Коли вирішують завдання на переміщення об'єктів, то у ряді випадків нехтують їх просторовими розмірами, запроваджуючи поняття матеріальної точки. Для іншого типу завдань, в яких розглядаються ті, що покоюються або обертаються, важливо знати їх параметри і точки додатку зовнішніх сил. У цьому випадку йдетьсямомент сил щодо осі обертання. Розглянемо це питання у статті.
Поняття моменту сили
Перед тим як приводити щодо осі обертання нерухомої, необхідно пояснити, про яке явище піде мова. Нижче наведено малюнок, на якому зображено гайковий ключ довжиною d, до кінця його прикладена сила F. Неважко уявити, що результатом її впливу буде обертання ключа проти годинникової стрілки та відкручування гайки.
Згідно з визначенням, момент сили щодо осі обертання є твір плеча (d в даному випадку) на силу (F), тобто можна записати наступне вираз: M = d * F. Відразу слід зазначити, що наведена формула записана в скалярному вигляді, тобто вона дозволяє розрахувати абсолютне значеннямоменту M. Як очевидно з формули, одиницею виміру аналізованої величини є ньютони на метр (Н*м).
- Векторна величина
Як вище було зазначено, момент M насправді є вектором. Для пояснення цього твердження розглянемо інший рисунок.
Тут бачимо важіль довжиною L, який закріплений на осі (показано стрілкою). До його кінця прикладена сила F під кутом Φ. Неважко собі уявити, що ця сила викликатиме підйом важеля. Формула для моменту в векторної формиу цьому випадку запишеться так: M = L F, тут риса над символом означає, що аналізована величина - це вектор. Слід пояснити, що L спрямований від точки докладання сили F.
Наведений вираз є векторним твором. Його результуючий вектор (M) буде спрямований перпендикулярно площині, утвореної L і F. Для визначення напрямку моменту M існують кілька правил ( правої руки, свердла). Щоб не заучувати їх і не плутатися в порядку множення векторів L і F (від нього залежить напрям M), слід запам'ятати одну просту річ: момент сили буде спрямований таким чином, що якщо дивитися з кінця його вектора, то сила F, що впливає, буде обертати важіль проти годинникової стрілки. Цей напрямок моменту умовно прийнято за позитивний. Якщо ж система здійснює обертання за годинниковою стрілкою, значить, результуючий момент сил має негативне значення.
Таким чином, у розглянутому випадку з важелем L величина M спрямована вгору (від малюнка до читача).
У скалярній формі формула для моменту запишеться у вигляді: M = L * F * sin (180-Φ) або M = L * F * sin (Φ) (sin (180-Φ) = sin (Φ)). Згідно з визначенням синуса, можна записати рівність: M = d*F, де d = L*sin(Φ) (див. малюнок і відповідний прямокутний трикутник). Остання формула є аналогічною до тієї, яка була наведена в попередньому пункті.
Проведені вище обчислення демонструють, як працювати з векторними та скалярними величинамимоментів сил, щоб не допустити помилок.
Фізичний зміст величини M
Оскільки два розглянуті в попередніх пунктахвипадку пов'язані з обертальним рухом, можна здогадатися, який сенс несе момент сили. Якщо сила, що діє на матеріальну точку, є мірою збільшення швидкості лінійного переміщенняостанньої, то момент сили - це міра її обертальної здатності стосовно аналізованої системі.
Наведемо наочний приклад. Будь-яка людина відчиняє двері, взявшись за її ручку. Також це можна зробити, якщо штовхнути двері у зоні ручки. Чому ніхто не відкриває її, штовхаючи в області петель? Дуже просто: чим ближче до зашморгу прикладена сила, тим важче відчинити двері, і навпаки. Висновок попередньої пропозиції випливає з формули для моменту (M = d*F), звідки видно, що при M = const величини d і F знаходяться в зворотної залежності.
Момент сили – адитивна величина
У всіх розглянутих вище випадках мала місце лише діюча сила. При вирішенні ж реальних завданьсправа набагато складніша. Зазвичай на системи, що обертаються чи перебувають у рівновазі, діють кілька сил кручення, кожна з яких створює свій момент. В цьому випадку розв'язання задач зводиться до знаходження сумарного моменту сил щодо осі обертання.
Сумарний момент знаходиться шляхом звичайної суми окремих моментів для кожної сили, проте слід не забувати використовувати правильний знак для кожного з них.
Приклад розв'язання задачі
Для закріплення отриманих знань пропонується вирішити таке завдання: необхідно обчислити сумарний момент сили для системи, зображеної нижче.
