Đa thức và dạng chuẩn của nó
Đa thức là tổng của các đơn thức.
Các đơn thức tạo nên đa thức được gọi là phần tử của đa thức. Vậy các số hạng của đa thức 4x2y - 5xy + 3x -1 là 4x2y, -5xy, 3x và -1.
Nếu một đa thức gồm hai số hạng thì gọi là nhị thức, nếu gồm ba số hạng thì gọi là tam thức. Một đơn thức được coi là một đa thức bao gồm một số hạng.
Trong đa thức 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6, các số hạng 7x3y2 và -2y2x3 là các số hạng giống nhau vì chúng có cùng phần chữ cái. Các số hạng -12 và 6 không có phần chữ cái cũng tương tự. Các số hạng tương tự trong một đa thức được gọi là các số hạng cùng loại của đa thức và rút gọn điều khoản tương tự trong một đa thức - bằng cách đưa các số hạng tương tự của đa thức.
Ví dụ: chúng tôi trình bày các số hạng tương tự trong đa thức 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6.
Một đa thức được gọi là đa thức chế độ xem chuẩn, nếu mỗi số hạng của nó là đơn thức có dạng chuẩn và đa thức này không chứa các số hạng tương tự.
Bất kỳ đa thức nào cũng có thể được rút gọn về dạng chuẩn. Để làm được điều này, bạn cần trình bày từng thành viên của mình theo mẫu chuẩn và đưa ra các điều khoản tương tự.
Bậc của đa thức có dạng chuẩn là bậc lớn nhất của các đơn thức thành phần của nó.
Bậc của một đa thức tùy ý là bậc của một đa thức bằng nhau có dạng chuẩn.
Ví dụ: hãy tìm bậc của đa thức 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4:
8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.
Lưu ý rằng đa thức ban đầu bao gồm các đơn thức bậc sáu, nhưng khi rút gọn các số hạng tương tự, tất cả chúng đều bị rút gọn và kết quả là đa thức bậc ba, nghĩa là đa thức ban đầu có bậc 3!
Đa thức trong một biến
Một biểu thức có dạng trong đó có một số số và được gọi là đa thức bậc.
Hai đa thức được gọi là bằng nhau nếu chúng giá trị số trùng khớp với mọi giá trị. Các đa thức và bằng nhau khi và chỉ khi chúng trùng nhau, tức là hệ số cho độ bằng nhau các đa thức này giống nhau.
Khi chia một đa thức cho một đa thức (ví dụ: cho một “góc”), chúng ta thu được một đa thức (thương không đầy đủ) và phần dư - đa thức (trong trường hợp phần dư bằng 0, đa thức được gọi là riêng tư). Nếu là số bị chia và là số chia thì chúng ta biểu diễn đa thức dưới dạng. Trong trường hợp này, tổng các bậc của đa thức bằng bậc của đa thức và bậc của phần còn lại mức độ ít hơn dải phân cách..
Khái niệm đa thức. Bậc đa thức
Chúng ta sẽ gọi đa thức của biến x là biểu thức có dạng
anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,trong đó n - số tự nhiên; аn, an-1,..., a1, a0 - bất kỳ số nào được gọi là hệ số của đa thức này. Các biểu thức anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 gọi là số hạng của đa thức, a0 là số hạng tự do.
Chúng ta sẽ thường sử dụng các thuật ngữ sau: an - hệ số cho xn, an-1 - hệ số cho xn-1, v.v.
Ví dụ về đa thức là các biểu thức sau: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Ở đây, đối với đa thức thứ nhất, các hệ số là các số 0, 2, - 3, 3/7, ; trong trường hợp này, ví dụ, số 2 là hệ số của x3 và là số hạng tự do.
Một đa thức có các hệ số đều bằng 0 được gọi là 0.
Vì vậy, ví dụ, đa thức 0x2+0x+0 bằng 0.
Từ ký hiệu của một đa thức, rõ ràng nó bao gồm một số phần tử. Đây là nơi xuất phát thuật ngữ ‹‹đa thức>(nhiều thuật ngữ). Đôi khi một đa thức được gọi là đa thức. Thuật ngữ này xuất phát từ từ Hy Lạpπολι - nhiều và νομχ - thành viên.
