Con lắc toán học là mô hình của con lắc thông thường. Con lắc toán học là một điểm vật chất được treo trên một sợi dây dài không trọng lượng và không dãn.
Hãy di chuyển quả bóng ra khỏi vị trí cân bằng và thả nó ra. Sẽ có hai lực tác dụng lên quả bóng: trọng lực và lực căng của sợi dây. Khi con lắc chuyển động thì lực ma sát của không khí vẫn tác dụng lên nó. Nhưng chúng tôi sẽ coi nó rất nhỏ.
Chúng ta hãy phân tách lực hấp dẫn thành hai thành phần: một lực hướng dọc theo sợi dây và một lực hướng vuông góc với tiếp tuyến với quỹ đạo của quả bóng.
Hai lực này cộng lại thành lực hấp dẫn. Lực đàn hồi của sợi dây và thành phần trọng lực Fn truyền vào quả bóng gia tốc hướng tâm. Công do các lực này thực hiện sẽ bằng 0, và do đó chúng sẽ chỉ làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc. Tại bất kỳ thời điểm nào, nó sẽ hướng tiếp tuyến với cung tròn.
Dưới tác dụng của thành phần trọng lực Fτ, quả bóng sẽ chuyển động theo một cung tròn với vận tốc tăng dần về độ lớn. Giá trị của lực này luôn thay đổi về độ lớn; khi đi qua vị trí cân bằng thì bằng 0.
Động lực của chuyển động dao động
Phương trình chuyển động của một vật dao động điều hòa dưới tác dụng của lực đàn hồi.
Phương trình chuyển động tổng quát:
Dao động trong hệ xảy ra dưới tác dụng của lực đàn hồi mà theo định luật Hooke tỉ lệ thuận với độ dịch chuyển của tải trọng.
Khi đó phương trình chuyển động của quả bóng sẽ có dạng:
Chia phương trình này cho m, ta được công thức sau:
Và vì khối lượng và hệ số đàn hồi là những đại lượng không đổi nên tỷ số (-k/m) cũng sẽ không đổi. Ta thu được phương trình mô tả dao động của một vật dưới tác dụng của lực đàn hồi.
Hình chiếu gia tốc của vật sẽ tỷ lệ thuận với tọa độ của nó, lấy dấu ngược lại.
Phương trình chuyển động của con lắc toán học
Phương trình chuyển động con lắc toán họcđược mô tả bởi công thức sau:
Phương trình này có dạng giống như phương trình chuyển động của một khối lượng trên một lò xo. Do đó, dao động của con lắc và chuyển động của quả cầu trên lò xo xảy ra theo cùng một cách.
Độ dịch chuyển của quả cầu trên lò xo và độ dịch chuyển của vật con lắc khỏi vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo những quy luật giống nhau.
BÀI GIẢNG SỐ 8
Cơ học
Dao động
Chuyển động dao động. Đặc tính động học và động học chuyển động dao động. Con lắc toán học, vật lý và lò xo.
Chúng ta sống trong một thế giới nơi các quá trình dao động là một phần không thể thiếu trong thế giới của chúng ta và được tìm thấy ở khắp mọi nơi.
Một quá trình dao động hoặc dao động là một quá trình được đặc trưng bởi mức độ lặp lại khác nhau.
Nếu một đại lượng dao động lặp lại các giá trị của nó trong những khoảng thời gian bằng nhau thì những dao động đó được gọi là tuần hoàn và những khoảng thời gian này được gọi là chu kỳ dao động.
Tùy thuộc vào bản chất vật lý của hiện tượng, các rung động được phân biệt: cơ học, cơ điện, điện từ, v.v.
Dao động rất phổ biến trong tự nhiên và công nghệ. Các quá trình dao động là nền tảng của một số nhánh cơ học. Trong khóa học này chúng ta sẽ chỉ nói về rung động cơ học.
Tùy theo tính chất tác động lên hệ dao động, người ta phân biệt dao động: 1. Tự do hay tự nhiên, 2. Dao động cưỡng bức, 3. Tự dao động, 4. Dao động tham số.
Dao động tự do là những dao động xảy ra mà không có tác động từ bên ngoài và được gây ra bởi lực đẩy ban đầu.
