Омнібус N 9-10 2007 рік.
Морська душа маршрутних вогнів.
Загадкова річ – традиція. Спочатку її старанно дотримуються, намагаючись витримувати всі нюанси, доводять до забобонів, потім раптом виявляють, що вона не виправдовує очікувань, що покладаються на неї, не відповідає логіці, не має наукового обґрунтування- І з традицією поривають, а згодом із сумом помічають, що з її втратою пішло щось гарне і потрібне. . .
Ще зовсім нещодавно існувала традиція давати трамвайним маршрутам як цифрове, а й колірне позначення - маршрутні вогні запалювалися з обох боків від номера маршруту, спереду і позаду вагона. Вулиці з трамвайним рухом відрізнялися особливою, святковою ошатністю, маршрутними вогнями орієнтувалися в трамвайному потоці водії, пасажири, колійні робітники, диспетчери та стрілочники, багато хто не уявляв собі трамвая без кольорових вогнів. Московська система маршрутних вогнів була побудована на однозначній відповідності цифри та кольору. "1" - завжди червоний колір, "2" - зелений, "5" - оливковий, "7" - блакитний і таке інше. А ось у Ленінграді вогні "говорили" на іншою мовою,
і їх читання "по-московськи" найчастіше призводило до нісенітниці, тому що вогнів було не 10, як у Москві, а лише п'ять. Вони добре розрізнялися, а їх поєднання завжди виглядали дуже красиво. Однак із п'яти вогнів можливі 25 різних поєднань по два, тоді як маршрутів у Петербурзі-Ленінграді згодом стало близько 70, тому знаки маршрутів могли повторюватися. Наприклад, два білі - 9, 43; червоний та жовтий – 1, 51, 64; синій та червоний - 33, 52, 54; два червоних - 5, 36, 39, 45, 47. І лише маршрут N 20 позначався за московською та пітерською системою однаково: зелений та білий.
Бувало, що маршрутні вогні у Петербурзі змінювалися. Якщо траплялося так, що після зміни одного з маршрутів він працював на протяжній ділянці з іншим маршрутом, що має такі ж кольори, то в одного з цих маршрутів доводилося змінювати склад вогнів.
Маршрут N 4 раніше ходив від острова Декабристів до Волкового цвинтаря та позначався двома жовтими (помаранчевими) вогнями. Потім маршрут закрили і під тим самим номером відкрили в іншому місці з іншими вогнями: синій + синій, оскільки він мав спільну ділянку з 35 трамваєм (два жовті).
Маршрут № 43 спочатку мав вогні: червоний + білий. При продовженні порту 1985 року вогні змінилися: білий + білий, оскільки маршрут став мати спільну ділянку з трамваєм N 28 (червоний + білий). 3-й маршрут позначався зеленим та білим кольорами. При відновленні вогнів у 2007 році поєднання замінено на жовтий + зелений. Тоді ж змінилися поєднання і на інших маршрутах: 48 (було: білий + білий, стало: синій + синій); 61 (було: білий + білий, стало: білий + жовтий) тощо.
Петербурзька система маршрутних вогнів, така проста і така заплутана, пов'язана з традицією насамперед європейських трамвайних міст. Так, вже в 1907 році в листі до газети "Новий час" міститься прохання від "обивателів" Василівського островаВвести на трамваях кольорові ліхтарі, як за кордоном, зокрема у Франкфурті-на-Майні. В даний час збереглися залишки колишніх систем у вигляді кольорового підсвічування по діагоналі на маршрутних покажчиках трамваїв в Амстердамі. Ця традиція, у свою чергу, ймовірно , сходить до вогнів морської навігації. Чому саме до морських, а не, скажімо, залізничних? Та тому, що маршрутні вогні, як і морські, нікому нічого не забороняють, не змушують, а просто допомагають зорієнтуватися у темний час доби.
Вогні морської навігації розшифровуються у спеціальних морських книгах – лоціях морів. Також і маршрутні вогні описуються у міських путівниках. Першим із них був "Пересувний путівник санкт-петербурзьких трамваїв", випущений видавництвом Е.І. Маркуса (1910).
Склад квітів, що застосовуються в петербурзьких маршрутних вогнях (білий, червоний, оранжевий або жовтий, зелений, синій), мало відрізняється від квітів морських вогнів (білий, червоний, оранжевий, зелений, синій, фіолетовий).
Придивившись, можна знайти й інші риси подібності, але набагато важливіше зрозуміти, чому в розважливому Петербурзі прижилася така нестрога система маршрутних вогнів, що потребує постійного коригування. Відповідь проста: адже Петербург - приморське місто, і йому в рівного ступенявластиві і строгість архітектурних форм і легковажність карнавалу, отже, і веселе різнобарв'я маршрутних вогнів.
