

Ví dụ 1

Đa thức được cho:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Cần phải đưa chúng về dạng chuẩn.

Giải pháp

Trước tiên chúng ta xét đa thức 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : các thành viên của nó có dạng chuẩn, không có số hạng tương tự, có nghĩa là đa thức được chỉ định ở dạng chuẩn và không cần thực hiện thêm hành động nào.

Bây giờ chúng ta hãy xét đa thức 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Nó bao gồm các đơn thức không chuẩn: 2 · a 3 · 0, 6 và − b · a · b 4 · b 5, tức là. chúng ta cần đưa đa thức về dạng chuẩn, bước đầu tiên là chuyển đổi các đơn thức thành dạng chuẩn:

2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , do đó ta thu được đa thức sau:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

Trong đa thức thu được, tất cả các số hạng đều chuẩn, không có số hạng nào giống nhau, nghĩa là hành động của chúng ta để đưa đa thức về dạng chuẩn đã hoàn thành.

Xét đa thức thứ ba đã cho: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Hãy đưa các thành viên của nó về dạng chuẩn và nhận được:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Ta thấy đa thức chứa các phần tử giống nhau, hãy đưa các phần tử giống nhau:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Do đó, đa thức đã cho 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 có dạng chuẩn − x y + 1 .

Trả lời:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- đa thức được đặt làm tiêu chuẩn;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

Trong nhiều bài toán, hành động rút gọn đa thức về dạng chuẩn chỉ mang tính trung gian khi tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi được đặt ra. Hãy xem xét ví dụ này.

Ví dụ 2

Đã cho đa thức 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Cần phải đưa nó về dạng chuẩn, biểu thị bậc của nó và sắp xếp các số hạng của đa thức đã cho theo bậc giảm dần của biến.

Giải pháp

Chúng ta hãy rút gọn các số hạng của đa thức đã cho về dạng chuẩn:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Bước tiếp theo Dưới đây là một số thuật ngữ tương tự:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Chúng ta đã thu được một đa thức có dạng chuẩn, cho phép chúng ta biểu thị bậc của đa thức (bằng bậc cao nhất của các đơn thức cấu thành của nó). Rõ ràng, mức độ yêu cầu là 5.

Tất cả những gì còn lại là sắp xếp các số hạng theo lũy thừa giảm dần của các biến. Với mục đích này, chúng ta chỉ cần sắp xếp lại các số hạng ở dạng đa thức thu được ở dạng chuẩn, có tính đến yêu cầu. Vì vậy, chúng tôi nhận được:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Trả lời:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, trong khi mức độ đa thức – 5; là kết quả của việc sắp xếp các số hạng của đa thức theo bậc giảm dần đa thức biến sẽ có dạng: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Trong bài học này, chúng ta sẽ nhắc lại các định nghĩa cơ bản của chủ đề này và xem xét một số vấn đề điển hình, đó là rút gọn đa thức về dạng chuẩn và tính giá trị số cho các giá trị cho trước của các biến. Chúng ta sẽ giải một số ví dụ trong đó việc rút gọn về dạng chuẩn sẽ được sử dụng để giải các loại vấn đề khác nhau.

Chủ thể:Đa thức. Các phép toán trên đơn thức

Bài học:Rút gọn đa thức về dạng chuẩn. Nhiệm vụ điển hình

Nhị thức;

Đa thức;

Nhị thức;

Vì một đa thức bao gồm các đơn thức, nên hành động đầu tiên với đa thức sẽ diễn ra từ đây - bạn cần đưa tất cả các đơn thức về dạng chuẩn. Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng để làm được điều này, bạn cần nhân tất cả các thừa số bằng số - lấy hệ số bằng số và nhân các lũy thừa tương ứng - lấy phần chữ cái. Ngoài ra, chúng ta hãy chú ý đến định lý về tích lũy thừa: khi nhân các lũy thừa thì số mũ của chúng cộng lại.

Hãy xem xét một thao tác quan trọng - chuyển đa thức về dạng chuẩn. Ví dụ:

Vì vậy, chúng ta đã xem xét vấn đề điển hình đầu tiên - đưa đa thức về dạng chuẩn.

Bài toán điển hình tiếp theo là tính giá trị cụ thể của một đa thức cho các giá trị số cho trước của các biến có trong nó. Hãy tiếp tục xem ví dụ trước và đặt giá trị cho các biến:

Nhận xét: chúng ta hãy nhớ lại rằng một với bất kỳ lũy thừa tự nhiên nào đều bằng một, và 0 với bất kỳ lũy thừa tự nhiên nào cũng bằng 0, ngoài ra, chúng ta nhớ lại rằng khi nhân bất kỳ số nào với 0, chúng ta sẽ bằng 0.