Ми бачимо, що на важіль завдовжки 7 м діють три сили (F1, F2, F3), причому вони мають різні точкидодатки щодо осі обертання. Оскільки напрям сил перпендикулярно важелю, то немає необхідності застосовувати векторний вираздля моменту крутіння. Можна розрахувати сумарний момент M, використовуючи скалярну формулу і не забуваючи про постановку потрібного знака. Оскільки сили F1 і F3 прагнуть повернути важіль проти годинникової стрілки, а F2 - за годинниковою стрілкою, момент обертання для перших буде позитивним, а для другої - негативним. Маємо: M = F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 = 140-50 +75 = 165 Н * м. Тобто сумарний момент є позитивним і спрямований нагору (на читача).
Момент сили (синоніми: крутний момент, обертальний момент, крутний момент, крутний момент) - векторна фізична, величина, що дорівнює векторному твору радіус-вектора, проведеного від осі обертання до точки докладання сили, на вектор цієї сили. Характеризує обертальну дію сили на тверде тіло.
Поняття «крутний» і «крутний» моменти загальному випадкуне тотожні, тому що в техніці поняття «крутний» момент розглядається як зовнішнє зусилля, що прикладається до об'єкта, а «крутний» - внутрішній зусилля, що виникає в об'єкті під дією прикладених навантажень (цім поняттям оперують у опорі матеріалів).
Енциклопедичний YouTube
1 / 5
7 кл – 39. Момент сили. Правило моментів
Момент сили тяжіння. Гантеля та рука
Сила та маса
Момент сили. Важелі в природі, техніці, побуті | Фізика 7 клас # 44 | Інфоурок
Залежність кутового прискорення з моменту сил 1
Субтитри
Загальні відомості
Спеціальні випадки
Формула моменту важеля
Дуже цікавий особливий випадок, що подається як визначення моменту сили в полі:
| M → | = | M → 1 | | F → | (\displaystyle \left|(\vec (M))\right|=\left|(\vec (M))_(1)\right|\left|(\vec (F))\right|), де: | M → 1 | (\displaystyle \left|(\vec (M))_(1)\right|)- момент важеля, | F → | (\displaystyle \left|(\vec (F))\right|)- величина чинної сили.Проблема такого уявлення у цьому, що він дає напрями моменту сили, лише його величину. Якщо сила перпендикулярна вектору r → (\displaystyle (\vec (r))), момент важеля буде дорівнює відстанідо центру та момент сили буде максимальний:
| T → | = | r → | | F → | (\displaystyle \left|(\vec(T))\right|=\left|(\vec(r))\right|\left|(\vec(F))\right|)Сила під кутом
Якщо сила F → (\displaystyle (\vec (F)))спрямована під кутом θ (\displaystyle \theta)до важеля r, то M = r F sin θ (\displaystyle M=rF\sin \theta ).
Статична рівновага
Щоб об'єкт перебував у рівновазі, повинна дорівнювати нулю як сума всіх сил, а й сума всіх моментів сили навколо будь-якої точки. Для двовимірного випадку з горизонтальними та вертикальними силами: сума сил у двох вимірах ΣH=0, ΣV=0 і момент сили у третьому вимірі ΣM=0.
Момент сили як функція від часу
M → = d L → d t (\displaystyle (\vec (M))=(\frac (d(\vec (L)))(dt))),
де L → (\displaystyle (\vec (L)))- Момент імпульсу.
Візьмемо тверде тіло. Рух твердого тіламожна уявити як рух конкретної точки та обертання навколо неї.
Момент імпульсу щодо точки O твердого тіла може бути описаний через добуток моменту, інерції та кутової швидкості щодо центру мас і лінійного рухуцентру мас.
L o → = I c ω → + [ M (ro → − r c →) , v c → ] (\displaystyle (\vec (L_(o)))=I_(c)\,(\vec (\omega )) +)Будемо розглядати рухи, що обертаються в системі координат Кеніга, так як описувати рух твердого тіла у світовій системі координат набагато складніше.
Продиференціюємо цей вираз за часом. І якщо I (\displaystyle I) - постійна величинау часі, то
M → = I d ? → d t = I α → ))),де α → (\displaystyle (\vec (\alpha )))- кутове прискорення , що вимірюється в радіанах в секунду за секунду (рад/с 2). приклад: обертається однорідний диск.
