Đường phân giác chia cạnh đối diện. Các phần tử cơ bản của tam giác ABC

Hướng dẫn

Nếu vì tam giác đã cho cân hoặc đều, nghĩa là anh ta có
hai hoặc ba cạnh thì phân giác của nó tùy theo tính chất tam giác, cũng sẽ là trung vị. Và do đó, phần đối diện sẽ bị chia đôi bởi đường phân giác.

Đo cạnh đối diện bằng thước kẻ tam giác, nơi đường phân giác sẽ có xu hướng. Chia cạnh này làm đôi và đặt một dấu chấm ở giữa cạnh.

Vẽ đường thẳng đi qua điểm dựng hình và đỉnh đối diện. Đây sẽ là đường phân giác tam giác.

Nguồn:

  • Đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao của một tam giác

Chia một góc làm đôi và tính độ dài của đoạn thẳng vẽ từ đỉnh của nó sang cạnh đối diện là điều mà những người thợ cắt, người khảo sát, người lắp đặt và những người thuộc một số ngành nghề khác cần phải làm được.

Bạn sẽ cần

  • Dụng cụ Bút chì Thước đo góc Bảng sin và cosine công thức toán học và các khái niệm: Định nghĩa đường phân giác Định lý sin và cos Định lý đường phân giác

Hướng dẫn

Xây dựng một hình tam giác có kích thước yêu cầu, tùy thuộc vào những gì được cung cấp cho bạn? dfe cạnh và góc giữa chúng, ba cạnh hoặc hai góc và cạnh nằm giữa chúng.

Dán nhãn các đỉnh của các góc và các cạnh bằng các chữ cái Latinh truyền thống A, B và C. Các đỉnh của các góc được ký hiệu là , và các cạnh đối diện được ký hiệu bằng chữ thường. Dán nhãn các góc chữ cái Hy Lạp?,? Và?

Sử dụng các định lý về sin và cos, tính các góc và cạnh tam giác.

Hãy nhớ các đường phân giác. Bisector - chia một góc làm đôi. Phân giác góc tam giác chia hình đối diện thành hai đoạn bằng tỉ số của hai cạnh kề tam giác.

Vẽ các tia phân giác của các góc. Dán nhãn các đoạn kết quả bằng tên của các góc được viết chữ thường, với chỉ số l. Bên c được chia thành các đoạn a và b với chỉ số l.

Tính độ dài của các đoạn kết quả bằng cách sử dụng định luật sin.

Video về chủ đề

Xin lưu ý

Độ dài của đoạn thẳng, đồng thời là cạnh của tam giác được tạo bởi một trong các cạnh của tam giác ban đầu, đường phân giác và chính đoạn đó, được tính bằng định luật sin. Để tính độ dài của một đoạn khác có cùng cạnh, hãy sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thu được và các cạnh liền kề của tam giác ban đầu.

Lời khuyên hữu ích

Để tránh nhầm lẫn, hãy vẽ các đường phân giác góc độ khác nhau màu sắc khác nhau.

Phân giác góc gọi là tia bắt đầu từ đỉnh góc và chia nó thành hai phần bằng nhau. Những thứ kia. chi tiêu đường phân giác, bạn cần tìm phần giữa góc. Cách dễ nhất để làm điều này là sử dụng la bàn. Trong trường hợp này, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào và kết quả sẽ không phụ thuộc vào việc số lượng có góc một số nguyên.

Bạn sẽ cần

  • compa, bút chì, thước kẻ.

Hướng dẫn

Để lại chiều rộng của la bàn mở như nhau, đặt kim ở cuối đoạn trên một trong các cạnh và vẽ một phần hình tròn sao cho nó nằm bên trong góc. Làm tương tự với cái thứ hai. Bạn sẽ có hai phần của vòng tròn giao nhau bên trong góc- khoảng ở giữa. Các phần của đường tròn có thể giao nhau tại một hoặc hai điểm.