Dao động cưỡng bức xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn
Tự dao động cũng xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực nhưng mômen tác dụng của lực lên hệ được xác định bởi chính hệ dao động.
Với dao động tham số, do tác động từ bên ngoài, xảy ra sự thay đổi tuần hoàn các tham số của hệ, gây ra loại dao động này.
Dạng đơn giản nhất là dao động điều hòa
Dao động điều hòa là những dao động tuân theo định luậttội lỗi hoặcvì . Một ví dụ về dao động điều hòa là dao động của con lắc toán học
Độ lệch cực đại của một đại lượng dao động trong quá trình dao động được gọi là biên độ dao động(MỘT) . Thời gian để thực hiện một dao động toàn phần gọi là chu kỳ dao động(T) . Nghịch đảo của chu kỳ dao động được gọi là tần số rung(). Thường dao động nhân với 2 được gọi là tần số tuần hoàn
(). Như vậy, dao động điều hòa được mô tả bằng biểu thức ( Đây+ 0 ) t 0 pha dao động và
Các hệ dao động cơ học đơn giản nhất được gọi là con lắc toán học, con lắc lò xo và con lắc vật lý. Chúng ta hãy xem xét những con lắc này chi tiết hơn
8.1. con lắc toán học
Con lắc toán học là một hệ dao động bao gồm một vật chất điểm khổng lồ treo lơ lửng trong một trường hấp dẫn trên một sợi dây không trọng lượng không giãn được.
Tại điểm cuối con lắc có thế năng nhỏ nhất. Hãy làm lệch con lắc một góc . Trọng tâm của một vật chất điểm có khối lượng lớn sẽ tăng lên một độ cao hđồng thời thế năng của con lắc sẽ tăng một lượng mg h. Ngoài ra, ở vị trí lệch, tải trọng còn bị ảnh hưởng bởi trọng lực và lực căng của sợi. Đường tác dụng của các lực này không trùng nhau và một lực tổng hợp tác dụng lên tải trọng, có xu hướng đưa tải trọng về vị trí cân bằng. Nếu tải không được giữ thì dưới tác dụng của lực này nó sẽ bắt đầu chuyển về vị trí cân bằng ban đầu, động năng của nó sẽ tăng do tốc độ tăng, còn thế năng sẽ giảm. Khi đạt tới điểm cân bằng thì lực sinh ra sẽ không còn tác dụng lên vật nữa (lực hấp dẫn tại điểm này được bù bằng lực căng của sợi dây). Thế năng của cơ thể lúc này sẽ là tối thiểu và ngược lại, động năng sẽ có động năng riêng giá trị tối đa . Cơ thể chuyển động theo quán tính sẽ vượt qua vị trí cân bằng và bắt đầu chuyển động ra xa vị trí đó, điều này sẽ dẫn đến xuất hiện một tổng lực (do lực căng và trọng lực), lực này sẽ có hướng chống lại chuyển động của cơ thể. , phanh nó lại. Đồng thời, động năng của tải bắt đầu giảm và năng lượng tiềm năng
. Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi nguồn động năng dự trữ cạn kiệt hoàn toàn và chuyển hóa thành thế năng. Trong trường hợp này, độ lệch của tải so với vị trí cân bằng sẽ đạt giá trị cực đại và quá trình sẽ lặp lại. Nếu không có ma sát trong hệ thì tải sẽ dao động vô hạn. Do đó, các hệ cơ học dao động có đặc điểm là khi chúng lệch khỏi vị trí cân bằng, một lực phục hồi sẽ xuất hiện trong hệ, có xu hướng đưa hệ về vị trí cân bằng. Trong trường hợp này xảy ra rung động kèm theo chuyển đổi định kỳ
thế năng của hệ thành động năng và ngược lại. Hãy tính toán quá trình dao động . khoảnh khắc của lực lượng M - tác dụng lên con lắc hiển nhiên bằng Dấu trừ phản ánh thực tế là mô men của lực có xu hướng đưa tải về vị trí cân bằng. Mặt khác, theo định luật cơ bản về chuyển động quay M=NHẬN DẠNG 2 / dt 2 . Như vậy ta thu được đẳng thức
B 
Chúng ta sẽ chỉ xét những góc lệch nhỏ của con lắc so với vị trí cân bằng. Sau đó tội lỗi
≈
.