У 2007 році традиція вийшла на новий виток. На вагонах встановлюють світлодіодні лампи для маршрутних вогнів. Вони світитимуть не лише у вечірніх сутінках, а й у світлі дня.
Оренбург 250300200300600 Замовлення 600500200100 с1 = 250; с2 = 200; с3 = 150. б) Таблиця 22 Філії Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Обсяг закупівлі Постачальник Гданськ 200 300 250 150 550 Краснодар 300 400 300 250 650 Оренбург 150 250 200 20 с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. в) Таблиця 23 Філії Москва Санкт-Петербург Тверь Тула Обсяг закупівлі Постачальник Гданськ 200 300 250 150 650 Краснодар 250 400 300 250 750 Оренбург 150 250 50 00 с1 = 200; с2 = 100; с3 = 150. Завдання 2. Чотири магазини «Ліга-плюс», «Умка», «Гурман» та «Вулик» торгують молочною продукцією, яку постачають три молокозаводи. Перший завод має угоду з фірмовим магазином "Гурман" про фіксоване постачання йому своєї продукції. Тарифи на доставку молочної продукції та обсяг фіксованого постачання (у ящиках) наведено в таблицях за варіантами. Знайдіть оптимальний план постачання молочної продукції. а) Таблиця 24 Магазин «Ліга-плюс» «Гурман» «Умка» «Вулик» Обсяг закупівлі Завод 1 5 8 6 10 700 200 2 9 6 7 5 800 3 6 7 5 8 500 800 400 600 2 «Ліга-плюс» «Гурман» «Умка» «Вулик» Обсяг закупівлі Завод 1 5 10 7 400 300 5 2 6 8 5 8 600 3 7 9 6 4 900 500 700 200 500 До РОЗДІЛУ № Завдання I а) Комісія складається з голови, його заступника та ще п'яти осіб. Скільки способами члени комісії можуть розподілити між собою обов'язки? б) Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола (тобто кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку кількість зустрічей слід провести. в) Дві човни різного кольору розташовані на шахівниці так, що кожна може взяти іншу. Скільки існує таких прихильностей? II а) Скільки можна вибрати трьох чергових із групи в 20 человек? б) Замок відкривається лише в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер. Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти цифр. Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою? в) Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребом. Скільки різних результатів жеребкування можливо? III а) Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукопоєднання може містити від трьох до десяти звуків? б) З групи у 15 осіб обирають чотирьох учасників естафети 800 + 400 + 200 + 100. Скільки способами можна розставити спортсменів по етапах естафети? в) На книжковій полиці міститься 30 томів. Скільки способами їх можна розставити, щоб при цьому перший і другий томи не стояли поряд? IV а) У вазі стоять 10 червоних та 5 рожевих гвоздик. Скільки можна вибрати з вази п'ять гвоздик одного кольору? б) Команда з п'яти осіб виступає на змаганнях із плавання, у яких беруть участь ще 20 спортсменів. Скільки способів можуть розподілитися місця, зайняті членами цієї команди? в) Поїзд метро робить 16 зупинок, на яких виходять усі пасажири. Скільки способами можуть розподілитися між цими зупинками 100 пасажирів, які увійшли до поїзда на кінцевій зупинці? Продовження табл. 26 Варіант Завдання V а) Номери трамвайних маршрутівіноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна позначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів? б) Скільки способами можна розташувати на шахівниці дві човни так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна човна може взяти іншу, якщо вона знаходиться з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахівниці). в) Скільки трицифрових чисел, Що діляться на 3, можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр? ДО РОЗДІЛУ «ТЕОРІЯ МОЖЛИВОСТЕЙ»: Завдання 4 Таблиця 27 Варіант Завдання а) Класичне і статистичне визначенняймовірності I Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на гранях, що випали, парна, причому на межі однієї з кісток з'явиться шістка II При перевезенні ящика, в якому містилася 21 стандартна і 10 нестандартних деталей, втрачена одна деталь, причому не відомо яка. Наудачу витягнута (після перевезення ящика) деталь виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що було втрачено: а) стандартну деталь; б) нестандартна деталь III Куб, усі грані якого забарвлені, розпиляно на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що навмання витягнутий кубик має: а) одну забарвлену грань; б) дві пофарбовані грані; в) три пофарбовані грані IV У конверті серед 100 фотокарток знаходиться одна розшукувана. З конверту навмання вилучено 10 карток. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться потрібна V коробці п'ять однакових деталей, причому три з них пофарбовані. Навмання вилучено два вироби. Знайти ймовірність того, що серед двох виробів виявляться: а) один забарвлений виріб; б) два пофарбовані вироби; в) хоча б один забарвлений виріб б) Теореми додавання та множення ймовірностей I На стелажі бібліотеки у випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому 5 з них у палітурці. Бібліотекар навмання обирає три підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б один із взятих підручників опиниться в обкладинці Продовження табл. 27 Варіант Завдання II У ящику 10 деталей, з яких 4 пофарбовані. Складальник взяв навмання 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з взятих деталей забарвлена III Для сигналізації про аварію встановлено два незалежно працюючі сигналізатори. Імовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор дорівнює 0,95, а ймовірність того, що при аварії спрацює другий сигналізатор, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює лише один сигналізатор IV Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мету при першому пострілі першого стрілка дорівнює 0,7, а другого – 0,8. Знайти ймовірність того, що при першому залпі в ціль потрапить лише один зі стрільців V З партії товарознавець