Định nghĩa đa giác lồi và các phần tử của nó. Phân vùng đa giác lồi

Xác định độ lồi của đa giác.

Thuật toán Kirus-Back giả định sự hiện diện của đa giác lồi được sử dụng làm cửa sổ.

Tuy nhiên, trong thực tế, vấn đề cắt bỏ một đa giác rất thường xuyên phát sinh và thông tin về việc nó có lồi hay không ban đầu không được đưa ra. Trong trường hợp này, trước khi bắt đầu quy trình cắt, cần xác định xem đa giác nào được cho - lồi hay không.

Hãy nêu một số định nghĩa về độ lồi của đa giác

Một đa giác được coi là lồi nếu đáp ứng một trong các điều kiện sau:

1) trong một đa giác lồi, tất cả các đỉnh đều nằm ở một phía của đường thẳng mang bất kỳ cạnh nào (dọc theo mặt trong liên quan đến một cạnh nhất định);

2) tất cả các góc trong của đa giác đều nhỏ hơn 180°;

3) tất cả các đường chéo nối các đỉnh của đa giác đều nằm bên trong đa giác này;

4) tất cả các góc của đa giác đều đi theo cùng một hướng (Hình 3.3‑1).

Để phát triển biểu diễn phân tích của tiêu chuẩn lồi cuối cùng, chúng ta sử dụng tích vectơ.

tác phẩm nghệ thuật vector W hai vectơ Một Và b (Hình 3.3‑2 a) được định nghĩa là:


A x ,a y ,a z và b x ,b y ,b z lần lượt là các hình chiếu trên trục tọa độ X ,Y ,Z của các vectơ nhân tố Một Và b,

- Tôi, j, k– vectơ đơn vị dọc theo các trục tọa độ X, Y, Z.

Cơm.3.3 ‑ 1



Cơm.3.3 ‑ 2

Nếu chúng ta coi biểu diễn hai chiều của một đa giác là biểu diễn của nó trong mặt phẳng tọa độ Hệ tọa độ ba chiều XY X,Y,Z (Hình 3.3‑2 b), khi đó biểu thức cho sự hình thành sản phẩm vector vectơ bạn Và V., trong đó các vectơ bạn Và V. là các cạnh kề nhau tạo thành một góc của đa giác, có thể viết dưới dạng định thức:

Vectơ của tích chéo vuông góc với mặt phẳng chứa các vectơ nhân tố. Hướng của vectơ tích được xác định bằng quy tắc gimlet hoặc quy tắc vít bên phải.

Đối với trường hợp được trình bày trong Hình. 3.3‑2 b ), vectơ W, tương ứng với tích vectơ của vectơ V., bạn, sẽ có cùng hướng với hướng trục tọa độ Z.

Xét rằng các hình chiếu lên trục Z của các vectơ nhân tố trong trường hợp này bằng 0, tích vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng:


(3.3-1)

Vectơ đơn vị k luôn dương nên dấu của vectơ w tích vectơ sẽ chỉ được xác định bởi dấu của định thức D trong biểu thức trên. Lưu ý rằng dựa vào tính chất của tích vectơ, khi hoán đổi các vectơ nhân tử bạn Và V. dấu hiệu vector w sẽ thay đổi ngược lại.

Theo sau đó nếu như vectơ V. Và bạn Xét hai cạnh kề nhau của một đa giác thì thứ tự sắp xếp các vectơ trong tích vectơ có thể sắp xếp theo đường chéo của một góc của đa giác đang xét hoặc các cạnh tạo thành góc này. Điều này cho phép bạn sử dụng quy tắc sau làm tiêu chí để xác định độ lồi của đa giác:

nếu với tất cả các cặp cạnh của đa giác đều thỏa mãn điều kiện sau:

Nếu dấu của tích vectơ cho các góc riêng lẻ không trùng nhau thì đa giác đó không lồi.

Vì các cạnh của đa giác được xác định dưới dạng tọa độ các điểm cuối của chúng nên sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng định thức để xác định dấu của tích vectơ.