Video về chủ đề

Lời khuyên hữu ích

Để dựng đường phân giác của một góc, bạn có thể dùng thước đo góc, nhưng phương pháp này yêu cầu độ chính xác cao hơn. Hơn nữa, nếu giá trị góc không phải là số nguyên thì khả năng xảy ra lỗi khi dựng đường phân giác sẽ tăng lên.

Khi xây dựng hoặc phát triển các dự án thiết kế nhà, thường cần phải xây dựng góc, bằng với những gì đã có sẵn. Mẫu đến để giải cứu kiến thức trường học hình học.

Hướng dẫn

Một góc được tạo bởi hai đường thẳng xuất phát từ một điểm. Điểm này sẽ được gọi là đỉnh của góc và các đường thẳng sẽ là các cạnh của góc.

Sử dụng ba để chỉ các góc: một ở trên cùng, hai ở hai bên. Gọi điện góc, bắt đầu bằng chữ cái đứng ở một bên, sau đó gọi chữ cái đứng ở phía trên, rồi đến chữ cái ở phía bên kia. Sử dụng những cái khác để chỉ ra các góc nếu bạn thích cách khác. Đôi khi chỉ có một chữ cái được đặt tên ở trên cùng. Và bạn có thể biểu thị các góc bằng các chữ cái Hy Lạp, ví dụ: α, β, γ.

Có những tình huống cần thiết góc, sao cho nó hẹp hơn góc đã cho. Nếu không thể sử dụng thước đo góc khi thi công thì bạn chỉ có thể thực hiện bằng thước kẻ và la bàn. Giả sử, trên một đường thẳng được đánh dấu bằng chữ MN, bạn cần dựng góc tại điểm K sao cho bằng góc B. Nghĩa là từ điểm K kẻ đường thẳng MN góc, sẽ bằng góc B.

Bắt đầu bằng cách đánh dấu một điểm ở mỗi bên. góc đã cho, ví dụ: điểm A và C, sau đó nối điểm C và A bằng một đường thẳng. Get tre góc nik ABC.

Bây giờ dựng tre tương tự trên đoạn thẳng MN góc sao cho đỉnh B của nó nằm trên đường thẳng tại điểm K. Áp dụng quy tắc dựng tam giác góc nnik trong ba. Nằm cách đoạn KL từ điểm K. Nó phải bằng đoạn BC. Đạt được điểm L.

Từ điểm K vẽ đường tròn có bán kính bằng đoạn BA. Từ L vẽ đường tròn bán kính CA. Nối điểm kết quả (P) giao điểm của hai đường tròn với K. Nhận được ba góc KPL, sẽ bằng ba góc sách ABC. Đây là cách bạn có được góc K. Nó sẽ bằng góc B. Để thuận tiện và nhanh chóng hơn, hãy tách khỏi đỉnh B phân đoạn bằng nhau, dùng một lỗ la bàn, không di chuyển chân, vẽ một đường tròn có cùng bán kính tính từ điểm K.

Video về chủ đề

Mẹo 5: Cách dựng tam giác khi biết hai cạnh và đường trung tuyến

Hình tam giác là hình hình học đơn giản nhất có ba đỉnh được nối thành từng cặp bằng các đoạn tạo thành các cạnh của đa giác này. Đoạn thẳng nối đỉnh với điểm giữa của cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến. Biết độ dài của hai cạnh và đường trung tuyến nối tại một trong các đỉnh, bạn có thể dựng một tam giác mà không cần có thông tin về độ dài cạnh thứ ba hoặc kích thước của các góc.

Hướng dẫn

Từ điểm A vẽ một đoạn có chiều dài bằng một trong các cạnh đã biết của tam giác (a). Đánh dấu điểm cuối của đoạn này bằng chữ B. Sau đó, một trong các cạnh (AB) của tam giác mong muốn có thể được coi là đã được dựng.

Dùng compa vẽ một đường tròn có bán kính bằng hai lần chiều dài đường trung tuyến (2∗m) và có tâm tại điểm A.