Và sự bình đẳng của chúng ta sẽ có dạng:
D 
Đối với một con lắc toán học thì điều đó đúng TÔI=
ml 2
. Thay đẳng thức này vào biểu thức thu được, ta thu được phương trình mô tả quá trình dao động của một con lắc toán học:
Phương trình vi phân này mô tả quá trình dao động. Giải pháp cho phương trình này là hàm điều hòa tội lỗi( Đây+ 0 ) hoặc vì ( Đây+ 0 ) Thật vậy, chúng ta thay thế bất kỳ hàm nào trong số này vào phương trình và nhận được: 2 = g/ tôi. Vì vậy, nếu điều kiện này được đáp ứng thì hàm tội lỗi( Đây+ 0 ) hoặc vì( Đây+ 0 ) biến đổi phương trình vi phân của dao động thành một đẳng thức.
VỀ 
Ở đây tần số tuần hoàn và chu kỳ dao động của con lắc điều hòa được biểu thị như sau:
Biên độ dao động được tìm từ điều kiện ban đầu nhiệm vụ.
Như chúng ta thấy, tần số và chu kỳ dao động của một con lắc toán học không phụ thuộc vào khối lượng của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào gia tốc rơi tự do và chiều dài của sợi dây treo, điều này cho phép con lắc được dùng làm vật thiết bị đơn giản nhưng rất chính xác để xác định gia tốc rơi tự do.
Một loại con lắc khác là bất kỳ vật thể nào được treo ở một điểm nào đó của cơ thể và có khả năng thực hiện chuyển động dao động.
8.2. con lắc vật lý
TRONG 
Chúng ta hãy lấy một vật thể tùy ý, xuyên qua nó tại một điểm nào đó bằng một trục không trùng với tâm khối lượng của nó, xung quanh đó vật thể có thể tự do quay. Chúng ta treo vật trên trục này và làm nó lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhất định
.
T 
khi ở trên một vật có một mô men quán tính TÔI so với trục VỀ sẽ có lúc trở lại vị trí cân bằng M = -
tác dụng lên con lắc hiển nhiên bằng
và biến động con lắc vật lý giống như toán học, chúng sẽ được mô tả bằng một phương trình vi phân:
Vì đối với các con lắc vật lý khác nhau, mômen quán tính sẽ được biểu thị khác nhau nên chúng ta sẽ không mô tả nó như trường hợp con lắc toán học. Phương trình này cũng có dạng phương trình dao động, nghiệm của phương trình này là các hàm mô tả dao động điều hòa. Trong trường hợp này, tần số tuần hoàn ( ) , chu kỳ dao động (T)được định nghĩa là:
Chúng ta thấy rằng trong trường hợp con lắc vật lý, chu kỳ dao động phụ thuộc vào hình dạng của vật con lắc chứ không phụ thuộc vào khối lượng của nó như trong trường hợp con lắc toán học. Thật vậy, biểu thức mômen quán tính bao gồm khối lượng của con lắc lũy thừa bậc một. Mô men quán tính trong biểu thức của chu kỳ dao động ở tử số, trong khi khối lượng của con lắc ở mẫu số và cũng ở lũy thừa bậc nhất. Do đó, khối lượng ở tử số triệt tiêu khối lượng ở mẫu số.
Một con lắc vật lý còn có một đặc điểm nữa: chiều dài giảm đi.
Chiều dài rút gọn của con lắc vật lý là chiều dài của con lắc toán học, chu kỳ của nó trùng với chu kỳ của con lắc vật lý.
Định nghĩa này giúp dễ dàng xác định một biểu thức có độ dài nhất định.
So sánh các biểu thức này chúng ta nhận được
Nếu trên một đường thẳng nối từ điểm treo đi qua khối tâm của con lắc vật lý, chúng ta vẽ (bắt đầu từ điểm treo) chiều dài rút gọn của con lắc vật lý thì ở cuối đoạn này sẽ có một điểm có tài sản đáng chú ý. Nếu một con lắc vật lý được treo ở điểm này thì chu kỳ dao động của nó sẽ giống như trường hợp treo con lắc ở điểm treo trước đó. Những điểm này được gọi là tâm dao động của con lắc vật lý.