Trong bài học này chúng ta sẽ bắt đầu chủ đề mới và giới thiệu cho chúng tôi một khái niệm mới: “đa giác”. Chúng ta sẽ xem xét các khái niệm cơ bản liên quan đến đa giác: cạnh, góc đỉnh, độ lồi và không lồi. Sau đó chúng ta sẽ chứng minh sự thật quan trọng nhất chẳng hạn như định lý tổng góc bên trongđa giác, định lý tổng góc bên ngoàiđa giác. Kết quả là chúng ta sẽ tiến gần đến việc nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của đa giác, trường hợp này sẽ được xem xét trong các bài học tiếp theo.

Chủ đề: Tứ giác

Bài học: Đa giác

Trong khóa học hình học, chúng ta nghiên cứu các tính chất của các hình hình học và đã xem xét những hình đơn giản nhất trong số đó: hình tam giác và hình tròn. Đồng thời, chúng tôi cũng thảo luận về các trường hợp đặc biệt cụ thể của các hình này, chẳng hạn như hình vuông, hình cân và hình tam giác đều. Bây giờ là lúc nói về những điều tổng quát hơn và số liệu phức tạp - đa giác.

Với trường hợp đặc biệt đa giác chúng ta đã quen thuộc - đây là một hình tam giác (xem Hình 1).

Cơm. 1. Tam giác

Bản thân cái tên đã nhấn mạnh rằng đây là một hình có ba góc. Vì vậy, trong đa giác có thể có rất nhiều trong số họ, tức là nhiều hơn ba. Ví dụ: hãy vẽ một hình ngũ giác (xem Hình 2), tức là hình có năm góc.

Cơm. 2. Lầu Năm Góc. Đa giác lồi

Sự định nghĩa.Đa giác- một hình bao gồm một số điểm (nhiều hơn hai) và số đoạn tương ứng nối chúng một cách tuần tự. Những điểm này được gọi là đỉnh caođa giác và các phân đoạn là các bữa tiệc. Trong trường hợp này, không có hai cạnh kề nào nằm trên cùng một đường thẳng và không có hai cạnh không kề nhau nào cắt nhau.

Sự định nghĩa.Đa giác đều- Cái này đa giác lồi, trong đó tất cả các cạnh và các góc đều bằng nhau.

Bất kì đa giác chia mặt phẳng thành hai khu vực: bên trong và bên ngoài. Khu vực bên trong còn được gọi là đa giác.

Nói cách khác, ví dụ, khi họ nói về một hình ngũ giác, họ có nghĩa là toàn bộ khu vực bên trong và đường viền của nó. Và vùng bên trong bao gồm tất cả các điểm nằm bên trong đa giác, tức là điểm này cũng đề cập đến hình ngũ giác (xem Hình 2).

Đa giác đôi khi còn được gọi là n-giác để nhấn mạnh rằng trường hợp tổng quát về sự hiện diện của một số góc chưa biết (n phần) được xem xét.

Sự định nghĩa. Chu vi đa giác- tổng độ dài các cạnh của đa giác.

Bây giờ chúng ta cần làm quen với các loại đa giác. Chúng được chia thành lồi Và không lồi. Ví dụ: đa giác được hiển thị trong Hình. 2 là lồi và trong hình. 3 không lồi.

Cơm. 3. Đa giác không lồi

Định nghĩa 1. Đa giác gọi điện lồi, nếu khi vẽ một đường thẳng đi qua bất kỳ cạnh nào của nó thì toàn bộ đa giác chỉ nằm về một phía của đường thẳng này. không lồi còn mọi người nữa à đa giác.

Dễ dàng tưởng tượng rằng khi kéo dài bất kỳ cạnh nào của hình ngũ giác trong Hình. 2 tất cả sẽ nằm về một phía của đường thẳng này, tức là nó lồi. Nhưng khi vẽ đường thẳng đi qua một tứ giác ở hình 2. 3 chúng ta đã thấy rằng nó chia nó thành hai phần, tức là. nó không lồi.