Dùng compa vẽ đường tròn thứ hai có bán kính bằng chiều dài bên được biết đến(b) và tâm ở điểm B. Đặt la bàn sang một bên một lúc, nhưng hãy để la bàn đã đo trên đó - bạn sẽ cần nó lại sau một lát.

Vẽ đoạn thẳng nối điểm A với giao điểm của hai đoạn thẳng bạn đã vẽ. Một nửa đoạn này sẽ là đoạn bạn đang xây - hãy đo nửa này và đặt điểm M. Tại thời điểm này, bạn có một cạnh của tam giác mong muốn (AB) và đường trung tuyến của nó (AM).

Dùng compa vẽ một đường tròn có bán kính bằng chiều dài cạnh thứ hai đã biết (b) và có tâm tại điểm A.

Vẽ một đoạn bắt đầu tại điểm B, đi qua điểm M và kết thúc tại giao điểm của đường thẳng với đường tròn bạn đã vẽ ở bước trước. Chỉ định giao điểm bằng chữ C. Bây giờ cạnh BC, chưa biết theo điều kiện của bài toán, đã được dựng theo yêu cầu.

Khả năng chia bất kỳ góc nào bằng đường phân giác không chỉ cần thiết để đạt điểm “A” trong môn toán. Kiến thức này sẽ rất hữu ích cho các nhà xây dựng, nhà thiết kế, nhà khảo sát và thợ may. Trong cuộc sống, bạn cần có khả năng chia đôi nhiều thứ.

Mọi người ở trường đều biết đến một câu chuyện cười về một con chuột chạy quanh các góc và chia góc làm đôi. Tên của loài gặm nhấm nhanh nhẹn và thông minh này là Bisector. Người ta không biết con chuột chia góc như thế nào và các nhà toán học sách giáo khoa ở trường"Hình học" các phương pháp sau đây có thể được đề xuất.

Sử dụng thước đo góc

Cách dễ nhất để thực hiện đường phân giác là sử dụng một thiết bị. Bạn cần gắn thước đo góc vào một cạnh của góc, căn chỉnh điểm tham chiếu với đầu O của nó. Sau đó đo góc theo độ hoặc radian rồi chia cho hai. Sử dụng cùng một thước đo góc, đặt các độ thu được ở một trong các cạnh và vẽ một đường thẳng sẽ trở thành đường phân giác đến điểm bắt đầu của góc O.

Sử dụng la bàn

Bạn cần lấy một chiếc la bàn và di chuyển nó đến bất kỳ kích thước tùy ý nào (trong giới hạn của hình vẽ). Đặt đầu nhọn ở điểm bắt đầu của góc O, vẽ một vòng cung giao nhau với các tia, đánh dấu hai điểm trên chúng. Chúng được chỉ định là A1 và A2. Sau đó, đặt xen kẽ la bàn tại các điểm này, vẽ hai hình tròn có cùng đường kính tùy ý (theo tỷ lệ của hình vẽ). Các điểm giao nhau của chúng được chỉ định là C và B. Tiếp theo, bạn cần vẽ một đường thẳng đi qua các điểm O, C và B, đây sẽ là đường phân giác mong muốn.

Sử dụng thước kẻ

Để vẽ đường phân giác của một góc bằng thước kẻ, bạn cần vẽ các đoạn từ điểm O lên các tia (cạnh) cùng chiều dài và chỉ định chúng là các điểm A và B. Sau đó, bạn nên nối chúng bằng một đường thẳng và dùng thước kẻ chia đoạn kết quả làm đôi, chỉ định điểm C. Sẽ thu được một đường phân giác nếu bạn vẽ một đường thẳng đi qua các điểm C và Ô.

Không có công cụ

Nếu không dụng cụ đo lường, bạn có thể sử dụng sự khéo léo của mình. Chỉ cần vẽ một góc trên giấy can hoặc giấy mỏng thông thường và cẩn thận gấp mảnh giấy sao cho các tia của góc thẳng hàng. Đường gấp trong bản vẽ sẽ là đường phân giác mong muốn.