Hãy xem xét một hệ dao động đơn giản khác thực hiện dao động điều hòa
8.3. Con lắc lò xo
P 
Chúng ta hãy tưởng tượng rằng tại điểm cuối của một lò xo có hệ số độ cứng k khối lượng kèm theo tôi.
Nếu chúng ta di chuyển tải dọc theo trục x bằng cách kéo căng lò xo thì một lực trở về vị trí cân bằng sẽ tác dụng lên tải. F trở lại = - kx. Nếu thả tải thì lực này sẽ gây ra gia tốc d 2 x / dt 2 . Theo định luật II Newton ta có:
md 2 x / dt 2 = - kx từ phương trình này, chúng ta thu được phương trình dao động của tải trọng tác dụng lên lò xo ở dạng cuối cùng: d 2 x / dt 2 + (k/ tôi) x = 0
E 
thì phương trình dao động có dạng giống như phương trình dao động trong các trường hợp đã xét, có nghĩa là nghiệm của phương trình này sẽ có cùng các hàm điều hòa. Tần số và chu kỳ dao động lần lượt bằng nhau
Hơn nữa, trọng lực không hề ảnh hưởng đến sự rung động con lắc mùa xuân. Vì trong trường hợp này, nó là một yếu tố tác động liên tục, luôn tác động theo một hướng và không liên quan gì đến lực phục hồi.
Vì vậy, như chúng ta thấy quá trình dao động trong một hệ dao động cơ học, nó được đặc trưng chủ yếu bởi sự có mặt trong hệ thống lực phục hồi tác dụng lên hệ và bản thân các dao động được đặc trưng bởi: biên độ dao động, chu kỳ, tần số và pha dao động của chúng.
phổi
trái tim
Chủ đề bài học: “Tự do và dao động cưỡng bức. Động lực của chuyển động dao động".
- Rung động cơ học – đây là những chuyển động được lặp lại chính xác hoặc gần đúng trong những khoảng thời gian nhất định.
Các loại rung động chính
bị ép
miễn phí
gọi là dao động của các vật dưới tác dụng của các lực thay đổi tuần hoàn từ bên ngoài.
gọi là dao động trong một hệ dưới tác dụng nội lực, sau khi hệ thống đã được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng và sau đó được để lại cho các thiết bị riêng của nó.
con lắc - một vật được treo trên một sợi dây hoặc cố định vào một trục và có thể dao động dưới tác dụng của trọng lực
Các loại con lắc
Mùa xuân- Một vật treo vào lò xo và dao động điều hòa dưới tác dụng của lực đàn hồi của lò xo.
Toán học (luồng) là một điểm vật chất được treo trên một sợi dây không trọng lượng và không thể giãn ra được.
Điều kiện xảy ra dao động
- Khi một vật được đưa ra khỏi vị trí cân bằng, một lực sẽ xuất hiện trong hệ, hướng về vị trí cân bằng và do đó có xu hướng đưa vật về vị trí cân bằng.
- Ma sát trong hệ thống phải khá thấp.
- Biên độ - mô đun dịch chuyển lớn nhất của vật so với vị trí cân bằng.
X tối đa hoặc MỘT
Đo bằng mét
- Giai đoạn T – thời gian của một dao động toàn phần.
Tính bằng giây
Chu kỳ dao động
Đối với môn toán
con lắc
cho mùa xuân
con lắc
(công thức Huygen)
Tính thường xuyên - số dao động toàn phần trong một đơn vị thời gian.
Đo bằng Hertz
- Tần số rung theo chu kỳ (tròn) – Tính thường xuyên, bằng số dao động được thực hiện điểm vật chất vì
Được đo bằng radian trên giây
Thế giới biến động
- Dao động là một trong những quá trình phổ biến nhất trong tự nhiên và công nghệ.
- cánh của côn trùng và chim đang bay,
- nhà cao tầng và đường dây điện cao thế tiếp xúc với gió,
- con lắc của đồng hồ dây cót và ô tô tác động lên lò xo khi chuyển động
- mực nước sông quanh năm và nhiệt độ cơ thể con người trong trường hợp bị bệnh.