Chúng ta hãy xem một số ví dụ về các hoạt động điển hình của việc giảm đa thức về dạng chuẩn và tính giá trị của nó:

Ví dụ 1 - đưa về dạng chuẩn:

Nhận xét: bước đầu tiên là đưa các đơn thức về dạng chuẩn, cần đưa các đơn thức thứ nhất, thứ hai và thứ sáu; hành động thứ hai - chúng tôi đưa ra các thuật ngữ tương tự, nghĩa là chúng tôi thực hiện các phép tính số học đã cho trên chúng: chúng tôi thêm số thứ nhất với số thứ năm, số thứ hai với số thứ ba, chúng tôi viết lại phần còn lại mà không thay đổi, vì chúng không có số nào giống nhau.

Ví dụ 2 - tính giá trị của đa thức từ ví dụ 1 với giá trị của các biến:

Nhận xét: Khi tính lũy thừa các em nên nhớ đơn vị của lũy thừa tự nhiên là một; nếu khó tính lũy thừa của 2 thì có thể sử dụng bảng lũy thừa.

Ví dụ 3 - thay vì dấu hoa thị, hãy đặt một đơn thức sao cho kết quả không chứa biến:

Nhận xét: bất kể nhiệm vụ nào, hành động đầu tiên luôn giống nhau - đưa đa thức về dạng chuẩn. Trong ví dụ của chúng tôi, hành động này dẫn đến việc đưa ra các điều khoản tương tự. Sau đó, bạn nên đọc kỹ điều kiện một lần nữa và suy nghĩ về cách loại bỏ đơn thức. Rõ ràng, để làm điều này, bạn cần thêm cùng một đơn thức vào nó, nhưng với dấu ngược lại - . Tiếp theo, chúng tôi thay thế dấu hoa thị bằng đơn thức này và đảm bảo rằng giải pháp của chúng tôi là chính xác.

Chúng ta đã nói rằng có cả đa thức chuẩn và đa thức phi chuẩn. Ở đó chúng tôi lưu ý rằng bất cứ ai cũng có thể đưa đa thức về dạng chuẩn. Trong bài viết này, trước tiên chúng ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa của cụm từ này. Tiếp theo chúng tôi liệt kê các bước để chuyển đổi bất kỳ đa thức nào thành dạng chuẩn. Cuối cùng, hãy xem xét các giải pháp ví dụ điển hình. Chúng tôi sẽ mô tả các giải pháp một cách chi tiết để hiểu tất cả các sắc thái phát sinh khi giảm đa thức về dạng chuẩn.

Điều hướng trang.

Việc rút gọn đa thức về dạng chuẩn có ý nghĩa gì?

Trước tiên, bạn cần hiểu rõ ý nghĩa của việc rút gọn đa thức về dạng chuẩn. Hãy tìm hiểu điều này.

Đa thức, giống như bất kỳ biểu thức nào khác, có thể chịu các phép biến đổi giống hệt nhau. Kết quả của việc thực hiện các phép biến đổi như vậy là các biểu thức thu được giống hệt với biểu thức ban đầu. Do đó, việc thực hiện một số phép biến đổi nhất định với các đa thức có dạng không chuẩn cho phép người ta chuyển sang các đa thức giống hệt chúng, nhưng được viết ở dạng chuẩn. Quá trình chuyển đổi này được gọi là giảm đa thức về dạng chuẩn.

Vì thế, rút gọn đa thức về dạng chuẩn- điều này có nghĩa là thay thế đa thức ban đầu bằng một đa thức bằng nhau giống hệt nhau có dạng chuẩn, thu được từ đa thức ban đầu bằng cách thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau.

Làm thế nào để giảm một đa thức về dạng chuẩn?

Hãy nghĩ xem những phép biến đổi nào sẽ giúp chúng ta đưa đa thức về dạng chuẩn. Chúng ta sẽ bắt đầu từ định nghĩa của đa thức dạng chuẩn.

Theo định nghĩa, mọi số hạng của đa thức dạng chuẩn đều là đơn thức có dạng chuẩn và đa thức có dạng chuẩn không chứa các số hạng tương tự. Ngược lại, các đa thức được viết ở dạng khác với dạng chuẩn có thể bao gồm các đơn thức ở dạng không chuẩn và có thể chứa các thuật ngữ tương tự. Điều này tuân theo một cách hợp lý quy tắc tiếp theo, giải thích cách rút gọn đa thức về dạng chuẩn:

trước tiên bạn cần đưa các đơn thức tạo nên đa thức ban đầu về dạng chuẩn,
sau đó thực hiện rút gọn các số hạng tương tự.