відбирає вироби вищого ґатунку. Імовірність того, Що навмання взятий виріб виявиться вищого гатунку, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки два вироби вищого ґатунку в) Ймовірність появи хоча б однієї події I В електричний ланцюгпослідовно включено три елементи, що працюють незалежно один від іншого. Ймовірності відмов першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють p1 = 0,1; p2 = 0,15; p3 = 0,2, знайти ймовірність того, що струму в ланцюгу не буде II Пристрій містить два незалежно працюючі елементи. Імовірності відмови елементів відповідно дорівнюють 0,05 та 0,08. Знайти ймовірність відмови пристрою, якщо достатньо, щоб відмовив хоча б один елемент III. Для руйнування мосту достатньо попадання однієї авіаційної бомби. Знайти ймовірність того, що міст буде зруйнований, якщо на нього скинути чотири бомби, ймовірності влучення яких відповідно дорівнюють: 0,3; 0,4; 0,6; 07 IV Імовірність хоча б одного влучення стрільцем у ціль при трьох пострілах дорівнює 0,875. Знайти ймовірність попадання при одному пострілі V Ймовірність успішного виконаннявправи кожного з двох спортсменів дорівнює 0,5. Спорт- зміни виконують вправу по черзі, причому кожен робить дві спроби. Той, хто виконав вправу, першим отримує приз. Знайти ймовірність отримання призу спортсменами г) Формула повної ймовірності I У урну, що містить дві кулі, спущений біла куля, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором). Продовження табл. 27 Закінчення таб Варіант Завдання II У піраміді п'ять гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом . Імовірність того, що стрілець вразить мету при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95 для гвинтівки без оптичного прицілу, ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що буде вражена, якщо стрілець зробить один постріл з удачу взятої гвинтівки III. У першій урні міститься 10 куль, з них 8 білих, у другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім з цих двох куль було навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що взята біла куля IV У кожній з трьох урн міститься б чорних з 4 білих кулі. З першої урни навмання вилучено одну кулю і перекладено в другу урну, після чого з другої урни навмання вилучено одні кулю і перекладено в третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, навмання витягнута з третьої урни, виявиться білим V У ящику міститься 12 деталей, виготовлених на заводі 1, 20 деталей, виготовлених на заводі 2 і 18 деталей, виготовлених на заводі 3. Імовірність того, що деталь виготовлена на заводі 1 відмінної якості, що дорівнює 0,9; для деталей, виготовлених на заводах 2 і 3, ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6 і 0,9. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання деталь виявиться відмінної якості д) Основні формули теорії ймовірностей I У піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Імовірність того, що стрілець вразить ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець вразив мішень із навмання взятої гвинтівки. Що ймовірніше: стрілець стріляв із гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього? II До спеціалізованої лікарні надходять у середньому 50 % хворих із захворюванням А, 30 % – із захворюванням Б, 20 % – із захворюванням С. Ймовірність повного лікування хвороби А дорівнює 0,7; для хвороб Б і С ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,8 та 0,9. Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання А III Два рівносильні противники грають у шахи. Що ймовірніше: а) виграти одну партію із двох або дві партії з чотирьох; б) виграти не менше двох партій із чотирьох чи не менше трьох партій із п'яти? В сім'ї п'ять дітей. Знайти ймовірність того, що серед цих дітей: а) два хлопчики; б) трохи більше двох хлопчиків; в) понад два хлопчики; г) не менше двох та не більше трьох хлопчиків. Імовірність народження хлопчика прийняти 0,51 V Монету кидають п'ять разів. Знайти ймовірність, що орел випаде: а) менше двох разів; б) не менше двох разів Завдання 5 Таблиця 28 Варіант Завдання а) Дискретні випадкові величини, числові характеристики дискретних випадкових величин I 1.1 Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу X 0,1 0,3 0,6 0,8 P 0,2 0 ,1 0,4 0,3 Побудувати багатокутник розподілу. 1.2 Підручник видано тиражем 100 000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить п'ять бракованих книг. 1.3 Для дискретної випадкової величини X п. 1.1. знайти: а) математичне очікування та дисперсію; б) початкові моменти першого, другого та третього порядків; в) центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити для дискретної випадкової величини X з п. 1.1 ймовірність того, що │ X – M(X) │< 0,2
II 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,10 0,15 0,20 0,25
P 0,1 0,3 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо
один от другого. Вероятность отказа любого элемента в момент вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут
ровно три элемента.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) початкові моментипершого, другого та третього порядків; в) центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити для дискретної випадкової величини X з п. 1.1 ймовірність того, що │ X – M(X) │< 0,7
III 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,4 0,5 0,6
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная
деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что
среди отобранных 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1. найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4 Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,5
Продолжение табл. 28
Вариант Задание
IV 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,2 0,6 0,9 1,2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Построить многоугольник распределения.