Якщо тензор інерції змінюється з часом, рух щодо центру мас описується з допомогою динамічного рівняння Эйлера:
M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] (\displaystyle (\vec (M_(c)))=I_(c) (dt))+[(\vec (w)),I_(c)(\vec (w))]).
Момент сили щодо осі або просто момент сили називається проекція сили на пряму, яка перпендикулярна до радіусу і проведена в точці докладання сили помножена на відстань від цієї точки до осі. Або добуток сили на плече її застосування. Плечо у разі це відстань від осі до точки докладання сили. Момент сили характеризує обертальний вплив сили на тіло. Ось у цьому випадку це місце кріплення тіла, щодо якого воно може здійснювати обертання. Якщо тіло не закріплено, то віссю обертання вважатимуться центр мас.
Формула 1 – Момент сили.
F - Сила, що діє на тіло.
r – Плечо сили.
Малюнок 1 – Момент сили.
Як видно з малюнка, плече сили - це відстань від осі до точки докладання сили. Але це якщо кут між ними дорівнює 90 градусів. Якщо це не так, то необхідно вздовж дії сили провести лінію та з осі опустити на неї перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра і дорівнюватиме плечу сили. А переміщення точки застосування сили вздовж напрямку сили не змінює її моменту.
Прийнято вважати позитивним такий момент сили, що викликає поворот тіла за годинниковою стрілкою щодо точки спостереження. А негативним відповідно викликає обертання проти неї. Вимірюється момент сили у Ньютонах на метр. Один Ньютонометр це сила в 1 Ньютон, що діє на плече в 1 метр.
Якщо сила, що діє на тіло, проходить вздовж лінії, що йде через вісь обертання тіла, або центр мас, якщо тіло не має осі обертання. То момент сили в цьому випадку буде дорівнює нулю. Так як ця сила не буде викликати обертання тіла, а просто переміщатиме його поступально вздовж лінії додатка.
Малюнок 2 - Момент сили дорівнює нулю.
Якщо на тіло діє кілька сил, то момент сили визначатиме їх рівнодіюча. Наприклад, на тіло можуть діяти дві сили, що рівні за модулем і спрямовані протилежно. При цьому сумарний момент сили дорівнюватиме нулю. Бо ці сили компенсуватимуть одна одну. Якщо просто, то уявіть собі дитячу карусель. Якщо один хлопчик її штовхає за годинниковою стрілкою, а інший з тією самою силою проти, то карусель залишиться нерухомою.
Лекція 3. Закон збереження моменту імпульсу.
Момент сили. Момент імпульсу матеріальної точки та механічної системи. Зрівняння моментів механічної системи. Закон збереження моменту імпульсу механічної системи.
Математичні відомості.
Векторним творомдвох (ненульових) векторів і називається вектор , який у декартовій системікоординат (з ортами , , ) визначається за формулою
.
Розмір (площа прямокутника на векторах і ).
Властивості векторного твору.
1) Вектор спрямований перпендикулярно до площини векторів та . Тому для будь-якого вектора , що лежить у площині (лінійно незалежних) векторів і (тобто), отримуємо . Отже, якщо два ненульові вектори і паралельні, то.
2) Похідна за часом від векторного твору – це вектор 
.
Справді, (базисні вектори , - постійні)
Вектор момент імпульсу
Вектор моментуімпульсу щодо точки Про називається вектор
де - Радіус-вектор з точки О, - Вектор імпульсу точки. Вектор спрямований перпендикулярно до площини векторів та . Точку О іноді називають полюсом. Знайдемо похідну від вектора моменту імпульсу за часом
.
Перший доданок у правій частині: 
. Бо в інерційної системивідліку за другим законом Ньютона (у імпульсної форми) , то другий доданок має вигляд .
Величина 
називається вектором моменту силищодо точки О.
Остаточно отримуємо :
похідна від вектора моменту імпульсу щодо точки дорівнює моменту діючих силщодо цієї точки.
Властивості вектор сили моменту.
.
3) Момент суми сил дорівнює сумімоментів кожної з сил 
.
4) Сума моментів сил щодо точки
при переході до іншої точки О 1 , за якої зміниться за правилом
.
Отже, момент сил не зміниться, якщо .
5) Нехай, де, тоді 
.
Отже, якщо дві однаковісили лежать на одній прямій, то їх моменти однакові. Ця пряма називається лінією дії сили. Довжина вектора називається плечем сили щодо крапкиО.
Момент сили щодо осі.
Як випливає з визначення моменту сили, координати вектора моменти сили відносно координатних осейвизначаються формулами
, 
, 
.