Kết quả là sẽ thu được một đa thức có dạng chuẩn, vì tất cả các số hạng của nó sẽ được viết ở dạng chuẩn và nó sẽ không chứa các số hạng tương tự.

Ví dụ, giải pháp

Chúng ta hãy xem các ví dụ về giảm đa thức về dạng chuẩn. Khi giải, chúng ta sẽ làm theo các bước theo quy tắc ở đoạn trước.

Ở đây chúng tôi lưu ý rằng đôi khi tất cả các thuật ngữ của đa thức được viết ngay ở dạng chuẩn; trong trường hợp này, chỉ cần đưa ra các thuật ngữ tương tự là đủ. Đôi khi, sau khi rút gọn các số hạng của đa thức về dạng chuẩn, không còn số hạng tương tự, do đó, giai đoạn đưa các số hạng tương tự bị bỏ qua trong trường hợp này. TRONG trường hợp chung bạn phải làm cả hai.

Ví dụ.

Trình bày các đa thức ở dạng chuẩn: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Và .

Giải pháp.

Tất cả các số hạng của đa thức 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 đều được viết ở dạng chuẩn; nó không có các số hạng tương tự, do đó, đa thức này đã được biểu diễn ở dạng chuẩn.

Hãy chuyển sang đa thức tiếp theo 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Dạng của nó không chuẩn, bằng chứng là các số hạng 2·a 3 ·0,6 và −b·a·b 4 ·b 5 có dạng không chuẩn. Hãy trình bày nó ở dạng chuẩn.

Ở giai đoạn đầu tiên đưa đa thức ban đầu về dạng chuẩn, chúng ta cần biểu diễn tất cả các số hạng của nó ở dạng chuẩn. Do đó, chúng ta chuyển đơn thức 2·a 3 ·0.6 về dạng chuẩn, chúng ta có 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 , sau đó chúng ta lấy đơn thức −b·a·b 4 ·b 5 , chúng ta có −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Như vậy, . Trong đa thức thu được, tất cả các thuật ngữ đều được viết ở dạng chuẩn; hơn nữa, rõ ràng là không có thuật ngữ nào tương tự trong đó. Do đó, điều này hoàn thành việc rút gọn đa thức ban đầu về dạng chuẩn.

Nó vẫn còn để trình bày đa thức cuối cùng đã cho ở dạng chuẩn. Sau khi đưa tất cả các thành viên của nó về dạng chuẩn, nó sẽ được viết là . Nó có các thành viên tương tự nhau, vì vậy bạn cần chọn các thành viên tương tự:

Vì vậy đa thức ban đầu có dạng chuẩn −x·y+1.

Trả lời:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – đã ở dạng chuẩn, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Thông thường, việc đưa đa thức về dạng chuẩn chỉ là bước trung gian để trả lời câu hỏi đặt ra cho bài toán. Ví dụ, việc tìm bậc của một đa thức đòi hỏi phải biểu diễn sơ bộ nó ở dạng chuẩn.

Ví dụ.

Cho một đa thức về dạng chuẩn, chỉ ra bậc của nó và sắp xếp các số hạng theo bậc giảm dần của biến.

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta đưa tất cả các số hạng của đa thức về dạng chuẩn: .

Bây giờ chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự:

Vì vậy, chúng tôi đã đưa đa thức ban đầu về dạng chuẩn, điều này cho phép chúng tôi xác định bậc của đa thức, bằng bậc cao nhất của các đơn thức có trong nó. Rõ ràng nó bằng 5.

Việc còn lại là sắp xếp các số hạng của đa thức theo lũy thừa giảm dần của các biến. Để làm điều này, bạn chỉ cần sắp xếp lại các số hạng ở dạng đa thức thu được ở dạng chuẩn, có tính đến yêu cầu. Bằng cấp lớn nhất có số hạng z 5, bậc của các số hạng , −0,5·z 2 và 11 lần lượt bằng 3, 2 và 0. Do đó, đa thức có các số hạng được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến sẽ có dạng .

Trả lời:

Bậc của đa thức là 5 và sau khi sắp xếp các số hạng của nó theo bậc giảm dần của biến, nó có dạng .

Tài liệu tham khảo.

Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7 giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.
đại số và bắt đầu phân tích toán học. lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; được chỉnh sửa bởi A. B. Zhizhchenko. - tái bản lần thứ 3. - M.: Giáo dục, 2010.- 368 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.