Góc thẳng

Một góc lớn hơn 180 độ có thể được chia bằng một đường phân giác bằng các phương pháp tương tự. Chỉ cần chia không phải nó mà là góc nhọn liền kề với nó, còn lại từ đường tròn. Phần tiếp theo của đường phân giác tìm thấy sẽ trở thành đường thẳng mong muốn, chia góc mở ra làm đôi.

Các góc trong một tam giác

Cần nhớ rằng trong tam giác đềuđường phân giác cũng là đường trung tuyến và chiều cao. Do đó, có thể tìm thấy đường phân giác trong nó bằng cách hạ thấp đường vuông góc với cạnh đối diện với góc (chiều cao) hoặc chia cạnh này làm đôi và nối điểm giữa với góc đối diện(trung vị).

Video về chủ đề

quy tắc ghi nhớ“Đường phân giác là một con chuột chạy quanh các góc và chia chúng làm đôi” mô tả bản chất của khái niệm nhưng không đưa ra khuyến nghị về cách xây dựng đường phân giác. Để vẽ nó, ngoài thước kẻ, bạn sẽ cần một compa và thước kẻ.

Hướng dẫn

Giả sử bạn cần xây dựng đường phân giác góc A. Lấy một la bàn, đặt đầu la bàn vào điểm A (góc) và vẽ một đường tròn có hình . Nơi nó giao nhau với các cạnh của góc, đặt điểm B và C.

Đo bán kính của hình tròn đầu tiên. Vẽ một hình khác có cùng bán kính, đặt compa tại điểm B.

Vẽ đường tròn tiếp theo (có kích thước bằng các hình trước) có tâm tại điểm C.

Cả ba đường tròn phải cắt nhau tại một điểm - gọi nó là F. Dùng thước vẽ một tia đi qua hai điểm A và F. Đây sẽ là đường phân giác mong muốn của góc A.

Có một số quy tắc sẽ giúp bạn tìm thấy. Ví dụ, nó ngược lại ở chỗ, bằng tỷ lệ hai cạnh kề nhau. Trong hình cân

Tam giác - một đa giác có ba cạnh hoặc khép kín đường gãy có ba liên kết hoặc một hình được tạo thành bởi ba đoạn nối ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng (xem Hình 1).

Yếu tố cơ bản tam giác abc

Đỉnh – các điểm A, B và C;

các bữa tiệc – các đoạn thẳng a = BC, b = AC và c = AB nối các đỉnh;

góc – α, β, γ tạo thành bởi ba cặp cạnh. Các góc thường được ký hiệu giống như các đỉnh, với các chữ cái A, B và C.

Góc tạo bởi các cạnh của một tam giác và nằm trong diện tích bên trong của nó được gọi là góc trong, góc kề với nó là góc kề của tam giác đó (2, tr. 534).

Đường cao, đường trung bình, đường phân giác và đường trung bình của một tam giác

Ngoài các phần tử chính trong một tam giác, các đoạn khác có các tính chất thú vị cũng được xem xét: chiều cao, đường trung bình, đường phân giác và đường giữa.

Chiều cao

Chiều cao tam giác- đây là những đường vuông góc hạ từ các đỉnh của tam giác sang các cạnh đối diện.

Để vẽ chiều cao, bạn phải thực hiện các bước sau:

1) vẽ đường thẳng chứa một cạnh của tam giác (nếu chiều cao được vẽ từ đỉnh góc nhọn trong một tam giác tù);

2) từ đỉnh nằm đối diện với đường vẽ, vẽ một đoạn từ điểm đến đường này, tạo một góc 90 độ với nó.

Giao điểm của đường cao với cạnh của tam giác gọi là đế chiều cao (xem hình 2).

Tính chất đường cao của tam giác

    Trong tam giác vuông, đường cao tính từ đỉnh góc vuông, chia nó thành hai hình tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.

    Trong một tam giác nhọn, hai đường cao của nó cắt các tam giác đồng dạng khỏi nó.

    Nếu tam giác nhọn thì tất cả các đáy của các đường cao đều thuộc các cạnh của tam giác và tam giác tù hai độ cao rơi vào sự tiếp tục của các bên.