Ta sẽ ký hiệu đa thức một biến x như sau: f(x), g(x), h(x), v.v. ví dụ, nếu đa thức đầu tiên trong số các đa thức trên được ký hiệu là f (x), thì chúng ta có thể viết: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.
Để ký hiệu đa thức đơn giản và gọn hơn, chúng ta đã thống nhất một số quy ước.
Những số hạng của đa thức khác 0 có hệ số bằng 0 không được viết ra. Ví dụ, thay vì f (x) =0x3+3x2+0x+5 họ viết: f (x) =3x2+5; thay vì g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Vậy mọi số cũng là đa thức. Một đa thức h (x) mà tất cả các hệ số đều bằng 0, tức là đa thức 0 được viết như sau: h(x) =0.
Các hệ số của đa thức không phải là thành viên tự do và bằng 1 cũng không được viết ra. Ví dụ, đa thức f (x) =2x3+1x2+7x+1 có thể được viết như sau: f (x) =x3+x2+7x+1.
Dấu ‹‹->> của hệ số âm được gán cho số hạng chứa hệ số này, tức là, ví dụ, đa thức f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) được viết là f (x ) =2x3 -3x2+7x-5. Hơn nữa, nếu hệ số không phải là số hạng tự do bằng - 1 thì dấu “-” được giữ trước số hạng tương ứng và đơn vị không được ghi. Ví dụ, nếu đa thức có dạng f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), thì nó có thể được viết như sau: f (x) =x3-x2+3x-1.
Câu hỏi có thể đặt ra: chẳng hạn, tại sao lại đồng ý thay 1x bằng x trong ký hiệu của một đa thức nếu biết rằng 1x = x với bất kỳ số x nào? Vấn đề là đẳng thức cuối cùng đúng nếu x là một số. Trong trường hợp của chúng tôi, x là một phần tử có tính chất tùy ý. Hơn nữa, chúng ta chưa có quyền coi mục 1x là tích của số 1 và phần tử x, bởi vì, chúng ta nhắc lại, x không phải là một số. Chính hoàn cảnh này đã khiến cho các quy ước trong cách viết trở thành đa thức. Và nếu chúng ta tiếp tục nói về tích của 2 và x mà không có lý do gì, thì chúng ta đang thừa nhận sự thiếu chặt chẽ.
Do quy ước viết đa thức nên ta chú ý đến chi tiết này. Ví dụ, nếu có một đa thức f (x) = 3x3-2x2-x+2, thì các hệ số của nó là các số 3, - 2, - 1,2. Tất nhiên, người ta có thể nói rằng các hệ số là các số 0, 3, - 2, - 1, 2, nghĩa là biểu diễn đa thức này: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.
Trong tương lai, để xác định, chúng tôi sẽ chỉ ra các hệ số, bắt đầu từ các hệ số khác 0, theo thứ tự chúng xuất hiện trong ký hiệu của đa thức. Do đó, các hệ số của đa thức f (x) = 2x5-x là các số 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Thực tế là mặc dù, ví dụ, số hạng với x2 không có trong ký hiệu, điều này chỉ có nghĩa là hệ số của nó bằng 0. Tương tự, không có số hạng tự do nào trong mục này vì nó bằng 0.
Nếu có một đa thức f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 và an≠0, thì số n được gọi là bậc của đa thức f (x) (hoặc người ta nói: f(x) - bậc thứ n) và viết Nghệ thuật. f(x)=n. Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhất và anxn là số hạng cao nhất của đa thức này.
Ví dụ: nếu f (x) =5x4-2x+3, thì st. f (x) =4, hệ số dẫn đầu - 5, số hạng dẫn đầu - 5x4.