1.2 Завод направил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет
повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трех; в) более трех; г) хотя
бы одно.
1.3 Для дискретной случайной величины X из п. 1.1 найти: а) мате-
матическое ожидание и дисперсию; б) начальные моменты первого,
второго и третьего порядков; в) центральные моменты первого, второ-
го, третьего и четвертого порядков.
1.4. Используя неравенство Чебышева, оценить для дискретной слу-
чайной величины X из п. 1.1 вероятность того, что │ X – M(X) │< 0,6
V 1.1 Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X 0,3 0,4 0,7 0,10
P 0,4 0,1 0,2 0,3
Построить многоугольник распределения.
1.2 Магазин получил 1000 бутылок мінеральної води. Імовірність того, що пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що магазин отримає розбитих пляшок: а) рівно 2; б) менше двох; в) понад два; г) хоча б одну. 1.3 Для дискретної випадкової величини X з п. 1.1 знайти: а) математичне очікування та дисперсію; б) початкові моменти першого, другого та третього порядків; в) центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити для дискретної випадкової величини X з п. 1.1. ймовірність того, що │ X – M(X) │< 0,1
б) Непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерыв-
ных случайных величин, распределения непрерывной случайной величины.
I 1.1 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
0, x ≤ 0;
F(X)= sin x, 0 < x ≤ Π /2;
1, x >Π/2. Знайти густину розподілу f(x). 1.2 Випадкова величина X задана густиною розподілу f(x) = 2x на інтервалі (0; 1); поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти математичне очікування та дисперсію величини X. 1.3 Випадкова величина X задана щільністю розподілу f(x) = 0,5x в інтервалі (0; 2), поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти початкові та центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X, рівномірно розподіленої в інтервалі (2; 8) Продовження табл. 28 Варіант Завдання II 1.1 Дана функція розподілу безперервної випадкової величини X 0 x ≤ 0; F(X) = sin 2x, 0< x ≤ Π /4;
1, x >Π/4. Знайти густину розподілу f(x). 1.2 Випадкова величина X задана густиною розподілу f(x) = (1/2)x на інтервалі (0; 2); поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти математичне очікування та дисперсію величини X. 1.3 Випадкова величина X задана щільністю розподілу f(x) = 2x в інтервалі (0; 1), поза цим інтервалом f(x) = 0 Знайти початкові та центральні моменти першого, другого, третього та четвертого порядків. 1.4 Випадкові величини X та Y незалежні та розподілені рівномірно: X в інтервалі (a, b), Y – в інтервалі (c, d). Знайти математичне очікування та дисперсію твору XY III 1.1 Дано функцію розподілу безперервної випадкової величини X 0, x≤0; F(X) = cos 2x, 0
Раніше номери трамваїв позначали двома кольоровими ліхтариками. Яку кількість різних маршрутів можна позначити, використовуючи ліхтарі восьми різних кольорів?
Відповіді:
формула буде така: 8? = 64 64 різних маршрутів.
Схожі питання
- Згадайте архітектурні споруди та скульптури Відродження, що мають щось подібне до собору Відродження, та статую Вероккіо. Запишіть їхні назви.