    Ba độ cao trong tam giác nhọn cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm tam giác.

trung vị

trung vị(từ tiếng Latin mediana - "giữa") - đây là các đoạn nối các đỉnh của tam giác với trung điểm của các cạnh đối diện (xem Hình 3).

Để xây dựng trung vị, bạn phải thực hiện các bước sau:

1) tìm phần giữa của cạnh;

2) nối điểm nằm giữa cạnh của tam giác với đỉnh đối diện bằng một đoạn thẳng.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác

    Đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

    Các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này chia chúng theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh. Điểm này được gọi là trọng tâm tam giác.

Toàn bộ tam giác được chia bởi các đường trung tuyến của nó thành sáu hình tam giác bằng nhau.

Phân giác

Phân giác(từ tiếng Latin bis - hai lần và seko - cắt) là các đoạn thẳng nằm bên trong một hình tam giác chia đôi các góc của nó (xem Hình 4).

Để dựng đường phân giác ta thực hiện các bước sau:

1) dựng tia đi ra từ đỉnh của góc và chia nó thành hai phần bằng nhau (đường phân giác của góc);

2) Tìm giao điểm của đường phân giác của một góc của tam giác với phía đối diện;

3) chọn đoạn nối đỉnh của tam giác với giao điểm ở cạnh đối diện.

Tính chất đường phân giác của tam giác

    Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh kề nhau.

    Các đường phân giác của các góc trong của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp.

    Các đường phân giác của góc trong và góc ngoài vuông góc với nhau.

    Nếu đường phân giác của một góc ngoài của tam giác cắt phần kéo dài của cạnh đối diện thì ADBD=ACBC.

    Phân giác của một bên trong và hai góc bên ngoài tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này là tâm của một trong ba điểm vòng ngoài tam giác này.

    Hai đáy của các đường phân giác của hai góc trong và một góc ngoài của một tam giác nằm trên một đường thẳng nếu đường phân giác của góc ngoài không song song với cạnh đối diện của tam giác.

    Nếu các đường phân giác của các góc ngoài của một tam giác không song song với các cạnh đối diện thì đáy của chúng cùng nằm trên một đường thẳng.

Các góc trong của tam giác gọi là đường phân giác của tam giác.
Đường phân giác của một góc trong tam giác còn được hiểu là đoạn nối giữa đỉnh của nó với giao điểm của đường phân giác với cạnh đối diện của tam giác đó.
Định lý 8. Ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm.
Thật vậy, trước tiên chúng ta xét điểm P là giao điểm của hai đường phân giác, ví dụ AK 1 và VK 2. Điểm này cách đều các cạnh AB và AC, vì nó nằm trên phân giác của góc A, và cách đều các cạnh AB và BC, vì nó thuộc phân giác của góc B. Điều này có nghĩa là điểm này cách đều hai cạnh AB và BC. các cạnh AC và BC do đó thuộc phân giác thứ ba CK 3, nghĩa là tại điểm P cả ba đường phân giác đều cắt nhau.
Tính chất các đường phân giác của các góc trong và ngoài của một tam giác
Định lý 9. Phân giác góc trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh kề.
Bằng chứng. Xét tam giác ABC và phân giác của góc B. Qua đỉnh C vẽ đường thẳng CM song song với phân giác BC cho đến khi cắt điểm M và tiếp tục cạnh AB. Vì VC là phân giác của góc ABC nên ∠ ABC = ∠ KBC. Hơn nữa, ∠ АВК=∠ ВСМ, là các góc tương ứng của các đường thẳng song song, và ∠ КВС=∠ ВСМ, là các góc chéo của các đường thẳng song song. Do đó ∠ ВСМ=∠ ВМС, và do đó tam giác ВСМ là cân, do đó ВС=ВМ. Theo định lý về các đường thẳng song song cắt các cạnh của một góc, ta có AK:K C=AB:VM=AB:BC, đây là điều cần chứng minh.
Định lý 10 Phân giác của góc ngoài B tam giác ABC có tính chất tương tự: các đoạn thẳng AL và CL nối từ đỉnh A và C đến điểm L là giao điểm của phân giác với sự tiếp tục của cạnh AC tỉ lệ với các cạnh của tam giác: AL: C.L.=AB:BC.
Tính chất này được chứng minh theo cách tương tự như tính chất trước: trong hình vẽ đường phụ SM song song với phân giác BL. Các góc BMC và BC bằng nhau nên các cạnh BM và BC của tam giác BMC bằng nhau. Từ đó ta đi đến kết luận AL:CL=AB:BC.