Bây giờ chúng ta xét đa thức f(x) =a, trong đó a là một số khác 0. Bậc của đa thức này là bao nhiêu? Dễ dàng nhận thấy các hệ số của đa thức f(x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 được đánh số từ phải sang trái lần lượt là các số 0, 1, 2, …, n- 1, n và nếu an≠0 thì Art. f(x)=n. Điều này có nghĩa là bậc của một đa thức là số lớn nhất trong số các hệ số của nó khác 0 (với cách đánh số vừa được đề cập). Bây giờ chúng ta quay lại đa thức f (x) =a, a≠0 và đánh số các hệ số của nó từ phải sang trái bằng các số 0, 1, 2, ... hệ số a sẽ nhận số 0, và vì tất cả các số khác các hệ số bằng 0 thì đây là số hệ số khác 0 lớn nhất của một đa thức đã cho. Vì vậy, nghệ thuật. f(x) = 0.
Như vậy, các đa thức không độ là những số khác 0.
Vẫn còn phải tìm hiểu tình huống với bậc của đa thức bằng 0 là gì. Như đã biết, tất cả các hệ số của nó đều bằng 0 và do đó định nghĩa trên không thể áp dụng cho nó. Vì vậy, chúng tôi đã đồng ý không ấn định bất kỳ mức độ nào cho đa thức 0, tức là rằng anh ta không có bằng cấp. Quy ước này được gây ra bởi một số trường hợp, sẽ được thảo luận sau.
Vì vậy, đa thức 0 không có bậc; đa thức f(x) =a, trong đó a là số khác 0 và có bậc 0; bậc của bất kỳ đa thức nào khác, như dễ thấy, bằng số mũ lớn nhất của biến x, hệ số của nó bằng 0.
Để kết luận, chúng ta hãy nhớ lại một vài định nghĩa nữa. Đa thức bậc hai f (x) =ax2+bx+c được gọi là tam thức bình phương. Đa thức bậc một có dạng g (x) =x+c được gọi là nhị thức tuyến tính.
Sơ đồ của Horner.
Sơ đồ Horner là một trong những cách đơn giản nhất để chia đa thức cho nhị thức x-a. Tất nhiên, việc áp dụng sơ đồ Horner không chỉ giới hạn ở phép chia, nhưng trước tiên chúng ta hãy xem xét điều đó. Chúng tôi sẽ giải thích việc sử dụng thuật toán bằng các ví dụ. Chia cho. Chúng ta hãy lập một bảng gồm hai dòng: ở dòng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của đa thức theo thứ tự giảm dần của độ của biến. Xin lưu ý rằng đa thức đã cho không chứa x, tức là hệ số đứng trước x là 0. Vì chúng ta đang chia cho nên chúng ta viết một số ở dòng thứ hai:
Hãy bắt đầu điền vào các ô trống ở dòng thứ hai. Hãy viết số 5 vào ô trống đầu tiên, chỉ cần di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng đầu tiên:
Hãy điền vào ô tiếp theo theo nguyên tắc này:
Hãy điền vào cái thứ tư theo cách tương tự:
Đối với ô thứ năm, chúng tôi nhận được:
Và cuối cùng, đối với ô cuối cùng, thứ sáu, chúng ta có:
Vấn đề đã được giải quyết, việc còn lại là viết ra câu trả lời:
Như bạn có thể thấy, các số nằm ở dòng thứ hai (giữa dòng đầu tiên và dòng cuối cùng) là các hệ số của đa thức thu được sau khi chia cho. Số cuối cùng ở dòng thứ hai có nghĩa là phần dư của phép chia hoặc, giống như giá trị của đa thức tại. Do đó, nếu trong trường hợp của chúng ta phần dư bằng 0 thì các đa thức được chia hoàn toàn.
Kết quả cũng chỉ ra rằng 1 là nghiệm của đa thức.
Hãy đưa ra một ví dụ khác. Hãy chia đa thức cho. Chúng ta hãy quy định ngay rằng biểu thức phải được trình bày dưới dạng. Sơ đồ của Horner sẽ có chính xác -3.