Nhưng còn có một định nghĩa khác về độ lồi của đa giác.

Định nghĩa 2. Đa giác gọi điện lồi, nếu khi chọn hai điểm trong bất kỳ của nó và nối chúng với một đoạn thẳng thì mọi điểm của đoạn đó cũng là điểm trong của đa giác.

Minh họa việc sử dụng định nghĩa này có thể được thấy trong ví dụ về xây dựng các đoạn trong Hình 2. 2 và 3.

Sự định nghĩa. Đường chéo của một đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không liền kề.

Để mô tả các tính chất của đa giác, có hai định lý quan trọng nhất về góc độ của chúng: định lý về tổng các góc trong của đa giác lồi Và định lý về tổng các góc ngoài của đa giác lồi. Hãy nhìn vào chúng.

Định lý. Về tổng các góc trong của một đa giác lồi (N-gon).

Số góc (cạnh của nó) ở đâu?

Chứng minh 1. Hãy mô tả ở hình 1. 4 n-giác lồi.

Cơm. 4. n-giác lồi

Từ đỉnh chúng ta vẽ tất cả các đường chéo có thể. Họ chia n-giác thành các hình tam giác, bởi vì mỗi cạnh của đa giác tạo thành một hình tam giác, ngoại trừ các cạnh kề với đỉnh. Từ hình vẽ dễ dàng thấy rằng tổng các góc của tất cả các tam giác này sẽ chính xác bằng tổng các góc trong của n-giác. Vì tổng các góc của bất kỳ tam giác nào là , nên tổng các góc trong của một n-giác là:

Q.E.D.

Chứng minh 2. Có thể chứng minh được định lý này. Hãy vẽ một n-giác tương tự trong hình. 5 và nối bất kỳ điểm bên trong nào của nó với tất cả các đỉnh.

Cơm. 5.

Ta đã thu được sự phân chia n-giác thành n hình tam giác (số cạnh bằng số hình tam giác). Tổng các góc của chúng bằng tổng các góc trong của đa giác và tổng các góc tại điểm nội bộ, và đây là góc. Chúng tôi có:

Q.E.D.

Đã được chứng minh.

Theo định lý đã được chứng minh, rõ ràng tổng các góc của một n-giác phụ thuộc vào số cạnh của nó (trên n). Ví dụ: trong một tam giác, tổng các góc là . Trong một tứ giác và tổng các góc bằng v.v.

Định lý. Về tổng các góc ngoài của một đa giác lồi (N-gon).

Đâu là số góc (cạnh của nó), và , …, là các góc ngoài.

Bằng chứng. Chúng ta hãy mô tả một n-giác lồi trong hình. 6 và chỉ định các góc bên trong và bên ngoài của nó.

Cơm. 6. n-giác lồi với các góc ngoài được chỉ định

Bởi vì Góc ngoài được nối với góc trong như liền kề, sau đó và tương tự cho các góc ngoài còn lại. Sau đó:

Trong quá trình biến đổi, chúng tôi đã sử dụng định lý đã được chứng minh về tổng các góc trong của một n-giác.

Đã được chứng minh.

Từ định lý đã được chứng minh suy ra sự thật thú vị, đó là tổng các góc ngoài lồi n-giác bằng về số góc (cạnh) của nó. Nhân tiện, trái ngược với tổng các góc bên trong.

Tài liệu tham khảo

  1. Alexandrov A.D. và các bài khác về Hình học lớp 8. - M.: Giáo dục, 2006.
  2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Hình học, lớp 8. - M.: Giáo dục, 2011.
  3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Hình học, lớp 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
  1. Profmeter.com.ua ().
  2. Narod.ru ().
  3. Xvatit.com ().

bài tập về nhà

Những hình dạng hình học này bao quanh chúng ta ở khắp mọi nơi. Đa giác lồi có thể là tự nhiên, chẳng hạn như tổ ong hoặc nhân tạo (nhân tạo). Những số liệu này được sử dụng trong sản xuất nhiều loại lớp phủ, trong hội họa, kiến ​​trúc, trang trí, v.v. Đa giác lồi có tính chất là tất cả các điểm của chúng đều nằm trên một cạnh của đường thẳng đi qua một cặp đỉnh liền kề của đa giác đó. hình hình học. Có những định nghĩa khác. Đa giác lồi là đa giác nằm trên một nửa mặt phẳng so với đường thẳng bất kỳ chứa một cạnh của nó.

