Вам добре відомо, що в залежності від форми траєкторії рух поділяється на прямолінійнеі криволінійне. З прямолінійним рухом ми навчилися працювати на попередніх уроках, саме вирішувати головне завдання механіки для такого виду руху.
Однак ясно, що в реальному світі ми найчастіше маємо справу з криволінійним рухом, коли траєкторія є кривою лінією. Прикладами такого руху є траєкторія тіла, кинутого під кутом до горизонту, рух Землі навколо Сонця і навіть траєкторія руху ваших очей, які зараз стежать за цим конспектом.
Питання у тому, як вирішується головне завдання механіки у разі криволінійного руху, і буде присвячений цей урок.
Спочатку визначимося, які важливі відмінності є у криволінійного руху (рис. 1) щодо прямолінійного і чого ці відмінності призводять.
Мал. 1. Траєкторія криволінійного руху
Поговоримо про те, як зручно описувати рух тіла при криволінійному русі.
Можна розбити рух окремі ділянки, кожному з яких рух вважатимуться прямолінійним (рис. 2).
Мал. 2. Розбиття криволінійного руху на ділянки прямолінійного руху
Проте зручнішим є наступний підхід. Ми представимо цей рух як сукупність кількох рухів по дугах кіл (рис. 3). Зверніть увагу, що таких розбиття менше, ніж у попередньому випадку, крім того, рух по колу є криволінійним. До того ж, приклади руху по колу в природі зустрічаються дуже часто. З цього можна дійти невтішного висновку:
Для того щоб описувати криволінійний рух, потрібно навчитися описувати рух по колу, а потім довільний рух подавати у вигляді сукупностей рухів по дугах кіл.
Мал. 3. Розбиття криволінійного руху на рухи по дугах кіл
Отже, почнемо вивчення криволінійного руху з вивчення рівномірного руху по колу. Давайте розберемося, які важливі відмінності криволінійного руху від прямолінійного. Для початку пригадаємо, що у дев'ятому класі ми вивчили той факт, що швидкість тіла при русі по колу спрямована по дотичній до траєкторії (рис. 4). До речі, цей факт ви можете подивитися на досвіді, якщо подивіться, як рухаються іскри при використанні точильного каменю.
Розглянемо рух тіла дугою кола (рис. 5).
Мал. 5. Швидкість тіла під час руху по колу
Зверніть увагу, що в даному випадку модуль швидкості тіла у точці дорівнює модулю швидкості тіла у точці :
Однак вектор не дорівнює вектору. Отже, у нас з'являється вектор різниці швидкостей (рис. 6):
Мал. 6. Вектор різниці швидкостей
Причому зміна швидкості сталася через деякий час. Таким чином, ми отримуємо знайому комбінацію:
Це не що інше, як зміна швидкості за проміжок часу або прискорення тіла. Можна зробити дуже важливий висновок:
Рух криволінійною траєкторією є прискореним. Природа цього прискорення – безперервна зміна напряму вектора швидкості.
Ще раз відзначимо, що, навіть якщо говориться, що тіло рівномірно рухається по колу, мається на увазі, що модуль швидкості тіла не змінюється. Однак такий рух завжди є прискореним, оскільки змінюється напрямок швидкості.
У дев'ятому класі ви вивчали, чому таке прискорення і як воно спрямоване (рис. 7). Центрошвидке прискорення завжди спрямоване до центру кола, яким рухається тіло.
Мал. 7. Центрошвидке прискорення
Модуль доцентрового прискорення може бути розрахований за формулою:
Переходимо до опису рівномірного руху тіла по колу. Домовимося, що швидкість , якою ви користувалися під час опису поступального руху, тепер називатиметься лінійною швидкістю. І під лінійною швидкістю ми розумітимемо миттєву швидкість у точці траєкторії тіла, що обертається.
Мал. 8. Рух точок диска
Розглянемо диск, який для визначеності обертається за годинниковою стрілкою. На його радіусі відзначимо дві точки (рис. 8). Розглянемо їхній рух. За деякий час ці точки перемістяться по дугах кола і стануть точками . Очевидно, що точка здійснила більше переміщення, ніж . З цього можна зробити висновок, що чим далі від осі обертання знаходиться точка, тим з більшою лінійною швидкістю вона рухається
Однак якщо уважно подивитися на точки і можна сказати, що незмінним залишився кут , на який вони повернулися щодо осі обертання . Саме кутові характеристики ми і використовуватимемо для опису руху по колу. Зазначимо, що для опису руху по колу можна використовувати кутовіХарактеристики.