Định lý d4. (công thức đầu tiên về phân giác): Nếu trong tam giác ABC đoạn AL là phân giác của góc A thì AL? = AB·AC - LB·LC.

Bằng chứng: Gọi M là giao điểm của đường thẳng AL với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Hình 41). Góc BAM bằng góc MAC theo điều kiện. Các góc BMA và BCA bằng nhau khi các góc nội tiếp cùng chắn một dây. Điều này có nghĩa là các tam giác BAM và LAC có hai góc bằng nhau.<=>Do đó, AL: AC = AB: AM. Vậy AL · AM = AB · AC<=>AL(AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Đó là điều cần phải chứng minh. Lưu ý: về định lý về các đoạn dây cắt nhau trong một đường tròn và về các góc nội tiếp, xem chủ đề đường tròn và đường tròn.
Định lý d5.

Bằng chứng:(công thức thứ hai về đường phân giác): Cho tam giác ABC có các cạnh AB=a, AC=b và góc A bằng 2? và phân giác l, đẳng thức có giá trị:<=>l = (2ab / (a+b)) cos?.<=>Cho tam giác ABC, AL là đường phân giác của nó (Hình 42), a=AB, b=AC, l=AL. Khi đó S ABC = S ALB + S ALC. Vì vậy, absin2? = alsin? +blsin?

2absin?·cos? = (a + b) lsin?

l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Định lý đã được chứng minh. Hình học là một trong những ngành khoa học phức tạp và khó hiểu nhất. Trong đó, những gì thoạt nhìn có vẻ hiển nhiên rất hiếm khi hóa ra lại đúng. Đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến, hình chiếu, tiếp tuyến - một số lượng lớn các thuật ngữ thực sự khó, rất dễ bị nhầm lẫn. Trên thực tế, với mong muốn đúng đắn, bạn có thể hiểu được một lý thuyết ở bất kỳ mức độ phức tạp nào. Khi nói đến đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao, bạn cần hiểu rằng chúng không phải chỉ có ở hình tam giác. Thoạt nhìn điều này dòng đơn giản, nhưng mỗi trong số chúng đều có những đặc tính và chức năng riêng, kiến ​​thức về chúng giúp đơn giản hóa rất nhiều giải pháp

bài toán hình học

. Vậy đường phân giác của một tam giác là gì? Sự định nghĩa Bản thân thuật ngữ "phân giác" xuất phát từ sự kết hợp từ Latin“hai” và “cắt”, “cắt”, đã gián tiếp biểu thị các thuộc tính của nó. Thông thường, khi trẻ làm quen với tia này, chúng sẽ được dạy một câu ngắn gọn để ghi nhớ: “Đường phân giác là con chuột chạy quanh các góc và chia góc làm đôi”. Đương nhiên, lời giải thích như vậy không phù hợp với học sinh lớn hơn; hơn nữa, chúng thường không được hỏi về một góc mà về một hình hình học. Vậy đường phân giác của một tam giác là tia nối đỉnh của tam giác với cạnh đối diện, đồng thời chia góc thành hai phần bằng nhau. Điểm ở phía đối diện nơi đường phân giác đi tới

tam giác tùy ý

Chùm tia này có một số tính chất cơ bản. Thứ nhất, vì đường phân giác của một tam giác là phân giác của một góc nên mọi điểm nằm trên đó sẽ nằm trên khoảng cách bằng nhau từ các phía tạo thành đỉnh. Thứ hai, trong mỗi tam giác, bạn có thể vẽ ba đường phân giác, theo số góc có sẵn (do đó, trong cùng một tứ giác sẽ có bốn đường phân giác, v.v.). Điểm mà cả ba tia giao nhau là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Thuộc tính trở nên phức tạp hơn