- Вставте замість перепусток порядкові номеривідповідних слів із запропонованого списку. Слова дано у списку в однині, в називному відмінку. ЗВЕРНІТЬ УВАГУ: у списку слів більше, ніж пропусків у тексті! Велике поширення в _____ набула класифікація, що виділяє залежно від підстав та умов набуття ____ членства кадрові у ____ партії. Перші відрізняються тим, що вони формуються навколо групи політичних ___, а основою їхнього прагнення є комітет активістів. Кадрові партії формуються зазвичай " згори " з урахуванням різних ___ фракцій, об'єднань партійної бюрократії. Такі партії зазвичай активізують свою діяльність лише тимчасово ___. Інші партії є централізованими, добре дисциплінованими організаціями. Велике значенняу них надається ___ єдності членів партії. Такі партії найчастіше формуються " знизу " , з урахуванням профспілкових та інших ___ рухів, що відбивають цікаві різний соц. груп 1) Соціологія 10) вибори 2)суспільний 11) норма 3фактор 12) партійний 4)виборчий 13) парламентський 5)національний 14)консенсус 6) соціум 15) ідіологічний 7) масовий 16) система 8) імпічмент 1
- №1 Вирішити: 28/5*4 №2 На координатній прямій зазначено число а _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) a; a-1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; a;\frac(1)(a)
- чи є число 2008*2011*2012*2014+1 точним квадратом
- У новозбудованому будинку 300 квартир. У перший день заселили 120 квартир, у другий - третину залишку. Скільки квартир залишилося заселити?
- Толик помножив п'ятизначне число у сумі його цифр. Потім Толік помножив результат у сумі його (результату) цифр. Дивно, але вийшло знову п'ятизначне число. Яке число Толік помножив уперше? (Знайдіть усі можливі варіанти відповіді.)
Завдання з комбінаторики
| Найменування параметра | Значення |
| Тема статті: | Завдання з комбінаторики |
| Рубрика (тематична категорія) | Математика |
1. Розклад одного дня містить 5 уроків. Визначити кількість таких розкладів під час вибору з одинадцяти дисциплін.
Відповідь 55 440.
2. Комісія складається з голови, як заступника і ще п'яти человек. Скільки способами члени комісії можуть розподіляти між собою обов'язки?
Відповідь 42.
3. Скільки можна вибрати трьох чергових із групи в 20 чоловік?
Відповідь 1 140.
4. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукопоєднання може містити від трьох до десяти звуків?
Відповідь 968.
5. У вазі стоять 10 червоних та 5 рожевих гвоздик. Скільки можна вибрати з вази п'ять гвоздик одного кольору?
Відповідь 253.
6. Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна позначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів?
Відповідь 64.
7. Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола (тобто кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку кількість зустрічей слід провести.
Відповідь 240.
8.
Замок відкривається тільки в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер.
Розміщено на реф.
Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти цифр.
Розміщено на реф.
Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою?
Відповідь 124.
9. З групи у 15 осіб обирають чотирьох учасників естафети 800+400+200+100. Скільки способами можна розставити спортсменів по етапах естафети?
Відповідь 32 760.
10. Команда з п'яти осіб виступає на змаганнях із плавання, в яких беруть участь ще 20 спортсменів. Скільки способів можуть розподілитися місця, зайняті членами цієї команди?
Відповідь 25!/20!.
11. Скільки способами можна розташувати на шахівниці дві човни так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна тура може взяти іншу, якщо вона знаходиться з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахівниці.)
Відповідь 3 126.
12. Дві човни різного кольору розташовані на шахівниці так, що кожна може взяти іншу. Скільки існує таких прихильностей?
Відповідь 896.
13. Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребом. Скільки різних результатів жеребкування можливо?
Відповідь 8!.
14. Тридцять осіб розбито на три групи по десять осіб у кожній. Скільки має бути різних складівгруп?
Відповідь 30!/(10!) .
15. Скільки чотиризначних чисел, що діляться на 5, можна становити з цифр 0, 1, 3, 5, 7, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр?
Відповідь 42.
16. Скільки різних кілець, що світяться, можна зробити, розташувавши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються однаковими при однаковому порядку проходження кольорів)?
Відповідь 9!.
17. На книжковій полиці міститься 30 томів. Скільки способами їх можна розставити, щоб при цьому перший і другий томи не стояли поряд?
18. Чотири стрілки повинні вразити вісім мішеней (кожен по дві). Скільки способами вони можуть розподілити мішені між собою?
Завдання з комбінаторики - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Завдання з комбінаторики" 2015, 2017-2018.
безліччю векторів (b n ) існує бієкція (доведіть це!). Отже,
C n m (n ) дорівнює числу векторів b n . "Довжина вектора" b n дорівнює числу 0 і 1, або m + + n-
1. Число векторів дорівнює числу способів, якими m одиниць можна поставити на m + n 1 місць, а це буде C n m + m-1.
Приклад 9. У кондитерській є 7 видів тістечок. Покупець бере 4
тістечка. Скільки він може це зробити? (передбачається, що
тістечка кожного виду 4). | ||||||
Число способів буде C 4 | 210. |
|||||
7+ 4- 1 | 4! 6! 1 2 3 4 |
|||||
Приклад10. Нехай V = (a, b, c). Обсяг вибірки m = 2. Перелічити перестановки, розміщення, поєднання, розміщення із повтореннями, поєднання із повтореннями.
1. Перестановки: (abc, bac, bca, acb, cab, cba). P 3 = 3! = 6.