Почнемо розгляд руху по колу із найпростішого випадку – рівномірного руху по колу. Нагадаємо, що поступовим поступальним рухом називається рух, при якому за будь-які рівні проміжки часу тіло здійснює однакові переміщення. За аналогією можна дати визначення рівномірного руху по колу.
Рівномірним рухом по колу називається рух, за якого за будь-які рівні проміжки часу тіло повертається на однакові кути.
Аналогічно поняттю лінійної швидкості вводиться поняття кутової швидкості.
Кутовою швидкістю рівномірного руху (називається фізична величина, що дорівнює відношенню кута, на який повернулося тіло, на час, за який відбувся цей поворот.
У фізиці найчастіше використовується радіанна міра кута. Наприклад, кут дорівнює радіан. Вимірюється кутова швидкість у радіанах за секунду:
Знайдемо зв'язок між кутовою швидкістю обертання точки та лінійною швидкістю цієї точки.
Мал. 9. Зв'язок між кутовою та лінійною швидкістю
Крапка проходить при обертанні дугу довжиною, повертаючись при цьому на кут. З визначення радіанної міри кута можна записати:
Розділимо ліву та праву частини рівності на проміжок часу , за який було здійснено переміщення, потім скористаємося визначенням кутової та лінійної швидкостей:
Звернемо увагу, що чим далі точка знаходиться від осі обертання, тим вища її лінійна швидкість. А точки, розташовані на осі обертання, нерухомі. Прикладом цього може бути карусель: що ближче ви перебуваєте до центру каруселі, то легше вам утриматися.
Така залежність лінійної та кутової швидкостей використовується в геостаціонарних супутниках (супутники, які завжди знаходяться над однією точкою земної поверхні). Завдяки таким супутникам ми маємо змогу отримувати телевізійні сигнали.
Згадаймо, що раніше ми вводили поняття періоду та частоти обертання.
Період обертання – час повного обороту.Період обертання позначається буквою і вимірюється в секундах СІ:
Частота обертання - фізична величина, що дорівнює кількості оборотів, що тіло здійснює за одиницю часу.
Частота позначається буквою та вимірюється у зворотних секундах:
Вони пов'язані співвідношенням:
Існує зв'язок між кутовою швидкістю та частотою обертання тіла. Якщо згадати, що повний оборот дорівнює, легко побачити, що кутова швидкість:
Підставляючи ці вирази залежність між кутової і лінійною швидкістю, можна отримати залежність лінійної швидкості від періоду або частоти:
Запишемо також зв'язок між доцентровим прискоренням і цими величинами:
Таким чином, ми знаємо зв'язок між усіма характеристиками рівномірного руху по колу.
Підсумуємо. На цьому уроці ми почали описувати криволінійний рух. Ми зрозуміли, як можна пов'язати криволінійний рух з рухом по колу. Рух по колу завжди є прискореним, а наявність прискорення обумовлює той факт, що швидкість завжди змінює свій напрямок. Таке прискорення називається доцентровим. Нарешті ми згадали деякі характеристики руху по колу (лінійну швидкість, кутову швидкість, період і частоту обертання) і знайшли співвідношення між ними.
Список літератури
- Г.Я. Мякішев, Б.Б. Буховцев, Н.М. Сотський. Фізика 10. – К.: Просвітництво, 2008.
- А.П. Римкевич. фізика. Задачник 10-11. - М: Дрофа, 2006.
- О.Я. Савченко. Завдання з фізики. - М: Наука, 1988.
- А.В. Перишкін, В.В. Краукліс. Курс фізики Т. 1. - М.: Держ. уч.-пед. вид. хв. освіти РРФСР, 1957.
- Аyp.ru ().
- Вікіпедія ().
Домашнє завдання
Вирішивши завдання до цього уроку, ви зможете підготуватися до питань 1 ГІА та питань А1, А2 ЄДІ.
- Завдання 92, 94, 98, 106, 110 - Зб. задач А.П. Римкевич, вид. 10
- Обчисліть кутову швидкість руху хвилинної, секундної та годинної стрілок годинника. Обчисліть доцентрове прискорення, що діє на кінчики цих стрілок, якщо радіус кожної з них дорівнює одному метру.
4.1. Рух по колу із постійною швидкістю.
Рух по колу – найпростіший вид криволінійного руху.
4.1.1. Криволінійний рух – рух, траєкторій якого є крива лінія.