Một chút lịch sử...
Galileo Galilei (1564-1642)
Nhà khoa học vĩ đại người Ý là một trong những người tạo ra khoa học tự nhiên chính xác.
Một ngày nọ ở nhà thờ, anh ấy Tôi nhìn chiếc đèn chùm khổng lồ đung đưa và đếm thời gian bằng nhịp đập của mình. Sau đó, ông phát hiện ra rằng thời gian để lắc một lần phụ thuộc vào chiều dài của con lắc - thời gian giảm đi một nửa nếu con lắc ngắn đi 3/4.
Một chút lịch sử...
Nổi tiếng nhất sử dụng thực tế Việc sử dụng con lắc trong đồng hồ để đo thời gian. Điều này lần đầu tiên được thực hiện bởi nhà vật lý người Hà Lan H. Huygens. Nhà khoa học đã tham gia vào nhiệm vụ tạo ra và cải tiến đồng hồ, chủ yếu là đồng hồ quả lắc, trong gần bốn mươi năm: từ 1656 đến 1693, Huygens đã đưa ra công thức xác định chu kỳ dao động của một con lắc toán học. Trước đây, thời gian được đo bằng dòng nước, sự đốt cháy của ngọn đuốc hoặc ngọn nến.
con lắc Foucault
Năm 1850, J. Foucault treo một con lắc dưới mái vòm tòa nhà cao tầng sao cho đầu con lắc khi lắc lư để lại vết trên cát đổ xuống sàn. Hóa ra là với mỗi lần cuộn, đầu nhọn sẽ để lại một dấu vết mới trên cát.
Do đó, thí nghiệm của Foucault cho thấy Trái đất quay quanh trục của nó.
Ban đầu, thí nghiệm được thực hiện ở vòng tròn hẹp, nhưng Napoléon rất quan tâm III, Hoàng đế Pháp, đề nghị với Foucault rằng nó được lặp lại công khai trên quy mô lớn dưới mái vòm của Pantheon ở Paris. Cuộc biểu tình công khai này thường được gọi là thí nghiệm Foucault.
Trong địa chất, con lắc được sử dụng để xác định thực nghiệm giá trị số g V. điểm khác nhau bề mặt trái đất. Đủ cho việc này một số lượng lớn dao động của con lắc tại nơi đo g , tìm chu kỳ dao động T của nó và g được tính bằng công thức:
Độ lệch đáng chú ý về giá trị g so với định mức cho bất kỳ khu vực nào được gọi là dị thường hấp dẫn. Phát hiện bất thường giúp xác định vị trí các mỏ khoáng sản.
Công việc trong phòng thí nghiệm“Định nghĩa gia tốc rơi tự do dùng con lắc"
Mục đích của công việc: học thực nghiệm cách đo gia tốc trọng trường bằng con lắc toán học.
Thiết bị: giá ba chân, quả bóng trên dây, đồng hồ, thước kẻ.
Từ ba câu gợi ý, hãy chọn một câu mô tả trạng thái của bạn ở cuối bài học .
1.Đôi mắt lấp lánh Tâm hồn đang cười Và tâm trí tôi hát: “Chuyển tiếp kiến thức”!
2. Hôm nay tôi không vui Trong im lặng tôi cảm thấy buồn, Tất cả về những biến động lóe lên ở phía xa.
3. Ghi nhớ mọi thứ kiến thức của bạn, Và các nhà vật lý hiểu được thế giới, Tôi biết ơn số phận của mẹ, Rằng có những biến động trên thế giới
và chúng ta không thể đếm hết được!
>> Động lực của chuyển động dao động
§21 ĐỘNG LỰC CỦA CHUYỂN ĐỘNG RUNG
Để mô tả một cách định lượng sự dao động của một vật dưới tác dụng của lực đàn hồi của lò xo hoặc sự dao động của một quả cầu treo trên một sợi dây, người ta sử dụng các định luật cơ học của Newton.