Розглянемо метод знаходження моменту сили щодо деякоюосі z. Для цього треба розглянути вектор моменту сили щодо деякої точки на цій осіта знайти проекцію вектора моменту сили на цю вісь.
1) Проекція вектора моменту сили на вісь z залежить від вибору точки Про.
Візьмемо на осі z дві різні точки 1 і 2 і знайдемо моменти сили F щодо цих точок.
Різниця векторів 
спрямована перпендикулярно вектору, що лежить на осі z. Отже, якщо розглянути орт осі z – вектор , то проекції на вісь z рівні між собою
Тому момент сили щодо осі z визначено однозначно.
Слідство. Якщо момент сили щодо деякої точки на осі дорівнює нулю, то нулю дорівнює момент сили щодо цієї осі.
2) Якщо вектор сили паралельний осі z, то момент сили щодо осі дорівнює нулю.
Дійсно, вектор моменту сили щодо будь-якої точки на осі повинен бути перпендикулярний вектору сили, тому він також перпендикулярний і осі, паралельній цьому вектору. Тому проекція вектора моменту сили на цю вісь дорівнюватиме нулю. Отже, якщо розкладання вектора сили на компонент паралельну осі, та компоненту , перпендикулярну до осі, то
3) Якщо вектор сили та вісь не паралельні, але лежать в одній площині, то момент сили щодо осі дорівнює нулю. Справді, у разі вектор моменту сили щодо будь-якої точки на осі спрямований перпендикулярно цієї площині (т.к. вектор теж лежить у цій площині). Можна сказати й інакше. Якщо розглянути точку припинення лінії дії сили і прямої z, то момент сили щодо цієї точки дорівнює нулю, тому момент сили щодо осі дорівнює нулю.
Отже, щоб знайти момент сили щодо осі z, треба:
1) знайти проекцію сили на будь-якуплощину p перпендикулярну до цієї осі і вказати точку О - точку перетину цієї площини з віссю z;
Подібна інформація.
Майже дві тисячі років проіснувало правило важеля, відкрите Архімедомще в третьому столітті до нашої ери, поки в сімнадцятому столітті легкої рукифранцузького вченого Варіньйона не набуло більш загальної форми.
Правило моменту сил
Було запроваджено поняття моменту сил. Момент сили – це фізична величина, рівна добуткусили на її плече:
де M - момент сили,
F - сила,
l – плече сили.
З правила рівноваги важеля безпосередньо витікає правило моментів сил:
F1 / F2 = l2 / l1 або, за якістю пропорції F1 * l1 = F2 * l2, тобто M1 = M2
У словесному вираженні правило моментів сил звучить в такий спосіб: важіль знаходиться в рівновазі під дією двох сил, якщо момент сили, що обертає його за годинниковою стрілкою, дорівнює моментусили, що обертає його проти годинникової стрілки. Правило моментів сил справедливе будь-якого тіла, закріпленого навколо нерухомої осі. Насправді момент сили знаходять так: за напрямом дії сили проводять лінію дії сили. Потім з точки, де знаходиться вісь обертання, проводять перпендикуляр до лінії дії сили. Довжина цього перпендикуляра дорівнюватиме плечу сили. Помноживши значення модуля сили її плече, отримуємо значення моменту сили щодо осі обертання. Тобто, бачимо, що момент сили характеризує дія сили, що обертає. Дія сили залежить і від самої сили та її плеча.
Застосування правила моментів сил у різних ситуаціях
Звідси випливає застосування правила моментів сил різних ситуаціях. Наприклад, якщо ми відчиняємо двері, то штовхати її ми будемо в районі ручки, тобто подалі від петель. Можна зробити елементарний досвіді переконатись, що штовхати двері тим легше, чим далі ми докладаємо силу від осі обертання. Практичний експеримент у разі прямо підтверджується формулою. Оскільки моменти сил при різних плечах були рівні, треба, щоб більшому плечу відповідала менша сила і навпаки, меншому плечу відповідала більша. Чим ближче до осі обертання ми докладаємо силу, тим вона має бути більшою. Що далі від осі ми впливаємо важелем, обертаючи тіло, то меншу силу нам потрібно буде докласти. Числові значеннялегко перебувають із формули для правила моментів.
Саме виходячи з правила моментів сил ми беремо брухт або довгий ціпок, якщо нам треба підняти щось важке, і, підсунувши під вантаж один кінець, тягнемо брухт біля іншого кінця. З цієї ж причини шурупи ми повертаємо викруткою з довгою ручкою, а гайки закручуємо довгим гайковим ключем.