2. Розміщення: ((ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)).A 3 2 1 3 ! ! 6 .
3. Поєднання: ((ab), (ac), (bc)). | ||||||||||
1! 2! | ||||||||||
4. Розміщення з повтореннями: ((ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), |
||||||||||
(cc). | (3)= 32 | |||||||||
Поєднання | з повтореннями: | ((ab ), | (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)). |
|||||||
C 2 (3 ) C2 | ||||||||||
3+ 2- 1 | ||||||||||
1.2. Завдання з комбінаторики
1. Розклад одного дня містить 5 уроків. Визначити кількість таких розкладів під час вибору з одинадцяти дисциплін.
Відповідь: 55 440.
2. Комісія складається з голови, його заступника та ще п'яти осіб.
Скільки способами члени комісії можуть розподіляти між собою обов'язки?
3. Скільки способами можна вибрати трьох чергових із групи в 20
Відповідь: 1 140.
4. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десятьох вибраних клавішах роялю, якщо кожне звукопоєднання може містити від трьох до десяти звуків?
Відповідь: 968.
5. У вазі стоять 10 червоних та 5 рожевих гвоздик. Скільки можна вибрати з вази п'ять гвоздик одного кольору?
Відповідь: 253.
6. Номери трамвайних маршрутів іноді позначаються двома кольоровими ліхтарями. Яку кількість різних маршрутів можна визначити, якщо використовувати ліхтарі восьми кольорів?
7. Чемпіонат, у якому беруть участь 16 команд, проводиться у два кола (тобто.
кожна команда двічі зустрічається з будь-якою іншою). Визначити, яку кількість зустрічей слід провести.
Відповідь: 240.
8. Замок відкривається лише в тому випадку, якщо набрано певний тризначний номер. Спроба полягає в тому, що набирають навмання три цифри із заданих п'яти цифр. Вгадати номер вдалося лише на останній із усіх можливих спроб. Скільки спроб передувало вдалою?
Відповідь: 124.
9. З групи у 15 осіб обирають чотирьох учасників естафети
800+400+200+100. Скільки способами можна розставити спортсменів по етапах естафети?
Відповідь: 32 760.
10. Команда з п'яти осіб виступає на змаганнях з плавання,
яких беруть участь ще 20 спортсменів. Скільки способів можуть розподілитися місця, зайняті членами цієї команди?
Відповідь: 25!/20!.
11. Скільки способами можна розташувати на шахівниці дві човни так, щоб одна не могла взяти іншу? (Одна тура може взяти іншу,
якщо вона перебуває з нею на одній горизонталі або на одній вертикалі шахівниці.)
Відповідь: 3 126.
12. Дві човни різного кольору розташовані на шахівниці так, що кожна може взяти іншу. Скільки існує таких прихильностей?
Відповідь: 896.
13. Порядок виступу восьми учасників конкурсу визначається жеребом. Скільки різних результатів жеребкування можливо?
14. Тридцять чоловік розбито на три групи по десять осіб у кожній.
Скільки може бути різних складів груп?
Відповідь: 30!/(10!) 3 .
15. Скільки чотирицифрових чисел, що діляться на 5, можна становити з цифр 0, 1, 3, 5, 7, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр?
16. Скільки різних кілець, що світяться, можна зробити, розташувавши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються однаковими при однаковому порядку проходження кольорів)?
17. На книжковій полиці міститься 30 томів. Скільки способами їх можна розставити, щоб при цьому перший і другий томи не стояли поряд?
Відповідь: 30! 2 29!.
18. Чотири стрілки повинні вразити вісім мішеней (кожен по дві). Скільки вони можуть розподілити мішені між собою?
Відповідь: 2 520.
19. З групи у 12 осіб щодня протягом 6 днів обирають двох чергових. Визначити кількість різних списківчергових, якщо кожна людина чергує один раз.
Відповідь: 12!/(2!) 6 .
20. Скільки чотиризначних чисел, складених із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, містять цифру 3 (цифри в числах не повторюються)?
Відповідь: 204.
21. Десять груп займаються у десяти розташованих поспіль аудиторіях. Скільки існує варіантів розкладу, за яких групи №1 та №2 перебували б у сусідніх аудиторіях?
Відповідь: 2 9!.
22. У турнірі беруть участь 16 шахістів. Визначити кількість різних розкладів першого туру (розклади вважаються різними, якщо відрізняються учасниками хоча б однієї партії; колір фігур та номер дошки не враховуються).
Відповідь: 2027025.
23. Шість ящиків різних матеріалівдоставляються на п'ять поверхів будівництва. Скільки способами можна розподілити матеріали по поверхах? У кількох варіантах на п'ятий поверх доставленоякийсь один матеріал?