Hãy phức tạp hóa lý thuyết một chút. Một điều nữa tài sản thú vị: đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành các đoạn có tỉ số của chúng bằng tỉ số của các cạnh tạo thành đỉnh. Thoạt nhìn thì có vẻ phức tạp nhưng trên thực tế mọi thứ đều đơn giản: trong hình đề xuất, RL: LQ = PR: PK. Nhân tiện, tính chất này được gọi là “Định lý phân giác” và lần đầu tiên xuất hiện trong các tác phẩm của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid. Nó chỉ được ghi nhớ trong một trong những cuốn sách giáo khoa tiếng Nga vào quý đầu tiên của thế kỷ XVII.

Nó phức tạp hơn một chút. Trong một tứ giác, đường phân giác cắt một tam giác cân. Hình này thể hiện tất cả góc bằng nhau cho AF trung bình.

Và trong các hình tứ giác và hình thang, các đường phân giác của các góc một cạnh vuông góc với nhau. Trong hình vẽ, góc APB bằng 90 độ.

Trong một tam giác cân

Đường phân giác của một tam giác cân là tia hữu ích hơn nhiều. Đồng thời, nó không chỉ là ước số của một góc làm đôi mà còn là đường trung tuyến và đường cao.

Đường trung tuyến là đoạn xuất phát từ một góc nào đó và rơi vào giữa phía đối diện, từ đó chia nó thành các phần bằng nhau. Chiều cao là đường vuông góc đi từ một đỉnh đến cạnh đối diện; nhờ nó mà mọi bài toán đều có thể được quy về một định lý Pythagore đơn giản và nguyên thủy. Trong trường hợp này, đường phân giác của tam giác bằng căn bậc hai của hiệu giữa bình phương cạnh huyền và cạnh kia. Nhân tiện, tính chất này thường gặp nhất trong các bài toán hình học.

Để củng cố: trong tam giác này, đường phân giác FB là đường trung tuyến (AB = BC) và đường cao (góc FBC và FBA bằng 90 độ).

Nói chung về mặt

Vậy bạn cần nhớ điều gì? Đường phân giác của một tam giác là tia chia đôi đỉnh của nó. Tại giao điểm của ba tia có tâm của một đường tròn nội tiếp một tam giác cho trước (nhược điểm duy nhất của tính chất này là nó không có giá trị thực tế và chỉ phục vụ cho việc thực hiện bản vẽ có thẩm quyền). Nó cũng chia phía đối diện thành các đoạn, tỷ số của chúng bằng tỷ số của các cạnh mà tia này đi qua. Trong một hình tứ giác, các tính chất trở nên phức tạp hơn một chút, nhưng phải thừa nhận rằng chúng thực tế không bao giờ xuất hiện trong các vấn đề cấp trường, vì vậy chúng thường không được đề cập đến trong chương trình.

Đường phân giác của một tam giác cân là ước mơ lớn nhất của bất kỳ học sinh nào. Nó vừa là đường trung tuyến (tức là chia cạnh đối diện làm đôi) vừa là đường cao (vuông góc với cạnh đó). Việc giải các bài toán bằng đường phân giác như vậy sẽ rút gọn về định lý Pythagore.

Kiến thức về các hàm cơ bản của đường phân giác, cũng như các tính chất cơ bản của nó, là cần thiết để giải các bài toán hình học về cả đường trung bình và đường phân giác. cấp độ cao sự phức tạp. Trên thực tế, tia này chỉ được tìm thấy trong phép đo phẳng, vì vậy không thể nói rằng việc ghi nhớ thông tin về nó sẽ cho phép bạn xử lý mọi loại nhiệm vụ.