Для руху по колу із постійною швидкістю:
1) траєкторія руху – коло;
2) вектор швидкості спрямований по дотичній до кола;
3) вектор швидкості постійно змінює свій напрямок;
4) за зміну напрямку швидкості відповідає прискорення, зване доцентровим (або нормальним) прискоренням;
5) доцентрове прискорення змінює тільки напрям вектора швидкості, при цьому модуль швидкості залишається незмінним;
6) доцентрове прискорення спрямоване до центру кола, по якому відбувається рух (доцентрове прискорення завжди перпендикулярно вектору швидкості).
4.1.2. Період ( T) - час одного повного обороту по колу.
Це величина постійна, тому що довжина кола постійна і швидкість руху постійна
4.1.3 Частота – кількість повних оборотів за 1 с.
По суті, частота відповідає питанням: як швидко обертається тіло?
4.1.4. Лінійна швидкість - показує, який шлях проходить тіло за 1 с (це та ж швидкість, про яку йшлося в попередніх темах)
де R- Радіус кола.
4.1.5. Кутова швидкість показує, який кут повертається тіло за 1 з.
де - кут, на який повернулося тіло за час
4.1.6. Центрошвидке прискорення
Нагадаємо, що доцентрове прискорення відповідає тільки за поворот вектора швидкості. У цьому, оскільки швидкість стала величина, то значення прискорення теж завжди.
4.1.7. Закон зміни кута повороту
Це повний аналог закону руху за постійної швидкості:
Роль координати xграє кут роль початкової координати грає швидкість - кутова швидкість І з формулою слід працювати як і, як раніше працювали з формулою закону рівномірного руху.
4.2. Рух по колу із постійним прискоренням.
4.2.1. Тангенційне прискорення
Центрошвидке прискорення відповідає за зміну напрямку вектора швидкості, але якщо ще змінюється і модуль швидкості, то необхідно ввести величину, що відповідає за це - тангенціальне прискорення
З виду формули ясно, що - це звичайне прискорення, про яке йшлося раніше. Якщо то справедливі формули рівноприскореного руху:
де S- Шлях, який проходить тіло по колу.
Отже, ще раз наголосимо, відповідає за зміну модуля швидкості.
4.2.2. Кутове прискорення
Ми ввели аналог швидкості руху по колу - кутова швидкість. Природно запровадить і аналог прискорення - кутове прискорення
Кутове прискорення пов'язане з тангенціальним прискоренням:
З формули видно, що й тангенціальне прискорення постійно, те й кутове прискорення буде постійно. Тоді можемо записати:
Формула є повним аналогом закону рівнозмінного руху, тому працювати з цією формулою ми вже вміємо.
4.2.3. Повне прискорення
Центрозривне (або нормальне) та тангенціальне прискорення не є самостійними. Насправді, це проекції повного прискорення на нормальну (спрямована по радіусу кола, тобто перпендикулярно швидкості) і тангенціальну (спрямована по дотичній до кола у бік, куди направлений вектор швидкості) осі. Тому
Нормальна та тангенціальні осі завжди перпендикулярні, отже, абсолютно завжди модуль повного прискорення можна знайти за формулою:
4.4. Рух по криволінійній траєкторії.
Рух по колу є окремим видом криволінійного руху. У загальному випадку, коли траєкторія є довільною кривою (див. рис.), всю траєкторію можна розбити на ділянки: ABі DE- Прямолінійні ділянки, для яких справедливі всі формули руху по прямій; а для кожної ділянки, яку не можна розглянути як пряме, будуємо дотичне коло (коло, яке стосується траєкторії тільки в цій точці) - у точках Cі D. Радіус дотичного кола називається радіусом кривизни. У кожній точці траєкторії радіус кривизни має значення.
Формула для знаходження радіусу кривизни:
де - нормальне прискорення у цій точці (проекція повного прискорення на вісь, перпендикулярну вектору швидкості).
Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.
Кутова швидкість
Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.
Період та частота
Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.
Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.
Частота та період взаємопов'язані співвідношенням
Зв'язок із кутовою швидкістю
Лінійна швидкість
Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.
Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T. Шлях, який долає точка - це довжина кола.
Центрошвидке прискорення
При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.
Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення
Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.
Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.
Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.
Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.
Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою
Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює v Aі v Bвідповідно. Прискорення – зміна швидкості за одиницю часу. Знайдемо різницю векторів.
Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю- це рух, у якому тіло за будь-які рівні проміжки часу визначає однакові дуги.
Положення тіла на колі визначається радіусом-вектором\(~\vec r\), проведеним із центру кола. Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусу кола R(Рис. 1).