Trong những điều đã biết hình học cơ bản Chỉ những đa giác đơn giản luôn được xem xét. Để hiểu tất cả các thuộc tính như vậy, cần phải hiểu bản chất của chúng. Đầu tiên, bạn nên hiểu rằng bất kỳ đường nào có hai đầu trùng nhau đều được gọi là đường đóng. Hơn nữa, hình được hình thành bởi nó có thể có nhiều cấu hình khác nhau. Một đa giác là một hình đóng đơn giản đường gãy, trong đó các liên kết lân cận không nằm trên cùng một đường thẳng. Các liên kết và đỉnh của nó lần lượt là các cạnh và đỉnh của hình hình học này. Một đường đa tuyến đơn giản không nên có các điểm tự giao nhau.

Các đỉnh của đa giác được gọi là liền kề nếu chúng đại diện cho các đầu của một cạnh của nó. Một hình hình học có số thứ nđỉnh cao, và do đó số lượng thứ n các cạnh được gọi là n-giác. Bản thân đường đứt nét được gọi là ranh giới hoặc đường viền của hình hình học này. Mặt phẳng đa giác hoặc đa giác phẳng là phần hữu hạn của bất kỳ mặt phẳng nào được giới hạn bởi nó. Các cạnh lân cận của hình hình học này là các đoạn của một đường gãy xuất phát từ một đỉnh. Chúng sẽ không liền kề nếu chúng đến từ các đỉnh khác nhau của đa giác.

Các định nghĩa khác về đa giác lồi

Trong hình học cơ bản, có thêm một số định nghĩa có ý nghĩa tương đương, chỉ ra đa giác nào được gọi là lồi. Hơn nữa, tất cả các công thức này trong ở mức độ tương tự là đúng. Một đa giác được coi là lồi nếu nó:

Mọi đoạn nối hai điểm bất kỳ bên trong nó đều nằm hoàn toàn bên trong nó;

Tất cả các đường chéo của nó đều nằm bên trong nó;

Bất kỳ góc bên trong nào không vượt quá 180°.

Một đa giác luôn chia mặt phẳng thành 2 phần. Một trong số chúng bị giới hạn (nó có thể được bao quanh trong một vòng tròn) và cái còn lại là không giới hạn. Vùng đầu tiên được gọi là vùng bên trong và vùng thứ hai là vùng bên ngoài của hình hình học này. Đa giác này là giao điểm (nói cách khác, là thành phần chung) của một số nửa mặt phẳng. Hơn nữa, mỗi đoạn có điểm kết thúc tại các điểm thuộc đa giác thì hoàn toàn thuộc về nó.

Các loại đa giác lồi

Định nghĩa đa giác lồi không chỉ ra rằng có nhiều loại. Hơn nữa, mỗi người trong số họ có những tiêu chí nhất định. Do đó, đa giác lồi có góc trong bằng 180° được gọi là lồi yếu. Một hình hình học lồi có ba đỉnh được gọi là hình tam giác, bốn - một tứ giác, năm - một hình ngũ giác, v.v. Mỗi n-giác lồi đáp ứng yêu cầu quan trọng nhất sau đây: n phải bằng hoặc lớn hơn 3. Mỗi hình của các tam giác là lồi. Hình hình học thuộc loại này, tất cả các đỉnh nằm trên cùng một đường tròn được gọi là nội tiếp đường tròn. Một đa giác lồi được gọi là ngoại tiếp nếu tất cả các cạnh của nó gần đường tròn đều chạm vào nó. Hai đa giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có thể được xếp lại với nhau bằng sự chồng chất. Đa giác phẳng là một mặt phẳng đa giác (một phần của mặt phẳng) bị giới hạn bởi hình hình học này.