Nếu mục tiêu của chúng ta là tìm tất cả các nghiệm của một đa thức thì sơ đồ Horner có thể được áp dụng nhiều lần liên tiếp cho đến khi chúng ta khai thác hết tất cả các nghiệm. Ví dụ: hãy tìm tất cả các nghiệm của một đa thức. Toàn bộ nghiệm phải được tìm kiếm trong số các ước của số hạng tự do, tức là trong số các ước số có 8. Nghĩa là các số -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 có thể là các số nguyên, ví dụ: 1:
Vì vậy, phần còn lại là 0, tức là sự thống nhất thực sự là gốc của đa thức này. Hãy thử kiểm tra lại thiết bị thêm vài lần nữa. Bảng mới Chúng tôi sẽ không tạo một cái cho việc này nhưng sẽ tiếp tục sử dụng cái trước đó:
Một lần nữa phần còn lại bằng không. Hãy tiếp tục bàn cho đến khi chúng ta dùng hết mọi thứ. giá trị có thể rễ:
Tóm lại: Tất nhiên phương pháp này sự lựa chọn không hiệu quả trong trường hợp chung, khi các nghiệm không phải là số nguyên, nhưng đối với các nghiệm nguyên thì phương pháp này khá tốt.
Rễ hợp lý của đa thức với hệ số nguyên Việc tìm nghiệm của một đa thức rất thú vị và khá thú vị. nhiệm vụ khó khăn, giải pháp vượt ra ngoài ranh giới khóa học toán học. Tuy nhiên, đối với các đa thức có hệ số nguyên, có một thuật toán liệt kê đơn giản cho phép bạn tìm tất cả các nghiệm hữu tỉ.
Định lý. Nếu một đa thức có hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ (- phân số không thể rút gọn),
thì tử số của phân số là ước số của số hạng tự do, và mẫu số là ước số của hệ số cao nhất của đa thức này.
Bằng chứng
Hãy viết đa thức dưới dạng hình thức kinh điển Hãy thay thế và loại bỏ các mẫu số bằng cách nhân với mức độ lớn nhất N:
Di chuyển thành viên sang phải
Tích số được chia cho số nguyên m. Theo điều kiện, phân số này là bất khả quy nên m và n là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó các số m sẽ nguyên tố cùng nhau và nếu tích của các số chia hết cho m và thừa số nguyên tố cùng nhau cho m thì thừa số thứ hai phải chia hết cho m.
Chứng minh tính chia hết của hệ số cao nhất cho mẫu số n được chứng minh theo cách tương tự, di chuyển số hạng sang phải và di chuyển hệ số n ra khỏi dấu ngoặc trái từ bên trái.
Chúng ta hãy đưa ra một vài nhận xét về định lý đã được chứng minh.
Ghi chú
1) Định lý chỉ cho điều kiện cần thiết sự tồn tại của một gốc hợp lý. Điều này có nghĩa là bạn cần kiểm tra mọi thứ số hữu tỉ, với thuộc tính được chỉ định trong định lý và chọn từ chúng những thuộc tính có gốc. Sẽ không có người khác.
2) Trong số các ước số, bạn không chỉ phải lấy số nguyên dương mà còn cả số nguyên âm.
3) Nếu hệ số cao nhất là 1 thì mọi nghiệm hữu tỷ phải là số nguyên, vì 1 không có ước nào ngoại trừ
Hãy để chúng tôi minh họa định lý và nhận xét nó bằng các ví dụ.
1) Các gốc hữu tỉ phải nguyên vẹn.
Chúng tôi sắp xếp các ước của số hạng tự do: số dương không có ích gì khi thay thế, vì tất cả các hệ số của đa thức đều dương và tại
Việc còn lại là tính F(–1) và F(–2). F(–1)=1+0; F(–2)=0.
Vậy đa thức có một toàn bộ gốc x=–2.
Chúng ta có thể chia F(x) cho x+2:
2) Viết các giá trị có thể có của các nghiệm:
Bằng cách thay thế, chúng ta tin rằng đa thức có ba phần tử khác nhau rễ hợp lý:
Tất nhiên, nghiệm x = -1 rất dễ đoán. Sau đó, bạn có thể nhân tử hóa và tìm kiếm gốc tam thức bậc hai bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường.
PHÂN CHIA ĐA THỨC. Thuật toán EUCLID
Chia đa thức
Kết quả của phép chia là một cặp đa thức - thương và số dư, phải thỏa mãn đẳng thức:< делимое > = < делитель > ´ < частное > + <… Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,Ví dụ số 1
6x 3 + x 2 – 3x – 2 2x 2 – x – 1
6x3 ± 3x2 ± 3x3x + 2
4x2 + 0x – 2
4x2 ± 2x ± 2
Do đó, 6x 3 + x 2 – 3x – 2 = (2x 2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.