Phương trình chuyển động của một vật dao động điều hòa dưới tác dụng của lực đàn hồi. Theo định luật thứ hai của Newton, tích của khối lượng m của một vật và gia tốc của nó bằng tổng của tất cả các lực tác dụng lên vật đó:
Chia vế trái và vế phải của phương trình này cho m, ta được
Trước đây người ta cho rằng các góc lệch của sợi con lắc so với phương thẳng đứng có thể là bất kỳ. Trong tương lai chúng ta sẽ coi chúng là nhỏ. Đối với các góc nhỏ, nếu góc được đo bằng radian,
Nếu góc nhỏ thì hình chiếu gia tốc xấp xỉ bằng hình chiếu gia tốc trên trục OX: (xem hình 3.5). Xét tam giác ABO có góc a nhỏ ta có:
Thay biểu thức này vào đẳng thức (3.8) thay cho góc , ta thu được
Phương trình này có dạng giống như phương trình (3.4) đối với gia tốc của một quả bóng gắn với một lò xo. Do đó, nghiệm của phương trình này sẽ có dạng giống như nghiệm của phương trình (3.4). Điều này có nghĩa là chuyển động của quả bóng và dao động của con lắc xảy ra theo cùng một cách. Độ dịch chuyển của quả cầu trên lò xo và thân con lắc so với vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo cùng một định luật, mặc dù các lực gây ra dao động là khác nhau. bản chất vật lý. Bằng cách nhân phương trình (3.4) và (3.10) với m và ghi nhớ định luật thứ hai Newton ma x = Fх res, chúng ta có thể kết luận rằng dao động trong hai trường hợp này xảy ra dưới tác dụng của lực, hợp lực của lực này tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển của vật dao động khỏi vị trí cân bằng và hướng về phía đối diện với sự dịch chuyển này.
Phương trình (3.4), giống như (3.10), rõ ràng là rất đơn giản: gia tốc tỷ lệ thuận với tọa độ (độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng).
Nội dung bài học ghi chú bài học hỗ trợ phương pháp tăng tốc trình bày bài học khung công nghệ tương tác Luyện tập nhiệm vụ và bài tập hội thảo tự kiểm tra, đào tạo, tình huống, nhiệm vụ bài tập về nhà vấn đề gây tranh cãi câu hỏi tu từ từ sinh viên Minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiện hình ảnh, hình ảnh, đồ họa, bảng biểu, sơ đồ, hài hước, giai thoại, truyện cười, truyện tranh, ngụ ngôn, câu nói, ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt bài viết thủ thuật cho trẻ tò mò sách giáo khoa từ điển cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải thiện sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa, những yếu tố đổi mới trong bài, thay thế kiến thức cũ bằng kiến thức mới Chỉ dành cho giáo viên bài học hoàn hảo kế hoạch lịch trong một năm khuyến nghị về phương pháp chương trình thảo luận Bài học tích hợpĐể mô tả một cách định lượng sự dao động của một vật dưới tác dụng của lực đàn hồi của lò xo hoặc sự dao động của một quả cầu treo trên một sợi dây, chúng ta sẽ sử dụng các định luật cơ học của Newton. Phương trình chuyển động của một vật dao động điều hòa dưới tác dụng của lực đàn hồi. Theo định luật II Newton, tích của khối lượng m và gia tốc a bằng tổng F của tất cả các lực tác dụng lên vật: Viết phương trình chuyển động của một quả bóng chuyển động thẳng theo phương ngang dưới tác dụng của lực đàn hồi lực F của lò xo (xem hình 56). Hãy hướng trục Ox sang bên phải. Đặt gốc tọa độ tương ứng với vị trí cân bằng (xem hình 56, a). Trong các hình chiếu lên trục Ox, phương trình (3.1) sẽ được viết như sau: max = Fxynp, trong đó ax và Fxyn lần lượt là hình chiếu của gia tốc và lực đàn hồi. Theo định luật Hooke, hình chiếu Fx tỉ lệ thuận với độ dịch chuyển của quả bóng khỏi vị trí cân bằng của nó. Độ dịch chuyển bằng tọa độ x của quả bóng và hình chiếu lực và tọa độ có dấu hiệu trái ngược(xem Hình 56, b, c). Do đó, Fx m=~kx, (3.2) trong đó k là độ cứng của lò xo. Phương trình chuyển động của quả bóng khi đó sẽ có dạng: max=~kx. (3.3) Chia vế trái và vế phải của phương trình (3.3) cho m, ta được a = - - x. + (3.4) x m v " Vì khối lượng m và độ cứng k là những đại lượng không đổi nên tỉ số - " k cũng bằng không thay đổi. t Ta thu được phương trình chuyển động của một vật dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực đàn hồi. Rất đơn giản: trục chiếu của gia tốc của một vật tỷ lệ thuận với tọa độ x của nó, lấy dấu ngược lại. Phương trình chuyển động của một con lắc toán học. Khi một quả bóng dao động trên một sợi dây không dãn, nó liên tục chuyển động dọc theo một cung tròn có bán kính là bằng chiều dài chủ đề/. Do đó, vị trí của quả bóng tại bất kỳ thời điểm nào được xác định bởi một đại lượng - góc a của độ lệch của sợi dây so với phương thẳng đứng. Chúng ta sẽ coi góc a là dương nếu con lắc nghiêng sang phải so với vị trí cân bằng, và âm nếu nó nghiêng sang trái (xem Hình 58). Tiếp tuyến của quỹ đạo sẽ được coi là hướng về tham chiếu góc dương. Chúng ta hãy biểu thị hình chiếu của trọng lực lên tiếp tuyến với quỹ đạo của con lắc bằng Fz. Hình chiếu này tại thời điểm con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc a được biểu diễn như sau: Fl=-Fs\na=-mgs"ma. (3.5) Ở đây dấu “-” là do Fx và a có dấu ngược nhau. Khi con lắc lệch về bên phải (a>0) thì thành phần Fx của trọng lực hướng về bên trái và hình chiếu của nó âm: Fx 0. Ta ký hiệu hình chiếu của gia tốc của con lắc. trên tiếp tuyến của quỹ đạo của nó qua aT. Phép chiếu này đặc trưng cho tốc độ thay đổi mô đun vận tốc của con lắc. Theo định luật thứ hai của Newton, chia vế trái và vế phải của phương trình này cho m, ta thu được jf. -g sin a. (3.7) Cho đến nay, người ta vẫn giả định rằng góc lệch của sợi dây con lắc so với phương thẳng đứng có thể tùy ý. Do đó, chúng ta sẽ coi chúng là nhỏ. , chúng ta có thể lấy a=~ga. (3.8) Biểu thị độ dài của cung OA bằng s (xem Hình 58), chúng ta có thể viết s=al, từ đó a=y (3.9) Thay biểu thức này vào đẳng thức (. 3.8) thay vì góc a, ta thu được ax = - js phương trình này có dạng giống phương trình (3.4) của chuyển động của một quả cầu gắn với một lò xo. Ở đây, chỉ thay vì trục hình chiếu của gia tốc thì có hình chiếu aT của gia tốc và thay vì tọa độ x thì có giá trị s. Và hệ số tỷ lệ không còn phụ thuộc vào độ cứng của lò xo và khối lượng của quả cầu mà phụ thuộc vào gia tốc rơi tự do và chiều dài của sợi dây. Nhưng cũng như trước, gia tốc tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển (được xác định bởi cung) của quả bóng khỏi vị trí cân bằng. Chúng tôi đi đến một kết luận đáng chú ý: các phương trình chuyển động mô tả các dao động của hệ thống khác nhau, giống như quả bóng đặt trên lò xo và con lắc, đều giống nhau. Điều này có nghĩa là chuyển động của quả bóng và dao động của con lắc xảy ra theo cùng một cách. Chuyển vị của quả cầu trên lò xo và quả lắc khỏi vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo cùng một định luật, mặc dù thực tế là các lực gây ra dao động có bản chất vật lý khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, đây là lực đàn hồi của lò xo, còn trong trường hợp thứ hai, nó là thành phần của trọng lực. Phương trình chuyển động (3.4), giống như phương trình (3.10), rõ ràng là rất đơn giản: gia tốc tỷ lệ thuận với tọa độ. Nhưng việc giải quyết nó, tức là xác định vị trí của một vật dao động trong không gian thay đổi như thế nào theo thời gian, không hề dễ dàng.