За час Δ tтіло, рухаючись з точки Ав точку У, Здійснює переміщення \(~\Delta \vec r\), рівне хорді АВ, і проходить шлях, що дорівнює довжині дуги l.
Радіус-вектор повертається на кут Δ φ . Кут виражають у радіанах.
Швидкість (~\vec \upsilon\) руху тіла по траєкторії (кола) спрямована по дотичній до траєкторії. Вона називається лінійною швидкістю. Модуль лінійної швидкості дорівнює відношенню довжини дуги кола lдо проміжку часу Δ tза який ця дуга пройдена:
\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)
Скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається кутовий швидкістю:
\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)
У СІ одиницею кутової швидкості є радіан за секунду (рад/с).
При рівномірному русі по колу кутова швидкість та модуль лінійної швидкості - величини постійні: ω = const; υ = Const.
Положення тіла можна визначити, якщо відомий модуль радіуса-вектора \(~\vec r\) та кут φ , який він складає з віссю Ox(кутова координата). Якщо у початковий момент часу t 0 = 0 кутова координата дорівнює φ 0 , а в момент часу tвона дорівнює φ , то кут повороту Δ φ радіуса-вектора за час \(~\Delta t = t - t_0 = t\) дорівнює \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тоді з останньої формули можна отримати кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу:
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
Воно дозволяє визначити положення тіла у будь-який момент часу t. Враховуючи, що \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), отримуємо\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rightarrow\]
\(~\upsilon = \omega R\) - формула зв'язку між лінійною та кутовою швидкістю.
Проміжок часу Τ , протягом якого тіло здійснює один повний оборот, називається періодом обертання:
\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)
де N- Число оборотів, скоєних тілом за час Δ t.
За час Δ t = Τ тіло проходить шлях (~l = 2 \pi R\). Отже,
\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)
Величина ν , зворотна періоду, що показує, скільки оборотів здійснює тіло за одиницю часу, називається частотою обертання:
\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)
Отже,
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)
Література
Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – C. 18-19.
Теми кодифікатора ЄДІ: рух по колу з постійною за модулем швидкістю, доцентрове прискорення.
Рівномірний рух по колу - це досить простий приклад руху з вектором прискорення, що залежить від часу.
Нехай точка обертається по колу радіусу. Швидкість точки постійна за модулем і дорівнює. Швидкість називається лінійною швидкістюточки.
Період звернення - Це час одного повного обороту. Для періоду маємо очевидну формулу:
. (1)
Частота звернення - це величина, обернена до періоду:
Частота показує, скільки повних обертів точка здійснює за секунду. Вимірюється частота об/с (обороти в секунду).
Нехай, наприклад, . Це означає, що за час точка робить один повний
оборот. Частота у своїй виходить дорівнює: про/с; за секунду точка здійснює 10 повних обертів.
Кутова швидкість.
Розглянемо рівномірне обертання точки декартової системі координат. Помістимо початок координат у центрі кола (рис. 1).
 |
| Мал. 1. Рівномірний рух по колу |
Нехай – початкове положення точки; інакше кажучи, при точка мала координати . Нехай за час крапка повернулася на кут і зайняла становище.
Відношення кута повороту до часу називається кутовий швидкістю обертання точки:
. (2)
Кут зазвичай вимірюється в радіанах, тому кутова швидкість вимірюється в рад/с. За час, що дорівнює періоду обертання, точка повертається на кут . Тому
. (3)
Зіставляючи формули (1) і (3) , отримуємо зв'язок лінійної та кутової швидкостей:
. (4)
Закон руху.
Знайдемо тепер залежність координат точки, що обертається від часу. Бачимо із рис. 1 , що
Але з формули (2) маємо: . Отже,
. (5)
Формули (5) є рішенням основного завдання механіки для рівномірного руху точки по колу.
Центрошвидке прискорення.
Тепер нас цікавить прискорення точки, що обертається. Його можна знайти, двічі продиференціювавши співвідношення (5) :
З урахуванням формул (5) маємо:
(6)
Отримані формули (6) можна записати у вигляді однієї векторної рівності:
(7)
де - радіус-вектор точки, що обертається.
Ми бачимо, що вектор прискорення спрямований протилежно радіусу-вектору, тобто до центру кола (див. рис. 1). Тому прискорення точки, що рівномірно рухається по колу, називається доцентровим.
Крім того, з формули (7) ми отримуємо вираз для модуля доцентрового прискорення:
(8)
Виразимо кутову швидкість (4)
і підставимо (8) . Отримаємо ще одну формулу для доцентрового прискорення.