Ví dụ số 2
a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4
± a 4 b ± a 3 b 2
– a 2 b 3 + b 5
± a 2 b 3 ± ab 4
Do đó, a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4).
Khái niệm đa thức
Định nghĩa đa thức: Đa thức là tổng của các đơn thức. Ví dụ đa thức:
ở đây chúng ta thấy tổng của hai đơn thức và đây là một đa thức, tức là tổng các đơn thức.
Các số hạng tạo nên đa thức được gọi là các số hạng của đa thức.
Hiệu của các đơn thức có phải là đa thức không? Đúng vậy, bởi vì hiệu có thể dễ dàng giảm xuống thành một tổng, ví dụ: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Đơn thức cũng được coi là đa thức. Nhưng một đơn thức không có tổng thì tại sao nó lại được coi là đa thức? Và bạn có thể thêm số 0 vào nó và nhận tổng của nó bằng đơn thức bằng 0. Vì vậy, đơn thức là trường hợp đặc biệt của đa thức; nó bao gồm một số hạng.
Số 0 là đa thức 0.
Dạng chuẩn của đa thức
Đa thức có dạng chuẩn là gì? Đa thức là tổng của các đơn thức và nếu tất cả các đơn thức tạo nên đa thức này được viết ở dạng chuẩn và không có đơn thức nào giống nhau giữa chúng thì đa thức được viết ở dạng chuẩn.
Một ví dụ về đa thức ở dạng chuẩn:
ở đây đa thức gồm 2 đơn thức, mỗi đơn thức có dạng chuẩn;
Bây giờ là một ví dụ về đa thức không có dạng chuẩn:
ở đây hai đơn thức: 2a và 4a giống nhau. Chúng ta cần cộng chúng lại thì đa thức sẽ có dạng chuẩn:
Một ví dụ khác:
Đa thức này có được rút gọn về dạng chuẩn không? Không, thuật ngữ thứ hai của anh ấy không được viết ở dạng chuẩn. Viết nó ở dạng chuẩn, chúng ta thu được một đa thức có dạng chuẩn:
Bậc đa thức
Bậc của một đa thức là gì?
Định nghĩa bậc đa thức:
Bậc của đa thức là bậc cao nhất mà các đơn thức tạo nên một đa thức có dạng chuẩn đã cho.
Ví dụ. Bậc của đa thức 5h là bao nhiêu? Bậc của đa thức 5h bằng 1, vì đa thức này chỉ chứa một đơn thức và bậc của nó bằng một.
Một ví dụ khác. Bậc của đa thức 5a 2 h 3 s 4 +1 là bao nhiêu? Bậc của đa thức 5a 2 h 3 s 4 + 1 bằng chín, vì đa thức này gồm hai đơn thức, đơn thức thứ nhất 5a 2 h 3 s 4 có bậc cao nhất và bậc của nó là 9.
Một ví dụ khác. Bậc của đa thức 5 là bao nhiêu? Bậc của đa thức 5 bằng 0. Vì vậy, bậc của đa thức chỉ bao gồm một số, tức là không có chữ cái, bằng không.
Ví dụ cuối cùng. Bậc của đa thức 0 là bao nhiêu, tức là số không? Bậc của đa thức 0 không được xác định.
Theo định nghĩa, đa thức là một biểu thức đại số biểu diễn tổng của các đơn thức.
Ví dụ: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 là các đa thức và biểu thức z/(x - x*y^2 + 4) không phải là đa thức vì nó không phải là tổng của các đơn thức. Một đa thức đôi khi còn được gọi là đa thức, và các đơn thức là một phần của đa thức là thành viên của đa thức hoặc đơn thức.
Khái niệm phức tạp của đa thức
Nếu một đa thức bao gồm hai số hạng thì nó được gọi là nhị thức; nếu nó bao gồm ba số hạng thì nó được gọi là tam thức. Các tên bốn thức, năm thức và những tên khác không được sử dụng, và trong những trường hợp như vậy chúng chỉ đơn giản nói là đa thức. Những cái tên như vậy, tùy thuộc vào số lượng thuật ngữ, đặt mọi thứ vào đúng vị trí của nó.
Và thuật ngữ đơn thức trở nên trực quan. Theo quan điểm toán học, đơn thức là trường hợp đặc biệt của đa thức. Đơn thức là đa thức gồm một số hạng.
Cũng giống như đơn thức, đa thức có dạng chuẩn riêng. Dạng chuẩn của đa thức là một ký hiệu của đa thức trong đó tất cả các đơn thức có trong nó dưới dạng các thuật ngữ được viết ở dạng chuẩn và các thuật ngữ tương tự được đưa ra.
Dạng chuẩn của đa thức
Trình tự chuyển một đa thức về dạng chuẩn là chuyển từng đơn thức về dạng chuẩn, sau đó cộng tất cả các đơn thức tương tự lại với nhau. Phép cộng các số hạng giống nhau của đa thức được gọi là phép rút gọn số hạng giống nhau.
Ví dụ: hãy trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.
Các thuật ngữ 4*a*b^2*c^3 và 6*a*b^2*c^3 ở đây tương tự nhau. Tổng của các số hạng này sẽ là đơn thức 10*a*b^2*c^3. Do đó, đa thức ban đầu 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b có thể được viết lại thành 10*a*b^2*c^3 - a* b. Mục này sẽ là dạng chuẩn của một đa thức.
Từ thực tế là bất kỳ đơn thức nào cũng có thể được rút gọn về dạng chuẩn, thì cũng suy ra rằng bất kỳ đa thức nào cũng có thể được rút gọn về dạng chuẩn.
Khi một đa thức được rút gọn về dạng chuẩn, chúng ta có thể nói về một khái niệm như bậc của đa thức. Bậc của đa thức là bậc cao nhất của một đơn thức có trong một đa thức đã cho.
Vì vậy, ví dụ, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 là đa thức bậc năm, vì bậc tối đa của đơn thức có trong đa thức (5*x^3*y^ 2) là thứ năm.
Các số hạng của đa thức là đơn vị cơ bản của nhiều cấu trúc đại số. Theo định nghĩa, đơn thức là các giá trị số tự nhiên hoặc các biến nhất định (nhóm biến nhân với nhau).
Một trong những phép toán chính trên đa thức là rút gọn các số hạng tương tự. Trong video hướng dẫn này, chúng ta sẽ xem xét chi tiết hơn về các phép toán trên đa thức là gì.
Vì tất cả các số hạng của đa thức đều liên hệ với nhau thông qua phép tính tổng đại số nên chúng đều được gọi là các số hạng. Các đơn thức có phần chữ cái giống nhau thì tương tự nhau, tức là gồm các biến giống hệt nhau. Trong trường hợp này, các biến phải ở cùng mức độ và có hệ số bằng nhau. Và các giá trị số riêng lẻ trong đa thức được coi là tương đương với các số hạng tương tự trong bản thân chúng.
Rút gọn các số hạng giống nhau bao gồm việc nhóm các đơn thức của một đa thức sao cho thu được các phần riêng biệt, bao gồm toàn bộ các số hạng giống nhau. Ví dụ, hãy xem xét đa thức này:
3a 2 + 2ab 2 - 6 - 3c 3 + 6a 2 - 7ab 2 + 7
Các thuật ngữ tương tự trong trường hợp này là:
- Tất cả các giá trị số miễn phí: -6, +7;
- Đơn thức có cơ số a bình phương: +3a 2, +6a 2;
- Đơn thức có cơ số ab bình phương: 2ab 2, -7ab 2;
- Đơn thức có cơ số c lập phương: -3c 3 ;
Nhóm cuối cùng chỉ gồm một đơn thức, không có đơn thức nào giống nhau trong toàn bộ đa thức.