Відповідь: 56; 6 45 .
24. Два листоноші мають рознести 10 листів за 10 адресами. Скільки
способами можуть розподілити роботу? Відповідь: 210 .
25. Поїзд метро робить 16 зупинок, на яких виходять усі пасажири. Скільки способами можуть розподілитися між цими зупинками 100 пасажирів, що увійшли до поїзда на кінцевій зупинці?
Відповідь: 16100 .
26. Скільки трицифрових чисел, що діляться на 3, можна скласти із цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожне число не повинно містити однакових цифр?
27. Збори з 80 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів ревізійної комісії. Скільки способами це можна зробити?
Відповідь: 80! (3! 75!).
28. З 10 тенісисток та 6 тенісистів складають 4 змішані пари. Скільки способами це можна зробити?
Відповідь: 10!/48.
29. Три автомашини №1,2,3 мають доставити товар до шести магазинів. Скільки способами можна використовувати машини, якщо вантажопідйомність кожної з них дозволяє взяти товар відразу для всіх магазинів і якщо дві машини
в один і той же магазин не прямують? Скільки варіантів маршруту можливе, якщо вирішено використовувати лише машину №1?
Відповідь: 3 6 6!.
30. Четверо юнаків та дві дівчини обирають спортивну секцію. У секцію хокею та боксу приймають лише юнаків, у секцію художньої гімнастики– лише дівчат, а у лижну та ковзанярську секції – і юнаків, і дівчат. Скільки способами можуть розподілитися між секціями ці шість осіб?
Відповідь: 2304.
31. З лабораторії, в якій працює 20 осіб, 5 співробітників мають виїхати у відрядження. Скільки може бути різних складів цієї групи,
якщо начальник лабораторії, його заступник та головний інженеродночасно їхати не повинні?
Відповідь: 15 368.
32. У фортепіанному гуртку займаються 10 осіб, у гуртку художнього слова-15, У вокальному гуртку - 12, у фотокружку - 20 чоловік.
Скільки способами можна скласти бригаду з чотирьох читців, трьох піаністів, п'яти співаків та одного фотографа?
Відповідь: 15!10/7!
33. Двадцять вісім кісток доміно розподілено між чотирма гравцями. Скільки можливо різних розподілів?
Відповідь: 28!/(74 .!}
34. З групи у 15 осіб мають бути виділені бригадир та 4 члени бригади. Скільки способами це можна зробити?
Відповідь: 15 015.
35. П'ять учнів слід розподілити за трьома паралельними класами.
Скільки способами це можна зробити? Відповідь: 35 .
36. Ліфт зупиняється на 10 поверхах. Скільки способами можуть розподілитися між цими зупинками 8 пасажирів, що знаходяться в ліфті?
Відповідь: 108 .
Скільки способами можливий розподіл матеріалу між авторами, якщо дві людини напишуть по три розділи, чотири – по два, два – по одному розділу книги?
Відповідь: 16! / (26 32).
38. У шаховому турнірі беруть участь 8 шахістів третього розряду, 6 –
другого та 2 першорозрядники. Визначити кількість таких складів першого туру, щоб шахісти однієї категорії зустрічалися між собою (колір фігур не враховується).
Відповідь: 420.
39. З цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 складаються всілякі п'ятицифрові числа: що не містять однакових цифр. Визначити кількість чисел,
яких є цифри 2, 4 та 5 одночасно.
Відповідь: 1800.
40. Сім яблук і два апельсини треба покласти в два пакети так, щоб у кожному пакеті був хоча б один апельсин і щоб кількість фруктів була однаковою. Скільки способами це можна зробити?
Відповідь: 105.
41. Букви абетки Морзе складаються із символів (крапок та тире). Скільки літер можна зобразити, якщо вимагатиме, щоб кожна літера містила не більше п'яти символів?
42. Номер автомобільного причепа складається з двох літер та чотирьох цифр.
Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 30 літер та 10 цифр?
Відповідь: 9 106 .
43. Садівник має протягом трьох днів посадити 10 дерев. Скільки способами він може розподілити по днях роботу, якщо садитиме не менше одного дерева на день?
44. З вази, де стоять 10 червоних і 4 рожеві гвоздики, вибирають одну червону і дві рожеві квітки. Скільки способами це можна зробити?
45. Дванадцятьом учням видано два варіанти контрольної роботи.
Скількими способами можна посадити учнів у два ряди, щоб у сидячих поряд не було однакових варіантів, а у сидячих один за одним був один і той самий варіант?
Відповідь: 2(6!)2.
46. Кожен із десяти радистів пункту А намагається встановити зв'язок із кожним із двадцяти радистів пункту Б. Скільки можливо різних варіантівтакого зв'язку?
Відповідь: 2200 .