Đa giác lồi đều

Đa giác đều là các hình hình học có góc bằng nhau và các bên. Bên trong chúng có một điểm 0, nằm cách mỗi đỉnh của nó một khoảng bằng nhau. Nó được gọi là trung tâm của hình hình học này. Các đoạn nối tâm với các đỉnh của hình hình học này được gọi là trung đoạn và các đoạn nối điểm 0 với các cạnh được gọi là bán kính.

Tứ giác đều là hình vuông. Tam giác đều gọi là đều. Đối với những hình như vậy, có quy tắc sau: mỗi góc của đa giác lồi bằng 180° * (n-2)/ n,

trong đó n là số đỉnh của hình hình học lồi này.

Diện tích của bất kỳ đa giác đềuđược xác định bởi công thức:

trong đó p bằng một nửa tổng tất cả các cạnh đa giác đã cho, và h bằng độ dài của trung điểm.

Tính chất của đa giác lồi

Đa giác lồi có một số tính chất nhất định. Do đó, đoạn nối 2 điểm bất kỳ của hình hình học như vậy nhất thiết phải nằm trong đó. Bằng chứng:

Giả sử P là một đa giác lồi cho trước. Lấy 2 điểm tùy ý, ví dụ A, B thuộc R. Po định nghĩa hiện có của một đa giác lồi, các điểm này nằm trên một cạnh của đường thẳng chứa cạnh P bất kỳ. Do đó, AB cũng có tính chất này và nằm trong P. Một đa giác lồi luôn có thể chia thành nhiều tam giác bởi tất cả các đường chéo sao cho được vẽ từ một trong các đỉnh của nó.

Các góc của hình học lồi

Các góc của một đa giác lồi là các góc tạo bởi các cạnh của nó. Các góc trong nằm ở vùng bên trong của một hình hình học nhất định. Góc tạo bởi các cạnh của nó gặp nhau tại một đỉnh được gọi là góc của đa giác lồi. với các góc bên trong của một hình hình học nhất định được gọi là bên ngoài. Mỗi góc của một đa giác lồi nằm bên trong nó bằng:

trong đó x là kích thước của góc ngoài. Cái này công thức đơn giảnáp dụng cho bất kỳ hình học nào thuộc loại này.

TRONG trường hợp chung, đối với các góc ngoài có tuân theo quy tắc: Mỗi góc của một đa giác lồi bằng hiệu giữa 180° và kích thước của góc trong. Nó có thể có các giá trị từ -180° đến 180°. Do đó, khi góc trong bằng 120° thì góc ngoài sẽ là 60°.

Tổng các góc của đa giác lồi

Tổng các góc trong của đa giác lồi được xác định theo công thức:

trong đó n là số đỉnh của n-giác.

Tổng các góc của một đa giác lồi được tính khá đơn giản. Hãy xem xét bất kỳ hình hình học như vậy. Để xác định tổng các góc bên trong một đa giác lồi, bạn cần nối một trong các đỉnh của nó với các đỉnh khác. Kết quả của hành động này là thu được (n-2) hình tam giác. Người ta biết rằng tổng các góc của bất kỳ tam giác nào luôn bằng 180°. Vì số của chúng trong bất kỳ đa giác nào là (n-2), nên tổng các góc trong của hình đó bằng 180° x (n-2).

Tổng các góc của một đa giác lồi, cụ thể là hai góc bên trong và bên ngoài liền kề bất kỳ, đối với một hình hình học lồi nhất định sẽ luôn bằng 180°. Dựa vào điều này, chúng ta có thể xác định tổng tất cả các góc của nó:

Tổng các góc trong là 180° * (n-2). Dựa trên điều này, tổng tất cả các góc ngoài của một hình nhất định được xác định theo công thức:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Tổng các góc ngoài của bất kỳ đa giác lồi nào sẽ luôn là 360° (bất kể số cạnh).