Phân giác của một góc của một tam giác là gì? Đối với câu hỏi này, một số người cho rằng con chuột nổi tiếng chạy quanh các góc và chia góc làm đôi." Nếu câu trả lời phải là "hài hước" thì có lẽ nó đúng. Nhưng với điểm khoa học Từ một góc độ nào đó, câu trả lời cho câu hỏi này sẽ giống như thế này: bắt đầu từ đỉnh của một góc và chia phần sau thành hai phần bằng nhau." Trong hình học, hình này cũng được coi là một đoạn của đường phân giác trước giao điểm của nó với cạnh đối diện của một tam giác Đây không phải là một quan điểm sai lầm. Nhưng còn điều gì khác được biết về đường phân giác của một góc, ngoài định nghĩa của nó?

Giống như bất cứ ai khác quỹ tíchđiểm, nó có những dấu hiệu riêng. Đúng hơn, điều đầu tiên thậm chí không phải là một dấu hiệu mà là một định lý, có thể được phát biểu ngắn gọn như sau: “Nếu cạnh đối diện với nó được chia thành hai phần bởi một đường phân giác, thì tỉ số của chúng sẽ tương ứng với tỉ số của cạnh của một tam giác lớn.”

Thuộc tính thứ hai mà nó có: giao điểm của các đường phân giác của mọi góc được gọi là tâm nội tiếp.

Dấu hiệu thứ ba: các đường phân giác của một góc trong và hai góc ngoài của một tam giác cắt nhau tại tâm của một trong ba đường tròn nội tiếp.

Tính chất thứ tư của đường phân giác của một tam giác là nếu mỗi góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Dấu hiệu thứ năm cũng liên quan đến tam giác cân và là kim chỉ nam chính để nhận biết nó trong hình vẽ các đường phân giác, cụ thể là: trong tam giác cân, nó đồng thời đóng vai trò là đường trung tuyến và đường cao.

Có thể dựng đường phân giác của một góc bằng compa và thước:

Quy tắc thứ sáu nói rằng không thể dựng một tam giác chỉ bằng cách sử dụng các đường phân giác hiện có, cũng như không thể dựng một hình lập phương nhân đôi, bình phương hình tròn và chia ba một góc theo cách này. Nói một cách chính xác, đây đều là những tính chất của đường phân giác của một tam giác.

Nếu bạn đọc kỹ đoạn trước thì có lẽ bạn đã quan tâm đến một cụm từ. "Sự chia ba của một góc là gì?" - có lẽ bạn sẽ hỏi. Đường phân giác hơi giống với đường phân giác, nhưng nếu vẽ phần sau thì góc sẽ được chia thành hai phần bằng nhau và khi dựng đường phân giác sẽ chia thành ba phần. Đương nhiên, phân giác của một góc sẽ dễ nhớ hơn vì phép chia ba không được dạy ở trường. Nhưng để hoàn thiện hơn, tôi cũng sẽ kể cho bạn nghe về điều đó.

Như tôi đã nói, một trisector không thể được tạo ra chỉ bằng compa và thước, mà nó có thể được tạo ra bằng các quy tắc Fujita và một số đường cong: con ốc Pascal, hình tứ giác, conchoid của Nicomedes, phần hình nón,

Các bài toán chia ba góc được giải quyết khá đơn giản bằng cách sử dụng nevsis.

Trong hình học có định lý về đường phân giác góc. Nó được gọi là định lý Morley. Cô cho rằng giao điểm các đường phân giác của mỗi góc nằm ở giữa sẽ là các đỉnh

Một hình tam giác nhỏ màu đen bên trong một hình tam giác lớn sẽ luôn bằng nhau. Định lý này được nhà khoa học người Anh Frank Morley phát hiện vào năm 1904.

Sau đây là những điều bạn có thể tìm hiểu về cách chia một góc: Đường phân giác và đường phân giác của một góc luôn cần được giải thích chi tiết. Nhưng ở đây đã đưa ra nhiều định nghĩa mà tôi chưa tiết lộ: con ốc Pascal, conchoid của Nicomedes, v.v. Hãy yên tâm, còn rất nhiều điều để viết về họ.