47. Шість ящиків різних матеріалів доставляють на вісім поверхів будівництва. Скільки способами можна розподілити матеріали по поверхах? У
Скільки варіантів на восьмий поверх буде доставлено не більше двох матеріалів?
Відповідь: 86; 86 -13 75 .
48. Скільки способами можна побудувати в одну шеренгу гравців двох футбольних командтак, щоб при цьому два футболісти однієї команди не стояли поряд?
Відповідь: 2(11!)2.
49. На книжковій полиці книги з математики та логіки – всього 20 книг.
Показати, що найбільша кількістьваріантів комплекту, що містить 5 книг з математики та 5 книг з логіки, можливо в тому випадку, коли число книг на полиці з кожного предмета дорівнює 10.
Відповідь: C 5 10–x C 5 10+x(C 5 10) 2 .
50 . Ліфт, де знаходяться 9 пасажирів, може зупинятися на десяти поверхах. Пасажири групами виходять по дві, три та чотири особи.
Скільки способами це може статися?
Відповідь: 10!/4.
51. «Вранці на рибалку усміхнений Ігор мчав босоніж».
Скільки різних осмислених речень можна скласти, використовуючи частину слів цієї пропозиції, але не змінюючи порядок їхнього прямування?
52. У шахівній зустрічі двох команд по 8 осіб учасники партій та колір фігур кожного учасника визначаються жеребкуванням. Яка кількість різних результатів жеребкування?
A 10 6 .
Відповідь: 28 8!.
53. A та B та ще 8 осіб стоять у черзі. Скільки способів можна розмістити людей у черзі, щоб A і B були відокремлені один від одного трьома особами?
Відповідь: 6 8! 2!.
54. Скільки чотиризначних чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
якщо: а) цифри не повторюються; б) цифри можуть повторюватися; в) використовуються лише непарні цифри та можуть повторюватися; г) повинні вийти тільки непарні числата цифри можуть повторюватися.
Відповідь: а) 5 5 4 3 = 300; б) 56 = 1080; в) 34; г) 5 6 6 3 = 540.
55. У класі вивчається 10 предметів. Скільки способами можна скласти розклад на понеділок, якщо понеділок має бути 6 уроків і всі різні?
56. На одній прямій взятій точок, на паралельній їй прямій точок.
Скільки трикутників із вершинами у цих точках можна отримати?
Відповідь: mC n 2 nC m 2 .
57 . Скільки є п'ятизначних чисел, які читаються однаково праворуч наліво та зліва направо, наприклад, 67876.
Відповідь: 9 10 10 = 900.
58. Скільки різних дільників (включаючи 1 та саме число) має число
35 54 ?
59. У прямокутній матриці A = (a ij ) m рядків іn стовпців. Кожнеa n n = 2n -1.
61. Скільки є чотиризначних чисел, у яких кожна наступна цифра більша за попередню?
Відповідь: C 94 = 126.
62. Скільки є чотиризначних чисел, у яких кожна наступна цифра менша за попередню?
Відповідь: C 104 = 210.
63. Є білих і чорних куль. Скількими способами їх можна викласти в ряд, щоб 2
чорні кулі не лежали поруч (q p + 1)?
Відповідь: C q .p 1
64. Є різні книги в червоних палітурках і різні книги в синіх палітурках (q p + 1).
Скільки способами їх можна розставити в ряд, щоб жодні дві книги в синіх палітурках не стояли поруч?
Відповідь: C q p! q! .p 1
65. Скільки способами можна впорядкувати (1, 2, ...n ) чисел так, щоб числа 1, 2, 3 стояли поруч у порядку зростання?
Відповідь: (n - 2)!.
66. На зборах мають виступити 4 доповідачі: A, B, C та D, причому B не може виступити раніше, ніж A.
Скількими способами можна встановити їхню черговість.
Відповідь: 12 = 3! + 2 2 +2.
67. Скільки способами m +n +s предметів можна розподілити на 3 групи, щоб у одній групі було m предметів, у інший –n , у третій –s предметів.
Відповідь: (m+n+s)!.
68. Скільки цілих невід'ємних рішень має рівняння x 1 + x 2 + … + x m = n.
Відповідь: C n .n m 1
69. Знайти число векторів = (1 2 ...n ), координати яких задовольняють умовам:
1) i (0, 1);
2) i (0, 1, ...k - 1); 3) i (0, 1, ... k i - 1);
4) i (0, 1) і 1 +2 + ... + n = r.
Відповідь: 1) 2n; 2) k n; 3) k 1 k 2 ... k n; 4)
70. Яке число матриць (a ij ), де a ij (0,1) і в якому рядків іn стовпців? 1) рядки можуть
повторюватися; 2) рядки попарно різні.
Відповідь: 1) 2m n; 2).