Góc ngoài của đa giác lồi thường được biểu thị bằng hiệu giữa 180° và giá trị của góc trong.

Các tính chất khác của đa giác lồi

Ngoài các tính chất cơ bản của các hình dạng hình học này, chúng còn có các tính chất khác phát sinh khi thao tác với chúng. Vì vậy, bất kỳ đa giác nào cũng có thể được chia thành nhiều n-giác lồi. Để làm điều này, bạn cần tiếp tục mỗi cạnh của nó và cắt hình hình học này dọc theo các đường thẳng này. Cũng có thể chia bất kỳ đa giác nào thành nhiều phần lồi sao cho các đỉnh của mỗi phần trùng với tất cả các đỉnh của nó. Từ một hình hình học như vậy, bạn có thể tạo các hình tam giác rất đơn giản bằng cách vẽ tất cả các đường chéo từ một đỉnh. Do đó, bất kỳ đa giác nào cuối cùng cũng có thể được chia thành một số hình tam giác nhất định, điều này hóa ra rất hữu ích trong việc giải quyết nhiệm vụ khác nhau liên quan đến các hình hình học như vậy.

Chu vi của một đa giác lồi

Các đoạn đường đứt nét, được gọi là các cạnh của đa giác, thường được biểu thị bằng các chữ cái sau: ab, bc, cd, de, ea. Đây là các cạnh của một hình hình học có các đỉnh a, b, c, d, e. Tổng chiều dài tất cả các cạnh của đa giác lồi này được gọi là chu vi của nó.

Vòng tròn của một đa giác

Đa giác lồi có thể nội tiếp hoặc ngoại tiếp. Một vòng tròn chạm vào tất cả các cạnh của hình hình học này được gọi là nội tiếp trong đó. Một đa giác như vậy được gọi là ngoại tiếp. Tâm của một đường tròn nội tiếp đa giác là giao điểm của các đường phân giác của tất cả các góc trong một hình hình học nhất định. Diện tích của một đa giác như vậy bằng:

trong đó r là bán kính của đường tròn nội tiếp và p là bán chu vi của đa giác đã cho.

Một đường tròn chứa các đỉnh của một đa giác được gọi là ngoại tiếp nó. Trong trường hợp này, hình hình học lồi này được gọi là nội tiếp. Tâm của đường tròn được mô tả xung quanh một đa giác như vậy là giao điểm của cái gọi là các đường phân giác vuông góc của tất cả các cạnh.

Đường chéo của hình học lồi

Các đường chéo của đa giác lồi là các đoạn nối đỉnh lân cận. Mỗi người trong số họ nằm bên trong hình hình học này. Số lượng đường chéo của n-giác như vậy được xác định theo công thức:

N = n(n-3)/ 2.

Số đường chéo của một đa giác lồi đóng vai trò quan trọng trong hình học cơ bản. Số lượng hình tam giác (K) mà mỗi đa giác lồi có thể chia thành được tính bằng công thức sau:

Số đường chéo của một đa giác lồi luôn phụ thuộc vào số đỉnh của nó.

Phân vùng đa giác lồi

Trong một số trường hợp, để giải quyết bài toán hình học cần phải chia một đa giác lồi thành nhiều hình tam giác có các đường chéo rời nhau. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách rút ra một công thức nhất định.

Định nghĩa bài toán: gọi đúng một cách phân chia nhất định của một n-giác lồi thành nhiều hình tam giác có các đường chéo chỉ cắt nhau tại các đỉnh của hình hình học này.

Lời giải: Giả sử P1, P2, P3..., Pn là các đỉnh của n-giác này. Số Xn là số phân vùng của nó. Chúng ta hãy xem xét cẩn thận đường chéo thu được của hình hình học Pi Pn. Trong bất kỳ phân vùng chính xácР1 Pn thuộc tam giác Р1 Pi Pn, có 1

Cho i = 2 là một nhóm các phân hoạch đều, luôn chứa đường chéo P2 Pn. Số lượng phân vùng được bao gồm trong nó trùng với số lượng phân vùng của (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Nói cách khác, nó bằng Xn-1.