Tại sao cần có những chuyển đổi như vậy? Việc đưa các số hạng tương tự giúp đơn giản hóa đa thức, đưa nó về dạng cơ bản, bao gồm ít đơn thức hơn. Điều này có thể được thực hiện dễ dàng bằng cách nhóm các số hạng đó để thực hiện các phép tính đại số. Các phép toán chính ở đây là phép trừ và phép cộng - chúng cũng có tác dụng sắp xếp lại và cho phép bạn tự do di chuyển các đơn thức bên trong đa thức. Vì vậy, việc chuyển đổi ví dụ trên như thế này là khá đúng quy tắc:
6 +7 + 3a 2 +6a 2 + 2ab 2 +(-7ab 2) + (-3c 3) =
9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1
Bằng cách thực hiện phép trừ và phép cộng tiêu chuẩn, chúng ta thu được một đa thức đơn giản hóa. Nếu phiên bản gốc có 7 đơn thức thì phiên bản hiện tại chỉ có 4 thành viên. Tuy nhiên, một câu hỏi hợp lý được đặt ra: tiêu chí chính xác cho tính “đơn giản” của một đa thức là gì?
Theo quan điểm của các quy tắc đại số, một đa thức cơ bản, hay chính xác hơn, một đa thức chuẩn được coi là một đa thức trong đó tất cả các cơ số của các đơn thức là khác nhau và không giống nhau. Ví dụ của chúng tôi:
9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1
Bao gồm các đơn thức với các cơ sở a 2, ab 2, c 3, cũng như một giá trị số. Không có mục nào ở trên có thể được thêm vào hoặc bớt khỏi mục khác. Trước mắt chúng ta là một đa thức chuẩn gồm bốn số hạng.
Bất kỳ đa thức nào cũng có một tiêu chí như mức độ. Bậc của một đa thức, nói chung, là bậc lớn nhất của một đơn thức trong một đa thức đã cho. Điều đáng học là một chi tiết quan trọng - mức độ của các biểu thức nhiều chữ cái (đa biến) được tóm tắt. Do đó, tổng lũy thừa của ab 2 là ba (a lũy thừa bậc một, b bình phương). Một đa thức có dạng:
9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1
có bậc ba, vì một trong các đơn thức có lũy thừa bậc ba lớn nhất.
Bậc của đa thức thường chỉ được xác định ở dạng chuẩn. Nếu một đa thức có các số hạng tương tự thì trước tiên nó được rút gọn về dạng đơn giản hóa, sau đó tính bậc cuối cùng.
Nếu một đa thức chỉ bao gồm các đơn thức số thì dạng chuẩn của nó có dạng số ít, là tổng đại số của tất cả các đơn thức. Bậc của một số đã cho, dưới dạng đa thức, bằng 0. Nếu bản thân số đó, là một loại đa thức tiêu chuẩn, có giá trị “không”, thì bậc của nó được coi là không xác định và bản thân đa thức “không” được gọi là đa thức rỗng.
Trong video được trình bày, điều đáng chú ý là bất kỳ đa thức nào cũng có hệ số dẫn đầu và số hạng tự do, trong số những thứ khác. Hệ số dẫn đầu là giá trị số đứng trước biến có bậc cao nhất (là giá trị xác định thứ hạng của chính đa thức). Và số hạng tự do là tổng của tất cả các giá trị số của đa thức. Nếu không có giá trị tương tự trong đa thức hoặc nếu chúng triệt tiêu hoàn toàn thì số hạng tự do được lấy bằng 0. Trong ví dụ:
7a 4 - 2b 2 + 5c 3 + 3
hệ số cao nhất là số 7, vì nó đứng trước biến có bậc cao nhất (thứ tư - đồng thời, toàn bộ đa thức có bậc thứ tư). Thuật ngữ tự do, trong ví dụ này, là 3.
Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.
Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.
Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.
Vì bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.
Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.
Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc mở nên rất dễ dàng để hình thành Quy tắc mở ngoặc:
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.
Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức
Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.
Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.
Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.
Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.
Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức
Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.
Thông thường quy tắc sau được sử dụng.
Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.
Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương
Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.
Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã từng gặp phải nhiệm vụ như vậy khi nhân các đa thức; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng bình phương và tích kép.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.
Ba danh tính này cho phép các phép biến đổi thay thế phần bên trái của chúng bằng phần bên phải và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.