Nếu i = 3 thì nhóm phân vùng khác này sẽ luôn chứa các đường chéo P3 P1 và P3 Pn. Trong trường hợp này, số lượng phân vùng thông thường có trong nhóm này sẽ trùng với số lượng phân vùng của (n-2)-gon P3 P4... Pn. Nói cách khác, nó sẽ bằng Xn-2.

Giả sử i = 4 thì trong các tam giác, phân vùng đúng chắc chắn sẽ chứa tam giác P1 P4 Pn kề với tứ giác P1 P2 P3 P4, (n-3)-giác P4 P5... Pn. Số phân hoạch đều của một tứ giác như vậy là X4 và số phân hoạch của một (n-3)-giác là Xn-3. Dựa trên tất cả những điều trên, chúng ta có thể nói rằng tổng số phân vùng thông thường có trong nhóm này bằng Xn-3 X4. Các nhóm khác mà i = 4, 5, 6, 7... sẽ chứa Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... các phân vùng thông thường.

Giả sử i = n-2 thì số phân vùng đúng trong nhóm này sẽ trùng với số phân vùng trong nhóm mà i=2 (nói cách khác, bằng Xn-1).

Vì X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., nên số lượng các phân vùng của một đa giác lồi bằng:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Số phân vùng thông thường giao nhau một đường chéo bên trong

Khi kiểm tra các trường hợp cụ thể, người ta có thể giả định rằng số đường chéo của n-giác lồi bằng tích của tất cả các phân vùng của hình này thành (n-3).

Chứng minh giả định này: tưởng tượng rằng P1n = Xn * (n-3), khi đó bất kỳ n-giác nào cũng có thể chia thành các tam giác (n-2). Hơn nữa, một tứ giác (n-3) có thể được hình thành từ chúng. Cùng với điều này, mỗi hình tứ giác sẽ có một đường chéo. Vì hai đường chéo có thể được vẽ trong hình hình học lồi này, điều này có nghĩa là các đường chéo (n-3) bổ sung có thể được vẽ trong bất kỳ (n-3)-tứ giác nào. Dựa trên điều này, chúng ta có thể kết luận rằng trong bất kỳ phân vùng thông thường nào cũng có thể vẽ các đường chéo (n-3) thỏa mãn các điều kiện của bài toán này.

Diện tích đa giác lồi

Thông thường, khi giải các bài toán hình học cơ bản khác nhau, việc xác định diện tích của đa giác lồi là cần thiết. Giả sử (Xi. Yi), i = 1,2,3... n là dãy tọa độ tất cả các đỉnh lân cận của một đa giác không tự giao nhau. Trong trường hợp này, diện tích của nó được tính bằng công thức sau:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

trong đó (X 1, Y 1) = (Xn +1, Yn + 1).

Định nghĩa 1.Đường đứt nét là một chuỗi hữu hạn các đoạn sao cho một đầu của đoạn thứ nhất đóng vai trò là điểm cuối của đoạn thứ hai, đầu kia của đoạn thứ hai đóng vai trò là điểm cuối của đoạn thứ ba, v.v.

Các đoạn tạo nên một đường gãy được gọi là các liên kết. Các đoạn liền kề không nằm trên cùng một đường thẳng. Nếu hai đầu của đường đứt đoạn trùng nhau thì gọi là đóng cửa. Một đường đa giác có thể tự cắt nhau, chạm vào chính nó và nằm trên chính nó. Nếu đường đứt nét không có đặc điểm đó thì gọi là đơn giản.

Định nghĩa 2. Một đường gãy khép kín đơn giản cùng với phần mặt phẳng giới hạn bởi nó được gọi là đa giác.

Bản thân đường đứt nét được gọi là ranh giới của đa giác, các đường nối của đường gãy được gọi là các bữa tiệcđa giác, các đầu của liên kết là các đỉnh của đa giác. Hai cạnh kề nhau của một đa giác tạo thành một góc. Số góc của một đa giác bằng số cạnh. Mọi đa giác đều có các góc nhỏ hơn 180°. Các cạnh và các góc của đa giác được gọi là yếu tốđa giác.

Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác được gọi là đường chéo. Bất kỳ n-giác nào cũng có thể có n-2 đường chéo.

Định nghĩa 3.Đa giác được gọi là lồi, nếu nó nằm trên một phía của mỗi đường chứa cạnh của nó. Đa giác không đáp ứng điều kiện này được gọi là không lồi.

Tính chất của đa giác lồi.

Tài sản 1. Một đa giác lồi có tất cả các góc nhỏ hơn 180°.

Chứng minh: Lấy góc A bất kỳ của đa giác lồi P và cạnh a của nó xuất phát từ đỉnh A. Cho l là một đường thẳng chứa cạnh a. Vì đa giác P lồi nên nó nằm về một phía của đường thẳng l. Do đó góc A nằm về một phía của đường thẳng l. Do đó, góc A nhỏ hơn góc gấp, tức là ĐA< 180°.

Tài sản 2.Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của đa giác lồi đều nằm trong đa giác đó.

Chứng minh: Lấy hai điểm M và N bất kỳ của đa giác lồi P. Đa giác P là giao điểm của nhiều nửa mặt phẳng. Đoạn MN nằm trong mỗi nửa mặt phẳng này. Do đó, nó cũng nằm trong đa giác R.

Tài sản 3. Tổng các góc của một đa giác lồi là (n – 2)∙180°.

Chứng minh: Lấy một điểm O tùy ý bên trong đa giác lồi P rồi nối điểm đó với tất cả các đỉnh của đa giác. N hình tam giác được tạo thành, tổng các góc của mỗi tam giác bằng 180°. Các góc ở đỉnh O cộng lại bằng 360° = 2∙180°. Do đó, tổng các góc của một đa giác là n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.


Khái niệm hình bình hành. Tính chất của hình bình hành.

Định nghĩa 1. Tứ giác có các cặp cạnh đối song song được gọi là hình bình hành.

Mỗi hình bình hành có bốn đỉnh, bốn cạnh và bốn góc. Hai cạnh có chung một đầu gọi là liền kề. Mỗi hình bình hành có hai đường chéo - các đoạn nối các đỉnh đối diện của hình bình hành. Tổng các góc của hình bình hành là 360°.

Tính chất của hình bình hành.

Tài sản 1. Hình bình hành có các cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau.

Chứng minh: Vẽ đường chéo AC. AC – chung;

РВАС = РАСD (trong nằm ngang tại AB II BC và cát tuyến AC);

РВСА = РСАD (trong nằm ngang tại AD II BC và cát tuyến AC);

Þ DABC = DADC (dựa trên 2 đặc tính).

AB = CD; BC = AD; РВ = РD.

RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.

Tài sản 2. Trong hình bình hành, các góc kề với một cạnh có tổng bằng 180°.

Bằng chứng:

РВ + РА =180° (một phía trong với BC II AD và cát tuyến AB).

ÐB + ÐС =180° (một phía trong với AB II CD và cát tuyến BC).

ÐD + DC =180° (một phía trong với BC II AD và cát tuyến CD).

ÐA + ÐD =180° (một phía trong với AB II CD và cát tuyến AD).

Tài sản 3. Các đường chéo của hình bình hành được chia làm đôi bởi điểm giao nhau.

Chứng minh: Vẽ các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O.

AB = CD (theo hình bình hành thứ nhất);

ĐABO = ĐODC (trong nằm ngang AB II CD và cát tuyến BD);

РБАО = РОСD (trong nằm ngang tại AB II CD và cát tuyến AC);

Þ DABO = DODC (dựa trên 2 đặc tính).

BO = OD; AO = OC.


Dấu hiệu của hình bình hành.

Ký hiệu 1. Nếu hai cạnh của một tứ giác bằng nhau và song song thì tứ giác đó là hình bình hành.

Cho: ABCD – tứ giác; AD II TCN,